Írja fel az oldalak egyenleteit a koordináták segítségével! Hogyan lehet megtanulni megoldani az analitikus geometriai feladatokat? Tipikus probléma egy síkon lévő háromszöggel

A geometriában gyakran figyelembe veszik a „háromszög csúcsa” fogalmát. Ez egy adott ábra két oldalának metszéspontja. Ez a fogalom szinte minden problémában megjelenik, ezért érdemes részletesebben megvizsgálni.

Háromszög csúcsának meghatározása

Egy háromszögben három pont van, ahol az oldalak metszik egymást, és három szöget alkotnak. Csúcsoknak nevezzük őket, és azokat az oldalakat, amelyeken nyugszanak, a háromszög oldalainak.

Rizs. 1. Csúcs egy háromszögben.

A háromszögek csúcsait nagybetűvel jelöljük. Ezért a matematikában leggyakrabban az oldalakat két nagy latin betűvel jelölik, az oldalakba belépő csúcsok neve után. Például az AB oldal az A és B csúcsokat összekötő háromszög oldala.

Rizs. 2. Háromszög csúcsainak kijelölése.

A fogalom jellemzői

Ha egy síkban tetszőlegesen orientált háromszöget veszünk, akkor a gyakorlatban nagyon kényelmes geometriai jellemzőit az ábra csúcsainak koordinátáin keresztül kifejezni. Így egy háromszög A csúcsa bizonyos A(x; y) numerikus paraméterekkel pontként fejezhető ki.

A háromszög csúcsainak koordinátáinak ismeretében megtalálhatja a mediánok metszéspontjait, az ábra egyik oldalára süllyesztett magasság hosszát és a háromszög területét.

Ehhez a Descartes-koordináta-rendszerben ábrázolt vektorok tulajdonságait használjuk, mivel egy háromszög oldalának hosszát a vektor hossza határozza meg azon pontokkal, amelyekben az ábra megfelelő csúcsai találhatók.

A háromszög csúcsának felhasználása

A háromszög bármely csúcsához találhat egy szöget, amely szomszédos a kérdéses ábra belső szögével. Ehhez meg kell hosszabbítania a háromszög egyik oldalát. Mivel minden csúcsnak két oldala van, minden csúcsban két külső szög van. Egy külső szög egyenlő egy háromszög két belső szögének összegével, amelyek nem szomszédosak vele.

Rizs. 3. Háromszög külső szögének tulajdonsága.

Ha egy csúcsban két külső szöget hoz létre, akkor azok egyenlőek lesznek, mint a függőlegesek.

Mit tanultunk?

A különböző típusú háromszögek vizsgálatakor az egyik fontos geometriai fogalom a csúcs. Ez az a pont, ahol egy adott geometriai alakzat szögének két oldala metszi egymást. A latin ábécé egyik nagybetűje jelöli. A háromszög csúcsa kifejezhető x és y koordinátákkal, ez segít meghatározni a háromszög oldalhosszát, mint egy vektor hosszát.

Teszt a témában

Cikk értékelése

Átlagos értékelés: 4.2. Összes értékelés: 153.

FejezetV. ELEMZŐ GEOMETRIA A SÍKON

ÉS TÉRBEN

A rész az „Analitikai geometria síkon és térben” témakörben tárgyalt feladatokat tartalmazza: különböző egyenesek egyenleteinek felállítása síkon és térben; vonalak egymáshoz viszonyított helyzetének meghatározása síkon, egyenesek, egyenesek és síkok, síkok a térben; másodrendű görbék képe. Megjegyzendő, hogy ez a rész olyan gazdasági tartalmú problémákat mutat be, amelyek megoldása az analitikus geometriából származó információkat egy síkon használja fel.

Az analitikus geometriai feladatok megoldása során célszerű a következő szerzők tankönyveit használni: D.V. Kletenika, N. Sh. Kremer, D.T. Írta: V.I. Malykhina, mert Ez a szakirodalom a témával kapcsolatos önálló tanuláshoz felhasználható feladatok szélesebb körét fedi le. Az analitikus geometria alkalmazását a gazdasági problémák megoldására oktatási kiadványokban mutatja be M.S. Krass és V.I. Ermakova.

Probléma 5.1. Adott a háromszög csúcsainak koordinátáiABC . Szükséges

a) írja fel a háromszög oldalainak egyenleteit!

b) írja fel a csúcsból húzott háromszög magassági egyenletét!VAL VEL oldalraAB és találja meg a hosszát;

c) írja fel a csúcsból húzott háromszög mediánjának egyenletét!BAN BEN oldalraAC ;

d) határozza meg a háromszög szögeit és határozza meg a típusát (téglalap, hegyes, tompaszögű);

e) határozza meg a háromszög oldalainak hosszát, és határozza meg típusát (lépték, egyenlőszárú, egyenlő oldalú);

e) keresse meg a háromszög súlypontjának (a mediánok metszéspontjának) koordinátáitABC ;

g) keresse meg a háromszög ortocentrumának (a magasságok metszéspontjának) koordinátáitABC .

A megoldás a) – c) pontjaira készítsen rajzokat koordinátarendszerben! A képeken jelölje be a feladat pontjainak megfelelő vonalakat, pontokat!

5.1. példa

Adott a háromszög csúcsainak koordinátáiABC : . Szükséges a) felírni a háromszög oldalainak egyenleteit; b) írja fel a csúcsból húzott háromszög magassági egyenletét! VAL VEL oldalraAB és találja meg a hosszát; c) írja fel a csúcsból húzott háromszög mediánjának egyenletét!BAN BEN oldalraAC ; d) határozza meg a háromszög oldalainak hosszát, és határozza meg típusát (lépték, egyenlőszárú, egyenlő oldalú); e) határozza meg a háromszög szögeit és típusát (téglalap, hegyes, tompaszögű); e) keresse meg a háromszög súlypontjának (a mediánok metszéspontjának) koordinátáit ABC ; g) keresse meg a háromszög ortocentrumának (a magasságok metszéspontjának) koordinátáitABC .

Megoldás

A) A háromszög mindkét oldalára két olyan pont koordinátája ismert, amelyek a kívánt egyeneseken találhatók, ami azt jelenti, hogy a háromszög oldalainak egyenletei két adott ponton átmenő egyenesek egyenletei.

,

Ahol
És
a pontok megfelelő koordinátáit.

Így az egyeneseknek megfelelő pontok koordinátáit behelyettesítve az (5.1) képletbe, megkapjuk

,
,
,

ahonnan transzformációk után felírjuk az oldalak egyenleteit

ábrán. 7 ábrázoljuk a háromszög megfelelő oldalait
egyenes.

Válasz:

b) Hadd
– a csúcsból húzott magasság oldalra
. Mert a
ponton halad át merőleges a vektorra
, akkor az alábbi képlet segítségével összeállítjuk az egyenes egyenletét

Ahol
– a vektor koordinátái merőlegesek a kívánt egyenesre,
– ehhez az egyeneshez tartozó pont koordinátái. Keresse meg az egyenesre merőleges vektor koordinátáit!
, és behelyettesítjük az (5.2) képletbe

,
,

.

Keresse meg a magasság hosszát CH mint távolság a ponttól egyenesre

,

Ahol
– egyenes egyenlete
,
– pont koordináták .

Az előző bekezdésben kiderült

Az adatokat az (5.3) képletbe behelyettesítve kapjuk

,

ábrán. 8 rajzolj egy háromszöget és a talált magasságot CH.

Válasz: .

R van. 8

V) középső
háromszög
osztja az oldalt
két egyenlő részre, azaz. pont a szakasz felezőpontja
. Ez alapján meg lehet találni a koordinátákat
pontokat

, ,

Ahol
És
És , amelyet behelyettesítve az (5.4) képletekre, megkapjuk

;
.

Medián egyenlet
háromszög
Írjuk fel a pontokon átmenő egyenes egyenleteként
És
az (5.1) képlet szerint

,

.

Válasz:(9. ábra).

R van. 9

G) A háromszög oldalainak hosszát a megfelelő vektorok hosszaként találjuk meg, azaz.

,
,
.

A felek
És
háromszög
egyenlőek, ami azt jelenti, hogy a háromszög egyenlő szárú az alappal
.

Válasz: háromszög
egyenlő szárú alappal
;

,
.

d) Egy háromszög szögei
keressük meg az adott háromszög megfelelő csúcsaiból kiinduló vektorok közötti szögeket, azaz.

,
,
.

Mivel a háromszög egyenlő szárú alappal
, Azt

,

A vektorok közötti szögeket a (4.4) képlet segítségével számítjuk ki, amelyhez a vektorok skaláris szorzataira van szükség
,
.

Keressük meg a szögek kiszámításához szükséges vektorok koordinátáit és nagyságait

,
;

,
,
.

A talált adatokat a (4.4) képletbe behelyettesítve kapjuk

,

Mivel az összes talált szög koszinusza pozitív, akkor a háromszög
hegyesszögű.

Válasz: háromszög
hegyesszögű;

,
,
.

e) Hadd

, majd a koordinátákat
pontokat
az (5.5) képletekkel kereshető meg

, ,

Ahol
,
És
– a pontok koordinátái , És , ennélfogva,

,
.

Válasz:
– a háromszög súlypontja
.

és) Hadd – a háromszög ortocentruma
. Keresse meg a pont koordinátáit mint a háromszög magasságainak metszéspontjának koordinátái. Magasság egyenlet
címen találták b). Keressük meg a magassági egyenletet
:

,
,

.

Mert a
, akkor a rendszer megoldása

a pont koordinátái , ahol találjuk
.

Válasz:
– a háromszög ortocentruma
.

Probléma 5.2. Egyes termékek gyártása során a fix költségek egy vállalkozásnálF V 0 dörzsölés. termelési egységenként, a bevétel összegeR 0 dörzsölés. egységnyi gyártott termékre. Hozzon létre egy profitfüggvénytP (q ) (q

Az opcióknak megfelelő problémaállapot adatai:

5.2. példa

Egyes termékek gyártása során a fix költségek egy vállalkozásnál
dörzsölés. havi, változó költségek –
dörzsölés. termelési egységenként, a bevétel összege
dörzsölés. egységnyi gyártott termékre. Hozzon létre egy profitfüggvénytP (q ) (q – az előállított termékek mennyisége); felépíteni a grafikonját, és meghatározni a fedezeti pontot.

Megoldás

Számítsuk ki a teljes gyártási költséget a kiadáskor q egyes termékek egységei

Ha eladják q termelési egység, akkor a teljes bevétel lesz

A kapott összjövedelem és összköltség függvények alapján megtaláljuk a profitfüggvényt

,

.

Kiegyenlítési pont – az a pont, ahol a nyereség nulla, vagy az a pont, ahol az összköltség megegyezik a teljes bevétellel

,

,

honnan találjuk?

- nullszaldós.

A profitfüggvény grafikonjának ábrázolásához (10. ábra) még egy pontot találunk

Válasz: profit függvény
, nullszaldós
.

Probléma 5.3. Egy bizonyos termék keresletének és kínálatának törvényeit az egyenletek határozzák megp = p D (q ), p = p S (q ), Aholp - a termék ára,q - áru mennyisége. Feltételezzük, hogy a keresletet csak a termék piaci ára határozza megp VAL VEL , és az ajánlat csak árra vonatkozikp S beszállítók kaptak. Szükséges

a) meghatározza a piaci egyensúlyi pontot;

b) az adó bevezetése utáni egyensúlyi pont egyenlőt . Határozza meg az áremelkedést és az egyensúlyi értékesítési volumen csökkenését;

c) találjon támogatásts , ami az eladások növekedéséhez vezetq 0 egységek az eredetihez képest (az a) pontban meghatározott);

d) új egyensúlyi pontot és állami bevételt találni az árral arányos és egyenlő adó bevezetésekorN %;

e) határozza meg, hogy a kormány mennyi pénzt költ a többlet felvásárlására a minimumár meghatározásakor p 0 .

Minden megoldási ponthoz készítsen rajzot a koordinátarendszerben. Az ábrán jelölje be a feladatelemnek megfelelő vonalakat és pontokat!

Az opcióknak megfelelő problémaállapot adatai:

Hogyan lehet megtanulni megoldani az analitikus geometriai feladatokat?
Tipikus probléma egy síkon lévő háromszöggel

Ez a lecke az Egyenlítő megközelítéséről szól, a sík geometriája és a tér geometriája között. Jelenleg szükség van a felhalmozott információk rendszerezésére és egy nagyon fontos kérdés megválaszolására: hogyan lehet megtanulni megoldani az analitikus geometriai feladatokat? A nehézséget az jelenti, hogy végtelen számú geometriai feladattal találkozhatunk, és egyetlen tankönyv sem tartalmazza a példák sokaságát és sokféleségét. Nem függvény deriváltjaöt megkülönböztetési szabállyal, táblázattal és számos technikával….

Van megoldás! Nem fogok hangosan beszélni arról, hogy valamiféle grandiózus technikát fejlesztettem ki, de véleményem szerint a vizsgált problémának van egy olyan hatékony megközelítése, amely lehetővé teszi, hogy akár egy komplett próbabábu is jó és kiváló eredményeket érjen el. Legalábbis a geometriai feladatok megoldásának általános algoritmusa nagyon világosan formálódott a fejemben.

MIT KELL TUDNOD ÉS KÉPESEN TENNI
geometriai feladatok sikeres megoldásához?

Ez alól nincs menekvés – ahhoz, hogy ne piszkálja véletlenszerűen az orrával a gombokat, el kell sajátítania az analitikus geometria alapjait. Ezért, ha most kezdte el tanulni a geometriát, vagy teljesen elfelejtette, kezdje a leckével Vektorok bábokhoz. A vektorokon és a velük végzett műveleteken kívül ismernie kell a síkgeometria alapfogalmait, különösen, egy síkban lévő egyenes egyenleteÉs . A tér geometriáját cikkek mutatják be Sík egyenlet, Egy egyenes egyenletei a térben, Alapfeladatok egyenesen és síkon és néhány egyéb leckét. Az íves vonalak és a másodrendű térfelületek kissé eltávolodnak egymástól, és nincs is velük olyan sok konkrét probléma.

Tegyük fel, hogy a hallgató már rendelkezik alapvető ismeretekkel és készségekkel az analitikus geometria legegyszerűbb problémáinak megoldásában. De ez így történik: elolvasod a probléma kijelentését, és... le akarod zárni az egészet, bedobod a túlsó sarokba és elfelejted, mint egy rossz álom. Ráadásul ez alapvetően nem a képzettséged szintjén múlik, én magam is időről időre találkozom olyan feladatokkal, amelyekre nem egyértelmű a megoldás. Mi a teendő ilyen esetekben? Nem kell félni olyan feladattól, amit nem értesz!

Először, telepíteni kell - Ez „lapos” vagy térbeli probléma? Például, ha a feltétel két koordinátájú vektorokat tartalmaz, akkor természetesen ez egy sík geometriája. És ha a tanár megrakta a hálás hallgatót egy piramissal, akkor egyértelműen ott van a tér geometriája. Már az első lépés eredménye is egész jó, mert hatalmas mennyiségű, ehhez a feladathoz felesleges információt sikerült levágnunk!

Második. A feltétel általában valamilyen geometriai alakzatra vonatkozik. Valóban, sétáljon végig szülőföldje egyetemének folyosóin, és sok aggódó arcot fog látni.

A „lapos” feladatokban, nem beszélve a nyilvánvaló pontokról és vonalakról, a legnépszerűbb figura a háromszög. Nagyon részletesen elemezzük. Ezután következik a paralelogramma, és sokkal kevésbé gyakoriak a téglalap, négyzet, rombusz, kör és egyéb alakzatok.

Térproblémákban ugyanazok a lapos figurák + maguk a síkok és a közös háromszög alakú, paralelepipedonos piramisok repülhetnek.

Második kérdés - Mindent tudsz erről a figuráról? Tegyük fel, hogy a feltétel egy egyenlő szárú háromszögről beszél, és nagyon homályosan emlékszel, hogy milyen háromszögről van szó. Kinyitunk egy iskolai tankönyvet, és egy egyenlő szárú háromszögről olvasunk. Mit tegyek... az orvos azt mondta, hogy rombusz, az azt jelenti, hogy rombusz. Az analitikus geometria analitikus geometria, de a problémát maguknak az ábráknak a geometriai tulajdonságai fogják megoldani, amit az iskolai tananyagból ismerünk. Ha nem tudja, mennyi egy háromszög szögeinek összege, sokáig szenvedhet.

Harmadik. MINDIG próbálja követni a rajzot(tervezeten/befejező példányon/mentálisan), még akkor is, ha ezt a feltétel nem írja elő. A „lapos” problémáknál maga Eukleidész utasította, hogy vegyen fel egy vonalzót és egy ceruzát – és nemcsak azért, hogy megértse az állapotot, hanem önellenőrzés céljából is. Ebben az esetben a legkényelmesebb skála az 1 egység = 1 cm (2 notebook cella). A gondatlan diákokról és a sírjukban forgó matematikusokról ne is beszéljünk – ilyen feladatokban szinte lehetetlen hibázni. A térbeli feladatokhoz vázlatos rajzot készítünk, amely az állapot elemzését is segíti.

Egy rajz vagy sematikus rajz gyakran lehetővé teszi, hogy azonnal láthassa a probléma megoldásának módját. Természetesen ehhez ismernie kell a geometria alapjait és meg kell értenie a geometriai formák tulajdonságait (lásd az előző bekezdést).

Negyedik. Megoldási algoritmus kidolgozása. Sok geometriai probléma többlépcsős, így a megoldást és annak kialakítását nagyon kényelmes pontokra bontani. Gyakran az algoritmus azonnal eszébe jut a feltétel elolvasása vagy a rajz befejezése után. Nehézségek esetén a feladat KÉRDÉSÉVEL kezdjük. Például az „egyeneset kell építeni...” feltétel szerint. Itt a leglogikusabb kérdés: „Mit elég tudni ennek az egyenesnek a megalkotásához?” Tegyük fel, hogy „tudjuk a pontot, ismernünk kell az irányvektort”. Feltesszük a következő kérdést: „Hogyan találjuk meg ezt az irányvektort? Ahol?" stb.

Néha előfordul egy „hiba” - a probléma nem oldódik meg, és ennyi. A leállás okai a következők lehetnek:

– Komoly hiányosságok az alapismeretekben. Más szóval, nem tudsz és/vagy nem látsz valami nagyon egyszerű dolgot.

– A geometriai alakzatok tulajdonságainak nem ismerete.

– Nehéz volt a feladat. Igen, előfordul. Nincs értelme órákig gőzölni és zsebkendőbe gyűjteni a könnyeket. Kérjen tanácsot tanárától, diáktársaitól, vagy tegyen fel kérdést a fórumon. Sőt, jobb, ha konkretizálja a kijelentését - a megoldás azon részével kapcsolatban, amelyet nem ért. Kiáltás "Hogyan oldjuk meg a problémát?" nem néz ki túl jól... és mindenekelőtt a saját hírneved miatt.

Ötödik szakasz. Döntünk-ellenőrizzük, döntünk-ellenőrizzük, döntünk-ellenőrizzük-válaszolunk. Célszerű a feladat minden pontját ellenőrizni közvetlenül a befejezése után. Ez segít azonnal észrevenni a hibát. Természetesen senki sem tiltja a teljes probléma gyors megoldását, de fennáll annak a veszélye, hogy mindent újra átírnak (gyakran több oldalt).

Talán ezek azok a fő szempontok, amelyeket a problémák megoldása során be kell tartani.

Az óra gyakorlati részét síkgeometriában mutatjuk be. Csak két példa lesz, de nem tűnik elégnek =)

Menjünk végig annak az algoritmusnak a szálán, amelyet most néztem meg kis tudományos munkámban:

1. példa

Adott egy paralelogramma három csúcsa. Keresse meg a tetejét.

Kezdjük megérteni:

Első lépés: Nyilvánvaló, hogy „lapos” problémáról beszélünk.

Második lépés: A feladat egy paralelogrammával foglalkozik. Mindenki emlékszik erre a paralelogramma alakra? Nem kell mosolyogni, sokan 30-40-50 évesen vagy annál idősebb korban kapják meg az oktatást, így az egyszerű tények is kitörölhetők az emlékezetből. A paralelogramma definíciója a lecke 3. példájában található A vektorok lineáris (nem) függése. A vektorok alapja.

Harmadik lépés: Készítsünk egy rajzot, amelyen három ismert csúcsot jelölünk. Vicces, hogy nem nehéz azonnal megszerkeszteni a kívánt pontot:

Megkonstruálni persze jó, de a megoldást analitikusan kell megfogalmazni.

Negyedik lépés: Megoldási algoritmus kidolgozása. Az első dolog, ami eszünkbe jut, az az, hogy egy pont megtalálható egyenesek metszéspontjaként. Nem ismerjük az egyenleteiket, ezért ezzel a kérdéssel kell foglalkoznunk:

1) A szemközti oldalak párhuzamosak. Pontok szerint Keressük meg ezen oldalak irányvektorát. Ez a legegyszerűbb probléma, amelyet az órán megvitattak. Vektorok bábokhoz.

Jegyzet: Helyesebb azt mondani, hogy „egy oldalt tartalmazó egyenes egyenlete”, de itt és a továbbiakban a rövidség kedvéért az „oldal egyenlete”, „egy oldal irányvektora” stb.

3) A szemközti oldalak párhuzamosak. A pontok felhasználásával megkeressük ezen oldalak irányvektorát.

4) Hozzunk létre egy egyenes egyenletet egy pont és egy irányvektor segítségével

Az 1-2 és 3-4 bekezdésekben tulajdonképpen kétszer oldottuk meg ugyanazt a problémát, egyébként a lecke 3. példájában volt szó róla. A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel. Lehetett hosszabb utat megtenni - először keresse meg az egyenesek egyenleteit, és csak ezután „húzza ki” belőlük az irányvektorokat.

5) Most már ismertek az egyenesek egyenletei. Már csak a megfelelő lineáris egyenletrendszer összeállítása és megoldása van hátra (lásd ugyanezen lecke 4., 5. példáját). A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel).

A lényeg megvan.

A feladat meglehetősen egyszerű és a megoldása kézenfekvő, de van rövidebb út is!

Második megoldás:

A paralelogramma átlóit metszéspontjuk felezi. Megjelöltem a pontot, de hogy ne legyen összezavarva a rajz, magukat az átlókat nem rajzoltam meg.

Hozzuk létre az oldal egyenletét pontról pontra:

Az ellenőrzéshez gondolatban vagy tervezetben be kell cserélnie az egyes pontok koordinátáit a kapott egyenletbe. Most keressük meg a lejtőt. Ehhez átírjuk az általános egyenletet meredekségi együtthatójú egyenlet formájában:

Így a lejtő:

Hasonlóképpen megtaláljuk az oldalak egyenleteit. Nem látom sok értelmét ugyanazt leírni, ezért azonnal közlöm a kész eredményt:

2) Határozza meg az oldal hosszát! Ez az osztály legegyszerűbb problémája. Vektorok bábokhoz. Pontokért képletet használjuk:

Ugyanezt a képletet használva könnyű megtalálni a többi oldal hosszát. Az ellenőrzés nagyon gyorsan elvégezhető egy rendes vonalzóval.

A képletet használjuk .

Keressük a vektorokat:

És így:

Egyébként útközben megtaláltuk az oldalak hosszát.

Ennek eredményeként:

Nos, úgy tűnik, ez igaz; hogy meggyőző legyen, rögzíthetsz egy szögmérőt a sarokba.

Figyelem! Ne keverje össze a háromszög szögét az egyenesek közötti szöggel. A háromszög szöge lehet tompa, de az egyenesek közötti szög nem (lásd a cikk utolsó bekezdését A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel). A háromszög szögének meghatározásához azonban használhatja a fenti leckében szereplő képleteket is, de az érdesség az, hogy ezek a képletek mindig hegyesszöget adnak meg. Segítségükkel tervezetben megoldottam ezt a problémát, és meg is lett az eredmény. A végső példányra pedig további kifogásokat kellene felírnom, hogy .

4) Írjon egyenletet az egyenessel párhuzamos ponton átmenő egyenesre!

A lecke 2. számú példájában részletesen tárgyalt standard feladat A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel. Az egyenes általános egyenletéből Vegyük ki a vezetővektort. Hozzunk létre egy egyenes egyenletet egy pont és egy irányvektor segítségével:

Hogyan lehet megtalálni a háromszög magasságát?

5) Hozzunk létre egyenletet a magasságra, és keressük meg a hosszát.

A szigorú definíciók elől nincs menekvés, így egy iskolai tankönyvből kell lopnod:

Háromszög magassága A háromszög csúcsából a szemközti oldalt tartalmazó egyenesre húzott merőlegesnek nevezzük.

Azaz egyenletet kell alkotni a csúcsból oldalra húzott merőlegesre. Ezt a feladatot a lecke 6., 7. példái tárgyalják A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel. Az Eq. távolítsa el a normál vektort. Állítsuk össze a magassági egyenletet egy pont és egy irányvektor segítségével:

Felhívjuk figyelmét, hogy nem ismerjük a pont koordinátáit.

Néha a magassági egyenletet a merőleges egyenesek szögegyütthatóinak arányából találjuk meg: . Ebben az esetben akkor: . Állítsuk össze a magassági egyenletet egy pont és egy szögegyüttható segítségével (lásd a lecke elejét Egyenlet egy síkon):

A magasság hosszát kétféleképpen lehet megállapítani.

Van egy körforgalom:

a) find – a magasság és az oldal metszéspontja;
b) határozza meg a szakasz hosszát két ismert pont segítségével.

De az osztályban A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel egy kényelmes képletet vettek figyelembe a pont és az egyenes távolságára. A lényeg ismert: , az egyenes egyenlete is ismert: , És így:

6) Számítsa ki a háromszög területét! A térben a háromszög területét hagyományosan a segítségével számítják ki vektorok vektorszorzata, de itt egy háromszöget kapunk egy síkon. Az iskolai képletet használjuk:
- Egy háromszög területe egyenlő az alapja és a magassága szorzatának felével.

Ebben az esetben:

Hogyan találjuk meg a háromszög mediánját?

7) Hozzuk létre a medián egyenletét.

Egy háromszög mediánja A háromszög csúcsát a szemközti oldal közepével összekötő szakasznak nevezzük.

a) Keresse meg a pontot - az oldal közepét. Használjuk egy szakasz felezőpontjának koordinátáinak képletei. A szakasz végeinek koordinátái ismertek: , akkor a középpont koordinátái:

És így:

Állítsuk össze pontról pontra a medián egyenletet :

Az egyenlet ellenőrzéséhez be kell cserélni a pontok koordinátáit.

8) Keresse meg a magasság és a medián metszéspontját! Azt hiszem, már mindenki megtanulta, hogyan kell a műkorcsolya ezen elemét elesés nélkül végrehajtani: