Négydimenziós kocka rajzolására szolgáló program. Tesseract és n-dimenziós kockák általában Négydimenziós kockaforgatás

Ha Ön a Bosszúállók filmek rajongója, az első dolog, ami eszébe juthat a „Tesseract” szó hallatán, a Végtelen kő átlátszó kocka alakú edénye, amely határtalan erőt rejt magában.

A Marvel Univerzum rajongói számára a Tesseract egy ragyogó kék kocka, amely nemcsak a Földről, hanem más bolygókról is megbolondítja az embereket. Ezért gyűlt össze az összes Bosszúálló, hogy megvédje a földieket a Tesseract rendkívül pusztító hatalmától.

Ezt azonban el kell mondani: A Tesseract egy tényleges geometriai fogalom, pontosabban egy alakzat, amely a 4D-ben létezik. Ez nem csak egy kék kocka a Bosszúállóktól... ez egy igazi koncepció.

A Tesseract egy 4 dimenziós tárgy. Mielőtt azonban részletesen elmagyaráznánk, kezdjük elölről.

Mi az a "mérés"?

Mindenki hallotta már a 2D és 3D kifejezéseket, amelyek kétdimenziós vagy háromdimenziós objektumokat jelentenek a térben. De mik ezek a mérések?

A dimenzió egyszerűen egy irány, amelyen haladhatsz. Például, ha vonalat rajzol egy papírra, léphet balra/jobbra (x-tengely) vagy fel/le (y-tengely). Tehát azt mondjuk, hogy a papír kétdimenziós, mert csak két irányba lehet menni.

A 3D-ben van egyfajta mélység.

Most a való világban a fent említett két irányon (balra/jobbra és fel/le) kívül is lehet menni "oda/ból". Következésképpen a mélység érzése hozzáadódik a 3D térhez. Ezért mondjuk, hogy a valódi élet háromdimenziós.

Egy pont 0 dimenziót jelenthet (mivel nem mozog semmilyen irányban), egy vonal 1 dimenziót (hosszat), egy négyzet 2 dimenziót (hosszat és szélességet), a kocka 3 dimenziót (hossz, szélesség és magasság) jelenthet. ).

Vegyünk egy 3D kockát, és cseréljük ki minden lapját (amelyek jelenleg négyzetek) egy kockára. És aztán! A kapott forma a tesserakt.

Mi az a tesserakt?

Egyszerűen fogalmazva, a tesserakt egy kocka 4 dimenziós térben. Azt is mondhatjuk, hogy egy kocka 4D analógja. Ez egy 4D-s alakzat, ahol minden lap egy kocka.

Két merőleges sík körül kettős elforgatást végrehajtó tesserakt 3D vetülete.
Kép: Jason Hise

Íme egy egyszerű módszer a méretek fogalmi meghatározására: a négyzet kétdimenziós; ezért minden sarkában 2-2 vonal nyúlik ki belőle 90 fokos szöget bezáróan egymással szemben. A kocka 3D-s, így minden sarkából 3-3 vonal jön ki belőle. Hasonlóképpen, a tesserakt 4D-s alakzat, tehát minden sarkon 4 vonal nyúlik ki belőle.

Miért nehéz elképzelni egy tesseraktot?

Mivel mi, emberek úgy fejlődtünk, hogy három dimenzióban vizualizáljuk az objektumokat, bárminek, ami extra dimenziókba kerül, például 4D, 5D, 6D stb., nincs sok értelme számunkra, mert egyáltalán nem tudjuk bemutatni őket. Agyunk nem tudja megérteni a 4. dimenziót a térben. Egyszerűen nem gondolhatunk rá.

Azonban az, hogy nem tudjuk elképzelni a többdimenziós terek fogalmát, nem jelenti azt, hogy nem is létezhet.

Matematikailag a tesserakt tökéletesen pontos alakzat. Hasonlóképpen, minden magasabb dimenziójú forma, azaz az 5D és a 6D is matematikailag elfogadható.

Ahogy egy kocka 6 négyzetre bővíthető a 2D-s térben, egy tesserakt 8 kockára bővíthető a 3D-s térben.

Meglepő és érthetetlen, nem?

Tehát a tesserakt egy "igazi fogalom", amely matematikailag teljesen hihető, nem csak a fényes kék kocka, amiért a Bosszúállók filmekben harcolnak.

Hiperkocka és plátói szilárdtestek

Modellezzünk egy csonka ikozaédert („futballlabdát”) a „Vektor” rendszerben
amelyben minden ötszöget hatszögek határolnak

Csonka ikozaéderúgy érhető el, hogy 12 csúcsot levágunk, hogy szabályos ötszög formájú lapokat képezzünk. Ebben az esetben az új poliéder csúcsainak száma 5-szörösére nő (12×5=60), 20 háromszöglap szabályos hatszöggé változik (összesen arcok 20+12=32 lesznek), A az élek száma 30+12×5=90-re nő.

Csonka ikozaéder felépítésének lépései a Vector rendszerben

Ábrák 4 dimenziós térben.

--à

--à ?

Például adott egy kockát és egy hiperkockát. Egy hiperkockának 24 lapja van. Ez azt jelenti, hogy egy 4 dimenziós oktaédernek 24 csúcsa lesz. Bár nem, egy hiperkockának 8 kockája van – mindegyiknek van egy középpontja a csúcsán. Ez azt jelenti, hogy egy 4 dimenziós oktaédernek 8 csúcsa lesz, ami még világosabb.

4 dimenziós oktaéder. Nyolc egyenlő oldalú és egyenlő tetraéderből áll,
minden csúcson négy köti össze.

Rizs. Kísérlet a szimulációra
hiperszféra-hiperszféra a Vector rendszerben

Elülső - hátsó felületek - golyók torzítás nélkül. További hat golyó határozható meg ellipszoidokon vagy négyzetes felületeken (4 kontúrvonalon keresztül generátorként) vagy lapokon keresztül (először generátorokon keresztül).

További technikák a hiperszféra „építésére”.
- ugyanaz a „futballlabda” 4 dimenziós térben

2. függelék

A konvex poliédereknél van egy tulajdonság, amely összefügg a csúcsok, élek és lapok számával, amelyet Leonhard Euler 1752-ben bizonyított, és ezt Euler-tételnek nevezik.

A megfogalmazás előtt vegyük figyelembe az általunk ismert poliédereket, és töltsük ki a következő táblázatot, amelyben B az adott poliéder csúcsainak, P - éleinek és G - lapjainak száma:

Poliéder név
Háromszög alakú piramis
Négyszögletű piramis
Háromszög prizma
Négyszögletű prizma
n-szénpiramis	n+1	2n	n+1
n-szén prizma	2n	3n	n+2
n-szén csonka piramis	2n	3n	n+2

Ebből a táblázatból azonnal kiderül, hogy minden kiválasztott poliéderre érvényes a B - P + G = 2 egyenlőség, és kiderül, hogy ez az egyenlőség nem csak ezekre a poliéderekre érvényes, hanem egy tetszőleges konvex poliéderre is.

Euler-tétel. Bármely konvex poliéderre érvényes az egyenlőség

B - P + G = 2,

ahol B a csúcsok száma, P az élek száma és G az adott poliéder lapjainak száma.

Bizonyíték. Ennek az egyenlőségnek a bizonyítására képzeljük el ennek a poliédernek a rugalmas anyagból készült felületét. Távolítsuk el (vágjuk ki) az egyik lapját, és a maradék felületet nyújtsuk síkra. Kapunk egy sokszöget (amelyet a poliéder eltávolított lapjának élei alkotnak), amelyet kisebb sokszögekre osztanak (amelyeket a poliéder fennmaradó lapjai alkotnak).

Ne feledje, hogy a sokszögek oldalai deformálhatók, nagyíthatók, kicsinyíthetők vagy akár görbíthetők is, mindaddig, amíg nincsenek hézagok az oldalakon. A csúcsok, élek és lapok száma nem változik.

Bizonyítsuk be, hogy a sokszög eredményül kapott felosztása kisebb sokszögekre kielégíti az egyenlőséget

(*)B - P + G " = 1,

ahol B a csúcsok teljes száma, P az élek teljes száma és Г " a partícióban lévő sokszögek száma. Nyilvánvaló, hogy Г " = Г - 1, ahol Г az adott lapok száma poliéder.

Bizonyítsuk be, hogy a (*) egyenlőség nem változik, ha egy adott partíció valamelyik sokszögébe átlót húzunk (5. ábra, a). Valójában egy ilyen átló megrajzolása után az új partíciónak B csúcsa, P+1 éle lesz, és a sokszögek száma eggyel nő. Ezért van

B - (P + 1) + (G "+1) = B - P + G " .

Ezt a tulajdonságot felhasználva olyan átlókat rajzolunk, amelyek a bejövő sokszögeket háromszögekre bontják, és a kapott partícióra megmutatjuk az egyenlőség (*) megvalósíthatóságát (5. ábra, b). Ehhez egymás után eltávolítjuk a külső éleket, csökkentve a háromszögek számát. Ebben az esetben két eset lehetséges:

a) háromszög eltávolítására ABC esetünkben két bordát kell eltávolítani ABÉs IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.;

b) háromszög eltávolításaMKNesetünkben az egyik élt el kell távolítaniMN.

Az egyenlőség (*) mindkét esetben nem változik. Például az első esetben a háromszög eltávolítása után a gráf B - 1 csúcsokból, P - 2 élekből és G " - 1 sokszögből áll:

(B - 1) - (P + 2) + (G " - 1) = B - P + G".

Tekintse meg a második esetet.

Így egy háromszög eltávolítása nem változtatja meg a (*) egyenlőséget. Folytatva a háromszögek eltávolításának folyamatát, végül eljutunk egy olyan partícióhoz, amely egyetlen háromszögből áll. Egy ilyen partícióra B = 3, P = 3, Г " = 1, és ezért B – Р + Г " = 1. Ez azt jelenti, hogy a (*) egyenlőség az eredeti partícióra is érvényes, amiből végül azt kapjuk, hogy a sokszög egyenlőség (*) erre a partíciójára igaz. Így az eredeti konvex poliéderre igaz a B - P + G = 2 egyenlőség.

Példa egy poliéderre, amelyre az Euler-reláció nem érvényes, Ennek a poliédernek 16 csúcsa, 32 éle és 16 lapja van. Így erre a poliéderre a B – P + G = 0 egyenlőség érvényes.

3. függelék.

A Film Cube 2: Hypercube sci-fi film, a Kocka című film folytatása.

Nyolc idegen ébred fel kocka alakú szobákban. A szobák egy négydimenziós hiperkockában helyezkednek el. A szobák folyamatosan mozognak a „kvantum teleportáción” keresztül, és ha bemászunk a következő szobába, nem valószínű, hogy visszatérünk az előzőhöz. Párhuzamos világok metszik egymást a hiperkockában, egyes helyiségekben másképp telik az idő, egyes helyiségek pedig halálcsapdák.

A film cselekménye nagyrészt megismétli az első rész történetét, ami néhány szereplő képében is megmutatkozik. A Nobel-díjas Rosenzweig, aki kiszámolta a hiperkocka pusztulásának pontos idejét, a hiperkocka helyiségeiben hal meg..

Kritika

Ha az első részben egy labirintusban raboskodó emberek próbáltak segíteni egymásnak, akkor ebben a filmben mindenki a magaért. Rengeteg felesleges speciális effektus (más néven csapda) van, amelyek semmilyen logikailag nem kötik össze a filmnek ezt a részét az előzővel. Azaz kiderül, hogy a Kocka 2 című film a jövő 2020-2030 egyfajta labirintusa, de nem 2000. Az első részben elméletileg mindenféle csapdát létrehozhat az ember. A második részben ezek a csapdák valamiféle számítógépes program, az úgynevezett „virtuális valóság”.

Pontok (±1, ±1, ±1, ±1). Más szavakkal, a következő halmazként ábrázolható:

A tesseraktot nyolc hipersík határolja, amelyeknek a tesserakttal való metszéspontja határozza meg a háromdimenziós lapjait (amelyek közönséges kockák). A nem párhuzamos 3D-s lapok mindegyike 2D-s lapokat (négyzeteket) alkot, és így tovább. Végül a tesseraktnak 8 3D lapja, 24 2D lapja, 32 éle és 16 csúcsa van.

Népszerű leírás

Próbáljuk elképzelni, hogyan fog kinézni egy hiperkocka anélkül, hogy elhagyná a háromdimenziós teret.

Egy egydimenziós „térben” - egy egyenesen - kiválasztunk egy L hosszúságú AB szakaszt. Az AB-tól L távolságra lévő kétdimenziós síkon rajzolunk vele párhuzamos DC szakaszt, és összekötjük a végeit. Az eredmény egy négyzet alakú CDBA. Ezt a műveletet a síkkal megismételve egy háromdimenziós CDBAGHFE kockát kapunk. A negyedik dimenzióban (az első háromra merőlegesen) lévő kockát L távolsággal eltolva kapjuk a CDBAGHFEKLJIOPNM hiperkockát.

Tesszarakt építése egy repülőgépen

Az AB egydimenziós szegmens a kétdimenziós négyzet CDBA oldalaként, a négyzet pedig a CDBAGHFE kocka oldalaként szolgál, ami viszont a négydimenziós hiperkocka oldala lesz. Egy egyenes szakasznak két határpontja van, a négyzetnek négy csúcsa, a kockának nyolc. Egy négydimenziós hiperkockában így 16 csúcs lesz: 8 csúcsa az eredeti kockának és 8 a negyedik dimenzióban eltoltnak. 32 éle van - 12 az eredeti kocka kezdeti és végső helyzetét adja meg, további 8 él pedig „rajzolja” a nyolc csúcsát, amelyek a negyedik dimenzióba kerültek. Ugyanez az érvelés elvégezhető egy hiperkocka arcára is. A kétdimenziós térben csak egy van (maga a négyzet), egy kockának 6 van (az áthelyezett négyzetből két lap és további négy, amelyek az oldalait írják le). A négydimenziós hiperkockának 24 négyzetlapja van – az eredeti kocka 12 négyzete két pozícióban és 12 négyzet a tizenkét élétől.

Ahogy a négyzet oldalai 4 egydimenziós szegmens, a kocka oldalai (lapjai) pedig 6 kétdimenziós négyzet, úgy a „négydimenziós kocka” (tesseract) oldalai 8 háromdimenziós kocka. . A tesserakt kocka ellentétes párjainak terei (vagyis azok a háromdimenziós terek, amelyekhez ezek a kockák tartoznak) párhuzamosak. Az ábrán ezek a kockák: CDBAGHFE és KLJIOPNM, CDBAKLJI és GHFEOPNM, EFBAMNJI és GHDCOPLK, CKIAGOME és DLJBHPNF.

Hasonló módon folytathatjuk okoskodásunkat a nagyobb dimenziójú hiperkockákkal kapcsolatban, de sokkal érdekesebb látni, hogyan fog kinézni nekünk, a háromdimenziós tér lakóinak egy négydimenziós hiperkocka. Ehhez a már ismert analógiás módszert fogjuk használni.

Vegyük az ABCDHEFG drótkockát, és nézzük meg félszemmel a széle felől. A síkon két négyzetet fogunk látni és rajzolni (közeli és távoli élét), amelyeket négy vonal köt össze - oldalélek. Hasonlóképpen, egy négydimenziós hiperkocka háromdimenziós térben úgy fog kinézni, mint két köbös „doboz”, amelyeket egymásba helyeznek, és nyolc éllel vannak összekötve. Ebben az esetben maguk a „dobozok” - háromdimenziós lapok - a „mi” terünkre vetülnek, és az őket összekötő vonalak a negyedik tengely irányába nyúlnak. Megpróbálhatja azt is, hogy a kockát nem vetítésben, hanem térbeli képben képzelje el.

Ahogy a háromdimenziós kockát egy négyzet alkotja, amelyet a lapja hosszával eltolunk, a negyedik dimenzióba eltolt kocka hiperkockát alkot. Nyolc kocka korlátozza, amelyek távlatilag meglehetősen összetett figurának tűnnek. Maga a négydimenziós hiperkocka végtelen számú kockából áll, ahogy egy háromdimenziós kockát is végtelen számú lapos négyzetre lehet „vágni”.

Egy háromdimenziós kocka hat lapjának levágásával lapos figurává bonthatja - egy fejlesztés. Az eredeti lap mindkét oldalán lesz egy négyzet, plusz még egy – a vele szemben lévő arc. A négydimenziós hiperkocka háromdimenziós fejlesztése pedig az eredeti kockából fog állni, hat kockából „növekszik” belőle, plusz még egyből - a végső „hiperfelületből”.

A tesserakt tulajdonságai az alacsonyabb dimenziójú geometriai alakzatok tulajdonságainak folytatását jelentik a négydimenziós térben.

Előrejelzések

A kétdimenziós térbe

Ezt a szerkezetet nehéz elképzelni, de lehetséges a tesseraktum kétdimenziós vagy háromdimenziós terekbe vetítése. Ráadásul síkra vetítve könnyen megérthető a hiperkocka csúcsainak elhelyezkedése. Ily módon lehetőség nyílik olyan képek beszerzésére, amelyek már nem tükrözik a tesszelektumon belüli térbeli kapcsolatokat, de a csúcskapcsolati struktúrát illusztrálják, mint az alábbi példákban:

A harmadik képen a tesszekrakt izometriában látható, az építési ponthoz viszonyítva. Ez az ábrázolás akkor érdekes, ha egy tesseract-ot használunk egy topológiai hálózat alapjaként több processzor összekapcsolásához párhuzamos számításokban.

A háromdimenziós térbe

Egy tesszekrakt háromdimenziós térre vetített egyik vetülete két egymásba ágyazott háromdimenziós kockát ábrázol, amelyek megfelelő csúcsait szegmensek kötik össze. A belső és külső kockák háromdimenziós térben eltérő méretűek, de négydimenziós térben egyenlő kockák. Az összes tesserakt kocka egyenlőségének megértéséhez egy forgó tesserakt modellt hoztak létre.

• A hat csonka piramis a tesserakt szélei mentén egyforma hat kocka képe. Azonban ezek a kockák a tesszekrakthoz, mint a négyzetek (lapok) egy kockához. Valójában azonban a tesserakt végtelen számú kockára osztható, ahogy egy kockát végtelen számú négyzetre, vagy egy négyzetet végtelen számú szegmensre.

A tesserakt másik érdekes vetülete a háromdimenziós térre egy rombikus dodekaéder, amelynek négy átlója a rombuszok nagy szögeiben ellentétes csúcspárokat köt össze. Ebben az esetben a tesserakt 16 csúcsából 14 a rombikus dodekaéder 14 csúcsába vetül, és a maradék 2 vetületei a középpontjában esnek egybe. A háromdimenziós térre való ilyen vetítésben az összes egydimenziós, kétdimenziós és háromdimenziós oldal egyenlősége és párhuzamossága megmarad.

Sztereó pár

A tesserakt sztereó párját két vetületként ábrázolják a háromdimenziós térben. A tesserakt ezen képét úgy tervezték, hogy a mélységet negyedik dimenzióként jelenítse meg. A sztereó párt úgy nézi meg, hogy mindkét szem csak egyet lát e képek közül, és egy sztereoszkópikus kép jelenik meg, amely reprodukálja a tesserakt mélységét.

Tesseact kicsomagolás

A tesserakt felülete nyolc kockára bontható (hasonlóan ahhoz, ahogy egy kocka felülete hat négyzetre bontható). 261 különböző tesseract minta létezik. A tesszekrakt kibontása kiszámítható az összefüggő szögek grafikonon történő ábrázolásával.

Tesseract a művészetben

• Edwina A. "New Abbott Plain" című művében a hiperkocka narrátorként működik.
• A Jimmy Neutron kalandjai című film egyik epizódjában a "fiú zseni" Jimmy feltalál egy négydimenziós hiperkockát, amely megegyezik Robert Heinlein Glory Road (1963) című regényének összehajtható dobozával.
• Robert E. Heinlein legalább három tudományos-fantasztikus történetben említette a hiperkockákat. A "The House of Four Dimensions" ("The House That Teal Built") című művében egy házat írt le, amelyet kicsomagolt tesseraktnak építettek, majd egy földrengés következtében a negyedik dimenzióban "összecsukódott" és "igazi" tesseraktummá vált. .
• Heinlein Glory Road című regénye egy hiper méretű dobozt ír le, amely belül nagyobb volt, mint kívül.
• Henry Kuttner „All Tenali Borogov” című története egy oktatójátékot ír le a távoli jövőből származó gyerekeknek, szerkezetében hasonló egy tesserakthoz.
• Alex Garland () regényében a "tesseract" kifejezést egy négydimenziós hiperkocka háromdimenziós kibontására használják, nem pedig magát a hiperkockát. Ez egy metafora, amely azt hivatott megmutatni, hogy a kognitív rendszernek tágabbnak kell lennie, mint a megismerhetőnek.
• A Cube 2 cselekménye: A Hypercube középpontjában nyolc idegen áll, akik egy "hiperkockában" vagy összekapcsolt kockák hálózatában rekedtek.
• Az Andromeda című televíziós sorozat tesseract generátorokat használ cselekményeszközként. Elsősorban a tér és az idő manipulálására szolgálnak.
• Salvador Dali ("A keresztrefeszítés") festménye (Corpus Hypercubus).
• A Nextwave képregény egy járművet ábrázol, amely 5 tesseract zónát tartalmaz.
• A Voivod Nothingface albumon az egyik szerzemény az „In my hypercube” címet viseli.
• Anthony Pearce Route Cube című regényében a Nemzetközi Fejlesztési Szövetség egyik keringő holdját három dimenzióba tömörített tesseraktnak nevezik.
• A „Black Hole School” sorozat harmadik évadában van egy „Tesseract” epizód. Lucas megnyom egy titkos gombot, és az iskola elkezd „matematikai mozaikszerű alakot ölteni”.
• A „cseszrakt” kifejezés és származéka a „cseszrakt” Madeleine L’Engle „A ránc az időben” című történetében található.
• A TesseracT egy brit djent zenekar neve.
• A Marvel Cinematic Universe filmsorozatban a Tesseract kulcsfontosságú cselekményelem, egy hiperkocka formájú kozmikus műtárgy.
• Robert Sheckley „Egérkisasszony és a negyedik dimenzió” című történetében egy ezoterikus író, a szerző ismerőse úgy próbálja meglátni a tesseraktumot, hogy órákon át bámulja az általa tervezett eszközt: egy lábon lévő golyót, amelybe rudak vannak beledugva. mely kockák vannak felszerelve, mindenféle ezoterikus szimbólumokkal átragasztva. A történet Hinton munkáját említi.
• Az Első Bosszúálló, A Bosszúállók című filmekben. Tesseract - az egész univerzum energiája

Más nevek

• Hexadekachoron Hexadekachoron)
• Octochoron (angol) Octachoron)
• Tetracube
• 4-kocka
• Hiperkocka (ha a dimenziók száma nincs megadva)

Megjegyzések

Irodalom

• Charles H. Hinton. Negyedik dimenzió, 1904. ISBN 0-405-07953-2
• Martin Gardner, Matematikai karnevál, 1977. ISBN 0-394-72349-X
• Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Linkek

Oroszul

• Transformator4D program. Négydimenziós objektumok (beleértve a Hypercube-ot is) háromdimenziós vetületeinek modelljeinek kialakítása.
• Egy program, amely egy tesseract felépítését és annak összes affin transzformációját valósítja meg, forráskóddal C++ nyelven.

Angolul

• Mushware Limited – tesseract kimeneti program ( Tesseact Trainer, GPLv2-vel kompatibilis licenc) és egy első személyű lövöldözős játék négydimenziós térben ( Adanaxis; a grafika főleg háromdimenziós; Az operációs rendszer adattáraiban GPL-verzió található).

Poliéder
Helyes (Plátói szilárd anyagok)
Csillagszerű dodekaéder Csillagszerű ikozidodekaéder Csillagszerű ikozaéder Csillagszerű poliéder Csillagszerű oktaéder
Konvex	Arkhimédeszi szilárd testek Kubooktaéder Ikozidodekaéder Csonka tetraéder Csonka oktaéder Csonka ikozaéder Csonka kocka Csonka dodekaéder Rombikuboktaéder Rombicicosidodekaéder Rombikus csonka kubtaéder Rombikus csonka kubtaéder Skrombikus csonka csonka ikozidoubo Csonka és kosidodekaéder Szabályos prizma Antiprizma Katalán testek Rhombododekaéder Rombothriakontaéder Triakiszthetraéder Tetrakishexaéder Pentakiszdodekaéder Triakiszoktaéder Triakizikozaéder Deltoidális ikozitetraéder Deltoidális hexexontaéder Ötszög ikozitéder Ötszögletű ikozitetraéder Pentagonális hexekaéder Diszgontaéder Teljes térbeli szimmetria nélkül Piramisprizma Bipiramis Antiprizma Zonoéder Párhuzamos csonka romboéder Prismatoid Csonka piramis Pentagondodekaéder Paralleloéder
Képletek, tételek, elméletek
Egyéb

A Tesseract egy négydimenziós hiperkocka – egy kocka négydimenziós térben.
Az Oxford Dictionary szerint a tesseract szót Charles Howard Hinton (1853-1907) találta ki és használta 1888-ban A New Age of Thought című könyvében. Később egyesek ugyanezt az alakot tetrakockának (görögül τετρα - négy) - négydimenziós kockának nevezték.
Az euklideszi négydimenziós tér közönséges tesseraktumát pontok (±1, ±1, ±1, ±1) konvex héjaként határozzuk meg. Más szavakkal, a következő halmazként ábrázolható:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = A tesseraktumot nyolc hipersík korlátozza: x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , amelyek metszéspontja maga a tesserakt határozza meg a 3D-s lapokat (amelyek szabályos kockák) A nem párhuzamos 3D-s lapok mindegyike metszi egymást, és 2D-s lapokat (négyzeteket) alkot stb. csúcsok.
Népszerű leírás
Próbáljuk elképzelni, hogyan fog kinézni egy hiperkocka anélkül, hogy elhagyná a háromdimenziós teret.
Egy egydimenziós „térben” - egy egyenesen - kiválasztunk egy L hosszúságú AB szakaszt. Az AB-tól L távolságra lévő kétdimenziós síkon rajzolunk vele párhuzamos DC szakaszt, és összekötjük a végeit. Az eredmény egy négyzet alakú CDBA. Ezt a műveletet a síkkal megismételve egy háromdimenziós CDBAGHFE kockát kapunk. A negyedik dimenzióban (az első háromra merőlegesen) lévő kockát L távolsággal eltolva kapjuk a CDBAGHFEKLJIOPNM hiperkockát.
Az AB egydimenziós szegmens a kétdimenziós négyzet CDBA oldalaként, a négyzet pedig a CDBAGHFE kocka oldalaként szolgál, ami viszont a négydimenziós hiperkocka oldala lesz. Egy egyenes szakasznak két határpontja van, a négyzetnek négy csúcsa, a kockának nyolc. Egy négydimenziós hiperkockában így 16 csúcs lesz: 8 csúcsa az eredeti kockának és 8 a negyedik dimenzióban eltoltnak. 32 éle van - 12 az eredeti kocka kezdeti és végső helyzetét adja meg, további 8 él pedig „rajzolja” a nyolc csúcsát, amelyek a negyedik dimenzióba kerültek. Ugyanez az érvelés elvégezhető egy hiperkocka arcára is. A kétdimenziós térben csak egy van (maga a négyzet), egy kockának 6 van (az áthelyezett négyzetből két lap és további négy, amelyek az oldalait írják le). A négydimenziós hiperkockának 24 négyzetlapja van – az eredeti kocka 12 négyzete két pozícióban és 12 négyzet a tizenkét élétől.
Ahogy a négyzet oldalai 4 egydimenziós szegmens, a kocka oldalai (lapjai) pedig 6 kétdimenziós négyzet, úgy a „négydimenziós kocka” (tesseract) oldalai 8 háromdimenziós kocka. . A tesserakt kocka ellentétes párjainak terei (vagyis azok a háromdimenziós terek, amelyekhez ezek a kockák tartoznak) párhuzamosak. Az ábrán ezek a kockák: CDBAGHFE és KLJIOPNM, CDBAKLJI és GHFEOPNM, EFBAMNJI és GHDCOPLK, CKIAGOME és DLJBHPNF.
Hasonló módon folytathatjuk okoskodásunkat a nagyobb dimenziójú hiperkockákkal kapcsolatban, de sokkal érdekesebb látni, hogyan fog kinézni nekünk, a háromdimenziós tér lakóinak egy négydimenziós hiperkocka. Ehhez a már ismert analógiás módszert fogjuk használni.
Vegyük az ABCDHEFG drótkockát, és nézzük meg félszemmel a széle felől. A síkon két négyzetet fogunk látni és rajzolni (közeli és távoli élét), amelyeket négy vonal köt össze - oldalélek. Hasonlóképpen, egy négydimenziós hiperkocka háromdimenziós térben úgy fog kinézni, mint két köbös „doboz”, amelyeket egymásba helyeznek, és nyolc éllel vannak összekötve. Ebben az esetben maguk a „dobozok” - háromdimenziós lapok - a „mi” terünkre vetülnek, és az őket összekötő vonalak a negyedik tengely irányába nyúlnak. Megpróbálhatja azt is, hogy a kockát nem vetítésben, hanem térbeli képben képzelje el.
Ahogy a háromdimenziós kockát egy négyzet alkotja, amelyet a lapja hosszával eltolunk, a negyedik dimenzióba eltolt kocka hiperkockát alkot. Nyolc kocka korlátozza, amelyek távlatilag meglehetősen összetett figurának tűnnek. Maga a négydimenziós hiperkocka végtelen számú kockából áll, ahogy egy háromdimenziós kockát is végtelen számú lapos négyzetre lehet „vágni”.
Egy háromdimenziós kocka hat lapjának levágásával lapos figurává bonthatja - egy fejlesztés. Az eredeti lap mindkét oldalán lesz egy négyzet, plusz még egy – a vele szemben lévő arc. A négydimenziós hiperkocka háromdimenziós fejlesztése pedig az eredeti kockából fog állni, hat kockából „növekszik” belőle, plusz még egyből - a végső „hiperfelületből”.
A tesserakt tulajdonságai az alacsonyabb dimenziójú geometriai alakzatok tulajdonságainak folytatását jelentik a négydimenziós térben.

A geometriában hiperkocka- Ezt n-egy négyzet dimenziós analógiája ( n= 2) és kocka ( n= 3). Ez egy zárt konvex ábra, amely párhuzamos vonalak csoportjaiból áll, amelyek az ábra szemközti élein helyezkednek el, és derékszögben kapcsolódnak egymáshoz.

Ez az alak más néven tesserakt(tesserakt). A tesserakt a kockához, mint a kocka a négyzethez. Formálisabban a tesseraktot szabályos konvex négydimenziós politópként (poliéderként) írhatjuk le, amelynek határa nyolc köbös cellából áll.

Az Oxford English Dictionary szerint a "tesseract" szót 1888-ban Charles Howard Hinton találta ki, és "A New Era of Thought" című könyvében használta. A szó a görög „τεσσερες ακτινες” („négy sugár”) szóból származik, négy koordinátatengely formájában. Ezenkívül egyes forrásokban ugyanezt az alakot nevezték el tetrakocka(tetrakocka).

n-dimenziós hiperkockának is nevezik n-kocka.

A pont egy 0 méretű hiperkocka. Ha a pontot egy hosszegységgel eltolja, akkor egy egységnyi hosszúságú szakaszt kap - egy 1-es méretű hiperkockát. Továbbá, ha a szakaszt egy hosszegységnyivel eltolja merőleges irányban a szegmens irányába, egy kockát kapunk - egy 2-es méretű hiperkockát. A négyzetet a négyzet síkjára merőleges irányban egy hosszegységgel eltolva egy kockát kapunk - egy 3-as méretű hiperkockát. tetszőleges számú dimenzióra általánosítható. Például, ha egy kockát a negyedik dimenzióban egy hosszegységgel mozgat, akkor egy tesseraktet kap.

A hiperkocka család azon kevés szabályos poliéder egyike, amely bármilyen dimenzióban ábrázolható.

A hiperkocka elemei

Dimenziós hiperkocka n van 2 n„oldalak” (egy egydimenziós vonalnak 2 pontja van; egy kétdimenziós négyzetnek 4 oldala van; egy háromdimenziós kockának 6 lapja van; egy négydimenziós tesseraktnak 8 cellája van). Egy hiperkocka csúcsainak (pontjainak) száma 2 n(például egy kockához - 2 3 csúcs).

Mennyiség m-dimenziós hiperkockák a határon n-kocka egyenlő

Például egy hiperkocka határán 8 kocka, 24 négyzet, 32 él és 16 csúcs található.

A hiperkockák elemei

n-kocka	Név	Csúcs (0-arc)	Él (1-arcú)	Él (2-arcú)	Sejt (3-arcú)	(4-arcú)	(5-arcú)	(6 oldalas)	(7-arcú)	(8-arcú)
0-kocka	Pont	1
1-kocka	Vonalszakasz	2	1
2-kocka	Négyzet	4	4	1
3 kockás	Kocka	8	12	6	1
4 kockás	Tesseact	16	32	24	8	1
5 kockás	Penteract	32	80	80	40	10	1
6 kockás	Hexeract	64	192	240	160	60	12	1
7-kocka	Hepteract	128	448	672	560	280	84	14	1
8 kockás	Octeract	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-kocka	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Kivetítés egy síkra

A hiperkocka kialakítása a következőképpen ábrázolható:

• Két A és B pont összekapcsolható AB szakaszra.
• Két párhuzamos AB és CD szegmens összekapcsolható, így négyzet alakú ABCD képződik.
• Két párhuzamos négyzet ABCD és EFGH összekapcsolható ABCDEFGH kockává.
• Két párhuzamos ABCDEFGH és IJKLMNOP kocka összekapcsolható az ABCDEFGHIJKLMNOP hiperkockává.

Ez utóbbi szerkezetet nem könnyű megjeleníteni, de elképzelhető, hogy kétdimenziós vagy háromdimenziós térbe való vetülete ábrázolható. Sőt, a kétdimenziós síkra vetítések hasznosabbak lehetnek, ha lehetővé teszik a vetített csúcsok helyzetének átrendezését. Ilyenkor lehetőség nyílik olyan képek beszerzésére, amelyek már nem a tesseraktuson belüli elemek térbeli viszonyait tükrözik, hanem a csúcskapcsolatok felépítését szemléltetik, mint az alábbi példákban.

Az első illusztráció azt mutatja be, hogy elvileg hogyan jön létre a tesseraktum két kocka összekapcsolásával. Ez a séma hasonló a két négyzetből kocka létrehozásához. A második diagram azt mutatja, hogy a tesserakt összes éle azonos hosszúságú. Ez a séma arra kényszeríti Önt is, hogy egymáshoz kapcsolódó kockákat keressen. A harmadik diagramban a tesszekrakt csúcsai a lapok alsó pontjához viszonyított távolságainak megfelelően helyezkednek el. Ez a séma azért érdekes, mert a párhuzamos számítások szervezésekor a processzorok csatlakoztatásának hálózati topológiájának alapsémaként használják: a két csomópont közötti távolság nem haladja meg a 4 élhosszt, és a terhelés kiegyenlítésére számos különböző út létezik.

Hiperkocka a művészetben

A hiperkocka 1940 óta jelenik meg a tudományos-fantasztikus irodalomban, amikor Robert Heinlein az „És épített egy görbe házat” című történetében egy tesserakt szkennelés formájában épített házat írt le. A történetben ez a Next, ez a ház összedől, és négydimenziós tesseraktummá változik. Ezt követően a hiperkocka számos könyvben és novellában megjelenik.

A Cube 2: Hypercube című film nyolc emberről szól, akik a hiperkockák hálózatában rekedtek.

Salvador Dali "Crucifixion (Corpus Hypercubus)" 1954-ben készült festménye a keresztre feszített Jézust ábrázolja egy tesserakt szkennelésen. Ez a festmény a New York-i Metropolitan Museum of Art-ban látható.

Következtetés

A hiperkocka az egyik legegyszerűbb négydimenziós objektum, amelyből látható a negyedik dimenzió bonyolultsága és szokatlansága. És ami három dimenzióban lehetetlennek tűnik, az lehetséges négy, például lehetetlen figurában. Így például egy négydimenziós lehetetlen háromszög rúdjai derékszögben kapcsolódnak egymáshoz. És ez az ábra minden nézőpontból így fog kinézni, és nem torzul, ellentétben a lehetetlen háromszög háromdimenziós térben való megvalósításával (lásd.