Mutassa be a „hogyan kell csinálni” kifejezést hatalom formájában. Hatványkifejezések (hatványos kifejezések) és átalakításuk
Tekintsük a kifejezések hatványokkal történő átalakításának témáját, de először nézzünk meg számos olyan transzformációt, amelyek bármilyen kifejezéssel végrehajthatók, beleértve a hatványos kifejezéseket is. Megtanuljuk a zárójelek nyitását, hasonló kifejezések hozzáadását, a bázisok és kitevők használatát, valamint a hatványok tulajdonságainak használatát.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Mik azok a hatalom kifejezései?
Az iskolai tanfolyamokon kevesen használják az „erőteljes kifejezések” kifejezést, de ez a kifejezés folyamatosan megtalálható az egységes államvizsgára való felkészülés gyűjteményében. A legtöbb esetben a kifejezések olyan kifejezéseket jelölnek, amelyek bejegyzéseikben fokozatok vannak. Ezt fogjuk tükrözni definíciónkban.
1. definíció
Erő kifejezés olyan kifejezés, amely képességeket tartalmaz.
Nézzünk néhány példát a hatványkifejezésekre, kezdve a természetes kitevővel rendelkező hatványtól és a valós kitevővel rendelkező hatványtól kezdve.
A legegyszerűbb hatványkifejezések természetes kitevővel rendelkező szám hatványainak tekinthetők: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 − 1, (a 2) 3 . És a nulla kitevővel rendelkező hatványok is: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 − 3, 2 0. És a negatív egész hatványokkal rendelkező hatványok: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.
Kicsit nehezebb olyan fokozattal dolgozni, amelynek racionális és irracionális kitevői vannak: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x π · x 1 - π , 2 3 3 + 5 .
A mutató lehet a 3 x - 54 - 7 3 x - 58 változó vagy a logaritmus x 2 · l g x − 5 · x l g x.
Foglalkoztunk azzal a kérdéssel, hogy mik a hatalom kifejezései. Most kezdjük el konvertálni őket.
A hatványkifejezések transzformációinak főbb típusai
Mindenekelőtt a kifejezések hatalmi kifejezésekkel végrehajtható alapvető identitástranszformációit nézzük meg.
1. példa
Számítsa ki egy hatványkifejezés értékét! 2 3 (4 2 – 12).
Megoldás
Minden átalakítást a cselekvési sorrendnek megfelelően fogunk végrehajtani. Ebben az esetben a zárójelben lévő műveletek végrehajtásával kezdjük: a fokozatot digitális értékre cseréljük, és kiszámoljuk két szám különbségét. Nekünk van 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.
Csak a diplomát kell lecserélnünk 2 3 a jelentése 8 és kiszámítja a szorzatot 8 4 = 32. Íme a válaszunk.
Válasz: 2 3 · (4 2 - 12) = 32 .
2. példa
Egyszerűsítse a kifejezést a képességekkel 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7.
Megoldás
A problémafelvetésben nekünk adott kifejezés hasonló kifejezéseket tartalmaz, amelyeket megadhatunk: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.
Válasz: 3 · a 4 · b − 7 − 1 + 2 · a 4 · b − 7 = 5 · a 4 · b − 7 − 1.
3. példa
Fejezd ki a kifejezést 9 - b 3 · π - 1 2 hatványokkal szorzatként!
Megoldás
Képzeljük el a 9-es számot hatványként 3 2 és alkalmazzuk a rövidített szorzási képletet:
9 - b 3 π - 1 2 = 3 2 - b 3 π - 1 2 = = 3 - b 3 π - 1 3 + b 3 π - 1
Válasz: 9 - b 3 · π - 1 2 = 3 - b 3 · π - 1 3 + b 3 · π - 1 .
Most térjünk át azon identitás-transzformációk elemzésére, amelyek kifejezetten a hatványkifejezésekre alkalmazhatók.
Munka bázissal és kitevővel
Az alap vagy kitevő foka számokat, változókat és néhány kifejezést tartalmazhat. Például, (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7És . Az ilyen rekordokkal nehéz dolgozni. Sokkal egyszerűbb a fok alapjában vagy a kitevőben lévő kifejezést egy azonos kifejezéssel helyettesíteni.
A fokszám és a kitevő átalakítása az általunk ismert szabályok szerint, egymástól elkülönítve történik. A legfontosabb, hogy a transzformáció az eredetivel azonos kifejezést eredményezzen.
Az átalakítások célja az eredeti kifejezés leegyszerűsítése vagy a probléma megoldása. Például a fent megadott példában (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 követheti a lépéseket a fokozat eléréséhez. 4 , 1 1 , 3 . A zárójelek megnyitásával a hatvány alapjához hasonló kifejezéseket adhatunk (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1)és kapjunk egy egyszerűbb formájú erőkifejezést a 2 (x + 1).
Fokozattulajdonságok használata
A hatványok egyenlőségek formájában írt tulajdonságai az egyik fő eszköz a kifejezések hatványokkal történő átalakítására. Itt bemutatjuk a főbbeket, ennek figyelembevételével aÉs b pozitív számok, és rÉs s- tetszőleges valós számok:
2. definíció
- a r · a s = a r + s ;
- a r: a s = a r − s ;
- (a · b) r = a r · b r ;
- (a: b) r = a r: b r ;
- (a r) s = a r · s.
Azokban az esetekben, amikor természetes, egész, pozitív kitevőkkel van dolgunk, az a és b számokra vonatkozó korlátozások sokkal kevésbé szigorúak lehetnek. Tehát például, ha az egyenlőséget vesszük figyelembe a m · a n = a m + n, Ahol mÉs n természetes számok, akkor ez igaz lesz az a bármely értékére, legyen az pozitív és negatív, valamint a a = 0.
A hatványok tulajdonságai korlátozás nélkül használhatók olyan esetekben, amikor a hatványok alapjai pozitívak, vagy olyan változókat tartalmaznak, amelyek megengedett értéktartománya olyan, hogy az alapok csak pozitív értékeket vesznek fel. Valójában az iskolai matematika tananyagban a tanuló feladata a megfelelő tulajdonság kiválasztása és helyes alkalmazása.
Az egyetemi felvételi előkészítés során olyan problémákkal találkozhat, amelyeknél a tulajdonságok pontatlan alkalmazása a DL szűküléséhez és egyéb megoldási nehézségekhez vezet. Ebben a részben csak két ilyen esetet vizsgálunk meg. A témával kapcsolatos további információk a „Kifejezések konvertálása a hatványok tulajdonságaival” témakörben találhatók.
4. példa
Képzeld el a kifejezést a 2 , 5 (a 2) − 3: a − 5 , 5 bázissal rendelkező hatalom formájában a.
Megoldás
Először a hatványozás tulajdonságát használjuk, és a második tényezőt transzformáljuk ennek segítségével (a 2) – 3. Ezután a szorzás és a hatványosztás tulajdonságait ugyanazzal az alappal használjuk:
a 2 , 5 · a - 6: a - 5 , 5 = a 2 , 5 - 6: a - 5 , 5 = a - 3 , 5: a - 5 , 5 = a - 3 , 5 - ( - 5 , 5) = a 2 .
Válasz: a 2, 5 · (a 2) − 3: a − 5, 5 = a 2.
A hatványkifejezések átalakítása a hatványok tulajdonságai szerint történhet balról jobbra és ellenkező irányban is.
5. példa
Határozzuk meg a 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 hatványkifejezés értékét!
Megoldás
Ha egyenlőséget alkalmazunk (a · b) r = a r · b r, jobbról balra 3 · 7 1 3 · 21 2 3, majd 21 1 3 · 21 2 3 alakú szorzatot kapunk. Adjuk össze a kitevőket, amikor hatványokat szorozunk azonos bázisokkal: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.
Van egy másik módja az átalakításnak:
3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Válasz: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
6. példa
Adott egy hatalmi kifejezés a 1, 5 - a 0, 5 - 6, írjon be egy új változót t = a 0,5.
Megoldás
Képzeljük el a fokozatot egy 1, 5 Hogyan a 0,5 3. A fokok tulajdonságainak használata a fokokra (a r) s = a r · s jobbról balra, és megkapjuk (a 0, 5) 3: a 1, 5 − a 0, 5 − 6 = (a 0, 5) 3 − a 0, 5 − 6. Könnyedén bevezethet egy új változót a kapott kifejezésbe t = a 0,5: kapunk t 3 − t − 6.
Válasz: t 3 − t − 6 .
Hatványokat tartalmazó törtek konvertálása
Általában a törteket tartalmazó hatványkifejezések két változatával foglalkozunk: a kifejezés hatványos törtet reprezentál, vagy ilyen törtet tartalmaz. A törtek minden alapvető transzformációja korlátozás nélkül alkalmazható az ilyen kifejezésekre. Csökkenthetők, új nevezőre hozhatók, vagy külön dolgozhatók fel a számlálóval és a nevezővel. Illusztráljuk ezt példákkal.
7. példa
Egyszerűsítse a 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 hatványkifejezést.
Megoldás
Törttel van dolgunk, ezért a számlálóban és a nevezőben is transzformációkat hajtunk végre:
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
Tegyen egy mínusz jelet a tört elé a nevező előjelének megváltoztatásához: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
Válasz: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
A hatványokat tartalmazó törtek ugyanúgy új nevezőre redukálódnak, mint a racionális törtek. Ehhez meg kell találni egy további tényezőt, és meg kell szorozni vele a tört számlálóját és nevezőjét. Ki kell választani egy további tényezőt oly módon, hogy az eredeti kifejezés ODZ-változói közül egyetlen változó értékénél ne menjen nullára.
8. példa
Csökkentse a törteket új nevezőre: a) a + 1 a 0, 7 a nevezőre a, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 az x + 8 · y 1 2 nevezőhöz.
Megoldás
a) Válasszunk ki egy olyan tényezőt, amellyel új nevezőre redukálhatunk. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, ezért további tényezőként vesszük a 0, 3. Az a változó megengedett értékeinek tartománya tartalmazza az összes pozitív valós szám halmazát. Végzettség ezen a területen a 0, 3 nem megy nullára.
Szorozzuk meg egy tört számlálóját és nevezőjét ezzel a 0, 3:
a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a
b) Figyeljünk a nevezőre:
x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
Ezt a kifejezést szorozzuk meg x 1 3 + 2 · y 1 6-tal, megkapjuk az x 1 3 és a 2 · y 1 6 kockák összegét, azaz. x + 8 · y 1 2 . Ez az új nevezőnk, amelyre csökkentenünk kell az eredeti törtet.
Így találtuk meg az x 1 3 + 2 · y 1 6 járulékos tényezőt. A változók megengedett értékeinek tartományáról xÉs y az x 1 3 + 2 y 1 6 kifejezés nem tűnik el, ezért a tört számlálóját és nevezőjét megszorozhatjuk vele:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 év 1 6 + 4 év 1 3 = = x 1 3 + 2 év 1 6 x 1 3 + 2 év 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 év 1 6 + 4 év 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
Válasz: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .
9. példa
Csökkentse a törtet: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.
Megoldás
a) Használjuk a legnagyobb közös nevezőt (GCD), amellyel csökkenthetjük a számlálót és a nevezőt. A 30-as és 45-ös számoknál 15. Ezzel is csökkenthetjük x0,5+1és x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 -on.
Kapunk:
30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)
b) Itt az azonos tényezők jelenléte nem nyilvánvaló. Néhány átalakítást végre kell hajtania, hogy ugyanazokat a tényezőket kapja a számlálóban és a nevezőben. Ehhez kibővítjük a nevezőt a négyzetek különbségi képletével:
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
Válasz: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .
A törtekkel végzett alapvető műveletek közé tartozik a törtek átalakítása új nevezőre és a törtek csökkentése. Mindkét műveletet számos szabály betartásával hajtják végre. Törtek összeadásakor és kivonásakor először a törteket közös nevezőre redukáljuk, majd a műveleteket (összeadás vagy kivonás) hajtjuk végre a számlálókkal. A nevező ugyanaz marad. Műveleteink eredménye egy új tört, melynek számlálója a számlálók szorzata, nevezője pedig a nevezők szorzata.
10. példa
Végezze el a következő lépéseket: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .
Megoldás
Kezdjük azzal, hogy kivonjuk a zárójelben lévő törteket. Hozzuk őket közös nevezőre:
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
Vonjuk ki a számlálókat:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2
Most megszorozzuk a törteket:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
Csökkentsük egy hatványral x 1 2, 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 -et kapunk.
Ezenkívül egyszerűsítheti a hatványkifejezést a nevezőben a négyzetek különbségi képletével: négyzetek: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .
Válasz: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
11. példa
Egyszerűsítse a hatványtörvény kifejezést x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3.
Megoldás
Ezzel csökkenthetjük a törtet (x 2, 7 + 1) 2. Az x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1 törtet kapjuk.
Folytassuk az x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 hatványainak transzformációját. Most már használhatja az osztóhatványok tulajdonságát ugyanazokkal az alapokkal: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .
Az utolsó szorzatról az x 1 3 8 x 2, 7 + 1 törtre lépünk.
Válasz: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
A legtöbb esetben kényelmesebb a negatív kitevővel rendelkező tényezők átvitele a számlálóból a nevezőbe és vissza, megváltoztatva a kitevő előjelét. Ez a művelet lehetővé teszi a további döntés egyszerűsítését. Mondjunk egy példát: az (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 hatványkifejezés helyettesíthető x 3 · (x + 1) 0, 2-vel.
Kifejezések konvertálása gyökökkel és hatványokkal
A feladatokban vannak olyan hatványkifejezések, amelyek nemcsak törtkitevőjű hatványokat tartalmaznak, hanem gyököket is. Célszerű az ilyen kifejezéseket csak gyökerekre vagy csak hatványokra redukálni. Érdemes diplomát szerezni, mivel könnyebb velük dolgozni. Ez az átmenet különösen előnyös, ha az eredeti kifejezés változóinak ODZ-je lehetővé teszi a gyökök hatványokkal való helyettesítését anélkül, hogy hozzá kellene férnie a modulushoz, vagy fel kellene osztania az ODZ-t több intervallumra.
12. példa
Fejezd ki az x 1 9 · x · x 3 6 kifejezést hatványként.
Megoldás
Megengedett változó értékek tartománya x két egyenlőtlenség határozza meg x ≥ 0és x x 3 ≥ 0, amelyek meghatározzák a halmazt [ 0 , + ∞) .
Ezen a halmazon jogunk van a gyökerektől a hatalmak felé haladni:
x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6
A hatványok tulajdonságait felhasználva leegyszerűsítjük a kapott hatványkifejezést.
x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
Válasz: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3 .
Hatványok átalakítása változókkal a kitevőben
Ezeket a transzformációkat meglehetősen könnyű elvégezni, ha helyesen használjuk a fokozat tulajdonságait. Például, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.
Helyettesíthetjük hatványok szorzatával, amelyek kitevői valamilyen változó és egy szám összege. A bal oldalon ezt a kifejezés bal oldalának első és utolsó tagjával lehet megtenni:
5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0.
Most osszuk el az egyenlőség mindkét oldalát 7 2 x. Ez a kifejezés az x változóra csak pozitív értékeket vesz fel:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0
Hatványokkal csökkentsük a törteket, így kapjuk: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.
Végül az azonos kitevőjű hatványok arányát az arányok hatványaira cseréljük, így az 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 egyenletet kapjuk, amely 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x egyenletet kap. - 2 = 0.
Vezessünk be egy új t = 5 7 x változót, amely az eredeti exponenciális egyenlet megoldását az 5 · t 2 − 3 · t − 2 = 0 másodfokú egyenlet megoldására redukálja.
Kifejezések konvertálása hatványokkal és logaritmusokkal
Hatványokat és logaritmusokat tartalmazó kifejezések is megtalálhatók a feladatokban. Példa az ilyen kifejezésekre: 1 4 1 - 5 · log 2 3 vagy log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Az ilyen kifejezések transzformációja a logaritmusok fentebb tárgyalt megközelítési módjaival és tulajdonságaival történik, amelyeket részletesen a „Logaritmikus kifejezések transzformációja” témakörben tárgyaltunk.
Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt
Kifejezések, kifejezéskonverzió
Hatványkifejezések (hatványos kifejezések) és átalakításuk
Ebben a cikkben a kifejezések hatványokkal történő konvertálásáról fogunk beszélni. Először is azokra az átalakításokra fogunk összpontosítani, amelyeket bármilyen kifejezéssel hajtanak végre, beleértve az erőkifejezéseket is, mint például a zárójelek megnyitása és a hasonló kifejezések hozása. Ezután elemezzük a kifejezetten a fokszámú kifejezésekben rejlő transzformációkat: az alappal és a kitevővel való munka, a fokok tulajdonságainak felhasználása stb.
Oldalnavigáció.
Mik azok a hatalom kifejezései?
A „hatalmi kifejezések” kifejezés az iskolai matematika tankönyvekben gyakorlatilag nem jelenik meg, de a feladatgyűjteményekben igen gyakran előfordul, különösen azokban, amelyek például az egységes államvizsgára és az egységes államvizsgára való felkészülést szolgálják. Azokat a feladatokat elemezve, amelyekben erőkifejezésekkel kell műveleteket végrehajtani, világossá válik, hogy a hatalomkifejezések olyan kifejezések alatt értendők, amelyek bejegyzéseikben hatalmat tartalmaznak. Ezért elfogadhatja magának a következő definíciót:
Meghatározás.
Hatalom kifejezések fokokat tartalmazó kifejezések.
Adjunk példák a hatalom kifejezéseire. Sőt, aszerint is bemutatjuk őket, hogy hogyan történik a nézetek fejlődése a természetes kitevős fokról a valós kitevős fokra.
Mint ismeretes, először egy természetes kitevős szám hatványával ismerkedünk meg, ebben a szakaszban a 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) típusú első legegyszerűbb hatványkifejezések. 4, 3 a 2 jelenik meg −a+a 2, x 3−1, (a 2) 3 stb.
Kicsit később egy egész kitevőjű szám hatványát tanulmányozzuk, ami negatív egész hatványú hatványkifejezések megjelenéséhez vezet, például: 3 −2, 
, a −2 +2 b −3 +c 2 .
A középiskolában visszatérnek a diplomához. Ott egy racionális kitevővel rendelkező fokozat kerül bevezetésre, ami a megfelelő hatványkifejezések megjelenését vonja maga után: 
, , 
stb. Végül az irracionális kitevővel rendelkező fokokat és az ezeket tartalmazó kifejezéseket tekintjük: , .
A dolog nem korlátozódik a felsorolt hatványkifejezésekre: tovább hatol a változó a kitevőbe, és például a következő kifejezések keletkeznek: 2 x 2 +1 ill. 
. És miután megismerkedtünk a -val, megjelennek a hatványokkal és logaritmusokkal rendelkező kifejezések, például x 2·lgx −5·x lgx.
Tehát foglalkoztunk azzal a kérdéssel, hogy mit jelentenek a hatalom kifejezései. Ezután megtanuljuk átalakítani őket.
A hatványkifejezések transzformációinak főbb típusai
A hatványkifejezésekkel elvégezheti a kifejezések bármely alapvető azonosság-transzformációját. Például megnyithat zárójeleket, lecserélheti a numerikus kifejezéseket azok értékére, hozzáadhat hasonló kifejezéseket stb. Természetesen ebben az esetben a műveletek végrehajtására vonatkozó elfogadott eljárást kell követni. Mondjunk példákat.
Példa.
Számítsa ki a 2 3 ·(4 2 −12) hatványkifejezés értékét!
Megoldás.
A műveletek végrehajtási sorrendjének megfelelően először hajtsa végre a zárójelben lévő műveleteket. Ott először a 4 2 hatványt 16-os értékére cseréljük (ha szükséges, lásd), másodszor pedig kiszámítjuk a 16−12=4 különbséget. Nekünk van 2 3 · (4 2 -12) = 2 3 · (16 - 12) = 2 3 · 4.
A kapott kifejezésben a 2 3 hatványt 8-as értékére cseréljük, ami után kiszámítjuk a 8·4=32 szorzatot. Ez a kívánt érték.
Így, 2 3 · (4 2 -12) = 2 3 · (16 - 12) = 2 3 · 4 = 8 · 4 = 32.
Válasz:
2 3 ·(4 2 −12)=32.
Példa.
Leegyszerűsítse a kifejezéseket erőkkel 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
Megoldás.
Nyilvánvaló, hogy ez a kifejezés hasonló 3·a 4 ·b −7 és 2·a 4 ·b −7 kifejezéseket tartalmaz, és bemutathatjuk őket: .
Válasz:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
Példa.
Fejezzen ki egy kifejezést hatványokkal szorzatként.
Megoldás.
Megbirkózhat a feladattal, ha a 9-es számot 3 2 hatványaként ábrázolja, majd a rövidített szorzás - négyzetkülönbség képletét használja: 
Válasz:
Számos azonos transzformáció is létezik, amelyek kifejezetten az erőkifejezésekben rejlenek. Ezeket tovább elemezzük.
Munka bázissal és kitevővel
Vannak fokok, amelyek bázisa és/vagy kitevője nem csak számok vagy változók, hanem bizonyos kifejezések. Példaként adjuk meg a (2+0.3·7) 5−3.7 és az (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) bejegyzéseket.
Amikor ilyen kifejezésekkel dolgozik, mind a fokalapban, mind a kitevőben lévő kifejezést lecserélheti egy azonos kifejezésre a változóinak ODZ-jében. Vagyis az általunk ismert szabályok szerint külön transzformálhatjuk a fokszám alapját és külön a kitevőt. Nyilvánvaló, hogy ennek az átalakításnak az eredményeként egy olyan kifejezést kapunk, amely megegyezik az eredetivel.
Az ilyen átalakítások lehetővé teszik számunkra, hogy egyszerűsítsük a kifejezéseket, vagy más célokat érjünk el, amelyekre szükségünk van. Például a fent említett hatványkifejezésben (2+0,3 7) 5-3,7 az alapban és a kitevőben lévő számokkal hajthatunk végre műveleteket, amelyek lehetővé teszik, hogy a 4,1 1,3 hatványra lépjünk. És miután kinyitjuk a zárójeleket és hasonló tagokat hozunk az (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) fok alapjába, egy egyszerűbb formájú a 2·(x+) hatványkifejezést kapunk. 1) .
Fokozattulajdonságok használata
A kifejezések hatványokkal történő átalakításának egyik fő eszköze a tükröző egyenlőségek. Emlékezzünk a főbbekre. Bármilyen pozitív a és b számra, valamint tetszőleges r és s valós számokra a hatványok következő tulajdonságai igazak:
- a r ·a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a · b) r =a r · b r ;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r·s .
Vegye figyelembe, hogy természetes, egész és pozitív kitevők esetén az a és b számokra vonatkozó korlátozások nem feltétlenül olyan szigorúak. Például m és n természetes számokra az a m ·a n =a m+n egyenlőség nemcsak pozitív a-ra, hanem negatív a-ra is igaz, és a=0-ra is.
Az iskolában az erőkifejezések átalakításakor a fő hangsúly a megfelelő tulajdonság kiválasztásának és helyes alkalmazásának képességén van. Ebben az esetben a fokok alapjai általában pozitívak, ami lehetővé teszi a fokok tulajdonságainak korlátozás nélküli használatát. Ugyanez vonatkozik a hatványok alapjaiban változókat tartalmazó kifejezések transzformációjára is - a változók megengedett értékeinek tartománya általában olyan, hogy az alapok csak pozitív értékeket vesznek fel rajta, ami lehetővé teszi a hatványok tulajdonságainak szabad használatát . Általában állandóan fel kell kérdezni magától, hogy ebben az esetben használható-e a fokozatok bármely tulajdonsága, mert a tulajdonságok pontatlan használata az oktatási érték beszűküléséhez és egyéb problémákhoz vezethet. Ezeket a pontokat részletesen és példákkal tárgyaljuk a kifejezések transzformációja a hatványok tulajdonságaival című cikkben. Itt néhány egyszerű példára szorítkozunk.
Példa.
Fejezzük ki az a 2.5 ·(a 2) −3:a −5.5 kifejezést a bázisú hatványként.
Megoldás.
Először a második tényezőt (a 2) −3 alakítjuk át a hatvány hatványra emelésének tulajdonságával: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Az eredeti hatványkifejezés a 2.5 ·a −6:a −5.5 formában lesz. Nyilvánvalóan hátra van, hogy a szorzás és a hatalommegosztás tulajdonságait ugyanazzal az alappal használjuk
a 2,5 ·a −6:a −5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .
Válasz:
a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.
A hatványok tulajdonságai a hatványkifejezések átalakításakor balról jobbra és jobbról balra egyaránt használatosak.
Példa.
Keresse meg a hatványkifejezés értékét!
Megoldás.
Az (a·b) r =a r ·b r egyenlőség jobbról balra alkalmazva lehetővé teszi, hogy az eredeti kifejezésről a forma szorzatára és tovább lépjünk. És ha a hatványokat ugyanazokkal az alapokkal szorozzuk, a kitevők összeadódnak: 
.
Az eredeti kifejezést más módon is át lehetett alakítani: 
Válasz:
.
Példa.
Adott az a 1,5 −a 0,5 −6 hatványkifejezés, vezessen be egy új változót, t=a 0,5.
Megoldás.
Az a 1,5 fokot 0,5 3-ként ábrázolhatjuk, majd a fok (a r) s =a r s fokra vonatkozó tulajdonsága alapján, jobbról balra alkalmazva, transzformáljuk (a 0,5) 3 alakra. És így, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Most már könnyű bevezetni egy új változót, t=a 0,5, így kapjuk a t 3 −t−6.
Válasz:
t 3 −t−6 .
Hatványokat tartalmazó törtek konvertálása
A hatványkifejezések tartalmazhatnak vagy képviselhetnek hatványokkal rendelkező törteket. A törtek bármely alapvető transzformációja, amely bármilyen típusú törtben rejlik, teljes mértékben alkalmazható az ilyen törtekre. Vagyis a hatványokat tartalmazó törtek csökkenthetők, új nevezőre redukálhatók, külön dolgozhatók fel a számlálójukkal és külön a nevezővel stb. Ezeknek a szavaknak a szemléltetésére vegye figyelembe a megoldásokat több példára.
Példa.
Egyszerűsítse a hatalom kifejezését 
.
Megoldás.
Ez a hatványkifejezés egy töredék. Dolgozzunk a számlálójával és a nevezőjével. A számlálóban megnyitjuk a zárójeleket, és a hatványok tulajdonságaival egyszerűsítjük a kapott kifejezést, a nevezőben pedig hasonló kifejezéseket adunk meg: 
És változtassuk meg a nevező előjelét is úgy, hogy a tört elé mínuszt teszünk: 
.
Válasz:
.
A hatványokat tartalmazó törtek új nevezőre redukálása a racionális törtek új nevezőre való redukálásához hasonlóan történik. Ebben az esetben egy további tényezőt is találunk, és a tört számlálóját és nevezőjét megszorozzuk vele. Ennek a műveletnek a végrehajtásakor érdemes megjegyezni, hogy az új nevezőre való redukálás a VA szűküléséhez vezethet. Ennek elkerülése érdekében szükséges, hogy a kiegészítő tényező ne menjen nullára az eredeti kifejezés ODZ-változóiból származó változók egyetlen értékénél sem.
Példa.
Csökkentse a törteket új nevezőre: a) a nevezőre, b) 
a nevezőhöz.
Megoldás.
a) Ebben az esetben meglehetősen könnyű kitalálni, hogy melyik további szorzó segít elérni a kívánt eredményt. Ez egy 0,3 szorzója, mivel a 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. Vegye figyelembe, hogy az a változó megengedett értékeinek tartományában (ez az összes pozitív valós szám halmaza) a 0,3 hatványa nem tűnik el, ezért jogunk van egy adott számlálóját és nevezőjét megszorozni. töredék ezzel a kiegészítő tényezővel: 
b) Ha közelebbről megvizsgáljuk a nevezőt, akkor azt találjuk 
és ezt a kifejezést megszorozva a kocka és , azaz . És ez az új nevező, amelyre csökkentenünk kell az eredeti törtet.
Így találtunk egy további tényezőt. Az x és y változók elfogadható értékeinek tartományában a kifejezés nem tűnik el, ezért a tört számlálóját és nevezőjét megszorozhatjuk vele: 
Válasz:
A) 
, b) 
.
A hatványokat tartalmazó törtek redukálásában sincs semmi újdonság: a számlálót és a nevezőt több tényezőként ábrázoljuk, a számláló és a nevező azonos tényezőit pedig redukáljuk.
Példa.
Csökkentse a törtet: a) 
, b) .
Megoldás.
a) Először is, a számláló és a nevező csökkenthető a 30 és 45 számokkal, ami egyenlő 15-tel. Nyilvánvalóan lehetséges az x 0,5 +1-gyel és -kal való kicsinyítés is 
. Íme, amink van: 
b) Ebben az esetben a számlálóban és a nevezőben azonos tényezők nem láthatók azonnal. Megszerzésükhöz előzetes átalakításokat kell végrehajtania. Ebben az esetben a nevező faktorálásából áll a négyzetek különbségi képletével: 
Válasz:
A) 
b) 
.
A törtek új nevezőre való konvertálása és a törtek redukálása főként törtekkel való műveletekre szolgál. A műveleteket az ismert szabályok szerint hajtják végre. A törtek összeadásánál (kivonásánál) közös nevezőre redukálódnak, majd a számlálókat összeadják (kivonják), de a nevező változatlan marad. Az eredmény egy tört, amelynek a számlálója a számlálók szorzata, a nevező pedig a nevezők szorzata. A törttel való osztás az inverzével való szorzás.
Példa.
Kövesd a lépéseket 
.
Megoldás.
Először kivonjuk a zárójelben lévő törteket. Ehhez közös nevezőre hozzuk őket, ami az 
, ami után kivonjuk a számlálókat: 
Most megszorozzuk a törteket: 
Nyilvánvalóan lehetséges x 1/2 hatványával csökkenteni, ami után megvan 
.
A nevezőben a hatványkifejezést is egyszerűsítheti a négyzetek különbségi képletével: 
.
Válasz:
Példa.
Egyszerűsítse az erőkifejezést 
.
Megoldás.
Nyilvánvaló, hogy ez a tört (x 2,7 +1) 2-vel csökkenthető, ez adja a tört 
. Nyilvánvaló, hogy valami mást kell tenni X hatalmával. Ehhez a kapott frakciót szorzattá alakítjuk. Ez lehetőséget ad arra, hogy kihasználjuk a hatalmak azonos alapokon történő megosztásának tulajdonságát: 
. A folyamat végén pedig az utolsó szorzattól a töredékhez lépünk.
Válasz:
.
És tegyük hozzá azt is, hogy lehetséges és sok esetben kívánatos negatív kitevővel rendelkező tényezők átvitele a számlálóból a nevezőbe vagy a nevezőből a számlálóba, a kitevő előjelét megváltoztatva. Az ilyen átalakítások gyakran leegyszerűsítik a további műveleteket. Például egy hatványkifejezés helyettesíthető a következővel.
Kifejezések konvertálása gyökökkel és hatványokkal
Azokban a kifejezésekben, amelyekben bizonyos transzformációk szükségesek, gyakran a törtkitevővel rendelkező gyökök is jelen vannak a hatványokkal együtt. Ahhoz, hogy egy ilyen kifejezést a kívánt formára alakítsunk, a legtöbb esetben elegendő csak a gyökerekhez vagy csak a hatványokhoz menni. De mivel kényelmesebb az erőkkel dolgozni, általában a gyökerektől a hatalmak felé haladnak. Célszerű azonban egy ilyen átmenetet végrehajtani, ha az eredeti kifejezés változóinak ODZ-je lehetővé teszi a gyökök hatványokkal való helyettesítését anélkül, hogy a modulra kellene hivatkozni, vagy az ODZ-t több intervallumra fel kellene osztani (ezt részletesen tárgyaltuk a cikk átmenet a gyökökről a hatványokra és vissza A racionális kitevős fokozat megismerése után bevezetjük az irracionális kitevős fokozatot, amely lehetővé teszi, hogy tetszőleges reálkitevős fokozatról beszéljünk.Ebben a szakaszban az iskola elkezdi a tanulmány exponenciális függvény, amelyet analitikusan egy hatvány ad meg, amelynek alapja egy szám, kitevője pedig változó. Tehát olyan hatványkifejezésekkel állunk szemben, amelyek a hatványalapban számokat, a kitevőben pedig változókat tartalmazó kifejezéseket tartalmaznak, és természetesen felmerül az igény az ilyen kifejezések transzformációinak végrehajtására.
El kell mondani, hogy a jelzett típusú kifejezések transzformációját általában a megoldáskor kell végrehajtani exponenciális egyenletekÉs exponenciális egyenlőtlenségek, és ezek az átalakítások meglehetősen egyszerűek. Az esetek túlnyomó többségében a fokozat tulajdonságain alapulnak, és többnyire egy új változó jövőbeni bevezetésére irányulnak. Az egyenlet lehetővé teszi ezek bemutatását 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
Először is, a hatványokat, amelyek kitevőjében egy bizonyos változó (vagy változókkal rendelkező kifejezés) és egy szám összege szerepel, szorzatokkal helyettesítjük. Ez a bal oldalon lévő kifejezés első és utolsó tagjára vonatkozik:
5 2 x 5 1 -3 5 x 7 x -14 7 2 x 7 -1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
Ezután az egyenlőség mindkét oldalát elosztjuk a 7 2 x kifejezéssel, amely az x változó ODZ-jén az eredeti egyenlethez csak pozitív értékeket vesz fel (ez egy szabványos technika az ilyen típusú egyenletek megoldására, nem most beszélünk róla, ezért összpontosítson a kifejezések későbbi átalakításaira erővel ): 
Most törölhetjük a törteket hatványokkal, ami megadja 
.
Végül az azonos kitevőjű hatványok arányát relációk hatványai váltják fel, így az egyenlet 
, ami egyenértékű 
. Az elvégzett transzformációk lehetővé teszik egy új változó bevezetését, amely az eredeti exponenciális egyenlet megoldását egy másodfokú egyenlet megoldására redukálja
„Módszerek lineáris egyenletrendszerek megoldására” - Egyenlet. Kifejezés. Lineáris egyenletrendszerek megoldási módszerei. Megoldások. Helyettesítő módszer. Szám. Rendszerek megoldása. Meg fogjuk találni. Hozzáadás módja. Oldjuk meg a rendszert.
„Tényezősítési módszerek” - Algebrai törtek redukálása. Oldja meg az egyenletet. Polinomok faktorálása. Identitások. Főbb eredmények. Polinom faktorálása kombináció használatával. Nézzünk egy másik helyzetet. Használjuk a polinom faktorizálását. Az együtthatók legnagyobb közös osztója. Polinom faktorálása képletek segítségével. A közös tényezőt zárójelből kivéve. A faktorálás hasznos dolog.
„Fokozatok” 7. osztály” - Egyenletek megoldása. Keresse meg K-t az egyenletben, és mutassa be hatványként. Kiszámítja. 625. szám. Szóbeli számolás. Fejezd ki a kifejezést hatványként 7-es bázissal. Írd szabványos formában! Természetes kitevővel rendelkező fok tulajdonságai. Egyenlet modulussal. Megoldani a problémát. 64. szám. Óramenet. Az óra céljai. 729. szám. Próbamunka.
„A monomiális standard formája” – Olvassa el a kifejezéseket. Használjuk a szorzás kommutatív és asszociatív törvényeit. Az asztalon. Számok szorzata. Gondolj rá diplomának. Mit nevezünk a monom fokának? Új anyag összevonása. Kitevő. Esély. Konszolidáció. Praktikus munka. Egytagú. Töltse ki a táblázatot. A tanulók számítástechnikai ismeretei. Önálló munkavégzés. Alaposan nézd meg. Monomial és szabványos formája.
„A fokozat tulajdonságai természetes kitevővel” - A lecke epigráfiája. A hatványozás esetei. Sztori. Fizikai kultúra. Biológia. Természetes kitevővel rendelkező fok tulajdonságai. A kifejezéseket hatalomként fejezze ki. Szerkesztőségi. Pythagoras. Földrajz. Az órán megismételték az anyagot. Az elme gimnasztikája.
""Polinomok szorzása" 7. osztály" - Polinom szorzása polinommal. Polinomok szorzása. Házi feladat. Az óra céljai. Algoritmus polinomok szorzására. Polinom szorzása monommal. Szabály. Lecke a „Polinomok szorzása” témában. Dolgozzon a problémakönyv szerint. Szóbeli munka.
