A számsorok konvergenciájának jelei. Számsorok: definíciók, tulajdonságok, konvergencia jelei, példák, megoldások Sorok konvergenciájának kritériumai

Meghatározás 1.1. A közös taggal rendelkező számsorok összeadásjellel összekapcsolt számsorozatok, azaz a következő alak kifejezése:

Ez a sorozat formába is írható

Példa 1.1. Ha akkor a sorozat így néz ki:

Néha egy sorozat írásakor csak az első néhány tagot írnak le. Ez csak akkor történik meg, ha a sorozat tagjaira jellemző mintázat jól kivehető. Szigorúan véve a sorozat megadásának ez a módszere matematikailag nem helyes, mivel az általános tag képletének kinyerése egy sorozat első néhány tagjából olyan probléma, amelynek nincs egyedi megoldása.

Példa 1.2. Írjuk fel az egyik lehetséges képletet a sorozat általános tagjára, annak első 4 tagjának ismeretében:

Megoldás. Tekintsük először a 2, 5, 8, 11 számlálók sorozatát. Számtani sorozatot alkotnak, amelynek az első tagja 2, a különbség pedig 3. Ez lehetővé teszi az aritmetika általános tagjának képletét. progresszió, mint a számláló általános kifejezése: A 2, 6, 18, 54 nevezők geometriai progressziót alkotnak

Az első tag 2, a nevező pedig 3. Általános kifejezésüknek a geometriai haladás általános tagjának képletét vehetjük, így a sorozat általános tagjának alakja a következő lesz:

Meg kell jegyezni, hogy egy összetettebb kifejezést is fel lehet venni általános kifejezésnek

BEVEZETÉS

A módszertani kézikönyv a technikumi matematikatanároknak, valamint minden szak másodéves hallgatóinak szól.

Ez a cikk felvázolja a sorozatelmélet alapfogalmait. Az elméleti anyag megfelel a középfokú szakképzés állami oktatási szabványának (Orosz Föderáció Oktatási Minisztériuma. M., 2002) követelményeinek.

A teljes témára vonatkozó elméleti anyag bemutatását számos példa és probléma átgondolása kíséri, és hozzáférhető, a lehető legszigorúbb nyelven zajlik. A kézikönyv végén példák és feladatok találhatók, amelyeket a tanulók önellenőrzési módban hajthatnak végre.

A kézikönyv rész- és nappali tagozatos hallgatók számára készült.

Figyelembe véve a technikumi tanulók képzettségi szintjét, valamint a program által a felsőfokú matematika technikumi letételére szánt rendkívül korlátozott óraszámot (12 óra + 4 font), szigorú következtetések vonhatók le, amelyek nagy nehézségeket okoznak az asszimilációban. , kihagyjuk, a példák figyelembevételére szorítkozva.

ALAPFOGALMAK

Egy probléma matematikai értelemben, például különféle függvények, származékaik és integráljaik kombinációja formájában bemutatott megoldásának képesnek kell lennie „számra hozni”, ami legtöbbször végső válaszként szolgál. Erre a célra különféle módszereket dolgoztak ki a matematika különböző ágaiban.

A matematikának azt az ágát, amely lehetővé teszi, hogy bármilyen jól feltett problémát a gyakorlati felhasználáshoz kellő pontossággal megoldjon, sorozatelméletnek nevezzük.

Ha a matematikai elemzés néhány finom fogalma a sorozatelméleten kívül megjelent is, azonnal alkalmazták a sorozatokra, amelyek eszközül szolgáltak e fogalmak jelentőségének tesztelésére. Ez a helyzet a mai napig tart.

A forma kifejezése

ahol ;;;…;;… a sorozat tagjai; - nth vagy egy sorozat közös kifejezése, végtelen sorozatnak (sorozatnak) nevezzük.

Ha a sorozat tagjai:

I. Számsor

1.1. A számsorok alapfogalmai.

A számsorozat az alak összege

, (1.1)

ahol a sorozat tagjainak nevezett ,,,…,,… végtelen sorozatot alkot; kifejezést a sorozat közös tagjának nevezzük.

az (1.1) sorozat első tagjaiból összeállítottakat e sorozat részösszegeinek nevezzük.

Minden sor társítható részösszegek sorozatához .

Ha végtelen számnövekedéssel n Ha egy sorozat részösszege egy határhoz hajlik, akkor a sorozatot konvergensnek, a számot pedig egy konvergens sorozat összegének nevezzük, azaz.

Ez a bejegyzés egyenértékű a

.

Ha az (1.1) sorozat részösszege korlátlan növekedéssel n nincs véges határértéke (hajlamos vagy ), akkor egy ilyen sorozatot ún divergens .

Ha a sor konvergens , akkor az értéket egy kellően nagy n a sorozat összegének hozzávetőleges kifejezése S.

A különbséget a sorozat többi részének nevezzük. Ha egy sorozat konvergál, akkor a maradéka nullára hajlik, azaz és fordítva, ha a maradék nullára, akkor a sorozat konvergál.

1.2. Példák számsorokra.

Példa 1. Űrlapsorozat

(1.2)

hívott geometriai .

A geometriai sorozat tagjaiból geometriai sorozatot képeznek.

Ismeretes, hogy az összeg az első n tagjai Nyilvánvalóan: ezt n- sorozat (1.2) részösszege.

Lehetséges esetek:

Az (1.2) sorozat a következő formában jelenik meg:

,a sorozat eltér;

Az (1.2) sorozat a következő formában jelenik meg:

Nincs határ, a sorozat eltér egymástól.

- véges szám, a sorozat konvergál.

- a sorozat eltér.

Tehát ez a sorozat a -nál konvergál, és -nél divergál.

2. példa Űrlap sorozat

(1.3)

hívott harmonikus .

Írjuk fel ennek a sorozatnak a részösszegét:

Az összeg nagyobb, mint az alábbiak szerint bemutatott összeg:

vagy .

Ha akkor , vagy .

Ezért ha , akkor , azaz. a harmonikus sorozat szétválik.

3. példa Űrlap sorozat

(1.4)

hívott általánosított harmonikus .

Ha , akkor ez a sorozat harmonikus sorozattá alakul, ami divergens.

Ha , akkor ennek a sorozatnak a tagjai nagyobbak, mint a harmonikus sorozat megfelelő tagjai, és ezért eltér. Amikor van egy geometriai sorozatunk, amelyben ; ez konvergens.

Tehát az általánosított harmonikus sorozat a -nál konvergál, és -nél divergál.

1.3. A konvergenciához szükséges és elégséges kritériumok.

Egy sorozat konvergenciájának szükséges jele.

Egy sorozat csak akkor konvergálhat, ha a közös tagja nullára hajlik, ahogy a szám korlátlanul növekszik: .

Ha , akkor a sorozat eltér – ez elegendő jele a sorozat divergenciájának.

Elegendő jele egy pozitív tagú sorozat konvergenciájának.

A sorozatok pozitív kifejezésekkel való összehasonlításának jele.

A vizsgált sorozat akkor konvergál, ha tagjai nem haladják meg egy másik, nyilvánvalóan konvergens sorozat megfelelő tagjait; a vizsgált sorozat akkor divergál, ha tagjai meghaladják egy másik, nyilvánvalóan divergens sorozat megfelelő tagjait.

D'Alembert jele.

Ha pozitív feltételekkel rendelkező sorozathoz

a feltétel teljesül, akkor a sorozat a -nál konvergál és -nél divergál.

D'Alembert tesztje nem ad választ, ha . Ebben az esetben más technikákat alkalmaznak a sorozat tanulmányozására.

Feladatok.

Írjon sorozatot a megadott közös kifejezés alapján:

Feltéve, hogy ,,,… végtelen számsorozatunk van:

Feltételeit hozzáadva a sorozatot kapjuk

.

Ugyanezt csinálva megkapjuk a sorozatot

.

Az 1,2,3,... értékeket megadva, és figyelembe véve, hogy,,,..., megkapjuk a sorozatot

.

megtalálja n- sorozat tagja a megadott első tagok szerint:

A sorozat kifejezéseinek nevezői az elsőtől kezdve páros számok; ennélfogva, n- A sorozat th tagjának alakja .

A sorozat tagjainak számlálói természetes számsort alkotnak, a hozzájuk tartozó nevezők pedig természetes számsort, a hozzájuk tartozó nevezők pedig 3-tól kezdődő természetes számsort. Az előjelek a törvény szerint, ill. a törvényhez. Eszközök, n- a sorozat edik tagjának alakja . vagy .

Vizsgálja meg a sorozatok konvergenciáját a szükséges konvergencia- és összehasonlító teszttel:

;

.

Találunk .

Egy sorozat konvergenciájához szükséges kritérium teljesül, de a konvergencia kérdésének megoldásához szükséges a konvergencia egyik elégséges kritériumának alkalmazása. Hasonlítsuk össze ezt a sorozatot a geometriai sorozattal

,

ami konvergál, hiszen.

Összehasonlítva ennek a sorozatnak a tagjait a másodiktól kezdve a geometriai sorozat megfelelő tagjaival, megkapjuk az egyenlőtlenségeket

azok. ennek a sorozatnak a tagjai a másodiktól kezdve ennek megfelelően kisebbek, mint a geometriai sorozaté, ami azt jelenti, hogy ez a sorozat konvergál.

.

Itt teljesül egy sorozat divergenciájának elégséges kritériuma; ezért a sorozat szétválik.

Találunk .

A sorozat konvergálásához szükséges kritérium teljesül. Hasonlítsuk össze ezt a sorozatot az általánosított harmonikus sorozattal

,

ami konvergál, hiszen ezért az adott sorozat is konvergál.

Vizsgáljuk meg a sorozatok konvergenciáját d'Alembert-próbával:

;

.

Helyettesítve a sorozat közös kifejezésére n szám n+ 1, megkapjuk. Határozzuk meg a th tag arányának határát n- mu tag itt:

Ezért ez a sorozat konvergál.

Ez azt jelenti, hogy ez a sorozat eltér egymástól.

Azok. a sor eltér.

II. Váltakozó sorozatok

2.1 A váltakozó sorozatok fogalma.

Számsorozat

hívott váltakozó jel , ha tagjai között vannak pozitív és negatív számok is.

A számsort ún jeladó , ha bármely két szomszédos tag ellentétes előjelű.

ahol mindenkinek (vagyis olyan sorozatnak, amelynek pozitív és negatív tagjai sorra követik egymást). Például,

;

;

.

A váltakozó előjelű sorozatoknál a konvergencia elegendő jele van (leibniz 1714-ben állapította meg I. Bernoullinak írt levelében).

2.2 Leibniz-teszt. Sorozatok abszolút és feltételes konvergenciája.

Tétel (Leibniz-próba).

Egy váltakozó sorozat akkor konvergál, ha:

A sorozat tagjainak abszolút értékeinek sorrendje monoton csökken, pl. ;

A sorozat általános kifejezése nullára hajlik:.

Ebben az esetben a sorozat S összege kielégíti az egyenlőtlenségeket

Megjegyzések.

A forma váltakozó sorozatának tanulmányozása

(negatív első taggal) csökkentjük úgy, hogy az összes tagját megszorozzuk a sorozat tanulmányozásához .

Olyan sorozatokat nevezünk, amelyekre a Leibniz-tétel feltételei teljesülnek Leibnizian (vagy Leibniz sorozat).

Az arány lehetővé teszi, hogy egyszerű és kényelmes becslést kapjunk az összeg cseréjekor elkövetett hibáról S adott sorozatnak a részösszegével.

A kiselejtezett sorozat (maradék) is váltakozó sorozat , amelynek modulusának összege kisebb, mint ennek a sorozatnak az első tagja, vagyis a hiba kisebb, mint az elvetett tagok első tagjának modulusa.

Példa. Számítsa ki hozzávetőlegesen a sorozat összegét!

Megoldás: ez a sorozat Leibniz típusú. Passzol. Tudsz írni:

.

Öt tagot véve, i.e. helyettesíthető

Kövessünk el egy kisebb hibát

hogyan . Így,.

A váltakozó sorozatok esetében a következő általános elegendő konvergenciakritérium teljesül.

Tétel. Adjunk meg egy váltakozó sorozatot

Ha a sorozat konvergál

adott sorozat tagjainak moduljaiból áll össze, akkor maga a váltakozó sorozat konvergál.

A váltakozó előjelsorok Leibniz konvergencia tesztje elégséges kritériumként szolgál a váltakozó jelsorozatok konvergenciájához.

Egy váltakozó sorozatot ún abszolút konvergens , ha a tagjainak abszolút értékéből álló sorozat konvergál, pl. Minden abszolút konvergens sorozat konvergens.

Ha egy váltakozó sorozat konvergál, de a tagjainak abszolút értékéből álló sorozat eltér, akkor ezt a sorozatot ún. feltételesen (nem feltétlenül) konvergens.

2.3. Feladatok.

Vizsgálja meg (abszolút vagy feltételes) a váltakozó sorozatok konvergenciáját:

És

Ezért Leibniz kritériuma szerint a sorozatok konvergálnak. Nézzük meg, hogy ez a sorozat abszolút vagy feltételesen konvergál.

Sor , amely egy adott sorozat abszolút értékéből áll, egy harmonikus sorozat, amely eltér. Ezért ez a sorozat feltételesen konvergál.

Ennek a sorozatnak a feltételei monoton módon csökkennek abszolút értékben:

, De

.

A sorozat eltér, mert Leibniz tesztje nem állja meg a helyét.

Leibniz tesztjét használva azt kapjuk

;,

azok. a sorozat összefolyik.

.

Ez egy geometriai sorozat, amelynek alakja hol, amely összefolyik. Ezért ez a sorozat abszolút konvergál.

Leibniz tesztjét használva megvan

;

, azaz a sorozat összefolyik.

Tekintsünk egy sorozatot, amely ennek a sorozatnak a feltételeinek abszolút értékeiből áll:

, vagy

.

Ez egy általánosított harmonikus sorozat, amely eltér, mert. Ezért ez a sorozat feltételesen konvergál.

III. Funkcionális tartomány

3.1. A funkcionális sorozat fogalma.

Olyan sorozatot nevezünk, amelynek tagjai függvényei funkcionális :

Egy bizonyos értéket megadva számsort kapunk

amely lehet konvergens vagy divergens.

Ha az eredményül kapott számsor konvergál, akkor a pontot hívjuk konvergencia pont funkcionális tartomány; ha a sorozat eltér - eltérési pont funkcionális tartomány.

Az argumentum számértékeinek halmazát, amelynél a funkcionális sorozat konvergál, annak nevezzük konvergencia területe .

Egy funkcionális sorozat konvergencia tartományában összege a következő függvénye:.

A konvergencia régióban az egyenlőség határozza meg

, Ahol

Egy sorozat részösszege.

Példa. Keresse meg a sorozat konvergencia területét.

Megoldás. Ez a sorozat geometriai progresszió sorozata nevezővel. Következésképpen ez a sorozat -ban konvergál, i.e. mindenki előtt; a sorozat összege ;

, nál nél .

3.2. Teljesítmény sorozat.

A hatványsorozat az alak sorozata

,

hol vannak a számok hívják sorozat együtthatói , és a kifejezés a sorozat gyakori kifejezése.

Egy hatványsor konvergencia tartománya az összes olyan érték halmaza, amelyre a sorozat konvergál.

A számot hívják konvergencia sugár hatványsor, ha a sorozatok konvergálnak, sőt, abszolút, és a sorozatok eltérnek.

Határozzuk meg a konvergencia sugarát a d'Alembert-jel segítségével:

(nem függ)

azok. ha a hatványsor konvergál bármely, amely kielégíti ezt a feltételt, és divergál -ra.

Ebből következik, hogy ha van határ

,

akkor a sorozatok konvergencia sugara egyenlő ezzel a határértékkel és a hatványsor -ban konvergál, azaz. nevű intervallumban konvergencia intervallum (intervallum).

Ha , akkor a hatványsor egyetlen pontban konvergál.

Az intervallum végén a sorozat (abszolút vagy feltételesen) konvergálhat, de el is térhet egymástól.

A és a hatványsorok konvergenciáját bármely konvergenciateszt segítségével tanulmányozzuk.

3.3. Feladatok.

Keresse meg a sorozat konvergencia területét:

Megoldás. Nézzük meg ennek a sorozatnak a konvergencia sugarát:

.

Következésképpen ez a sorozat abszolút a teljes számegyenesen konvergál.

Megoldás. Használjuk d'Alembert jelét. Ehhez a sorozathoz a következőket kínáljuk:

.

A sorozat abszolút konvergens, ha vagy . Vizsgáljuk meg a sorozat viselkedését a konvergencia intervallum végén.

Amikor megvan a sorozat

Amikor megvan a sorozat - ez is egy konvergens Leibniz sorozat. Következésképpen az eredeti sorozat konvergenciatartománya egy szegmens.

Megoldás. Nézzük meg a sorozat konvergencia sugarát:

Következésképpen a sorozat konvergál a, azaz. nál nél.

Vegyük a sorozatot , ami a Leibniz-kritérium szerint konvergál.

Vegyünk egy eltérő sorozatot

.

Következésképpen az eredeti sorozat konvergencia tartománya az intervallum.

IV. Az elemi függvények bővítése a Maclaurin sorozatban.

Az alkalmazásoknál fontos, hogy ezt a funkciót ki lehessen terjeszteni egy hatványsorba, pl. ábrázolja a függvényt egy hatványsor összegeként.

A függvény Taylor-sorozata az alak hatványsora

Ha , akkor a Taylor sorozat egy speciális esetét kapjuk

amelyet úgy hívnak Maclaurin közelében .

Egy hatványsor a konvergencia intervallumán belül tagonként differenciálható és tetszőlegesen integrálható, és a kapott sorozatok azonos konvergencia intervallumúak, mint az eredeti sorozat.

Két hatványsor adható össze és szorozható tagonként a polinomok összeadási és szorzási szabályai szerint. Ebben az esetben a kapott új sorozatok konvergenciaintervalluma egybeesik az eredeti sorozat konvergencia intervallumainak általános részével.

Ahhoz, hogy egy függvényt Maclaurin sorozattá bővítsünk, a következőkre van szükség:

Számítsa ki a függvény értékét és az egymást követő deriváltjait a pontban, azaz,,,…,;

Állítson össze egy Maclaurin sorozatot úgy, hogy a függvény értékeit és az egymást követő származékait behelyettesíti a Maclaurin sorozat képletébe;

Keresse meg a kapott sorozatok konvergencia intervallumát a képlet segítségével!

, .

Példa 1. Bontsa ki a függvényt Maclaurin sorozattá.

Megoldás. Mert , akkor a kiterjesztésben a -ra cserélve a következőt kapjuk:

2. példa Írja fel a függvény Maclaurin sorozatát! .

Megoldás. Mivel , akkor azt a képletet használva, amelyben helyettesítjük -re, a következőt kapjuk:

,

3. példa Bontsa ki a függvényt egy Maclaurin sorozatban.

Megoldás. Használjuk a képletet. Mert

, majd ezt lecserélve a következőt kapjuk:

, vagy

hol, pl. .

V. Gyakorlati feladatok a tanulók önkontrolljához.

A sorozatok összehasonlítására szolgáló teszt segítségével állapítsa meg a konvergenciát

feltételesen konvergál;

feltételesen konvergál;

abszolút konvergál.

;

;

VII. Történelmi hivatkozás.

Sok probléma megoldása a függvények és integrálok értékeinek kiszámításán, vagy az ismeretlen függvények deriváltjait vagy differenciáljait tartalmazó differenciálegyenletek megoldásán múlik.

Ezeknek a matematikai műveleteknek a pontos végrehajtása azonban sok esetben nagyon nehéznek vagy lehetetlennek bizonyul. Ezekben az esetekben lehetséges számos probléma hozzávetőleges megoldása tetszőleges pontossággal sorozat segítségével.

A sorozat a matematikai elemzés egyszerű és fejlett eszköze, amely függvények, integrálok és differenciálegyenletek megoldásainak közelítő kiszámításához használható.

És a funkcionális sor a jobb oldalon.

Ahhoz, hogy a „” jelet egyenlőségjelre cseréljük, további megfontolásokat kell végrehajtani, amelyek kifejezetten az egyenlőség jobb oldalán lévő tagok számának végtelenségéhez és a sorozat konvergencia tartományához kapcsolódnak.

Amikor a Taylor-képlet olyan formát ölt, amelyben Maclaurin-képletnek nevezik:

Colin Maclaurin (1698 – 1746), Newton tanítványa „Treatise on Fluxions” (1742) című munkájában megállapította, hogy az analitikus függvényt kifejező hatványsor az egyetlen, és ez lesz az ilyen függvény által generált Taylor-sor. . A Newton-binomiális képletben a hatványok együtthatói azok az értékek, ahol .

Tehát a rangok a 18. században keletkeztek. mint a végtelen differenciálást lehetővé tevő függvények ábrázolásának módja. A sorozat által reprezentált függvényt azonban nem összegének nevezték, és általában akkor még nem volt meghatározva, hogy mennyi egy numerikus vagy funkcionális sorozat összege, csak kísérletek történtek ennek a fogalomnak a bevezetésére.

Például L. Euler (1707-1783), miután kiírta a megfelelő hatványsort egy függvényhez, adott értéket a változónak. Az eredmény egy számsor lett. Euler ennek a sorozatnak az összegét tekintette az eredeti függvény értékének a pontban. De ez nem mindig igaz.

A tudósok csak a 19. században kezdték felismerni, hogy egy divergens sorozatnak nincs összege, bár a 18. században. sokan, és mindenekelőtt L. Euler, sokat dolgoztak a konvergencia és a divergencia fogalmán. Euler egy sorozatot konvergensnek nevez, ha a közös tagja nullára hajlik, mint .

A divergens sorozatok elméletében Euler számos jelentős eredményt ért el, de ezek az eredmények sokáig nem találtak alkalmazásra. Még 1826-ban N.G. Ábel (1802-1829) „az ördög találmányának” nevezte az eltérő sorozatot. Euler eredményeit csak a 19. század végén igazolták.

A francia tudós, O. L. nagy szerepet játszott a konvergens sorozat összege fogalmának kialakításában. Cauchy (1789 – 1857); nemcsak a sorozatelméletben, hanem a határok elméletében, magának a határfogalomnak a kidolgozásában is óriásit tett. 1826-ban Cauchy kijelentette, hogy egy divergens sorozatnak nincs összege.

1768-ban francia matematikus és filozófus J.L. D'Alembert egy binomiális sorozatban vizsgálta a következő tag és az előző tag arányát, és megmutatta, hogy ha ez az arány abszolút értékben kisebb egynél, akkor a sorozat konvergál. Cauchy 1821-ben bebizonyított egy tételt, amely általánosságban meghatározza a pozitív sorozatok konvergenciájának tesztjét, amelyet ma D’Alembert tesztnek neveznek.

A váltakozó sorozatok konvergenciájának vizsgálatára a Leibniz-próbát használjuk.

G.V. Leibniz (1646-1716), a nagy német matematikus és filozófus, I. Newton mellett a differenciál- és integrálszámítás megalapítója.

Bibliográfia:

Fő:

1. Bogomolov N.V., Gyakorlati leckék a matematikából. M., „Felsőiskola”, 1990 – 495 o.;
2. Tarasov N.P., Felsőfokú matematika tanfolyam a műszaki iskolák számára. M., „Tudomány”, 1971 – 448 o.;
3. Zaitsev I.L., Felsőfokú matematika kurzus műszaki iskolák számára. M., Műszaki Iskolák Állami Könyvkiadója - elméleti irodalom, 1957 - 339 p.;
4. Pismenny D.T., Előadások kurzusa a felsőbb matematikáról. M., „Iris Press”, 2005, 2. rész – 256 p.;
5. Vygodsky M.Ya., A felsőbb matematika kézikönyve. M., „Tudomány”, 1975 – 872 pp.;

További:

1. Gusak A.A., Felső matematika. 2 kötetben, T.2: Tankönyv egyetemisták számára. Mos., „TetraSystems”, 1988 – 448 p.;
2. Griguletsky V.G., Lukyanova I.V., Petunina I.A., Matematika a gazdasági szakterületek hallgatói számára. 2. rész Krasznodar, 2002 – 348 pp.;
3. Griguletsky V.G. stb. Feladatkönyv a matematikából. Krasznodar. KSAU, 2003 – 170 p.;
4. Griguletsky V.G., Stepantsova K.G., Getman V.N., Feladatok és gyakorlatok a számviteli és pénzügyi kar hallgatói számára. Krasznodar. 2001 – 173 o.;
5. Griguletsky V.G., Yashchenko Z.V., Felső matematika. Krasznodar, 1998 – 186 o.;
6. Malykhin V.I., Matematika a közgazdaságtanban. M., „Infra-M”, 1999 – 356 p.

Ebben a témában megvizsgálunk néhány kritériumot, amelyek alapján választhat egy sorozat konvergenciájához szükséges kritérium, a D'Alembert- és Cauchy-tesztek, valamint az összehasonlító tesztek között. , valamint az integrál és a radikális Cauchy-teszt csak pozitív számsorokhoz (azaz olyan sorozatokhoz, amelyek közös tagja nem kisebb nullánál, $u_n≥ 0$) használatos. A D'Alembert-teszt szigorúan pozitív számsorokhoz ($u_n) > 0$).

A számsorok konvergenciájának ellenőrzésére szolgáló kritérium kiválasztása általában nem könnyű feladat. Azokra a sorozatokra azonban, amelyeket szabványos szabványos számításokhoz és ellenőrzési munkákhoz használnak, adható néhány általános ajánlás. Ezeket az ajánlásokat egy táblázatba fogom írni.

Néhány szó magáról az asztalról. A második oszlop egy adott konvergenciakritérium alkalmazási körét írja le a legtöbb szabványos tesztben. A harmadik oszlop a második oszlopban található információkat szemléltető példákkal illusztrálja (a példák mindegyike a megfelelő témakörökben található). A negyedik oszlop példákat tartalmaz olyan sorozatokra, amelyek kissé eltérnek az általános sémától, vagy nem nagyon találhatók meg a szabványos tesztpapírokban.

Név	Fő alkalmazás	Példák a sorokra	További felhasználások
A konvergencia szükséges jele	Egy sorozat közös tagját egy tört képviseli, amelynek számlálója és nevezője bizonyos polinomok. Vagy lehetnek polinomok gyökerei. A szükséges konvergenciafeltételt felhasználva tetszőleges (nem feltétlenül pozitív) számsor divergenciája igazolható.	$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$, $\sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)$.	$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)$, $\sum\limits_(n=1)^( \infty)\frac(3^n)(n^2)$, $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(\frac(2n+7)(2n+3)\right) ^(9n+1)$, $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\sin n$, $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1-\cos \frac(1)(n))(\ln\left(1+\frac(1)(n^2)\right))$, $\sum\limits_(n=1)^(\infty)(- 1)^n\frac(17n^5+4\cos(n!))(6n^5+2n^2-1)$.
Az összehasonlítás jelei	Egy sorozat közös tagját egy tört képviseli, amelynek számlálója és nevezője bizonyos polinomok. Vagy polinomok helyett (vagy velük együtt) polinomok gyökei is jelen lehetnek. Az ilyen típusú sorozatoknál választani kell a szükséges konvergenciakritérium és az összehasonlítás kritériumai között. Egy sorozatban egy gyakori kifejezés nem csak polinomot tartalmazhat, hanem valamilyen „elterelő elemet” is, amely nem befolyásolja a konvergenciát. Néha egy sorozat összehasonlításához egyenértékű infinitezimális függvényeket kell használnia.	$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(9n+7)(2n^3+5n^2-4)$, $\sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(4n^3+2n+9)(n^2(3n+5)^2)$, $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5n^2-3)( \sqrt(7n^(10)+2n^3-4))$, $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\arcsin\frac(7n-1)(9n))( \sqrt(4n^2-3))$, $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\arctg^2\sqrt(2n^3-1))(\sqrt(3n^ 5-2))$, $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)\sin\left(\frac(2+(-1)^n)(6) \cdot\pi\right)$, $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(2^(3n)+\cos n{5^{2n+1}-n}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\arctg\frac{\pi}{\sqrt{2n-1}}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{7}{n}\right)$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}n\left(e^\frac{3}{n}-1\right)^2$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\frac{n^3+7}{n^3+5}$. !}	$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(\sqrt(2n+3)-\sqrt(2n-1)\right)$, $\sum\limits_(n=1)^( \infty)\frac(n^n)(7^n\cdot n$. !}
D'Alembert jele	A sorozat általános tagjának kifejezése tartalmaz egy polinomot (a polinom a gyök alatt is lehet) és egy $a^n$ vagy $n!$ alakú fokot. Vagy a sorozat általános kifejezése a következő szorzatot tartalmazza: $3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)$.	$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(5^n\cdot(3n+7))(2n^3-1)$, $\sum\limits_(n=1)^( \infty)\frac(\sqrt(4n+5))((3n-2)$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(2n+5)!}{4^{3n+2}}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^n}{3^n\cdot n!}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{6^{2n+5}\left(3n^2-1\right)}{(n+3)!}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3\cdot 5\cdot 7\cdot\ldots\cdot(2n+1)}{2\cdot 5\cdot 8\cdot\ldots\cdot(3n-1)}$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1\cdot 11\cdot 21\cdot\ldots\cdot(10n-9)}{(2n-1)!!}$. !}	$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(4n-1)(n)\sin\frac(2)(3^n)$, $\sum\limits_(n=1)^ (\infty)\frac(3^(2n+1)-4)(2^(5n)(n+1)$, $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\left(n!\right)^2}{2^{n^2}}$. !}
Radikális Cauchy jele	A sorozat általános tagjának kifejezésében az összes elemet olyan hatványra emeljük, amely $n$-tal csökkenthető.	$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(\frac(3n^2-1)(5n^2+7n)\right)^(2n)$, $\sum\limits_(n =1)^(\infty)\left(\frac(2n+3)(7n-5)\right)^(n^2)$, $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ left(\frac(2n+1)(2n-1)\right)^(n(3n+4))$, $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac((5n+4) )^n)(7^(2n)\cdot n^n)$, $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(\sin\frac(4)(n^2+2n) \jobbra)^(\frac(n)(2))$.	$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\left(3n^2+7\right)\cdot 5^(2n-1))(4^n)$, $\sum\ limits_(n=1)^(\infty)\frac(n^n)(7^n\cdot n$. !}

Ez a cikk strukturált és részletes információkat tartalmaz, amelyek hasznosak lehetnek a gyakorlatok és feladatok elemzésekor. Megnézzük a számsorok témáját.

Ez a cikk az alapvető definíciókkal és fogalmakkal kezdődik. Ezután standard opciókat használunk, és tanulmányozzuk az alapvető képleteket. Az anyag egységesítése érdekében a cikk alapvető példákat és feladatokat közöl.

Alaptézisek

Először képzeljük el a rendszert: a 1 , a 2 . . . , a n , . . . , ahol a k ∈ R, k = 1, 2. . . .

Vegyünk például olyan számokat, mint: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, . . . .

1. definíció

Egy számsor a ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + tagok összege. . . + a n +. . . .

A definíció jobb megértéséhez tekintsük az adott esetet, amelyben q = - 0. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + . . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

2. definíció

a k általános vagy k –th sorozat tagja.

Valahogy így néz ki - 16 · - 1 2 k.

3. definíció

Sorozatok részösszege valahogy így néz ki S n = a 1 + a 2 + . . . + a n , amelyben n- bármilyen szám. S n is nth a sorozat összege.

Például ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5.

S 1 , S 2 , . . . , S n , . . . végtelen számsort alkotnak.

Egy sorra nth az összeget az S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n képlettel találjuk meg. A következő részösszegeket használjuk: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 · 1 - - 1 2 n , . . . .

4. definíció

A ∑ k = 1 ∞ a k sorozat az konvergens amikor a sorozatnak véges határértéke van S = lim S n n → + ∞ . Ha nincs határérték, vagy a sorozat végtelen, akkor a ∑ k = 1 ∞ a k sorozatot ún. divergens.

5. definíció

Egy konvergens sorozat összege∑ k = 1 ∞ a k a ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S sorozat határértéke.

Ebben a példában lim S n n → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3, sor ∑ k = 1 ∞ ( - 16) · - 1 2 k konvergál. Az összeg 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

1. példa

Divergens sorozatra példa egynél nagyobb nevezővel rendelkező geometriai sorozat összege: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2 n - 1 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 .

Az n-edik részösszeget a következőképpen adja meg: S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, a részösszegek határa pedig végtelen: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

A divergens számsorok másik példája a ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + alakú összeg. . . . Ebben az esetben az n-edik részösszeg úgy számítható ki, hogy Sn = 5n. A részösszegek határa végtelen lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞ .

6. definíció

Ugyanolyan alakú összeg, mint ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + . . . - Ezt harmonikus számsorozat.

7. definíció

Összeg ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 n s + . . . , Ahol s– valós szám, egy általánosított harmonikus számsor.

A fent tárgyalt definíciók segítenek a legtöbb példa és probléma megoldásában.

A definíciók kiegészítéséhez bizonyos egyenletek bizonyítása szükséges.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k – divergens.

Fordított módszert alkalmazunk. Ha konvergál, akkor a határ véges. Az egyenletet felírhatjuk a következőképpen: lim n → + ∞ S n = S és lim n → + ∞ S 2 n = S. Bizonyos műveletek után az l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 egyenlőséget kapjuk.

Ellen,

S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n

A következő egyenlőtlenségek érvényesek: 1 n + 1 > 1 2 n, 1 n + 1 > 1 2 n, . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . Azt kapjuk, hogy S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + . . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Az S 2 n - S n > 1 2 kifejezés azt jelzi, hogy a lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 nem teljesül. A sorozat szerteágazó.

1. b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + . . . + b 1 q n + . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

Meg kell erősíteni, hogy egy számsorozat összege q-hoz konvergál< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

A fenti meghatározások szerint az összeg n kifejezéseket az S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 képlet szerint határozzuk meg.

Ha q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

Bebizonyítottuk, hogy a számsorok konvergálnak.

q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + esetén. . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Az összegek az S n = b 1 · n képlettel határozhatók meg, a határérték végtelen lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞. A bemutatott változatban a sorozat eltér.

Ha q = -1, akkor a sorozat így néz ki: b 1 - b 1 + b 1 - . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1 . A részösszegek így néznek ki: S n = b 1 páratlanra n, és S n = 0 párosra n. Ezt az esetet figyelembe véve megbizonyosodunk arról, hogy nincs határ, és a sorozatok eltérőek.

q > 1 esetén lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 ∞ - 1 q - 1 = ∞

Bebizonyítottuk, hogy a számsorok eltérnek egymástól.

1. A ∑ k = 1 ∞ 1 k s sorozat konvergál, ha s > 1és divergál, ha s ≤ 1.

Mert s = 1∑ k = 1 ∞ 1 k eredményt kapunk, a sorozat divergál.

Amikor s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k, természetes szám. Mivel a sorozat ∑ k = 1 ∞ 1 k divergens, nincs határ. Ezt követően a ∑ k = 1 ∞ 1 k s sorozat korlátlan. Arra a következtetésre jutunk, hogy a kiválasztott sorozat akkor tér el s< 1 .

Bizonyítani kell, hogy a ∑ k = 1 ∞ 1 k s sorozat konvergál s > 1.

Képzeljük el, hogy S 2 n - 1 - S n - 1:

S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s +. . . + 1 (2 n - 1) s

Tegyük fel, hogy 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Képzeljük el az egyenletet a természetes és páros n = 2 számokra: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Kapunk:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + . . . + 1 7 s + 1 8 s + . . . + 1 15 s + . . . = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 + . . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

A kifejezés 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . a q = 1 2 s - 1 geometriai haladás összege. A kezdeti adatok szerint a s > 1, majd 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 növekszik és 1 1 - 1 2 s - 1 felett korlátozódik. Képzeljük el, hogy van egy határérték, és a sorozat konvergens ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

8. definíció

Sorozat ∑ k = 1 ∞ a k ebben az esetben pozitív, ha tagjai > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Sorozat ∑ k = 1 ∞ b k jeladó, ha a számok előjele eltérő. Ezt a példát a következőképpen mutatjuk be: ∑ ​​k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · a k vagy ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · a k , ahol a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Sorozat ∑ k = 1 ∞ b k váltakozó, mivel sok negatív és pozitív számot tartalmaz.

A második opciósorozat a harmadik opció speciális esete.

Íme az egyes esetekre példák:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

A harmadik lehetőségnél az abszolút és feltételes konvergenciát is meghatározhatja.

9. definíció

A ∑ k = 1 ∞ b k váltakozó sorozat abszolút konvergens abban az esetben, ha ∑ k = 1 ∞ b k is konvergensnek tekinthető.

Nézzünk meg néhány tipikus lehetőséget részletesen.

2. példa

Ha a sorok 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . és 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . konvergensnek vannak definiálva, akkor helyes azt feltételezni, hogy 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . .

10. definíció

Egy ∑ k = 1 ∞ b k váltakozó sorozatot feltételesen konvergensnek tekintünk, ha ∑ k = 1 ∞ b k divergens, és a ∑ k = 1 ∞ b k sorozatot konvergensnek tekintjük.

3. példa

Vizsgáljuk meg részletesen a ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + opciót. . . . Az abszolút értékekből álló ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k sorozatot divergensnek definiáljuk. Ez az opció konvergensnek tekinthető, mivel könnyen meghatározható. Ebből a példából megtudjuk, hogy a ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + sorozat. . . feltételesen konvergensnek tekintendő.

A konvergens sorozatok jellemzői

Elemezzük a tulajdonságokat bizonyos esetekben

1. Ha ∑ k = 1 ∞ a k konvergál, akkor a ∑ k = m + 1 ∞ a k sorozatot is konvergensnek tekintjük. Megjegyezhető, hogy a sor nélkül m kifejezéseket is konvergensnek tekintik. Ha ∑ k = m + 1 ∞ a k-hez több számot adunk, akkor a kapott eredmény is konvergens lesz.
2. Ha ∑ k = 1 ∞ a k konvergál és az összeg = S, akkor a ∑ k = 1 ∞ A · a k , ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S sorozat is konvergál, ahol A-állandó.
3. Ha ∑ k = 1 ∞ a k és ∑ k = 1 ∞ b k konvergensek, az összegek AÉs B is, akkor a ∑ k = 1 ∞ a k + b k és a ∑ k = 1 ∞ a k - b k sorozat is konvergál. Az összegek egyenlőek lesznek A+BÉs A-B illetőleg.

4. példa

Határozzuk meg, hogy a sorozat ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 konvergál.

Változtassuk meg a ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 kifejezést. A ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 sorozatot konvergensnek tekintjük, mivel a ∑ k = 1 ∞ 1 k s sorozat konvergál, ha s > 1. A második tulajdonság szerint ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

5. példa

Határozza meg, hogy a ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 sorozat konvergál-e.

Alakítsuk át az eredeti változatot ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 n 2 .

∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 és ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 összeget kapjuk. Minden sorozat a tulajdonság szerint konvergensnek minősül. Tehát ahogy a sorozatok közelednek, úgy az eredeti verzió is.

6. példa

Számítsa ki, hogy az 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + sorozat konvergál-e. . . és számolja ki az összeget.

Bővítsük ki az eredeti verziót:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Mindegyik sorozat konvergál, mert egy számsorozat egyik tagja. A harmadik tulajdonság szerint kiszámolhatjuk, hogy az eredeti változat is konvergens. Kiszámoljuk az összeget: A ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 sorozat első tagja és a nevező = 0. 5, ezt követi: ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. Az első tag ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 , és a csökkenő számsor nevezője = 1 3 . A következőt kapjuk: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

A fent kapott kifejezéseket használjuk az 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + összeg meghatározásához. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

Szükséges feltétele annak meghatározásának, hogy egy sorozat konvergens-e

11. definíció

Ha a ∑ k = 1 ∞ a k sorozat konvergens, akkor a határértéke kth term = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Ha bármelyik opciót bejelöljük, nem szabad megfeledkeznünk a nélkülözhetetlen feltételről. Ha nem teljesül, akkor a sorozat szétválik. Ha lim k → + ∞ a k ≠ 0, akkor a sorozat divergens.

Tisztázni kell, hogy a feltétel fontos, de nem elégséges. Ha teljesül a lim k → + ∞ a k = 0 egyenlőség, akkor ez nem garantálja, hogy ∑ k = 1 ∞ a k konvergens.

Mondjunk egy példát. A ∑ k = 1 ∞ 1 k harmonikus sorozatra a feltétel teljesül lim k → + ∞ 1 k = 0 , de a sorozat így is eltér.

7. példa

Határozzuk meg a ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n konvergenciát.

Ellenőrizzük az eredeti kifejezést a lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n feltétel teljesítésére. = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Határ nth tag nem egyenlő 0-val. Bebizonyítottuk, hogy ez a sorozat eltér egymástól.

Hogyan határozható meg egy pozitív sorozat konvergenciája.

Ha folyamatosan használja ezeket a jellemzőket, folyamatosan számolnia kell a határértékeket. Ez a rész segít elkerülni a nehézségeket a példák és problémák megoldása során. Egy pozitív sorozat konvergenciájának meghatározásához van egy bizonyos feltétel.

Pozitív előjelű ∑ k = 1 ∞ a k konvergenciájára a k > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . az összegek korlátozott sorozatát kell meghatározni.

Hogyan hasonlítsuk össze a sorozatokat

A sorozatok összehasonlításának több jele is van. Összehasonlítjuk azokat a sorozatokat, amelyek konvergenciáját javasoljuk meghatározni, azzal a sorozattal, amelynek konvergenciája ismert.

Első jel

∑ k = 1 ∞ a k és ∑ k = 1 ∞ b k pozitív előjelű sorozatok. Az a k ≤ b k egyenlőtlenség érvényes k = 1, 2, 3, ... Ebből következik, hogy a ∑ k = 1 ∞ b k sorozatból ∑ k = 1 ∞ a k . Mivel ∑ k = 1 ∞ a k divergens, a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat divergensként definiálható.

Ezt a szabályt folyamatosan használják egyenletek megoldására, és komoly érv, amely segít a konvergencia meghatározásában. A nehézség abban rejlik, hogy nem minden esetben lehet megfelelő példát találni az összehasonlításra. Elég gyakran egy sorozatot az indikátor elvének megfelelően választanak ki kth tag egyenlő lesz a számláló és a nevező kitevőjének levonásának eredményével kth sorozat tagja. Tegyük fel, hogy a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5, a különbség egyenlő lesz 2 – 3 = - 1 . Ebben az esetben meghatározhatjuk, hogy összehasonlítás céljából egy sorozatot k-th b k = k - 1 = 1 k tag, ami harmonikus.

A kapott anyag megszilárdítása érdekében részletesen megvizsgálunk néhány tipikus lehetőséget.

8. példa

Határozzuk meg, hogy mekkora a ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 sorozat!

Mivel a határérték = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0, a szükséges feltételt teljesítettük. Az egyenlőtlenség igazságos lesz 1 k< 1 k - 1 2 для k, amelyek természetesek. Az előző bekezdésekből megtudtuk, hogy a ∑ k = 1 ∞ 1 k harmonikus sorozat divergens. Az első kritérium szerint bizonyítható, hogy az eredeti változat eltérő.

9. példa

Határozzuk meg, hogy a sorozat konvergens vagy divergens ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

Ebben a példában a szükséges feltétel teljesül, mivel lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0. 1 k 3 + 3 k - 1 egyenlőtlenségként ábrázoljuk< 1 k 3 для любого значения k. A ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 sorozat konvergens, mivel a ∑ k = 1 ∞ 1 k s harmonikus sorozat konvergál s > 1. Az első kritérium alapján megállapíthatjuk, hogy a számsor konvergens.

10. példa

Határozzuk meg, mi a ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) sorozat! lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Ebben az opcióban jelölheti meg a kívánt feltétel teljesülését. Határozzuk meg az összehasonlítás céljából egy sorozatot. Például ∑ k = 1 ∞ 1 k s . A fokozat meghatározásához tekintsük az (ln (ln k)) sorozatot, k = 3, 4, 5. . . . Az ln (ln 3) , ln (ln 4) , ln (ln 5) , szekvencia tagjai. . . a végtelenségig növekszik. Az egyenlet elemzése után megállapíthatjuk, hogy ha N = 1619 értéket veszünk, akkor a sorozat tagjai > 2. Erre a sorozatra az 1 k ln (ln k) egyenlőtlenség igaz< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Második jel

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k és ∑ k = 1 ∞ b k pozitív számsorok.

Ha lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , akkor a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat konvergál, és ∑ k = 1 ∞ a k is konvergál.

Ha lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, akkor mivel a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat divergál, akkor ∑ k = 1 ∞ a k is divergál.

Ha lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ és lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, akkor egy sorozat konvergenciája vagy divergenciája egy másik sorozat konvergenciáját vagy divergenciáját jelenti.

Tekintsük ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 a második előjellel. Összehasonlításhoz ∑ k = 1 ∞ b k vesszük a ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 konvergens sorozatot. Határozzuk meg a határértéket: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

A második kritérium szerint megállapítható, hogy a ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 konvergens sorozat azt jelenti, hogy az eredeti változat is konvergál.

11. példa

Határozzuk meg, hogy mekkora a ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 sorozat!

Elemezzük a lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 szükséges feltételt, amely ebben a változatban teljesül. A második kritérium szerint vegyük a ∑ k = 1 ∞ 1 k sorozatot. A határértéket keressük: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

A fenti tézisek szerint a divergens sorozat az eredeti sorozat divergenciáját vonja maga után.

Harmadik jel

Nézzük az összehasonlítás harmadik jelét.

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k és _ ∑ k = 1 ∞ b k pozitív számsorok. Ha a feltétel teljesül egy bizonyos a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k számra, akkor ennek a sorozatnak a ∑ k = 1 ∞ b k konvergenciája azt jelenti, hogy a ∑ k = 1 ∞ a k sorozat is konvergens. A ∑ k = 1 ∞ a k divergens sorozat a ∑ k = 1 ∞ b k divergenciát vonja maga után.

D'Alembert jele

Képzeljük el, hogy ∑ k = 1 ∞ a k egy pozitív számsor. Ha lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, majd divergens.

1. megjegyzés

D'Alembert tesztje akkor érvényes, ha a határ végtelen.

Ha lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , akkor a sorozat konvergens, ha lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ , akkor divergens.

Ha lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1, akkor a d'Alembert-jel nem segít, és több vizsgálatra lesz szükség.

12. példa

D’Alembert-próbával határozzuk meg, hogy a sorozat konvergens vagy divergens ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k!

Ellenőrizni kell, hogy a szükséges konvergencia feltétel teljesül-e. Számítsuk ki a határértéket L'Hopital szabályával: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ ln 2 = 0

Láthatjuk, hogy a feltétel teljesül. Használjuk d'Alembert tesztjét: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1

A sorozat konvergens.

13. példa

Határozza meg, hogy a sorozat divergens-e ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

Határozzuk meg a sorozat divergenciáját a d'Alembert-próbával: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k ! k k · (k + 1) ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k · (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1

Ezért a sorozat eltérő.

Radikális Cauchy jele

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k egy pozitív előjelű sorozat. Ha lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, majd divergens.

Jegyzet 2

Ha lim k → + ∞ a k k = 1, akkor ez a jel nem ad információt - további elemzés szükséges.

Ez a funkció könnyen azonosítható példákban használható. Tipikus az az eset, amikor egy számsor tagja egy exponenciális hatványkifejezés.

A kapott információk konszolidálása érdekében nézzünk meg néhány tipikus példát.

14. példa

Határozza meg, hogy a ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k pozitív előjelű sorozat konvergens-e.

A szükséges feltételt teljesültnek tekintjük, mivel lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

A fent tárgyalt ismérv szerint lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0.< 1 . Данный ряд является сходимым.

15. példa

Konvergál-e a ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 számsor?

Az előző bekezdésben leírt jellemzőt használjuk lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Integrált Cauchy-teszt

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k pozitív előjelű sorozat. Szükséges a folyamatos argumentum függvényének jelölése y = f(x), ami egybeesik a n = f (n) -vel. Ha y = f(x) nagyobb, mint nulla, nem szakad meg és csökken [ a ; + ∞) , ahol a ≥ 1

Ekkor, ha a ∫ a + ∞ f (x) d x nem megfelelő integrál konvergens, akkor a vizsgált sorozat is konvergál. Ha eltér, akkor a vizsgált példában a sorozat is eltér.

Ha ellenőrizni szeretné, hogy egy függvény csökken-e, használhatja az előző leckékben tárgyalt anyagot.

16. példa

Tekintsük a ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k példát a konvergenciára.

A sorozat konvergenciájának feltétele teljesültnek tekinthető, mivel lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Tekintsük y = 1 x ln x. Nagyobb, mint nulla, nem szakad meg és [2-vel csökken; + ∞) . Az első két pont biztosan ismert, de a harmadikat részletesebben kell tárgyalni. Keresse meg a deriváltot: y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. kisebb, mint nulla a [ 2 ; + ∞ esetén. Ez bizonyítja azt a tézist, hogy a függvény csökken.

Valójában az y = 1 x ln x függvény megfelel a fentebb vizsgált elv jellemzőinek. Használjuk: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞

A kapott eredmények szerint az eredeti példa divergens, mivel a nem megfelelő integrál divergens.

17. példa

Igazoljuk a ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 sorozat konvergenciáját.

Mivel lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, akkor a feltételt teljesültnek tekintjük.

A k = 4-től kezdve a helyes kifejezés 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Ha a ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 sorozatot konvergensnek tekintjük, akkor az egyik összehasonlítási elv szerint a ∑ k = 4 ∞ 1 (10) sorozatot k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 is konvergensnek tekintendő. Így megállapíthatjuk, hogy az eredeti kifejezés is konvergens.

Térjünk át a bizonyításra: ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Mivel az y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 függvény nagyobb nullánál, ezért nem szakad meg, és [4-gyel csökken; + ∞) . Az előző bekezdésben leírt funkciót használjuk:

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A = = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 · ln 28 2

A kapott ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 konvergens sorozatban meghatározhatjuk, hogy ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 )) 3 is konvergál.

Raabe jele

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k egy pozitív számsor.

Ha lim k → + ∞ k · a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, akkor konvergál.

Ez a meghatározási módszer akkor használható, ha a fent leírt technikák nem adnak látható eredményeket.

Abszolút konvergencia tanulmány

A vizsgálathoz ∑ k = 1 ∞ b k -t veszünk. Pozitív előjelet használunk ∑ k = 1 ∞ b k . A fentebb leírt megfelelő funkciók bármelyikét használhatjuk. Ha a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat konvergál, akkor az eredeti sorozat abszolút konvergens.

18. példa

Vizsgáljuk meg a ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 sorozatot a ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k konvergenciára. 3 + 2 k - 1 .

A feltétel teljesül lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Használjuk a ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 és a második jelet: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

A ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 sorozat konvergál. Az eredeti sorozat is abszolút konvergens.

Váltakozó sorozatok eltérése

Ha a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat divergens, akkor a megfelelő ∑ k = 1 ∞ b k váltakozó sorozat vagy divergens, vagy feltételesen konvergens.

Csak a d'Alembert-próba és a radikális Cauchy-teszt segít levonni a ∑ k = 1 ∞ b k-ra vonatkozó következtetéseket a ∑ k = 1 ∞ b k modulusoktól való eltérésből. A ∑ k = 1 ∞ b k sorozat akkor is divergál, ha a szükséges konvergenciafeltétel nem teljesül, vagyis ha lim k → ∞ + b k ≠ 0.

19. példa

Ellenőrizd az eltérést 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6, . . . .

Modul kth kifejezést a következőképpen ábrázoljuk: b k = k ! 7 k.

Vizsgáljuk meg a ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k sorozatot! 7 k a konvergenciára d'Alembert-próbával: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7 k + 1 k ! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞ .

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k ugyanúgy eltér, mint az eredeti verzió.

20. példa

∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) konvergens.

Tekintsük a szükséges feltételt: lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 " (ln (k + 1)) " = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . A feltétel nem teljesül, ezért ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) a sorozat divergens. A határértéket a L'Hopital-szabály alapján számítottuk ki.

Feltételes konvergenciakritériumok

Leibniz tesztje

12. definíció

Ha a váltakozó sorozat tagjainak értékei csökkennek b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . . és a modulushatár = 0, ha k → + ∞, akkor a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat konvergál.

17. példa

Tekintsük ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) a konvergenciához.

A sorozatot a következőképpen ábrázoljuk: ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . A szükséges feltétel teljesül: lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Tekintsük ∑ k = 1 ∞ 1 k a második összehasonlítási kritérium lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

Azt találjuk, hogy ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) divergál. A ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) sorozat a Leibniz-kritérium szerint konvergál: szekvencia 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10, 2 2 + 1 5 2 (2 + 1) = 5 30, 2 3 + 1 5 3 3 + 1, . . . csökken és lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

A sorozat feltételesen konvergál.

Abel-Dirichlet teszt

13. definíció

∑ k = 1 + ∞ u k · v k konvergál, ha ( u k ) nem növekszik, és a ∑ k = 1 + ∞ v k sorozat korlátos.

17. példa

Fedezze fel az 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + számokat. . . a konvergencia érdekében.

Képzeljük el

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

ahol (u k) = 1, 1 2, 1 3, . . . nem növekvő, és a sorozat (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2, . . . korlátozott (S k) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0, . . . . A sorozat összefolyik.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Számsor definíciója és konvergenciája.

A konvergencia szükséges jele

Legyen egy végtelen számsorozat.

Meghatározás. Kifejezés

, (1)

vagy ami ugyanaz, úgy hívják számsorozat, és a számok https://pandia.ru/text/79/302/images/image005_146.gif" width="53" height="31"> – sorozat tagjai. Egy tetszőleges számú tagot hívunkn-m, vagy sorozat közös tagja.

Önmagában az (1) kifejezésnek nincs konkrét numerikus jelentése, mert az összeg kiszámításakor minden alkalommal csak véges számú taggal foglalkozunk. A legtermészetesebb ennek a kifejezésnek a jelentését a következőképpen meghatározni.

Legyen adott (1) sorozat.

Meghatározás.Összegnsorozat első tagjai

hívott n részösszeg sor. Alkossunk egy sorozatot részösszegekből:

font-size:14.0pt">Korlátlan számú növelésselna teljes szám a sorozat egyre több tagját veszi figyelembe. Ezért indokolt ilyen definíciót adni.

Meghatározás. Ha a részösszegek sorozatának véges határa van https://pandia.ru/text/79/302/images/image011_76.gif" width="103" height="41">, akkor az ún. összeg.

Ha a sorrend https://pandia.ru/text/79/302/images/image013_77.gif" width="80" height="31">, 2) ha ingadozik. Mindkét esetben azt mondják, hogy a sorozatnak nincs összege.

1. példa Tekintsünk egy geometriai progresszióból álló sorozatot:

, (2)

ahol – a progresszió első tagjának nevezzük, és font-size:14.0pt"> A sorozat részösszege font-size:14.0pt">font-size:14.0pt">Innen:

1) ha , akkor

font-size:14.0pt">vagyis a geometriai progresszió sorozata konvergál és összege .

Különösen, ha , sor összege is konvergál.

A https://pandia.ru/text/79/302/images/image026_42.gif" width="307" height="59 src="> esetén az összeg is konvergál.

2) ha , akkor , azaz a (2) sorozat eltér.

3) if , akkor a (2) sor font-size:14.0pt"> és, vagyis a sorozat eltér(at font-size:18.0pt">) .

4) ha https://pandia.ru/text/79/302/images/image036_32.gif" width="265" height="37">. Ehhez a sorhoz

https://pandia.ru/text/79/302/images/image038_28.gif" width="253" height="31 src=">,

azaz.gif" width="67" height="41"> nem létezik, ezért a sorozat is eltér(nál nél ) .

Egy sorozat összegének közvetlen kiszámítása értelemszerűen nagyon kényelmetlen, mivel a részösszegeket font-size:14.0pt"> kifejezetten nehéz kiszámítani és a sorozatuk határát megtalálni. De ha bebizonyosodik, hogy a sorozatok konvergálnak, összege megközelítőleg kiszámítható, mert a sorozat határának meghatározásából az következik, hogy kellően nagy. Ezért sorozatok tanulmányozásakor ez elég

1) ismerje azokat a technikákat, amelyek lehetővé teszik egy sorozat konvergenciájának megállapítását anélkül, hogy megtalálná az összegét;

2) meg tudja határoznifont-size:14.0pt">.gif" width="16 height=24" height="24"> bizonyos pontossággal.

A számsorok konvergenciáját konvergenciateszteknek nevezett tételek segítségével állapítjuk meg.

Kötelező jel konvergencia

Ha a sorozat konvergál, akkor a közös feltétele nulla, azaz a font-size:14.0pt">.gif" width="61 height=63" height="63"> eltér.

2. példa Igazolja, hogy a 0. sor " style="border-collapse:collapse">

;

;

;

.

Megoldás.

A) https://pandia.ru/text/79/302/images/image051_28.gif" width="176" height="81 src="> eltér.

és ezért a sorozat eltér. A megoldás a második figyelemre méltó

határ: (lásd a részleteket).

B) font-size:14.0pt">, azaz sorrend

- végtelenül

kicsi Mivel font-size:14.0pt">~-vel (lásd), akkor ~ .

Ezt figyelembe véve a következőket kapjuk:

Ez azt jelenti, hogy a sorozat eltér egymástól.

D) font-size:14.0pt">,

ezért a sorozat szétválik.

Feltétel van szükséges, De nem elég sorozat konvergenciájának feltétele: sok olyan sorozat létezik, amelyre, de amelyek mégis eltérnek.

3. példa Vizsgálja meg a font-size:14.0pt"> sorozat konvergenciáját Megoldás. vegye észre, az https://pandia.ru/text/79/302/images/image066_20.gif" width="119" height="59 src="> , azaz a konvergencia szükséges feltétele teljesül. Részösszeg

balra>

-egyszer

ezért font-size:14.0pt">, ami azt jelenti, hogy a sorozat definíció szerint eltér.

A pozitív sorozatok konvergenciájának elegendő jele

Hadd . Aztán a sorozatfont-size:14.0pt"> Összehasonlító jel

Hadd és pozitív előjelű sorozatok. Ha az egyenlőtlenség mindenkire teljesül, akkor a sorozatok konvergenciájából a sorozatok konvergenciája következik, a sorozat divergenciájából pedig https://pandia.ru/text/79/302/images/image074_19.gif" szélesség ="55" height="60">.

Ez a jel érvényben marad, ha az egyenlőtlenség https://pandia.ru/text/79/302/images/image072_18.gif" width="60" height="24">, de csak egy bizonyos számtól kezdve. A következőképpen értelmezhető: ha egy nagyobb sorozat konvergál, akkor a kisebb még jobban, ha egy kisebb sorozat, akkor a nagyobb is.

4. példa Vizsgálja meg a 0. sorozat konvergenciáját " style="margin-left:50.4pt;border-collapse:collapse">

;

Megoldás.

A) Ne feledje, hogy font-size:14.0pt"> mindenkinek . Sorozat közös taggal

konvergál, mert ez egy nevezővel rendelkező geometriai haladás sorozata (lásd az 1. példát), ezért ez a sorozatösszevetve konvergál.

B) Hasonlítsa össze a sort a ..gif" width="91" height="29 src=">.gif" width="87" height="59"> sorral divergál, ami azt jelenti, hogy ez a sorozat is eltér.

Az összehasonlítási kritérium megfogalmazásának egyszerűsége ellenére a gyakorlatban kényelmesebb az alábbi tétel, amely ennek következménye.

Összehasonlítás határa

Hadd https://pandia.ru/text/79/302/images/image071_17.gif" width="53" height="60 src="> – pozitív előjelű sorozat. Ha van végesÉs nem egyenlő nullával limit, akkor mind a sorozat, mind

egyidejűleg konvergálnak vagy ugyanabban az időben divergálnak.

Az adatokkal való összehasonlításhoz használt sorozatokat gyakran az űrlap sorozataként választják ki . Az ilyen sorozat az ún Dirichlet közelében. A 3. és 4. példában kimutattuk, hogy a Dirichlet-sorozat és -el tér el. Egyelőre lehetséges

Vegye figyelembe, hogy a sor font-size:14.0pt"> .

Ha , akkor a sorozat hívott harmonikus. A harmonikus sorozat eltér.

5. példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjábóla korlátozó összehasonlítási kritériumot alkalmazva, ha

;

;

;

Megoldás. a) Mivel elég nagy https://pandia.ru/text/79/302/images/image101_9.gif" width="31" height="23 src=">, és

~ akkor ~ font-size:14.0pt">összehasonlítások az adott harmonikus sorozattal font-size:14.0pt">, azaz .

font-size:14.0pt"> Mivel a határ véges és nem nulla, és a harmonikus sorozatok eltérnek, ez a sorozat is eltér.

B) Megfelelően nagy https://pandia.ru/text/79/302/images/image109_10.gif" width="111" height="31 src=">.gif" width="129" height="31" src=">.gif" width="132" height="64 src="> – a sorozat általános tagja, amellyel ezt fogjuk összehasonlítani:

Font-size:14.0pt">A sorozat konvergál ( Dirichlet sorozat betűmérettel:16.0pt">), tehát ez a sorozat is konvergál.

BAN BEN) , ezért végtelenül kicsi font-size:14.0pt"> lehetséges

cserélje ki egy vele egyenértékű értékre(https://pandia.ru/text/79/302/images/image058_20.gif" width="13" height="21 src="> font-size: 20.0pt">). ;

;

;

G )

;

.

1

típus