Programma četrdimensiju kuba zīmēšanai. Teserakts un n-dimensiju kubi kopumā Četrdimensiju kuba rotācija

Ja esat filmu Atriebēji cienītājs, pirmā lieta, kas varētu ienākt prātā, izdzirdot vārdu "Tesseract", ir bezgalības akmens caurspīdīgais kuba formas trauks, kas satur neierobežotu spēku.

Marvel Universe cienītājiem Tesseract ir kvēlojošs zils kubs, kas liek trakot cilvēkiem ne tikai no Zemes, bet arī citām planētām. Tāpēc visi Atriebēji sanāca kopā, lai aizsargātu zemes iedzīvotājus no Tesseract ārkārtīgi postošajām spējām.

Tomēr tas ir jāsaka: Tesseract ir faktisks ģeometrisks jēdziens vai, konkrētāk, forma, kas pastāv 4D formātā. Tas nav tikai zils kubs no Avengers... tas ir īsts koncepts.

Tesseract ir objekts 4 dimensijās. Bet, pirms mēs to izskaidrojam sīkāk, sāksim no sākuma.

Kas ir "mērīšana"?

Katrs cilvēks ir dzirdējis terminus 2D un 3D, kas apzīmē attiecīgi divdimensiju vai trīsdimensiju objektus telpā. Bet kādi ir šie mērījumi?

Dimensija ir vienkārši virziens, kurā varat doties. Piemēram, ja zīmējat līniju uz papīra lapas, varat iet pa kreisi/pa labi (x ass) vai uz augšu/uz leju (y ass). Tāpēc mēs sakām, ka papīrs ir divdimensiju, jo jūs varat iet tikai divos virzienos.

3D ir dziļuma sajūta.

Tagad reālajā pasaulē papildus diviem iepriekš minētajiem virzieniem (pa kreisi/pa labi un uz augšu/uz leju) varat doties arī "uz/no". Līdz ar to 3D telpai tiek pievienota dziļuma sajūta. Tāpēc mēs sakām, ka reālā dzīve ir trīsdimensiju.

Punkts var attēlot 0 izmērus (jo tas nepārvietojas nevienā virzienā), līnija apzīmē 1 izmēru (garumu), kvadrāts apzīmē 2 izmērus (garumu un platumu), un kubs apzīmē 3 izmērus (garumu, platumu un augstumu). ).

Paņemiet 3D kubu un aizstājiet katru tā skaldni (kas pašlaik ir kvadrāti) ar kubu. Līdz ar to! Iegūtā forma ir tesserakts.

Kas ir tesserakts?

Vienkārši sakot, tesserakts ir kubs 4-dimensiju telpā. Varat arī teikt, ka tas ir kuba 4D analogs. Šī ir 4D forma, kurā katra seja ir kubs.

Tesrakta 3D projekcija, kas veic dubultu rotāciju ap divām ortogonālām plaknēm.
Attēls: Džeisons Hise

Šeit ir vienkāršs veids, kā konceptualizēt izmērus: kvadrāts ir divdimensiju; tāpēc katram no tā stūriem ir 2 līnijas, kas stiepjas no tā 90 grādu leņķī viena pret otru. Kubs ir 3D, tāpēc katrā tā stūrī ir 3 līnijas, kas nāk no tā. Tāpat tesseraktam ir 4D forma, tāpēc katrā stūrī ir 4 līnijas, kas stiepjas no tā.

Kāpēc ir grūti iedomāties tesseraktu?

Tā kā mēs kā cilvēki esam attīstījušies, lai vizualizētu objektus trīs dimensijās, visam, kas nonāk papildu dimensijās, piemēram, 4D, 5D, 6D utt., mums nav lielas jēgas, jo mēs tos nemaz nevaram ieviest. Mūsu smadzenes nevar saprast ceturto dimensiju telpā. Mēs vienkārši nevaram par to domāt.

Tomēr tas, ka mēs nevaram vizualizēt daudzdimensiju telpu jēdzienu, nenozīmē, ka tā nevar pastāvēt.

Matemātiski tesserakts ir pilnīgi precīza forma. Tāpat visas formas augstākajās dimensijās, t.i., 5D un 6D, arī ir matemātiski ticamas.

Tāpat kā kubu var izvērst 6 kvadrātos 2D telpā, tesseraktu var izvērst 8 kubos 3D telpā.

Pārsteidzoši un nesaprotami, vai ne?

Tātad tesserakts ir "īsts jēdziens", kas ir absolūti matemātiski ticams, ne tikai spīdīgais zilais kubs, par kuru cīnās Atriebēju filmās.

Hiperkuba un platoniskas cietvielas

Modelējiet saīsinātu ikosaedru ("futbola bumbu") sistēmā "Vector".
kurā katrs piecstūris ir ierobežots ar sešstūriem

Nocirsts ikosaedrs var iegūt, nogriežot 12 virsotnes, veidojot skaldnes regulāru piecstūru formā. Šajā gadījumā jaunā daudzskaldņa virsotņu skaits palielinās 5 reizes (12×5=60), 20 trīsstūrveida skaldnes pārtop regulāros sešstūros (kopā sejas kļūst 20+12=32), A malu skaits palielinās līdz 30+12×5=90.

Nogriezta ikosaedra konstruēšanas soļi Vector sistēmā

Figūras 4-dimensiju telpā.

--à

--à ?

Piemēram, dots kubs un hiperkubs. Hiperkubam ir 24 sejas. Tas nozīmē, ka 4-dimensiju oktaedram būs 24 virsotnes. Lai gan nē, hiperkubam ir 8 kubu skaldnes – katrai virsotnei ir centrs. Tas nozīmē, ka 4-dimensiju oktaedram būs 8 virsotnes, kas ir vēl vieglāk.

4-dimensiju oktaedrs. Tas sastāv no astoņiem vienādmalu un vienādiem tetraedriem,
savienoti ar četriem katrā virsotnē.

Rīsi. Mēģinājums simulēt
hipersfēra-hipersfēra Vector sistēmā

Priekšpuse - aizmugure - bumbiņas bez kropļojumiem. Vēl sešas bumbiņas var definēt caur elipsoīdiem vai kvadrātveida virsmām (caur 4 kontūrlīnijām kā ģeneratoriem) vai caur virsmām (vispirms definētas caur ģeneratoriem).

Vairāk paņēmienu hipersfēras “veidošanai”.
- tā pati "futbola bumba" 4-dimensiju telpā

2. pielikums

Izliektajam daudzskaldnim ir īpašība, kas saista tās virsotņu, šķautņu un skaldņu skaitu, ko 1752. gadā pierādīja Leonhards Eilers un ko sauc par Eilera teorēmu.

Pirms formulēšanas apsveriet mums zināmos daudzskaldņus un aizpildiet šādu tabulu, kurā B ir dotā daudzskaldņa virsotņu, P - malu un G - skalu skaits:

Daudzskaldnis nosaukums
Trīsstūrveida piramīda
Četrstūra piramīda
Trīsstūrveida prizma
Četrstūra prizma
n-ogļu piramīda	n+1	2n	n+1
n-oglekļa prizma	2n	3n	n+2
n-ogles saīsinātas piramīda	2n	3n	n+2

No šīs tabulas uzreiz ir skaidrs, ka visiem izvēlētajiem daudzskaldņiem ir spēkā vienādība B - P + G = 2. Izrādās, ka šī vienādība ir spēkā ne tikai šiem daudzskaldņiem, bet arī patvaļīgam izliektam daudzskaldnim.

Eilera teorēma. Vienādība ir spēkā jebkuram izliektam daudzskaldnim

B — P + G = 2,

kur B ir virsotņu skaits, P ir šķautņu skaits un G ir dotā daudzskaldņa skalu skaits.

Pierādījums. Lai pierādītu šo vienlīdzību, iedomājieties šī daudzskaldņa virsmu, kas izgatavota no elastīga materiāla. Noņemsim (izgriezīsim) vienu no tās virsmām un atlikušo virsmu izstiepsim uz plaknes. Iegūstam daudzstūri (ko veido daudzskaldņa noņemtās skaldnes malas), kas sadalīts mazākos daudzstūros (ko veido daudzskaldņa atlikušās skaldnes).

Ņemiet vērā, ka daudzstūru malas var deformēt, palielināt, samazināt vai pat izliekt, ja vien sānos nav atstarpju. Virsotņu, malu un skaldņu skaits nemainīsies.

Pierādīsim, ka iegūtais daudzstūra sadalījums mazākos daudzstūros apmierina vienādību

(*)B - P + G " = 1,

kur B ir kopējais virsotņu skaits, P ir kopējais malu skaits un Г " ir nodalījumā iekļauto daudzstūru skaits. Ir skaidrs, ka Г " = Г - 1, kur Г ir dotās skaldnes skaits daudzskaldnis.

Pierādīsim, ka vienādība (*) nemainās, ja dotā nodalījuma kādā daudzstūrī tiek ievilkta diagonāle (5. att., a). Patiešām, pēc šādas diagonāles zīmēšanas jaunajā nodalījumā būs B virsotnes, P+1 malas un daudzstūru skaits palielināsies par vienu. Tāpēc mums ir

B — (P + 1) + (G "+1) = B – P + G" .

Izmantojot šo īpašību, mēs zīmējam diagonāles, kas sadala ienākošos daudzstūrus trīsstūros, un iegūtajam nodalījumam mēs parādām vienādības iespējamību (*) (5. att., b). Lai to izdarītu, mēs secīgi noņemsim ārējās malas, samazinot trīsstūru skaitu. Šajā gadījumā ir iespējami divi gadījumi:

a) lai noņemtu trīsstūri ABC mūsu gadījumā ir nepieciešams noņemt divas ribas AB Un B.C.;

b) lai noņemtu trīsstūriMKNir nepieciešams noņemt vienu malu, mūsu gadījumāMN.

Abos gadījumos vienlīdzība (*) nemainīsies. Piemēram, pirmajā gadījumā pēc trīsstūra noņemšanas grafiks sastāvēs no B - 1 virsotnēm, P - 2 malām un G " - 1 daudzstūra:

(B - 1) - (P + 2) + (G " - 1) = B - P + G".

Apsveriet otro gadījumu pats.

Tādējādi, noņemot vienu trīsstūri, vienādība (*) nemainās. Turpinot šo trīsstūru noņemšanas procesu, mēs galu galā nonāksim pie nodalījuma, kas sastāv no viena trīsstūra. Šādam nodalījumam B = 3, P = 3, Г " = 1 un līdz ar to B – Р + Г " = 1. Tas nozīmē, ka vienādība (*) attiecas arī uz sākotnējo nodalījumu, no kura mēs beidzot iegūstam, ka šim daudzstūru vienādības sadalījumam (*) ir taisnība. Tādējādi sākotnējam izliektam daudzskaldnim vienādība B - P + G = 2 ir patiesa.

Daudzskaldņa piemērs, kuram Eilera sakarība nav spēkā, parādīts 6. attēlā. Šim daudzskaldnim ir 16 virsotnes, 32 malas un 16 skaldnes. Tādējādi šim daudzskaldnim ir spēkā vienādība B – P + G = 0.

3. pielikums.

Filmu kubs 2: Hiperkubs ir zinātniskās fantastikas filma, filmas Kubs turpinājums.

Astoņi svešinieki pamostas kubveida istabās. Telpas atrodas četrdimensiju hiperkubā. Telpas nepārtraukti pārvietojas, izmantojot “kvantu teleportāciju”, un, uzkāpjot nākamajā telpā, maz ticams, ka atgriezīsies iepriekšējā. Hiperkubā krustojas paralēlās pasaules, dažās telpās laiks plūst atšķirīgi, un dažas telpas ir nāves lamatas.

Filmas sižets lielā mērā atkārto pirmās daļas stāstu, kas atspoguļojas arī dažu varoņu tēlos. Nobela prēmijas laureāts Rozencveigs, kurš aprēķināja precīzu hiperkuba iznīcināšanas laiku, mirst hiperkuba telpās..

Kritika

Ja pirmajā daļā labirintā ieslodzītie centās viens otram palīdzēt, tad šajā filmā katrs par sevi. Ir daudz nevajadzīgu specefektu (aka lamatas), kas nekādi loģiski nesavieno šo filmas daļu ar iepriekšējo. Respektīvi, izrādās, ka filma Kubs 2 ir sava veida nākotnes labirints 2020.-2030., bet ne 2000. Pirmajā daļā visu veidu lamatas teorētiski var radīt cilvēks. Otrajā daļā šie slazdi ir sava veida datorprogramma, tā sauktā "virtuālā realitāte".

Punkti (±1, ±1, ±1, ±1). Citiem vārdiem sakot, to var attēlot kā šādu kopu:

Tesraktu ierobežo astoņas hiperplaknes, kuru krustpunkts ar pašu tesraktu nosaka tās trīsdimensiju skaldnes (kas ir parastie kubi). Katrs neparalēlu 3D seju pāris krustojas, veidojot 2D sejas (kvadrātus) utt. Visbeidzot, tesseraktam ir 8 3D virsmas, 24 2D virsmas, 32 malas un 16 virsotnes.

Populārs apraksts

Mēģināsim iedomāties, kā izskatīsies hiperkubs, neatstājot trīsdimensiju telpu.

Viendimensionālā “telpā” - uz taisnes - izvēlamies segmentu AB ar garumu L. Divdimensiju plaknē, kas atrodas L attālumā no AB, novelkam tai paralēlu nogriezni DC un savienojam to galus. Rezultāts ir kvadrātveida CDBA. Atkārtojot šo darbību ar plakni, iegūstam trīsdimensiju kubu CDBAGHFE. Un, pārvietojot kubu ceturtajā dimensijā (perpendikulāri pirmajiem trim) par attālumu L, mēs iegūstam hiperkubu CDBAGHFEKLJIOPNM.

Tesrakta celtniecība lidmašīnā

Viendimensijas segments AB kalpo kā divdimensiju kvadrāta CDBA mala, kvadrāts - kā kuba CDBAGHFE mala, kas, savukārt, būs četrdimensiju hiperkuba mala. Taisnes segmentam ir divi robežpunkti, kvadrātam ir četras virsotnes, kubam ir astoņas virsotnes. Četrdimensiju hiperkubā tādējādi būs 16 virsotnes: 8 virsotnes no sākotnējā kuba un 8 virsotnes no kuba, kas nobīdīts ceturtajā dimensijā. Tam ir 32 malas - katra no 12 norāda sākotnējā kuba sākotnējo un beigu pozīciju, un vēl 8 malas “nozīmē” tā astoņas virsotnes, kuras ir pārcēlušās uz ceturto dimensiju. To pašu var izdarīt ar hiperkuba sejām. Divdimensiju telpā ir tikai viens (pats kvadrāts), kubā ir 6 no tiem (divas skaliņas no pārvietotā kvadrāta un vēl četras, kas raksturo tā malas). Četrdimensiju hiperkubam ir 24 kvadrātveida skaldnes - 12 kvadrāti no sākotnējā kuba divās pozīcijās un 12 kvadrāti no tā divpadsmit malām.

Tāpat kā kvadrāta malas ir 4 viendimensijas segmenti, bet kuba malas (šķautnes) ir 6 divdimensiju kvadrāti, tā arī “četrdimensiju kubam” (tesseraktam) malas ir 8 trīsdimensiju kubi. . Pretējo tesraktu kubu pāru telpas (tas ir, trīsdimensiju telpas, kurām pieder šie kubi) ir paralēlas. Attēlā tie ir kubi: CDBAGHFE un KLJIOPNM, CDBAKLJI un GHFEOPNM, EFBAMNJI un GHDCOPLK, CKIAGOME un DLJBHPNF.

Līdzīgā veidā mēs varam turpināt argumentāciju par lielāka dimensiju skaita hiperkubiem, taču daudz interesantāk ir redzēt, kā četrdimensiju hiperkubs izskatīsies mums, trīsdimensiju telpas iemītniekiem. Šim nolūkam mēs izmantosim jau pazīstamo analoģiju metodi.

Ņemsim stieples kubu ABCDHEFG un paskatīsimies uz to ar vienu aci no malas puses. Plaknē redzēsim un varēsim uzzīmēt divus kvadrātus (tās tuvākās un tālākās malas), kurus savieno četras līnijas – sānu malas. Līdzīgi četrdimensiju hiperkubs trīsdimensiju telpā izskatīsies kā divas kubiskas “kastes”, kas ievietotas viena otrā un savienotas ar astoņām malām. Šajā gadījumā pašas "kastes" - trīsdimensiju sejas - tiks projicētas uz "mūsu" telpu, un līnijas, kas tās savieno, stiepsies ceturtās ass virzienā. Varat arī mēģināt iztēloties kubu nevis projekcijā, bet gan telpiskā attēlā.

Tāpat kā trīsdimensiju kubu veido kvadrāts, kas nobīdīts par tā sejas garumu, kubs, kas nobīdīts ceturtajā dimensijā, veidos hiperkubu. To ierobežo astoņi kubi, kas perspektīvā izskatīsies kā diezgan sarežģīta figūra. Pats četrdimensiju hiperkubs sastāv no bezgalīga skaita kubu, tāpat kā trīsdimensiju kubu var “sagriezt” bezgalīgi daudzos plakanos kvadrātos.

Izgriežot trīsdimensiju kuba sešas šķautnes, jūs varat to sadalīt līdzenā figūrā - attīstībā. Tam būs kvadrāts katrā sākotnējās sejas pusē un vēl viens — tai pretējā seja. Un četrdimensiju hiperkuba trīsdimensiju izstrāde sastāvēs no oriģinālā kuba, no tā “izauguši” seši kubi, kā arī vēl viens - galīgā “hiperseja”.

Tesrakta īpašības ir zemākas dimensijas ģeometrisko figūru īpašību turpinājums četrdimensiju telpā.

Prognozes

Uz divdimensiju telpu

Šo struktūru ir grūti iedomāties, taču ir iespējams projicēt tesseraktu divdimensiju vai trīsdimensiju telpās. Turklāt, projicējot uz plaknes, ir viegli saprast hiperkuba virsotņu atrašanās vietu. Tādā veidā ir iespējams iegūt attēlus, kas vairs neatspoguļo telpiskās attiecības tesseraktā, bet ilustrē virsotņu savienojuma struktūru, kā parādīts šādos piemēros:

Trešajā attēlā redzams tesrakts izometrijā attiecībā pret konstrukcijas punktu. Šis attēlojums ir interesants, izmantojot tesseraktu kā topoloģiskā tīkla pamatu, lai saistītu vairākus procesorus paralēlā skaitļošanā.

Uz trīsdimensiju telpu

Viena no tesserakta projekcijām trīsdimensiju telpā attēlo divus ligzdotus trīsdimensiju kubus, kuru atbilstošās virsotnes ir savienotas ar segmentiem. Iekšējiem un ārējiem kubiem trīsdimensiju telpā ir dažādi izmēri, bet četrdimensiju telpā tie ir vienādi kubi. Lai saprastu visu tesseraktu kubu vienlīdzību, tika izveidots rotējošs tesrakta modelis.

• Sešas nošķeltas piramīdas gar tesserakta malām ir vienādu sešu kubu attēli. Tomēr šie kubi ir tesraktam tāpat kā kvadrāti (sejas) ir kubam. Bet patiesībā tesseraktu var sadalīt bezgalīgā skaitā kubu, tāpat kā kubu var sadalīt bezgalīgā skaitā kvadrātu vai kvadrātu bezgalīgā skaitā segmentu.

Vēl viena interesanta tesserakta projekcija trīsdimensiju telpā ir rombveida dodekaedrs ar tā četrām diagonālēm, kas savieno pretējo virsotņu pārus lielos rombu leņķos. Šajā gadījumā 14 no 16 tesserakta virsotnēm tiek projicētas 14 rombiskā dodekaedra virsotnēs, un atlikušo 2 projekcijas sakrīt tā centrā. Šādā projekcijā uz trīsdimensiju telpu tiek saglabāta visu viendimensionālo, divdimensiju un trīsdimensiju malu vienādība un paralēlisms.

Stereo pāris

Stereo pāris ir attēlots kā divas projekcijas trīsdimensiju telpā. Šis tesserakta attēls tika izveidots, lai attēlotu dziļumu kā ceturto dimensiju. Stereo pāris tiek skatīts tā, ka katra acs redz tikai vienu no šiem attēliem, parādās stereoskopisks attēls, kas atveido tesserakta dziļumu.

Tesserakta atsaiņošana

Tesrakta virsmu var izlocīt astoņos kubos (līdzīgi tam, kā kuba virsmu var izlocīt sešos kvadrātos). Ir 261 dažādu tesseraktu dizains. Tesrakta izvēršanos var aprēķināt, attēlojot savienotos leņķus grafikā.

Teserakts mākslā

• Edvīnas A. "New Abbott Plain" hiperkubs darbojas kā stāstītājs.
• Vienā no Džimija Neitrona piedzīvojumu sērijām "zēnu ģēnijs" Džimijs izgudro četrdimensiju hiperkubu, kas ir identisks saliekamajai kastei no Roberta Heinleina romāna Glory Road (1963).
• Roberts E. Heinleins hiperkubus pieminējis vismaz trīs zinātniskās fantastikas stāstos. Filmā "Četru dimensiju māja" ("The House That Teal Built") viņš aprakstīja māju, kas celta kā neiesaiņota tesakts, un pēc tam zemestrīces dēļ "salocījās" ceturtajā dimensijā un kļuva par "īstu" tesraktu. .
• Heinleina romānā Glory Road ir aprakstīta hiperizmēra kaste, kuras iekšpuse bija lielāka nekā ārpuse.
• Henrija Katnera stāstā "Visi Tenali Borogovs" ir aprakstīta izglītojoša rotaļlieta bērniem no tālās nākotnes, kas pēc uzbūves līdzīga tesseraktam.
• Aleksa Gārlenda (Alex Garland) romānā termins "tesserakts" tiek lietots, lai apzīmētu četrdimensiju hiperkuba trīsdimensiju, nevis pašu hiperkubu. Šī ir metafora, kas paredzēta, lai parādītu, ka kognitīvajai sistēmai ir jābūt plašākai par izzināmo.
• Cube 2 sižets: Hiperkuba centrā ir astoņi svešinieki, kas iesprostoti "hiperkubā" jeb savienotu kubu tīklā.
• Televīzijas seriālā Andromeda kā sižeta ierīce tiek izmantoti tesseraktu ģeneratori. Tie galvenokārt ir paredzēti, lai manipulētu ar telpu un laiku.
• Salvadora Dalī () glezna “Krustā sišana” (Corpus Hypercubus).
• Nextwave komiksu grāmatā ir attēlots transportlīdzeklis, kas ietver 5 tesseraktu zonas.
• Albumā Voivod Nothingface viena no kompozīcijām saucas “In my hypercube”.
• Entonija Pīrsa romānā Route Cube viens no Starptautiskās Attīstības asociācijas orbītā esošajiem pavadoņiem tiek saukts par tesseraktu, kas ir saspiests 3 dimensijās.
• Seriālā “Black Hole School” trešajā sezonā ir sērija “Tesseract”. Lūkass nospiež slepeno pogu, un skola sāk "izveidoties kā matemātisks tesarakts".
• Termins “tesserakts” un tā atvasinājums “tesserakts” ir atrodams Madlēnas L’Engles stāstā “A Wrinkle in Time”.
• TesseracT ir britu djent grupas nosaukums.
• Marvel Cinematic Universe filmu sērijā Tesseract ir galvenais sižeta elements, kosmisks artefakts hiperkuba formā.
• Roberta Šeklija stāstā “Peles jaunkundze un ceturtā dimensija” kāds ezotērikas rakstnieks, autora paziņa, mēģina ieraudzīt tesraktu, stundām ilgi skatoties uz viņa izstrādāto ierīci: bumbiņu uz kājas ar tajā iestrēgušiem stieņiem. kuri kubi ir uzmontēti, pārlīmēti ar visādiem ezotēriskiem simboliem. Stāstā pieminēts Hintona darbs.
• Filmās Pirmais atriebējs, Atriebēji. Tesseract - visa Visuma enerģija

Citi vārdi

• Heksadekahorons Heksadekahorons)
• Octochoron (angļu valodā) Oktahorons)
• Tetrakubs
• 4-Kubs
• Hiperkubs (ja nav norādīts izmēru skaits)

Piezīmes

Literatūra

• Čārlzs H. Hintons. Ceturtā dimensija, 1904. ISBN 0-405-07953-2
• Martins Gārdners, Matemātiskais karnevāls, 1977. ISBN 0-394-72349-X
• Ians Stjuarts, Mūsdienu matemātikas jēdzieni, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Saites

Krieviski

• Transformator4D programma. Četrdimensiju objektu (tai skaitā Hiperkuba) trīsdimensiju projekciju modeļu veidošana.
• Programma, kas ievieš tesserakta uzbūvi un visas tā radniecīgās transformācijas ar avota kodu C++ valodā.

Angliski

• Mushware Limited — tesseract izvades programma ( Tesseract treneris, licence ir saderīga ar GPLv2) un pirmās personas šāvēja četrdimensiju telpā ( Adanaxis; grafika galvenokārt ir trīsdimensiju; OS krātuvēs ir GPL versija).

Daudzskaldnis
Pareizi (platoniskas cietvielas)
Zvaigžņots dodekaedrs Zvaigžņots ikozidodekaedrs Zvaigžņots ikozaedrs Zvaigžņots daudzskaldnis Zvaigžņots oktaedrs
Izliekta	Arhimēda cietās vielas Kubooktaedrs Ikozidodekaedrs Nošķelts tetraedrs Nošķelts oktaedrs Nošķelts ikozaedrs Nošķelts kubs Nocirsts dodekaedrs Rombokuboktaedrs Rombikozidodekaedrs Rombisks nošķelts kuboktaedrs Rombisks nošķelts kuboktaedrs Sdobokubodekaedrs ron Noīsināta un kosidodekaedra Regulāra prizma Antiprizma Katalonijas ķermeņi Rombododekaedrs Rombotriakontaedrs Triakisteraedrs Tetrakišedeksaedrs Pentakisdodekaedrs Triakizooktaedrs Triakizikozaedrs Deltoidāls ikozitetraedrs Deltoidāls heksaedrs Piecstūra ikozitetraedrs Piecsstūru heksekaedrs Diskontaedrons Bez pilnīgas telpiskās simetrijas Piramīdas prizma Bipiramīda Antiprizma Zonoedrs Paralēles romboedrs Prizmatoīda Nošķelta piramīda Pentagondodekaedrs Paralleloedrs
formulas, teorēmas, teorijas
Cits

Tesseract ir četrdimensiju hiperkubs – kubs četrdimensiju telpā.
Saskaņā ar Oksfordas vārdnīcu vārdu tesserakts izdomāja un 1888. gadā izmantoja Čārlzs Hovards Hintons (1853-1907) savā grāmatā Jauns domu laikmets. Vēlāk daži cilvēki šo pašu figūru sauca par tetrakubu (grieķu τετρα — četri) — četrdimensiju kubu.
Parasts tesrakts Eiklīda četrdimensiju telpā ir definēts kā izliekts punktu korpuss (±1, ±1, ±1, ±1). Citiem vārdiem sakot, to var attēlot kā šādu kopu:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Tesraktu ierobežo astoņas hiperplaknes x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , kuru krustpunkts ar pašu tesraktu to nosaka 3D skaldnes (kas ir regulāri kubi) Katrs neparalēlu 3D skalu pāris krustojas, veidojot 2D skaldnes (kvadrātus) utt. Visbeidzot, tesraktam ir 8 3D skaldnes, 24 2D skaldnes, 32 malas un 16 virsotnes.
Populārs apraksts
Mēģināsim iedomāties, kā izskatīsies hiperkubs, neatstājot trīsdimensiju telpu.
Viendimensionālā “telpā” - uz taisnes - izvēlamies segmentu AB ar garumu L. Divdimensiju plaknē, kas atrodas L attālumā no AB, novelkam tai paralēlu nogriezni DC un savienojam to galus. Rezultāts ir kvadrātveida CDBA. Atkārtojot šo darbību ar plakni, iegūstam trīsdimensiju kubu CDBAGHFE. Un, pārvietojot kubu ceturtajā dimensijā (perpendikulāri pirmajiem trim) par attālumu L, mēs iegūstam hiperkubu CDBAGHFEKLJIOPNM.
Viendimensijas segments AB kalpo kā divdimensiju kvadrāta CDBA mala, kvadrāts - kā kuba CDBAGHFE mala, kas, savukārt, būs četrdimensiju hiperkuba mala. Taisnes segmentam ir divi robežpunkti, kvadrātam ir četras virsotnes, kubam ir astoņas virsotnes. Četrdimensiju hiperkubā tādējādi būs 16 virsotnes: 8 virsotnes no sākotnējā kuba un 8 virsotnes no kuba, kas nobīdīts ceturtajā dimensijā. Tam ir 32 malas - katra no 12 norāda sākotnējā kuba sākotnējo un beigu pozīciju, un vēl 8 malas “nozīmē” tā astoņas virsotnes, kuras ir pārcēlušās uz ceturto dimensiju. To pašu var izdarīt ar hiperkuba sejām. Divdimensiju telpā ir tikai viens (pats kvadrāts), kubā ir 6 no tiem (divas skaliņas no pārvietotā kvadrāta un vēl četras, kas raksturo tā malas). Četrdimensiju hiperkubam ir 24 kvadrātveida skaldnes - 12 kvadrāti no sākotnējā kuba divās pozīcijās un 12 kvadrāti no tā divpadsmit malām.
Tāpat kā kvadrāta malas ir 4 viendimensijas segmenti, bet kuba malas (šķautnes) ir 6 divdimensiju kvadrāti, tā arī “četrdimensiju kubam” (tesseraktam) malas ir 8 trīsdimensiju kubi. . Pretējo tesraktu kubu pāru telpas (tas ir, trīsdimensiju telpas, kurām pieder šie kubi) ir paralēlas. Attēlā tie ir kubi: CDBAGHFE un KLJIOPNM, CDBAKLJI un GHFEOPNM, EFBAMNJI un GHDCOPLK, CKIAGOME un DLJBHPNF.
Līdzīgā veidā mēs varam turpināt argumentāciju par lielāka dimensiju skaita hiperkubiem, taču daudz interesantāk ir redzēt, kā četrdimensiju hiperkubs izskatīsies mums, trīsdimensiju telpas iemītniekiem. Šim nolūkam mēs izmantosim jau pazīstamo analoģiju metodi.
Ņemsim stieples kubu ABCDHEFG un paskatīsimies uz to ar vienu aci no malas puses. Plaknē redzēsim un varēsim uzzīmēt divus kvadrātus (tās tuvākās un tālākās malas), kurus savieno četras līnijas – sānu malas. Līdzīgi četrdimensiju hiperkubs trīsdimensiju telpā izskatīsies kā divas kubiskas “kastes”, kas ievietotas viena otrā un savienotas ar astoņām malām. Šajā gadījumā pašas "kastes" - trīsdimensiju sejas - tiks projicētas uz "mūsu" telpu, un līnijas, kas tās savieno, stiepsies ceturtās ass virzienā. Varat arī mēģināt iztēloties kubu nevis projekcijā, bet gan telpiskā attēlā.
Tāpat kā trīsdimensiju kubu veido kvadrāts, kas nobīdīts par tā sejas garumu, kubs, kas nobīdīts ceturtajā dimensijā, veidos hiperkubu. To ierobežo astoņi kubi, kas perspektīvā izskatīsies kā diezgan sarežģīta figūra. Pats četrdimensiju hiperkubs sastāv no bezgalīga skaita kubu, tāpat kā trīsdimensiju kubu var “sagriezt” bezgalīgi daudzos plakanos kvadrātos.
Izgriežot trīsdimensiju kuba sešas šķautnes, jūs varat to sadalīt līdzenā figūrā - attīstībā. Tam būs kvadrāts katrā sākotnējās sejas pusē un vēl viens — tai pretējā seja. Un četrdimensiju hiperkuba trīsdimensiju izstrāde sastāvēs no oriģinālā kuba, no tā “izauguši” seši kubi, kā arī vēl viens - galīgā “hiperseja”.
Tesrakta īpašības ir zemākas dimensijas ģeometrisko figūru īpašību turpinājums četrdimensiju telpā.

Ģeometrijā hiperkubs-Šo n- kvadrāta izmēru līdzība ( n= 2) un kubs ( n= 3). Tā ir slēgta izliekta figūra, kas sastāv no paralēlu līniju grupām, kas atrodas figūras pretējās malās un ir savienotas viena ar otru taisnā leņķī.

Šis skaitlis ir pazīstams arī kā tesrakts(tesserakts). Tesrakts ir pret kubu tāpat kā kubs pret kvadrātu. Formālāk tesraktu var raksturot kā regulāru izliektu četrdimensiju politopu (daudzskaldni), kura robeža sastāv no astoņām kubiskām šūnām.

Saskaņā ar Oksfordas angļu vārdnīcu, vārdu "tesserakts" 1888. gadā izdomāja Čārlzs Hovards Hintons un izmantoja savā grāmatā "Jauna domu ēra". Vārds tika atvasināts no grieķu valodas "τεσσερες ακτινες" ("četri stari") četru koordinātu asu veidā. Turklāt dažos avotos tas pats skaitlis tika saukts tetrakubs(tetrakubs).

n-dimensiju hiperkubu sauc arī n-kubs.

Punkts ir hiperkubs ar izmēru 0. Ja punktu pārvietojat par garuma vienību, iegūstat vienības garuma segmentu - hiperkubu ar izmēru 1. Turklāt, ja nobīdāt segmentu par garuma vienību perpendikulārā virzienā. uz segmenta virzienu, iegūst kubu - hiperkubu ar izmēru 2. Pārbīdot kvadrātu par garuma vienību virzienā, kas ir perpendikulārs kvadrāta plaknei, iegūst kubu - hiperkubu ar izmēru 3. Šis process var vispārināt uz jebkuru skaitu dimensiju. Piemēram, ja ceturtajā dimensijā pārvietojat kubu par vienu garuma vienību, jūs iegūstat tesraktu.

Hiperkubu saime ir viena no retajām regulārajām daudzskaldām, ko var attēlot jebkurā dimensijā.

Hiperkuba elementi

Hiperkuba izmērs n ir 2 n“malas” (viendimensijas līnijai ir 2 punkti; divdimensiju kvadrātam ir 4 malas; trīsdimensiju kubam ir 6 skaldnes; četrdimensiju tesaraktam ir 8 šūnas). Hiperkuba virsotņu (punktu) skaits ir 2 n(piemēram, kubam - 2 3 virsotnes).

Daudzums m-dimensiju hiperkubi uz robežas n-kubs vienāds

Piemēram, uz hiperkuba robežas ir 8 kubi, 24 kvadrāti, 32 malas un 16 virsotnes.

Hiperkubu elementi

n-kubs	Vārds	Virsotne (0 seja)	Mala (viena seja)	Mala (divu seju)	Šūna (trīs sejas)	(4 sejas)	(5 sejas)	(6 pusējs)	(7 sejas)	(8 sejas)
0-kubs	Punkts	1
1-kubs	Līnijas segments	2	1
2-kubs	Kvadrāts	4	4	1
3-kubs	Kubs	8	12	6	1
4-kubs	Tesseact	16	32	24	8	1
5-kubs	Penteract	32	80	80	40	10	1
6-kubs	Hekserakts	64	192	240	160	60	12	1
7-kubs	Hepteract	128	448	672	560	280	84	14	1
8-kubs	Octeract	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-kubs	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Projekcija plaknē

Hiperkuba veidošanos var attēlot šādi:

• Divus punktus A un B var savienot, veidojot taisnes nogriezni AB.
• Divus paralēlus segmentus AB un CD var savienot, veidojot kvadrātveida ABCD.
• Divus paralēlus kvadrātus ABCD un EFGH var savienot, veidojot kubu ABCDEFGH.
• Divus paralēlus kubus ABCDEFGH un IJKLMNOP var savienot, veidojot hiperkubu ABCDEFGHIJKLMNOP.

Pēdējo struktūru nav viegli vizualizēt, taču ir iespējams attēlot tās projekciju divdimensiju vai trīsdimensiju telpā. Turklāt projekcijas uz divdimensiju plakni var būt noderīgākas, ļaujot pārkārtot projicēto virsotņu pozīcijas. Šajā gadījumā ir iespējams iegūt attēlus, kas vairs neatspoguļo elementu telpiskās attiecības tesseraktā, bet ilustrē virsotņu savienojumu struktūru, kā tas ir tālāk minētajos piemēros.

Pirmajā ilustrācijā parādīts, kā principā, savienojot divus kubus, veidojas tesrakts. Šī shēma ir līdzīga shēmai kuba izveidošanai no diviem kvadrātiem. Otrajā diagrammā redzams, ka visas tesserakta malas ir vienāda garuma. Šī shēma arī liek jums meklēt kubus, kas savienoti viens ar otru. Trešajā diagrammā tesserakta virsotnes atrodas atbilstoši attālumiem gar malām attiecībā pret apakšējo punktu. Šī shēma ir interesanta, jo tā tiek izmantota kā pamata shēma savienojošo procesoru tīkla topoloģijai, organizējot paralēlo skaitļošanu: attālums starp jebkuriem diviem mezgliem nepārsniedz 4 malu garumus, un ir daudz dažādu ceļu slodzes līdzsvarošanai.

Hiperkubs mākslā

Hiperkubs ir parādījies zinātniskās fantastikas literatūrā kopš 1940. gada, kad Roberts Heinleins stāstā “Un viņš uzcēla līku māju” aprakstīja māju, kas celta tesarakta formā. Stāstā “Tālāk” šī māja sabrūk, pārvēršoties par četrdimensiju tesseraktu. Pēc tam hiperkubs parādās daudzās grāmatās un stāstos.

Filma Cube 2: Hypercube ir par astoņiem cilvēkiem, kas iesprostoti hiperkubu tīklā.

Salvadora Dalī gleznā "Krustā sišana (Corpus Hypercubus)", 1954. gadā, attēlots Jēzus, kas sists krustā, skenējot tesseraktu. Šo gleznu var apskatīt Metropolitēna mākslas muzejā Ņujorkā.

Secinājums

Hiperkubs ir viens no vienkāršākajiem četrdimensiju objektiem, no kura var redzēt ceturtās dimensijas sarežģītību un neparastumu. Un tas, kas izskatās neiespējams trīs dimensijās, ir iespējams četrās, piemēram, neiespējamās figūrās. Tātad, piemēram, neiespējamā trīsstūra stieņi četrās dimensijās tiks savienoti taisnā leņķī. Un šī figūra izskatīsies šādi no visiem skata punktiem un netiks izkropļota, atšķirībā no neiespējama trīsstūra realizācijas trīsdimensiju telpā (sk.