A Pitagorasz-tétel bemutatásának érdekes bizonyítási módjai. Előadás a "Pitagorasz-tétel bizonyítási módszerei" témában

Óraterv Szervezési mozzanat Szervezési pont Ismétlés Ismétlés Üzenet a szamoszi Pythagoras életéről Üzenet a szamoszi Pythagoras életéről Történeti információk a Pitagorasz-tételről Történeti információk a Pitagorasz-tételről Tételmunka A tétel feldolgozása Feladatok megoldása a tétel segítségével Megoldás tétel használatával kapcsolatos problémák A lecke összegzése A lecke összegzése Házi feladat Házi feladat

Szamoszi Pythagoras Püthagorasz ie 580-ban született. az ókori Görögországban Szamosz szigetén, amely az Égei-tengerben található Kis-Ázsia partjainál, ezért is hívják szamoszi Pythagorasnak. Egy kőfaragó családjában, aki inkább hírnevet talált, mint gazdagságot. Már gyerekkorában is rendkívüli képességekről tett tanúbizonyságot, s amikor felnőtt, a fiatalember nyugtalan képzelete szűkössé vált a kis szigeten.

Pythagoras Püthagorasz Milétosz városába költözött, és Thalész tanítványa lett, aki akkoriban a nyolcvanas éveiben járt. A bölcs tudós azt tanácsolta a fiatalembernek, hogy menjen Egyiptomba, ahol egykor maga is tudományt tanult. Egy ismeretlen ország nyílt meg Pythagoras előtt. Megdöbbentette, hogy szülőföldjén, Görögországban az istenek emberek, az egyiptomi istenek pedig félig ember - félig állatok alakjában voltak. A tudás templomokban összpontosult, amelyekhez korlátozott volt a hozzáférés.

Pythagorasnak évekbe telt az egyiptomi kultúra mélyreható tanulmányozása, mielőtt megengedték neki, hogy megismerkedjen az egyiptomi tudomány évszázados vívmányaival. Amikor Pythagoras megértette az egyiptomi papok tudományát, hazament, hogy ott saját iskolát hozzon létre. A papok, akik nem akarták tudásukat a templomokon túlra terjeszteni, nem akarták elengedni. Nagy nehezen sikerült leküzdenie ezt az akadályt.

Hazafelé azonban Pythagorast elfogták, és Babilonban kötött ki. A babiloniak nagyra értékelték az okos embereket, ezért megtalálta a helyét a babiloni bölcsek között. A babiloni tudomány fejlettebb volt, mint az egyiptomi tudomány. A legszembetűnőbb sikereket az algebra érte el Püthagorasz A babilóniaiak találták fel és használták a helyzetszámrendszert a számolás során, és meg tudtak oldani lineáris, másodfokú és bizonyos típusú köbegyenleteket. Pythagoras körülbelül tíz évig élt Babilonban, és negyven évesen tért vissza hazájába. De nem sokáig maradt Samos szigetén. A szigetet akkoriban uraló Polikratész zsarnok elleni tiltakozás jeléül Dél-Olaszország egyik görög gyarmatán telepedett le, Crotone városában.

Ott Pythagoras titkos ifjúsági szövetséget szervezett az arisztokrácia képviselőiből. Hosszú megpróbáltatások után, nagy szertartásokkal fogadták be őket ebbe az unióba. Minden belépő lemondott tulajdonáról, és esküt tett, hogy titokban tartja az alapító tanításait. A pitagoreusok, ahogy később nevezték őket, matematikát, filozófiát és természettudományokat tanultak. Az iskolában volt egy rendelet, amely szerint minden matematikai mű szerzőjét a tanárnak tulajdonították. A Pythagorean szövetség titkos volt. Az unió emblémája vagy azonosító jele egy pentagram volt - egy ötágú csillag. A pentagramhoz hozzárendelték azt a képességet, hogy megvédje az embert a gonosz szellemektől.

A pitagoreusok sok fontos felfedezést tettek az aritmetika és a geometria területén. Az is ismert, hogy Pythagoras tanítványainak szellemi és erkölcsi fejlődése mellett a testi fejlődésük miatt is aggódott. Nemcsak ő maga vett részt az olimpián és kétszer nyert ökölharcot, hanem nagy olimpikonok galaxisát is kinevezte.Püthagorasz A tudós mintegy negyven évet szentelt az általa létrehozott iskolának, és az egyik változat szerint nyolcvan évesen. Pythagorast egy utcai harcban ölték meg a népfelkelés idején. Halála után a diákok számos legendával övezték tanáruk nevét.

A babiloni szövegekben 1200 évvel Pythagoras előtt található. Nyilván ő volt az első, aki ennek bizonyítékát találta. Ezzel kapcsolatban a következő bejegyzés született: „... amikor felfedezte, hogy egy derékszögű háromszögben a befogó a lábaknak felel meg, feláldozott egy búzatésztából készült bikát.” A Pitagorasz-tétel története Érdekes a Pitagorasz-tétel története. Bár ez a tétel Pythagoras nevéhez fűződik, már jóval előtte ismert volt.

Tétel Egy derékszögű háromszögben a befogó négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. Adott: Δ ABC, C = 90° Bizonyítás: Bizonyítás: D A cos B figyelembevételével kapjuk: (1) és (2) összeadásával kapjuk: Cos B figyelembevételével a következőt kapjuk: Csökkentsük le az SD magasságot a csúcspontjából. a derékszöget

2. dia

a2+b2=c2 c a b P

3. dia

Pythagoras nem fedezte fel a derékszögű háromszögnek ezt a tulajdonságát, valószínűleg ő volt az első, aki általánosította és bebizonyította, ezzel áthelyezve a gyakorlat területéről a tudomány területére. Nem tudjuk, hogyan csinálta. Feltételezzük, hogy Pythagoras bizonyítása nem volt alapvető, hanem csak megerősítése, próbája ennek a tulajdonságnak számos meghatározott háromszögtípuson, kezdve egy egyenlő szárú derékszögű háromszöggel, amelyre nyilvánvalóan az 1. ábrából következik. 1.

4. dia

5. dia

Bizonyítások az egyenlő méretű figurák fogalmának használatán.

6. dia

Nyilvánvaló, hogy ha a négyzet területéből kivonjuk az a, b lábú derékszögű háromszög területét, akkor egyenlő területek maradnak, azaz c2 = a2 + b2. Az ókori hinduk azonban, akikhez ez az okfejtés tartozik, általában nem írták le, hanem csak egy szóval kísérték a rajzot: „nézd!” Nagyon valószínű, hogy Pythagoras ugyanezt a bizonyítékot kínálta.

7. dia

Additív bizonyíték. Ezek a bizonyítások a lábakra épített négyzetek figurákká való felosztásán alapulnak, amelyekből a hipotenuzusra épített négyzetet hozzá lehet adni. Az Einstein-féle bizonyítás (3. ábra) a hipotenuzusra épített négyzet 8 háromszögre bontásán alapul.

8. dia

ábrán. A 4. ábra a Pitagorasz-tétel bizonyítását mutatja al-Nayriziyah, az Euklidész elemeinek középkori bagdadi kommentátora partíciójával. Ebben a partícióban a hipotenuszra épített négyzet 3 háromszögre és 2 négyszögre van osztva. Itt: ABC egy derékszögű háromszög C derékszögű; DE = BF. Bizonyítsa be a tételt ezzel a partícióval. D E

9. dia

Bizonyítás a kitöltési móddal. Ennek a módszernek az a lényege, hogy a lábakra épített négyzetekhez és a befogóra épített négyzetekhez egyenlő számokat adunk úgy, hogy egyenlő számokat kapjunk.

10. dia

A Pitagorasz-tétel érvényessége az AEDFPB és ACBNMQ hatszögek egyenlő méretéből következik. F

11. dia

ábrán. 13 ABC – téglalap, C – derékszög, CM AB, b1 – a b láb vetülete a befogóra, a1 – az a láb vetülete a befogóra, h – a befogóhoz húzott háromszög magassága. Mivel az ABC hasonló az ACM-hez, ebből következik, hogy b2 = c*b1; (1) Abból, hogy az ABC hasonló a BCM-hez, az következik, hogy a2 = c*a1. (2) Ha tagonként összeadjuk az (1) és (2) egyenlőségeket, azt kapjuk, hogy a2 + b2 = c*b1 + c*a1 = c*(b1 + a1) = c2. b

12. dia

A 15. ábrán három derékszögű háromszög alkot egy trapézt. Ezért ennek az ábrának a területe megtalálható a téglalap alakú trapéz területének képletével, vagy három háromszög területének összegeként. Garfield bizonyítéka.

13. dia

Pythagoras életrajza. A nagy tudós, Püthagorasz ie 570 körül született. Samos szigetén. Pythagoras apja Mnesarchus, drágakővágó volt. Pythagoras anyjának neve nem ismert. Sok ősi tanúvallomás szerint a megszületett fiú mesésen jóképű volt, és hamarosan megmutatta rendkívüli képességeit. Az ifjú Pythagoras tanítói között volt az idősebb Hermodamantus és a szírosi Pherecidész is. Az ifjú Pythagoras egész napokat töltött az idősebb Hermo lábainál, hallgatva a cithara dallamát és Homérosz hexametereit. Pythagoras egész életében megőrizte szenvedélyét a nagy Homérosz zenéje és költészete iránt. És elismert bölcs lévén, tanítványok tömegével körülvéve, Pythagoras Homérosz egyik dalának eléneklésével kezdte a napot. Pherecydes filozófus volt, és az olasz filozófiai iskola megalapítójának tartották. De bárhogy is legyen, a fiatal Pythagoras nyugtalan képzelete nagyon hamar beszorult a kis Samosba, és Milétoszba ment, ahol találkozott egy másik tudóssal - Thalészszel. Thalész azt tanácsolja neki, hogy menjen Egyiptomba tudásért, amit Pythagoras meg is tett. Kr.e. 548-ban. Pythagoras megérkezett Naucratisba, egy számiai kolóniába, ahol volt, aki menedéket és élelmet találjon.

14. dia

Miután tanulmányozta az egyiptomiak nyelvét és vallását, Memphisbe távozik. A fáraó ajánlólevele ellenére a ravasz papok nem siettek felfedni titkaikat Pythagoras előtt, nehéz próbákat kínálva neki. Ám a tudásszomjtól vezérelve Pythagoras mindegyiken felülkerekedett, bár az ásatások szerint az egyiptomi papok nem tudták sokra megtanítani, mert akkoriban az egyiptomi geometria tisztán alkalmazott tudomány volt (kielégítve az akkori földszámlálási és -mérési igényt). Ezért, miután mindent megtanult, amit a papok adtak neki, megszökött előlük, és hazájába, Hellasba költözött. Miután azonban az út egy részét teljesítette, Pythagoras a szárazföldi utazás mellett döntött, amelynek során elfogta Kambüszész, Babilon királya, aki hazafelé tartott. Nem kell dramatizálni Pythagoras életét Babilonban, mert... a nagy uralkodó, Kürosz elnéző volt minden foglyul. A babiloni matematika kétségtelenül fejlettebb volt (erre példa a számítások helyzetrendszere), mint az egyiptomi, és Pythagorasnak sokat kellett tanulnia. De ie 530-ban. Kürosz hadjáratot indított a közép-ázsiai törzsek ellen. És kihasználva a város zűrzavarát, Pythagoras hazájába menekült.

15. dia

És Samoson akkoriban a zsarnok, Polykratész uralkodott. Természetesen Pythagoras nem elégedett meg az udvari rabszolga életével, és visszavonult a Szamos környéki barlangokba. Polycrates több hónapos követelése után Pythagoras Crotonba költözött. Crotonban Pythagoras olyasmit hozott létre, mint egy vallási-etikai testvériség vagy egy titkos szerzetesrend („pythagoreusok”), amelynek tagjai vállalták, hogy az úgynevezett pitagoreus életmódot folytatják. Egyszerre volt vallási szövetség, politikai klub és tudományos társaság. Azt kell mondanunk, hogy a Pythagoras által hirdetett elvek egy része ma is utánzásra méltó. ...20 év telt el. A testvériség híre az egész világon elterjedt. Egy nap Cylon, egy gazdag, de gonosz ember, Pythagorashoz érkezik, és részegen akar csatlakozni a testvéri közösséghez. Miután megkapta az elutasítást, Cylon harcolni kezd Pythagorasszal, kihasználva háza felgyújtását. A tűzvész során a püthagoreusok saját maguk árán mentették meg tanáruk életét, ami után Pythagoras szomorú lett, és hamarosan öngyilkos lett.

Az összes dia megtekintése

A tétel története. Az ókori Kína Kezdjük történelmi áttekintésünket az ókori Kínával. Itt a Chu-pei matematikai könyv vonzza különös figyelmet. Ez az esszé a 3., 4. és 5. oldalú Pitagorasz-háromszögről beszél: Kezdjük az ókori Kínával. Itt a Chu-pei matematikai könyv vonzza különös figyelmet. Ez a mű egy 3-as, 4-es és 5-ös oldalú Pitagorasz-háromszögről ezt mondja: „Ha egy derékszöget alkotórészeire bontjuk, akkor az oldalainak végeit összekötő egyenes 5 lesz, ha az alap 3 és a magasság 4.” Ugyanebben a könyvben olyan rajzot javasolnak, amely egybeesik Bashara hindu geometriájának egyik rajzával. Ugyanebben a könyvben olyan rajzot javasolnak, amely egybeesik Bashara hindu geometriájának egyik rajzával.

A babilóniaiaknál valamivel többet tudunk a Pitagorasz-tételről. Az egyik szövegben, amely Hammurapi idejére nyúlik vissza, azaz ie 2000-ig. Például egy derékszögű háromszög befogójának hozzávetőleges számítását adjuk meg. Ebből arra következtethetünk, hogy Mezopotámiában derékszögű háromszögekkel is tudtak számításokat végezni, legalábbis bizonyos esetekben. A geometria a hinduknál, akárcsak az egyiptomiaknál és a babiloniaknál, szorosan összefüggött a kultusszal. Nagyon valószínű, hogy a hipotenusz négyzetére vonatkozó tételt Indiában már a Kr. e. 18. század körül ismerték. e. Ősi India

Cantor (a matematika legnagyobb német történésze) úgy véli, hogy a 3² + 4² = 5² egyenlőséget az egyiptomiak már Kr.e. 2300 körül ismerték. pl. I. Amenemhat király idejében (a berlini múzeum 6619-es papirusza szerint) Kántor szerint a harpedonapták, vagyis a „kötélhúzók” derékszögeket építettek 3, 4 és 5 oldalú derékszögű háromszögek felhasználásával. konstrukció nagyon könnyen reprodukálható. Vegyünk egy 12 méter hosszú kötelet, és kössünk rá egy színes csíkot az egyik végétől 3, a másik végétől 4 méterre. A derékszöget 3 és 4 méter hosszú oldalak közé kell zárni.

Van der Waerden (holland matematikus) egyrészt az egyiptomi és babiloni matematika jelenlegi tudásszintje, másrészt a görög források kritikai tanulmányozása alapján a következő következtetésre jutott: „Az érdem a Az első görög matematikusok, mint Thalész, Pythagoras és a Pythagoreusok, nem a matematika felfedezése, hanem rendszerezése és igazolása. Kezükben a homályos elképzeléseken alapuló számítási receptek egzakt tudománnyá változtak."

A nagy tudós, Püthagorasz ie 570 körül született. Samos szigetén. Pythagoras apja Mnesarchus, drágakővágó volt. Pythagoras anyjának neve ismeretlen. Sok ősi tanúvallomás szerint a megszületett fiú mesésen jóképű volt, és hamarosan megmutatta rendkívüli képességeit. Pythagoras egész életében megőrizte szenvedélyét a nagy Homérosz zenéje és költészete iránt. Hamarosan az ifjú Püthagorasz nyugtalan képzelete beszorult a kis Samosba, és Milétoszba ment, ahol megismerkedett egy másik tudóssal, Thalészszel. Aztán útra kel, és elfogja Kürosz babiloni király. Kr.e. 530-ban. Kürosz hadjáratot indított a közép-ázsiai törzsek ellen. És kihasználva a város zűrzavarát, Pythagoras hazájába menekült.

És Samoson akkoriban a zsarnok, Polykratész uralkodott. Polycrates több hónapos követelése után Pythagoras Crotonba költözött. Crotonban Pythagoras valami vallási-etikai testvériséget vagy titkos szerzetesrendet ("pythagoreusokat") hozott létre, amelynek tagjai vállalták, hogy az úgynevezett pitagoreus életmódot vezetik.... 20 év telt el. A testvériség híre az egész világon elterjedt. Egy nap Cylon, egy gazdag, de gonosz ember, Pythagorashoz érkezik, és részegen akar csatlakozni a testvéri közösséghez. Miután megkapta az elutasítást, Cylon harcolni kezd Pythagorasszal, kihasználva háza felgyújtását. A tűzvész során a püthagoreusok saját maguk árán mentették meg tanáruk életét, ami után Pythagoras szomorú lett, és hamarosan öngyilkos lett.

Pitagorasz tétel. Egy derékszögű háromszögben a befogó négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. A tétel egyéb megfogalmazásai. Eukleidész tétele kimondja (szó szerinti fordítás): "Egy derékszögű háromszögben a derékszöget átívelő oldal négyzete egyenlő a derékszöget bezáró oldalak négyzetével." A Geometria Culmonensis-ben (1400 körül) a tétel fordítása így hangzik: „Egy négyzet területe a hosszú oldala mentén mérve akkora, mint két négyzeté, amelyek a jobb oldala mentén vannak mérve. szög."

A legegyszerűbb bizonyíték. A tétel legegyszerűbb bizonyítását egyenlő szárú derékszögű háromszög legegyszerűbb esetben kapjuk. Valójában elég csak megnézni az egyenlő szárú derékszögű háromszögek mozaikját, hogy meggyőződjünk a tétel érvényességéről. Például az ABC háromszögnél: az AC hipotenuszra épített négyzet 4 eredeti háromszöget tartalmaz, az oldalakra épített négyzetek pedig kettőt.

Bizonyítás kivonásos módszerrel. Nézzünk egy másik bizonyítást a kivonás módszerével. Tegyük egy téglalap alakú keretbe a Pitagorasz-tétel ismert rajzát, amelynek oldalainak irányai egybeesnek a háromszög szárainak irányaival. Folytassuk az ábra néhány szakaszát az ábrán látható módon, miközben a téglalap több háromszögre, téglalapra és négyzetre bomlik. Először távolítsunk el több részt a téglalapból úgy, hogy csak a befogóra épített négyzet maradjon meg. Ezek a részek a következők: 1. 1, 2, 3, 4 háromszögek; 2. téglalap 5; 3. téglalap 6 és négyzet 8; 4. 7. téglalap és 9. négyzet;

Ezután a téglalapból kidobjuk a részeket úgy, hogy csak az oldalakra épített négyzetek maradjanak. Ezek a részek a következők lesznek: 1. 6. és 7. téglalapok; 2. téglalap 5; 3. téglalap 1 (árnyékolt); 4. téglalap 2 (árnyékolt); Csak azt kell megmutatnunk, hogy az elvitt részek egyforma méretűek. Ez a figurák elrendezésének köszönhetően könnyen belátható. Az ábrán jól látható, hogy: 1. az 5. téglalap mérete önmagával egyenlő; 2. négy 1,2,3,4 háromszög mérete egyenlő két 6-os és 7-es téglalappal; 3. a 6-os téglalap és a 8-as négyzet együttvéve mérete megegyezik az 1-es téglalappal (árnyékolt); 4. a 7-es téglalap és a 9-es négyzet mérete megegyezik a 2-es téglalappal (árnyékolt); A tétel bebizonyosodott

Einstein bizonyítása Az E, C és F pont ugyanazon az egyenesen fekszik; ez az ECF szög fokmértékének egyszerű számításaiból következik (ez ki van hajtva). A CD-t az EF-re merőlegesen rajzoljuk. A befogóra épült négyzet bal és jobb oldala felfelé nyúlik, amíg metszi az EF-t; oldal EA meghosszabbodik, amíg nem metszi a CD-t. Ennek megfelelően az egyenlő háromszögek egyenlő számozásúak.

Valójában az ABD és BFC háromszögek két oldala és a közöttük lévő szög egyenlő: FB = AB, BC = BD, és a köztük lévő szögek egyenlőek egymásra merőleges oldalú tompaszögekkel. S ABD = 0,5 S BJLD, mivel az ABD háromszögnek és a BJLD téglalapnak közös alapja BD és közös magassága LD. Hasonlóan S FBC=0,5 S ABFH (BF-közös alap, AB-közös magasság). Ezért, figyelembe véve, hogy S ABD = S FBC, S BJLD = S ABFH áll rendelkezésünkre. Hasonlóképpen, ha az AE szakaszt a ВСК és ACE háromszögek egyenlőségével rajzolja meg, akkor bebizonyítja, hogy S JCEL = S ACKG. Tehát S ABFH+ S ACKG= S BJLD+ S JCEL= S BCED, amit bizonyítani kellett. Ezt a bizonyítékot Eukleidész adta az Elemek című művében. Proklosz (Bizánc) szerint maga Eukleidész találta fel. Eukleidész bizonyítása az Elemek első könyvének 47. mondatában található. Az ABC derékszögű háromszög befogóján és lábain megszerkesztjük a megfelelő négyzeteket, és bebizonyítjuk, hogy a BJLD téglalap egyenlő az ABFH négyzettel, a JCEL téglalap pedig az AGKC négyzettel. Ekkor a lábakon lévő négyzetek területeinek összege megegyezik a hipotenuszon lévő négyzet területével.

A második rejtély a szamoszi Pythagoras híres tételének pontosan ismeretlen számú bizonyítása. Emiatt döntöttem úgy, hogy egy szociológiai felmérést készítek, amely kimutatta, hogy az idősebb nemzedék legtöbb embere egyetért a 250 bizonyítással, bár további forrásokból tudom, hogy ennek a tételnek több mint 350 bizonyítása létezik. miért került be a Guinness Rekordok Könyvébe! De természetesen ezekben a bizonyításokban viszonylag kevés alapvetően eltérő gondolatot használnak fel.

A harmadik titok az, hogy a Pitagorasz-tétel ma a matematika szimbóluma. A negyedik titok - a Pitagorasz-tétel - rengeteg általánosítási anyagot biztosít számunkra - a mentális tevékenység legfontosabb típusa, az elméleti gondolkodás alapja, amelyet sok tudós folyékonyan ismer. Itt hozzátehetjük, hogy a Pitagorasz-tételből tovább lehet lépni más tételekre.

Az ötödik titok az, hogy egyes kutatók Pythagorasnak tulajdonítják azt a bizonyítékot, amelyet Eukleidész az Elemek első könyvében adott. Másrészt Proklosz (5. századi matematikus) azzal érvelt, hogy az Elemek bizonyítása magának Eukleidészé volt. Püthagorasz bizonyításának módja azonban ma még ismeretlen.

A hatodik titok magáról Pythagorasról szóló legenda, aki először bizonyította ezt a tételt. Egy legenda szerint amikor szamoszi Püthagorasz bebizonyította tételét, 100 bika feláldozásával hálát adott az isteneknek. A tudós hipnotikus képességeiről is legendák keringtek: mintha egy pillantással meg tudná változtatni a madarak repülési irányát. Azt is elmondták, hogy ezt a csodálatos embert egyszerre látták különböző városokban, amelyek között több napos utazás telt el. És hogy állítólag egy „szerencsekerék” tulajdonosa volt, amelynek forgatásával nem csak a jövőt jósolta, hanem adott esetben be is avatkozott az események menetébe.

A prezentáció leírása külön diánként:

1 csúszda

Dia leírása:

A KazGASA Auelbekova G.U. Líceum tanára. – A Pitagorasz-tétel és annak különféle bizonyítási módjai. 2016

2 csúszda

Dia leírása:

CÉL: A fő cél az, hogy megvizsgáljuk a Pitagorasz-tétel bizonyításának különböző módjait. Mutasd meg, milyen jelentősége van a Pitagorasz-tételnek a tudomány és a technika fejlődésében, általában a matematikában!

3 csúszda

Dia leírása:

Pythagoras életrajzából A legtöbb, amit a lakosság most tud erről a tekintélyes ókori görögről, egy mondatba fér bele: „Püthagorasz nadrágja minden oldalról egyenlő.” E kötekedés szerzőit egyértelműen évszázadok választják el Pythagorastól, különben nem mertek volna kötekedni. Mivel Pythagoras egyáltalán nem a hipotenusz négyzete, egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. Ez egy híres filozófus. Pythagoras a Kr.e. hatodik században élt, gyönyörű megjelenésű volt, hosszú szakállt viselt, fején arany diadém volt. A Pythagoras nem név, hanem becenév, amelyet a filozófus azért kapott, mert mindig helyesen és meggyőzően beszélt, mint egy görög jósda. (Püthagorasz – „beszéddel meggyőző.”) Beszédeivel 2000 diákot szerzett meg, akik családjukkal együtt iskolaállamot alkottak, ahol Pythagoras törvényei és szabályai voltak érvényben. Ő volt az első, aki nevet adott tevékenységének. A „filozófus” szó, akárcsak a „kozmosz” szó, Pythagorastól származik. Filozófiájában sok a kozmikus. Azzal érvelt, hogy Isten, ember és természet megértéséhez az algebrát a geometriával, a zenével és a csillagászattal együtt kell tanulmányoznia. Egyébként a püthagoreusi tudásrendszert nevezik görögül „matematikának”. Ami a hírhedt háromszöget illeti hipotenuszával és lábaival, ez a nagy görög szerint több, mint egy geometriai alakzat. Ez a „kulcs” életünk összes titkosított jelenségéhez. A természetben minden három részre oszlik, mondta Pythagoras. Ezért minden probléma megoldása előtt háromszögdiagram formájában kell ábrázolni. "Lásd a háromszöget - és a probléma kétharmada megoldódott."

4 csúszda

Dia leírása:

A Pitagorasz-tételnek most három megfogalmazása van: 1. Egy derékszögű háromszögben a befogó négyzete egyenlő a lábak négyzeteinek összegével. 2. A derékszögű háromszög hipotenuszára épített négyzet területe megegyezik a lábakra épített négyzetek területeinek összegével. 3. A derékszögű háromszög befogójára épített négyzet megegyezik a lábakra épített négyzetekkel. Megfordított Pitagorasz-tétel: Az a, b és c pozitív számok minden hármasára, ahol a2 + b2 = c2, létezik egy derékszögű háromszög, amelynek a és b lábai és c hipotenusza. te

5 csúszda

Dia leírása:

A tétel történetéből A tétel történetéből Szigorúan véve, bár a tételt „Pitagorasz-tételnek” nevezik, maga Pythagoras nem fedezte fel. A derékszögű háromszöget és speciális tulajdonságait már jóval előtte tanulmányozták. Ebben a kérdésben két sarkos nézőpont létezik. Az egyik változat szerint Pythagoras volt az első, aki teljes bizonyítást talált a tételre. Egy másik szerint a bizonyítás nem Püthagorasz szerzőségéhez tartozik. Ma már nem tudod ellenőrizni, hogy kinek van igaza és kinek nincs igaza. Azt tudjuk, hogy Pythagoras bizonyítéka, ha valaha is létezett, nem maradt fenn. Vannak azonban olyan felvetések, hogy az Euklidész elemeiből származó híres bizonyíték Pythagorasé lehet, és Eukleidész csak feljegyezte. Ma az is ismert, hogy a derékszögű háromszöggel kapcsolatos problémák I. Amenemhat fáraó idejéből származó egyiptomi forrásokban, Hammurapi király uralkodása idejéből származó babiloni agyagtáblákon, a „Sulva Sutra” című ősi indiai értekezésben és az ókori kínai „művben” találhatók. Zhou-bi Suan jin”. Amint látjuk, a Pitagorasz-tétel ősidők óta foglalkoztatja a matematikusok elméjét. Ezt mintegy 500 különböző ma létező bizonyíték erősíti meg. Ebben semmilyen más tétel nem versenyezhet vele. A híres bizonyítási szerzők közül megidézhetjük Leonardo da Vincit és James Garfield huszadik amerikai elnököt. Mindez e tétel rendkívüli fontosságáról beszél a matematika számára: a geometria tételeinek többsége ebből származik, vagy valamilyen módon kapcsolódik hozzá. .

6 csúszda

Dia leírása:

Formulációk A tétel görög, latin és német nyelvről lefordított állításai Euklidésznél ez a tétel így áll (szó szerinti fordítás): „Egy derékszögű háromszögben a derékszöget átívelő oldal négyzete egyenlő a derékszöget bezáró oldalak négyzeteivel. .” Az Annairitsi arab szöveg (kb. i. e. 900) latin fordítása, amelyet Clemons Gerhard (12. század eleje) készített, oroszra fordítva, így hangzik: „Minden derékszögű háromszögben a derékszög fölé feszített oldalon képzett négyzet egyenlő két, derékszöget bezáró, két oldalon képzett négyzet összege." A Geometria Culmonensis-ben (1400 körül) a tétel fordítása így hangzik: „Egy négyzet területe a hosszú oldala mentén mérve akkora, mint két négyzeté, amelyek a jobb oldala mentén vannak mérve. szög." Az Euklideszi elemek első orosz fordításában, amelyet F. I. Petrusevszkij készített, Pitagorasz tétele a következőképpen hangzik: „A derékszögű háromszögekben a derékszöggel ellentétes oldal négyzete egyenlő a jobb oldalt tartalmazó oldalak négyzeteinek összegével. szög."

7 csúszda

Dia leírása:

A bizonyításhoz használt konstrukció a következő: derékszögű derékszögű háromszögre, a lábak feletti négyzetekkel és és a befogó feletti négyzetekkel egy magasságot és egy azt kiterjesztő sugarat szerkesztünk, a befogó feletti négyzetet két téglalapra osztva. és. A bizonyítás célja a téglalap és a szár feletti négyzet területeinek egyenlősége, a négyzetet alkotó második téglalap és a befogóval és a másik láb feletti téglalap területeinek egyenlősége hasonló módon. A téglalap területének egyenlőségét a háromszögek egybevágóságán keresztül állapítjuk meg, amelyek mindegyikének területe egyenlő a négyzetek területének felével, és ennek megfelelően a következő tulajdonsággal összefüggésben: a terület a háromszög területének fele egyenlő a téglalap területének felével, ha az ábráknak közös oldaluk van, és a háromszögnek a közös oldalhoz mért magassága a téglalap másik oldala. A háromszögek egybevágósága a két oldal (négyzetek oldalai) és a köztük lévő szög egyenlőségéből következik (amely derékszögből és egy szögből áll. Így a bizonyítás megállapítja, hogy egy négyzetnek a befogó feletti területe téglalapokból és, egyenlő a lábak feletti négyzetek területének összegével. EGYSZERŰ BIZONYÍTÁS

8 csúszda

Dia leírása:

AJ a hypotenusig leengedett magasság. Bizonyítsuk be, hogy ennek folytatása a hipotenuszon épített négyzetet két téglalapra osztja, amelyek területe megegyezik az oldalakra épített megfelelő négyzetek területével. Bizonyítsuk be, hogy a BJLD téglalap mérete egyenlő az ABFH négyzettel. Háromszög ABD=BFC (két oldalon és a köztük lévő szög BF=AB; BC=BD; szög FBC=ABD szög).

9. dia

Dia leírása:

S háromszög ABD=1/2 S téglalap BJLD, mert Az ABD háromszögnek és a BJLD téglalapnak közös alapja BD és közös magassága LD. HASONLÓAN S háromszög FBC=1/2 S téglalap ABFH(BF-közös alap, AB-közös magasság). Ezért, figyelembe véve, hogy az ABD háromszög S = S az FBC háromszögből, a következőt kapjuk: S BJLD=S ABFH. HASONLÓAN a BCK és ACE háromszögek egyenlőségét felhasználva bebizonyosodik, hogy S JCEL=S ACKG. S ABFH+S ACKJ=S BJLD+ S JCEL=S BCED. Háromszög S=1/2AB x BD=1/2LD x BD=1/2 S BJLD A tétel igazolt. A L B D

10 csúszda

Dia leírása:

Bhaskari indiai matematikus a in c in a - in in c Bhaskari módszerének bizonyítása a következő: fejezze ki a hipotenuzon (c ²) épített négyzet területét a háromszögek területének összegével (4S = 4· 0,5 a b) és a négyzet területe (a – c) ². Vagyis kiderül, hogy c ² = 4 · 0,5 a b + (a – c) ² c ² = 2 a b + a ² - 2 a b + b ² c ² = a ² + b ² A tétel igazolt.

11 csúszda

Dia leírása:

Waldheim bizonyítása a b c a b c Waldheim azt a tényt használja, hogy egy derékszögű háromszög területe egyenlő a lábai szorzatának felével, a trapéz területe pedig egyenlő a párhuzamos alapjai és a magassága összegének felével. . Most a tétel bizonyításához elég csak a trapéz területét kétféleképpen kifejezni: S trapéz = 0,5(a + b) (a + b) = 0,5 (a + b) ² S trapéz = 0,5 a b + 0, 5 a b + 0,5 c ² A jobb oldalakat kiegyenlítve 0,5 (a + b) ² = 0,5 a b + 0,5 a b + 0,5 c ² (a + b) ² = a b + а в + с ² а ² + 2 а в + в ² = 2 а в + с ² с ² = а ² + в ² A tétel bizonyítva

12 csúszda

Dia leírása:

Hawkins-bizonyítás A B C A1 B1 a c D c a c 1. Forgassuk el a téglalap ∆ABC-t (C derékszögű) a C pont középpontja körül 90º-kal úgy, hogy az A1 B1 C helyzetbe kerüljön, amint az ábrán látható. 2. Folytassuk a B1 A1 hipotenuszt az A1 ponton túl, amíg a D pontban nem metszi az AB egyenest. A B1 D szakasz ∆B1AB magasságú lesz (mivel ∟B1DA = 90º). 3. Tekintsük az A1AB1B négyszöget. Egyrészt SА1АВ1В = SАА1 + SСВВ1 =0,5в · в + 0,5а · а=0,5(а² + в²) Másrészt SA1АВ1В = SA1ВВ1 + SАА1Вs = 0,5 · 0,5 · Вs + 0,5 · s ·(AD + VD) = 0,5 · s² Az eredményül kapott kifejezések egyenlítésével 0,5 (a² + b²) = 0,5 c² a² + b² = c² A tétel bizonyítást nyert.

13. dia

Dia leírása:

Geometriai bizonyíték. (Hoffmann-módszer) Szerkessze meg az ABC háromszöget C derékszöggel. BF=CB, BFCB konstrukció BE=AB, BEAB Konstrukció AD=AC, ADAC Az F, C, D pontok ugyanahhoz az egyeneshez tartoznak.

14. dia

Dia leírása:

Amint látjuk, az ADFB és ACBE négyszögek egyenlő méretűek, mert ABF=ECB. Az ADF és az ACE háromszögek egyenlő méretűek. Vonjuk ki mindkét egyenlő négyszögből az általuk megosztott ABC háromszöget, és kapjuk: 1/2a2+1/2b 2=1/2c 2 Ennek megfelelően: a2+ b 2 =c 2 A tétel bizonyítva.

15 csúszda

Dia leírása:

Algebrai bizonyítás (Möhlmann módszer) Egy adott téglalap területe az egyik oldalon 0,5ab, a másikon 0,5pr, ahol p a háromszög fél kerülete, r a beírt kör sugara (r=0,5 (a+b-c)). A C

16 csúszda

Dia leírása:

Megvan: 0,5ab=0,5pr=0,5(a+b+c)*0,5(a+b-c) Ebből következik, hogy c2= a2+b2 A tétel igazolt. A C

17. dia

Dia leírása:

A Pitagorasz-tétel jelentése A Pitagorasz-tétel joggal a matematika egyik fő tétele. Ennek a tételnek az a jelentősége, hogy segítségével levezethető a legtöbb geometriai tétel. Értéke a modern világban is nagy, mivel a Pitagorasz-tételt az emberi tevékenység számos ágában használják. Használják például villámhárítók elhelyezésénél az épületek tetején, bizonyos építészeti stílusú ablakok gyártásánál, sőt a mobilszolgáltatók antennáinak magasságának kiszámításánál is. És ez nem a tétel gyakorlati alkalmazásainak teljes listája. Ezért nagyon fontos ismerni a Pitagorasz-tételt és megérteni a jelentését.

18 csúszda

Dia leírása:

Pitagorasz-tétel az irodalomban. Pythagoras nemcsak nagy matematikus, hanem korának nagy gondolkodója is, ismerkedjünk meg néhány filozófiai megállapításával...

19. dia

Dia leírása:

1. A gondolat mindenek felett áll az emberek között a földön. 2. Ne ülj gabonamérésre (azaz ne élj tétlenül). 3. Távozáskor ne nézz hátra (azaz a halál előtt ne ragaszkodj az élethez). 4. Ne járj a kitaposott úton (vagyis ne a tömeg véleményét kövesd, hanem azon kevesek véleményét, akik megértik). 5. Ne tartson fecskét a házában (azaz ne fogadjon beszédes vagy nyelvükön féktelen vendégeket). 6. Légy azokkal, akik a terhet magukra hárítják, ne legyél azokkal, akik ledobják a terhet (vagyis ne tétlenségre, hanem erényre, munkára buzdítsd az embereket). 7. Ne viselj képeket a ringben (vagyis ne kérkedj az emberek előtt, hogyan ítéled meg és gondolod az isteneket).

Csernov Maxim

Egy geometriai projekt, amelyet prezentáció formájában terveztek a "Pitagorasz-tétel és különféle bizonyítási módszerek" témában.

Letöltés:

Előnézet:

A prezentáció előnézetének használatához hozzon létre egy Google-fiókot, és jelentkezzen be: https://accounts.google.com

Diafeliratok:

A Pitagorasz-tétel és a különféle bizonyítási módszerek Kiegészítő: Chernov Maxim 8A

Projekt célja: A Pitagorasz-tétel bemutatása és különböző bizonyítási módok bemutatása.

Történelem Az ókori kínai könyv, a Zhou Bi Xuan Jing egy Pitagorasz-háromszögről beszél, amelynek 3, 4 és 5 oldala van. Ugyanez a könyv olyan rajzot kínál, amely egybeesik Bashara hindu geometriájának egyik rajzával. Moritz Cantor (a vezető német matematikatörténész) úgy véli, hogy a 3² + 4² = 5² egyenlőséget az egyiptomiak már Kr.e. 2300 körül, I. Amenemhat király idejében ismerték (a Berlini Múzeum 6619. számú papirusza szerint). Cantor szerint a harpedonapták, vagyis a „kötélhúzók” derékszöget építettek 3, 4 és 5 oldalú derékszögű háromszögek felhasználásával. Felépítési módszerük nagyon könnyen reprodukálható. Vegyünk egy 12 m hosszú kötelet és kössünk rá egy színes csíkot az egyik végétől 3 m távolságra, a másik végétől 4 méter távolságra. A derékszög 3 és 4 méter hosszú oldalak között lesz. Kifogásolható a Harpedonaptians ellen, hogy az építési módszerük feleslegessé válik, ha például egy fából készült négyzetet használunk, amelyet minden asztalos használ. Valóban ismertek egyiptomi rajzok, amelyeken ilyen eszköz található, például egy asztalosműhelyt ábrázoló rajzok. A babilóniaiaknál valamivel többet tudunk a Pitagorasz-tételről. Egy Hammurabi idejére, azaz ie 2000-re visszanyúló szöveg egy egyenlő szárú derékszögű háromszög befogójának hozzávetőleges számítását adja meg. Ebből arra következtethetünk, hogy Mezopotámiában derékszögű háromszögekkel is tudtak számításokat végezni, legalábbis bizonyos esetekben. Van der Varden (holland matematikus) egyrészt az egyiptomi és babiloni matematika jelenlegi tudásszintje, másrészt a görög források kritikai tanulmányozása alapján arra a következtetésre jutott, hogy nagy a valószínűsége annak, hogy a tétel a hipotenusz négyzetét Babilonban már a Kr. e. 18. század körül ismerték. e. Proklosz Eukleidészhez írt kommentárja szerint Pythagoras (akinek éveit általában Kr.e. 570-490-nek tekintik) algebrai módszerekkel kereste a Pythagorean-hármasokat. Proklosz azonban 410 és 485 között írt. n. e. Thomas Little Heath úgy vélte, hogy a Pythagoras halála utáni 5 évszázadra visszamenőleg nincs kifejezett utalás arra, hogy Pythagoras volt a tétel szerzője. Amikor azonban olyan szerzők, mint Plutarkhosz és Cicero a Pitagorasz-tételről írnak, úgy írnak, mintha Pitagorasz szerzősége széles körben ismert és kétségtelen lenne: „Hogy ez a képlet személyesen Pythagorashoz tartozik-e…, de nyugodtan feltételezhetjük, hogy a Pitagorasz-tételhez tartozik. a pitagorasz matematika korszaka." A legenda szerint Pythagoras gigantikus lakomával ünnepelte tételének felfedezését, és száz bikát vágott le ünneplésre. Kr.e. 400 körül. Kr.e. Proklosz szerint Platón módszert adott a Pitagorasz-hármasok megtalálására, az algebra és a geometria kombinálására. Kr.e. 300 körül. e. a Pitagorasz-tétel legrégebbi axiomatikus bizonyítéka Eukleidész Elemei című művében jelent meg.

Fogalmak: Geometriai megfogalmazás: Kezdetben a tételt a következőképpen fogalmazták meg: Egy derékszögű háromszögben a hipotenuszon épített négyzet területe megegyezik a lábakra épített négyzetek területeinek összegével. Algebrai megfogalmazás: Derékszögű háromszögben a befogó hosszának négyzete egyenlő a lábak hosszának négyzetösszegével. Vagyis a háromszög befogójának hosszát jelölve, a lábak hosszát pedig a-val és b-vel: a2+b2=c2 A tétel mindkét megfogalmazása ekvivalens, de a második megfogalmazás elemibb, nem igényel a terület fogalma. Vagyis a második állítás igazolható anélkül, hogy bármit is tudnánk a területről, és csak egy derékszögű háromszög oldalainak hosszát mérjük meg.

Bizonyítások Jelenleg ennek a tételnek 367 bizonyítását rögzítették a tudományos irodalomban. Valószínűleg a Pitagorasz-tétel az egyetlen tétel, amely ilyen lenyűgöző számú bizonyítást tartalmaz. Az ilyen sokféleség csak a tétel geometria szempontjából fennálló alapvető jelentőségével magyarázható. Természetesen fogalmilag mindegyik kis számú osztályra osztható. Közülük a leghíresebbek: területmódszeres bizonyítások, axiomatikus és egzotikus bizonyítások (például differenciálegyenletekkel).

Hasonló háromszögeken keresztül Az algebrai megfogalmazás következő bizonyítása a legegyszerűbb az axiómákból közvetlenül megszerkesztett bizonyítások közül. Különösen nem használja az ábra területének fogalmát. Legyen ABC derékszögű háromszög C derékszögű. Rajzoljuk le C-ből a magasságot, és jelöljük az alapját H-val. Az ACH háromszög két szögben hasonlít az ABC háromszöghez. Hasonlóképpen, a CBH háromszög hasonló az ABC-hez. A jelölés bevezetésével azt kapjuk, hogy Mi az egyenértékű Összeadás, azt kapjuk, vagy, amit bizonyítanunk kellett

Bizonyítások területmódszerrel Az alábbi bizonyítások látszólagos egyszerűségük ellenére egyáltalán nem ilyen egyszerűek. Mindegyik a terület tulajdonságait használja, aminek bizonyítása bonyolultabb, mint magának a Pitagorasz-tételnek a bizonyítása Bizonyítás ekvikomplementaritáson keresztül Rendezzünk négy egyenlő derékszögű háromszöget az 1. ábra szerint. A c oldalú négyszög négyzet, mivel két hegyesszög összege 90°, egy egyenes szöge 180°. A teljes ábra területe egyrészt egyenlő az (a + b) oldalú négyzet területével, másrészt a négy háromszög területeinek összegével és a a belső tér területe. Q.E.D. .

Euklidész bizonyítása Az eukleidészi bizonyítás gondolata a következő: próbáljuk meg bebizonyítani, hogy a hipotenuszra épített négyzet területének a fele egyenlő a lábakra épített négyzetek fele területeinek összegével, majd a a nagy és két kis négyzet területe egyenlő. Nézzük a bal oldali rajzot. Rajta négyzeteket szerkesztettünk egy derékszögű háromszög oldalaira, és a C derékszög csúcsából s sugarat rajzoltunk az AB hipotenuszra merőlegesen, a befogóra épített ABIK négyzetet két téglalapra vágja - BHJI és HAKJ, illetőleg. Kiderült, hogy ezeknek a téglalapoknak a területe pontosan megegyezik a megfelelő lábakra épített négyzetek területével. Próbáljuk bebizonyítani, hogy a DECA négyzet területe megegyezik az AHJK téglalap területével. Ehhez egy segédmegfigyelést használunk: Az adott téglalappal azonos magasságú és alapterületű háromszög területe megegyezik az adott téglalap területének felével. Ez annak a következménye, hogy egy háromszög területét az alap és a magasság szorzatának feleként határozzuk meg. Ebből a megfigyelésből az következik, hogy az ACK háromszög területe megegyezik az AHK háromszög területével (az ábrán nem látható), ami viszont egyenlő az AHJK téglalap területének felével. Most bizonyítsuk be, hogy az ACK háromszög területe is egyenlő a DECA négyzet területének felével. Ehhez az egyetlen dolog, amit meg kell tenni, az ACK és BDA háromszögek egyenlőségének bizonyítása (mivel a BDA háromszög területe a fenti tulajdonság szerint egyenlő a négyzet területének felével). Ez az egyenlőség nyilvánvaló: a háromszögek mindkét oldalán egyenlők, és a köztük lévő szög is egyenlő. Ugyanis - AB=AK, AD=AC - a CAK és a BAD szögek egyenlősége könnyen igazolható mozgásmódszerrel: a CAK háromszöget 90°-kal elforgatjuk az óramutató járásával ellentétes irányba, ekkor nyilvánvaló, hogy a két háromszög megfelelő oldalai kérdés egybeesik (annak köszönhetően, hogy a négyzet csúcsánál bezárt szög 90°). A BCFG négyzet és a BHJI téglalap területeinek egyenlőségének indoklása teljesen hasonló. Így bebizonyítottuk, hogy a hipotenuszra épített négyzet területe a lábakra épített négyzetek területeiből tevődik össze. A bizonyíték mögött meghúzódó gondolatot tovább szemlélteti a fenti animáció. Ezt a bizonyítékot Pitagorasz nadrágnak is nevezik.

Leonardo da Vinci bizonyítása A bizonyítás fő elemei a szimmetria és a mozgás. Tekintsük a rajzot, ahogy a szimmetriából is látszik, a szegmens a négyzetet két azonos részre vágja (mivel a háromszögek felépítésükben egyenlőek). A pont körül az óramutató járásával ellentétes 90 fokos elforgatással látjuk az árnyékolt ábrák egyenlőségét és. Most már világos, hogy az általunk árnyékolt ábra területe megegyezik a kis négyzetek (a lábakra épített) területének felének és az eredeti háromszög területének összegével. Másrészt ez egyenlő a nagy négyzet (a hipotenuszra épített) és az eredeti háromszög területének felével. Így a kis négyzetek területének összegének fele egyenlő a nagy négyzet területének felével, ezért a lábakra épített négyzetek területeinek összege egyenlő a négyzetre épített négyzet területével. átfogó.

A Pitagorasz-tétel jelentése A Pitagorasz-tétel a geometria egyik fő és mondhatni legfontosabb tétele. Jelentősége abban rejlik, hogy a geometria tételeinek nagy része levezethető belőle, illetve segítségével.

Köszönöm a figyelmet!