Penyelesaian persamaan nonlinier menggunakan metode iterasi sederhana – abstrak. Landasan teori untuk menyelesaikan persamaan nonlinier Anda dapat mencari akar persamaan menggunakan metode numerik

Untuk mencari akar persamaan dapat menggunakan fungsi akar( F(X) ,X), dimana argumen pertama adalah fungsinya F(X) , dan argumen kedua adalah nama besaran yang tidak diketahui, yaitu. X. Sebelum memanggil fungsi ini, Anda perlu menetapkan nilai awal ke variabel yang diinginkan, sebaiknya mendekati jawaban yang diharapkan.

Deskripsi fungsi yang diberikan cocok untuk semua versi sistem MS. Fungsi ini dapat dipanggil menggunakan tombol f(x) pada toolbar dengan memilih item Penyelesaian di daftar kiri. Di MC14, fungsi yang dipilih dengan cara ini memiliki empat argumen. Dua argumen pertama sama seperti yang dijelaskan di atas, dan argumen ketiga dan keempat adalah batas kiri dan kanan interval tempat akar yang diinginkan berada. Jika Anda menentukan argumen ketiga dan keempat, maka nilai awal variabel mungkin tidak ditetapkan.

Pertimbangkan penggunaan fungsi ini menggunakan contoh persamaan
. Pertama, mari kita pisahkan akarnya. Untuk melakukan ini, kita akan membuat grafik fungsi di sisi kanan dan kiri (Gbr. 19). Gambar tersebut menunjukkan bahwa persamaan tersebut memiliki dua akar. Satu terletak pada segmen [–2; 0], yang lainnya - aktif . Mari kita gunakan yang pertama varian format fungsi root. Akar kanan persamaan menurut grafik kira-kira sama dengan 1. Oleh karena itu, kita lakukan tugasnya X:= 1, panggil fungsi root, tentukan dua argumen pertama
dan tekan tombol =. Di layar kita mendapatkan hasil 1.062. Sekarang mari kita gunakan template versi kedua. Panggil lagi fungsi root, tentukan empat argumen dan tekan tombol =. Kami mendapatkan hasilnya di layar

Kami menemukan root kedua seperti ini:

Jumlah karakter dari akar terhitung yang ditampilkan di layar tidak sesuai dengan keakuratan pencarian hasilnya. Nomor tersebut disimpan dalam memori komputer dengan lima belas karakter, dan jumlah karakter yang diatur dalam menu Format ditampilkan di layar dari catatan ini. Perbedaan nilai akar yang ditemukan dengan nilai eksak bergantung pada metode penghitungan akar dan jumlah iterasi dalam metode ini. Ini dikendalikan oleh variabel sistem TOL, yang defaultnya adalah 0,001. Pada sistem MC14, fungsi root difokuskan untuk mencapai akurasi
, Jika
, dan untuk mencapai keakuratan yang ditentukan oleh variabel TOL, jika nilainya lebih kecil
. Nilai variabel ini kurang dari
, tidak disarankan untuk mengaturnya, karena konvergensi proses komputasi mungkin terganggu.

Perlu diingat bahwa dalam beberapa kasus luar biasa, hasilnya mungkin menyimpang dari nilai akar pastinya lebih dari nilai TOL. Anda dapat mengubah nilai TOL baik dengan tugas sederhana, atau dengan menggunakan menu Alat, Opsi Lembar Kerja, Variabel Bawaan.

Untuk mencari akar suatu polinomial, Anda dapat menggunakan fungsi lain yang akan mengembalikan semua akar polinomial, termasuk akar kompleks. Ini adalah fungsi akar banyak(■), dimana argumennya adalah vektor yang koordinatnya adalah koefisien polinomial, koordinat pertama adalah suku bebas, koordinat kedua adalah koefisien pangkat pertama variabel, dan koordinat terakhir adalah koefisien dari kekuasaan tertinggi. Fungsi ini dipanggil dengan cara yang sama seperti fungsi root. Misalnya akar-akar polinomial
dapat diperoleh seperti ini:

.

Beberapa persamaan sederhana juga dapat diselesaikan dengan menggunakan transformasi simbolik. Anda dapat menemukan akar-akar polinomial derajat kedua atau ketiga jika koefisiennya berupa bilangan bulat atau pecahan biasa. Sebagai contoh, mari kita ambil polinomial yang akar-akarnya diketahui. Kami memperoleh polinomial ini sebagai produk dari faktor linier. Mari kita ambil polinomial
. Mari kita tuliskan dalam kekuatan X. Untuk melakukan ini, seperti yang dijelaskan dalam pelajaran pertama, kita memilih variabel dalam entri ini X, pilih item Variabel di menu Simbolik dan item Kumpulkan di jendela yang terbuka:

.

Pada hasil yang dihasilkan, kami memilih variabel X, pilih item Variabel di menu Simbolik dan item Selesaikan di jendela yang terbuka. Kita mendapatkan

.

Seperti yang Anda lihat, akarnya ditemukan dengan benar. Mari kita ambil polinomial derajat ketiga
. Mari temukan akarnya dengan tiga cara:

,

,

dan transformasi simbolik (hasil pada Gambar 20).

Seperti yang Anda lihat, hasil terakhir tidak banyak berguna, meskipun “benar-benar” akurat. Hasil ini akan menjadi “lebih buruk” jika kita menambahkan istilah dengan . Coba gunakan transformasi simbolik untuk menemukan akar polinomial tersebut. Coba gunakan transformasi simbolik untuk mencari akar polinomial derajat keempat.

Perhitungan simbolik efektif jika akar-akarnya berupa bilangan bulat atau bilangan rasional:

.

Dalam contoh ini, penghitungan simbolik dilakukan menggunakan panel Simbolik. Solusi menggunakan fungsi polyroots juga disediakan. Hasil yang terakhir kurang mengesankan, meskipun dari sudut pandang komputasi, hasilnya juga tidak lebih buruk, karena insinyur yang berakal sehat akan membulatkan akar kedua ke angka - Saya.

Penentuan akar secara simbolis juga dapat digunakan untuk persamaan yang mengandung fungsi selain polinomial:

.Anda harus berhati-hati saat menggunakan perhitungan simbolik. Jadi, ketika mencari angka nol dari fungsi berikutnya, MC14 hanya menghasilkan satu nilai: , meskipun dalam interval
fungsi ini memiliki 6 angka nol:
. Dalam versi sistem sebelumnya (MC2000), semua angka nol ditunjukkan.

Untuk jawaban yang lengkap, Anda perlu menambahkan angka yang merupakan kelipatan
.

Mari kita selesaikan masalah yang lebih kompleks. Fungsi kamu(X) diberikan secara implisit oleh persamaan
. Diperlukan untuk memplot fungsi ini kamu(X) pada segmen tersebut.

Untuk mengatasi masalah ini, wajar saja jika menggunakan fungsi root. Namun, hal ini memerlukan penentuan segmen di mana akar yang diinginkan berada. Untuk ini kami menemukan nilainya kamu secara grafis untuk beberapa nilai X. (Grafik ditampilkan di bawah sebagai gambar terpisah dan bukan seperti yang muncul di layar MATHCAD.)

Kami membuat grafik (Gbr. 21). Ini menunjukkan nilai-nilai yang “masuk akal”. kamu berbaring di interval [– 5; 5]. Mari kita buat grafik dalam rentang ini. Perubahan dapat dilakukan pada template pada gambar yang sudah ada. Hasilnya ditunjukkan pada Gambar. 22. Kita melihat bahwa akar terletak pada ruas tersebut. Mari kita ambil nilai berikut X. Di atas kertas ini adalah entri baru, tetapi di layar sudah cukup untuk membuat perubahan di blok mana X nilai diberikan. Pada
kita mendapatkan Gambar 23. Menurut dia, akarnya terletak pada ruas tersebut. Pada
kita mendapat nasi. 24. Akar terletak pada ruas. Sebagai hasilnya, kita dapat mengharapkan akar untuk apa pun X terletak pada segmen tersebut

Mari kita perkenalkan fungsi pengguna. Mari kita buat grafik fungsi ini, dengan mempertimbangkan variabel z, dan templat di sepanjang sumbu vertikal tidak perlu diisi; sistem akan melakukan penskalaan sendiri. Grafiknya ditunjukkan pada Gambar 25. Dengan menggunakan grafik ini, Anda dapat melacak nilai fungsi menggunakan panel X-Y Trace, seperti dijelaskan di atas.

KEMENTERIAN PENDIDIKAN FEDERASI RUSIA

NEGARA SIBERIA TIMUR

UNIVERSITAS TEKNOLOGI

Abstrak dengan topik: “Menyelesaikan persamaan nonlinier

dengan metode iterasi sederhana"

Lengkap:. Bubeev B.M.

Diperiksa oleh: Shirapov D.Sh.

Perkenalan

Persamaan nonlinier dapat dibagi menjadi 2 kelas - aljabar dan transendental. Persamaan aljabar disebut persamaan yang hanya mengandung fungsi aljabar (integer, rasional, irasional). Secara khusus, polinomial adalah fungsi aljabar keseluruhan. Persamaan yang mengandung fungsi lain (trigonometri, eksponensial, logaritma, dll) disebut teramat.

Metode penyelesaian persamaan nonlinier dibagi menjadi dua kelompok:

metode yang tepat;

metode berulang.

Metode yang tepat izinkan kami menulis akar-akarnya dalam bentuk relasi berhingga (rumus). Dari mata kuliah aljabar sekolah dikenal metode penyelesaian persamaan trigonometri, logaritma, eksponensial, serta persamaan aljabar sederhana.

Seperti diketahui, banyak persamaan dan sistem persamaan yang tidak memiliki solusi analitis. Hal ini terutama berlaku untuk sebagian besar persamaan transendental. Juga telah dibuktikan bahwa tidak mungkin membuat rumus yang dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan aljabar sembarang yang derajatnya lebih tinggi dari empat. Selain itu, dalam beberapa kasus, persamaan tersebut berisi koefisien yang hanya diketahui secara perkiraan, dan oleh karena itu, tugas menentukan akar persamaan secara akurat menjadi tidak ada artinya. Untuk mengatasinya kami menggunakan metode berulang dengan tingkat akurasi tertentu.

Biarkan persamaannya diberikan

Fungsi F(X) kontinu pada interval [ a, b] beserta turunannya orde 1 dan 2.

Nilai-nilai F(X) pada ujung-ujung ruas mempunyai tanda yang berbeda-beda ( F(A)  F(B) < 0).

Turunan pertama dan kedua F"(X) Dan F""(X) mempertahankan tanda tertentu di seluruh segmen.

Kondisi 1) dan 2) menjamin bahwa pada interval [ A, B] setidaknya ada satu akar, dan dari 3) berikut ini F(X) bersifat monotonik pada interval ini sehingga akarnya akan unik.

Selesaikan persamaan (1) metode berulang artinya menentukan apakah suatu akar mempunyai akar, berapa akarnya, dan mencari nilai akar-akarnya dengan ketelitian yang diperlukan.

Nilai apa pun yang membalikkan suatu fungsi F(X) ke nol, yaitu seperti yang:

ditelepon akar persamaan(1) atau nol fungsi F(X).

Masalah mencari akar persamaan F(X) = 0 dengan metode iteratif terdiri dari dua tahap:

pemisahan akar- menemukan nilai perkiraan dari akar atau segmen yang memuatnya;

penyempurnaan perkiraan akar- membawanya ke tingkat akurasi tertentu.

Proses pemisahan akar diawali dengan penetapan tanda-tanda fungsinya F(X) di perbatasan X=A Dan X=B titik-titik di wilayah keberadaannya.

Contoh 1 . Pisahkan akar persamaan:

Akibatnya, persamaan (2) mempunyai tiga akar real yang terletak pada interval [-3, -1], dan .

Perkiraan nilai akar ( perkiraan awal) juga dapat diketahui dari arti fisik masalahnya, dari penyelesaian masalah serupa dengan data awal yang berbeda, atau dapat ditemukan secara grafis.

Umum dalam praktik teknik metode grafis penentuan perkiraan akar.

Mengingat akar-akar real persamaan (1) merupakan titik potong grafik fungsi tersebut F(X) dengan sumbu x, cukup memplot fungsinya F(X) dan tandai titik potongnya F(X) dengan poros Oh, atau tandai pada sumbu Oh segmen yang mengandung satu akar. Konstruksi grafik seringkali dapat disederhanakan dengan mengganti persamaan (1) setara dia dengan persamaan:

dimana fungsinya F 1 (X) Dan F 2 (X) - lebih sederhana dari suatu fungsi F(X). Kemudian dengan memplot fungsinya pada=F 1 (X) Dan pada = F 2 (X), kita memperoleh akar-akar yang diperlukan sebagai absis dari titik-titik perpotongan grafik-grafik ini.

Gambar 2.

Contoh 2 . Pisahkan akar persamaan secara grafis (Gambar 2):

X lg x = 1.

Persamaan (4) dapat dengan mudah ditulis ulang sebagai persamaan:

Dari sini jelas bahwa akar-akar persamaan (4) dapat dicari sebagai absis titik potong kurva logaritma kamu= mencatat X dan hiperbola kamu = . Setelah membangun kurva-kurva ini, kira-kira kita akan menemukan satu-satunya akar persamaan (4) atau menentukan segmen yang memuatnya.

Proses berulang terdiri dari penyempurnaan berurutan dari perkiraan awal X 0 . Setiap langkah tersebut disebut pengulangan. Sebagai hasil dari iterasi, urutan nilai perkiraan akar ditemukan X 1 , X 2 , ..., X N . Jika nilai tersebut semakin bertambah jumlah iterasinya N mendekati nilai sebenarnya dari root, maka kita katakan bahwa proses iteratif menyatu.

Metode iterasi sederhana

Untuk menggunakan metode iterasi, persamaan nonlinier asli F(X) = 0 diganti dengan persamaan ekuivalennya

Secara geometris metode iterasi dapat dijelaskan sebagai berikut. Mari kita membangun di pesawat xOy grafik fungsi kamu = x Dan kamu = (X). Setiap akar real persamaan (8) merupakan absis titik potongnya M bengkok kamu = (X) dengan garis lurus kamu = x(Gambar 6, A).

Gambar 6.

Dimulai dari titik tertentu A 0 [X 0 ,  (X 0)], membangun polyline A 0 DI DALAM 1 A 1 DI DALAM 2 A 2 ... (“tangga”), yang tautannya sejajar dengan sumbu secara bergantian Oh dan as kamu, puncak A 0 , A 1 , A 2 , ... berbaring di tikungan kamu= (X), dan puncaknya DI DALAM 1 , DI DALAM 2 , DI DALAM 3 , ..., - pada garis lurus kamu = x. Absis titik yang umum A 1 dan DI DALAM 1 , A 2 dan DI DALAM 2 , ... masing-masing jelas mewakili perkiraan yang berurutan X 1 , X 2 , ... akar

Jenis polyline lain juga dimungkinkan A 0 DI DALAM 1 A 1 DI DALAM 2 A 2 ... - "spiral" (Gambar 6, B). Solusi berbentuk “tangga” diperoleh jika turunan " ( X) positif, dan penyelesaiannya berbentuk “spiral” jika " ( X) negatif.

Pada Gambar 6, a, b melengkung pada =  (X) di sekitar akar - datar, yaitu<1, и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай, где >1, maka proses iterasi mungkin berbeda (Gambar 7).

Gambar 7.

Oleh karena itu, untuk penerapan praktis metode iterasi, perlu dicari kondisi yang cukup untuk konvergensi proses iterasi.

Dalil:Biarkan fungsinya  (X) terdefinisi dan terdiferensiasi pada interval tersebut [a, b], dan segala maknanya  (X) [A,B].

Lalu, jika ada pecahan yang tepat Q seperti yang

di a<X<B, Itu: 1)proses iterasi

konvergen berapa pun nilai awalnya SAYA X 0  [A,B];

2) nilai batas adalah satu-satunya akar persamaan x = (X) pada segmen tersebut [a, b].

Contoh 5 . Persamaannya

F(X)  X 3 - X - 1 = 0

memiliki akar , karena F(1) = - 1 < 0 и F(2) = 5 > 0.

Persamaan (10) dapat ditulis sebagai

X = X 3 - 1.

 (X) = X 3 - 1 dan " ( X) = 3X 2 ;

" (X) 3 jam 1 X 2

dan, oleh karena itu, kondisi konvergensi dari proses iterasi tidak terpenuhi.

Jika kita menulis persamaan (10) dalam bentuk

maka kita akan memiliki:

.

Dari sini di 1 X 2 dan ini berarti proses iterasi persamaan (12) akan cepat konvergen. persamaan metode membagi segmen menjadi dua... dalam memori dalam bentuk sederhana variabel. Hasil dari ini... pengulangan) ketik Nyata; d – Diskriminan tipe nyata; x1 – akar pertama persamaan, ditemukan metode solusi persegi persamaan ...

metode Newton untuk solusi nonlinier persamaan

Kursus >> Ilmu Komputer

... metode solusi nonlinier persamaan Ada banyak perbedaan metode solusi nonlinier persamaan, beberapa di antaranya disajikan di bawah ini: 1) metode iterasi. Pada keputusan nonlinier persamaan metode iterasi... rumus metode sederhana iterasi xk+1=g(...

Larutan nonlinier persamaan metode interaksi

Tes >> Ilmu Komputer

Menjelaskan aturan penghitungan ksatria nonlinier persamaan metode iterasi, serta diagram blok metode. 2 Implementasi praktis: ...menghitung akar persamaan metode iterasi 2.4 Eksperimen komputasi - perbandingan hasil program dengan keputusan V...

Persamaan seperti F(x)=0 atau x=f(x) disebut nonlinier. Menyelesaikan persamaan berarti mencari x sehingga persamaan tersebut menjadi identitas. Secara umum, suatu persamaan dapat memiliki 0; 1; 2;...∞ akar. Metode numerik untuk menyelesaikan persamaan nonlinier yang dibahas di bawah ini memungkinkan untuk menemukan satu akar pada interval tertentu. Dalam hal ini, seharusnya hanya ada satu akar pada interval tersebut. Mari kita pertimbangkan beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan nonlinier.

1. Metode kekerasan. Saat menyelesaikan persamaan nonlinier menggunakan metode brute force, nilai awal argumen x=a dan langkah h ditentukan, yang juga menentukan keakuratan pencarian akar persamaan nonlinier. Sementara kondisi F(x)*F(x+h)>0 terpenuhi, kita meningkatkan argumen x dengan langkah h (x=x+h). Jika hasil kali F(x)*F(x+h) menjadi negatif, maka penyelesaian persamaan tersebut ada pada interval tersebut. Diagram struktur metode ini ditunjukkan pada gambar.

   
   

2. Metode setengah pembagian. Saat menyelesaikan persamaan nonlinier dengan metode bagi dua, interval ε di mana hanya ada satu solusi dan akurasi yang diinginkan ε ditentukan. Kemudian titik tengah interval c=(a+b)/2 ditentukan dan kondisi F(a)∙F(c) diperiksa<0. Если указанное условие выполняется, то правую границу интервала b переносим в среднюю точку с (b=c). Если условие не выполняется, то в среднюю точку переносим левую границу(a=c). Деление отрезка пополам продолжается пока |b-a|>ε. Diagram struktur penyelesaian persamaan nonlinier dengan metode bagi dua ditunjukkan pada gambar.

   Sedangkan |b-a|>ε
   F(a)∙F(c)<0

   
   

   Beras. Strukturogram untuk metode bagi dua

3. Metode akord. Saat menyelesaikan persamaan nonlinier dengan metode tali busur, interval , di mana hanya ada satu solusi, dan akurasi ε ditentukan. Kemudian melalui dua titik yang koordinatnya (a,F(a)) dan (b,F(b)) kita tarik sebuah ruas garis lurus (tali busur) dan tentukan titik potong garis tersebut dengan sumbu absis (titik c ). Jika dalam hal ini F(a)∙F(c)<0, то правую границу интервала переносим в точку с (b=c). Если указанное условие не выполняется, то в точку C batas kiri interval dipindahkan (a=c). Pencarian solusi berhenti ketika akurasi yang ditentukan |F(c)|< ε. Для определения точки пересечения хорды с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой (coba ambil sendiri rumusnya).Diagram struktur metode akord ditunjukkan pada gambar.

   Sedangkan |F(c)|>ε
   F(a)∙F(c)<0

   
   

   Beras. Strukturogram untuk metode akord

4. Metode singgung. Saat menyelesaikan persamaan nonlinier dengan metode tangen, nilai awal argumen x 0 dan akurasi ε ditentukan. Kemudian di titik (x 0 ,F(x 0)) kita tarik garis singgung grafik F(x) dan tentukan titik potong garis singgung tersebut dengan sumbu x 1. Pada titik (x 1 ,F(x 1)) kita kembali membuat garis singgung, mencari perkiraan berikutnya dari solusi yang diinginkan x 2, dan seterusnya. Kami ulangi prosedur ini sampai |F(x i)| > ε. Untuk menentukan titik potong (i+1) garis singgung dengan sumbu x, kita menggunakan rumus berikut (dapatkan rumusnya sendiri). Kondisi konvergensi metode tangen adalah F(x 0)∙F""(x 0)>0. Diagram struktur penyelesaian persamaan nonlinier dengan metode tangen ditunjukkan pada Gambar.

   
   

5. Metode akord-tangen. Jika pada metode tangen turunan fungsi F"(x i) diganti dengan perbandingan kenaikan berhingga, maka diperoleh rumus perhitungan metode chord-tangent . Tata cara melakukan perhitungan pada metode ini mirip dengan yang telah dibahas sebelumnya.
6. Metode iterasi. Saat menyelesaikan persamaan nonlinier dengan metode iterasi, kami menggunakan persamaan yang ditulis dalam bentuk x=f(x). Nilai awal argumen x 0 dan akurasi ε ditentukan. Perkiraan pertama dari solusi x 1 ditemukan dari ekspresi x 1 =f(x 0), yang kedua - x 2 =f(x 1), dst. Dalam kasus umum, kita mencari pendekatan i+1 menggunakan rumus x i +1 =f(x i). Kami ulangi prosedur ini sampai |f(x i)|>ε. Kondisi konvergensi metode iterasi |f"(x)|<1. Структограмма метода итераций показана на рис.

   
   

Tugas kontrol. Pekerjaan laboratorium4.

Memecahkan persamaan nonlinier.

Latihan. Selesaikan persamaan nonlinier yang ditunjukkan dalam tabel. metode, setelah sebelumnya menentukan interval di mana solusi persamaan tersebut ada. Periksa solusinya.

Varian persamaan dan metode penyelesaiannya diberikan dalam tabel.

Varian persamaan dan metode penyelesaiannya

	Persamaannya	Metode solusi
		penghilang dan akord
		Pencacahan dan garis singgung
		Pencacahan dan garis singgung akord
		Pencacahan dan pembagian
		penghilang dan akord
		Pencacahan dan garis singgung
		Pencacahan dan garis singgung akord
		Pencacahan dan pembagian
		penghilang dan akord
		Pencacahan dan garis singgung
		Pencacahan dan garis singgung akord
		Pencacahan dan pembagian
		penghilang dan akord
		Pencacahan dan garis singgung
		Pencacahan dan garis singgung akord
		Pencacahan dan pembagian
		penghilang dan akord
		Pencacahan dan garis singgung
	x 2 =exp(-x 2)-1	Pencacahan dan garis singgung akord
		Pencacahan dan pembagian
		penghilang dan akord
		Pencacahan dan garis singgung
		Pencacahan dan garis singgung akord
		Pencacahan dan pembagian

1. Judul, tujuan pekerjaan dan tugas.
2. Deskripsi matematika, algoritma (strukturogram) dan teks program.
3. Hasil perhitungan, verifikasi dan kesimpulan pekerjaan.

Memecahkan satu persamaan nonlinier

Perkenalan

Lab ini mencakup empat metode untuk menyelesaikan satu persamaan nonlinier.

Metode yang digunakan untuk menyelesaikan satu persamaan nonlinier:

Metode setengah pembagian.

Metode iterasi sederhana.

metode Newton.

Metode garis potong.

Pekerjaan laboratorium ini juga meliputi: uraian metode, penerapan metode pada suatu masalah tertentu (analisis), kode program untuk menyelesaikan metode-metode di atas dalam bahasa pemrograman Microsoft VisualC++ 6.0.

Deskripsi metode:

Misalkan fungsi f(x) dari variabel riil diberikan. Diperlukan untuk mencari akar-akar persamaan f (x) =0 (1) atau nol dari fungsi f (x).

Angka nol dari f(x) dapat berupa real atau kompleks. Oleh karena itu, tugas yang paling akurat adalah menemukan akar-akar persamaan (1) yang terletak pada suatu wilayah tertentu pada bidang kompleks. Kita juga dapat mempertimbangkan masalah menemukan akar nyata yang terletak pada segmen tertentu.

Masalah mencari akar persamaan (1) biasanya diselesaikan dalam 2 tahap. Pada tahap pertama dipelajari lokasi akar dan dilakukan pemisahan, yaitu. area di wilayah kompleks yang hanya berisi satu akar disorot. Dengan demikian, beberapa perkiraan awal untuk akar-akar persamaan (1) ditemukan. Pada tahap kedua, dengan menggunakan pendekatan awal yang diberikan, proses iteratif dibangun untuk memperjelas nilai akar yang dicari.

Metode numerik untuk menyelesaikan persamaan nonlinier biasanya merupakan metode berulang yang melibatkan penentuan data awal yang cukup dekat dengan solusi yang diinginkan.

Ada banyak metode untuk mengatasi masalah ini. Namun kita akan mempertimbangkan metode penyelesaian yang paling banyak digunakan untuk mencari akar persamaan (1): metode bagi dua, metode tangen (metode Newton), metode garis potong, dan metode iterasi sederhana.

Sekarang secara terpisah untuk setiap metode:

1. Metode setengah pembagian (metode bagi dua)

Metode yang lebih umum untuk mencari akar-akar persamaan nonlinier adalah metode bagi dua. Mari kita asumsikan hanya ada satu akar x dari persamaan (1) pada interval tersebut. Maka f(a) dan f(b) mempunyai tanda yang berbeda. Misalkan f (a) >0, f (b) untuk menentukan<0. Положим x0= (a + b) /2 и вычислим f (x0). Если f (x0) <0, то искомый корень находится на интервале , если же f (x0) >0, maka x milik . Selanjutnya, dari dua interval kita pilih salah satu yang batasnya fungsi f(x) mempunyai tanda berbeda, cari titik x1 - titik tengah interval yang dipilih, hitung f(x1) dan ulangi proses yang ditunjukkan. Hasilnya, kita memperoleh barisan interval yang mengandung akar x yang diinginkan, dan panjang setiap interval berikutnya adalah setengah panjang interval sebelumnya. Proses berakhir ketika panjang interval yang baru diperoleh menjadi kurang dari perkiraan akurasi (

>0), dan titik tengah interval ini diambil sebagai akar perkiraan x.

Biarkan perkiraan awal x0 diketahui. Gantikan f(x) dengan ruas deret Taylor

f (x) ≈ H1 (x) = f (x0) + (x - x0) f " (x0) dan untuk pendekatan x1 selanjutnya kita ambil akar persamaan H1 (x) = 0, yaitu x1=x0 - f ( x0) / f "(x0).

Secara umum, jika iterasi xk diketahui, maka aproksimasi berikutnya xk+1 pada metode Newton ditentukan dengan aturan xk+1=xk-f (xk) /f" (xk), k=0, 1, .. (2)

Metode Newton disebut juga metode tangen, karena pendekatan baru xk +1 adalah absis titik potong garis singgung yang ditarik di titik (xk, f (xk)) terhadap grafik fungsi f (x) dengan sumbu Sapi.

Fitur metode ini:

pertama, metode ini memiliki konvergensi kuadrat, yaitu. tidak seperti permasalahan linier, error pada iterasi berikutnya sebanding dengan kuadrat error pada iterasi sebelumnya: xk+1-x=O ((xk-x) ²);

kedua, konvergensi cepat metode Newton dijamin hanya untuk kebaikan, yaitu mendekati solusi eksak, perkiraan awal. Jika perkiraan awal dipilih dengan buruk, maka metode tersebut mungkin akan konvergen secara lambat atau tidak konvergen sama sekali.

3. Metode pemotongan

Cara ini diperoleh dari metode Newton dengan cara mengganti f" (xk) dibagi selisih f(xk) - f(xk-1) / xk-xk-1, dihitung dari nilai xk dan xk-1 yang diketahui. Hasilnya adalah metode berulang

, k=1, 2, … (3), yang, tidak seperti metode yang dibahas sebelumnya, merupakan dua langkah, yaitu pendekatan baru xk+1 ditentukan oleh dua iterasi sebelumnya xk dan xk-1. Dalam metode ini, perlu menentukan dua perkiraan awal x0 dan x1.

Interpretasi geometris dari metode garis potong adalah sebagai berikut. Sebuah garis lurus ditarik melalui titik (xk-1, f (xk-1)), (xk, f (xk)), absis titik potong garis ini dengan sumbu Ox merupakan pendekatan baru xk+ 1. Dengan kata lain, pada ruas tersebut fungsi f(x) diinterpolasi dengan polinomial derajat pertama dan akar polinomial tersebut diambil sebagai aproksimasi berikutnya xk+1.

4. Metode iterasi sederhana

Metode ini terdiri dari penggantian persamaan (1) dengan persamaan yang bentuknya setara

(4) setelah ini, proses iteratif (5) dibangun. Untuk nilai tertentu, untuk mereduksi ekspresi (1) ke bentuk yang diinginkan (4), Anda dapat menggunakan teknik paling sederhana, .

Jika dalam ekspresi (4) kita masukkan

, Anda bisa mendapatkan bentuk standar dari proses berulang untuk mencari akar persamaan nonlinier: .

Jika tidak, Anda dapat memperoleh persamaan (4) dengan cara berikut: kalikan ruas kiri dan kanan persamaan (1) dengan konstanta sembarang  dan tambahkan ke ruas kiri dan kanan x, yaitu. kita mendapatkan persamaan bentuk:

(6), dimana .

Pada segmen tertentu, pilih titik x 0 - perkiraan nol - dan temukan: x 1 = f (x 0), lalu temukan: x 2 = f (x 1), dst. Jadi, proses mencari akar persamaan direduksi menjadi perhitungan bilangan berurutan: x n = f (x n-1) n = 1,2,3... Jika syarat terpenuhi pada ruas: |f " (x) |<=q<1 то процесс итераций сходится, т.е.

. Proses iterasi berlanjut hingga |x n - x n-1 |<=, где  - заданная абсолютная погрешность корня х. При этом будет выполняться: .

Penerapan metode pada suatu masalah tertentu (analisis).

Diberikan persamaan berbentuk x² - ln (1+x) - 3 = 0 di x

. Tugasnya adalah menyelesaikan persamaan nonlinier ini dengan menggunakan 4 metode yang diketahui: metode bagi dua, metode tangen, metode garis potong, dan metode iterasi sederhana.

Setelah mempelajari metode dan menerapkannya pada persamaan ini, kami sampai pada kesimpulan berikut: ketika menyelesaikan persamaan ini menggunakan 4 metode yang diketahui, hasilnya sama di semua kasus. Namun jumlah iterasi saat menjalani metode ini berbeda secara signifikan. Mari kita atur perkiraan akurasinya

= . Jika pada pembagian setengah jumlah iterasinya adalah 20, pada metode iterasi sederhana sebanyak 6, pada metode secan sebanyak 5, dan pada metode tangen jumlahnya 4. Dari hasil yang diperoleh jelas bahwa metode yang lebih efektif adalah metode tangen. Pada gilirannya, metode setengah pembagian lebih tidak efisien, membutuhkan lebih banyak waktu untuk dieksekusi, namun merupakan metode yang paling sederhana untuk dilakukan. Namun hasilnya tidak selalu sama. Mengganti persamaan nonlinier lain ke dalam program, hasilnya dengan metode iterasi sederhana, jumlah iterasi berfluktuasi untuk berbagai jenis persamaan. Jumlah iterasi bisa jauh lebih besar dibandingkan metode bagi dua dan lebih sedikit dibandingkan metode tangen.

Daftar program:

1. Metode setengah pembagian

#termasuk

#termasuk

#termasuk

#definisikan e 0,000001

fungsi ganda (ganda x)

res=fopen("bisekciy.txt","w");

sementara (luar biasa (a-b) >e)

jika ((fungsi (c) *fungsi (a))<0) b=c;

printf("Jawaban:%fn",a);

printf("Takge smotri otvet v file bisekciy.txtn");

fprintf(res,"Hasil penyelesaian persamaan dengan metode bagi dua! n");

2. Metode tangen (metode Newton)

#termasuk

#termasuk

#termasuk

#definisikan e 0,000001

fungsi ganda (ganda x)

kembali ((((x*x) - (log (1+x))) - 3));

dif ganda (ganda x)

kembali ((2*x) - (1/ (1+x)));

res=fopen("kasatelnih.txt","w");

sementara (luar biasa (a-b) >=e)

a=a-fungsi (a) /dif (a);

b=b-fungsi (b) /dif (b);

printf("Funkciya prinimaet znachenie na intervale: [%d,%d] n",x1,x2);

printf("Jawaban:%fn",a);

printf("Perulangan Kol-vo:%d n",k);

printf("Takge smotri otvet v file kasatelnih.txtn");

fprintf(res,"Hasil penyelesaian persamaan dengan metode Newton!n");

fprintf (res,"Akar persamaan x =%fnJumlah iterasi =%d",a,k);

3. Metode pemotongan

#termasuk

Tujuan pekerjaan

Biasakan diri Anda dengan metode dasar untuk menyelesaikan persamaan nonlinier dan implementasinya dalam paket MathCAD.

Pedoman

Seorang insinyur sering kali harus menulis dan menyelesaikan persamaan nonlinier, yang dapat berupa masalah tersendiri atau bagian dari masalah yang lebih kompleks. Dalam kedua kasus tersebut, nilai praktis suatu metode penyelesaian ditentukan oleh kecepatan dan efisiensi penyelesaian yang dihasilkan, dan pilihan metode yang sesuai bergantung pada sifat masalah yang sedang dipertimbangkan. Penting untuk dicatat bahwa hasil perhitungan komputer harus selalu ditanggapi secara kritis dan dianalisis untuk masuk akal. Untuk menghindari kesalahan saat menggunakan paket standar apa pun yang mengimplementasikan metode numerik, Anda setidaknya harus memiliki pemahaman minimal tentang metode numerik mana yang diterapkan untuk memecahkan masalah tertentu.

Persamaan nonlinier dapat dibagi menjadi 2 kelas - aljabar dan transendental. Persamaan aljabar Mereka menyebut persamaan yang hanya berisi fungsi aljabar (bilangan bulat - khususnya polinomial, rasional, irasional). Persamaan yang mengandung fungsi lain (trigonometri, eksponensial, logaritma, dll) disebut teramat. Persamaan nonlinier dapat diselesaikan tepat atau menutup metode. Metode yang tepat izinkan kami menulis akar-akarnya dalam bentuk relasi berhingga (rumus). Sayangnya, sebagian besar persamaan transendental, serta persamaan aljabar sembarang dengan derajat di atas empat, tidak memiliki solusi analitis. Selain itu, koefisien persamaan hanya dapat diketahui kira-kira dan, oleh karena itu, masalah penentuan akar secara akurat menjadi tidak ada artinya. Oleh karena itu, untuk penyelesaiannya kami menggunakan metode berulang perkiraan berturut-turut. Yang pertama datang lebih dulu pisahkan akarnya(yaitu menemukan nilai perkiraannya atau segmen yang memuatnya), lalu menyempurnakannya menggunakan metode perkiraan yang berurutan. Anda dapat memisahkan akar-akarnya dengan mengatur tanda-tanda fungsinya F(X) dan turunannya pada titik batas domain keberadaannya, memperkirakan nilai perkiraan dari makna fisik masalah, atau dari penyelesaian masalah serupa dengan data awal lainnya.

Tersebar luas metode grafis menentukan nilai perkiraan akar real - membuat grafik fungsi F(X) dan tandai titik potongnya dengan sumbu OH. Konstruksi grafik seringkali dapat disederhanakan dengan mengganti persamaannya F(X)= 0 dengan persamaan ekuivalen , dimana fungsinya F 1 (X) Dan F 2 (X) - lebih sederhana dari suatu fungsi F(X). Dalam hal ini, Anda harus mencari titik potong grafik-grafik ini.

Contoh 1. Pisahkan akar-akar persamaan secara grafis X lg x = 1. Mari kita tulis ulang sebagai persamaan lg x= 1/x dan tentukan absis titik potong kurva logaritma kamu= mencatat X dan hiperbola kamu= 1/x (Gbr. 5). Dapat dilihat bahwa satu-satunya akar persamaannya adalah .

Implementasi metode solusi perkiraan klasik dalam paket MathCAD.

Metode setengah pembagian

Suatu ruas yang ujung-ujungnya fungsinya mengambil nilai tanda-tanda yang berbeda, dibagi dua dan jika akarnya terletak di sebelah kanan titik pusat, maka tepi kirinya ditarik ke arah tengah, dan jika ke arah kiri, lalu tepi kanan. Segmen baru yang menyempit dibagi lagi menjadi dua dan prosedur diulangi. Metode ini sederhana dan dapat diandalkan, selalu menyatu (walaupun seringkali lambat - harga yang harus dibayar untuk kesederhanaan!). Implementasi perangkat lunaknya dalam paket MathCAD dibahas dalam pekerjaan laboratorium No. 7 manual ini.

Metode akord

Sebagai perkiraan berturut-turut terhadap akar persamaan, diambil nilai-nilai berikut: X 1 , X 2 , ..., xn titik potong tali busur AB dengan sumbu absis (Gbr. 6).

Persamaan akord AB memiliki bentuk: . Untuk titik potongnya dengan sumbu absis ( x=x 1 ,kamu= 0) kami memiliki:

Untuk kepastiannya, biarkan kurvanya pada = F(X) akan berbentuk cembung ke bawah sehingga terletak di bawah tali busurnya AB, yaitu pada segmen tersebut F²( X)>0. Ada dua kemungkinan kasus: F(A)>0 (Gbr. 6, A) Dan F(A)<0 (рис. 6, B).

Dalam kasus pertama, akhir A diam. Iterasi yang berurutan membentuk barisan menurun monoton yang dibatasi: dan ditentukan menurut persamaan:

X 0 = B; . (4.1)

Dalam kasus kedua, ujungnya tidak bergerak B, iterasi yang berurutan membentuk barisan yang meningkat secara monoton dan dibatasi: dan ditentukan menurut persamaan:

X 0 = A; . (4.2)

Jadi, ujung tetap harus dipilih yang tanda fungsinya F(X) dan turunan keduanya F²( X) bertepatan, dan perkiraan yang berurutan xn terletak di sisi lain dari akar x, yang tanda-tandanya berlawanan. Proses iteratif berlanjut hingga besarnya selisih antara dua pendekatan yang berurutan menjadi lebih kecil dari keakuratan solusi yang ditentukan.

Contoh 2. Temukan akar positif dari persamaan tersebut F(X) º X 3 –0,2X 2 –0,2X–1,2 = 0 dengan ketelitian e= 0,01. (Akar eksak persamaannya adalah x = 1,2).

Untuk mengatur penghitungan berulang dalam dokumen MathCAD, gunakan fungsi sampai( a, z), yang mengembalikan nilai kuantitas z, sedangkan ekspresi A tidak menjadi negatif.

metode Newton

Perbedaan antara metode ini dan metode sebelumnya adalah bahwa alih-alih tali busur, garis singgung kurva digambar pada setiap langkah kamu=f(X)pada x=x saya dan dicari titik potongnya dengan sumbu absis (Gbr. 7):

Dalam hal ini, tidak perlu menentukan segmen [a, b] yang memuat akar persamaan), tetapi cukup menentukan perkiraan awal dari akar x = x 0, yang seharusnya berada di ujung yang sama. dari interval [a, b], yang tanda-tanda fungsi dan turunan keduanya cocok.

Persamaan garis singgung yang ditarik pada suatu kurva kamu = f(X) melalui suatu titik DI DALAM 0 dengan koordinat X 0 dan F(X 0), berbentuk:

Dari sini kita menemukan perkiraan akar selanjutnya X 1 sebagai absis titik potong garis singgung dengan sumbu Oh(kamu = 0):

Demikian pula, perkiraan selanjutnya dapat ditemukan sebagai titik perpotongan dengan sumbu absis dari garis singgung yang ditarik pada titik-titik tersebut. DALAM 1, DI DALAM 2 dan seterusnya. Rumus untuk ( saya+ 1) perkiraannya berbentuk:

Syarat berakhirnya proses iteratif adalah pertidaksamaan ï F(x saya)ï

Contoh 3. Implementasi metode iteratif Newton.

Metode iterasi sederhana ( iterasi berturut-turut)

Mari kita ganti persamaan nonlinier aslinya F(X)=0 dengan persamaan bentuk yang ekuivalen X=j( X). Jika perkiraan awal akar diketahui x = x 0, maka dapat diperoleh aproksimasi baru dengan menggunakan rumus: X 1 =j( X 0). Selanjutnya, dengan mensubstitusikan nilai akar baru ke dalam persamaan asli setiap kali, kita memperoleh barisan nilai:

Interpretasi geometrik dari metode ini adalah bahwa setiap akar real persamaan adalah absis titik potong M bengkok kamu= J( X) dengan garis lurus kamu=x(Gbr. 8). Mulai dari sembarang t. A 0 [X 0 ,j( X 0)] perkiraan awal , membangun polyline A 0 DI DALAM 1 A 1 DI DALAM 2 A 2.., yang berbentuk “tangga” (Gbr. 8, A) jika turunan j’(x) positif dan berbentuk “spiral” (Gbr. 8, B) dalam kasus sebaliknya.

	V)
Beras. 8. Metode iterasi sederhana: a, b– iterasi konvergen, V– iterasi yang berbeda.

Perhatikan bahwa Anda harus memeriksa terlebih dahulu kerataan kurva j( X), karena jika kurang datar ( >1), maka proses iterasinya bisa divergen (Gbr. 8, V).

Contoh 4 . Selesaikan persamaannya X 3 – X– 1 = 0 dengan metode iterasi sederhana dengan ketelitian e = 10 -3. Implementasi tugas ini disajikan dalam dokumen MathCAD berikut.

Implementasi metode solusi perkiraan menggunakan fungsi MathCAD bawaan

Menggunakan fungsiakar

Untuk persamaan bentuk F(X) = 0 solusinya ditemukan menggunakan fungsi: akar( F(X ),x,a,b) , yang mengembalikan nilai X , milik segmen tersebut [a, b] , di mana ekspresi atau fungsi F(X) menjadi 0. Argumen x dan f(x) pada fungsi ini harus berupa skalar, dan argumennya a, b – bersifat opsional dan, jika digunakan, harus berupa bilangan real, dan A< B. Fungsi ini memungkinkan Anda menemukan tidak hanya akar persamaan yang nyata, tetapi juga kompleks (saat memilih perkiraan awal dalam bentuk kompleks).

Jika persamaan tidak mempunyai akar, letaknya terlalu jauh dari perkiraan awal, perkiraan awal real, dan akar-akarnya kompleks, maka fungsinya F(X) mempunyai diskontinuitas (ekstrim lokal antara perkiraan awal akar), maka akan muncul pesan (tidak ada konvergensi). Penyebab kesalahan dapat diketahui dengan memeriksa grafik F(X). Ini akan membantu untuk mengetahui keberadaan akar persamaan F(X) = 0 dan, jika ada, tentukan kira-kira nilainya. Semakin akurat perkiraan awal akar yang dipilih, semakin cepat konvergensi fungsi tersebut akar.

Untuk ekspresi F(X) dengan akar yang diketahui A menemukan akar tambahan F(X) setara dengan mencari akar-akar persamaan H(X)=F(X)/(x‑a). Lebih mudah untuk menemukan akar ekspresi H(X) daripada mencoba mencari akar persamaan yang lain F(X)=0, memilih perkiraan awal yang berbeda. Teknik serupa berguna untuk menemukan akar yang berdekatan, dan diterapkan pada dokumen di bawah ini.

Contoh 5. Selesaikan persamaan aljabar menggunakan fungsi akar:

Catatan. Jika Anda menaikkan nilai variabel sistem TOL (toleransi), maka fungsinya akar akan konvergensi lebih cepat, namun jawabannya akan kurang akurat, dan seiring menurunnya TOL, konvergensi yang lebih lambat memberikan akurasi yang lebih tinggi. Yang terakhir ini diperlukan jika perlu untuk membedakan antara dua akar yang letaknya berdekatan, atau jika fungsinya F(X) memiliki kemiringan kecil di dekat akar yang diinginkan, karena proses iteratif dalam hal ini dapat menyatu hingga menghasilkan hasil yang cukup jauh dari akar. Dalam kasus terakhir, alternatif untuk meningkatkan akurasi adalah dengan mengganti persamaan F(X) = 0 hidup G(X) = 0, dimana .

Menggunakan fungsiakar poli

Jika fungsi f(x) adalah polinomial berderajat n, maka untuk menyelesaikan persamaan f(x)=0 lebih baik menggunakan fungsi tersebut akar poli(a) dari akar, karena tidak memerlukan perkiraan awal dan mengembalikan semua akar, baik nyata maupun kompleks, sekaligus. Argumennya adalah vektor a, yang terdiri dari koefisien polinomial aslinya. Itu dapat dibuat secara manual atau menggunakan perintah Simbol Þ Koefisien polinomial(variabel polinomial x disorot oleh kursor). Contoh penggunaan suatu fungsi akar poli:

Menggunakan fungsimenyelesaikandan blok keputusan

Blok solusi dengan kata kunci ( Diberikan – Temukan atau Diberikan – Miner) atau fungsi menyelesaikan memungkinkan Anda menemukan solusi persamaan nonlinier sembarang jika perkiraan awal telah ditentukan sebelumnya.

Perhatikan bahwa di antara fungsi-fungsi tersebut Menemukan Dan akar Ada semacam kompetisi. Di satu sisi, Menemukan memungkinkan Anda mencari akar persamaan dan sistem. Dari posisi tersebut fungsinya akar seolah-olah itu tidak diperlukan. Namun di sisi lain, desainnya Diberikan-Temukan tidak dapat dimasukkan ke dalam program MathCAD. Oleh karena itu, dalam program perlu untuk mereduksi sistem menjadi satu persamaan melalui substitusi dan menggunakan fungsi akar.

Solusi simbolis persamaan dalam paket MathCAD

Dalam banyak kasus, MathCAD memungkinkan Anda menemukan solusi analitik untuk suatu persamaan. Untuk mencari solusi persamaan dalam bentuk analitik, perlu menuliskan ekspresi dan memilih variabel di dalamnya. Setelah itu, pilih dari item menu Simbolis subparagraf Selesaikan untuk Variabel .

Pilihan lain untuk menemukan solusi dalam bentuk simbolik adalah (contoh penyelesaian persamaan yang sama diberikan) - menggunakan fungsi menyelesaikan dari palet operasi matematika Simbol (Simbolis).

menggunakan blok solusi (dengan kata kunci Diberikan - Menemukan)