Persamaan diferensial dengan definisi variabel yang dapat dipisahkan. Persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan

Definisi 7. Persamaan bentuk disebut persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan.

Persamaan ini dapat direduksi menjadi bentuk dengan membagi semua suku persamaan dengan hasil kali.

Misalnya, selesaikan persamaannya

Larutan. Turunannya sama, artinya

Memisahkan variabel, kita mendapatkan:

.

Sekarang mari kita integrasikan:

Selesaikan persamaan diferensial

Larutan. Ini adalah persamaan orde pertama dengan variabel yang dapat dipisahkan. Untuk memisahkan variabel persamaan ini dalam bentuk dan membaginya istilah demi istilah ke dalam produk. Hasilnya kita dapatkan atau

dengan mengintegrasikan kedua ruas persamaan terakhir, kita memperoleh solusi umum

busursin y = busursin x + C

Sekarang mari kita cari solusi tertentu yang memenuhi kondisi awal. Mengganti kondisi awal ke dalam solusi umum, kita memperoleh

; dari mana C = 0

Oleh karena itu, penyelesaian partikularnya berbentuk busur sin y=busur sin x, tetapi sinus dari busur-busur yang sama besarnya sama satu sama lain.

dosa(arcsin y) = sin(arcsin x).

Berdasarkan definisi arcsinus, maka y = x.

Persamaan diferensial homogen

Definisi 8. Persamaan diferensial yang bentuknya dapat direduksi menjadi bentuk tersebut disebut homogen.

Untuk mengintegrasikan persamaan tersebut dilakukan perubahan variabel, dengan asumsi . Substitusi ini menghasilkan persamaan diferensial untuk x dan t yang variabel-variabelnya dipisahkan, setelah itu persamaan tersebut dapat diintegrasikan. Untuk mendapatkan jawaban akhir, variabel t harus diganti dengan .

Misalnya, menyelesaikan persamaan tersebut

Larutan. Mari kita tulis ulang persamaannya seperti ini:

kita mendapatkan:

Setelah membatalkan x 2 kita memiliki:

Gantikan t dengan:

Tinjau pertanyaan

1 Persamaan manakah yang disebut diferensial?

2 Sebutkan jenis-jenis persamaan diferensial.

3 Jelaskan algoritma untuk menyelesaikan semua persamaan bernama.

Contoh 3

Larutan: Kami menulis ulang turunannya dalam bentuk yang kami butuhkan:

Kami mengevaluasi apakah mungkin untuk memisahkan variabel? Bisa. Suku kedua kita pindahkan ke ruas kanan dengan perubahan tanda:

Dan kami mentransfer penggandanya sesuai dengan aturan proporsi:

Variabelnya dipisahkan, mari kita integrasikan kedua bagiannya:

Saya harus memperingatkan Anda, hari penghakiman sudah dekat. Jika Anda belum belajar dengan baik integral tak tentu, telah memecahkan beberapa contoh, maka tidak ada tujuan lagi - Anda harus menguasainya sekarang.

Integral ruas kiri mudah ditemukan; kita menangani integral kotangen menggunakan teknik standar yang kita bahas dalam pelajaran Mengintegrasikan fungsi trigonometri tahun lalu:

Di sebelah kanan kita memiliki logaritma, menurut rekomendasi teknis pertama saya, dalam hal ini konstanta juga harus ditulis di bawah logaritma.

Sekarang kita coba menyederhanakan integral umum. Karena kita hanya memiliki logaritma, sangat mungkin (dan perlu) untuk menghilangkannya. Kami “mengemas” logaritma sebanyak mungkin. Pengemasan dilakukan dengan menggunakan tiga properti:

Silakan salin ketiga rumus ini ke dalam buku kerja Anda; rumus tersebut sangat sering digunakan saat menyelesaikan soal difusi.

Saya akan menjelaskan solusinya dengan sangat rinci:

Pengepakan selesai, hapus logaritmanya:

Apakah mungkin untuk mengekspresikan “permainan”? Bisa. Kedua bagian harus dikuadratkan. Tapi Anda tidak perlu melakukan ini.

Tip teknis ketiga: Jika untuk mendapatkan solusi umum perlu untuk menaikkan pangkat atau mengakar, maka Umumnya Anda sebaiknya menahan diri dari tindakan ini dan membiarkan jawabannya dalam bentuk integral umum. Faktanya adalah bahwa solusi umum akan terlihat megah dan mengerikan - dengan akar yang besar, tanda-tanda.

Oleh karena itu, jawabannya kami tuliskan dalam bentuk integral umum. Merupakan praktik yang baik untuk menyajikan integral umum dalam bentuk , yaitu, di sisi kanan, jika memungkinkan, sisakan hanya sebuah konstanta. Hal ini tidak perlu dilakukan, tetapi menyenangkan profesor selalu bermanfaat ;-)

Menjawab: integral umum:

Catatan: Integral umum persamaan apa pun dapat ditulis dengan lebih dari satu cara. Jadi, jika hasil Anda tidak sesuai dengan jawaban yang diketahui sebelumnya, bukan berarti Anda salah menyelesaikan persamaan.

Integral umum juga cukup mudah untuk diperiksa, yang penting bisa dicari turunan dari suatu fungsi yang ditentukan secara implisit. Mari kita bedakan jawabannya:

Kami mengalikan kedua suku dengan:

Dan bagi dengan:

Persamaan diferensial awal telah diperoleh secara eksak, artinya integral umum telah ditemukan dengan benar.

Contoh 4

Temukan solusi khusus persamaan diferensial yang memenuhi kondisi awal. Lakukan pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa masalah Cauchy terdiri dari dua tahap:
1) Menemukan solusi umum.
2) Menemukan solusi tertentu.

Pengecekan juga dilakukan dalam dua tahap (lihat juga Contoh 2), perlu:
1) Pastikan bahwa solusi tertentu yang ditemukan benar-benar memenuhi kondisi awal.
2) Periksa apakah solusi partikular secara umum memenuhi persamaan diferensial.

Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Contoh 5

Temukan solusi khusus untuk persamaan diferensial , memenuhi kondisi awal. Lakukan pemeriksaan.

Larutan: Pertama, mari kita cari solusi umum. Persamaan ini sudah berisi diferensial yang sudah jadi dan artinya solusinya disederhanakan. Kami memisahkan variabel:

Mari kita integrasikan persamaannya:

Integral di sebelah kiri adalah tabel, integral di sebelah kanan diambil metode menjumlahkan suatu fungsi di bawah tanda diferensial:

Integral umum telah diperoleh, apakah solusi umum dapat dinyatakan dengan sukses? Bisa. Kami menggantung logaritma:

(Saya harap semua orang memahami transformasinya, hal-hal seperti itu seharusnya sudah diketahui)

Jadi, solusi umumnya adalah:

Mari kita cari solusi tertentu yang sesuai dengan kondisi awal yang diberikan. Dalam solusi umum, alih-alih “X” kita substitusikan nol, dan alih-alih “Y” kita substitusikan logaritma dua:

Desain yang lebih familiar:

Kami mengganti nilai konstanta yang ditemukan ke dalam solusi umum.

Menjawab: solusi pribadi:

Periksa: Pertama, mari kita periksa apakah kondisi awal terpenuhi:
- semuanya baik.

Sekarang mari kita periksa apakah solusi tertentu yang ditemukan memenuhi persamaan diferensial. Menemukan turunannya:

Mari kita lihat persamaan aslinya: – disajikan dalam perbedaan. Ada dua cara untuk memeriksanya. Perbedaan dari turunan yang ditemukan dapat dinyatakan:

Mari kita substitusikan solusi partikular yang ditemukan dan diferensial yang dihasilkan ke dalam persamaan aslinya :

Kami menggunakan identitas logaritma dasar:

Persamaan yang benar diperoleh, artinya solusi partikular ditemukan dengan benar.

Metode pemeriksaan kedua dicerminkan dan lebih familiar: dari persamaan Mari kita nyatakan turunannya, untuk melakukan ini kita membagi semua bagiannya dengan:

Dan ke dalam DE yang ditransformasikan kita substitusikan solusi parsial yang diperoleh dan turunan yang ditemukan. Sebagai hasil penyederhanaan, persamaan yang benar juga harus diperoleh.

Contoh 6

Selesaikan persamaan diferensial. Sajikan jawabannya dalam bentuk integral umum.

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri, solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Kesulitan apa yang menanti ketika menyelesaikan persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan?

1) Tidak selalu jelas (terutama bagi teko teh) bahwa variabel dapat dipisahkan. Mari kita pertimbangkan contoh bersyarat: . Di sini Anda perlu mengeluarkan faktor-faktor dari tanda kurung: dan memisahkan akar-akarnya: . Sudah jelas apa yang harus dilakukan selanjutnya.

2) Kesulitan dalam integrasi itu sendiri. Integral seringkali bukan yang paling sederhana, dan jika ada kekurangan dalam keterampilan mencarinya integral tak tentu, maka akan sulit dengan banyak diffuser. Selain itu, logika “karena persamaan diferensialnya sederhana, biarlah integralnya menjadi lebih rumit” sangat populer di kalangan penyusun koleksi dan manual pelatihan.

3) Transformasi dengan konstanta. Seperti yang diketahui semua orang, Anda dapat melakukan hampir semua hal dengan konstanta dalam persamaan diferensial. Dan transformasi seperti itu tidak selalu dapat dimengerti oleh seorang pemula. Mari kita lihat contoh kondisional lainnya: . Dianjurkan untuk mengalikan semua suku dengan 2: . Konstanta yang dihasilkan juga merupakan suatu konstanta, yang dapat dilambangkan dengan: . Ya, dan karena ada logaritma di ruas kanan, maka disarankan untuk menulis ulang konstanta tersebut dalam bentuk konstanta lain: .

Masalahnya adalah mereka sering tidak peduli dengan indeks dan menggunakan huruf yang sama. Dan sebagai hasilnya, catatan solusi mengambil bentuk berikut:

Apa-apaan ini? Ada juga kesalahan. Secara formal, ya. Tetapi secara informal - tidak ada kesalahan yang dipahami bahwa ketika mengkonversi suatu konstanta, beberapa konstanta lain masih diperoleh.

Atau contoh ini, misalkan dalam menyelesaikan persamaan tersebut, diperoleh integral umum. Jawaban ini terlihat jelek, jadi disarankan untuk mengubah tanda semua faktor: . Secara formal, menurut pencatatan, ada kesalahan lagi, seharusnya dicatat. Tetapi secara informal dipahami bahwa itu masih merupakan konstanta lain (selain itu, dapat mengambil nilai apa pun), jadi mengubah tanda suatu konstanta tidak masuk akal dan Anda dapat menggunakan huruf yang sama.

Saya akan mencoba menghindari pendekatan yang ceroboh, dan tetap menetapkan indeks yang berbeda ke konstanta saat mengonversinya.

Contoh 7

Selesaikan persamaan diferensial. Lakukan pemeriksaan.

Larutan: Persamaan ini memungkinkan pemisahan variabel. Kami memisahkan variabel:

Mari berintegrasi:

Konstanta di sini tidak perlu didefinisikan sebagai logaritma, karena tidak ada manfaatnya.

Menjawab: integral umum:

Periksa: Bedakan jawabannya (fungsi implisit):

Kita menghilangkan pecahan dengan mengalikan kedua suku dengan:

Persamaan diferensial awal telah diperoleh, artinya integral umum telah ditemukan dengan benar.

Contoh 8

Temukan solusi khusus dari DE.
,

Ini adalah contoh untuk Anda pecahkan sendiri. Satu-satunya komentar adalah bahwa di sini Anda mendapatkan integral umum, dan, lebih tepatnya, Anda perlu berusaha untuk menemukan bukan solusi tertentu, tetapi integral parsial. Solusi lengkap dan jawabannya di akhir pelajaran.

Seperti telah disebutkan, dalam difusi dengan variabel yang dapat dipisahkan, sering kali bukan integral paling sederhana yang muncul. Dan berikut adalah beberapa contoh lagi yang bisa Anda pecahkan sendiri. Saya menyarankan semua orang untuk menyelesaikan contoh No. 9-10, terlepas dari tingkat pelatihan mereka, ini akan memungkinkan mereka untuk memperbarui keterampilan mereka dalam menemukan integral atau mengisi kesenjangan dalam pengetahuan.

Contoh 9

Selesaikan persamaan diferensial

Contoh 10

Selesaikan persamaan diferensial

Ingatlah bahwa ada lebih dari satu cara untuk menulis integral umum, dan tampilan jawaban Anda mungkin berbeda dengan tampilan jawaban saya. Solusi dan jawaban singkat di akhir pelajaran.

Selamat berpromosi!

Solusi dan jawaban:

Contoh 4:Larutan: Mari kita cari solusi umum. Kami memisahkan variabel:


Mari berintegrasi:



Integral umum telah diperoleh; kami mencoba menyederhanakannya. Mari kita kemas logaritma dan menghilangkannya:

Kami mengekspresikan fungsi secara eksplisit menggunakan .
Keputusan umum:

Mari kita cari solusi tertentu yang memenuhi kondisi awal .
Metode pertama, alih-alih “X” kita substitusikan 1, alih-alih “Y” kita substitusikan “e”:
.
Metode dua:

Gantikan nilai konstanta yang ditemukan menjadi solusi umum.
Menjawab: solusi pribadi:

Periksa: Kami memeriksa apakah kondisi awal benar-benar terpenuhi:
, ya, kondisi awal Selesai.
Kami memeriksa apakah solusi tertentu memuaskan persamaan diferensial. Pertama kita cari turunannya:

Mari kita substitusikan solusi partikular yang dihasilkan dan turunan yang ditemukan ke dalam persamaan aslinya :

Persamaan yang benar diperoleh, artinya solusi ditemukan dengan benar.

Contoh 6:Larutan: Persamaan ini memungkinkan pemisahan variabel. Kami memisahkan variabel dan mengintegrasikan:




Menjawab: integral umum:

Catatan: di sini Anda bisa mendapatkan solusi umum:

Namun menurut tip teknis ketiga saya, tidak disarankan melakukan ini karena sepertinya jawaban yang sangat buruk.

Contoh 8:Larutan: Remote control ini memungkinkan pemisahan variabel. Kami memisahkan variabel:



Mari berintegrasi:


Integral umum:
Mari kita cari solusi tertentu (integral parsial) yang sesuai dengan kondisi awal yang diberikan . Gantikan ke dalam larutan umum Dan :

Menjawab: Integral parsial:
Prinsipnya, jawabannya bisa disisir dan Anda mendapatkan sesuatu yang lebih kompak. .

Seringkali penyebutan persamaan diferensial saja sudah membuat siswa merasa tidak enak. Mengapa ini terjadi? Paling sering, karena ketika mempelajari dasar-dasar materi, kesenjangan pengetahuan muncul, itulah sebabnya studi lebih lanjut tentang diffuser menjadi siksaan. Tidak jelas apa yang harus dilakukan, bagaimana memutuskan, mulai dari mana?

Namun, kami akan mencoba menunjukkan kepada Anda bahwa diffuser tidak sesulit kelihatannya.

Konsep dasar teori persamaan diferensial

Dari sekolah kita mengetahui persamaan paling sederhana di mana kita perlu mencari x yang tidak diketahui. nyatanya persamaan diferensial hanya sedikit berbeda dari mereka - bukan variabel X Anda perlu menemukan fungsi di dalamnya kamu(x) , yang akan mengubah persamaan menjadi identitas.

Persamaan diferensial sangat penting secara praktis. Ini bukanlah matematika abstrak yang tidak ada hubungannya dengan dunia sekitar kita. Banyak proses alam nyata dijelaskan menggunakan persamaan diferensial. Misalnya getaran tali, gerak osilator harmonik, menggunakan persamaan diferensial dalam soal mekanika, mencari kecepatan dan percepatan suatu benda. Juga DU banyak digunakan dalam biologi, kimia, ekonomi dan banyak ilmu lainnya.

Persamaan diferensial (DU) adalah persamaan yang memuat turunan dari fungsi y(x), fungsi itu sendiri, variabel bebas, dan parameter lain dalam berbagai kombinasi.

Persamaan diferensial ada banyak jenisnya: persamaan diferensial biasa, linier dan nonlinier, persamaan diferensial homogen dan tak homogen, persamaan diferensial orde satu dan tinggi, persamaan diferensial parsial, dan sebagainya.

Penyelesaian persamaan diferensial adalah fungsi yang mengubahnya menjadi identitas. Ada solusi umum dan khusus untuk kendali jarak jauh.

Solusi umum persamaan diferensial adalah himpunan solusi umum yang mengubah persamaan tersebut menjadi suatu identitas. Solusi parsial persamaan diferensial adalah solusi yang memenuhi kondisi tambahan yang ditentukan pada awalnya.

Orde persamaan diferensial ditentukan oleh orde tertinggi turunannya.

Persamaan diferensial biasa

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan yang mengandung satu variabel bebas.

Mari kita perhatikan persamaan diferensial biasa orde pertama yang paling sederhana. Sepertinya:

Persamaan ini dapat diselesaikan hanya dengan mengintegrasikan ruas kanannya.

Contoh persamaan tersebut:

Persamaan yang dapat dipisahkan

Secara umum, persamaan jenis ini terlihat seperti ini:

Berikut ini contohnya:

Saat menyelesaikan persamaan seperti itu, Anda perlu memisahkan variabel-variabelnya, menjadikannya bentuk:

Setelah ini, tinggal mengintegrasikan kedua bagian dan mendapatkan solusi.

Persamaan diferensial linier orde pertama

Persamaan tersebut terlihat seperti:

Di sini p(x) dan q(x) adalah beberapa fungsi dari variabel bebas, dan y=y(x) adalah fungsi yang diinginkan. Berikut adalah contoh persamaan tersebut:

Saat menyelesaikan persamaan seperti itu, paling sering mereka menggunakan metode memvariasikan konstanta sembarang atau merepresentasikan fungsi yang diinginkan sebagai produk dari dua fungsi lainnya y(x)=u(x)v(x).

Untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, diperlukan persiapan tertentu dan akan cukup sulit untuk memahaminya “sekilas”.

Contoh penyelesaian persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan

Jadi kami melihat jenis remote control yang paling sederhana. Sekarang mari kita lihat solusi salah satunya. Biarkan ini menjadi persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan.

Pertama, mari kita tulis ulang turunannya dalam bentuk yang lebih familiar:

Kemudian kita membagi variabelnya, yaitu, di satu bagian persamaan kita mengumpulkan semua "I", dan di bagian lain - "X":

Sekarang tinggal mengintegrasikan kedua bagian:

Kami mengintegrasikan dan memperoleh solusi umum untuk persamaan ini:

Tentu saja, menyelesaikan persamaan diferensial adalah suatu seni. Anda harus bisa memahami jenis persamaannya, dan juga belajar melihat transformasi apa yang perlu dilakukan agar persamaan tersebut bisa mengarah ke satu bentuk atau lainnya, belum lagi hanya kemampuan membedakan dan mengintegrasikan. Dan untuk berhasil menyelesaikan DE, Anda memerlukan latihan (seperti dalam segala hal). Dan jika saat ini Anda tidak punya waktu untuk memahami cara menyelesaikan persamaan diferensial, atau masalah Cauchy terasa sulit untuk Anda, atau Anda tidak tahu cara mempersiapkan presentasi dengan benar, hubungi penulis kami. Dalam waktu singkat, kami akan memberi Anda solusi yang siap pakai dan terperinci, yang detailnya dapat Anda pahami kapan saja sesuai keinginan Anda. Sementara itu, kami sarankan menonton video dengan topik “Cara menyelesaikan persamaan diferensial”:

Persamaan diferensial biasa.

Penyelesaian berbagai masalah geometri, fisika, dan teknik sering kali mengarah pada persamaan yang menghubungkan variabel bebas yang mencirikan suatu masalah tertentu dengan beberapa fungsi dari variabel tersebut dan turunan dari fungsi tersebut dengan orde yang berbeda.

Sebagai contoh, kita dapat mempertimbangkan kasus paling sederhana dari gerak dipercepat beraturan suatu titik material.

Diketahui bahwa perpindahan suatu titik material pada gerak dipercepat beraturan merupakan fungsi waktu dan dinyatakan dengan rumus:

Pada gilirannya, akselerasi A merupakan turunan terhadap waktu T dari kecepatan V, yang juga merupakan turunan waktu T dari bergerak S. Itu.

Kemudian kita mendapatkan:
- persamaan tersebut menghubungkan fungsi f(t) dengan variabel bebas t dan turunan orde kedua dari fungsi f(t).

Definisi. Persamaan diferensial adalah persamaan yang menghubungkan variabel bebas, fungsinya, dan turunan (atau diferensial) dari fungsi tersebut.

Definisi. Jika suatu persamaan diferensial mempunyai satu variabel bebas, maka disebut persamaan diferensial biasa, jika terdapat dua atau lebih variabel bebas, maka persamaan diferensial tersebut disebut persamaan diferensial parsial.

Definisi. Turunan tertinggi yang muncul dalam suatu persamaan disebut urutan persamaan diferensial.

Contoh.

- persamaan diferensial biasa orde 1. Secara umum ada tertulis
.

- persamaan diferensial biasa orde 2. Secara umum ada tertulis

- persamaan diferensial parsial orde pertama.

Definisi. Solusi umum persamaan diferensial adalah fungsi terdiferensiasi y = (x, C), yang jika disubstitusikan ke persamaan awal dan bukan fungsi yang tidak diketahui, akan mengubah persamaan tersebut menjadi identitas.

Sifat-sifat solusi umum.

1) Karena konstanta C adalah nilai yang berubah-ubah, maka secara umum persamaan diferensial memiliki jumlah solusi yang tak terhingga.

2) Pada setiap kondisi awal x = x 0, y(x 0) = y 0, terdapat nilai C = C 0 yang penyelesaian persamaan diferensialnya adalah fungsi y = (x, C 0).

Definisi. Solusi yang berbentuk y = (x, C 0) disebut solusi pribadi persamaan diferensial.

Definisi. Masalah Cauchy(Augustin Louis Cauchy (1789-1857) - matematikawan Perancis) adalah penemuan solusi tertentu terhadap persamaan diferensial berbentuk y = (x, C 0), memenuhi kondisi awal y(x 0) = y 0.

teorema Cauchy. (teorema keberadaan dan keunikan penyelesaian persamaan diferensial orde 1)

Jika fungsinyaF(X, kamu) berkelanjutan di beberapa wilayahDdi pesawatXOYdan memiliki turunan parsial kontinu di wilayah ini
, lalu apa pun gunanya (x 0 , kamu 0 ) di daerahD, hanya ada satu solusi
persamaan
, didefinisikan dalam beberapa interval yang mengandung titik x 0 , mengambil x = x 0 arti (X 0 ) = kamu 0 , yaitu ada solusi unik untuk persamaan diferensial.

Definisi. Integral Persamaan diferensial adalah persamaan apa pun yang tidak mengandung turunan dan persamaan diferensial tersebut merupakan konsekuensinya.

Contoh. Temukan solusi umum persamaan diferensial
.

Penyelesaian umum persamaan diferensial dicari dengan mengintegrasikan ruas kiri dan kanan persamaan, yang sebelumnya ditransformasikan sebagai berikut:

Sekarang mari kita integrasikan:

adalah solusi umum persamaan diferensial asli.

Katakanlah beberapa kondisi awal diberikan: x 0 = 1; y 0 = 2, maka kita punya

Dengan mensubstitusi nilai konstanta yang dihasilkan ke dalam solusi umum, kita memperoleh solusi khusus untuk kondisi awal tertentu (solusi masalah Cauchy).

Definisi. Kurva integral disebut grafik y = (x) dari penyelesaian persamaan diferensial pada bidang XOY.

Definisi. Dengan keputusan khusus persamaan diferensial adalah solusi pada semua titik yang disebut kondisi keunikan Cauchy (lihat. teorema Cauchy.) tidak terpenuhi, mis. di sekitar titik (x, y) paling sedikit terdapat dua kurva integral.

Solusi khusus tidak bergantung pada konstanta C.

Solusi khusus tidak dapat diperoleh dari solusi umum untuk nilai konstanta C berapa pun. Jika kita membuat suatu kelompok kurva integral dari persamaan diferensial, maka solusi khusus akan diwakili oleh garis yang menyentuh setidaknya satu kurva integral di setiap titik. .

Perhatikan bahwa tidak semua persamaan diferensial mempunyai solusi khusus.

Contoh.
Temukan solusi khusus jika ada.

Persamaan diferensial ini juga mempunyai solusi khusus pada= 0. Penyelesaian ini tidak dapat diperoleh dari penyelesaian umum, tetapi jika disubstitusikan ke persamaan awal kita memperoleh identitas. Pendapat itu solusinya kamu = 0 dapat diperoleh dari solusi umum dengan DENGAN 1 = 0 salah, karena C 1 = e C  0.

Persamaan diferensial orde pertama.

Definisi. Persamaan diferensial orde pertama disebut relasi yang menghubungkan suatu fungsi, turunan pertamanya, dan variabel bebas, yaitu. perbandingan bentuk:

Jika kita mengubah hubungan ini ke bentuk
maka persamaan diferensial orde pertama ini disebut persamaan, diselesaikan sehubungan dengan turunannya.

Mari kita nyatakan fungsi f(x,y) sebagai:
maka, jika disubstitusikan ke persamaan di atas, kita mendapatkan:

inilah yang disebut bentuk diferensial persamaan orde pertama.

Persamaan bentukkamu ’ = F ( X ).

Biarkan fungsi f(x) terdefinisi dan kontinu pada interval tertentu

A< x < b. В таком случае все решения данного дифференциального уравнения находятся как
. Jika kondisi awal x 0 dan y 0 diberikan, maka konstanta C dapat ditentukan.

Persamaan yang dapat dipisahkan

Definisi. Persamaan diferensial
ditelepon persamaan yang dapat dipisahkan, jika dapat ditulis dalam bentuk

.

Persamaan ini juga dapat direpresentasikan sebagai:

Mari beralih ke notasi baru

Kita mendapatkan:

Setelah menemukan integral yang bersesuaian, diperoleh solusi umum persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan.

Jika kondisi awal diberikan, maka ketika kondisi tersebut disubstitusikan ke dalam solusi umum, nilai konstanta C ditemukan, dan oleh karena itu, solusi khusus ditemukan.

Contoh. Temukan solusi umum persamaan diferensial:

Integral di ruas kiri diambil sebagian (lihat. Integrasi berdasarkan bagian.):

ini adalah integral umum dari persamaan diferensial awal, karena fungsi yang diinginkan dan tidak dinyatakan melalui variabel bebas. Ini semua tentangnya perbedaan umum (pribadi) integral dari umum (pribadi) solusi.

Untuk memeriksa kebenaran jawaban yang diterima, kita bedakan terhadap variabel x.

- Kanan

Contoh. Temukan solusi persamaan diferensial
asalkan y(2) = 1.

untuk y(2) = 1 kita peroleh

Total:
atau
- solusi pribadi;

Penyelidikan:
, jumlah

- Kanan.

Contoh. Selesaikan persamaannya

- integral umum

- keputusan bersama

Contoh. Selesaikan persamaannya

Contoh. Selesaikan persamaannya
asalkan y(1) = 0.

Kami akan mengambil integral di sisi kiri per bagian (lihat. Integrasi berdasarkan bagian.).

Jika y(1) = 0, maka

Total, integral parsial:
.

Contoh. Selesaikan persamaannya.

Untuk mencari integral di ruas kiri persamaan, lihat Tabel integral dasar. ayat 16. Kami memperoleh integral umum:

Contoh. Selesaikan persamaannya

Mari kita ubah persamaan yang diberikan:

Kami memperoleh integral umum dari persamaan diferensial ini. Jika kita menyatakan fungsi y yang diinginkan dari relasi ini, kita memperoleh solusi umum.

Contoh. Selesaikan persamaannya
.

;
;

Katakanlah beberapa kondisi awal x 0 dan y 0 diberikan. Kemudian:

Kami memperoleh solusi tertentu

Persamaan homogen.

Definisi. Fungsi f(x, y) dipanggil homogenN– pengukuran ke sehubungan dengan argumennya x dan y, jika untuk nilai parameter t apa pun (kecuali nol) identitasnya berlaku:

Contoh. Apakah fungsinya homogen?

Jadi, fungsi f(x, y) homogen orde ke-3.

Definisi. Persamaan diferensial bentuk
ditelepon homogen, jika ruas kanannya f(x, y) adalah fungsi homogen berdimensi nol terhadap argumennya.

Persamaan apa pun yang bentuknya homogen jika fungsinya P(X, kamu) Dan Q(X, kamu) – fungsi homogen dengan dimensi yang sama.

Penyelesaian persamaan homogen didasarkan pada pengurangan persamaan tersebut menjadi persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan.

Pertimbangkan persamaan homogen

Karena fungsi f(x, y) homogen berdimensi nol, maka kita dapat menulis:

Karena parameter t umumnya berubah-ubah, mari kita asumsikan demikian . Kita mendapatkan:

Sisi kanan persamaan yang dihasilkan sebenarnya hanya bergantung pada satu argumen
, yaitu

Persamaan diferensial asli dapat ditulis sebagai:

Jadi, kami memperoleh persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan untuk fungsi u yang tidak diketahui.

Contoh. Selesaikan persamaannya
.

Mari kita perkenalkan fungsi tambahan kamu.

.

Perhatikan bahwa fungsi yang kami perkenalkan kamu selalu positif, karena jika tidak, persamaan diferensial asli mengandung
.

Substitusikan ke persamaan awal:

Kami memisahkan variabel:

Mengintegrasikan, kita mendapatkan:

Beralih dari fungsi bantu kembali ke fungsi y, kita memperoleh solusi umum:

Persamaan direduksi menjadi homogen.

Selain persamaan-persamaan yang dijelaskan di atas, ada golongan persamaan yang, dengan menggunakan substitusi tertentu, dapat direduksi menjadi persamaan homogen.

Ini adalah persamaan bentuk
.

Jika determinannya
maka variabel-variabel tersebut dapat dipisahkan dengan substitusi

dimana  dan  adalah solusi sistem persamaan

Contoh. Selesaikan persamaannya

Kita mendapatkan

Menemukan nilai determinan
.

Memecahkan sistem persamaan

Kami menerapkan substitusi ke persamaan awal:

Ganti variabelnya
ketika menggantikan ekspresi yang tertulis di atas, kita mendapatkan:

Persamaan diferensial.

Konsep dasar tentang persamaan diferensial biasa.

Definisi 1. Persamaan diferensial biasa N– urutan ke-th untuk fungsi tersebut kamu argumen X disebut relasi bentuk

Di mana F – fungsi tertentu dari argumennya. Dalam nama golongan persamaan matematika ini, istilah “diferensial” menekankan bahwa persamaan tersebut termasuk turunan (fungsi yang terbentuk sebagai hasil diferensiasi); istilah “biasa” menunjukkan bahwa fungsi yang diinginkan hanya bergantung pada satu argumen nyata.

Persamaan diferensial biasa tidak boleh mengandung argumen yang jelas X, fungsi yang diinginkan dan turunannya, tetapi turunan tertingginya harus dimasukkan ke dalam persamaan N- pesanan ke-th. Misalnya

a) – persamaan orde pertama;

B) – persamaan orde ketiga.

Saat menulis persamaan diferensial biasa, notasi turunan dalam bentuk diferensial sering digunakan:

V) – persamaan orde kedua;

d) – persamaan orde pertama,

generator setelah pembagian dengan dx bentuk setara untuk menentukan persamaan: .

Suatu fungsi disebut penyelesaian persamaan diferensial biasa jika jika disubstitusikan ke dalamnya berubah menjadi identitas.

Misalnya persamaan orde ke-3

Punya solusi .

Menemukan dengan satu metode atau metode lain, misalnya seleksi, satu fungsi yang memenuhi persamaan tidak berarti menyelesaikannya. Menyelesaikan persamaan diferensial biasa berarti menemukan Semua fungsi yang membentuk identitas ketika disubstitusikan ke dalam persamaan. Untuk persamaan (1.1), keluarga fungsi tersebut dibentuk dengan menggunakan konstanta sembarang dan disebut solusi umum persamaan diferensial biasa N-urutan, dan jumlah konstanta bertepatan dengan urutan persamaan: Solusi umum mungkin, tetapi tidak diselesaikan secara eksplisit sehubungan dengan kamu(x): Dalam hal ini penyelesaiannya biasa disebut integral umum persamaan (1.1).

Misalnya, solusi umum persamaan diferensial adalah ekspresi berikut: , dan suku kedua dapat ditulis sebagai , karena konstanta sembarang dibagi 2 dapat diganti dengan konstanta sembarang yang baru.

Dengan menetapkan beberapa nilai yang dapat diterima untuk semua konstanta sembarang dalam solusi umum atau integral umum, kita memperoleh fungsi tertentu yang tidak lagi mengandung konstanta sembarang. Fungsi ini disebut solusi parsial atau integral parsial persamaan (1.1). Untuk mencari nilai konstanta sembarang, dan oleh karena itu solusi tertentu, berbagai kondisi tambahan untuk persamaan (1.1) digunakan. Misalnya, apa yang disebut kondisi awal dapat ditentukan pada (1.2)

Di sisi kanan kondisi awal (1.2) nilai numerik fungsi dan turunannya ditentukan, dan jumlah total kondisi awal sama dengan jumlah konstanta sembarang yang ditentukan.

Masalah mencari solusi tertentu persamaan (1.1) berdasarkan kondisi awal disebut masalah Cauchy.

§ 2. Persamaan diferensial biasa orde 1 - konsep dasar.

Persamaan diferensial biasa orde 1 ( N=1) berbentuk: atau, jika dapat diselesaikan terhadap turunannya: . Keputusan bersama kamu=kamu(x,C) atau integral umum persamaan orde 1 mengandung satu konstanta sembarang. Satu-satunya kondisi awal persamaan orde 1 memungkinkan Anda menentukan nilai konstanta dari solusi umum atau integral umum. Dengan demikian, solusi tertentu akan ditemukan atau, yang sama, masalah Cauchy akan terpecahkan. Pertanyaan tentang keberadaan dan keunikan solusi masalah Cauchy merupakan salah satu pertanyaan sentral dalam teori umum persamaan diferensial biasa. Khususnya untuk persamaan orde 1, teoremanya valid, yang diterima di sini tanpa pembuktian.

Teorema 2.1. Jika dalam persamaan tersebut fungsi dan turunan parsialnya kontinu di suatu daerah D pesawat XOY , dan sebuah titik diberikan pada area ini, maka terdapat solusi unik yang memenuhi persamaan dan kondisi awal.

Secara geometris, solusi umum persamaan orde 1 adalah sekumpulan kurva pada bidang XOY, tidak memiliki titik yang sama dan berbeda satu sama lain dalam satu parameter - nilai konstanta C. Kurva ini disebut kurva integral untuk persamaan tertentu. Kurva persamaan integral mempunyai sifat geometri yang jelas: di setiap titik garis singgung kurva sama dengan nilai ruas kanan persamaan pada titik ini: . Dengan kata lain, persamaan diberikan pada bidang XOY bidang arah garis singgung kurva integral. Komentar: Perlu dicatat bahwa Persamaan. persamaan dan apa yang disebut persamaan diberikan dalam bentuk simetris .

Persamaan diferensial orde 1 dengan variabel yang dapat dipisahkan.

Definisi. Persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan merupakan persamaan bentuk (3.1)

atau persamaan bentuk (3.2)

Untuk memisahkan variabel pada persamaan (3.1), yaitu. kurangi persamaan ini menjadi apa yang disebut persamaan variabel terpisah, lakukan hal berikut:

;

Sekarang kita perlu menyelesaikan persamaannya g(kamu)= 0. Jika ada solusi nyata kamu=sebuah, Itu kamu=a juga akan menjadi solusi persamaan (3.1).

Persamaan (3.2) direduksi menjadi persamaan terpisah dengan membaginya dengan hasil kali:

, yang memungkinkan kita memperoleh integral umum persamaan (3.2): . (3.3)

Kurva integral (3.3) akan dilengkapi dengan solusi jika solusi tersebut ada.

Selesaikan persamaan: .

Kami memisahkan variabel:

.

Mengintegrasikan, kita dapatkan

Dalam seluruh rangkaian persamaan diferensial biasa orde 1, terdapat persamaan yang variabel x dan y dapat dipisahkan menjadi ruas kanan dan kiri persamaan. Variabel-variabelnya mungkin sudah terpisah, seperti terlihat pada persamaan f(y)d y = g(x)dx. Anda dapat memisahkan variabel-variabel dalam ODE f 1 (y) · g 1 (x) d y = f 2 (y) · g 2 (x) d x dengan melakukan transformasi. Paling sering, untuk mendapatkan persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan, digunakan metode memasukkan variabel baru.

Pada topik ini, kita akan membahas secara detail metode penyelesaian persamaan dengan variabel terpisah. Mari kita perhatikan persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan dan persamaan diferensial, yang dapat direduksi menjadi persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan. Pada bagian ini kami telah menganalisis sejumlah besar masalah pada topik tersebut dengan analisis solusi yang mendetail.

Untuk memudahkan Anda menguasai topik tersebut, sebaiknya Anda membiasakan diri dengan informasi yang terdapat pada halaman “Definisi Dasar dan Konsep Teori Persamaan Diferensial”.

Persamaan diferensial terpisah f (y) d y = g (x) d x

Definisi 1

Persamaan dengan variabel yang terpisah disebut persamaan diferensial yang berbentuk f(y) d y = g(x) d x. Seperti namanya, variabel-variabel yang membentuk suatu ekspresi berada di kedua sisi tanda sama dengan.

Mari kita sepakat bahwa fungsi f (y) dan g(x) kami akan berasumsi terus menerus.

Untuk persamaan dengan variabel terpisah, integral umumnya adalah ∫ f (y) d y = ∫ g (x) d x. Kita dapat memperoleh solusi umum persamaan diferensial dalam bentuk fungsi yang ditentukan secara implisit (x, y) = 0, asalkan integral dari persamaan di atas dinyatakan dalam fungsi dasar. Dalam beberapa kasus, fungsi y dapat dinyatakan dalam bentuk eksplisit.

Contoh 1

Temukan solusi umum persamaan diferensial terpisah y 2 3 d y = sin x d x .

Larutan

Mari kita integrasikan kedua sisi persamaan:

∫ y 2 3 d y = ∫ dosa x d x

Faktanya, ini adalah solusi umum untuk sistem kendali ini. Faktanya, kita telah mereduksi masalah pencarian solusi umum persamaan diferensial menjadi masalah pencarian integral tak tentu.

Sekarang kita dapat menggunakan tabel antiturunan untuk mengambil integral yang dinyatakan dalam fungsi dasar:

∫ y 2 3 d y = 3 5 y 5 3 + C 1 ∫ sin x d x = - cos x + C 2 ⇒ ∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x ⇔ 3 5 y 3 5 + C 1 = - cos x + C 2
di mana C 1 dan C 2 adalah konstanta sembarang.

Fungsi 3 5 y 3 5 + C 1 = - cos x + C 2 ditentukan secara implisit. Ini adalah solusi umum persamaan diferensial variabel terpisah asli. Kami telah menerima tanggapan dan mungkin tidak melanjutkan keputusan tersebut. Namun, dalam contoh yang dibahas, fungsi yang diinginkan dapat dinyatakan secara eksplisit melalui argumen x.

Kita mendapatkan:

3 5 y 5 3 + C 1 ⇒ y = - 5 3 cos x + C 3 5, dimana C = 5 3 (C 2 - C 1)

Solusi umum persamaan diferensial ini adalah fungsi y = - 5 3 cos x + C 3 5

Menjawab:

Kita dapat menuliskan jawabannya dengan beberapa cara: ∫ y 2 3 d y = ∫ sin x d x atau 3 5 y 5 3 + C 1 = - cos x + C 2, atau y = - 5 3 cos x + C 3 5

Penting untuk selalu menjelaskan kepada guru bahwa, selain keterampilan menyelesaikan persamaan diferensial, Anda juga memiliki kemampuan untuk mengubah ekspresi dan mengambil integral. Ini mudah dilakukan. Jawaban akhir cukup diberikan dalam bentuk fungsi eksplisit atau fungsi yang ditentukan secara implisit (x, y) = 0.

Persamaan diferensial dengan variabel terpisah f 1 (y) g 1 (x) d y = f 2 (y) g 2 (x) d x

y " = d y d x dalam kasus di mana y adalah fungsi dari argumen x.

Pada DE f 1 (y) g 1 (x) d y = f 2 (y) g 2 (x) d x atau f 1 (y) g 1 (x) y " = f 2 (y) g 2 (x) d x kita dapat melakukan transformasi sedemikian rupa untuk memisahkan variabel-variabelnya. DE jenis ini disebut DE dengan variabel-variabel yang dapat dipisahkan. Penulisan DE yang bersesuaian dengan variabel-variabel yang dipisahkan adalah f 1 (y) f 2 (y ) d y = g 2 (.x) g 1 (x) d x .

Saat memisahkan variabel, semua transformasi perlu dilakukan dengan hati-hati untuk menghindari kesalahan. Persamaan yang dihasilkan dan persamaan asli harus ekuivalen satu sama lain. Sebagai cek, Anda dapat menggunakan kondisi yang sesuai dengan f 2 (y) dan g 1 (x) tidak boleh hilang pada interval integrasi. Jika kondisi ini tidak terpenuhi, maka ada kemungkinan Anda akan kehilangan beberapa solusi.

Contoh 2

Temukan semua solusi persamaan diferensial y " = y · (x 2 + e x) .

Larutan

Kita dapat memisahkan x dan y, oleh karena itu kita berurusan dengan persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan.

y" = y · (x 2 + e x) ⇔ d y d x = y · (x 2 + e x) ⇔ d y y = (x 2 + e x) d x pr dan y ≠ 0

Ketika y = 0, persamaan awal menjadi identitas: 0 " = 0 · (x 2 + e x) ⇔ 0 ≡ 0. Hal ini memungkinkan kita menyatakan bahwa y = 0 adalah solusi DE. Kita mungkin tidak mengambil solusi ini diperhitungkan ketika melakukan transformasi.

Mari kita lakukan integrasi persamaan diferensial dengan variabel terpisah d y y = (x 2 + e x) d x:
∫ d y y = ∫ (x 2 + e x) d x ∫ d y y = ln y + C 1 ∫ (x 2 + e x) d x = x 3 3 + e x + C 2 ⇒ ln y + C 1 = x 3 3 + e x + C 2 ⇒ ln y = x 3 3 + e x + C

Dalam melakukan transformasi, kami melakukan pergantian C 2 - C 1 pada DENGAN. Solusi DE mempunyai bentuk fungsi yang ditentukan secara implisit ln y = x 3 3 + e x + C . Kami dapat mengekspresikan fungsi ini secara eksplisit. Untuk melakukan ini, mari kita potensikan persamaan yang dihasilkan:

ln y = x 3 3 + e x + C ⇔ e ln y = e x 3 3 + e x + C ⇔ y = e x 3 3 + e x + C

Menjawab: y = e x 3 3 + e x + C , y = 0

Persamaan diferensial direduksi menjadi persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan y " = f (ax + b y), a ≠ 0, b ≠ 0

Untuk mereduksi orde 1 biasa DE y " = f (ax + b y) , a ≠ 0, b ≠ 0, untuk persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan, perlu dimasukkan variabel baru z = a x + b y, di mana z adalah fungsi dari argumen X.

Kita mendapatkan:

z = a x + b y ⇔ y = 1 b (z - a x) ⇒ y " = 1 b (z " - a) f (a x + b y) = f (z)

Kami melakukan substitusi dan transformasi yang diperlukan:

y " = f (a x + b y) ⇔ 1 b (z " - a) = f (z) ⇔ z " = b f (z) + a ⇔ d z b f (z) + a = d x , b f (z) + a ≠ 0

Contoh 3

Temukan solusi umum persamaan diferensial y " = 1 ln (2 x + y) - 2 dan solusi khusus yang memenuhi kondisi awal y (0) = e.

Larutan

Mari kita perkenalkan sebuah variabel z = 2 x + kamu, kita mendapatkan:

y = z - 2 x ⇒ y " = z " - 2 ln (2 x + y) = ln z

Kami mengganti hasil yang kami peroleh ke dalam ekspresi asli dan mengubahnya menjadi persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan:

y" = 1 ln (2 x + y) - 2 ⇔ z " - 2 = 1 ln z - 2 ⇔ d z d x = 1 ln z

Mari kita integrasikan kedua ruas persamaan setelah memisahkan variabelnya:

d z d z = 1 ln z ⇔ ln z d z = d x ⇔ ∫ ln z d z = ∫ d x

Mari kita gunakan metode integrasi per bagian untuk mencari integral yang terletak di ruas kiri persamaan. Mari kita lihat integral di sisi kanan tabel.

∫ ln z d z = u = ln z , d v = d z d u = d z z , v = z = z ln z - ∫ z d z z = = z ln z - z + C 1 = z (ln z - 1) + C 1 ∫ d x = x + C 2

Kita dapat menyatakan bahwa z · (ln z - 1) + C 1 = x + C 2 . Sekarang jika kita menerimanya C = C 2 - C 1 dan kami akan melakukan penggantian terbalik z = 2 x + kamu, maka kita memperoleh solusi umum persamaan diferensial dalam bentuk fungsi yang ditentukan secara implisit:

(2 x + y) · (ln (2 x + y) - 1) = x + C

Sekarang mari kita mulai mencari solusi tertentu yang harus memenuhi kondisi awal kamu(0)=e. Mari kita melakukan substitusi x = 0 dan y (0) = e ke dalam solusi umum DE dan tentukan nilai konstanta C.

(2 0 + e) ​​​​(ln (2 0 + e) ​​​​- 1) = 0 + C e (ln e - 1) = C C = 0

Kami mendapatkan solusi khusus:

(2 x + y) · (ln (2 x + y) - 1) = x

Karena pernyataan masalah tidak menentukan interval yang diperlukan untuk menemukan solusi umum DE, kami mencari solusi yang cocok untuk semua nilai argumen x yang DE asli masuk akal.

Dalam kasus kita, DE masuk akal untuk ln (2 x + y) ≠ 0, 2 x + y > 0

Persamaan diferensial direduksi menjadi persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan y " = f x y atau y " = f y x

Persamaan diferensial berbentuk y " = f x y atau y " = f y x dapat direduksi menjadi persamaan diferensial yang dapat dipisahkan dengan melakukan substitusi z = x y atau z = y x , di mana z– fungsi argumen x.

Jika z = x y, maka y = x z dan menurut aturan diferensiasi pecahan:

y " = x y " = x " z - x z " z 2 = z - x z " z 2

Dalam hal ini, persamaannya akan berbentuk z - x · z " z 2 = f (z) atau z - x · z " z 2 = f 1 z

Jika kita mengambil z = y x, maka y = x ⋅ z dan berdasarkan aturan turunan dari hasil kali y " = (x z) " = x " z + x z " = z + x z ". Dalam hal ini, persamaannya direduksi menjadi z + x z " = f 1 z atau z + x z" = f(z).

Contoh 4

Selesaikan persamaan diferensial y " = 1 e y x - y x + y x

Larutan

Misalkan z = y x, maka y = x z ⇒ y " = z + x z ". Mari kita substitusikan ke persamaan awal:

y" = 1 e y x - y x + y x ⇔ z + x z " = 1 e z - z + z ⇔ x d z d x = 1 e z - z ⇔ (e z - z) d z = d x x

Mari kita integrasikan persamaan dengan variabel terpisah yang kita peroleh saat melakukan transformasi:

∫ (e z - z) d z = ∫ d x x e z - z 2 2 + C 1 = ln x + C 2 e z - z 2 2 = ln x + C , C = C 2 - C 1

Mari kita lakukan substitusi terbalik untuk mendapatkan solusi umum DE asli dalam bentuk fungsi yang ditentukan secara implisit:

e y x - 1 2 y 2 x 2 = ln x + C

Sekarang mari kita lihat remote controlnya, yang berbentuk:

y" = a 0 y n + a 1 y n - 1 x + a 2 y n - 2 x 2 + ... + a n x n b 0 y n + b 1 y n - 1 x + b 2 y n - 2 x 2 + ... + b n x n

Membagi pembilang dan penyebut pecahan yang terletak di sebelah kanan catatan dengan kamu n atau xn, kita dapat mengingat DE asli y " = f x y atau y " = f y x

Contoh 5

Temukan solusi umum persamaan diferensial y " = y 2 - x 2 2 x y

Larutan

Dalam persamaan ini, x dan y berbeda dari 0. Hal ini memungkinkan kita membagi pembilang dan penyebut pecahan yang terletak di sisi kanan notasi dengan x 2:

y " = y 2 - x 2 2 x y ⇒ y " = y 2 x 2 - 1 2 y x

Jika kita memasukkan variabel baru z = y x, kita mendapatkan y = x z ⇒ y " = z + x z ".

Sekarang kita perlu mensubstitusikannya ke persamaan awal:

y" = y 2 x 2 - 1 2 y x ⇔ z " x + z = z 2 - 1 2 z ⇔ z " x = z 2 - 1 2 z - z ⇔ z " x = z 2 - 1 - 2 z 2 2 z ⇔ d z d x x = - z 2 + 1 2 z ⇔ 2 z d z z 2 + 1 = - d x x

Beginilah cara kita sampai pada DE dengan variabel terpisah. Mari kita cari solusinya:

∫ 2 z d z z 2 + 1 = - ∫ d x x ∫ 2 z d z z 2 + 1 = ∫ d (z 2 + 1) z 2 + 1 = ln z 2 + 1 + C 1 - ∫ d x x = - ln x + C 2 ⇒ ln z 2 + 1 + C 1 = - ln x + C 2

Untuk persamaan ini kita dapat memperoleh solusi eksplisit. Untuk melakukannya, ambil - ln C = C 2 - C 1 dan terapkan properti logaritma:

ln z 2 + 1 = - ln x + C 2 - C 1 ⇔ ln z 2 + 1 = - ln x - ln C ⇔ ln z 2 + 1 = - ln C x ⇔ ln z 2 + 1 = ln C x - 1 ⇔ e ln z 2 + 1 = e ln 1 C x ⇔ z 2 + 1 = 1 C x ⇔ z ± 1 C x - 1

Sekarang kita melakukan substitusi terbalik y = x ⋅ z dan menulis solusi umum persamaan diferensial awal:

kamu = ± x 1 C x - 1

Dalam hal ini, solusi kedua juga tepat. Kita bisa menggunakan pengganti z = x y. Mari kita pertimbangkan opsi ini lebih detail.

Mari kita bagi pembilang dan penyebut pecahan yang terletak di sisi kanan persamaan dengan kamu 2:

kamu" = kamu 2 - x 2 2 x kamu ⇔ kamu " = 1 - x 2 kamu 2 2 x kamu

Misalkan z = x y

Maka y" = 1 - x 2 y 2 2 x y ⇔ z - z " x z 2 = 1 - z 2 2 z

Mari kita substitusikan ke persamaan awal untuk mendapatkan persamaan diferensial dengan variabel yang dapat dipisahkan:

kamu" = 1 - x 2 kamu 2 2 x kamu ⇔ z - z " x z 2 = 1 - z 2 2 z

Dengan membagi variabel-variabelnya, kita memperoleh persamaan d z z (z 2 + 1) = d x 2 x, yang dapat kita integrasikan:

∫ d z z (z 2 + 1) = ∫ d x 2 x

Jika kita memperluas integral ∫ d z z (z 2 + 1) menjadi pecahan sederhana, kita mendapatkan:

∫ 1 z - z z 2 + 1 dz

Mari kita lakukan integrasi pecahan sederhana:

∫ 1 z - z z 2 + 1 d z = ∫ z d z z 2 + 1 = ∫ dt z - 1 2 ∫ d (z 2 + 1) z 2 + 1 = = ln z - 1 2 ln z 2 + 1 + C 1 = ln z z 2 + 1 + C 1

Sekarang mari kita cari integral ∫ d x 2 x:

∫ d x 2 x = 1 2 ln x + C 2 = ln x + C 2

Hasilnya, kita mendapatkan ln z z 2 + 1 + C 1 = ln x + C 2 atau ln z z 2 + 1 = ln C x, di mana ln C = C 2 - C 1.

Mari kita lakukan substitusi terbalik z = x y dan transformasi yang diperlukan, kita mendapatkan:

kamu = ± x 1 C x - 1

Opsi solusi di mana kami mengganti z = x y ternyata lebih memakan waktu dibandingkan dengan kasus penggantian z = y x. Kesimpulan ini berlaku untuk sejumlah besar persamaan berbentuk y " = f x y atau y " = f y x . Jika opsi yang dipilih untuk menyelesaikan persamaan tersebut ternyata memakan waktu, Anda dapat memasukkan variabel z = y x alih-alih mengganti z = x y. Ini tidak akan mempengaruhi hasil apapun.

Persamaan diferensial direduksi menjadi persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan y" = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2, a 1, b 1, c 1, a 2, b 2, c 2 ∈ R

Persamaan diferensial y " = f a 1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 dapat direduksi menjadi persamaan y " = f x y atau y " = f y x , oleh karena itu, menjadi persamaan dengan variabel yang dapat dipisahkan. Untuk melakukannya, cari (x 0 , y 0) - solusi sistem dua persamaan linier homogen a 1 x + b 1 y + c 1 = 0 a 2 x + b 2 y + c 2 = 0 dan variabel barunya adalah diperkenalkan u = x - x 0 v = y - y 0. Setelah penggantian ini, persamaannya akan berbentuk d v du = a 1 u + b 1 v a 2 u + b 2 v.

Contoh 6

Temukan solusi umum persamaan diferensial y " = x + 2 y - 3 x - 1 .

Larutan

Kami menyusun dan menyelesaikan sistem persamaan linear:

x + 2 y - 3 = 0 x - 1 = 0 ⇔ x = 1 y = 1

Kami membuat perubahan variabel:

u = x - 1 v = y - 1 ⇔ x = u + 1 y = v + 1 ⇒ d x = d u d y = d v

Setelah disubstitusikan ke persamaan awal kita memperoleh d y d x = x + 2 y - 3 x - 1 ⇔ d v d u = u + 2 v u . Setelah dibagi kamu pembilang dan penyebut ruas kanan kita punya d v du = 1 + 2 v u .

Kita perkenalkan variabel baru z = v u ⇒ v = z · y ⇒ d v d u = d z d u · u + z, lalu

d v d u = 1 + 2 v u ⇔ d z d u · u + z = 1 + 2 z ⇔ d z 1 + z = d u u ⇒ ∫ d z 1 + z = ∫ d u u ⇔ ln 1 + z + C 1 = ln u + C 2 ⇒ ln 1 + z = ln u + ln C , ln C = C 2 - C 1 ln 1 + z = ln C u 1 + z = C u ⇔ z = C u - 1 ⇔ v u = C u - 1 ⇔ v = u ( kamu - 1)

Kita kembali ke variabel awal, melakukan substitusi terbalik u = x - 1 v = y - 1:
v = u (C u - 1) ⇔ y - 1 = (x - 1) (C (x - 1) - 1) ⇔ y = C x 2 - (2 C + 1) x + C + 2

Ini adalah solusi umum persamaan diferensial.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, silakan sorot dan tekan Ctrl+Enter