Lineáris egyenletek. Egyenlet egy változóval Lineáris egyenlet változó definícióval

1. Egy változós egyenlet fogalma

2. Egyenértékű egyenletek. Tételek az egyenletek ekvivalenciájáról

3. Egyenletek megoldása egy változóval

Egyenletek egy változóval

Vegyünk két változós kifejezést: 4 xés 5 x+ 2. Ezeket egyenlőségjellel összekötve megkapjuk a mondatot 4x= 5x+ 2. Változót tartalmaz, és a változó értékeinek helyettesítésekor utasítássá válik. Például mikor x =-2 ajánlat 4x= 5x+ 2 a 4 ·(-2) = 5 ·(-2) + 2 valódi numerikus egyenlőséggé alakul, és amikor x = 1 - hamisra 4 1 = 5 1 + 2. Ezért a mondat 4x = 5x + 2 van kifejező forma. Őt hívják egyenlet egy változóval.

Általában egy változós egyenlet a következőképpen definiálható:

Meghatározás. Legyen f(x) és g(x) két olyan kifejezés, amelynek x változója és X definíciós tartománya van. Ekkor az f(x) = g(x) alak kifejező alakját egy változós egyenletnek nevezzük.

Változó érték x sokaktól X, amelynél az egyenlet valódi numerikus egyenlőséggé változik, nevezzük az egyenlet gyöke(vagy az ő döntése). Oldja meg az egyenletet - sok gyökerének megtalálását jelenti.

Tehát az egyenlet gyöke 4x = 5x+ 2, ha figyelembe vesszük a forgatáson R valós számok közül a -2. Ennek az egyenletnek nincs más gyökere. Ez azt jelenti, hogy a gyökeinek halmaza (-2).

Adjuk meg a valós számok halmazát a ( x - 1)(x+ 2) = 0. Két gyöke van - az 1 és a -2 számok. Ezért ennek az egyenletnek a gyökkészlete: (-2,-1).

Az egyenlet (3x + 1)-2 = 6x A valós számok halmazán meghatározott + 2 valódi numerikus egyenlőséggé válik a változó összes valós értékére x: ha kinyitjuk a zárójeleket a bal oldalon, akkor kapunk 6x + 2 = 6x + 2. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy gyöke tetszőleges valós szám, a gyökhalmaz pedig az összes valós szám halmaza.

Az egyenlet (3x+ 1) 2 = 6 x A valós számok halmazán meghatározott + 1 nem válik valódi numerikus egyenlőséggé egyetlen valós érték esetén sem X: a bal oldalon lévő zárójelek kinyitása után azt kapjuk, hogy a 6 x + 2 = 6x + 1, ami egyikkel sem lehetséges X. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az adott egyenletnek nincsenek gyökerei, és a gyökhalmaz üres.

Bármely egyenlet megoldásához először transzformálják, helyettesítve egy másik, egyszerűbbvel; a kapott egyenletet újra transzformáljuk, lecseréljük egy egyszerűbbre stb. Ezt a folyamatot addig folytatjuk, amíg egy egyenletet nem kapunk, amelynek gyökerei ismert módon megtalálhatók. De ahhoz, hogy ezek a gyökök egy adott egyenlet gyökerei legyenek, szükséges, hogy a transzformációs folyamat olyan egyenleteket állítson elő, amelyek gyökhalmazai egybeesnek. Az ilyen egyenleteket ún egyenértékű.

Osztály: 7

1. lecke.

Az óra típusa: a tárgyalt anyag összevonása.

Az óra céljai:

Nevelési:

• az egyenlet egy ismeretlennel való megoldásának készségének fejlesztése az ekvivalencia tulajdonságainak felhasználásával lineáris egyenletté való redukálással.

Nevelési:

• a gondolkodás világosságának és pontosságának kialakítása, a logikus gondolkodás, az algoritmikus kultúra elemei;
• a matematikai beszéd fejlesztése;
• a figyelem, a memória fejlesztése;
• önellenőrző és kölcsönös tesztelési készségek kialakítása.

Nevelési:

• erős akaratú tulajdonságok kialakítása;
• kommunikációs készségek kialakítása;
• eredményeinek objektív értékelésének kidolgozása;
• felelősség formálása.

Felszerelés: interaktív tábla, filctollas tábla, önálló munkához feladatokkal ellátott kártyák, gyengén teljesítő tanulók tudásjavító kártyái, tankönyv, munkafüzet, házi feladathoz füzet, önálló munkához füzet.

Az órák alatt

2. Házi feladat ellenőrzése – 4 perc.

A tanulók ellenőrzik a házi feladatukat, melynek megoldását az egyik tanuló felírja a tábla hátuljára.

3. Szóbeli munka – 6 perc.

(1) Amíg a szóbeli számlálás folyamatban van, a gyengén teljesítő tanulók kapnak tudásjavító kártyaés elvégzi az 1), 2), 4) és 6) feladatokat a minta szerint. (Cm. 1. számú melléklet.)

Kártya a tudás javításához.

(2) Más tanulók számára a feladatok az interaktív táblára kerülnek kivetítésre: (Lásd. Bemutatás: 2. dia)

1. Csillag helyett tegyen „+” vagy „–” jelet, pontok helyett pedig számokat:
   a) (*5)+(*7) = 2;
   b) (*8) – (*8) = (*4)–12;
   c) (*9) + (*4) = –5;
   d) (–15)– (*…) = 0;
   e) (*8) + (*…) = –12;
   f) (*10) – (*…) = 12.
2. Írja fel az egyenletnek megfelelő egyenleteket:
   A) x – 7 = 5;
   b) 2x – 4 = 0;
   c) x –11 = x – 7;
   d) 2(x –12) = 2x – 24.

3. Logikai probléma: Vika, Natasha és Lena káposztát, almát és sárgarépát vettek a boltban. Mindenki más terméket vásárolt. Vika zöldséget vett, Natasa almát vagy sárgarépát, Lena nem zöldséget. Ki mit vett? (Az egyik diák, aki elvégezte a feladatot, odamegy a táblához, és kitölti a táblázatot.) (3. dia)

	Vika	Natasha	Lena
NAK NEK
én
M

Töltse ki a táblázatot

	Vika	Natasha	Lena
NAK NEK	+	–	–
én	–	–	+
M	–	+	–

4. Az egyenletek megoldási képességének általánosítása lineáris egyenletté redukálva – 9 perc.

Csoportmunka az osztállyal. (4. dia)

Oldjuk meg az egyenletet

12 – (4x – 18) = (36 + 5x) + (28 – 6x). (1)

Ehhez a következő átalakításokat hajtjuk végre:

1. Nyissuk ki a zárójeleket. Ha a zárójelek előtt plusz jel van, akkor a zárójelek elhagyhatók, megőrizve a zárójelbe tett kifejezések jelét. Ha a zárójelek előtt mínusz jel van, akkor a zárójelek elhagyhatók, ha megváltoztatjuk a zárójelbe tett kifejezések előjelét:

12 – 4x + 18 = 36 + 5x + 28 – 6x. (2)

A (2) és (1) egyenlet egyenértékű:

2. Az ellentétes előjelű ismeretlen tagokat mozgassuk úgy, hogy az egyenletnek csak az egyik oldalán legyenek (akár a bal, akár a jobb oldalon). Ugyanakkor az ismert tagokat ellentétes előjellel mozgatjuk úgy, hogy azok csak az egyenlet másik részében legyenek.

Például vigyük át az ellentétes előjelű ismeretlen tagokat az egyenlet bal oldalára, az ismerteket pedig a jobb oldalára, ekkor megkapjuk az egyenletet

- 4x - 5x + 6x = 36 + 28 - 18 - 12, (3)

egyenlettel egyenértékű (2) , és ezért az egyenlet (1) .

3. Nézzük a hasonló kifejezéseket:

–3x = 34. (4)

Az egyenlet (4) egyenlő az egyenlettel (3) , és ezért az egyenlet (1) .

4. Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát (4) az ismeretlen együtthatójával.

Az eredményül kapott egyenlet x = egyenértékű lesz a (4) egyenlettel, és ezért a (3), (2), (1) egyenletekkel

Ezért az (1) egyenlet gyöke a szám lesz

Ezzel a sémával (algoritmussal) egyenleteket oldunk meg a mai leckében:

1. Nyissa ki a zárójeleket.
2. Helyezze az ismeretleneket tartalmazó kifejezéseket az egyenlet egyik oldalára, a többi tagot pedig a másik oldalára!
3. Adj hasonló tagokat.
4. Osszuk el az egyenlet mindkét oldalát az ismeretlen együtthatójával.

Jegyzet: Meg kell jegyezni, hogy a fenti diagram nem kötelező, mivel gyakran vannak olyan egyenletek, amelyeknél a jelzett lépések egy része szükségtelen. Más egyenletek megoldásakor könnyebben el lehet térni ettől a sémától, mint például az egyenletben:

7 (x – 2) = 42.

5. Edző gyakorlatok – 8 perc.

132(a, d), 135(a, d), 138(b, d)– megjegyzéssel és megjegyzéssel a táblán.

6. Önálló munka – 14 perc.(önálló munkához jegyzetfüzetekben, majd szakértői értékelés; a válaszok az interaktív táblán jelennek meg)

Önálló munka előtt diákokat kínálják fel agility feladat – 2 perc.

Anélkül, hogy felemelné a ceruzát a papírról, vagy kétszer átmenne ugyanazon a vonalszakaszon, rajzolja meg a nyomtatott betűt. (5. dia)

(A tanulók műanyag lapokat és jelölőket használnak.)

1. Oldja meg az egyenleteket (kártyákon) (Lásd. 2. függelék)

Kiegészítő feladat sz.135 (b, c).

7. A lecke összegzése – 1 perc.

Algoritmus egy egyenlet lineáris egyenletté redukálására.

8. Házi feladat üzenete – 2 perc.

(6) bekezdés, 136. (a-d), 240. (a), 243. (a, b), 224.(magyarázza meg a házi feladat tartalmát).

2. lecke.

Az óra céljai:

Nevelési:

• szabályok ismétlése, rendszerezése, a tanulók lineáris egyenletek megoldási ismereteinek elmélyítése és bővítése;
• a megszerzett ismeretek alkalmazásának képességének fejlesztése az egyenletek változatos megoldása során.

Nevelési:

• intellektuális készségek fejlesztése: egyenletmegoldó algoritmus elemzése, logikai gondolkodás egyenletmegoldó algoritmus felépítésénél, variabilitás a megoldási mód kiválasztásában, egyenletek rendszerezése megoldási módszerekkel;
• a matematikai beszéd fejlesztése;
• a vizuális memória fejlesztése.

Nevelési:

• kognitív tevékenység oktatása;
• az önkontroll, a kölcsönös kontroll és az önbecsülés készségeinek fejlesztése;
• a felelősségtudat és a kölcsönös segítségnyújtás elősegítése;
• a pontosság és a matematikai műveltség elsajátítása;
• a bajtársiasság, az udvariasság, a fegyelem, a felelősségtudat fejlesztése;
• Egészségmegőrzés.

a) oktatási: szabályok ismétlése, rendszerezése, a tanulók lineáris egyenletek megoldási ismereteinek elmélyítése, bővítése;

b) fejlesztése: a gondolkodás, a memória, a figyelem és az intelligencia rugalmasságának fejlesztése;

c) nevelés: érdeklődés keltése a tárgy és a szülőföld története iránt.

Felszerelés: interaktív tábla, jelzőkártyák (zöld és piros), lapok tesztmunkával, tankönyv, munkafüzet, jegyzetfüzet házi feladathoz, füzet önálló munkához.

Munka formája: egyéni, kollektív.

Az órák alatt

1. Szervezési pillanat – 1 perc.

Köszöntsék a tanulókat, ellenőrizzék felkészültségüket az órára, közöljék az óra témáját és az óra célját.

2. Szóbeli munka – 10 perc.

(A fejszámoláshoz szükséges feladatok az interaktív táblán jelennek meg.)(6. dia)

1) Problémák megoldása:

a) Anya 22 évvel idősebb lányánál. Hány éves anya, ha 46 évesek együtt?
b) Három testvér van a családban, és mindegyik következő fele olyan fiatal, mint az előző. A testvérek együtt 21 évesek. Hány éves mindenki?

2) Oldja meg az egyenleteket:(magyarázza)

4) Magyarázza el azokat a házi feladatokat, amelyek nehézséget okoztak!

3. Gyakorlatok végrehajtása – 10 perc. (8. dia)

(1) Milyen egyenlőtlenséget elégít ki az egyenlet gyöke:

a) x > 1;
b) x< 0;
c) x > 0;
d) x< –1.

(2) A kifejezés milyen értékén nál nél kifejezés értéke 2-4 5-ször kisebb, mint a kifejezés értéke 5-10?

(3) Milyen értékben k az egyenlet kx – 9 = 0 a gyöke egyenlő 2-vel?

Nézd és emlékezz (7 másodperc). (9. dia)

30 másodperc elteltével a tanulók reprodukálják a rajzot műanyag lapokon.

4. Testnevelés foglalkozás – 1,5 perc.

Gyakorlat a szemnek és a kéznek

(A tanulók megnézik és megismétlik az interaktív táblára kivetített gyakorlatokat.)

5. Önálló próbamunka – 15 perc.

(A tanulók a tesztmunkát önálló munkafüzetekben végzik el, a munkafüzetekben a válaszokat megkettőzve. A tesztek sikeres teljesítése után a tanulók a táblán megjelenő válaszokkal ellenőrzik a válaszokat)

Azok a diákok, akik először befejezik a munkát, segítenek a rosszul teljesítő tanulóknak.

6. A lecke összegzése – 2 perc.

– Melyik egyenletet nevezzük lineárisnak?

– Mit nevezünk egy egyenlet gyökének?

– Mit jelent „megoldani egy egyenletet”?

– Hány gyöke lehet egy egyenletnek?

7. Házi feladat üzenet. - 1 perc.

6. záradék, 294. sz., a, b), 244., 241. pont a, c), 240. pont, d) pont – A, B szint

6. bekezdés, 244. sz., 241. b, c), 243. c., 239., 237. – C szint

(magyarázza meg a házi feladat tartalmát.)

8. Reflexió – 0,5 perc.

– Elégedett az osztályban végzett munkájával?

– Milyen tevékenységet szerettek a legjobban az órán?

Irodalom:

1. Algebra 7. / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Peshkov, S.V. Szuvorov. Szerkesztette S.A. Teljakovszkij./ M.: Nevelés, 1989 – 2006.
2. Tesztfeladatok gyűjteménye tematikus és végső ellenőrzéshez. Algebra 7. osztály/ Guseva I.L., Puskin S.A., Rybakova N.V.. Általános szerk.: Tatur A.O.– M.: „Intellektus-Központ” 2009 – 160 p.
3. Algebra óra tervezés. / T.N. Erina. Kézikönyv tanároknak / M: Kiadó. „Vizsga”, 2008. – 302., p.
4. Matematikai ismeretek korrekciós kártyái a 7. évfolyamhoz./ Levitas G.G./M.: Ilexa, 2000. – 56 p.

Lineáris egyenletek megoldásánál arra törekszünk, hogy megtaláljuk a gyökét, vagyis annak a változónak az értékét, amely az egyenletet helyes egyenlőséggé alakítja.

A szükséges egyenlet gyökerének megtalálásához ekvivalens transzformációk a számunkra adott egyenletet formába hozzák

\(x=[szám]\)

Ez a szám lesz a gyökér.

Ez azt jelenti, hogy az egyenletet minden lépéssel egyszerűbbé alakítjuk, egészen addig, amíg le nem redukáljuk egy teljesen primitív „x = szám” egyenletre, ahol a gyök nyilvánvaló. A lineáris egyenletek megoldása során leggyakrabban használt transzformációk a következők:

Például: \(5\) hozzáadása a \(6x-5=1\) egyenlet mindkét oldalához

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Kérjük, vegye figyelembe, hogy ugyanazt az eredményt gyorsabban elérhetjük, ha egyszerűen felírjuk az ötöt az egyenlet másik oldalára, és megváltoztatjuk az előjelét. Valójában pontosan így történik az iskola „egyenlőinek átadása előjelváltással az ellenkezőjére”.

2. Egy egyenlet mindkét oldalának szorzása vagy osztása ugyanazzal a számmal vagy kifejezéssel.

Például: ossza el a \(-2x=8\) egyenletet mínusz kettővel

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Ezt a lépést általában a legvégén hajtják végre, amikor az egyenletet már redukáltuk \(ax=b\) alakra, és elosztjuk \(a\)-val, hogy balról eltávolítsuk.

3. A matematika tulajdonságainak, törvényeinek felhasználása: zárójelek nyitása, hasonló kifejezések hozása, törtek redukálása stb.

Adjon hozzá \(2x\) balra és jobbra

Vonja ki a \(24\)-t az egyenlet mindkét oldaláról

Ismét hasonló kifejezéseket mutatunk be

Most elosztjuk az egyenletet \(-3\-el), ezáltal eltávolítjuk az elülső X-et a bal oldalon.

Válasz : \(7\)

A válasz megvan. Azonban nézzük meg. Ha a hét valóban gyök, akkor ha az eredeti egyenletben X helyett helyettesítjük, akkor a megfelelő egyenlőséget kell elérni - ugyanazokat a számokat a bal és a jobb oldalon. Próbáljuk meg.

Vizsgálat:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Sikerült. Ez azt jelenti, hogy a hét valóban az eredeti lineáris egyenlet gyökere.

Ne légy lusta ellenőrizni a helyettesítéssel talált válaszokat, különösen, ha egyenletet old meg egy teszten vagy vizsgán.

A kérdés továbbra is fennáll – hogyan határozható meg, hogy mit kell tenni az egyenlettel a következő lépésben? Pontosan hogyan kell átalakítani? Oszt valamivel? Vagy kivonni? És pontosan mit kell kivonnom? Mire osztani?

A válasz egyszerű:

A cél az, hogy az egyenletet \(x=[szám]\ alakba hozzuk), azaz a bal oldalon x együtthatók és számok nélkül, a jobb oldalon pedig csak egy szám változók nélkül. Ezért nézd meg, mi akadályoz meg és az ellenkezőjét csinálja annak, amit a zavaró komponens tesz.

Ennek jobb megértéséhez nézzük meg lépésről lépésre a \(x+3=13-4x\) lineáris egyenlet megoldását.

Gondoljuk át: miben különbözik ez az egyenlet a \(x=[szám]\)-tól? Mi akadályoz meg minket? Mi a baj?

Nos, először is a három zavar, mivel a bal oldalon csak egy X-nek kell lennie, számok nélkül. Mit „csinál” a trojka? Hozzáadva X-nek. Tehát az eltávolításhoz - kivonni ugyanaz a három. De ha a balról levonunk hármat, akkor a jobbról le kell vonnunk, hogy az egyenlőség ne sérüljön.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Bírság. Most mi akadályoz meg? \(4x\) a jobb oldalon, mert ott csak számok legyenek. \(4x\) levonják- eltávolítjuk hozzáadásával.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Most hasonló kifejezéseket mutatunk be a bal és a jobb oldalon.

Már majdnem kész. Már csak a bal oldali ötöt kell eltávolítani. Mit csinál"? Megszoroz x-en. Tehát távolítsuk el osztály.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

A megoldás kész, az egyenlet gyöke kettő. Cseréléssel ellenőrizhető.

vegye észre, az leggyakrabban csak egy gyök van a lineáris egyenletekben. Két speciális eset azonban előfordulhat.

1. speciális eset – a lineáris egyenletben nincsenek gyökök.

Példa . Oldja meg a \(3x-1=2(x+3)+x\) egyenletet

Megoldás :

Válasz : nincs gyökere.

Valójában az már korábban is látszott, hogy ilyen eredményre jutunk, még akkor is, amikor megkaptuk a \(3x-1=3x+6\). Gondoljunk csak bele: hogyan lehet egyenlő \(3x\), amelyből kivontuk \(1\), és \(3x\), amelyhez hozzáadtuk a \(6\)-t? Nyilván semmiképpen, mert ugyanazzal a dologgal különböző dolgokat csináltak! Nyilvánvaló, hogy az eredmények eltérőek lesznek.

2. speciális eset – egy lineáris egyenletnek végtelen sok gyöke van.

Példa . A \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\) lineáris egyenlet megoldása

Megoldás :

Válasz : bármilyen szám.

Ez egyébként már korábban is észrevehető volt, a \(8x+12=8x+12\) szakaszban. Valójában a bal és a jobb ugyanaz a kifejezés. Bármelyik X-et is behelyettesíted, ott is, ott is ugyanaz a szám lesz.

Bonyolultabb lineáris egyenletek.

Az eredeti egyenlet nem mindig tűnik azonnal lineárisnak, néha más, összetettebb egyenleteknek „maszkírozzák”. Az átalakulás során azonban az álcázás eltűnik.

Példa . Keresse meg a \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\) egyenlet gyökerét

Megoldás :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Úgy tűnik, hogy itt van egy x négyzet - ez nem lineáris egyenlet! De ne rohanj. Jelentkezzünk
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Miért van zárójelben a \((x-4)^(2)\) bővítési eredmény, de a \((3+x)^(2)\) eredmény nem? Mert az első négyzet előtt van egy mínusz, ami minden előjelet megváltoztat. És hogy ezt ne felejtsük el, zárójelben vesszük az eredményt, amelyet most megnyitunk.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Hasonló kifejezéseket mutatunk be
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Ismét hasonlókat mutatunk be.
		Mint ez. Kiderült, hogy az eredeti egyenlet meglehetősen lineáris, és az X négyzet nem más, mint egy képernyő, amely megzavarhat bennünket. :) A megoldást úgy egészítjük ki, hogy az egyenletet elosztjuk \(2\-el), és megkapjuk a választ.

Válasz : \(x=5\)

Példa . Oldja meg a \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6) lineáris egyenletet )\)

Megoldás :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Az egyenlet nem lineárisnak tűnik, hanem valamiféle tört... A nevezőktől azonban szabaduljunk meg úgy, hogy az egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk az összes közös nevezőjével – hat
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Bontsa ki a bal oldali tartót
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Most csökkentsük a nevezőket
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Most úgy néz ki, mint egy rendes lineáris! fejezzük be.
		Az egyenlőségen keresztül történő fordítással a jobb oldalon X-eket, a bal oldalon pedig számokat gyűjtünk
		Nos, elosztva a jobb és bal oldalt \(-4\)-el, megkapjuk a választ

Válasz : \(x=-1,25\)

Először is meg kell értened, mi az.

Van egy egyszerű meghatározás lineáris egyenlet, amit egy normál iskolában adnak meg: „egyenlet, amelyben a változó csak az első hatványban fordul elő.” De ez nem teljesen helyes: az egyenlet nem lineáris, nem is redukál erre, hanem másodfokúvá.

A pontosabb meghatározás a következő: lineáris egyenlet egy egyenlet, amely segítségével ekvivalens transzformációk formára redukálható, ahol title="a,b in bbR, ~a0">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

Valójában annak megértéséhez, hogy egy egyenlet lineáris-e vagy sem, először le kell egyszerűsíteni, vagyis olyan formára kell hozni, ahol az osztályozása egyértelmű lesz. Ne feledje, bármit megtehet egy egyenlettel, amíg nem változtatja meg a gyökereit – ez az. egyenértékű átalakítás. A legegyszerűbb ekvivalens transzformációk a következők:

1. nyitó zárójelek
2. hasonlót hozva
3. egy egyenlet mindkét oldalát megszorozzuk és/vagy osztjuk egy nem nulla számmal
4. összeadás és/vagy kivonás ugyanazon szám vagy kifejezés mindkét oldaláról*

Ezeket az átalakításokat fájdalommentesen megteheti, anélkül, hogy azon gondolkodna, hogy „tönkreteszi” az egyenletet vagy sem.
*Az utolsó átalakítás sajátos értelmezése a kifejezések egyik részből a másikba történő „áthelyezése” előjelváltással.

1. példa:
(nyissuk ki a zárójeleket)
(mindkét részhez hozzá kell adni és kivonni/átadni úgy, hogy a szám előjelét balra, a változókat pedig jobbra változtatja)
(adjunk hasonlókat)
(oszd el az egyenlet mindkét oldalát 3-mal)

Így kapunk egy egyenletet, amelynek gyökerei ugyanazok, mint az eredetinek. Emlékeztesse az olvasót erre "oldja meg az egyenletet"- azt jelenti, hogy megtaláljuk minden gyökerét, és bebizonyítjuk, hogy nincsenek mások, és "az egyenlet gyökere"- ez egy olyan szám, amely ha az ismeretlent helyettesíti, az egyenletet valódi egyenlőséggé változtatja. Nos, az utolsó egyenletben nagyon egyszerű olyan számot találni, amely az egyenletet valódi egyenlőséggé változtatja – ez a szám. Ebből az egyenletből semmilyen más szám nem képez azonosságot. Válasz:

2. példa:
(szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát ezzel , miután megbizonyosodtunk arról, hogy nem szorozunk : title="x3/2"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(nyissuk ki a zárójeleket)
(áthelyezzük a feltételeket)
(adjunk hasonlókat)
(mindkét részt elosztjuk -vel)

Nagyjából így oldjuk meg az összes lineáris egyenletet. A fiatalabb olvasók számára valószínűleg bonyolultnak tűnt ez a magyarázat, ezért kínálunk egy verziót "lineáris egyenletek az 5. osztályhoz"

Ebben a leckében megtanulod, hogyan kell megoldani a lineáris egyenleteket, és megérted, hogyan kell kétféle transzformációt végrehajtani, hogy a lineáris egyenletek megoldását KÖNNYEBBEN tedd!

Hány almát kapott minden barát?

Mindannyian habozás nélkül azt válaszoljuk: „Minden barátunk kapott egy almát.”

De most azt javaslom, hogy gondolkodjon el rajta... Igen, igen. Kiderült, hogy amikor egy ilyen egyszerű kérdésre válaszol, fejben dönt lineáris egyenlet!

vagy szóban – három barát almát kapott, azon az alapon, hogy Vasyának az összes almája volt.

És most már döntöttél lineáris egyenlet.

Most adjunk ennek a kifejezésnek egy matematikai definíciót.

Mik azok a "lineáris egyenletek"

Lineáris egyenlet - egy algebrai egyenlet, amelynek az alkotó polinomjainak teljes mértéke egyenlő. Ez így néz ki:

Hol és vannak olyan számok és

A Vasya és az alma esetére a következőket írjuk:

- „Ha Vasya ugyanannyi almát ad mindhárom barátjának, nem marad alma”

"Rejtett" lineáris egyenletek, avagy az identitástranszformációk fontossága

Annak ellenére, hogy első pillantásra minden rendkívül egyszerű, az egyenletek megoldásakor óvatosnak kell lennie, mert a lineáris egyenleteket nem csak alakegyenleteknek nevezik, hanem minden olyan egyenletet is, amely átalakítja és egyszerűsíti. jöjjön le ehhez a típushoz.

Például:

Látjuk, mi van a jobb oldalon, ami elméletileg már azt jelzi, hogy az egyenlet nem lineáris.

Sőt, ha kinyitjuk a zárójeleket, akkor kapunk még két kifejezést, amelyben ez lesz, de ne siesse el a következtetéseket!

Mielőtt megítélnénk, hogy egy egyenlet lineáris-e, el kell végezni az összes transzformációt, és ezzel egyszerűsíteni az eredeti példát.

Ebben az esetben a transzformációk megváltoztathatják az egyenlet megjelenését, de a lényegét nem.

Más szavakkal, a transzformációs adatoknak kell lenniük azonos vagy egyenértékű.

Csak két ilyen átalakítás van, de ezek nagyon-nagyon fontos szerepet játszanak a problémák megoldásában. Nézzük meg mindkét transzformációt konkrét példák segítségével.

Transzfer balra-jobbra.

Tegyük fel, hogy meg kell oldanunk a következő egyenletet:

Még az általános iskolában is azt mondták nekünk: "X-szel - balra, X nélkül - jobbra."

Melyik X-es kifejezés található a jobb oldalon?

Így van, de nem, hogy ne.

Ez pedig fontos, mert ha ezt az egyszerűnek tűnő kérdést félreértik, akkor rossz válasz jön ki.

Melyik X-es kifejezés található a bal oldalon?

Jobb, .

Most, hogy ezt kitaláltuk, az összes ismeretlen kifejezést áthelyezzük a bal oldalra, és mindent, ami ismert, jobbra.

És ne feledjük, hogy ha például egy szám előtt nincs jel, akkor a szám pozitív, vagyis előtte van egy „ ” jel.

Áthelyezve? Mit kaptál?

Már csak a hasonló feltételeket kell hozni. Bemutatjuk:

Tehát sikeresen elemeztük az első azonos átalakítást, bár biztos vagyok benne, hogy ismerte, és nélkülem is aktívan használta.

A legfontosabb dolog az, hogy ne feledkezzünk meg a számok jeleiről és az egyenlőségjelen keresztül történő fordításkor változtasd meg őket az ellenkezőjére!

Szorzás-osztás.

Kezdjük mindjárt egy példával

Nézzük és gondoljuk át: mi nem tetszik nekünk ebben a példában?

Az egyik részben az ismeretlen, a másikban az ismert, de valami megállít minket...

És ez a valami négyes, mert ha nem lenne, minden tökéletes lenne - x egyenlő egy számmal - pontosan úgy, ahogyan szükségünk van rá!

Hogyan lehet megszabadulni tőle?

Nem mozgathatjuk jobbra, mert akkor a teljes szorzót kell mozgatni (nem tudjuk elvenni és letépni), és a teljes szorzó mozgatása sincs értelme...

Itt az ideje, hogy emlékezzünk az osztásra, szóval osszunk el mindent!

Minden - ez a bal és a jobb oldalt is jelenti. Így és csak így!

Mit csinálunk?

Itt a válasz.

Nézzünk most egy másik példát:

Kitalálod, mit kell tenni ebben az esetben? Így van, szorozd meg a bal és a jobb oldalt! Milyen választ kaptál? Jobb. .

Biztosan már mindent tudott az identitás-átalakításokról. Gondolj arra, hogy egyszerűen felfrissítettük ezt a tudást az emlékezetedben, és itt az ideje valami többnek - Például, hogy megoldjuk a nagy példánkat:

Ahogy korábban mondtuk, ránézve nem lehet azt mondani, hogy ez az egyenlet lineáris, de fel kell nyitnunk a zárójeleket, és azonos transzformációkat kell végrehajtanunk. Tehát kezdjük!

Először is felidézzük a rövidített szorzás képleteit, különösen az összeg négyzetét és a különbség négyzetét. Ha nem emlékszik, hogy mi ez, és hogyan nyitják meg a zárójeleket, erősen javaslom, hogy olvassa el a témát, mivel ezek a készségek hasznosak lesznek a vizsgán talált szinte összes példa megoldása során.
Kiderült? Hasonlítsuk össze:

Itt az ideje, hogy hasonló kifejezéseket hozzunk létre. Emlékszel, hogy ugyanabban az általános osztályban azt mondták nekünk, hogy „ne tegyük össze a legyeket és a szeleteket”? Itt emlékeztetlek erre. Mindent külön-külön adunk hozzá – a meglévő tényezőket, a meglévő tényezőket és a fennmaradó tényezőket, amelyekben nincs ismeretlen. Ha hasonló kifejezéseket hoz, vigye az összes ismeretlent balra, az összes ismertet pedig jobbra. Mit kaptál?

Mint látható, az X-ek a téren eltűntek, és valami teljesen normálisat látunk. lineáris egyenlet. Már csak meg kell találni!

És végül elmondok még egy nagyon fontos dolgot az identitástranszformációkról - az identitástranszformációk nemcsak lineáris egyenletekre alkalmazhatók, hanem másodfokú, tört racionális és másokra is. Csak emlékezni kell arra, hogy amikor az egyenlőségjelen keresztül adjuk át a tényezőket, akkor az előjelet az ellenkezőjére változtatjuk, és ha valamilyen számmal osztunk vagy szorozunk, akkor az egyenlet mindkét oldalát UGYANAZAL a számmal szorozzuk/osztjuk.

Mit vett még ki ebből a példából? Hogy egy egyenletre nézve nem mindig lehet közvetlenül és pontosan meghatározni, hogy lineáris-e vagy sem. Először teljesen le kell egyszerűsíteni a kifejezést, és csak ezután kell megítélni, hogy mi az.

Lineáris egyenletek. 3 példa

Íme néhány további példa, amelyet önállóan gyakorolhat – állapítsa meg, hogy az egyenlet lineáris-e, és ha igen, keresse meg a gyökereit:

Válaszok:

1. Is.

2. Nem.

Nyissuk meg a zárójeleket, és mutassunk be hasonló kifejezéseket:

Végezzünk el egy azonos átalakítást - osszuk fel a bal és a jobb oldalt:

Látjuk, hogy az egyenlet nem lineáris, így nem kell a gyökereit keresni.

3. Is.

Végezzünk el egy azonos átalakítást – szorozzuk meg a bal és a jobb oldalt ezzel, hogy megszabaduljunk a nevezőtől.

Gondold át, miért olyan fontos ez? Ha tudja a választ erre a kérdésre, folytassa az egyenlet további megoldásával; ha nem, mindenképpen nézze meg a témát, nehogy bonyolultabb példákban tévedjen. Mellesleg, amint látja, a helyzet lehetetlen. Miért?
Tehát menjünk előre, és rendezzük át az egyenletet:

Ha minden nehézség nélkül sikerült, akkor beszéljünk a két változós lineáris egyenletekről.

Lineáris egyenletek két változóban

Most térjünk át egy kicsit összetettebb - két változós lineáris egyenletekre.

Lineáris egyenletek két változós alakja a következő:

Hol, és - bármilyen szám és.

Mint látható, az egyetlen különbség az, hogy egy másik változót is hozzáadunk az egyenlethez. És így minden a régi – nincs x négyzet, nincs változóval való osztás stb. stb.

Milyen életpéldát tudnék mondani...

Vegyük ugyanazt a Vasját. Tegyük fel, hogy úgy döntött, hogy mind a 3 barátjának ugyanannyi almát ad, és az almát megtartja magának.

Hány almát kell vásárolnia Vasyának, ha minden barátjának ad egy almát? Mit szólsz? Mi van ha általa?

Az egyes személyek által kapott almák száma és a megvásárolni kívánt alma teljes száma közötti összefüggést a következő egyenlet fejezi ki:

• - az almák száma, amelyet egy személy kap (, vagy, vagy);
• - az alma száma, amelyet Vasya magának vesz;
• - hány almát kell vásárolnia Vasyának, figyelembe véve az egy személyre jutó alma számát?

Ezt a problémát megoldva azt kapjuk, hogy ha Vasya egy barátjának almát ad, akkor neki darabokat kell vennie, ha almát ad stb.

És általában véve. Két változónk van.

Miért nem ábrázolja ezt a kapcsolatot egy grafikonon?

A miénk, azaz pontok értékét építjük és jelöljük koordinátákkal, és!

Amint látja, függnek egymástól lineáris, innen ered az egyenletek neve - " lineáris».

Elvonatkozzunk az almától, és nézzük meg grafikusan a különféle egyenleteket.

Nézze meg figyelmesen a két felépített grafikont - egy egyenest és egy parabolát, amelyeket tetszőleges függvények határoznak meg:

Keresse meg és jelölje meg mindkét képen a megfelelő pontokat!
Mit kaptál?

Ez látható az első függvény grafikonján egyedül megfelel egy, azaz lineárisan függnek egymástól is, ami a második függvényről nem mondható el.

Persze lehet vitatkozni, hogy a második gráfban az x - is megfelel, de ez csak egy pont, vagyis egy speciális eset, hiszen így is lehet találni olyat, amelyik többnek is megfelel.

A megszerkesztett gráf pedig semmiképpen sem hasonlít egy egyenesre, hanem egy parabola.

Még egyszer megismétlem: a lineáris egyenlet grafikonjának EGYENESnek kell lennie.

Azzal, hogy az egyenlet nem lesz lineáris, ha bármilyen fokig megyünk - ez egy parabola példáján jól látszik, bár építhetsz magadnak néhány egyszerűbb grafikont is, pl.

De biztosíthatlak – egyik sem lesz EGYENES VONAL.

Nem hiszek? Építsd meg, majd hasonlítsd össze azzal, amit kaptam:

Mi történik, ha valamit elosztunk például valamilyen számmal?

Lesz-e lineáris kapcsolat és?

Ne vitatkozzunk, hanem építsünk! Például készítsünk egy függvény grafikonját.

Valahogy nem úgy néz ki, mintha egyenesnek lenne megszerkesztve... ennek megfelelően az egyenlet nem lineáris.

Összefoglaljuk:

1. Lineáris egyenlet - egy algebrai egyenlet, amelyben az alkotó polinomok teljes mértéke egyenlő.
2. Lineáris egyenlet egy változóval a következő alakú:
   , hol és vannak tetszőleges számok;
   Lineáris egyenlet két változóval:
   , hol és tetszőleges számok.
3. Nem mindig lehet azonnal meghatározni, hogy egy egyenlet lineáris-e vagy sem. Ennek megértéséhez néha azonos átalakításokat kell végrehajtani, hasonló kifejezéseket balra/jobbra mozgatni, nem felejtve el az előjelet megváltoztatni, vagy az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a számmal szorozni/osztani.

LINEÁRIS EGYENLETEK. RÖVIDEN A FŐ DOLOGOKRÓL

1. Lineáris egyenlet

Ez egy algebrai egyenlet, amelyben az alkotó polinomok teljes mértéke egyenlő.

2. Lineáris egyenlet egy változóval a következő formában van:

Hol és vannak-e számok;

3. Lineáris egyenlet két változóval a következő formában van:

Hol, és - bármilyen szám.

4. Identitástranszformációk

Annak meghatározásához, hogy egy egyenlet lineáris-e vagy sem, azonos transzformációkat kell végrehajtani:

• mozgassa a hasonló kifejezéseket balra/jobbra, ne felejtse el megváltoztatni a jelet;
• szorozzuk/osztjuk az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a számmal.

Legyél YouClever diák,

Felkészülés a matematika egységes államvizsgára vagy egységes államvizsgára,

És korlátozás nélkül hozzáférhet a YouClever tankönyvhöz is...