A prizma térfogata egy merőleges metszeten keresztül. Mi az a prizma? A prizma teljes felülete

Átlószelvények A prizma alap átlóján és a vele szomszédos két oldalélén átmenő sík által alkotott szakaszt a prizma átlós metszetének nevezzük. A gúla azon szakaszát, amelynek síkja átmegy az alap és a csúcs átlóján, a gúla átlós szakaszának nevezzük. A sík metszi a piramist és legyen párhuzamos az alapjával. A piramisnak e sík és az alap közé zárt részét csonka gúlának nevezzük. A piramis keresztmetszetét csonka gúla alapjának is nevezik.

Metszetek felépítése A poliéderek metszeteinek megalkotásánál az alapvető egy egyenes és egy sík metszéspontjának, valamint két sík metszésvonalának megalkotása. Ha egy egyenes két A és B pontja adott, és a síkra vetített A' és B' vetületei ismertek, akkor az egyenes és a sík adatainak metszéspontjának C pontja lesz az egyenesek metszéspontja. AB és A'B' Ha a sík három A, B, C pontja adott és ismertek azok A', B', C' vetületei egy másik síkra, akkor e síkok metszésvonalának megtalálásához a P pontokat és Q az AB és AC egyenesek metszéspontja a második síkkal. A PQ egyenes lesz a síkok kívánt metszésvonala.

1. gyakorlat Szerkesszünk meg egy kocka metszetét, amelynek síkja átmegy a kocka E, F pontjain és a B csúcson. Megoldás! Egy kocka E, F és B csúcson átmenő szakaszának megszerkesztéséhez az E és B, F és B pontokat szegmensekkel kapcsoljuk össze, az E és F pontokon keresztül BF, illetve BE-vel párhuzamos egyeneseket húzunk. Az eredményül kapott BFGE paralelogramma lesz a kívánt szakasz.

2. gyakorlat Szerkesszünk meg egy kockametszetet a kocka élein fekvő E, F, G pontokon átmenő síkkal! Megoldás. Egy kocka E, F, G pontokon átmenő szakaszának megszerkesztéséhez húzzunk egy EF egyenest, és jelöljük P annak AD-vel való metszéspontját. Jelölje Q a PG és AB egyenesek metszéspontját. Kössük össze az E és Q, F és G pontokat. A kapott EFGQ trapéz lesz a kívánt szakasz.

3. gyakorlat Szerkesszük meg a kocka olyan szakaszát, amely a kocka élein fekvő E, F, G pontokon áthalad. Megoldás. Egy kocka E, F, G pontokon átmenő szakaszának megszerkesztéséhez húzzunk egy EF egyenest, és jelöljük P annak AD-vel való metszéspontját. Jelöljük Q, R-vel a PG egyenes AB és DC metszéspontjait. Jelöljük S-vel az FR és a CC 1 metszéspontját. Kössük össze az E és Q, G és S pontokat. Az így kapott EFSGQ ötszög lesz a kívánt szakasz.

4. gyakorlat Szerkesszük meg a kocka olyan szakaszát, amely a kocka élein fekvő E, F, G pontokon áthalad! Megoldás. Az E, F, G pontokon átmenő kocka szakasz megszerkesztéséhez megtaláljuk az EF egyenes és az ABCD homloksík metszéspontjának P pontját. Jelöljük Q, R-vel a PG egyenes AB és CD metszéspontjait. Rajzoljon egy RF egyenest, és jelölje S, T metszéspontjait CC 1 és DD 1 pontokkal. Rajzoljon egy TE egyenest, és jelölje U a metszéspontját A 1 D 1-vel. Kösd össze az E és Q, G és S, U és F pontokat. Az eredményül kapott hatszög EUFSGQ lesz a kívánt szakasz.

5. gyakorlat Szerkesszük meg a kocka metszetét a BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, AA 1 B 1 B lapokhoz tartozó E, F, G pontokon átmenő síkkal! Megoldás. Ezekből a pontokból leeresztjük az EE’, FF’, GG’ merőlegeseket az ABCD lap síkjára, és megkeressük az FE és FG egyenesek ezzel a síkkal való metszéspontjának I és H pontját. Az IH a kívánt sík és az ABCD lap síkja metszésvonala lesz. Jelöljük Q, R-vel az IH egyenes AB és BC metszéspontjait. Rajzoljunk PG és QE ​​egyeneseket, és jelöljük R, S metszéspontjaikat AA 1-el és CC 1-el. Rajzoljunk SU, UV és RV egyeneseket, párhuzamosan PR, PQ és QS vonalakkal. Az eredményül kapott hatszögletű RPQSUV lesz a kívánt szakasz.

6. gyakorlat Szerkesszük meg a kocka olyan szakaszát, amely a kocka élein fekvő E, F pontokon áthalad a BD átlóval párhuzamosan! Megoldás. Rajzoljunk BD-vel párhuzamos FG és EH egyeneseket. Rajzoljunk EG-vel párhuzamos FP egyenest, és kössük össze a P és G pontokat. Kössük össze az E és G, F és H pontokat. A kapott EGPFH ötszög lesz a szükséges szakasz.

Szerkesszük meg az ABCA 1 B 1 C 1 prizma E, F, G pontokon átmenő síkszelvényét. 8. feladat Megoldás! Kössük össze az E és F pontokat. Rajzoljunk egy FG egyenest és annak metszéspontját CC 1-el, jelöljük H. Rajzoljunk egy EH egyenest és annak metszéspontját A 1 C 1-el, jelöljük I. Kössük össze az I és G pontot. Az eredményül kapott EFGI négyszög lesz a kívánt szakasz.

Szerkesszük meg az ABCA 1 B 1 C 1 prizma E, F, G pontokon átmenő síkmetszését. 9. feladat Megoldás! Rajzoljunk egy EG egyenest, és jelöljük H és I metszéspontjait CC 1-el és AC-vel. Rajzoljunk egy IF egyenest és annak AB-vel való metszéspontját jelöljük K-vel. Rajzoljunk egy FH egyenest és annak B 1 C 1 metszéspontját jelöljük L. Kössük össze az E és K pontokat, G és L. Az eredményül kapott EKFLG ötszög lesz a kívánt szakasz.

Szerkesszük meg az ABCA 1 B 1 C 1 prizmának egy AC 1-vel párhuzamos síkját, amely a D 1 pontokon megy át. 10. feladat Megoldás! A D ponton keresztül húzunk egy AC 1-el párhuzamos egyenest, és jelöljük E metszéspontját a BC 1 egyenessel. Ez a pont az ADD 1 A 1 lap síkjához fog tartozni. Rajzoljunk egy DE egyenest és jelöljük F annak metszéspontját éle Kr. e. Kössük össze az F és a D pontot egy szakasszal, a D ponton keresztül az FD egyenessel párhuzamos egyenest jelöljük G-vel az A 1 C 1 éllel való metszéspontját, H – az A egyenessel való metszéspontját. 1 B 1. Rajzoljunk egy DH egyenest, és jelöljük P-vel a metszéspontját az AA éllel 1. Kössük össze a P és G pontokat egy szakasszal, így a kapott EFIK négyszög lesz a kívánt szakasz.

Szerkesszük meg az ABCA 1 B 1 C 1 prizma metszetét a BC élen az E pontokon, az ABB 1 A 1 felületen az F és az ACC 1 A 1 felületen a G pontokon átmenő síkkal. 11. feladat Megoldás. Rajzoljunk egy GF egyenest, és keressük meg az ABC síkkal való metszéspontjának H pontját. Rajzoljunk egy EH egyenest, és jelöljük P-vel és I-vel a metszéspontjait AC-vel és AB-vel. Rajzoljunk PG és IF egyeneseket, és jelöljük S, R és Q metszéspontjaikat A 1 C 1, A 1 B 1 és BB 1 pontokkal. Kössük össze az E és Q, S és R pontokat. A kapott EQRSP ötszög a következő lesz. a kívánt szakaszt.

Szerkesszük meg a szabályos hatszögletű prizma A, B, D pontokon átmenő síkkal metszetét 1. 12. feladat Megoldás! Vegyük észre, hogy a szakasz az E 1 ponton megy át. Rajzoljunk egy AB egyenest, és keressük meg a K és L metszéspontját a CD és FE egyenesekkel. Rajzoljuk meg a KD 1, LE 1 egyeneseket, és keressük meg P, Q metszéspontjukat a CC 1 és FF 1 egyenesekkel. Az ABPD 1 E 1 Q hatszög lesz a kívánt szakasz.

Szerkesszünk meg egy szabályos hatszögletű prizma metszetét az A, B’, F’ pontokon átmenő síkkal. 13. gyakorlat Megoldás. Rajzoljunk AB’ és AF’ szakaszokat. A B' ponton keresztül az AF'-vel párhuzamos egyenest húzunk, melynek EE 1 metszéspontját jelöljük E'-vel. Az F' ponton keresztül húzunk egy AB'-vel párhuzamos egyenest, melynek CC 1 metszéspontját C'-ként jelöljük. Az E’ és C’ pontokon keresztül az AB’-vel és AF’-vel párhuzamos vonalakat húzunk, a D 1 E 1 és C 1 D 1 metszéspontjaikat pedig D’-ként, D-ként jelöljük”. Kössük össze a B’, C’ pontokat; D', D"; F', E'. Az eredményül kapott AB'C'D"D'E'F" hétszög lesz a kívánt szakasz.

Szerkesszünk meg egy szabályos hatszögletű prizma metszetét az F’, B’, D’ pontokon átmenő síkkal. 14. gyakorlat Megoldás. Rajzoljunk F’B’ és F’D’ egyeneseket, és keressük meg P és Q metszéspontjaikat az ABC síkkal. Csináljunk egy közvetlen PQ-t. Jelölje R a PQ és FC metszéspontját. F’R és CC 1 metszéspontját jelöljük C’-ként. Kössük össze a B’, C’ és C’, D’ pontokat. Az F' ponton keresztül C'D' és B'C'-vel párhuzamos egyeneseket húzunk, melyek metszéspontjait AA 1 és EE 1 pontokkal A' és E'-ként jelöljük. Kössük össze az A’, B’ és E’, D’ pontokat. Az eredményül kapott A’B’C’D’E’F’ hatszög lesz a kívánt szakasz.

Prizmás poliéder a prizma általánosítása 4-es és nagyobb dimenziójú terekben. n-dimenziós prizmás poliéder két ( n− 1 )-dimenziós politópok átkerültek a következő dimenzióba.

Prizmatikus elemek n- dimenziós poliéderek megduplázódnak az elemekből ( n− 1 )-dimenziós poliéder, majd a következő szint új elemei jönnek létre.

Vessünk n-dimenziós poliéder elemekkel f i (\displaystyle f_(i)) (én- dimenziós arc, én = 0, ..., n). Prizmás ( n + 1 (\displaystyle n+1))-dimenziós poliéder lesz 2 f i + f − 1 (\displaystyle 2f_(i)+f_(-1)) dimenziós elemek én(nál nél f − 1 = 0 (\displaystyle f_(-1)=0), f n = 1 (\displaystyle f_(n)=1)).

Méretek szerint:

• Vegyünk egy sokszöget n csúcsok és n a felek. Kapunk egy prizmát 2-vel n csúcsok, 3 n bordák és 2 + n (\displaystyle 2+n)élek.
• Vegyünk egy poliédert azzal v csúcsok, e bordák és félek. Kapunk egy (4-dimenziós) prizmát 2-vel v csúcsok, élek, lapok és 2 + f (\displaystyle 2+f) sejteket.
• Vegyünk egy 4 dimenziós poliédert azzal v csúcsok, e borda, félek és c sejteket. Egy (5 dimenziós) prizmát kapunk 2-vel v csúcsok, 2e + v (\displaystyle 2e+v) borda, 2 f + e (\displaystyle 2f+e)(2-dimenziós) arcok, 2 c + f (\displaystyle 2c+f) sejtek és 2+c (\displaystyle 2+c) hipersejtek.

Homogén prizmás poliéder

Helyes n-poliéder, amelyet a Schläfli szimbólum ( p, q, ..., t), homogén prizmás poliédert alkothat, amelynek mérete ( n+ 1), amelyet két Schläfli-szimbólum közvetlen szorzata képvisel: ( p, q, ..., t}×{}.

Méretek szerint:

• A 0-dimenziós poliéder prizma egy vonalszakasz, amelyet az üres Schläfli-szimbólum () ábrázol.
• Az egydimenziós poliéder prizmája két szegmensből nyert téglalap. Ezt a prizmát a Schläfli-szimbólumok ()×() szorzataként ábrázoljuk. Ha a prizma négyzet, akkor a jelölés rövidíthető: ()×() = (4).
• A sokszögű prizma egy háromdimenziós prizma, amelyet két sokszögből kapunk (az egyiket a másik párhuzamos fordításával kapjuk), amelyeket téglalapok kötnek össze. Egy szabályos sokszögből ( p) homogént kaphat n- a termék által ábrázolt szénprizma ( p)×(). Ha p= 4, a prizma kockává válik: (4)×() = (4, 3).
• Két poliéderből (az egyik a másik párhuzamos transzlációjával kapott) kapott 4-dimenziós prizma, összekötő 3-dimenziós prizmacellákkal. Egy szabályos poliéderből ( p, q) homogén 4 dimenziós prizmát kaphatunk, amelyet a szorzat ábrázol. p, q)×(). Ha a poliéder egy kocka és a prizma oldalai is kockák, akkor a prizma tesserakttá alakul: (4, 3)×() = (4, 3, 3).

A nagyobb dimenziójú prizmatikus poliéderek is léteznek bármely két poliéder közvetlen termékeként. A prizmás poliéder mérete megegyezik a szorzat elemei méreteinek szorzatával. Az ilyen szorzat első példája 4-dimenziós térben létezik, és duoprizmáknak nevezik, amelyeket két sokszög szorzatával kapunk. A szabályos duoprizmákat a szimbólum ( p}×{ q}.

Rendszeres család prizma

Poligon
Mozaik

A sztereometriai kurzus iskolai tantervében a háromdimenziós alakzatok tanulmányozása általában egy egyszerű geometriai testtel kezdődik - a prizma poliéderével. Alapjainak szerepét 2 egyenlő, párhuzamos síkban elhelyezkedő sokszög tölti be. Különleges eset a szabályos négyszögű prizma. Alapjai 2 egyforma szabályos négyszög, amelyekre az oldalak merőlegesek, paralelogramma alakúak (vagy téglalapok, ha a prizma nem ferde).

Hogyan néz ki egy prizma?

A szabályos négyszögű prizma egy hatszög, melynek alapja 2 négyzet, oldallapjait pedig téglalapok ábrázolják. Ennek a geometriai alaknak egy másik neve egyenes paralelepipedon.

Az alábbiakban egy négyszögű prizmát ábrázoló rajz látható.

A képen is láthatod a geometriai testet alkotó legfontosabb elemek. Ezek tartalmazzák:

Néha geometriai problémáknál találkozhatunk a szakasz fogalmával. A meghatározás így fog hangzani: a metszet a térfogati test minden olyan pontja, amely egy vágási síkhoz tartozik. A metszet lehet merőleges (90 fokos szögben metszi az ábra éleit). Téglalap alakú prizmánál egy átlós szakaszt is figyelembe kell venni (a megszerkeszthető szakaszok maximális száma 2), amely 2 élen és az alap átlóin halad át.

Ha a metszet úgy van megrajzolva, hogy a vágási sík ne legyen párhuzamos sem az alapokkal, sem az oldalfelületekkel, az eredmény egy csonka prizma.

A redukált prizmatikus elemek megtalálásához különféle összefüggéseket és képleteket használnak. Némelyikük a planimetria tanfolyamból ismert (például egy prizma alapterületének meghatározásához elegendő felidézni a négyzet területének képletét).

Felület és térfogat

A prizma térfogatának a képlet segítségével történő meghatározásához ismernie kell alapja és magassága területét:

V = Sbas h

Mivel a szabályos tetraéder prizma alapja egy négyzet, amelynek oldala van a, A képletet részletesebb formában is megírhatja:

V = a²·h

Ha kockáról beszélünk - egyenlő hosszúságú, szélességű és magasságú szabályos prizmáról, akkor a térfogatot a következőképpen számítjuk ki:

Ahhoz, hogy megértsük, hogyan lehet megtalálni a prizma oldalsó felületét, el kell képzelni a fejlődését.

A rajzon látható, hogy az oldalfelület 4 egyenlő téglalapból áll. Területét az alap kerületének és az ábra magasságának szorzataként számítják ki:

Sside = Posn h

Figyelembe véve, hogy a négyzet kerülete egyenlő P = 4a, a képlet a következő alakot ölti:

Sside = 4a h

A kockához:

Oldal = 4a²

A prizma teljes felületének kiszámításához hozzá kell adni 2 alapterületet az oldalsó területhez:

Teljes = Sside + 2Smain

Egy négyszögletű szabályos prizmával kapcsolatban a képlet így néz ki:

Teljes = 4a h + 2a²

Egy kocka felületéhez:

Teljes = 6a²

A térfogat vagy felület ismeretében kiszámíthatja a geometriai test egyes elemeit.

Prizmaelemek keresése

Gyakran előfordulnak olyan problémák, amikor adott a térfogat, vagy ismert az oldalfelület értéke, ahol meg kell határozni az alap oldalhosszát vagy a magasságot. Ilyen esetekben a képletek származtathatók:

• alapoldal hossza: a = Sside / 4h = √(V / h);
• magasság vagy oldalborda hossza: h = Sside / 4a = V / a²;
• alapterület: Sbas = V/h;
• oldalsó arc területe: Oldal gr = Sside / 4.

Annak meghatározásához, hogy mekkora területe van az átlós szakasznak, ismernie kell az átló hosszát és az ábra magasságát. Egy négyzetre d = a√2. Ebből adódóan:

Sdiag = ah√2

A prizma átlójának kiszámításához használja a következő képletet:

dprize = √(2a² + h²)

Az adott összefüggések alkalmazásának megértéséhez több egyszerű feladatot gyakorolhat és oldhat meg.

Példák a megoldásokkal kapcsolatos problémákra

Íme néhány matematika állami záróvizsgán található feladat.

1. Feladat.

A homokot egy szabályos négyszögű prizma alakú dobozba öntik. Szintének magassága 10 cm Mekkora lesz a homok szintje, ha egy ugyanolyan formájú, de kétszer hosszabb talpú edénybe mozgatja?

Ezt a következőképpen kell indokolni. Az első és a második tartályban a homok mennyisége nem változott, azaz a térfogata bennük azonos. Az alap hosszát jelölheti a. Ebben az esetben az első rovatban az anyag térfogata:

V₁ = ha² = 10a²

A második doboznál az alap hossza 2a, de a homokszint magassága ismeretlen:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Mert a V1 = V2, egyenlőségjelet tehetünk a következő kifejezésekkel:

10a² = 4ha²

Miután az egyenlet mindkét oldalát a²-vel csökkentjük, a következőt kapjuk:

Ennek eredményeként az új homokszint lesz h = 10/4 = 2,5 cm.

2. feladat.

Az ABCDA₁B₁C₁D₁ egy helyes prizma. Ismeretes, hogy BD = AB₁ = 6√2. Határozza meg a test teljes felületét.

Az ismert elemek könnyebb megértése érdekében rajzolhat egy ábrát.

Mivel szabályos prizmáról beszélünk, arra a következtetésre juthatunk, hogy az alapon van egy 6√2 átlójú négyzet. Az oldallap átlója azonos méretű, ezért az oldallapnak is négyzet alakú az alapja. Kiderült, hogy mindhárom méret - hosszúság, szélesség és magasság - egyenlő. Megállapíthatjuk, hogy az ABCDA₁B₁C₁D₁ egy kocka.

Bármely él hosszát egy ismert átló határozza meg:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

A teljes felületet a kocka képletével határozzuk meg:

Teljes = 6a² = 6 6² = 216

3. feladat.

A szoba felújítás alatt áll. Ismeretes, hogy a padlója négyzet alakú, 9 m² területű. A szoba magassága 2,5 m Mennyibe kerül a legalacsonyabb egy szoba tapétázása, ha 1 m² 50 rubel?

Mivel a padló és a mennyezet négyzetek, azaz szabályos négyszögek, falai pedig vízszintes felületekre merőlegesek, megállapíthatjuk, hogy szabályos prizmáról van szó. Meg kell határozni az oldalsó felületének területét.

A szoba hossza a a = √9 = 3 m.

A területet tapéta borítja Oldal = 4 3 2,5 = 30 m².

A legalacsonyabb tapéta költség ebben a szobában lesz 50·30 = 1500 rubel

Így a téglalap alakú prizmát érintő feladatok megoldásához elegendő egy négyzet és téglalap területének és kerületének kiszámítása, valamint a térfogat és a felület meghatározására szolgáló képletek ismerete.

Hogyan találjuk meg a kocka területét

Meghatározás.

Ez egy hatszög, melynek alapja két egyenlő négyzet, oldallapjai pedig egyenlő téglalapok

Oldalsó borda- két szomszédos oldallap közös oldala

Prizma magassága- ez a prizma alapjaira merőleges szakasz

Prizma átlós- egy szakasz, amely összeköti az alapok két csúcsát, amelyek nem tartoznak ugyanahhoz a laphoz

Átlós sík- egy sík, amely átmegy a prizma átlóján és oldalsó élein

Átlós szakasz- a prizma és az átlósík metszéspontjának határai. A szabályos négyszögű prizma átlós keresztmetszete egy téglalap

Merőleges metszet (merőleges metszet)- ez a prizma és az oldaléleire merőleges sík metszéspontja

Szabályos négyszögű prizma elemei

Az ábrán két szabályos négyszög alakú prizma látható, amelyeket a megfelelő betűk jelölnek:

• Az ABCD és A 1 B 1 C 1 D 1 alapok egyenlőek és párhuzamosak egymással
• AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C és CC 1 D 1 D oldallapok, amelyek mindegyike téglalap
• Oldalsó felület - a prizma összes oldalsó felületének területeinek összege
• Teljes felület - az összes alap és oldalfelület területének összege (az oldalfelület és az alapok területének összege)
• Oldalbordák AA 1, BB 1, CC 1 és DD 1.
• Átló B 1 D
• Alapátló BD
• Átlós metszet BB 1 D 1 D
• Merőleges metszet A 2 B 2 C 2 D 2.

Szabályos négyszögű prizma tulajdonságai

• Az alap két egyenlő négyzet
• Az alapok párhuzamosak egymással
• Az oldallapok téglalap alakúak
• Az oldalsó élek egyenlőek egymással
• Az oldallapok merőlegesek az alapokra
• Az oldalsó bordák egymással párhuzamosak és egyenlőek
• Merőleges metszet, amely merőleges az összes oldalbordára és párhuzamos az alapokkal
• A merőleges metszet szögei - egyenesek
• A szabályos négyszögű prizma átlós keresztmetszete egy téglalap
• Az alapokra merőleges (merőleges metszet) párhuzamos

Szabályos négyszögű prizma képletei

Útmutató a problémák megoldásához

Amikor problémákat old meg a témában " szabályos négyszögű prizma" azt jelenti, hogy:

Helyes prizma- prizma, amelynek alapjában szabályos sokszög fekszik, és az oldalélek merőlegesek az alap síkjaira. Ez azt jelenti, hogy egy szabályos négyszög alakú prizma az alján van négyzet. (lásd fent a szabályos négyszögű prizma tulajdonságait) jegyzet. Ez egy geometriai problémákkal foglalkozó lecke része (metszet sztereometria - prizma). Itt vannak olyan problémák, amelyeket nehéz megoldani. Ha olyan geometriai feladatot kell megoldanod, ami nincs itt, írj róla a fórumba. A négyzetgyök kinyerésének műveletét a feladatok megoldásában a szimbólumot használjuk√ .

Feladat.

Egy szabályos négyszög alakú prizmában az alapterület 144 cm 2, a magassága pedig 14 cm. Határozza meg a prizma átlóját és a teljes felületét!

Megoldás.
A szabályos négyszög négyzet.
Ennek megfelelően az alap oldala egyenlő lesz

√144 = 12 cm.
Ahonnan egy szabályos téglalap alakú prizma alapjának átlója egyenlő lesz
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

A szabályos prizma átlója derékszögű háromszöget alkot az alap átlójával és a prizma magasságával. Ennek megfelelően a Pitagorasz-tétel szerint egy adott szabályos négyszögű prizma átlója egyenlő lesz:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Válasz: 22 cm

Feladat

Határozzuk meg egy szabályos négyszög alakú prizma teljes felületét, ha az átlója 5 cm, az oldallapjának az átlója pedig 4 cm!

Megoldás.
Mivel egy szabályos négyszögű prizma alapja négyzet, ezért a Pitagorasz-tétel segítségével megtaláljuk az alap oldalát (a jelöléssel):

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Az oldallap magassága (h-val jelölve) ekkor egyenlő lesz:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

A teljes felület egyenlő lesz az oldalfelület és az alapterület kétszeresének összegével

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Válasz: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Általános információk az egyenes prizmáról

A prizma oldalfelületét (pontosabban az oldalfelületét) ún összeg oldalfelületek területei. A prizma teljes felülete egyenlő az oldalfelület és az alapok területeinek összegével.

19.1. Tétel. Az egyenes prizma oldalfelülete egyenlő az alap kerületének és a prizma magasságának szorzatával, azaz az oldalél hosszával.

Bizonyíték. Az egyenes prizma oldallapjai téglalapok. Ezeknek a téglalapoknak az alapja a sokszög oldalai, amelyek a prizma alapjában helyezkednek el, és a magasságuk megegyezik az oldalélek hosszával. Ebből következik, hogy a prizma oldalfelülete egyenlő

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

ahol a 1 és n az alapélek hossza, p a prizma alapjának kerülete, I pedig az oldalélek hossza. A tétel bizonyítást nyert.

Gyakorlati feladat

Probléma (22) . Ferde prizmában hajtják végre szakasz, merőleges az oldalbordákra és metszi az összes oldalbordát. Határozzuk meg a prizma oldalfelületét, ha a szelvény kerülete egyenlő p-vel és az oldalélek egyenlőek l-lel.

Megoldás. A megrajzolt metszet síkja a prizmát két részre osztja (411. ábra). Vegyünk egyet párhuzamos fordításnak, kombinálva a prizma alapjait. Ebben az esetben egy egyenes prizmát kapunk, melynek alapja az eredeti prizma keresztmetszete, oldalélei pedig l-el egyenlők. Ennek a prizmának az oldalfelülete megegyezik az eredetivel. Így az eredeti prizma oldalfelülete egyenlő pl.

Az érintett téma összefoglalása

Most próbáljuk meg összefoglalni a prizmákkal kapcsolatos témát, és emlékezzünk arra, hogy milyen tulajdonságai vannak a prizmának.

A prizma tulajdonságai

Először is, a prizmának minden alapja egyenlő sokszög;
Másodszor, egy prizmában az összes oldallapja paralelogramma;
Harmadszor, egy ilyen sokoldalú ábrán, mint egy prizma, minden oldalél egyenlő;

Emlékeztetni kell arra is, hogy a poliéderek, például a prizmák lehetnek egyenesek vagy ferdeek.

Melyik prizmát nevezzük egyenes prizmának?

Ha egy prizma oldaléle merőleges az alapja síkjára, akkor az ilyen prizmát egyenesnek nevezzük.

Nem lenne felesleges felidézni, hogy az egyenes prizma oldallapjai téglalapok.

Milyen típusú prizmát nevezünk ferde prizmának?

De ha egy prizma oldaléle nem merőleges az alapja síkjára, akkor nyugodtan mondhatjuk, hogy ferde prizma.

Melyik prizmát nevezzük helyesnek?

Ha egy szabályos sokszög egy egyenes prizma alapjában fekszik, akkor az ilyen prizma szabályos.

Most pedig emlékezzünk a szabályos prizmák tulajdonságaira.

Szabályos prizma tulajdonságai

Először is, a szabályos sokszögek mindig egy szabályos prizma alapjaként szolgálnak;
Másodszor, ha figyelembe vesszük egy szabályos prizma oldallapjait, akkor ezek mindig egyenlő téglalapok;
Harmadszor, ha összehasonlítja az oldalbordák méretét, akkor egy szabályos prizmában mindig egyenlőek.
Negyedszer, a helyes prizma mindig egyenes;
Ötödször, ha egy szabályos prizmában az oldallapok négyzet alakúak, akkor egy ilyen alakzatot általában félig szabályos sokszögnek neveznek.

Prizma keresztmetszet

Most nézzük a prizma keresztmetszetét:

Házi feladat

Most próbáljuk meg a tanult témát problémák megoldásával megszilárdítani.

Rajzoljunk egy ferde háromszög alakú prizmát, amelynek élei közötti távolság: 3 cm, 4 cm és 5 cm, ennek a prizmának az oldalfelülete pedig 60 cm2 lesz. Ezen paraméterek birtokában keresse meg ennek a prizmának az oldalélét.

Tudja-e, hogy a geometriai alakzatok folyamatosan vesznek körül bennünket, nemcsak a geometria órákon, hanem a mindennapi életben is vannak olyan tárgyak, amelyek egy-egy geometrikus alakra hasonlítanak.

Minden otthonban, iskolában vagy munkahelyen van egy számítógép, amelynek rendszeregysége egyenes prizma alakú.

Ha felvesz egy egyszerű ceruzát, látni fogja, hogy a ceruza fő része egy prizma.

A város központi utcáján sétálva látjuk, hogy a lábunk alatt hatszögletű hasáb alakú cserép hever.

A. V. Pogorelov, Geometria 7-11. osztályosoknak, Tankönyv oktatási intézmények számára