تعریف بدیهی سیستم اعداد صحیح. بدیهیات اعداد حقیقی

هنگام ساختن نظریه بدیهی اعداد طبیعی، اصطلاحات اولیه "عنصر" یا "عدد" (که در متن این کتابچه راهنمای ما می توانیم مترادف آنها در نظر بگیریم) و "مجموعه"، روابط اصلی: "تعلق" (عنصر) خواهد بود. متعلق به مجموعه)، "برابری" و " پیگیری"، نشان دهنده / است (خوانده می شود "عدد یک ضربه به دنبال عدد a است"، به عنوان مثال، یک دو با یک سه، یعنی 2 / = 3، عدد 10 به دنبال عدد 11 است، یعنی، 10 / = 11 و غیره).

مجموعه اعداد طبیعی(سری های طبیعی، اعداد صحیح مثبت) مجموعه ای از N با رابطه "follow after" معرفی شده است که در آن 4 اصل زیر برآورده می شود:

الف 1. در مجموعه N عنصری به نام وجود دارد واحد، که از هیچ عدد دیگری پیروی نمی کند.

الف 2. برای هر عنصر از سری طبیعی، تنها یک عنصر در کنار آن وجود دارد.

الف 3. هر عنصر N حداکثر از یک عنصر از سری طبیعی پیروی می کند.

A 4.( اصل استقرااگر زیرمجموعه M از مجموعه N شامل یک باشد و همچنین همراه با هر یک از عناصر آن a، عنصر زیر a / را نیز داشته باشد، M با N منطبق است.

همین بدیهیات را می توان به طور خلاصه با استفاده از نمادهای ریاضی نوشت:

A 1 ( 1  N) ( a  N) a / ≠ 1

A 2 ( a  N) ( a /  N) a = b => a / = b /

A 3 a / = b / => a = b

اگر عنصر b به دنبال عنصر a باشد (b = a /)، آنگاه خواهیم گفت که عنصر a مقدم بر عنصر b است (یا قبل از b). این سیستم بدیهیات نامیده می شود سیستم های بدیهی Peano(از آنجایی که در قرن 19 توسط ریاضیدان ایتالیایی جوزپه پیانو معرفی شد). این تنها یکی از مجموعه های ممکن بدیهیات است که به ما امکان می دهد مجموعه اعداد طبیعی را تعریف کنیم. رویکردهای معادل دیگری نیز وجود دارد.

ساده ترین خواص اعداد طبیعی

ملک 1. اگر عناصر متفاوت باشند، آنهایی که از آنها پیروی می کنند متفاوت هستند، یعنی

a  b => a /  b / .

اثباتبا تناقض انجام می شود: فرض کنید a / = b /، سپس (با A 3) a = b، که با شرایط قضیه در تضاد است.

ملک 2. اگر عناصر متفاوت باشند، عناصر قبل از آنها (در صورت وجود) متفاوت هستند، یعنی

a /  b / => a  b.

اثبات: فرض کنید a = b، پس با توجه به A 2، a / = b / داریم که با شرایط قضیه در تضاد است.

ملک 3. هیچ عدد طبیعی با عدد بعدی برابر نیست.

اثبات: اجازه دهید مجموعه M را شامل اعداد طبیعی که این شرط برای آنها برقرار است را در نظر بگیریم.

M = (a  N | a  a / ).

ما اثبات را بر اساس اصل استقرا انجام خواهیم داد. طبق تعریف مجموعه M، زیر مجموعه ای از مجموعه اعداد طبیعی است. 1M بعدی، چون یکی از هیچ عدد طبیعی (A 1) پیروی نمی کند، به این معنی که برای a = 1 نیز داریم: 1  1 / . اکنون فرض می کنیم که مقداری a در بالا، بر اساس استفاده از بدیهیات استقراء، می توان نتیجه گرفت که M = N، یعنی قضیه ما برای همه اعداد طبیعی صادق است.

قضیه 4. برای هر عدد طبیعی غیر از 1، یک عدد قبل از آن وجود دارد.

اثبات: مجموعه را در نظر بگیرید

M = (1)  (c N | ( a  N) c = a / ).

این M زیرمجموعه ای از مجموعه اعداد طبیعی است، یکی به وضوح متعلق به این مجموعه است. بخش دوم این مجموعه عناصری است که برای آنها پیشینیان وجود دارد، بنابراین، اگر a  M، a / نیز متعلق به M است (بخش دوم آن، زیرا a / یک سلف دارد - این a است). بنابراین، بر اساس اصل استقرا، M با مجموعه همه اعداد طبیعی منطبق است، به این معنی که همه اعداد طبیعی یا 1 هستند یا آنهایی که یک عنصر قبلی برای آنها وجود دارد. قضیه ثابت شده است.

سازگاری نظریه بدیهی اعداد طبیعی

به عنوان یک مدل شهودی از مجموعه اعداد طبیعی، می‌توان مجموعه‌هایی از خطوط را در نظر گرفت: عدد 1 مطابق با |، عدد 2 || و غیره خواهد بود، یعنی سری طبیعی به شکل زیر خواهد بود:

|, ||, |||, ||||, ||||| ….

این ردیف از خطوط می توانند به عنوان مدلی از اعداد طبیعی عمل کنند، اگر از "نسبت دادن یک خط به یک عدد" به عنوان رابطه "دنبال کردن بعد" استفاده شود. اعتبار همه بدیهیات به طور شهودی آشکار است. البته این مدل کاملا منطقی نیست. برای ساختن یک مدل دقیق، باید یک نظریه بدیهی واضح دیگر داشته باشید. اما همانطور که در بالا ذکر شد، چنین نظریه ای در اختیار نداریم. بنابراین، یا مجبوریم به شهود تکیه کنیم یا به روش مدل ها متوسل نشویم، بلکه به این واقعیت اشاره کنیم که بیش از 6 هزار سال است که در طی آن مطالعه اعداد طبیعی انجام شده است، هیچ تناقضی با این بدیهیات کشف شده است.

استقلال سیستم بدیهیات Peano

برای اثبات استقلال اصل اول کافی است مدلی بسازیم که در آن اصل A 1 نادرست و بدیهیات A 2, A 3, A 4 درست باشند. اجازه دهید اعداد 1، 2، 3 را به عنوان عبارت های اولیه (عناصر) در نظر بگیریم، و رابطه "دنبال" را با روابط تعریف کنیم: 1 / = 2، 2 / = 3، 3 / = 1.

هیچ عنصری در این مدل وجود ندارد که از هیچ چیز دیگری پیروی نکند (اصل 1 نادرست است)، اما همه بدیهیات دیگر برآورده می شوند. بنابراین، اصل اول به بقیه بستگی ندارد.

اصل دوم از دو بخش تشکیل شده است - وجود و یکتایی. استقلال این اصل (از نظر وجود) را می توان با مدلی از دو عدد (1، 2) با رابطه "دنبال" که توسط یک رابطه واحد تعریف شده است نشان داد: 1 / = 2:

برای دو نفر، عنصر بعدی وجود ندارد، اما بدیهیات A 1، A 3، A 4 درست هستند.

استقلال این اصل، از نظر منحصر به فرد بودن، با مدلی نشان داده می شود که در آن مجموعه N مجموعه تمام اعداد طبیعی معمولی و همچنین انواع کلمات (مجموعه هایی از حروف که لزوماً معنی ندارند) ساخته شده خواهد بود. تا حروف الفبای لاتین (بعد از حرف z حرف بعدی aa خواهد بود، سپس ab ... az، سپس ba ...؛ تمام کلمات ممکن دو حرفی، که آخرین آنها zz است، به دنبال آن خواهد بود. کلمه aaa و غیره). ما رابطه "دنبال کردن" را همانطور که در شکل نشان داده شده معرفی می کنیم:

در اینجا بدیهیات A 1، A 3، A 4 نیز صادق هستند، اما 1 بلافاصله با دو عنصر 2 و a دنبال می شود. بنابراین، اصل 2 به سایرین بستگی ندارد.

استقلال Axiom 3 با این مدل نشان داده شده است:

که در آن A 1، A 2، A 4 درست است، اما عدد 2 هم از عدد 4 و هم از عدد 1 پیروی می کند.

برای اثبات استقلال اصل استقرا، از مجموعه N، متشکل از تمام اعداد طبیعی و همچنین سه حرف (a, b, c) استفاده می کنیم. رابطه زیر در این مدل را می توان به شکل زیر معرفی کرد:

در اینجا برای اعداد طبیعی از رابطه فالو معمولی استفاده می شود و برای حروف رابطه فالو با فرمول های زیر تعریف می شود: a / = b، b / = c، c / = a. واضح است که 1 از هیچ عدد طبیعی پیروی نمی کند، برای هر کدام یک بعدی وجود دارد و فقط یکی، هر عنصر حداکثر یک عنصر را دنبال می کند. با این حال، اگر مجموعه ای M را متشکل از اعداد طبیعی معمولی در نظر بگیریم، آنگاه این زیرمجموعه ای از این مجموعه شامل یک و همچنین عنصر بعدی برای هر عنصر از M خواهد بود. با این حال، این زیر مجموعه با کل مدل زیر منطبق نخواهد شد. در نظر گرفتن، زیرا شامل حروف a، b، c نخواهد بود. بنابراین، بدیهیات استقرا در این مدل ارضا نمی شود، و بنابراین، بدیهیات استقرا به بدیهیات دیگر بستگی ندارد.

نظریه بدیهی اعداد طبیعی است طبقه بندی شده(کامل به معنای مضیق).

 (n /) =( (n)) / .

اصل استقرای کامل ریاضی.

قضیه استقرا.اجازه دهید برخی گزاره P(n) برای همه اعداد طبیعی فرموله شود، و بگذارید a) P(1) درست باشد، ب) از این واقعیت که P(k) درست است، نتیجه می شود که P(k /) نیز صادق است. سپس عبارت P(n) برای همه اعداد طبیعی صادق است.

برای اثبات این موضوع، اجازه دهید یک مجموعه M از اعداد طبیعی n (M  N) را معرفی کنیم که گزاره P(n) برای آنها صادق است. بیایید از اصل A 4 استفاده کنیم، یعنی سعی خواهیم کرد ثابت کنیم که:

1. k  M => k /  M.

اگر موفق شدیم، طبق اصل A 4، می‌توان نتیجه گرفت که M = N، یعنی P(n) برای همه اعداد طبیعی صادق است.

1) با توجه به شرط الف قضیه، P(1) صادق است، بنابراین، 1  M.

2) اگر مقداری k  M، آنگاه (با ساخت M) P(k) درست است. طبق شرط b) قضیه، این مستلزم صدق P(k /) است که به معنای k /  M است.

بنابراین، با اصل استقرا (A 4) M = N، به این معنی که P(n) برای همه اعداد طبیعی صادق است.

بنابراین، بدیهیات استقراء به ما اجازه می دهد تا روشی برای اثبات قضایای «از طریق استقراء» ایجاد کنیم. این روش در اثبات قضایای اساسی حساب در مورد اعداد طبیعی نقش اساسی دارد. از موارد زیر تشکیل شده است:

1) اعتبار بیانیه بررسی می شودn=1 (پایه القایی) ,

2) اعتبار این عبارت برای فرض شده استn= ک، جایی کهک- عدد طبیعی دلخواه(فرضیه استقرایی) ، و با در نظر گرفتن این فرض، اعتبار بیانیه برای اثبات می شودn= ک / (مرحله القاء ).

اثبات مبتنی بر یک الگوریتم معین، اثبات نامیده می شود توسط استقراء ریاضی .

وظایف برای راه حل مستقل

شماره 1.1. دریابید که کدام یک از سیستم های فهرست شده بدیهیات Peano را برآورده می کند (آنها مدل هایی از مجموعه اعداد طبیعی هستند)، مشخص کنید که کدام بدیهیات راضی هستند و کدامیک راضی نیستند.

الف) N =(3، 4، 5...)، n / = n + 1;

ب) N =(n  6، n  ن), n / = n + 1;

ج) N =(n – 2، n ز), n / = n + 1;

د) N =(n – 2، n  ز), n / = n + 2;

ه) اعداد طبیعی فرد، n / = n +1;

f) اعداد طبیعی فرد، n / = n +2;

ز) اعداد طبیعی با نسبت n / = n + 2.

h) N =(1، 2، 3)، 1 / ​​= 3، 2 / = 3، 3 / = 2;

i) N =(1، 2، 3، 4، 5)، 1 / ​​= 2، 2 / = 3، 3 / = 4، 4 / = 5، 5 / = 1.

ی) اعداد طبیعی، مضرب 3 با نسبت n / = n + 3

ک) اعداد طبیعی زوج با نسبت n / = n + 2

م) اعداد صحیح،
.

در درس ریاضی مدرسه بر اساس نیاز به انجام اندازه گیری اعداد حقیقی به صورت سازنده تعریف شدند. این تعریف سختگیرانه نبود و اغلب محققان را به بن بست می کشاند. به عنوان مثال، مسئله تداوم اعداد حقیقی، یعنی آیا در این مجموعه فضاهای خالی وجود دارد؟ بنابراین، هنگام انجام تحقیقات ریاضی، لازم است تعریف دقیقی از مفاهیم مورد مطالعه، حداقل در چارچوب برخی مفروضات شهودی (بدیهیات) که با عمل همخوانی دارند، داشته باشیم.

تعریف: مجموعه ای از عناصر x، y، z، ...، متشکل از بیش از یک عنصر،مجموعه ای نامیده می شود آراعداد واقعی، اگر عملیات و روابط زیر برای این اشیاء ایجاد شده باشد:

دسته اول بدیهیات- بدیهیات عملیات جمع.

در فراوانی آرعملیات جمع معرفی شد، یعنی برای هر جفت عنصر آو ب میزانو تعیین شده است آ + ب
من 1. آ+ب=ب+آ, الف، ب آر .

من 2. آ+(b+c)=(a+b)+ج,آ, ب, ج آر .

من 3. چنین عنصری به نام وجود دارد صفرو با 0 نشان داده می شود که برای هر آ آر شرط برقرار است آ+0=آ.

من 4. برای هر عنصر آ آر عنصری به نام آن وجود دارد مقابلو نشان داده شده با - آ، برای کدام آ+(-آ)=0. عنصر آ+(-ب), آ, ب آر ، تماس گرفت تفاوتعناصر آو بو تعیین شده است آ - ب.

II - گروه بدیهیات - بدیهیات عملیات ضرب. در فراوانی آرعملیات وارد شد ضرب، یعنی برای هر جفت عنصر آو بیک عنصر واحد تعریف شده است که به آنها گفته می شود کار کردنو تعیین شده است a ب، به طوری که شرایط زیر برآورده شود:
II 1. ab=ba,a, ب آر .

II 2 آ(قبل از میلاد مسیح)=(ab)ج, آ, ب, ج آر .

II 3. عنصری به نام وجود دارد واحدو با 1 نشان داده می شود که برای هر آ آر شرط برقرار است آ 1=آ.

II 4. برای هرکس آ 0 عنصری به نام آن وجود دارد معکوسو با یا 1/ مشخص می شود آ، برای کدام آ=1. عنصر آ , ب 0، تماس گرفت خصوصیاز تقسیم آبر بو تعیین شده است آ:بیا یا آ/ب.

II 5. رابطه بین عملیات جمع و ضرب: برای هر آ, ب, ج آر شرایط برقرار است ( ac + b)c=ac+bc.

به مجموعه ای از اشیاء که بدیهیات گروه های I و II را برآورده می کند، فیلد عددی یا به سادگی یک فیلد می گویند. و بدیهیات مربوطه را بدیهیات میدانی می نامند.

III - دسته سوم بدیهیات - بدیهیات نظم.برای عناصر آررابطه سفارش تعریف شده است. به شرح زیر می باشد. برای هر دو عنصر متفاوت آو بیکی از دو رابطه برقرار است: یا آ ب(می خواند " آکمتر یا مساوی ب")، یا آ ب(می خواند " آبیشتر یا مساوی بفرض بر این است که شرایط زیر وجود دارد:

III 1. آ آبرای هر آ.از جانب آ ب، بباید a=b.

III 2. گذرا. اگر آ بو ب ج، آن آج

III 3. اگر آ ب، سپس برای هر عنصر جرخ می دهد آ+ج ب+ج.

III 4. اگر آ 0، ب 0, که ab 0 .

گروه چهارم بدیهیات شامل یک اصل است - بدیهیات تداوم.برای هر مجموعه غیر خالی ایکسو Yاز جانب آربه طوری که برای هر جفت عنصر ایکس ایکسو y Yنابرابری برقرار است ایکس < y، یک عنصر وجود دارد آ آر، ارضای شرط

برنج. 2

ایکس < آ < y, ایکس ایکس, y Y(شکل 2). ویژگی های فهرست شده به طور کامل مجموعه اعداد حقیقی را تعریف می کنند به این معنا که تمام خصوصیات دیگر آن از این ویژگی ها پیروی می کنند. این تعریف مجموعه اعداد حقیقی را تا ماهیت خاص عناصر آن به طور منحصر به فردی تعریف می کند. این هشدار که یک مجموعه حاوی بیش از یک عنصر است ضروری است زیرا مجموعه ای که فقط از صفر تشکیل شده باشد، بدیهی است که تمام بدیهیات را برآورده می کند. در ادامه، عناصر مجموعه را اعداد R می نامیم.

حال اجازه دهید مفاهیم آشنای اعداد طبیعی، گویا و غیر منطقی را تعریف کنیم. اعداد 1، 2 1+1، 3 2+1، ... نامیده می شوند اعداد طبیعی، و مجموعه آنها مشخص می شود ن . از تعریف مجموعه اعداد طبیعی به دست می آید که دارای ویژگی مشخصه زیر است: اگر

1) آ ن ,

3) برای هر عنصر x A شامل x+ 1 آ, پس یک=ن .

در واقع، طبق شرط 2) ما 1 داریم آبنابراین با ویژگی 3) و 2 آو سپس با توجه به همان خاصیت عدد 3 را بدست می آوریم آ. از آنجایی که هر عدد طبیعی است nبا افزودن متوالی همان 1 به آن، از 1 به دست می آید n آ، یعنی ن آ، و از آنجایی که با شرط 1 گنجاندن آ ن ، آن آ=ن .

اصل اثبات مبتنی بر این خاصیت اعداد طبیعی است توسط استقراء ریاضی. اگر عبارات زیادی وجود داشته باشد که به هر یک از آنها یک عدد طبیعی (عدد آن) اختصاص داده شده است. n=1، 2، ...، و اگر ثابت شود که:

1) عبارت شماره 1 درست است.

2) از اعتبار اظهارنامه با هر عدد n ن از اعتبار بیانیه با شماره پیروی می کند n+1;

در این صورت اعتبار همه گزاره ها ثابت می شود، یعنی. هر عبارت با یک عدد دلخواه n ن .

اعداد 0، + 1, + 2، ... نامیده می شود اعداد صحیح، مجموعه آنها نشان داده شده است ز .

شماره های فرم m/n، جایی که مترو nکل، و n 0 نامیده می شوند اعداد گویا. مجموعه تمام اعداد گویا با نشان داده می شود س .

اعداد حقیقی که گویا نیستند نامیده می شوند غیر منطقی، مجموعه آنها نشان داده شده است من .

این سوال پیش می آید که شاید اعداد گویا تمام عناصر مجموعه را خسته می کنند R؟پاسخ این سوال را اصل تداوم می دهد. در واقع، این اصل برای اعداد گویا صادق نیست. به عنوان مثال، دو مجموعه را در نظر بگیرید:

به راحتی می توان آن را برای هر عنصر و نابرابری مشاهده کرد. با این حال گویاهیچ عددی وجود ندارد که این دو مجموعه را از هم جدا کند. در واقع، این عدد فقط می تواند باشد، اما منطقی نیست. این واقعیت نشان می دهد که اعداد غیر منطقی در مجموعه وجود دارد آر.

علاوه بر چهار عمل حسابی روی اعداد، می توانید عملیات توان و استخراج ریشه را انجام دهید. برای هر شماره آ آر و طبیعی nدرجه a nبه عنوان محصول تعریف می شود nعوامل برابر آ:

الف- مقدماتی آ 0 1, آ>0, آ- n 1/ آ n آ 0, n- عدد طبیعی.

مثال.نابرابری برنولی: 1+x)n> 1+nxبا استقرا ثابت کنید.

اجازه دهید آ>0, n- عدد طبیعی. عدد بتماس گرفت ریشه nدرجه ام از میان آ، اگر b n =a. در این مورد نوشته شده است. وجود و منحصر به فرد بودن یک ریشه مثبت از هر درجه nاز هر عدد مثبت در زیر در بخش 7.3 ثابت خواهد شد.
حتی ریشه آ 0 دو معنی دارد: اگر ب = , ک ن ، سپس -ب= در واقع، از b 2k = آبه دنبال آن است

(-ب)2k = ((-ب) 2 )ک = (ب 2)ک = b 2k

مقدار غیر منفی آن نامیده می شود مقدار حسابی.
اگر r = p/q، جایی که پو qکل، q 0، یعنی rیک عدد گویا است، سپس برای آ > 0

(2.1)

بنابراین، درجه a rبرای هر عدد گویا تعریف شده است r. از تعریف آن چنین بر می آید که برای هر عقلی rبرابری وجود دارد

a -r = 1/a r.

درجه تبر(عدد ایکستماس گرفت توان) برای هر عدد واقعی ایکسبا استفاده از انتشار مداوم درجه با توان گویا به دست می آید (برای اطلاعات بیشتر به بخش 8.2 مراجعه کنید). برای هر شماره آ آر عدد غیر منفی

نامیده می شود قدر مطلقیا مدول. برای مقادیر مطلق اعداد، نابرابری های زیر معتبر هستند:

|آ + ب| < |آ| + |ب|,
||آ - ب|| < |آ - ب|, آ, ب آر

آنها با استفاده از خصوصیات I-IV اعداد واقعی ثابت می شوند.

نقش اصل تداوم در ساخت تحلیل ریاضی

اهمیت اصل تداوم به حدی است که بدون آن ساخت دقیق تحلیل ریاضی غیرممکن است. [ منبع مشخص نشده 1351 روز] برای نشان دادن، چندین گزاره اساسی تحلیل را ارائه می‌کنیم که اثبات آن‌ها مبتنی بر تداوم اعداد واقعی است:

· (قضیه وایرشتراس).هر دنباله یکنواخت افزایشی محدود شده همگرا می شود

· (قضیه بولزانو کوشی).یک تابع پیوسته بر روی یک قطعه، با گرفتن مقادیر علائم مختلف در انتهای آن، در برخی از نقاط داخلی قطعه ناپدید می شود.

· (وجود توابع توان، نمایی، لگاریتمی و همه مثلثاتی در سراسر حوزه «طبیعی» تعریف).به عنوان مثال، ثابت شده است که برای همه و کل وجود دارد، یعنی یک راه حل برای معادله. این به شما امکان می دهد ارزش عبارت را برای همه منطق ها تعیین کنید:

در نهایت، دوباره به لطف تداوم خط اعداد، می توان مقدار عبارت را برای یک عبارت دلخواه تعیین کرد. به همین ترتیب، با استفاده از خاصیت پیوستگی، وجود یک عدد برای هر .

برای یک دوره تاریخی طولانی، ریاضیدانان قضایایی را از تجزیه و تحلیل، در «مکان‌های ظریف» که به توجیه هندسی اشاره می‌کردند، اثبات می‌کردند، و اغلب آنها را به کلی نادیده می‌گرفتند زیرا واضح بود. مفهوم بسیار مهم تداوم بدون هیچ تعریف روشنی استفاده شد. تنها در یک سوم پایانی قرن نوزدهم، کارل وایرشتراس، ریاضیدان آلمانی، تحلیل را حساب کرد و اولین نظریه دقیق اعداد حقیقی را به صورت کسرهای اعشاری نامتناهی ساخت. او تعریف کلاسیک حد را در زبان پیشنهاد کرد، تعدادی از گزاره‌ها را که پیش از او «بدیهی» تلقی می‌شدند، اثبات کرد و از این طریق ساخت پایه تحلیل ریاضی را تکمیل کرد.

بعدها روش های دیگری برای تعیین عدد واقعی پیشنهاد شد. در رویکرد بدیهی، پیوستگی اعداد حقیقی به صراحت به عنوان یک اصل موضوعی جداگانه برجسته شده است. در رویکردهای سازنده به نظریه اعداد حقیقی، برای مثال، هنگام ساخت اعداد حقیقی با استفاده از بخش‌های Dedekind، خاصیت پیوستگی (در یک شکل یا شکل دیگر) به عنوان یک قضیه اثبات می‌شود.

سایر صورت‌بندی‌های خاصیت تداوم و جملات معادل[ویرایش | ویرایش متن ویکی]

چندین گزاره مختلف وجود دارد که خاصیت تداوم اعداد حقیقی را بیان می کند. هر یک از این اصول را می توان به عنوان مبنایی برای ساخت نظریه اعداد حقیقی به عنوان بدیهیات پیوستگی استفاده کرد و سایر اصول را می توان از آن استخراج کرد. این موضوع در بخش بعدی با جزئیات بیشتر مورد بحث قرار می گیرد.

تداوم از نظر ددکیند[ویرایش | ویرایش متن ویکی]

مقاله اصلی:نظریه برش ها در زمینه اعداد گویا

ددکیند در اثر خود با عنوان "تداوم و اعداد غیر منطقی" به مسئله پیوستگی اعداد حقیقی می پردازد. در آن، او اعداد گویا را با نقاط روی یک خط مستقیم مقایسه می کند. همانطور که مشخص است، زمانی که نقطه شروع و واحد اندازه گیری قطعات در خط انتخاب می شود، می توان بین اعداد گویا و نقاط روی یک خط مطابقت ایجاد کرد. با استفاده از دومی، می توانید برای هر عدد گویا یک پاره متناظر بسازید و با قرار دادن آن به سمت راست یا چپ، بسته به اینکه عدد مثبت یا منفی وجود دارد، می توانید یک نقطه متناظر با عدد بدست آورید. بنابراین، برای هر عدد گویا یک و تنها یک نقطه در خط وجود دارد.

معلوم می شود که بی نهایت نقاط روی خط وجود دارد که با هیچ عدد گویا مطابقت ندارند. به عنوان مثال، نقطه ای که با ترسیم طول قطر مربع ساخته شده بر روی یک قطعه واحد به دست می آید. بنابراین، منطقه اعداد گویا این را ندارد کامل بودن، یا تداوم، که ذاتی یک خط مستقیم است.

ددکیند برای اینکه بفهمد این تداوم از چه چیزی تشکیل شده است، نکته زیر را بیان می کند. اگر نقطه خاصی روی یک خط وجود داشته باشد، تمام نقاط روی خط به دو دسته تقسیم می شوند: نقاطی که در سمت چپ قرار دارند و نقاطی که در سمت راست قرار دارند. خود نقطه را می توان به صورت دلخواه به طبقه پایین یا بالا اختصاص داد. ددکیند جوهر تداوم را در اصل معکوس می بیند:

از نظر هندسی، این اصل بدیهی به نظر می رسد، اما ما قادر به اثبات آن نیستیم. ددکیند تأکید می کند که در اصل، این اصل یک فرض است که ماهیت آن خاصیت منسوب به مستقیم را بیان می کند که ما آن را تداوم می نامیم.

برای درک بهتر ماهیت پیوستگی خط اعداد به معنای ددکیند، بخشی دلخواه از مجموعه اعداد حقیقی را در نظر بگیرید، یعنی تقسیم تمام اعداد حقیقی به دو کلاس غیر خالی، به طوری که همه اعداد یک کلاس روی خط اعداد سمت چپ همه اعداد دوم قرار دارد. این کلاس ها بر این اساس نامگذاری شده اند پایین ترو کلاس های بالاتربخش ها در تئوری 4 احتمال وجود دارد:

1. طبقه پایین دارای عنصر حداکثر است، طبقه بالا دارای حداقل نیست

2. طبقه پایین عنصر ماکزیمم ندارد اما طبقه بالا دارای حداقل است

3. طبقه پایین دارای حداکثر و طبقه بالا دارای حداقل عناصر است

4. هیچ عنصر حداکثر در طبقه پایین وجود ندارد و هیچ عنصر حداقل در کلاس بالا وجود ندارد

در حالت اول و دوم به ترتیب حداکثر عنصر پایین یا حداقل عنصر بالا این قسمت را تولید می کند. در مورد سوم داریم جهش، و در چهارم - فضا. بنابراین، پیوستگی خط اعداد به این معنی است که در مجموعه اعداد حقیقی هیچ پرش یا شکافی وجود ندارد، یعنی به طور مجازی هیچ خللی وجود ندارد.

اگر مفهوم یک بخش از مجموعه ای از اعداد حقیقی را معرفی کنیم، آنگاه اصل تداوم ددکیند را می توان به صورت زیر فرموله کرد.

اصل تداوم (کامل) ددکیند. برای هر بخش از مجموعه اعداد حقیقی، یک عدد وجود دارد که این بخش را ایجاد می کند.

اظهار نظر. فرمول بندی اصل تداوم در مورد وجود نقطه ای که دو مجموعه را از هم جدا می کند بسیار یادآور فرمول بندی اصل تداوم ددکیند است. در واقع، این گزاره ها معادل هستند و اساساً فرمول بندی های متفاوتی از یک چیز هستند. بنابراین هر دوی این گزاره ها نامیده می شوند اصل ددکیند در مورد تداوم اعداد حقیقی.

لم روی بخش های تو در تو (اصل کوشی-کانتور)[ویرایش | ویرایش متن ویکی]

مقاله اصلی:لم روی بخش های تو در تو

لم روی بخش های تو در تو (کوشی - کانتور). هر سیستمی از بخش های تو در تو

دارای یک تقاطع غیر خالی است، یعنی حداقل یک عدد وجود دارد که به تمام بخش های یک سیستم معین تعلق دارد.

علاوه بر این، اگر طول بخش‌های یک سیستم معین به صفر گرایش پیدا کند، یعنی

سپس تقاطع قطعات این سیستم از یک نقطه تشکیل شده است.

این خاصیت نامیده می شود تداوم مجموعه اعداد حقیقی به معنای کانتور. در زیر نشان خواهیم داد که برای فیلدهای مرتب شده ارشمیدسی، تداوم کانتور معادل تداوم ددکیند است.

اصل برتر[ویرایش | ویرایش متن ویکی]

اصل برتر. هر مجموعه غیرخالی از اعداد حقیقی که در بالا محدود شده‌اند دارای یک مقدار فوق‌العاده هستند.

در دروس حساب دیفرانسیل و انتگرال، این گزاره معمولاً یک قضیه است و اثبات آن اساساً از پیوستگی مجموعه اعداد حقیقی به شکلی استفاده می کند. در عین حال، برعکس، می‌توان وجود یک برتری را برای هر مجموعه غیر خالی که در بالا محصور شده است، فرض کرد و با تکیه بر آن، برای مثال، اصل تداوم از نظر ددکیند را اثبات کرد. بنابراین، قضیه فوق‌العاده یکی از صورت‌بندی‌های معادل خاصیت تداوم اعداد حقیقی است.

اظهار نظر. به جای supremum می توان از مفهوم دوگانه infimum استفاده کرد.

اصل infimum. هر مجموعه غیرخالی از اعداد حقیقی که از پایین محدود شده‌اند یک infimum دارند.

این پیشنهاد همچنین معادل اصل تداوم ددکیند است. علاوه بر این، می توان نشان داد که گزاره قضیه supremum مستقیماً از گزاره قضیه infimum پیروی می کند و بالعکس (به زیر مراجعه کنید).

لم پوشش محدود (اصل هاینه-بورل)[ویرایش | ویرایش متن ویکی]

مقاله اصلی:هاینه بورل لما

لم پوشش محدود (هاینه - بورل). در هر سیستمی از فواصل که یک بخش را پوشش می دهد، یک زیر سیستم محدود وجود دارد که این بخش را پوشش می دهد.

لم نقطه حدی (اصل بولزانو وایرشتراس)[ویرایش | ویرایش متن ویکی]

مقاله اصلی:قضیه بولزانو وایرشتراس

لم نقطه محدود (بولزانو - وایرشتراس). هر مجموعه تعداد محدود نامتناهی حداقل یک نقطه حد دارد.

معادل سازی جملات بیان کننده تداوم مجموعه اعداد حقیقی[ویرایش | ویرایش متن ویکی]

اجازه دهید چند نکته مقدماتی را بیان کنیم. با توجه به تعریف بدیهی اعداد حقیقی، مجموعه اعداد حقیقی سه گروه بدیهیات را برآورده می کند. دسته اول بدیهیات میدانی هستند. گروه دوم این واقعیت را بیان می کند که مجموعه اعداد حقیقی یک مجموعه مرتب خطی است و رابطه ترتیب با عملیات اصلی میدان سازگار است. بنابراین، دسته اول و دوم بدیهیات به این معنی است که مجموعه اعداد واقعی یک میدان مرتب را نشان می دهد. دسته سوم بدیهیات شامل یک اصل است - بدیهیات پیوستگی (یا کامل بودن).

برای نشان دادن هم ارزی فرمول های مختلف تداوم اعداد حقیقی، لازم است ثابت شود که اگر یکی از این گزاره ها برای یک فیلد مرتب صدق کند، آنگاه اعتبار همه گزاره های دیگر از این نتیجه می شود.

قضیه. اجازه دهید یک مجموعه سفارشی خطی دلخواه باشد. جملات زیر با هم برابرند:

1. هر مجموعه غیر خالی و به گونه ای که برای هر دو عنصر و نابرابری برقرار باشد، عنصری وجود دارد که برای همه و رابطه برقرار است

2. برای هر بخش یک عنصر وجود دارد که این بخش را تولید می کند

3. هر مجموعه غیرخالی که در بالا محدود شده است دارای یک امتیاز فوق العاده است

4. هر مجموعه غیر خالی که از پایین محدود شده است یک infimum دارد

همانطور که از این قضیه پیداست، این چهار جمله فقط از این واقعیت استفاده می کنند که رابطه ترتیب خطی معرفی شده است و از ساختار میدان استفاده نمی کنند. بنابراین، هر یک از آنها ویژگی بودن یک مجموعه منظم خطی را بیان می کند. این ویژگی (یک مجموعه منظم خطی دلخواه، نه الزاما مجموعه اعداد واقعی) نامیده می شود. به گفته ددکیند تداوم یا کامل بودن.

اثبات معادل بودن جملات دیگر نیاز به وجود ساختار میدانی دارد.

قضیه. اجازه دهید یک فیلد سفارشی دلخواه باشد. جملات زیر معادل هستند:

1. (به عنوان یک مجموعه منظم خطی) Dedekind کامل است

2. برای تحقق اصل ارشمیدسو اصل قطعات تو در تو

3. زیرا اصل هاینه بورل راضی است

4. اصل Bolzano-Weierstrass برآورده شده است

اظهار نظر. همانطور که از قضیه پیداست، اصل خود قطعات تودرتو است معادل نیستاصل تداوم ددکیند. از اصل تداوم ددکیند، اصل قطعات تو در تو دنبال می‌شود، اما برای عکس آن، لازم است که میدان مرتب شده، اصل ارشمیدس را برآورده کند.

اثبات قضایای فوق را می توان در کتاب های فهرست مرجع زیر یافت.

· کودریاوتسف، ال. دی.دوره تحلیل ریاضی. - ویرایش پنجم - M.: "Drofa", 2003. - T. 1. - 704 p. - شابک 5-7107-4119-1.

· فیختنگولتس، جی.ام.مبانی آنالیز ریاضی. - ویرایش هفتم - M.: "FIZMATLIT"، 2002. - T. 1. - 416 p. - شابک 5-9221-0196-X.

· ددکیند، آر.پیوستگی و اعداد غیر منطقی = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - ویرایش 4 ویرایش شده. - اودسا: ماتزیس، 1923. - 44 ص.

· زوریچ، وی.تجزیه و تحلیل ریاضی. قسمت اول - اد. چهارم، تصحیح - م.: "MCNMO"، 2002. - 657 ص. - شابک 5-94057-056-9.

· پیوستگی توابع و حوزه های عددی: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Cantor. - ویرایش سوم - نووسیبیرسک: ANT، 2005. - 64 ص.

4.5. بدیهیات تداوم

دو مجموعه غیر خالی اعداد حقیقی A و هر چه باشند

B ، که برای هر عنصر a ∈ A و b ∈ B نابرابری است

a ≤ b، یک عدد λ وجود دارد به طوری که برای همه a ∈ A، b ∈ B موارد زیر صادق است:

برابری a ≤ λ ≤ b.

خاصیت تداوم اعداد حقیقی به این معنی است که روی واقعی

هیچ "حفره" در خط رگ وجود ندارد، یعنی نقاطی که اعداد را نشان می دهند پر می شوند

کل محور واقعی

اجازه دهید فرمول دیگری از اصل تداوم ارائه دهیم. برای این کار معرفی می کنیم

تعریف 1.4.5. دو مجموعه A و B را بخش می نامیم

مجموعه ای از اعداد واقعی، اگر

1) مجموعه های A و B خالی نیستند.

2) اتحاد مجموعه های A و B مجموعه همه واقعی را تشکیل می دهد

شماره؛

3) هر عدد در مجموعه A کمتر از عددی در مجموعه B است.

یعنی هر مجموعه ای که یک بخش را تشکیل می دهد حداقل شامل یک بخش است

عنصر، این مجموعه ها حاوی عناصر مشترک نیستند و اگر a ∈ A و b ∈ B باشد، آنگاه

ما مجموعه A را طبقه پایین تر و مجموعه B را طبقه بالا می نامیم.

کلاس بخش بخش را با A B نشان می دهیم.

ساده ترین نمونه های بخش ها، بخش هایی هستند که در ادامه به دست می آیند

راه دمیدن بیایید مقداری α را بگیریم و قرار دهیم

A = (x x< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

بریده می شوند و اگر a ∈ A و b ∈ B، آنگاه a< b , поэтому множества A и B образуют

بخش. به طور مشابه، می توانید یک بخش را با مجموعه ها تشکیل دهید

A =(x x ≤ α ) , B =(x x > α ) .

ما چنین بخش هایی را بخش هایی می نامیم که با عدد α یا تولید می شوند

خواهیم گفت که عدد α این بخش را ایجاد می کند. این را می توان به صورت نوشتاری

بخش های تولید شده توسط هر عددی دو تا جالب دارند

خواص:

خاصیت 1. یا کلاس بالا شامل کوچکترین عدد و پایین تر است

کلاس بزرگترین عدد را ندارد یا کلاس پایین دارای بیشترین عدد است

در طبقه بالا چیزی کم نیست.

خاصیت 2. عددی که یک بخش معین را ایجاد می کند منحصر به فرد است.

به نظر می رسد که اصل تداوم فرموله شده در بالا معادل است

با بیانیه ای به نام اصل ددکیند سازگار است:

اصل ددکیند برای هر بخش یک عدد تولید می شود

این یک بخش است

اجازه دهید معادل بودن این عبارات را ثابت کنیم.

اجازه دهید اصل تداوم درست باشد، و مقداری se-

خواندن A B سپس، از آنجایی که کلاس های A و B شرایط را برآورده می کنند، فرمول

در بدیهیات بیان شده، یک عدد λ وجود دارد به طوری که a ≤ λ ≤ b برای هر عدد

a ∈ A و b ∈ B. اما عدد λ باید متعلق به یکی و تنها یکی از آنها باشد

کلاس های A یا B، بنابراین یکی از نابرابری های a ≤ λ برآورده می شود< b или

آ< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

یا کوچکترین در کلاس بالا و ایجاد بخش داده شده است.

برعکس، اجازه دهید اصل ددکیند راضی و دو غیر خالی باشد

A و B را طوری تنظیم می کند که برای همه a ∈ A و b ∈ B نابرابری باشد

a ≤ b. اجازه دهید مجموعه اعداد b را با B نشان دهیم به طوری که a ≤ b برای هر کدام

b ∈ B و همه a ∈ A. سپس B ⊂ B. برای مجموعه A مجموعه همه اعداد را می گیریم

روستاهایی که در ب.

اجازه دهید ثابت کنیم که مجموعه های A و B یک بخش را تشکیل می دهند.

در واقع، بدیهی است که مجموعه B خالی نیست، زیرا حاوی است

مجموعه غیر خالی B. مجموعه A نیز خالی نیست، زیرا اگر عدد a ∈ A باشد،

سپس عدد a - 1∉ B، زیرا هر عددی که در B گنجانده شده است باید حداقل باشد

اعداد a، بنابراین، a - 1∈ A.

مجموعه تمام اعداد واقعی، به دلیل انتخاب مجموعه ها.

و در نهایت، اگر a ∈ A و b ∈ B، آنگاه a ≤ b. در واقع، اگر وجود داشته باشد

عدد c نابرابری c > b را برآورده می کند، جایی که b ∈ B، سپس نادرست است.

برابری c > a (a یک عنصر دلخواه از مجموعه A است) و c∈ B.

بنابراین، A و B یک بخش را تشکیل می دهند و به موجب اصل ددکیند، یک عدد وجود دارد

lo λ این بخش را ایجاد می کند، یعنی بزرگ ترین در کلاس است

اجازه دهید ثابت کنیم که این عدد نمی تواند متعلق به کلاس A باشد. معتبر

اما اگر λ ∈ A باشد، یک عدد a* ∈ A وجود دارد که λ< a* . Тогда существует

عدد a بین اعداد λ و a* قرار دارد. از نابرابری a'< a* следует, что

a′ ∈ A، سپس از نابرابری λ< a′ следует, что λ не является наибольшим в

کلاس A که با اصل ددکیند در تضاد است. بنابراین عدد λ خواهد بود

کوچکترین در کلاس B است و برای همه a ∈ A و نابرابری برقرار است

a ≤ λ ≤ b، که باید ثابت شود.◄

بنابراین، خاصیت فرمول بندی شده در اصل و ویژگی

فرمول بندی شده در اصل ددکیند معادل هستند. در آینده اینها

ویژگی های مجموعه اعداد حقیقی را که تداوم می نامیم

به گفته ددکیند.

از پیوستگی مجموعه اعداد حقیقی بر اساس ددکیند به دست می آید

دو قضیه مهم

قضیه 1.4.3. (اصل ارشمیدس) عدد واقعی هر چه باشد

a، یک عدد طبیعی n وجود دارد به طوری که a< n .

فرض کنیم که بیان قضیه نادرست است، یعنی چنین چیزی وجود دارد

مقداری b0 به طوری که نابرابری n ≤ b0 برای همه اعداد طبیعی برقرار است

n بیایید مجموعه اعداد حقیقی را به دو کلاس تقسیم کنیم: به کلاس B که شامل می‌شویم

همه اعداد b که نابرابری n ≤ b را برای هر n طبیعی ارضا می کنند.

این کلاس خالی نیست زیرا حاوی عدد b0 است. ما همه چیز را در کلاس A قرار می دهیم

اعداد باقی مانده این کلاس نیز خالی نیست، زیرا هر عدد طبیعی است

شامل A. کلاس های A و B با هم تلاقی نمی کنند و اتحاد آنهاست

مجموعه تمام اعداد واقعی

اگر اعداد دلخواه a ∈ A و b ∈ B را بگیریم، یک عدد طبیعی وجود دارد

عدد n0 طوری که a< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A و B اصل ددکیند را برآورده می کنند و یک عدد α وجود دارد که

یک بخش A B ایجاد می کند، یعنی α یا بزرگترین در کلاس A است یا

یا کوچکترین در کلاس B. اگر فرض کنیم α در کلاس A است، پس

می توان یک عدد طبیعی n1 پیدا کرد که برای آن نابرابری α وجود دارد< n1 .

از آنجایی که n1 نیز در A گنجانده شده است، عدد α بزرگترین در این کلاس نخواهد بود.

بنابراین، فرض ما نادرست است و α کوچکترین در است

کلاس B.

از طرف دیگر، عدد α − 1 را که در کلاس A قرار دارد، بگیرید. اسلدووا-

بنابراین، یک عدد طبیعی n2 وجود دارد که α − 1 است< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

نتیجه می شود که α ∈ A. تضاد حاصل قضیه را اثبات می کند.◄

نتیجه. هر عدد a و b طوری باشد که 0 باشد< a < b , существует

یک عدد طبیعی n که برای آن نابرابری na > b برقرار است.

برای اثبات آن کافی است که اصل ارشمیدس را بر عدد اعمال کنیم

و از خاصیت نامساوی استفاده کنید.◄

نتیجه یک معنای هندسی ساده دارد: هر دو

بخش، اگر روی بزرگتر از آنها، از یکی از انتهای آن به طور متوالی

کوچکتر را قرار دهید، سپس در تعداد محدودی از مراحل می توانید فراتر بروید

بخش بزرگتر

مثال 1. ثابت کنید که برای هر عدد غیر منفی a وجود دارد

تنها عدد واقعی غیر منفی t به گونه ای که

t n = a، n ∈، n ≥ 2.

این قضیه در مورد وجود یک ریشه حسابی درجه n ام

از یک عدد غیر منفی در درس جبر مدرسه بدون اثبات پذیرفته می شود

اعمال

☺اگر a = 0، x = 0، پس اثبات وجود حساب

ریشه واقعی a فقط برای > 0 مورد نیاز است.

فرض کنید a > 0 باشد و مجموعه اعداد واقعی را تقسیم کنیم

برای دو کلاس در کلاس B، تمام اعداد مثبت x را که ارضا می‌کنند، لحاظ می‌کنیم

ایجاد نابرابری x n > a، در کلاس A، همه افراد دیگر.

بر اساس اصل موضوع ارشمیدس، اعداد طبیعی k و m وجود دارند که

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >a و 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

A حاوی اعداد مثبت است.

بدیهی است که A ∪ B = و اگر x1 ∈ A و x2 ∈ B، آنگاه x1< x2 .

بنابراین، کلاس های A و B یک مقطع را تشکیل می دهند. عددی که این را تشکیل می دهد

بخش، با t نشان داده شده است. سپس t یا بزرگترین عدد در کلاس است

ce A یا کوچکترین در کلاس B.

فرض کنید t ∈ A و t n< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

حاکمیت 0< h < 1 . Тогда

(t + h)n = t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n-1 + Cn t n-2 + ... + Cn + Cn t n) - hCn t n = t n + h (t + 1) - ht n =

T n + h (t + 1) - t n

سپس (t + h) را بدست می آوریم< a . Это означает,

از این رو، اگر h را در نظر بگیریم<

که t + h ∈ A، که با این واقعیت که t بزرگترین عنصر در کلاس A است در تضاد است.

به طور مشابه، اگر فرض کنیم که t کوچکترین عنصر کلاس B است،

سپس، عدد h را که نابرابری های 0 را برآورده می کند، بگیرید< h < 1 и h < ,

(t − h) = t n − Cnt n−1h + Cn t n−2 h 2 − ... + (−1) Cn h n >

> t n − Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h = t n − h (t + 1) − t n > a .

این بدان معنی است که t − h ∈ B و t نمی توانند کوچکترین عنصر باشند

کلاس B. بنابراین، t n = a.

منحصر به فرد بودن از این واقعیت ناشی می شود که اگر t1< t2 , то t1n < t2 .☻ n

مثال 2. ثابت کنید که اگر a< b , то всегда найдется рациональное число r

به گونه ای که الف< r < b .

☺اگر اعداد a و b گویا باشند عدد گویا و رضایت بخش است.

شرایط لازم را برآورده می کند. فرض کنید حداقل یکی از اعداد a یا b باشد

غیر منطقی، مثلاً فرض کنید که عدد b غیر منطقی است. احتمالا

ما همچنین فرض می کنیم که a ≥ 0، سپس b> 0. اجازه دهید نمایش اعداد a و b را به شکل بنویسیم

کسرهای اعشاری: a = α 0، α1α 2α 3 .... و b = β 0، β1β 2 β3...، که در آن کسر دوم نامتناهی است.

متناوب و غیر دوره ای در مورد نمایش عدد a، ما در نظر خواهیم گرفت

لازم به ذکر است که اگر عدد a گویا باشد، نماد آن یا متناهی است یا نه.

کسری تناوبی که دوره آن برابر با 9 نیست.

از آنجایی که b > a، سپس β 0 ≥ α 0. اگر β 0 = α 0، سپس β1 ≥ α1. اگر β1 = α1، آنگاه β 2 ≥ α 2

و غیره، و مقدار i وجود دارد که برای اولین بار در آن وجود خواهد داشت

نابرابری شدید βi > α i ارضا می شود. سپس عدد β 0، β1β 2 ...βi گویا خواهد بود

nal و بین اعداد a و b قرار خواهد گرفت.

اگر یک< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n، که در آن n یک عدد طبیعی است به طوری که n ≥ a. وجود چنین عددی

از بدیهیات ارشمیدس ناشی می شود. ☻

تعریف 1.4.6. اجازه دهید دنباله ای از قطعات خط اعداد داده شود

([ an ; bn ])، یک< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

از قطعات اگر برای هر n نابرابری های a ≤ an+1 و

برای چنین سیستمی، گنجاندن ساخته شده است

[a1; b1 ] ⊃ [ a2 ; b2 ] ⊃ [a3; b3 ] ⊃ ... ⊃ [ an ; bn ] ⊃ ...،

یعنی هر بخش بعدی در قسمت قبلی موجود است.

قضیه 1.4.4. برای هر سیستمی از بخش های تودرتو وجود دارد

حداقل یک نکته که در هر یک از این بخش ها گنجانده شده است.

بیایید دو مجموعه A = (an) و B = (bn) را در نظر بگیریم. آنها خالی نیستند و برای هیچ

n و m نابرابری an< bm . Докажем это.

اگر n ≥ m، آنگاه an< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

بنابراین، کلاس های A و B اصل تداوم را برآورده می کنند و

بنابراین، یک عدد λ وجود دارد به طوری که یک ≤ λ ≤ bn برای هر n، یعنی. این

عدد متعلق به هر بخش [ an ; bn ] .◄

در ادامه (قضیه 2.1.8) این قضیه را اصلاح خواهیم کرد.

گزاره فرموله شده در قضیه 1.4.4 اصل نامیده می شود

کانتور، و مجموعه ای که این شرط را برآورده کند، غیر نامیده می شود

ناپیوسته به گفته کانتور.

ما ثابت کرده‌ایم که اگر یک مجموعه مرتب شده Dede-continuous باشد

کیندو، سپس اصل ارشمیدس در آن محقق می شود و به قول کانتور پیوسته است.

می توان ثابت کرد که مجموعه ای منظم که در آن اصول رعایت شده است

نسخه‌های ارشمیدس و کانتور طبق گفته ددکیند پیوسته خواهند بود. اثبات

این واقعیت، به عنوان مثال، در.

اصل ارشمیدس به هر پاره خط اجازه می دهد تا غیر

که تنها عدد مثبتی است که شرایط را برآورده می کند:

1. بخش های مساوی با اعداد مساوی مطابقت دارند.

2. اگر نقطه B پاره AC و پاره های AB و BC با اعداد a و مطابقت داشته باشند.

b، سپس بخش AC با عدد a + b مطابقت دارد.

3. عدد 1 مربوط به بخش خاصی است.

تعداد مربوط به هر بخش و واجد شرایط 1-3 در

طول این قطعه نامیده می شود.

اصل کانتور به ما این امکان را می دهد که آن را برای هر مثبت ثابت کنیم

عدد، می توانید قطعه ای را پیدا کنید که طول آن برابر با این عدد است. بدین ترتیب،

بین مجموعه اعداد حقیقی مثبت و مجموعه قطعات

kov ها، که از یک نقطه معین در یک خط مستقیم در امتداد یک سمت معین رها می شوند

از این نقطه می توان یک مکاتبه یک به یک برقرار کرد.

این به ما امکان می دهد محور عددی را تعریف کنیم و مطابقت بین آنها را معرفی کنیم

من منتظر اعداد و نقاط واقعی در یک خط هستم. برای انجام این کار، بیایید مقداری مصرف کنیم

خط اول را انتخاب کنید و نقطه O را روی آن انتخاب کنید که این خط را به دو قسمت تقسیم می کند

پرتو. یکی از این پرتوها را مثبت و دومی را منفی می نامیم.

نام سپس خواهیم گفت که جهت را روی این خط مستقیم انتخاب کرده ایم.

تعریف 1.4.7. محور عددی را خط مستقیمی می نامیم که روی آن قرار دارد

الف) نقطه O که مبدا یا مبدا مختصات نامیده می شود.

ب) جهت؛

ج) قطعه ای از طول واحد.

حال برای هر عدد واقعی a یک نقطه M را با یک عدد مرتبط می کنیم

مستقیم زوزه بکش تا

الف) عدد 0 با مبدأ مختصات مطابقت دارد.

ب) OM = a - طول پاره از مبدا تا نقطه M برابر بود

شماره مدول؛

ج) اگر a مثبت باشد، نقطه روی پرتو مثبت گرفته می شود و اگر

اگر منفی است، پس منفی است.

این قانون یک مکاتبه یک به یک بین را برقرار می کند

مجموعه ای از اعداد واقعی و مجموعه ای از نقاط روی یک خط.

خط اعداد (محور) را نیز خط واقعی می نامیم

این همچنین بر معنای هندسی مدول یک عدد واقعی دلالت دارد.

la: مدول یک عدد برابر است با فاصله مبدا تا نقطه نشان داده شده

با فشار دادن این عدد روی خط شماره

حال می‌توانیم برای خواص 6 و 7 یک تفسیر هندسی ارائه کنیم

مدول یک عدد واقعی برای C مثبت عدد x راضی می کنم

رضایت بخش 6، بازه (-C, C) را پر کنید و اعداد x راضی کننده هستند

ویژگی 7، روی پرتوهای (-∞،C) یا (C، +∞) قرار دارد.

اجازه دهید به یک ویژگی هندسی قابل توجه دیگر مدول ماده توجه کنیم:

عدد واقعی

مدول اختلاف بین دو عدد برابر است با فاصله بین نقاط، مربوط به

مربوط به این اعداد در محور واقعی است.

مجموعه های عددی استاندارد.

مجموعه اعداد طبیعی؛

مجموعه اعداد صحیح؛

مجموعه اعداد گویا؛

مجموعه اعداد واقعی؛

مجموعه ای از اعداد صحیح، گویا و واقعی

اعداد غیر منفی واقعی؛

مجموعه اعداد مختلط

علاوه بر این، مجموعه اعداد واقعی به صورت (-∞، +∞) نشان داده می شود.

زیر مجموعه های این مجموعه:

(a, b) = ( x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;

[ a, b] = ( x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) - بخش;

(a, b] = ( x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

ly یا نیم بخش؛

(a، +∞) = ( x | x ∈ R، a< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[a، +∞) = (x | x ∈ R، a ≤ x) یا (-∞، b] = (x | x ∈ R، x ≤ b) - پرتوهای بسته.

سرانجام، گاهی اوقات ما به شکاف هایی نیاز خواهیم داشت که در آنها اهمیتی نمی دهیم

آیا انتهای آن متعلق به این فاصله است یا خیر. چنین دوره ای خواهیم داشت

نشان دادن a، b.

§ 5 مرز مجموعه های عددی

تعریف 1.5.1. مجموعه عددی X را محدود می نامند

از بالا، اگر یک عدد M وجود داشته باشد به طوری که x ≤ M برای هر عنصر x از

مجموعه X

تعریف 1.5.2. مجموعه عددی X را محدود می نامند

در زیر، اگر عدد m وجود داشته باشد به طوری که x ≥ m برای هر عنصر x از

مجموعه X

تعریف 1.5.3. مجموعه عددی X را محدود می نامند.

اگر از بالا و پایین محدود باشد.

در نماد نمادین، این تعاریف به صورت زیر است:

یک مجموعه X از بالا محدود می شود اگر ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M،

اگر ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m و

محدود است اگر ∃m، M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .

قضیه 1.5.1. یک مجموعه عددی X محدود است اگر و فقط اگر

هنگامی که یک عدد C وجود دارد به طوری که برای تمام عناصر x از این مجموعه

نابرابری x ≤ C برقرار است.

اجازه دهید مجموعه X محدود شود. بیایید C = max (m، M) - بیشتر را قرار دهیم

بزرگتر از اعداد m و M. سپس با استفاده از خواص ماژول reals

اعداد، نابرابری های x ≤ M ≤ M ≤ C و x ≥ m ≥ − m ≥ −C را به دست می آوریم، که از آنها پیروی می کند.

درست است که x ≤ C.

برعکس، اگر نابرابری x ≤ C برآورده شود، آنگاه -C ≤ x ≤ C. این سه

انتظار می رود اگر M = C و m = -C .◄ قرار دهیم

عدد M که مجموعه X را از بالا محدود می کند، عدد بالایی نامیده می شود

مرز مجموعه اگر M کران بالایی یک مجموعه X باشد، هر کدام

عدد M که بزرگتر از M باشد نیز کران بالایی این مجموعه خواهد بود.

بنابراین، می توانیم در مورد مجموعه کران های بالایی مجموعه صحبت کنیم

ایکس. اجازه دهید مجموعه کران بالایی را با M نشان دهیم. سپس ∀x ∈ X و ∀M ∈ M

نابرابری x ≤ M برآورده خواهد شد، بنابراین، با توجه به اصل موضوع، به طور پیوسته

یک عدد M 0 وجود دارد که x ≤ M 0 ≤ M . این عدد دقیق نامیده می شود

بدون کران بالای یک مجموعه عددی X یا کران بالای آن

مجموعه یا برتری یک مجموعه X و با M 0 = sup X نشان داده می شود.

بنابراین، ما ثابت کردیم که هر عدد غیر خالی مجموعه،

محدود بالا همیشه یک کران بالایی دارد.

بدیهی است که برابری M 0 = sup X معادل دو شرط است:

1) ∀x ∈ X نابرابری x ≤ M 0 برقرار است، یعنی. M 0 - حد بالایی تعدد

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X به طوری که نابرابری xε > M 0 − ε برقرار است، یعنی. این بازی

قیمت قابل بهبود (کاهش) نیست.

مثال 1. مجموعه X = ⎨1 − ⎬ را در نظر بگیرید. اجازه دهید ثابت کنیم که sup X = 1.

☺در واقع، اولاً، نابرابری 1 -< 1 выполняется для любого

n ∈ ; ثانیاً، اگر یک عدد مثبت دلخواه ε بگیریم، توسط

با استفاده از اصل ارشمیدس، می توان یک عدد طبیعی nε را پیدا کرد به طوری که nε > . که-

که در آن نابرابری 1 - > 1 - ε برآورده می شود، یعنی. عنصر پیدا شده xnε چند-

از X، بزرگتر از 1-ε، که به این معنی است که 1 حداقل کران بالایی است

به طور مشابه، می توان ثابت کرد که اگر مجموعه ای در زیر محدود شده باشد، پس

دارای یک کران پایینی دقیق است که به آن کران پایین نیز می گویند

جدید یا infimum از مجموعه X و با inf X نشان داده می شود.

برابری m0 = inf X معادل شرایط زیر است:

1) ∀x ∈ X نابرابری x ≥ m0 برقرار است.

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X به طوری که نابرابری xε برقرار است< m0 + ε .

اگر یک مجموعه X بزرگترین عنصر x0 را داشته باشد، آن را صدا می کنیم

حداکثر عنصر مجموعه X و x0 = max X را نشان می دهد. سپس

sup X = x0 . به طور مشابه، اگر کوچکترین عنصر در یک مجموعه وجود داشته باشد، پس

ما آن را حداقل می نامیم، نشان دهنده min X و یک in- خواهد بود

مقدار از مجموعه X.

به عنوان مثال، مجموعه اعداد طبیعی دارای کوچکترین عنصر هستند -

واحد، که همچنین infimum مجموعه است. برتر

این مجموعه هیچ موما ندارد، زیرا از بالا محدود نشده است.

تعاریف مرزهای بالایی و پایینی دقیق را می توان به آن تعمیم داد

مجموعه‌هایی که در بالا یا پایین محدود نیستند، با فرض sup X = +∞ یا به ترتیب،

بر این اساس، inf X = −∞.

در نتیجه، چندین ویژگی مرزهای بالا و پایین را فرموله می کنیم.

خاصیت 1. X را یک مجموعه عددی فرض کنید. اجازه دهید با نشان دادن

− X مجموعه (− x | x ∈ X ) . سپس sup (− X) = − inf X و inf (− X) = − sup X.

خاصیت 2. فرض کنید X یک مجموعه عددی λ واقعی باشد

عدد. اجازه دهید مجموعه (λ x | x ∈ X) را با λ X نشان دهیم. سپس اگر λ ≥ 0 باشد، آنگاه

sup (λ X) = λ sup X , inf (λ X) = λ inf X و اگر λ< 0, то

sup (λ X) = λ inf X , inf (λ X) = λ sup X .

ویژگی 3. اجازه دهید X1 و X2 مجموعه اعداد باشند. اجازه دهید با نشان دادن

X1 + X 2 مجموعه ( x1 + x2 | x1 ∈ X 1، x2 ∈ X 2 ) و از طریق X1 - X 2 مجموعه است

( x1 − x2 | x1 ∈ X1، x2 ∈ x 2) . سپس sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2،

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2 ، sup (X 1 - X 2) = sup X 1 - inf X 2 و

inf (X1 - X 2) = inf X1 - sup X 2.

ویژگی 4. اجازه دهید X1 و X2 مجموعه های عددی باشند که همه عناصر آن

ryh غیر منفی هستند. سپس

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2 , inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2 .

اجازه دهید برای مثال، تساوی اول را در Property 3 ثابت کنیم.

اجازه دهید x1 ∈ X1، x2 ∈ X 2 و x = x1 + x2. سپس x1 ≤ sup X1، x2 ≤ sup X 2 و

x ≤ sup X1 + sup X 2، از آنجا sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2.

برای اثبات نابرابری مخالف عدد را بگیرید

y< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

که x1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

y< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = +x1 x2 ∈ X1+ X2 که از عدد y و بزرگتر است

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

اثبات خواص باقی مانده به همین ترتیب انجام می شود و ارائه می شود

برای خواننده آشکار می شود.

§ 6 مجموعه های قابل شمارش و غیرقابل شمارش

تعریف 1.6.1. مجموعه n عدد طبیعی اول را در نظر بگیرید

n = (1،2،...، n) و مقداری مجموعه A. اگر امکان برقراری متقابل وجود دارد

مطابقت یک به یک بین A و n، سپس مجموعه A فراخوانی می شود

نهایی

تعریف 1.6.2. بگذارید مقداری از مجموعه A داده شود. اگر ممکن است

یک تناظر یک به یک بین مجموعه A و ایجاد کنید

مجموعه ای از اعداد طبیعی، سپس مجموعه A نامیده می شود

تعریف 1.6.3. اگر مجموعه A متناهی یا قابل شمارش باشد، این کار را خواهیم کرد

باور کنید که بیش از قابل شمارش نیست.

بنابراین، اگر بتوان عناصر آن را شمارش کرد، یک مجموعه قابل شمارش خواهد بود

در یک دنباله قرار دهید

مثال 1. مجموعه اعداد زوج قابل شمارش است، زیرا نقشه برداری n ↔ 2n

مطابقت یک به یک بین مجموعه طبیعی است

اعداد و بسیاری از اعداد زوج

بدیهی است که چنین مکاتباتی نه تنها در

زوم به عنوان مثال، می توانید یک تناظر بین مجموعه و چند

gestion (اعداد صحیح)، ایجاد مکاتبات به این طریق

روش بدیهی در ریاضیات.

مفاهیم اساسی و روابط نظریه بدیهی سری طبیعی. تعریف عدد طبیعی

جمع اعداد طبیعی

ضرب اعداد طبیعی

ویژگی های مجموعه اعداد طبیعی

تفریق و تقسیم اعداد طبیعی.

روش بدیهی در ریاضیات

در ساخت بدیهی هر نظریه ریاضی، قوانین زیر رعایت می شود: قوانین خاص:

1. برخی از مفاهیم نظریه به عنوان انتخاب شده است اصلیو بدون تعریف پذیرفته می شوند.

2. فرموله می شوند بدیهیاتکه در این نظریه بدون دلیل پذیرفته شده اند، ویژگی های مفاهیم اساسی را آشکار می کنند.

3. هر مفهومی از نظریه که در فهرست پایه‌ها وجود ندارد، آورده شده است تعریف، معنای آن را با کمک مفاهیم اصلی و قبل توضیح می دهد.

4. هر گزاره از یک نظریه که در فهرست بدیهیات موجود نیست باید اثبات شود. چنین پیشنهاداتی نامیده می شود قضایاو آنها را بر اساس بدیهیات و قضایای قبل از موضوع مورد بررسی ثابت کنید.

سیستم بدیهیات باید به صورت زیر باشد:

الف) سازگار:ما باید مطمئن باشیم که با استخراج تمام نتایج ممکن از یک سیستم معین بدیهیات، هرگز به تناقضی نخواهیم رسید.

ب) مستقل: هیچ بدیهی نباید نتیجه سایر بدیهیات این سیستم باشد.

V) پر شده، اگر در چارچوب آن همیشه بتوان یک گزاره داده شده یا نفی آن را اثبات کرد.

اولین تجربه ساخت نظریه بدیهی را می توان ارائه هندسه توسط اقلیدس در «عناصر» (قرن سوم پیش از میلاد) دانست. سهم قابل توجهی در توسعه روش اصولی ساخت هندسه و جبر توسط N.I. لوباچفسکی و ای. گالوا. در پایان قرن نوزدهم. ریاضیدان ایتالیایی پیانو سیستمی از بدیهیات را برای حساب ایجاد کرد.

مفاهیم اساسی و روابط نظریه بدیهی اعداد طبیعی. تعریف عدد طبیعی

به عنوان یک مفهوم اساسی (تعریف نشده) در یک مجموعه خاص ن انتخاب شده است نگرش ، و همچنین از مفاهیم نظری مجموعه ها و همچنین قواعد منطق استفاده می کند.

عنصر بلافاصله پس از عنصر آ،مشخص کن آ".

رابطه "مستقیم دنبال کردن" بدیهیات زیر را برآورده می کند:

بدیهیات پیانو:

اصل 1. در فراوانی ن یک عنصر به طور مستقیم وجود دارد بعدی نیستبرای هیچ عنصری از این مجموعه نیست. بیا بهش زنگ بزنیم واحدو با علامت مشخص می شود 1 .

اصل 2. برای هر عنصر آ از جانب ن فقط یک عنصر وجود دارد آ" ، بلافاصله پس از آ .

اصل 3. برای هر عنصر آ از جانب نحداکثر یک عنصر وجود دارد که بلافاصله پس از آن وجود دارد آ .

اصل 4.هر زیر مجموعه م مجموعه ها ن مصادف است با ن در صورتی که دارای خواص زیر باشد: 1) 1 موجود در م ; 2) از آنجا که آ موجود در م , نتیجه می شود که آ" موجود در م.

تعریف 1. یک دسته از ن ، که برای عناصر آن رابطه برقرار می شود "مستقیم دنبال کنید"، ارضای بدیهیات 1-4، نامیده می شود مجموعه اعداد طبیعی، و عناصر آن هستند اعداد طبیعی.

این تعریف چیزی در مورد ماهیت عناصر مجموعه نمی گوید ن . بنابراین می تواند هر چیزی باشد. انتخاب به عنوان مجموعه ن برخی از مجموعه های خاص که در آن یک رابطه خاص "مستقیماً دنبال می شود" داده شده است، که بدیهیات 1-4 را برآورده می کند. مدل این سیستم اصل.

مدل استاندارد سیستم بدیهی Peano مجموعه ای از اعداد است که در روند توسعه تاریخی جامعه به وجود آمده است: 1،2،3،4،... سری طبیعی با عدد 1 شروع می شود (اصول 1). هر عدد طبیعی بلافاصله با یک عدد طبیعی منفرد دنبال می شود (اصل 2). هر عدد طبیعی بلافاصله حداکثر از یک عدد طبیعی پیروی می کند (اصول 3). با شروع از عدد 1 و حرکت به سمت اعداد طبیعی بلافاصله پس از یکدیگر، کل مجموعه این اعداد را به دست می آوریم (اصول 4).

بنابراین، ساخت بدیهی یک سیستم اعداد طبیعی را با انتخاب پایه آغاز کردیم رابطه "مستقیم دنبال کنید".و بدیهیاتی که خواص آن را توصیف می کند. ساخت بیشتر این نظریه شامل در نظر گرفتن خواص شناخته شده اعداد طبیعی و عملیات روی آنها است. آنها باید در تعاریف و قضایا آشکار شوند، یعنی. کاملاً منطقی از رابطه "مستقیم دنبال کردن" و بدیهیات 1-4 مشتق شده اند.

اولین مفهومی که پس از تعریف عدد طبیعی معرفی خواهیم کرد این است نگرش "بلافاصله قبل از" , که اغلب هنگام در نظر گرفتن خواص سری طبیعی استفاده می شود.

تعریف 2.اگر یک عدد طبیعی است ب مستقیماً دنبال می کندعدد طبیعی آ, آن عدد آ تماس گرفت بلافاصله قبل از(یا قبلی) شماره ب .

رابطه «قبلی» دارد تعدادی از خواص.

قضیه 1. واحد هیچ عدد طبیعی قبلی ندارد.

قضیه 2. هر عدد طبیعی آ، به غیر از 1، یک عدد قبلی دارد ببه طوری که ب"= آ.

ساختار بدیهی نظریه اعداد طبیعی نه در مدارس ابتدایی و نه در دبیرستان مورد توجه قرار نمی گیرد. با این حال، آن خصوصیات رابطه "مستقیماً دنبال می شود" که در بدیهیات Peano منعکس شده است، موضوع مطالعه در دوره اولیه ریاضیات است. قبلاً در کلاس اول، با در نظر گرفتن اعداد ده اول، مشخص می شود که چگونه می توان هر عدد را به دست آورد. از مفاهیم "پیش می آید" و "قبلی" استفاده می شود. هر عدد جدید به عنوان ادامه بخش مورد مطالعه از سری طبیعی اعداد عمل می کند. دانش‌آموزان متقاعد شده‌اند که هر عدد با عدد بعدی دنبال می‌شود، و علاوه بر این، فقط یک چیز این است که سری طبیعی اعداد نامحدود است.

جمع اعداد طبیعی

با توجه به قوانین ساخت یک نظریه بدیهی، تعریف جمع اعداد طبیعی باید تنها با استفاده از رابطه معرفی شود. "مستقیم دنبال کنید"، و مفاهیم "عدد طبیعی"و "شماره قبل".

اجازه دهید تعریف جمع را با ملاحظات زیر مقدمه کنیم. اگر به هر عدد طبیعی آ 1 را اضافه کنید، عدد را دریافت می کنیم آ"،بلافاصله پس از آ، یعنی آ+ 1= a"و بنابراین، قانون جمع کردن 1 به هر عدد طبیعی را دریافت می کنیم. اما چگونه می توان به یک عدد اضافه کرد آعدد طبیعی بمتفاوت از 1؟ بیایید از واقعیت زیر استفاده کنیم: اگر می دانیم که 2 + 3 = 5، پس مجموع 2 + 4 = 6 است که بلافاصله بعد از عدد 5 می آید. عدد 3. بنابراین، 2 + 4 = 2 + 3 " =(2+3)". به طور کلی داریم , .

این حقایق مبنای تعریف جمع اعداد طبیعی در نظریه بدیهیات را تشکیل می دهند.

تعریف 3. جمع کردن اعداد طبیعییک عملیات جبری است که دارای ویژگی های زیر است:

عدد a + b تماس گرفت مجموع اعداد آو ب , و خود اعداد آو ب - مقررات.

سیستم عدد صحیح

به یاد داشته باشید که سری طبیعی برای فهرست کردن اشیاء ظاهر شد. اما اگر بخواهیم برخی از اعمال را با اشیا انجام دهیم، به عملیات حسابی روی اعداد نیاز خواهیم داشت. یعنی اگر بخواهیم سیب ها را روی هم بچینیم یا کیک را تقسیم کنیم، باید این اعمال را به زبان اعداد ترجمه کنیم.

لطفا توجه داشته باشید که برای معرفی عملیات + و * به زبان اعداد طبیعی، لازم است بدیهیاتی را اضافه کنید که ویژگی های این عملیات را مشخص می کند. اما پس از آن مجموعه اعداد طبیعی خود نیز هستند در حال گسترش.

بیایید ببینیم که چگونه مجموعه اعداد طبیعی منبسط می شود. ساده ترین عملیات، که یکی از اولین موارد مورد نیاز بود، افزودن است. اگر بخواهیم عمل جمع را تعریف کنیم، باید معکوس - تفریق آن را تعریف کنیم. در واقع، اگر بدانیم نتیجه جمع مثلاً 5 و 2 چه خواهد شد، باید بتوانیم مسائلی مانند: چه چیزی را به 4 اضافه کنیم تا 11 حاصل شود. یعنی مسائل مربوط به جمع قطعاً حل خواهد شد. نیاز به توانایی انجام عمل معکوس - تفریق. اما اگر با جمع اعداد طبیعی دوباره یک عدد طبیعی بدست آید، پس از تفریق اعداد طبیعی نتیجه ای حاصل می شود که در N نمی گنجد. اعداد دیگری لازم بود. با قیاس با تفریق قابل درک یک عدد کوچکتر از یک عدد بزرگتر، قانون تفریق عدد بزرگتر از عدد کوچکتر معرفی شد - اینگونه است که اعداد صحیح منفی ظاهر می شوند.

با تکمیل سری طبیعی با عملیات + و - به مجموعه اعداد صحیح می رسیم.

Z=N+عملیات(+-)

سیستم اعداد گویا به عنوان یک زبان حسابی

بیایید اکنون پیچیده ترین عمل بعدی را در نظر بگیریم - ضرب. در اصل، این اضافه مکرر است. و حاصل ضرب اعداد صحیح یک عدد صحیح باقی می ماند.

اما عمل معکوس ضرب، تقسیم است. اما همیشه بهترین نتیجه را نمی دهد. و دوباره با یک دوراهی روبرو هستیم - یا قبول کنیم که نتیجه تقسیم ممکن است "وجود نداشته باشد" یا به اعدادی از نوع جدیدی برسیم. اینگونه بود که اعداد گویا ظاهر شدند.

بیایید سیستمی از اعداد صحیح را در نظر بگیریم و آن را با بدیهیاتی تکمیل کنیم که عملیات ضرب و تقسیم را تعریف می کنند. ما سیستمی از اعداد گویا را بدست می آوریم.

Q=Z+عملیات(*/)

بنابراین، زبان اعداد گویا به ما امکان تولید را می دهد تمام عملیات های حسابیبیش از اعداد زبان اعداد طبیعی برای این کار کافی نبود.

اجازه دهید یک تعریف بدیهی از سیستم اعداد گویا ارائه دهیم.

تعریف. مجموعه Q را مجموعه ای از اعداد گویا و عناصر آن را اعداد گویا می نامند، در صورتی که مجموعه شرایط زیر، که اصل اعداد گویا نامیده می شود، برآورده شود:

بدیهیات عملیات جمع. برای هر جفت سفارش داده شده x، yعناصر از سبرخی از عناصر تعریف شده است x+y OQ، جمع نامیده می شود ایکسو در. در این صورت شرایط زیر رعایت می شود:

1. (وجود صفر) یک عنصر 0 (صفر) وجود دارد که برای هر ایکسÎQ

ایکس+0=0+ایکس=ایکس.

2. برای هر عنصر ایکسО Q یک عنصر وجود دارد - ایکسО Q (مقابل ایکس) به طوری که

ایکس+ (-ایکس) = (-ایکس) + ایکس = 0.

3. (Cututativity) برای هر x، yО Q

4. (Associativity) برای هر x,y,zO Q

x + (y + z) = (x + y) + z

بدیهیات عملیات ضرب.

برای هر جفت سفارش داده شده x، yعناصر از Q برخی از عناصر تعریف شده است xyО Q، محصول نامیده می شود ایکسو تودر این صورت شرایط زیر رعایت می شود:

5. (وجود عنصر واحد) عنصر 1 О Q وجود دارد به طوری که برای هر ایکسО Q

ایکس . 1 = 1. x = x

6. برای هر عنصر ایکسО Q, ( ایکس≠ 0) یک عنصر معکوس وجود دارد ایکس-1 ≠0 طوری که

ایکس. x -1 = x -1. x = 1

7. (Asociativity) برای هر x، y، zО Q

ایکس . (y . z) = (x . y) . z

8. (Cututativity) برای هر x، yО Q

اصل ارتباط بین جمع و ضرب.

9. (توزیع) برای هر x، y، zО Q

(x+y) . z = x . z+y . z

بدیهیات نظم.

هر دو عنصر x، y،О Q وارد یک رابطه مقایسه ≤ شوید. در این صورت شرایط زیر رعایت می شود:

10. (ایکس≤در) L ( در≤ایکس) ó x=y

11. (ایکس≤y) L ( y≤ z) => ایکس≤z

12. برای هر کسی x، yО Q یا x< у, либо у < x .

نگرش< называется строгим неравенством,

رابطه = برابری عناصر از Q نامیده می شود.

اصل ارتباط بین جمع و ترتیب.

13. برای هر x، y، z ОQ، (x £ y) Þ x+z £ y+z

اصل ارتباط بین ضرب و ترتیب.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

اصل موضوع تداوم ارشمیدس.

15. برای هر a > b > 0، m О N و n О Q وجود دارد به طوری که m³ 1، n< b и a= mb+n.

*****************************************

بنابراین، سیستم اعداد گویا زبان حساب است.

با این حال، این زبان برای حل مسائل محاسباتی عملی کافی نیست.

هنگام ساختن اصولی هر نظریه ریاضی، مشخص است قوانین:

· برخی از مفاهیم نظریه به عنوان پایه انتخاب شده و بدون تعریف پذیرفته شده است.

· هر مفهومی از نظریه که در فهرست مفاهیم اساسی موجود نیست، یک تعریف داده می شود.

· بدیهیات فرمول بندی می شوند - گزاره هایی که در یک نظریه معین بدون اثبات پذیرفته می شوند. آنها ویژگی های مفاهیم اساسی را آشکار می کنند.

هر گزاره از نظریه که در فهرست بدیهیات موجود نیست باید اثبات شود. این گونه قضایا را قضایا می نامند و بر اساس بدیهیات و قضایا اثبات می شوند.

در ساخت بدیهی یک نظریه، همه گزاره ها از بدیهیات از طریق اثبات مشتق می شوند.

بنابراین، الزامات خاصی برای سیستم بدیهیات اعمال می شود. الزامات:

· سازگاری (نظام بدیهیات را اگر نتوان به طور منطقی از آن استنتاج کرد که دو گزاره متقابلاً مجزا از یکدیگر استنتاج شوند، سازگار نامیده می شود).

· استقلال (نظام بدیهیات را مستقل می نامند اگر هیچ یک از بدیهیات این سیستم نتیجه بدیهیات دیگر نباشد).

مجموعه ای با یک رابطه مشخص شده در آن، مدل یک سیستم بدیهی معین نامیده می شود که تمام بدیهیات سیستم داده شده در آن برآورده شود.

راه های زیادی برای ساختن یک سیستم بدیهیات برای مجموعه ای از اعداد طبیعی وجود دارد. به عنوان مثال، مجموع اعداد یا یک رابطه ترتیبی را می توان به عنوان یک مفهوم اساسی در نظر گرفت. در هر صورت، شما باید سیستمی از بدیهیات را تعریف کنید که ویژگی های مفاهیم اساسی را توصیف کند.

اجازه دهید سیستمی از بدیهیات ارائه دهیم که مفهوم اصلی عمل جمع را می پذیرد.

مجموعه غیر خالی ناگر عملیات در آن تعریف شده باشد، آن را مجموعه ای از اعداد طبیعی می نامیم (آ؛ ب) → a + b، جمع نامیده می شود و دارای ویژگی های زیر است:

1. جمع جابجایی است، یعنی. a + b = b + a.

2. اضافه تداعی است، یعنی. (a + b) + c = a + (b + c).

4. در هر مجموعه آ، که زیرمجموعه ای از مجموعه است ن، جایی که آیک عدد وجود دارد و چنین است که همه چیز وجود دارد ها، برابر هستند a+b، جایی که bN.

اصول 1 تا 4 برای ساختن کل حساب اعداد طبیعی کافی است. اما با چنین ساختاری دیگر نمی توان به ویژگی های مجموعه های محدودی که در این بدیهیات منعکس نشده اند تکیه کرد.

اجازه دهید به عنوان مفهوم اساسی رابطه "مستقیم دنبال کردن..." را که در یک مجموعه غیر خالی تعریف شده است، در نظر بگیریم ن. سپس سری طبیعی اعداد مجموعه N خواهد بود که در آن رابطه "بلافاصله دنبال می شود" تعریف می شود و تمام عناصر N اعداد طبیعی نامیده می شوند و موارد زیر برقرار است: بدیهیات پیانو:

AXIOM 1.

در فراوانینعنصری وجود دارد که بلافاصله هیچ عنصری از این مجموعه را دنبال نمی کند. آن را وحدت می نامیم و با علامت 1 نشان می دهیم.

AXIOM 2.

برای هر عنصر a ازنیک عنصر منفرد بلافاصله پس از a وجود دارد.

AXIOM 3.

برای هر عنصر a ازنحداکثر یک عنصر بلافاصله بعد از a وجود دارد.

AXOIMA 4.

هر زیر مجموعه M از مجموعهنمصادف است بان، اگر دارای ویژگی های زیر باشد: 1) 1 در M موجود است. 2) از این که a در M موجود است، نتیجه می شود که a نیز در M موجود است.

یک دسته از N،برای عناصری که رابطه "مستقیماً دنبال می شود..." برقرار است، ارضای بدیهیات 1 - 4 نامیده می شود. مجموعه اعداد طبیعی ، و عناصر آن هستند اعداد طبیعی.

اگر به عنوان یک مجموعه نمجموعه خاصی را انتخاب کنید که در آن یک رابطه خاص "مستقیماً دنبال می شود ..." داده می شود، که بدیهیات 1 - 4 را برآورده می کند، سپس متفاوت می شویم تفاسیر (مدل ها) داده شده سیستم های بدیهی

مدل استاندارد سیستم بدیهیات Peano مجموعه ای از اعداد است که در روند توسعه تاریخی جامعه پدید آمده است: 1، 2، 3، 4، 5، ...

مدل بدیهیات Peano می تواند هر مجموعه قابل شمارش باشد.

به عنوان مثال، I، II، III، III، ...

اوه اوه اوه اوه ...

یک دو سه چهار، …

بیایید دنباله ای از مجموعه ها را در نظر بگیریم که در آن مجموعه (oo) عنصر اولیه است و هر مجموعه بعدی با افزودن یک دایره دیگر از مجموعه قبلی به دست می آید (شکل 15).

سپس نمجموعه ای متشکل از مجموعه هایی از شکل توصیف شده وجود دارد و مدلی از سیستم بدیهیات Peano است.

در واقع، در بسیاری از نیک عنصر (oo) وجود دارد که بلافاصله از هیچ عنصری از مجموعه داده شده پیروی نمی کند. اصل 1 راضی است. برای هر مجموعه آاز جمعیت مورد نظر یک مجموعه واحد وجود دارد که از آن به دست می آید آبا افزودن یک دایره، یعنی. اصل 2 برقرار است. برای هر مجموعه آحداکثر یک مجموعه وجود دارد که از آن یک مجموعه تشکیل می شود آبا افزودن یک دایره، یعنی. اصل 3 برقرار است منو معلوم است که بسیاری آموجود در م،نتیجه می شود که مجموعه ای که در آن یک دایره بیشتر از مجموعه وجود دارد آ، همچنین موجود در م، آن M =ن، و بنابراین اصل 4 برآورده می شود.

در تعریف اعداد طبیعی، هیچ یک از بدیهیات را نمی توان حذف کرد.

اجازه دهید مشخص کنیم کدام یک از مجموعه های نشان داده شده در شکل. 16 مدلی از بدیهیات Peano هستند.

1 a b d a ز) شکل 16

راه حل.شکل 16 الف) مجموعه ای را نشان می دهد که در آن بدیهیات 2 و 3 برآورده می شوند.در واقع، برای هر عنصر یک عنصر منحصر به فرد بلافاصله پس از آن وجود دارد و یک عنصر منحصر به فرد وجود دارد که از آن پیروی می کند. اما در این مجموعه، اصل 1 ارضا نمی شود (اصول 4 معنی ندارد، زیرا هیچ عنصری در مجموعه وجود ندارد که بلافاصله پس از دیگری نباشد). بنابراین، این مجموعه مدلی از بدیهیات Peano نیست.

شکل 16 ب) مجموعه ای را نشان می دهد که در آن بدیهیات 1، 3 و 4 برآورده شده اند، اما در پشت عنصر آدو عنصر بلافاصله دنبال می‌شوند و نه یکی، همانطور که در اصل 2 لازم است. بنابراین، این مجموعه مدلی از بدیهیات Peano نیست.

در شکل 16 ج) مجموعه ای را نشان می دهد که در آن بدیهیات 1، 2، 4 برآورده می شوند، اما عنصر بابلافاصله دو عنصر را بلافاصله دنبال می کند. بنابراین، این مجموعه مدلی از بدیهیات Peano نیست.

در شکل 16 د) مجموعه ای را نشان می دهد که اصول 2 و 3 را برآورده می کند و اگر عدد 5 را به عنوان عنصر اولیه در نظر بگیریم، این مجموعه بدیهیات 1 و 4 را برآورده می کند. یعنی در این مجموعه برای هر عنصر بلافاصله یک عنصر منحصر به فرد وجود دارد. به دنبال آن، و یک عنصر واحد وجود دارد که از آن پیروی می کند. همچنین یک عنصر وجود دارد که بلافاصله هیچ عنصری از این مجموعه را دنبال نمی کند، این 5 است , آن ها Axiom 1 راضی است بر این اساس Axiom 4 نیز برآورده خواهد شد بنابراین این مجموعه مدلی از بدیهیات Peano است.

با استفاده از بدیهیات Peano می توانیم تعدادی گزاره را ثابت کنیم مثلا ثابت می کنیم که برای همه اعداد طبیعی نابرابری وجود دارد. x x.

اثباتاجازه دهید با نشان دادن آمجموعه اعداد طبیعی که برای آن aعدد 1 متعلق است آ، زیرا از هیچ عددی پیروی نمی کند نیعنی خود به خود دنبال نمی شود: 1 1. اجازه دهید aAسپس aبیایید نشان دهیم آاز طریق ب. بر اساس اصل 3، آبآن ها ب بو bA.