Program za crtanje četvorodimenzionalne kocke. Teserakt i n-dimenzionalne kocke općenito Četvorodimenzionalna rotacija kocke

Ako ste obožavatelj filmova Osvetnici, prvo što vam može pasti na pamet kada čujete riječ "Tesseract" je prozirna posuda u obliku kocke kamena beskonačnosti koja sadrži neograničenu snagu.

Za ljubitelje Marvelovog univerzuma, Teseract je užarena plava kocka koja izluđuje ljude ne samo sa Zemlje, već i sa drugih planeta. Zato su se svi Osvetnici okupili da zaštite Zemljane od ekstremno razornih moći Teserakta.

Međutim, ovo treba reći: Teserakt je stvarni geometrijski koncept, ili preciznije, oblik koji postoji u 4D. To nije samo plava kocka iz Osvetnika... to je pravi koncept.

Teserakt je objekt u 4 dimenzije. Ali prije nego što to detaljno objasnimo, počnimo od početka.

Šta je "merenje"?

Svaka osoba je čula pojmove 2D i 3D, koji predstavljaju dvodimenzionalne ili trodimenzionalne objekte u prostoru. Ali koja su to mjerenja?

Dimenzija je jednostavno smjer kojim možete ići. Na primjer, ako crtate liniju na komadu papira, možete ići lijevo/desno (x-osa) ili gore/dolje (y-osa). Dakle, kažemo da je papir dvodimenzionalan jer možete ići samo u dva smjera.

Postoji osećaj dubine u 3D.

Sada, u stvarnom svijetu, pored dva gore navedena smjera (lijevo/desno i gore/dolje), možete ići i "do/od". Posljedično, 3D prostoru se dodaje osjećaj dubine. Zato kažemo da je stvarni život trodimenzionalan.

Tačka može predstavljati 0 dimenzija (pošto se ne kreće ni u jednom smjeru), linija predstavlja 1 dimenziju (dužinu), kvadrat predstavlja 2 dimenzije (dužinu i širinu), a kocka predstavlja 3 dimenzije (dužina, širina i visina ).

Uzmite 3D kocku i zamijenite svako njeno lice (koje su trenutno kvadrati) kockom. I tako! Oblik koji dobijete je teserakt.

Šta je teserakt?

Jednostavno rečeno, teserakt je kocka u 4-dimenzionalnom prostoru. Takođe možete reći da je to 4D analog kocke. Ovo je 4D oblik gdje je svako lice kocka.

3D projekcija teserakta koji izvodi dvostruku rotaciju oko dvije ortogonalne ravni.
Slika: Jason Hise

Evo jednostavnog načina za konceptualizaciju dimenzija: kvadrat je dvodimenzionalan; dakle, svaki od njegovih uglova ima 2 linije koje se protežu od njega pod uglom od 90 stepeni jedna prema drugoj. Kocka je 3D, tako da svaki njen ugl ima 3 linije koje izlaze iz njega. Isto tako, teserakt je 4D oblika, tako da svaki ugao ima 4 linije koje se protežu od njega.

Zašto je teško zamisliti teserakt?

Pošto smo mi kao ljudi evoluirali da vizualiziramo objekte u tri dimenzije, sve što ide u dodatne dimenzije kao što su 4D, 5D, 6D, itd., za nas nema mnogo smisla jer ih uopće ne možemo uvesti. Naš mozak ne može razumjeti četvrtu dimenziju svemira. Jednostavno ne možemo razmišljati o tome.

Međutim, samo zato što ne možemo vizualizirati koncept višedimenzionalnih prostora ne znači da on ne može postojati.

Matematički gledano, teserakt je savršeno precizan oblik. Isto tako, svi oblici u višim dimenzijama, tj. 5D i 6D, također su matematički prihvatljivi.

Baš kao što se kocka može proširiti na 6 kvadrata u 2D prostoru, teserak se može proširiti na 8 kocki u 3D prostoru.

Iznenađujuće i neshvatljivo, zar ne?

Dakle, teserakt je "pravi koncept" koji je apsolutno matematički prihvatljiv, a ne samo sjajna plava kocka oko koje se bore u filmovima Osvetnici.

Hiperkocka i Platonska tijela

Modelirajte skraćeni ikosaedar („fudbalska lopta“) u sistemu „Vektor“.
u kojoj je svaki petougao omeđen heksagonima

Skraćeni ikosaedar može se dobiti odsijecanjem 12 vrhova da se formiraju lica u obliku pravilnih peterokuta. U ovom slučaju, broj vrhova novog poliedra se povećava 5 puta (12×5=60), 20 trokutastih lica pretvara se u pravilne šesterokute (ukupno lica postaju 20+12=32), A broj ivica se povećava na 30+12×5=90.

Koraci za konstruisanje skraćenog ikosaedra u vektorskom sistemu

Figure u 4-dimenzionalnom prostoru.

--à

--à ?

Na primjer, date kocku i hiperkocku. Hiperkocka ima 24 lica. To znači da će 4-dimenzionalni oktaedar imati 24 vrha. Iako ne, hiperkocka ima 8 strana kocke - svaka ima centar na svom vrhu. To znači da će 4-dimenzionalni oktaedar imati 8 vrhova, što je još lakše.

4-dimenzionalni oktaedar. Sastoji se od osam jednakostraničnih i jednakih tetraedara,
povezana sa četiri na svakom vrhu.

Rice. Pokušaj simulacije
hipersfera-hipersfera u vektorskom sistemu

Prednje - zadnje strane - lopte bez izobličenja. Još šest kuglica se može definirati kroz elipsoide ili kvadratne površine (kroz 4 konturne linije kao generatore) ili kroz lica (prvo definirano kroz generatore).

Više tehnika za "izgradnju" hipersfere
- ista "fudbalska lopta" u 4-dimenzionalnom prostoru

Dodatak 2

Za konveksne poliedre postoji svojstvo koje povezuje broj njegovih vrhova, ivica i strana, koje je 1752. godine dokazao Leonhard Euler, a nazvano je Ojlerovom teoremom.

Prije nego što ga formulišemo, razmotrimo poliedre koji su nam poznati i popunimo sljedeću tabelu, u kojoj je B broj vrhova, P - ivica i G - lica datog poliedra:

Ime poliedra
Trouglasta piramida
Četvorougaona piramida
Trouglasta prizma
Četverokutna prizma
n-piramida uglja	n+1	2n	n+1
n-karbonska prizma	2n	3n	n+2
n-ugalj okrnjen piramida	2n	3n	n+2

Iz ove tabele odmah je jasno da za sve odabrane poliedre vrijedi jednakost B - P + G = 2. Ispada da ova jednakost vrijedi ne samo za ove poliedre, već i za proizvoljan konveksan poliedar.

Ojlerova teorema. Za svaki konveksni poliedar vrijedi jednakost

B - P + G = 2,

gdje je B broj vrhova, P je broj ivica i G je broj strana datog poliedra.

Dokaz. Da biste dokazali ovu jednakost, zamislite površinu ovog poliedra napravljenog od elastičnog materijala. Uklonimo (izrežemo) jedno njegovo lice i razvučemo preostalu površinu na ravan. Dobijamo poligon (formiran od ivica uklonjene površine poliedra), podijeljen na manje poligone (formirane od preostalih strana poliedra).

Imajte na umu da se poligoni mogu deformirati, povećati, smanjiti ili čak zakriviti svoje stranice, sve dok na stranicama nema praznina. Broj vrhova, ivica i lica se neće promijeniti.

Dokažimo da rezultirajuća podjela poligona na manje poligone zadovoljava jednakost

(*)B - P + G " = 1,

gdje je B ukupan broj vrhova, P je ukupan broj ivica i G " je broj poligona uključenih u particiju. Jasno je da je G " = G - 1, gdje je G broj lica datog poliedar.

Dokažimo da se jednakost (*) ne mijenja ako se u nekom poligonu date particije povuče dijagonala (slika 5, a). Zaista, nakon crtanja takve dijagonale, nova particija će imati B vrhove, P+1 ivice i broj poligona će se povećati za jedan. Dakle, imamo

B - (P + 1) + (G "+1) = B – P + G " .

Koristeći ovo svojstvo, crtamo dijagonale koje dijele dolazne poligone u trouglove, a za rezultujuću particiju pokazujemo izvodljivost jednakosti (*) (Sl. 5, b). Da bismo to učinili, uzastopno ćemo ukloniti vanjske ivice, smanjujući broj trokuta. U ovom slučaju moguća su dva slučaja:

a) za uklanjanje trougla ABC potrebno je ukloniti dva rebra, u našem slučaju AB I B.C.;

b) ukloniti trougaoMKNpotrebno je ukloniti jednu ivicu, u našem slučajuMN.

U oba slučaja, jednakost (*) se neće promijeniti. Na primjer, u prvom slučaju, nakon uklanjanja trokuta, graf će se sastojati od B - 1 vrhova, P - 2 ivice i G" - 1 poligona:

(B - 1) - (P + 2) + (G " – 1) = B – P + G".

Razmotrite sami drugi slučaj.

Dakle, uklanjanje jednog trougla ne mijenja jednakost (*). Nastavljajući ovaj proces uklanjanja trokuta, na kraju ćemo doći do particije koja se sastoji od jednog trougla. Za takvu particiju, B = 3, P = 3, G " = 1 i, prema tome, B – R + G " = 1. To znači da jednakost (*) vrijedi i za originalnu particiju, iz čega konačno dobijamo da za ovu particiju poligona jednakost (*) je tačna. Dakle, za originalni konveksni poliedar vrijedi jednakost B - P + G = 2.

Primjer poliedra za koji Ojlerova relacija ne vrijedi, prikazano na slici 6. Ovaj poliedar ima 16 vrhova, 32 ivice i 16 lica. Dakle, za ovaj poliedar vrijedi jednakost B – P + G = 0.

Dodatak 3.

Film Kocka 2: Hiperkocka je naučnofantastični film, nastavak filma Kocka.

Osam stranaca se budi u sobama u obliku kocke. Sobe se nalaze unutar četvorodimenzionalne hiperkocke. Sobe se stalno kreću kroz "kvantnu teleportaciju", a ako se popnete u sljedeću sobu, malo je vjerovatno da ćete se vratiti u prethodnu. Paralelni svjetovi se ukrštaju u hiperkocki, vrijeme u nekim sobama teče drugačije, a neke sobe su smrtne zamke.

Radnja filma u velikoj mjeri ponavlja priču iz prvog dijela, što se ogleda i u slikama nekih od likova. Nobelovac Rosenzweig, koji je izračunao tačno vrijeme uništenja hiperkocke, umire u sobama hiperkocke..

Kritika

Ako su u prvom delu ljudi zatvoreni u lavirintu pokušavali da pomognu jedni drugima, u ovom filmu je svako za sebe. Puno je nepotrebnih specijalnih efekata (aka zamki) koji ni na koji način logički ne povezuju ovaj dio filma sa prethodnim. Odnosno, ispada da je film Kocka 2 neka vrsta lavirinta budućnosti 2020-2030, ali ne 2000. U prvom dijelu sve vrste zamki teoretski može kreirati osoba. U drugom delu ove zamke su neka vrsta kompjuterskog programa, takozvana „virtuelna stvarnost“.

Poeni (±1, ±1, ±1, ±1). Drugim riječima, može se predstaviti kao sljedeći skup:

Teserakt je ograničen sa osam hiperplana, čiji presek sa samim teseraktom definiše njegove trodimenzionalne površine (koje su obične kocke). Svaki par neparalelnih 3D lica seku se da bi formirali 2D lica (kvadrate) i tako dalje. Konačno, teserakt ima 8 3D lica, 24 2D lica, 32 ivice i 16 vrhova.

Popularni opis

Pokušajmo zamisliti kako će hiperkocka izgledati bez napuštanja trodimenzionalnog prostora.

U jednodimenzionalnom "prostoru" - na pravoj - biramo segment AB dužine L. Na dvodimenzionalnoj ravni na udaljenosti L od AB, povlačimo paralelan segment DC i povezujemo njihove krajeve. Rezultat je kvadratni CDBA. Ponavljajući ovu operaciju sa ravninom, dobijamo trodimenzionalnu kocku CDBAGHFE. I pomjeranjem kocke u četvrtoj dimenziji (upravno na prve tri) za razmak L, dobijamo hiperkocku CDBAGHFEKLJOPNM.

Konstrukcija teserakta na ravni

Jednodimenzionalni segment AB služi kao stranica dvodimenzionalnog kvadrata CDBA, kvadrat - kao stranica kocke CDBAGHFE, koja će zauzvrat biti stranica četverodimenzionalne hiperkocke. Pravi segment ima dvije granične točke, kvadrat ima četiri vrha, kocka ima osam. U četvorodimenzionalnoj hiperkocki, tako će postojati 16 vrhova: 8 vrhova originalne kocke i 8 vrhova one pomerene u četvrtoj dimenziji. Ima 32 ivice - po 12 daje početnu i konačnu poziciju originalne kocke, a još 8 ivica "crta" njenih osam vrhova, koji su se pomerili u četvrtu dimenziju. Isto razmišljanje se može učiniti za lica hiperkocke. U dvodimenzionalnom prostoru postoji samo jedan (sam kvadrat), kocka ih ima 6 (dva lica pomaknutog kvadrata i još četiri koje opisuju njegove stranice). Četvorodimenzionalna hiperkocka ima 24 kvadratna lica - 12 kvadrata originalne kocke u dvije pozicije i 12 kvadrata od njenih dvanaest rubova.

Kao što su stranice kvadrata 4 jednodimenzionalna segmenta, a stranice (lice) kocke su 6 dvodimenzionalnih kvadrata, tako su za "četvorodimenzionalnu kocku" (teserakt) stranice 8 trodimenzionalnih kocki . Prostori suprotnih parova teserakt kocki (tj. trodimenzionalni prostori kojima te kocke pripadaju) su paralelni. Na slici su to kocke: CDBAGHFE i KLJIOPNM, CDBAKLJI i GHFEOPNM, EFBAMNJI i GHDCOPLK, CKIAGOME i DLJBHPNF.

Na sličan način možemo nastaviti razmišljanje o hiperkockama većeg broja dimenzija, ali je mnogo zanimljivije vidjeti kako će četverodimenzionalna hiperkocka izgledati za nas, stanovnike trodimenzionalnog prostora. Za to ćemo koristiti već poznatu metodu analogija.

Uzmimo žičanu kocku ABCDHEFG i pogledajmo je jednim okom sa strane ivice. Vidjet ćemo i možemo nacrtati dva kvadrata na ravni (njene bliske i dalje ivice), povezana sa četiri linije - bočnim rubovima. Slično, četvorodimenzionalna hiperkocka u trodimenzionalnom prostoru će izgledati kao dve kubične „kutije“ umetnute jedna u drugu i povezane sa osam ivica. U ovom slučaju, same "kutije" - trodimenzionalna lica - projiciraju se na "naš" prostor, a linije koje ih povezuju protežu se u smjeru četvrte ose. Također možete pokušati zamisliti kocku ne u projekciji, već u prostornoj slici.

Baš kao što trodimenzionalnu kocku formira kvadrat pomeren za dužinu njegovog lica, kocka pomerena u četvrtu dimenziju će formirati hiperkocku. Ograničen je sa osam kockica, koje će u perspektivi izgledati kao neka prilično složena figura. Sama četvorodimenzionalna hiperkocka se sastoji od beskonačnog broja kocki, baš kao što se trodimenzionalna kocka može "iseći" na beskonačan broj ravnih kvadrata.

Rezanjem šest lica trodimenzionalne kocke možete je razložiti u ravnu figuru - razvoj. Imat će kvadrat na svakoj strani originalnog lica plus još jedan - lice nasuprot njemu. A trodimenzionalni razvoj četverodimenzionalne hiperkocke sastojat će se od originalne kocke, šest kocki koje „rastu“ iz nje, plus još jedna - konačno „hiperface“.

Svojstva teserakta predstavljaju nastavak svojstava geometrijskih figura niže dimenzije u četverodimenzionalni prostor.

Projekcije

U dvodimenzionalni prostor

Ovu strukturu je teško zamisliti, ali je moguće projektirati teserak u dvodimenzionalni ili trodimenzionalni prostor. Osim toga, projektiranje na ravan olakšava razumijevanje lokacije vrhova hiperkocke. Na ovaj način moguće je dobiti slike koje više ne odražavaju prostorne odnose unutar teserakta, ali koje ilustriraju strukturu veze vrhova, kao u sljedećim primjerima:

Treća slika prikazuje teserakt u izometriji, u odnosu na tačku konstrukcije. Ova reprezentacija je od interesa kada se koristi teserakt kao osnova za topološku mrežu za povezivanje više procesora u paralelnom računarstvu.

U trodimenzionalni prostor

Jedna od projekcija teserakta na trodimenzionalni prostor predstavlja dvije ugniježđene trodimenzionalne kocke, čiji su odgovarajući vrhovi povezani segmentima. Unutrašnja i vanjska kocka imaju različite veličine u trodimenzionalnom prostoru, ali u četverodimenzionalnom prostoru su jednake kocke. Da bi se razumjela jednakost svih teserakt kocki, kreiran je rotirajući model teserakta.

• Šest skraćenih piramida duž ivica teserakta su slike jednakih šest kocki. Međutim, ove kocke su za teserak kao što su kvadrati (lice) za kocku. Ali u stvari, teserakt se može podijeliti na beskonačan broj kocki, baš kao što se kocka može podijeliti na beskonačan broj kvadrata, ili kvadrat na beskonačan broj segmenata.

Još jedna zanimljiva projekcija teserakta na trodimenzionalni prostor je rombični dodekaedar sa četiri dijagonale koje spajaju parove suprotnih vrhova pod velikim uglovima rombova. U ovom slučaju, 14 od 16 vrhova teserakta se projektuje u 14 vrhova rombičnog dodekaedra, a projekcije preostala 2 se poklapaju u njegovom centru. U takvoj projekciji na trodimenzionalni prostor očuvana je jednakost i paralelizam svih jednodimenzionalnih, dvodimenzionalnih i trodimenzionalnih strana.

Stereo par

Stereo par teserakta prikazan je kao dvije projekcije na trodimenzionalni prostor. Ova slika teserakta je dizajnirana da predstavi dubinu kao četvrtu dimenziju. Stereo par se gleda tako da svako oko vidi samo jednu od ovih slika, pojavljuje se stereoskopska slika koja reproducira dubinu teserakta.

Tesseract unwrapping

Površina teserakta može se rasklopiti u osam kocki (slično kao što se površina kocke može rasklopiti u šest kvadrata). Postoji 261 različit dizajn teserakta. Razmatranje teserakta može se izračunati iscrtavanjem povezanih uglova na graf.

Teserakt u umjetnosti

• U "New Abbott Plain" Edwine A., hiperkocka djeluje kao narator.
• U jednoj epizodi Avanture Džimija Neutrona, "dečak genije" Džimi izume četvorodimenzionalnu hiperkocku identičnu preklopnoj kutiji iz romana Glory Road (1963) Roberta Hajnlajna.
• Robert E. Heinlein je spomenuo hiperkocke u najmanje tri naučnofantastične priče. U "Kući četiri dimenzije" ("The House That Teal Built") opisao je kuću sagrađenu kao neumotani teserak, a zatim se, usled zemljotresa, "sklopila" u četvrtu dimenziju i postala "pravi" teserakt .
• Heinleinov roman Glory Road opisuje kutiju hiper-veličine koja je bila veća iznutra nego spolja.
• Priča Henryja Kuttnera "Svi Tenali Borogov" opisuje edukativnu igračku za djecu iz daleke budućnosti, sličnu strukturi teseratu.
• U romanu Alexa Garlanda (), izraz "teserakt" se koristi za trodimenzionalno odvijanje četverodimenzionalne hiperkocke, a ne same hiperkocke. Ovo je metafora osmišljena da pokaže da kognitivni sistem mora biti širi od spoznatljivog.
• Radnja Kocke 2: Hiperkocka se fokusira na osam stranaca zarobljenih u "hiperkocki", ili mreži povezanih kocki.
• Televizijska serija Andromeda koristi teseraktne generatore kao uređaj za zaplet. Oni su prvenstveno dizajnirani da manipulišu prostorom i vremenom.
• Slika “Raspeće” (Corpus Hypercubus) Salvadora Dalija ().
• Nextwave strip prikazuje vozilo koje uključuje 5 teserakt zona.
• Na albumu Voivod Nothingface jedna od kompozicija se zove “U mojoj hiperkocki”.
• U romanu Route Cube Anthonyja Pearcea, jedan od luna Međunarodnog udruženja za razvoj u orbiti naziva se teseraktom koji je komprimiran u 3 dimenzije.
• U seriji “Škola crnih rupa” u trećoj sezoni nalazi se epizoda “Tesseract”. Lucas pritisne tajno dugme i škola počinje da "poprimi oblik kao matematički teserak".
• Izraz "teserakt" i njegov derivat "teserakt" nalaze se u priči Madeleine L'Engle "Bora u vremenu".
• TesseracT je naziv britanskog dent benda.
• U seriji filmova Marvel Cinematic Universe, Tesseract je ključni element radnje, kosmički artefakt u obliku hiperkocke.
• U priči Roberta Sheckleyja “Gospođica Maus i četvrta dimenzija” ezoterični pisac, poznanik autora, pokušava vidjeti teserak zureći satima u uređaj koji je dizajnirao: lopticu na nozi sa šipkama zabodenim u nju, na koje su kocke montirane, zalijepljene svim vrstama ezoteričnih simbola. U priči se spominje Hintonov rad.
• U filmovima Prvi osvetnik, Osvetnici. Teserakt - energija cijelog univerzuma

Druga imena

• Hexadecachoron Hexadecachoron)
• oktohoron (engleski) Octachoron)
• Tetracube
• 4-Cube
• Hypercube (ako broj dimenzija nije naveden)

Bilješke

Književnost

• Charles H. Hinton. Četvrta dimenzija, 1904. ISBN 0-405-07953-2
• Martin Gardner, Mathmatical Carnival, 1977. ISBN 0-394-72349-X
• Ian Stewart, Koncepti moderne matematike, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Linkovi

Na ruskom

• Program Transformator4D. Formiranje modela trodimenzionalnih projekcija četverodimenzionalnih objekata (uključujući hiperkocku).
• Program koji implementira konstrukciju teserakta i sve njegove afine transformacije, sa izvornim kodom u C++.

Na engleskom

• Mushware Limited - teseraktni izlazni program ( Tesseract Trainer, licenca kompatibilna s GPLv2) i pucačina iz prvog lica u četverodimenzionalnom prostoru ( Adanaxis; grafika je uglavnom trodimenzionalna; Postoji GPL verzija u OS spremištima).

Poliedri
Tačno (platonska tijela)
zvjezdani dodekaedar zvjezdani ikosidodekaedar zvjezdani ikozaedar zvjezdani poliedar zvjezdani oktaedar
Konveksna	Arhimedova čvrsta tela Kubooktaedar Ikosidodekaedar Skraćeni tetraedar Odsječeni oktaedar Odsječeni ikosaedar Odsječeni dodekaedar Skraćeni dodekaedar Rombikuboktaedar Rombicikozidodekaedar Rombički skraćeni kubtahedron Rombički skraćeni kubtahedron Rombički skraćeni kubtahedron Skraćeni ikosaedar Skraćeni dodekaedar Skraćeni dodekaedar S ktaedar Truncated and Cosidodecahedron Regularna prizma Antiprizma Katalonska tijela Rombododekaedar Rombothriacontahedron Triakisthetrahedron Tetrakishexahedron Pentakisdodecahedron Triakisoctahedron Triakisicosahedron Deltoidal icositetrahedron Deltoidal hexexontahedron Pentagonal icositetrahedronca Pentagonal Dishexeronda Bez potpune prostorne simetrije Piramida Prizma Bipiramida Antiprizma Zonohedron Paralelepiped Romboedar Prizmatoid Krnja piramida Pentagondodekaedar Paraleloedar
formule, teoreme, teorije
Ostalo

Teserakt je četverodimenzionalna hiperkocka - kocka u četverodimenzionalnom prostoru.
Prema Oksfordskom rječniku, riječ teserakt je skovao i koristio 1888. Charles Howard Hinton (1853-1907) u svojoj knjizi Novo doba misli. Kasnije su neki ljudi istu figuru nazvali tetrakub (grčki τετρα - četiri) - četverodimenzionalna kocka.
Običan teserakt u euklidskom četvorodimenzionalnom prostoru se definiše kao konveksni omotač tačaka (±1, ±1, ±1, ±1). Drugim riječima, može se predstaviti kao sljedeći skup:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Teserakt je ograničen sa osam hiperravnina x_i= +- 1, i=1,2,3,4, čiji presek sa samim teseraktom definiše ga 3D lica (koje su pravilne kocke) Svaki par neparalelnih 3D lica se seku da formiraju 2D lica (kvadrate), itd. Konačno, teserakt ima 8 3D lica, 24 2D lica, 32 ivice i 16 vrhovima.
Popularni opis
Pokušajmo zamisliti kako će hiperkocka izgledati bez napuštanja trodimenzionalnog prostora.
U jednodimenzionalnom "prostoru" - na pravoj - biramo segment AB dužine L. Na dvodimenzionalnoj ravni na udaljenosti L od AB, povlačimo paralelan segment DC i povezujemo njihove krajeve. Rezultat je kvadratni CDBA. Ponavljajući ovu operaciju sa ravninom, dobijamo trodimenzionalnu kocku CDBAGHFE. I pomjeranjem kocke u četvrtoj dimenziji (upravno na prve tri) za razmak L, dobijamo hiperkocku CDBAGHFEKLJOPNM.
Jednodimenzionalni segment AB služi kao stranica dvodimenzionalnog kvadrata CDBA, kvadrat - kao stranica kocke CDBAGHFE, koja će zauzvrat biti stranica četverodimenzionalne hiperkocke. Pravi segment ima dvije granične točke, kvadrat ima četiri vrha, kocka ima osam. U četvorodimenzionalnoj hiperkocki, tako će postojati 16 vrhova: 8 vrhova originalne kocke i 8 vrhova one pomerene u četvrtoj dimenziji. Ima 32 ivice - po 12 daje početnu i konačnu poziciju originalne kocke, a još 8 ivica "crta" njenih osam vrhova, koji su se pomerili u četvrtu dimenziju. Isto razmišljanje se može učiniti za lica hiperkocke. U dvodimenzionalnom prostoru postoji samo jedan (sam kvadrat), kocka ih ima 6 (dva lica pomaknutog kvadrata i još četiri koje opisuju njegove stranice). Četvorodimenzionalna hiperkocka ima 24 kvadratna lica - 12 kvadrata originalne kocke u dvije pozicije i 12 kvadrata od njenih dvanaest rubova.
Kao što su stranice kvadrata 4 jednodimenzionalna segmenta, a stranice (lice) kocke su 6 dvodimenzionalnih kvadrata, tako su za "četvorodimenzionalnu kocku" (teserakt) stranice 8 trodimenzionalnih kocki . Prostori suprotnih parova teserakt kocki (tj. trodimenzionalni prostori kojima te kocke pripadaju) su paralelni. Na slici su to kocke: CDBAGHFE i KLJIOPNM, CDBAKLJI i GHFEOPNM, EFBAMNJI i GHDCOPLK, CKIAGOME i DLJBHPNF.
Na sličan način možemo nastaviti razmišljanje o hiperkockama većeg broja dimenzija, ali je mnogo zanimljivije vidjeti kako će četverodimenzionalna hiperkocka izgledati za nas, stanovnike trodimenzionalnog prostora. Za to ćemo koristiti već poznatu metodu analogija.
Uzmimo žičanu kocku ABCDHEFG i pogledajmo je jednim okom sa strane ivice. Vidjet ćemo i možemo nacrtati dva kvadrata na ravni (njene bliske i dalje ivice), povezana sa četiri linije - bočnim rubovima. Slično, četvorodimenzionalna hiperkocka u trodimenzionalnom prostoru će izgledati kao dve kubične „kutije“ umetnute jedna u drugu i povezane sa osam ivica. U ovom slučaju, same "kutije" - trodimenzionalna lica - projiciraju se na "naš" prostor, a linije koje ih povezuju protežu se u smjeru četvrte ose. Također možete pokušati zamisliti kocku ne u projekciji, već u prostornoj slici.
Baš kao što trodimenzionalnu kocku formira kvadrat pomeren za dužinu njegovog lica, kocka pomerena u četvrtu dimenziju će formirati hiperkocku. Ograničen je sa osam kockica, koje će u perspektivi izgledati kao neka prilično složena figura. Sama četvorodimenzionalna hiperkocka se sastoji od beskonačnog broja kocki, baš kao što se trodimenzionalna kocka može "iseći" na beskonačan broj ravnih kvadrata.
Rezanjem šest lica trodimenzionalne kocke možete je razložiti u ravnu figuru - razvoj. Imat će kvadrat na svakoj strani originalnog lica plus još jedan - lice nasuprot njemu. A trodimenzionalni razvoj četverodimenzionalne hiperkocke sastojat će se od originalne kocke, šest kocki koje „rastu“ iz nje, plus još jedna - konačno „hiperface“.
Svojstva teserakta predstavljaju nastavak svojstava geometrijskih figura niže dimenzije u četverodimenzionalni prostor.

U geometriji hiperkocka- Ovo n-dimenzionalna analogija kvadrata ( n= 2) i kocka ( n= 3). To je zatvorena konveksna figura koja se sastoji od grupa paralelnih linija koje se nalaze na suprotnim rubovima figure, a međusobno su povezane pod pravim uglom.

Ova brojka je poznata i kao teseract(teserakt). Teserak je prema kocki kao što je kocka prema kvadratu. Formalnije, teserak se može opisati kao pravilan konveksni četverodimenzionalni politop (poliedar) čija se granica sastoji od osam kubnih ćelija.

Prema Oksfordskom rječniku engleskog jezika, riječ "tesseract" skovao je 1888. Charles Howard Hinton i koristio je u svojoj knjizi "A New Era of Thought". Reč je izvedena od grčkog "τεσσερες ακτινες" ("četiri zraka"), u obliku četiri koordinatne ose. Osim toga, u nekim izvorima je nazvana ista cifra tetracube(tetrakub).

n-dimenzionalna hiperkocka se također naziva n-kocka.

Tačka je hiperkocka dimenzije 0. Ako pomaknete tačku za jedinicu dužine, dobićete segment jedinične dužine - hiperkocka dimenzije 1. Dalje, ako pomaknete segment za jedinicu dužine u smjeru okomitom u pravcu segmenta, dobija se kocka - hiperkocka dimenzije 2. Pomeranjem kvadrata za jedinicu dužine u pravcu okomitom na ravan kvadrata, dobija se kocka - hiperkocka dimenzije 3. Ovaj proces može se generalizirati na bilo koji broj dimenzija. Na primjer, ako pomjerite kocku za jednu jedinicu dužine u četvrtoj dimenziji, dobićete teserakt.

Porodica hiperkocka je jedan od rijetkih pravilnih poliedara koji se mogu predstaviti u bilo kojoj dimenziji.

Elementi hiperkocke

Hiperkocka dimenzija n ima 2 n„strane“ (jednodimenzionalna linija ima 2 tačke; dvodimenzionalni kvadrat ima 4 strane; trodimenzionalna kocka ima 6 strana; četvorodimenzionalni teserakt ima 8 ćelija). Broj vrhova (tačaka) hiperkocke je 2 n(na primjer, za kocku - 2 3 vrha).

Količina m-dimenzionalne hiperkocke na granici n-kocka jednaka

Na primjer, na granici hiperkocke nalazi se 8 kocki, 24 kvadrata, 32 ivice i 16 vrhova.

Elementi hiperkocke

n-kocka	Ime	Vertex (0-lice)	Edge (1 lice)	Edge (2 lica)	Cell (3 lica)	(4 lica)	(5 lica)	(6-strano)	(7 lica)	(8 lica)
0-kocka	Dot	1
1-kocka	Segment linije	2	1
2-kocka	Square	4	4	1
3-cube	Kocka	8	12	6	1
4-kocka	Teserakt	16	32	24	8	1
5-kocka	Penterakt	32	80	80	40	10	1
6-kocka	Hexeract	64	192	240	160	60	12	1
7-kocka	Hepterakt	128	448	672	560	280	84	14	1
8-kocka	Octeract	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9-kocka	Eneneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Projekcija na ravan

Formiranje hiperkocke može se predstaviti na sljedeći način:

• Dvije tačke A i B mogu se spojiti tako da formiraju odsječak AB.
• Dva paralelna segmenta AB i CD mogu se spojiti u kvadrat ABCD.
• Dva paralelna kvadrata ABCD i EFGH mogu se povezati da formiraju kocku ABCDEFGH.
• Dvije paralelne kocke ABCDEFGH i IJKLMNOP mogu se povezati da formiraju hiperkocku ABCDEFGHIJKLMNOP.

Posljednju strukturu nije lako vizualizirati, ali je moguće prikazati njenu projekciju u dvodimenzionalni ili trodimenzionalni prostor. Štaviše, projekcije na dvodimenzionalnu ravan mogu biti korisnije dopuštajući da se pozicije projektovanih vrhova preurede. U ovom slučaju, moguće je dobiti slike koje više ne odražavaju prostorne odnose elemenata unutar teserakta, ali ilustriraju strukturu veza vrhova, kao u primjerima ispod.

Prva ilustracija pokazuje kako se, u principu, teserak formira spajanjem dvije kocke. Ova shema je slična shemi za stvaranje kocke iz dva kvadrata. Drugi dijagram pokazuje da su svi rubovi teserakta iste dužine. Ova šema vas također prisiljava da tražite kocke povezane jedna s drugom. U trećem dijagramu, vrhovi teserakta nalaze se u skladu s udaljenostima duž lica u odnosu na donju tačku. Ova šema je interesantna jer se koristi kao osnovna šema za mrežnu topologiju povezivanja procesora pri organizovanju paralelnog računarstva: rastojanje između bilo koja dva čvora ne prelazi 4 dužine ivice, a postoji mnogo različitih puteva za balansiranje opterećenja.

Hiperkocka u umjetnosti

Hiperkocka se u naučnofantastičnoj literaturi pojavljuje od 1940. godine, kada je Robert Heinlein u priči “I sagradio je krivu kuću” opisao kuću izgrađenu u obliku skeniranog teserakta. U priči, ovo Sljedeće, ova kuća se ruši, pretvarajući se u četverodimenzionalni teserakt. Nakon toga, hiperkocka se pojavljuje u mnogim knjigama i kratkim pričama.

Film Kocka 2: Hiperkocka govori o osam ljudi zarobljenih u mreži hiperkocki.

Slika Salvadora Dalija "Raspeće (Corpus Hypercubus)", 1954., prikazuje Isusa razapetog na teseraktu. Ova slika se može vidjeti u Metropolitan muzeju umjetnosti u New Yorku.

Zaključak

Hiperkocka je jedan od najjednostavnijih četverodimenzionalnih objekata iz kojeg se može vidjeti složenost i neobičnost četvrte dimenzije. A ono što izgleda nemoguće u tri dimenzije moguće je u četiri, na primjer, nemoguće figure. Tako će, na primjer, šipke nemogućeg trokuta u četiri dimenzije biti povezane pod pravim uglom. I ova figura će izgledati ovako sa svih tačaka gledanja, i neće biti izobličena, za razliku od implementacije nemogućeg trougla u trodimenzionalnom prostoru (vidi.