Ivice pravilne četvorougaone prizme. Trokutasta prizma sve formule i primjeri problema

Očuvanje vaše privatnosti nam je važno. Iz tog razloga smo razvili Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte našu praksu privatnosti i javite nam ako imate pitanja.

Prikupljanje i korištenje ličnih podataka

Lični podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da unesete svoje lične podatke u bilo koje vrijeme kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta ličnih podataka koje možemo prikupljati i kako ih možemo koristiti.

Koje lične podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupljati različite informacije, uključujući vaše ime, broj telefona, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše lične podatke:

• Lični podaci koje prikupljamo omogućavaju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše lične podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Lične podatke možemo koristiti i za interne svrhe, kao što su provođenje revizija, analiza podataka i različita istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako učestvujete u nagradnoj igri, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti informacije koje nam date za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim licima

Podatke koje dobijemo od vas ne otkrivamo trećim licima.

Izuzeci:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku, i/ili na osnovu javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih organa na teritoriji Ruske Federacije - otkriti vaše lične podatke. Takođe možemo otkriti informacije o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje neophodno ili prikladno za sigurnosne, provođenje zakona ili druge svrhe od javnog značaja.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti lične podatke koje prikupimo na odgovarajuću treću stranu.

Zaštita ličnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - da zaštitimo vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zloupotrebe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na nivou kompanije

Kako bismo osigurali da su vaši lični podaci sigurni, našim zaposlenima prenosimo standarde privatnosti i sigurnosti i striktno provodimo praksu privatnosti.

U školskom programu za kurs stereometrije, proučavanje trodimenzionalnih figura obično počinje jednostavnim geometrijskim tijelom - poliedrom prizme. Ulogu njegovih baza obavljaju 2 jednaka poligona koji leže u paralelnim ravnima. Poseban slučaj je pravilna četvorougaona prizma. Njegove osnove su 2 identična pravilna četverougla, na koje su stranice okomite, imaju oblik paralelograma (ili pravokutnika, ako prizma nije nagnuta).

Kako izgleda prizma?

Pravilna četverokutna prizma je šesterokut čije su osnove 2 kvadrata, a bočne strane su predstavljene pravokutnicima. Drugi naziv za ovu geometrijsku figuru je ravan paralelepiped.

Crtež koji prikazuje četvorougaonu prizmu je prikazan ispod.

Možete vidjeti i na slici najvažniji elementi koji čine geometrijsko tijelo. To uključuje:

Ponekad u problemima geometrije možete naići na koncept preseka. Definicija će zvučati ovako: presjek su sve točke volumetrijskog tijela koje pripadaju reznoj ravni. Presjek može biti okomit (siječe rubove figure pod uglom od 90 stepeni). Za pravokutnu prizmu uzima se u obzir i dijagonalni presjek (maksimalni broj presjeka koji se može konstruirati je 2), koji prolazi kroz 2 ivice i dijagonale baze.

Ako je presjek nacrtan na način da rezna ravnina nije paralelna ni s osnovama ni sa bočnim stranama, rezultat je skraćena prizma.

Za pronalaženje reduciranih prizmatičkih elemenata koriste se različite relacije i formule. Neki od njih su poznati iz kursa planimetrije (na primjer, da biste pronašli površinu osnove prizme, dovoljno je prisjetiti se formule za površinu kvadrata).

Površina i zapremina

Da biste odredili volumen prizme pomoću formule, morate znati površinu njene baze i visinu:

V = Sbas h

Pošto je osnova pravilne tetraedarske prizme kvadrat sa stranicom a, Formulu možete napisati u detaljnijem obliku:

V = a²·h

Ako govorimo o kocki - pravilnoj prizmi jednake dužine, širine i visine, volumen se izračunava na sljedeći način:

Da biste razumjeli kako pronaći bočnu površinu prizme, morate zamisliti njen razvoj.

Iz crteža se vidi da je bočna površina sastavljena od 4 jednaka pravougaonika. Njegova površina se izračunava kao proizvod opsega baze i visine figure:

Sside = Posn h

Uzimajući u obzir da je obim kvadrata jednak P = 4a, formula ima oblik:

Sside = 4a h

za kocku:

Sside = 4a²

Da biste izračunali ukupnu površinu prizme, morate bočnoj površini dodati 2 osnovne površine:

Puno = Sside + 2Smain

U odnosu na četvorougaonu pravilnu prizmu, formula izgleda ovako:

Stotal = 4a h + 2a²

Za površinu kocke:

Puno = 6a²

Poznavajući volumen ili površinu, možete izračunati pojedinačne elemente geometrijskog tijela.

Pronalaženje elemenata prizme

Često postoje problemi u kojima je zadan volumen ili je poznata vrijednost bočne površine, gdje je potrebno odrediti dužinu stranice baze ili visinu. U takvim slučajevima, formule se mogu izvesti:

• dužina osnovne strane: a = Sside / 4h = √(V / h);
• visina ili dužina bočnog rebra: h = bočna strana / 4a = V / a²;
• osnovna površina: Sbas = V / h;
• bočna površina lica: Side gr = bočna strana / 4.

Da biste odredili koliku površinu ima dijagonalni presjek, morate znati dužinu dijagonale i visinu figure. Za kvadrat d = a√2. dakle:

Sdiag = ah√2

Da biste izračunali dijagonalu prizme, koristite formulu:

dprize = √(2a² + h²)

Da biste razumjeli kako primijeniti date odnose, možete vježbati i riješiti nekoliko jednostavnih zadataka.

Primjeri problema sa rješenjima

Evo nekoliko zadataka na državnim završnim ispitima iz matematike.

Vježba 1.

Pijesak se sipa u kutiju u obliku pravilne četverokutne prizme. Visina njegovog nivoa je 10 cm.Kolika će biti razina pijeska ako ga premjestite u posudu istog oblika, ali sa duplo dužim postoljem?

To treba obrazložiti na sljedeći način. Količina pijeska u prvom i drugom kontejneru se nije promijenila, odnosno njegova zapremina u njima je ista. Dužinu baze možete označiti sa a. U ovom slučaju, za prvu kutiju zapremina supstance će biti:

V₁ = ha² = 10a²

Za drugu kutiju, dužina baze je 2a, ali visina nivoa pijeska nije poznata:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Zbog V₁ = V₂, možemo izjednačiti izraze:

10a² = 4ha²

Nakon što smanjimo obje strane jednačine za a², dobijamo:

Kao rezultat toga, novi nivo pijeska će biti h = 10 / 4 = 2,5 cm.

Zadatak 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ je ispravna prizma. Poznato je da je BD = AB₁ = 6√2. Pronađite ukupnu površinu tijela.

Da biste lakše razumjeli koji su elementi poznati, možete nacrtati figuru.

Pošto je riječ o pravilnoj prizmi, možemo zaključiti da se u osnovi nalazi kvadrat dijagonale 6√2. Dijagonala bočne strane ima istu veličinu, stoga i bočna strana ima oblik kvadrata jednakog osnovi. Ispada da su sve tri dimenzije - dužina, širina i visina - jednake. Možemo zaključiti da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.

Dužina bilo koje ivice određuje se kroz poznatu dijagonalu:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Ukupna površina se nalazi pomoću formule za kocku:

Puno = 6a² = 6 6² = 216

Zadatak 3.

Soba je u renoviranju. Poznato je da njegov pod ima oblik kvadrata površine 9 m². Visina prostorije je 2,5 m. Koja je najniža cijena tapetiranja sobe ako 1 m² košta 50 rubalja?

Pošto su pod i plafon kvadrati, odnosno pravilni četvorouglovi, a zidovi okomiti na horizontalne površine, možemo zaključiti da je u pitanju pravilna prizma. Potrebno je odrediti površinu njegove bočne površine.

Dužina sobe je a = √9 = 3 m.

Prostor će biti prekriven tapetama Strana = 4 3 2,5 = 30 m².

Najniža cijena tapeta za ovu sobu bit će 50·30 = 1500 rublja

Dakle, za rješavanje zadataka koji uključuju pravokutnu prizmu, dovoljno je znati izračunati površinu i obim kvadrata i pravokutnika, kao i znati formule za pronalaženje volumena i površine.

Kako pronaći površinu kocke

Definicija.

Ovo je šesterokut čije su osnove dva jednaka kvadrata, a bočne strane su jednaki pravokutnici

Bočno rebro- je zajednička strana dvije susjedne bočne strane

Visina prizme- ovo je segment okomit na osnove prizme

Dijagonala prizme- segment koji povezuje dva vrha baza koje ne pripadaju istom licu

Dijagonalna ravan- ravan koja prolazi kroz dijagonalu prizme i njene bočne ivice

Dijagonalni presjek- granice preseka prizme i dijagonalne ravni. Dijagonalni poprečni presjek pravilne četverougaone prizme je pravougaonik

Okomit presjek (ortogonalni presjek)- ovo je presek prizme i ravni povučene okomito na njene bočne ivice

Elementi pravilne četvorougaone prizme

Na slici su prikazane dvije pravilne četverokutne prizme, koje su označene odgovarajućim slovima:

• Osnove ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 su jednake i paralelne jedna drugoj
• Bočne strane AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C i CC 1 D 1 D, od kojih je svaka pravougaonik
• Bočna površina - zbir površina svih bočnih strana prizme
• Ukupna površina - zbir površina svih baza i bočnih strana (zbir površina bočne površine i baza)
• Bočna rebra AA 1, BB 1, CC 1 i DD 1.
• Dijagonala B 1 D
• Dijagonala baze BD
• Dijagonalni presjek BB 1 D 1 D
• Okomit presjek A 2 B 2 C 2 D 2.

Svojstva pravilne četvorougaone prizme

• Osnove su dva jednaka kvadrata
• Osnove su paralelne jedna s drugom
• Bočne strane su pravougaonici
• Bočne ivice su međusobno jednake
• Bočne strane su okomite na baze
• Bočna rebra su međusobno paralelna i jednaka
• Okomit presjek okomit na sva bočna rebra i paralelan s osnovama
• Uglovi okomitog presjeka - ravni
• Dijagonalni presjek pravilne četverougaone prizme je pravougaonik
• Okomito (ortogonalni presjek) paralelno sa bazama

Formule za pravilnu četvorougaonu prizmu

Uputstva za rješavanje problema

Prilikom rješavanja problema na temu " pravilna četvorougaona prizma" znači da:

Ispravna prizma- prizma u čijoj osnovi leži pravilan poligon, a bočne ivice su okomite na ravni baze. To jest, pravilna četvorougaona prizma sadrži u svojoj osnovi kvadrat. (vidi svojstva pravilne četvorougaone prizme iznad) Bilješka. Ovo je dio lekcije sa problemima geometrije (stereometrija presjeka - prizma). Evo problema koje je teško riješiti. Ako trebate riješiti problem geometrije koji nije ovdje, pišite o tome na forumu. Za označavanje akcije vađenja kvadratnog korijena u rješavanju problema koristi se simbol√ .

Zadatak.

U pravilnoj četvorougaonoj prizmi površina osnove je 144 cm 2, a visina 14 cm. Odrediti dijagonalu prizme i ukupnu površinu.

Rješenje.
Pravilan četvorougao je kvadrat.
Prema tome, strana baze će biti jednaka

√144 = 12 cm.
Odakle će biti jednaka dijagonala osnove pravilne pravokutne prizme
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Dijagonala pravilne prizme sa dijagonalom osnove i visinom prizme formira pravougaoni trokut. Prema tome, prema Pitagorinoj teoremi, dijagonala date pravilne četverougaone prizme bit će jednaka:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Odgovori: 22 cm

Zadatak

Odredi ukupnu površinu pravilne četvorougaone prizme ako je njena dijagonala 5 cm, a dijagonala bočne strane 4 cm.

Rješenje.
Pošto je osnova pravilne četvorougaone prizme kvadrat, nalazimo stranu baze (označenu kao a) koristeći Pitagorinu teoremu:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12.5

Visina bočne strane (označena kao h) će tada biti jednaka:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3.5

Ukupna površina će biti jednaka zbroju bočne površine i dvostruke površine osnove

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Odgovor: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Trokutasta prizma je trodimenzionalno tijelo formirano spajanjem pravokutnika i trokuta. U ovoj lekciji ćete naučiti kako pronaći veličinu unutrašnje (volumen) i vanjske (površine) trokutne prizme.

Trouglasta prizma je pentaedar formiran od dvije paralelne ravni u kojima se nalaze dva trokuta, koji tvore dvije strane prizme, a preostale tri strane su paralelogrami formirani od stranica trokuta.

Elementi trouglaste prizme

Trokuti ABC i A 1 B 1 C 1 su baze prizme .

Četvorouglovi A 1 B 1 BA, B 1 BCC 1 i A 1 C 1 CA su bočne strane prizme .

Strane lica su prizma rebra(A 1 B 1, A 1 C 1, C 1 B 1, AA 1, CC 1, BB 1, AB, BC, AC), trouglasta prizma ima ukupno 9 lica.

Visina prizme je okomiti segment koji spaja dvije strane prizme (na slici je h).

Dijagonala prizme je segment koji ima krajeve na dva vrha prizme koji ne pripadaju istoj površini. Za trouglastu prizmu takva dijagonala se ne može povući.

Područje baze je površina trokutaste površine prizme.

je zbir površina četvorougaonih površina prizme.

Vrste trokutastih prizmi

Postoje dvije vrste trokutaste prizme: ravna i nagnuta.

Prava prizma ima pravougaone bočne strane, a nagnuta prizma ima paralelogramske bočne strane (vidi sliku)

Prizma čije su bočne ivice okomite na ravni baza naziva se prava linija.

Prizma čije su bočne ivice nagnute prema ravnima osnova naziva se nagnuta.

Osnovne formule za izračunavanje trokutaste prizme

Volumen trokutne prizme

Da biste pronašli zapreminu trokutaste prizme, morate pomnožiti površinu njene osnove visinom prizme.

Volumen prizme = površina osnove x visina

V=S osnovni h

Bočna površina prizme

Da biste pronašli površinu bočne površine trokutaste prizme, morate pomnožiti obim njene baze s visinom.

Bočna površina trokutaste prizme = opseg osnove x visina

S strana = P glavna h

Ukupna površina prizme

Da biste pronašli ukupnu površinu prizme, morate dodati njenu osnovnu i bočnu površinu.

pošto je S strana = P glavna. h, onda dobijamo:

S puni okret =P osnovno h+2S osnovni

Ispravna prizma - ravna prizma čija je osnova pravilan mnogougao.

Svojstva prizme:

Gornja i donja osnova prizme su jednaki poligoni.
Bočne strane prizme imaju oblik paralelograma.
Bočne ivice prizme su paralelne i jednake.

Savjet: Prilikom izračunavanja trokutaste prizme, morate obratiti pažnju na jedinice koje se koriste. Na primjer, ako je osnovna površina naznačena u cm 2, tada bi visina trebala biti izražena u centimetrima, a volumen u cm 3. Ako je osnovna površina u mm 2, tada visinu treba izraziti u mm, a zapreminu u mm 3 itd.

Primjer prizme

u ovom primjeru:
— ABC i DEF čine trouglaste osnove prizme
- ABED, BCFE i ACFD su pravokutne bočne strane
— Bočne ivice DA, EB i FC odgovaraju visini prizme.
— Tačke A, B, C, D, E, F su vrhovi prizme.

Zadaci za izračunavanje trouglaste prizme

Problem 1. Osnova pravougaone prizme je pravougli trougao sa katetama 6 i 8, bočna ivica je 5. Nađite zapreminu prizme.
Rješenje: Zapremina ravne prizme jednaka je V = Sh, gdje je S površina osnove, a h bočna ivica. Površina osnove u ovom slučaju je površina pravokutnog trokuta (njegova površina je jednaka polovini površine pravokutnika sa stranicama 6 i 8). Dakle, zapremina je jednaka:

V = 1/2 6 8 5 = 120.

Zadatak 2.

Kroz srednju liniju osnove trokutaste prizme povučena je ravan paralelna sa bočnom ivicom. Zapremina odsječene trouglaste prizme je 5. Nađite zapreminu originalne prizme.

Rješenje:

Zapremina prizme jednaka je proizvodu površine osnove i visine: V = S osnova h.

Trokut koji leži u osnovi originalne prizme sličan je trokutu koji leži u osnovi odsječene prizme. Koeficijent sličnosti je 2, jer je presjek povučen kroz srednju liniju (linearne dimenzije većeg trougla su duplo veće od linearnih dimenzija manjeg). Poznato je da su površine sličnih figura povezane kao kvadrat koeficijenta sličnosti, odnosno S 2 = S 1 k 2 = S 1 2 2 = 4S 1 .

Površina osnove cijele prizme je 4 puta veća od površine osnove odsječene prizme. Visine obe prizme su iste, tako da je zapremina cele prizme 4 puta veća od zapremine presečene prizme.

Dakle, potrebna zapremina je 20.