"Qanday qilish kerak" iborasini kuch shaklida taqdim eting. Quvvat ifodalari (kuchli ifodalar) va ularning transformatsiyasi
Keling, iboralarni kuchlar bilan o'zgartirish mavzusini ko'rib chiqaylik, lekin avval har qanday iboralar, shu jumladan kuch bilan ham amalga oshirilishi mumkin bo'lgan bir qator o'zgarishlarga to'xtalib o'tamiz. Qavslarni ochish, o‘xshash atamalar qo‘shish, asos va ko‘rsatkichlar bilan ishlash, darajalar xossalaridan foydalanishni o‘rganamiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Quvvat ifodalari nima?
Maktab kurslarida kam odam "kuchli iboralar" iborasini ishlatadi, ammo bu atama doimiy ravishda Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rish uchun to'plamlarda uchraydi. Ko'pgina hollarda, ibora o'z yozuvlarida darajalarni o'z ichiga olgan iboralarni bildiradi. Buni biz ta'rifimizda aks ettiramiz.
Ta'rif 1
Quvvat ifodasi vakolatlarni o‘z ichiga olgan ifodadir.
Keling, tabiiy ko'rsatkichli kuchdan boshlanib, haqiqiy ko'rsatkichli darajaga qadar bo'lgan kuch ifodalariga bir nechta misollar keltiramiz.
Eng oddiy kuch ifodalarini natural darajali sonning darajalari deb hisoblash mumkin: 3 2, 7 5 + 1, (2 + 1) 5, (− 0, 1) 4, 2 2 3 3, 3 a 2 − a + a 2, x 3 - 1 , (a 2) 3 . Shuningdek, nol darajali darajalar: 5 0, (a + 1) 0, 3 + 5 2 - 3, 2 0. Va manfiy butun darajali darajalar: (0, 5) 2 + (0, 5) - 2 2.
Ratsional va irratsional ko'rsatkichlarga ega bo'lgan daraja bilan ishlash biroz qiyinroq: 264 1 4 - 3 3 3 1 2, 2 3, 5 2 - 2 2 - 1, 5, 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2, x p · x 1 - p, 2 3 3 + 5.
Ko'rsatkich 3 x - 54 - 7 3 x - 58 o'zgaruvchisi yoki logarifm bo'lishi mumkin. x 2 · l g x - 5 · x l g x.
Biz kuch ifodalari nima degan savolni ko'rib chiqdik. Endi ularni aylantirishni boshlaylik.
Quvvat ifodalarini o'zgartirishning asosiy turlari
Avvalo, biz kuch ifodalari bilan bajarilishi mumkin bo'lgan ifodalarning asosiy o'ziga xos o'zgarishlarini ko'rib chiqamiz.
1-misol
Quvvat ifodasining qiymatini hisoblang 2 3 (4 2 - 12).
Yechim
Biz barcha o'zgarishlarni harakatlar tartibiga rioya qilgan holda amalga oshiramiz. Bunday holda, biz qavs ichidagi harakatlarni bajarishdan boshlaymiz: biz darajani raqamli qiymat bilan almashtiramiz va ikkita raqamning farqini hisoblaymiz. Bizda ... bor 2 3 (4 2 - 12) = 2 3 (16 - 12) = 2 3 4.
Biz qilishimiz kerak bo'lgan narsa - darajani almashtirish 2 3 uning ma'nosi 8 va mahsulotni hisoblang 8 4 = 32. Mana bizning javobimiz.
Javob: 2 3 · (4 2 - 12) = 32 .
2-misol
Ifodani kuchlar bilan soddalashtiring 3 a 4 b - 7 - 1 + 2 a 4 b - 7.
Yechim
Muammo bayonotida bizga berilgan iborada biz berishi mumkin bo'lgan o'xshash atamalar mavjud: 3 a 4 b − 7 − 1 + 2 a 4 b − 7 = 5 a 4 b − 7 − 1.
Javob: 3 · a 4 · b - 7 - 1 + 2 · a 4 · b - 7 = 5 · a 4 · b - 7 - 1.
3-misol
9 - b 3 · p - 1 2 darajali ifodani hosila sifatida ifodalang.
Yechim
Keling, 9 raqamini kuch sifatida tasavvur qilaylik 3 2 va qisqartirilgan ko'paytirish formulasini qo'llang:
9 - b 3 p - 1 2 = 3 2 - b 3 p - 1 2 = = 3 - b 3 p - 1 3 + b 3 p - 1
Javob: 9 - b 3 · p - 1 2 = 3 - b 3 · p - 1 3 + b 3 · p - 1.
Endi kuch ifodalariga maxsus qo'llanilishi mumkin bo'lgan identifikatsiya o'zgarishlarini tahlil qilishga o'tamiz.
Baza va ko‘rsatkich bilan ishlash
Baza yoki ko'rsatkichdagi daraja raqamlar, o'zgaruvchilar va ba'zi ifodalarga ega bo'lishi mumkin. Masalan, (2 + 0, 3 7) 5 − 3, 7 Va . Bunday yozuvlar bilan ishlash qiyin. Darajaning asosidagi ifodani yoki ko'rsatkichdagi ifodani bir xil teng ifoda bilan almashtirish ancha oson.
Darajani va ko'rsatkichni o'zgartirish bizga ma'lum bo'lgan qoidalarga muvofiq bir-biridan alohida amalga oshiriladi. Eng muhimi, transformatsiya natijasida asl nusxaga o'xshash ibora paydo bo'ladi.
Transformatsiyalarning maqsadi asl ifodani soddalashtirish yoki muammoning echimini olishdir. Masalan, biz yuqorida keltirgan misolda (2 + 0, 3 7) 5 - 3, 7 darajaga o'tish uchun bosqichlarni bajarishingiz mumkin. 4 , 1 1 , 3 . Qavslarni ochish orqali biz kuch asosiga o'xshash atamalarni taqdim etishimiz mumkin (a · (a + 1) − a 2) 2 · (x + 1) va oddiyroq shakldagi kuch ifodasini oling a 2 (x + 1).
Degree xususiyatlaridan foydalanish
Tenglik shaklida yozilgan vakolatlar xususiyatlari vakolatlar bilan ifodalarni o'zgartirishning asosiy vositalaridan biridir. Biz buni hisobga olgan holda asosiylarini taqdim etamiz a Va b har qanday ijobiy sonlar va r Va s- ixtiyoriy haqiqiy sonlar:
Ta'rif 2
- a r · a s = a r + s;
- a r: a s = a r - s ;
- (a · b) r = a r · b r;
- (a: b) r = a r: b r ;
- (a r) s = a r · s .
Tabiiy, butun, musbat ko'rsatkichlar bilan bog'liq bo'lgan hollarda, a va b raqamlariga nisbatan cheklovlar kamroq qat'iy bo'lishi mumkin. Shunday qilib, masalan, tenglikni hisobga olsak a m · a n = a m + n, Qayerda m Va n natural sonlar bo'lsa, u a ning har qanday musbat va manfiy qiymatlari uchun ham, uchun ham to'g'ri bo'ladi a = 0.
Vakolatlarning xususiyatlari vakolatlar asoslari ijobiy bo'lgan yoki ruxsat etilgan qiymatlar diapazoni asoslar faqat ijobiy qiymatlarni qabul qiladigan o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan hollarda cheklovlarsiz ishlatilishi mumkin. Darhaqiqat, maktab matematika o'quv dasturida o'quvchining vazifasi tegishli xususiyatni tanlash va uni to'g'ri qo'llashdir.
Universitetlarga kirishga tayyorgarlik ko'rayotganda, siz xususiyatlarni noto'g'ri qo'llash DLning torayishi va hal qilishda boshqa qiyinchiliklarga olib keladigan muammolarga duch kelishingiz mumkin. Ushbu bo'limda biz faqat ikkita bunday holatni ko'rib chiqamiz. Mavzu bo'yicha qo'shimcha ma'lumotni "Kuchlarning xususiyatlaridan foydalangan holda ifodalarni aylantirish" mavzusida topishingiz mumkin.
4-misol
Ifodani tasavvur qiling a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 asosli kuch shaklida a.
Yechim
Birinchidan, ko'rsatkich xususiyatidan foydalanamiz va ikkinchi omilni uning yordamida o'zgartiramiz (a 2) − 3. Keyin bir xil asosga ega bo'lgan kuchlarni ko'paytirish va bo'lish xususiyatlaridan foydalanamiz:
a 2 , 5 · a - 6: a - 5 , 5 = a 2 , 5 - 6: a - 5 , 5 = a - 3 , 5: a - 5 , 5 = a - 3 , 5 - (- 5 , 5) = a 2 .
Javob: a 2, 5 · (a 2) - 3: a - 5, 5 = a 2.
Quvvat ifodalarini kuchlar xususiyatiga ko'ra o'zgartirish chapdan o'ngga ham, teskari yo'nalishda ham amalga oshirilishi mumkin.
5-misol
3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 kuch ifodasining qiymatini toping.
Yechim
Agar biz tenglikni qo'llasak (a · b) r = a r · b r, o'ngdan chapga qarab, biz 3 · 7 1 3 · 21 2 3 va keyin 21 1 3 · 21 2 3 ko'rinishdagi hosilani olamiz. Bir xil asosli darajalarni ko'paytirishda darajalarni qo'shamiz: 21 1 3 · 21 2 3 = 21 1 3 + 2 3 = 21 1 = 21.
Transformatsiyani amalga oshirishning yana bir usuli bor:
3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · (3 · 7) 2 3 = 3 1 3 · 7 1 3 · 3 2 3 · 7 2 3 = = 3 1 3 · 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21
Javob: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21
6-misol
Quvvat ifodasi berilgan a 1, 5 − a 0, 5 − 6, yangi o'zgaruvchini kiriting t = a 0,5.
Yechim
Keling, darajani tasavvur qilaylik a 1, 5 Qanaqasiga a 0,5 3. Darajalar xossasidan foydalanish (a r) s = a r · s o'ngdan chapga va biz (a 0, 5) 3 ni olamiz: a 1, 5 - a 0, 5 - 6 = (a 0, 5) 3 - a 0, 5 - 6. Olingan ifodaga osongina yangi o'zgaruvchini kiritishingiz mumkin t = a 0,5: olamiz t 3 - t - 6.
Javob: t 3 - t - 6.
Darajani o'z ichiga olgan kasrlarni aylantirish
Biz odatda kasrlar bilan kuch ifodalarining ikkita versiyasi bilan shug'ullanamiz: ifoda darajali kasrni ifodalaydi yoki shunday kasrni o'z ichiga oladi. Kasrlarning barcha asosiy o'zgarishlari bunday iboralar uchun cheklovlarsiz qo'llaniladi. Ularni qisqartirish, yangi maxrajga keltirish yoki hisob va maxraj bilan alohida ishlash mumkin. Buni misollar bilan tushuntirib beraylik.
7-misol
Quvvat ifodasini soddalashtiring 3 · 5 2 3 · 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 · x 2 - 3 - 3 · x 2 .
Yechim
Biz kasr bilan ishlaymiz, shuning uchun biz hisoblagichda ham, maxrajda ham o'zgarishlarni amalga oshiramiz:
3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2
Maxraj belgisini o'zgartirish uchun kasr oldiga minus belgisini qo'ying: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2
Javob: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2
Darajani o'z ichiga olgan kasrlar ratsional kasrlar kabi yangi maxrajga keltiriladi. Buning uchun qo'shimcha ko'paytmani topib, kasrning pay va maxrajini unga ko'paytirish kerak. Asl ifoda uchun ODZ o'zgaruvchilardan o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun nolga tushmasligi uchun qo'shimcha omilni tanlash kerak.
8-misol
Kasrlarni yangi maxrajga keltiring: a) a + 1 a 0, maxrajga 7 a, b) 1 x 2 3 - 2 · x 1 3 · y 1 6 + 4 · y 1 3 maxrajga x + 8 · y 1 2.
Yechim
a) Yangi maxrajga kamaytirish imkonini beruvchi omilni tanlaymiz. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a, shuning uchun biz qo'shimcha omil sifatida olamiz a 0, 3. a o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni barcha ijobiy haqiqiy raqamlar to'plamini o'z ichiga oladi. Ushbu sohada ilmiy daraja a 0, 3 nolga tushmaydi.
Kasrning soni va maxrajini ga ko'paytiramiz a 0, 3:
a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a
b) maxrajga e'tibor beraylik:
x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2
Bu ifodani x 1 3 + 2 · y 1 6 ga ko'paytiramiz, biz x 1 3 va 2 · y 1 6 kublarning yig'indisini olamiz, ya'ni. x + 8 · y 1 2 . Bu asl kasrni kamaytirishimiz kerak bo'lgan yangi maxrajimiz.
X 1 3 + 2 · y 1 6 qo'shimcha omilni shunday topdik. O'zgaruvchilarning ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ida x Va y x 1 3 + 2 y 1 6 ifodasi yo'qolmaydi, shuning uchun kasrning soni va maxrajini unga ko'paytirishimiz mumkin:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2
Javob: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 · y 1 2 .
9-misol
Kasrni kamaytiring: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.
Yechim
a) Biz eng katta umumiy maxrajni (GCD) ishlatamiz, bu orqali biz pay va maxrajni kamaytirishimiz mumkin. 30 va 45 raqamlari uchun bu 15 ga teng. Biz ham qisqartirishimiz mumkin x0,5+1 va x + 2 · x 1 1 3 - 5 3 da.
Biz olamiz:
30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)
b) Bu erda bir xil omillarning mavjudligi aniq emas. Numerator va denominatorda bir xil omillarni olish uchun siz ba'zi o'zgarishlarni amalga oshirishingiz kerak bo'ladi. Buning uchun kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, maxrajni kengaytiramiz:
a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4
Javob: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1), b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4.
Kasrlar bilan asosiy amallarga kasrlarni yangi maxrajga aylantirish va kasrlarni kamaytirish kiradi. Har ikkala harakat ham bir qator qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi. Kasrlarni qo`shish va ayirishda avval kasrlar umumiy maxrajga keltiriladi, undan so`ng sanoqchilar bilan amallar (qo`shish yoki ayirish) bajariladi. Maxraj bir xil bo'lib qoladi. Bizning harakatlarimiz natijasi yangi kasr bo'lib, uning soni sonlarning ko'paytmasi, maxraji esa maxrajlarning mahsulotidir.
10-misol
X 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 qadamlarini bajaring.
Yechim
Qavslar ichidagi kasrlarni ayirishdan boshlaylik. Keling, ularni umumiy maxrajga keltiramiz:
x 1 2 - 1 x 1 2 + 1
Numeratorlarni ayiraylik:
x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2
Endi kasrlarni ko'paytiramiz:
4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2
Keling, bir kuch bilan kamaytiraylik x 1 2, biz 4 x 1 2 - 1 · x 1 2 + 1 ni olamiz.
Bundan tashqari, kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, maxrajdagi kuch ifodasini soddalashtirishingiz mumkin: kvadratlar: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1 .
Javob: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1
11-misol
X 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 kuch qonuni ifodasini soddalashtiring.
Yechim
Biz kasrni kamaytirishimiz mumkin (x 2 , 7 + 1) 2. Biz x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1 kasrni olamiz.
Keling, x x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2, 7 + 1 darajalarini o'zgartirishni davom ettiramiz. Endi siz bir xil asoslar bilan kuchlarni bo'lish xususiyatidan foydalanishingiz mumkin: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2, 7 + 1.
Biz oxirgi mahsulotdan x 1 3 8 x 2, 7 + 1 kasrga o'tamiz.
Javob: x 3 4 x 2, 7 + 1 2 x - 5 8 x 2, 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2, 7 + 1.
Ko'pgina hollarda ko'rsatkich belgisini o'zgartirib, manfiy ko'rsatkichli omillarni hisoblagichdan maxrajga va orqaga o'tkazish qulayroqdir. Ushbu harakat keyingi qarorni soddalashtirishga imkon beradi. Misol keltiramiz: (x + 1) - 0, 2 3 · x - 1 kuch ifodasini x 3 · (x + 1) 0, 2 bilan almashtirish mumkin.
Ildiz va kuch bilan ifodalarni aylantirish
Masalalarda nafaqat kasr ko'rsatkichli darajalarni, balki ildizlarni ham o'z ichiga olgan daraja ifodalari mavjud. Bunday iboralarni faqat ildizlarga yoki faqat kuchlarga qisqartirish tavsiya etiladi. Diplomlarga borish afzalroq, chunki ular bilan ishlash osonroq. Ushbu o'tish, ayniqsa, original ifoda uchun o'zgaruvchilarning ODZ moduliga kirish yoki ODZni bir necha intervallarga bo'lish kerak bo'lmasdan, ildizlarni kuchlar bilan almashtirishga imkon berganda afzalroqdir.
12-misol
x 1 9 · x · x 3 6 ifodani daraja sifatida ifodalang.
Yechim
Ruxsat etilgan o'zgaruvchan qiymatlar diapazoni x ikki tengsizlik bilan aniqlanadi x ≥ 0 va to'plamni belgilaydigan x x 3 ≥ 0 [ 0 , + ∞) .
Ushbu to'plamda biz ildizlardan kuchlarga o'tish huquqiga egamiz:
x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 9 · x · x 1 3 1 6
Quvvatlarning xossalaridan foydalanib, hosil bo'lgan kuch ifodasini soddalashtiramiz.
x 1 9 · x · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 3 1 6 = x 1 9 · x 1 6 · x 1 · 1 3 · 6 = = x 1 9 · x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3
Javob: x 1 9 · x · x 3 6 = x 1 3.
Ko'rsatkichdagi o'zgaruvchilar bilan darajalarni aylantirish
Agar siz darajaning xususiyatlaridan to'g'ri foydalansangiz, bu o'zgarishlarni amalga oshirish juda oson. Masalan, 5 2 x + 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x - 1 = 0.
Ko'rsatkichlari qandaydir o'zgaruvchi va sonning yig'indisi bo'lgan darajalar mahsuloti bilan almashtira olamiz. Chap tomonda buni ifodaning chap tomonining birinchi va oxirgi shartlari bilan bajarish mumkin:
5 2 x 5 1 - 3 5 x 7 x - 14 7 2 x 7 - 1 = 0, 5 5 2 x - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x = 0.
Endi tenglikning ikkala tomonini ga ajratamiz 7 2 x. Bu x o'zgaruvchisi uchun ifoda faqat ijobiy qiymatlarni oladi:
5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0
Kasrlarni darajalar bilan kamaytiramiz, biz quyidagilarni olamiz: 5 · 5 2 · x 7 2 · x - 3 · 5 x 7 x - 2 = 0.
Nihoyat, ko‘rsatkichlari bir xil bo‘lgan darajalar nisbati nisbatlarning darajalari bilan almashtiriladi, natijada 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 tenglama hosil bo‘ladi, bu 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x ga ekvivalentdir. - 2 = 0.
5 · t 2 - 3 · t - 2 = 0 kvadrat tenglamaning yechimiga dastlabki ko'rsatkichli tenglamaning yechimini kamaytiruvchi yangi t = 5 7 x o'zgaruvchini kiritamiz.
Darajalar va logarifmlar bilan ifodalarni aylantirish
Masalalarda darajalar va logarifmlarni o'z ichiga olgan ifodalar ham uchraydi. Bunday ifodalarga misol: 1 4 1 - 5 · log 2 3 yoki log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) · log 5 3. Bunday iboralarni o'zgartirish yuqorida muhokama qilingan logarifmlarning yondashuvlari va xususiyatlaridan foydalangan holda amalga oshiriladi, biz buni "Logarifmik ifodalarni o'zgartirish" mavzusida batafsil muhokama qildik.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Ifodalar, ifoda konvertatsiyasi
Quvvat ifodalari (kuchli ifodalar) va ularning transformatsiyasi
Ushbu maqolada biz iboralarni kuchlar bilan aylantirish haqida gapiramiz. Birinchidan, biz har qanday turdagi ifodalar, jumladan, qavslarni ochish va o'xshash atamalarni keltirish kabi kuch ifodalari bilan amalga oshiriladigan transformatsiyalarga e'tibor qaratamiz. Va keyin biz darajali ifodalarga xos bo'lgan o'zgarishlarni tahlil qilamiz: asos va ko'rsatkich bilan ishlash, darajalar xususiyatlaridan foydalanish va hk.
Sahifani navigatsiya qilish.
Quvvat ifodalari nima?
"Kuch ifodalari" atamasi maktab matematika darsliklarida deyarli uchramaydi, lekin u ko'pincha muammolar to'plamida, xususan, Yagona davlat imtihoniga va Yagona davlat imtihoniga tayyorgarlik ko'rish uchun mo'ljallangan. Har qanday harakatlarni kuch ifodalari bilan bajarish zarur bo'lgan vazifalarni tahlil qilgandan so'ng, kuch ifodalari ularning yozuvlarida vakolatlarni o'z ichiga olgan iboralar sifatida tushunilishi aniq bo'ladi. Shunday qilib, siz o'zingiz uchun quyidagi ta'rifni qabul qilishingiz mumkin:
Ta'rif.
Quvvat ifodalari darajalarni o'z ichiga olgan ifodalardir.
beraylik kuch ifodalariga misollar. Bundan tashqari, biz ularni tabiiy ko'rsatkichli darajadan haqiqiy darajali darajaga qarashlarning rivojlanishi qanday sodir bo'lishiga qarab taqdim etamiz.
Ma'lumki, birinchi navbatda natural darajali sonning kuchi bilan tanishadi, bu bosqichda 3 2, 7 5 +1, (2+1) 5, (−0,1) tipidagi birinchi eng oddiy daraja ifodalari. 4, 3 a 2 paydo bo'ladi -a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 va hokazo.
Biroz vaqt o'tgach, butun ko'rsatkichli sonning kuchi o'rganiladi, bu manfiy butun darajali darajali iboralarning paydo bo'lishiga olib keladi, masalan: 3 -2, 
, a -2 +2 b -3 +c 2.
O'rta maktabda ular darajaga qaytadilar. U erda ratsional ko'rsatkichli daraja kiritiladi, bu tegishli kuch ifodalarining paydo bo'lishiga olib keladi: 
, , 
va h.k. Nihoyat, irratsional darajali darajalar va ularni o'z ichiga olgan ifodalar ko'rib chiqiladi: , .
Masala sanab o'tilgan kuch ifodalari bilan cheklanmaydi: bundan keyin o'zgaruvchi ko'rsatkichga kiradi va, masalan, quyidagi iboralar paydo bo'ladi: 2 x 2 +1 yoki 
. Bilan tanishgandan keyin esa daraja va logarifmli ifodalar paydo bo'la boshlaydi, masalan, x 2·lgx -5·x lgx.
Shunday qilib, biz kuch ifodalari nimani ifodalaydi degan savol bilan shug'ullandik. Keyinchalik biz ularni o'zgartirishni o'rganamiz.
Quvvat ifodalarini o'zgartirishning asosiy turlari
Quvvat ifodalari yordamida siz iboralarning asosiy identifikatori oʻzgarishlarini amalga oshirishingiz mumkin. Masalan, siz qavslarni ochishingiz, raqamli ifodalarni ularning qiymatlari bilan almashtirishingiz, o'xshash atamalarni qo'shishingiz va hokazo. Tabiiyki, bu holda, harakatlarni amalga oshirish uchun qabul qilingan tartib-qoidaga rioya qilish kerak. Keling, misollar keltiraylik.
Misol.
Quvvat ifodasining qiymatini hisoblang 2 3 ·(4 2 −12) .
Yechim.
Harakatlarni bajarish tartibiga ko'ra, birinchi navbatda qavs ichidagi amallarni bajaring. U erda, birinchidan, 4 2 kuchini uning qiymati 16 (kerak bo'lsa, qarang) bilan almashtiramiz, ikkinchidan, 16−12=4 farqni hisoblaymiz. Bizda ... bor 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4.
Hosil bo'lgan ifodada 2 3 quvvatni uning qiymati 8 bilan almashtiramiz, shundan so'ng 8·4=32 ko'paytmani hisoblaymiz. Bu kerakli qiymat.
Shunday qilib, 2 3 ·(4 2 −12)=2 3 ·(16−12)=2 3 ·4=8·4=32.
Javob:
2 3 ·(4 2 −12)=32.
Misol.
Kuchlar bilan ifodalarni soddalashtiring 3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7.
Yechim.
Shubhasiz, bu ifoda 3·a 4 ·b -7 va 2·a 4 ·b -7 o'xshash atamalarni o'z ichiga oladi va biz ularni taqdim etishimiz mumkin: .
Javob:
3 a 4 b −7 −1+2 a 4 b −7 =5 a 4 b −7 −1.
Misol.
Mahsulot sifatida kuchlar bilan ifodani ifodalang.
Yechim.
Siz 9 raqamini 3 2 ning kuchi sifatida ifodalab, so'ngra qisqartirilgan ko'paytirish formulasidan foydalanib, vazifani engishingiz mumkin - kvadratlar farqi: 
Javob:
Quvvat ifodalariga xos bo'lgan bir qancha o'xshash o'zgarishlar ham mavjud. Biz ularni batafsil tahlil qilamiz.
Baza va ko‘rsatkich bilan ishlash
Shunday darajalar borki, ularning asosi va/yoki ko‘rsatkichi shunchaki raqamlar yoki o‘zgaruvchilar emas, balki ba’zi ifodalardir. Misol tariqasida (2+0,3·7) 5−3,7 va (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) yozuvlarini keltiramiz.
Bunday iboralar bilan ishlashda daraja asosidagi ifodani ham, ko'rsatkichdagi ifodani ham uning o'zgaruvchilari ODZidagi bir xil teng ifoda bilan almashtirish mumkin. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bizga ma'lum bo'lgan qoidalarga ko'ra, biz daraja asosini alohida va ko'rsatkichni alohida o'zgartirishimiz mumkin. Ushbu o'zgartirish natijasida asli bilan bir xilda teng bo'lgan ifoda olinishi aniq.
Bunday o'zgarishlar bizga vakolatlar bilan ifodalarni soddalashtirish yoki bizga kerak bo'lgan boshqa maqsadlarga erishish imkonini beradi. Masalan, yuqorida ko'rsatilgan quvvat ifodasida (2+0,3 7) 5−3,7 asos va ko'rsatkichdagi raqamlar bilan amallarni bajarishingiz mumkin, bu esa 4,1 1,3 darajaga o'tish imkonini beradi. Qavslarni ochib, o‘xshash atamalarni daraja asosiga keltirgandan so‘ng (a·(a+1)−a 2) 2·(x+1) a 2·(x+) oddiyroq ko‘rinishdagi daraja ifodasini olamiz. 1) .
Degree xususiyatlaridan foydalanish
Kuchlar bilan ifodalarni o'zgartirishning asosiy vositalaridan biri aks ettiruvchi tenglikdir. Keling, asosiylarini eslaylik. Har qanday musbat a va b sonlar va ixtiyoriy r va s haqiqiy sonlar uchun darajalarning quyidagi xossalari to‘g‘ri bo‘ladi:
- a r ·a s =a r+s ;
- a r:a s =a r−s ;
- (a·b) r =a r ·b r ;
- (a:b) r =a r:b r ;
- (a r) s =a r·s .
Esda tutingki, natural, butun va musbat ko‘rsatkichlar uchun a va b raqamlariga cheklovlar unchalik qattiq bo‘lmasligi mumkin. Masalan, m va n natural sonlar uchun a m ·a n =a m+n tenglik faqat musbat a uchun emas, manfiy a uchun ham, a=0 uchun ham to‘g‘ri bo‘ladi.
Maktabda kuch ifodalarini o'zgartirishda asosiy e'tibor tegishli xususiyatni tanlash va uni to'g'ri qo'llash qobiliyatiga qaratiladi. Bunday holda, darajalar asoslari odatda ijobiy bo'lib, bu darajalarning xususiyatlarini cheklovlarsiz ishlatishga imkon beradi. Xuddi shu narsa kuchlar asoslarida o'zgaruvchilarni o'z ichiga olgan iboralarni o'zgartirish uchun ham amal qiladi - o'zgaruvchilarning ruxsat etilgan qiymatlari diapazoni odatda shunday bo'ladiki, asoslar faqat ijobiy qiymatlarni oladi, bu sizga kuchlar xususiyatlaridan erkin foydalanish imkonini beradi. . Umuman olganda, siz doimo o'zingizdan bu holatda darajalarning har qanday xususiyatidan foydalanish mumkinmi, deb so'rashingiz kerak, chunki xususiyatlardan noto'g'ri foydalanish ta'lim qiymatining torayishi va boshqa muammolarga olib kelishi mumkin. Ushbu fikrlar kuchlarning xususiyatlaridan foydalangan holda iboralarni o'zgartirish maqolasida batafsil va misollar bilan ko'rib chiqiladi. Bu erda biz bir nechta oddiy misollarni ko'rib chiqish bilan cheklanamiz.
Misol.
a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 ifodani a asosli daraja sifatida ifodalang.
Yechim.
Birinchidan, biz ikkinchi omilni (a 2) −3 ni quvvatni kuchga ko'tarish xususiyatidan foydalanib o'zgartiramiz: (a 2) −3 =a 2·(−3) =a −6. Asl kuch ifodasi a 2,5 ·a -6:a -5,5 ko'rinishini oladi. Shubhasiz, bir xil asosga ega bo'lgan kuchlarni ko'paytirish va bo'lish xususiyatlaridan foydalanish qoladi.
a 2,5 ·a -6:a -5,5 =
a 2,5−6:a −5,5 =a −3,5:a −5,5 =
a −3,5−(−5,5) =a 2 .
Javob:
a 2,5 ·(a 2) −3:a −5,5 =a 2.
Quvvat ifodalarini o'zgartirishda kuchlarning xususiyatlari chapdan o'ngga ham, o'ngdan chapga ham qo'llaniladi.
Misol.
Quvvat ifodasining qiymatini toping.
Yechim.
O'ngdan chapga qo'llaniladigan (a·b) r =a r ·b r tengligi bizga asl ifodadan shaklning ko'paytmasiga va undan keyingisiga o'tishga imkon beradi. Va darajalarni bir xil asoslar bilan ko'paytirishda ko'rsatkichlar qo'shiladi: 
.
Asl iborani boshqa yo'l bilan o'zgartirish mumkin edi: 
Javob:
.
Misol.
Quvvat ifodasi a 1,5 −a 0,5 −6 bo‘lsa, yangi t=a 0,5 o‘zgaruvchisini kiriting.
Yechim.
a 1,5 darajasi 0,5 3 sifatida ifodalanishi mumkin va keyin o'ngdan chapga qo'llaniladigan darajaning (a r) s =a r s xossasidan kelib chiqib, uni (a 0,5) 3 ko'rinishiga aylantiring. Shunday qilib, a 1,5 −a 0,5 −6=(a 0,5) 3 −a 0,5 −6. Endi t=a 0,5 yangi o‘zgaruvchini kiritish oson, biz t 3 −t−6 ni olamiz.
Javob:
t 3 −t−6 .
Darajani o'z ichiga olgan kasrlarni aylantirish
Quvvat iboralari vakolatli kasrlarni o'z ichiga olishi yoki ifodalashi mumkin. Har qanday turdagi kasrlarga xos bo'lgan kasrlarning asosiy o'zgarishi bunday kasrlarga to'liq mos keladi. Ya'ni, darajalarni o'z ichiga olgan kasrlarni qisqartirish, yangi maxrajga keltirish, o'z hisoblagichi bilan alohida va maxraj bilan alohida ishlash mumkin va hokazo. Ushbu so'zlarni tasvirlash uchun bir nechta misollarning echimlarini ko'rib chiqing.
Misol.
Quvvat ifodasini soddalashtiring 
.
Yechim.
Bu kuch ifodasi kasrdir. Keling, uning soni va maxraji bilan ishlaymiz. Numeratorda biz qavslarni ochamiz va natijada olingan ifodani darajalar xususiyatlaridan foydalangan holda soddalashtiramiz va maxrajda biz shunga o'xshash atamalarni keltiramiz: 
Kasr oldiga minus qo'yib, maxraj belgisini ham o'zgartiramiz: 
.
Javob:
.
Huddi o'z ichiga olgan kasrlarni yangi maxrajga kamaytirish ratsional kasrlarni yangi maxrajga qisqartirish kabi amalga oshiriladi. Bunda qo'shimcha ko'rsatkich ham topiladi va kasrning son va maxraji unga ko'paytiriladi. Ushbu amalni bajarayotganda, yangi maxrajga qisqartirish VA ning torayishiga olib kelishi mumkinligini yodda tutish kerak. Buning oldini olish uchun qo'shimcha omil asl ifoda uchun ODZ o'zgaruvchilari o'zgaruvchilarning har qanday qiymatlari uchun nolga tushmasligi kerak.
Misol.
Kasrlarni yangi maxrajga keltiring: a) maxraj a, b) 
maxrajga.
Yechim.
a) Bunday holda, kerakli natijaga erishish uchun qaysi qo'shimcha multiplikator yordam berishini aniqlash juda oson. Bu 0,3 ning ko'paytmasi, chunki 0,7 ·a 0,3 =a 0,7+0,3 =a. E'tibor bering, a o'zgaruvchisining ruxsat etilgan qiymatlari oralig'ida (bu barcha musbat haqiqiy sonlar to'plami) 0,3 ning kuchi yo'qolmaydi, shuning uchun biz berilgan raqam va maxrajni ko'paytirish huquqiga egamiz. ushbu qo'shimcha omil bo'yicha qism: 
b) maxrajga diqqat bilan qarasangiz, buni bilib olasiz 
va bu ifodani ga ko'paytirsak, kublar yig'indisi va , ya'ni . Va bu asl kasrni kamaytirishimiz kerak bo'lgan yangi maxrajdir.
Shunday qilib, biz qo'shimcha omil topdik. X va y o'zgaruvchilarning qabul qilinadigan qiymatlari oralig'ida ifoda yo'qolmaydi, shuning uchun biz kasrning numeratori va maxrajini unga ko'paytirishimiz mumkin: 
Javob:
A) 
, b) 
.
Kuchlarni o'z ichiga olgan kasrlarni kamaytirishda ham yangilik yo'q: hisoblagich va maxraj bir qator omillar sifatida ifodalanadi va hisoblagich va maxrajning bir xil omillari kamayadi.
Misol.
Kasrni kamaytiring: a) 
, b).
Yechim.
a) Birinchidan, pay va maxrajni 30 va 45 raqamlariga kamaytirish mumkin, bu 15 ga teng. Bundan tashqari, aniqki, x 0,5 +1 va tomonidan qisqartirishni amalga oshirish mumkin 
. Mana bizda nima bor: 
b) Bunda ayiruvchi va maxrajdagi bir xil omillar darhol ko'rinmaydi. Ularni olish uchun siz dastlabki o'zgarishlarni amalga oshirishingiz kerak bo'ladi. Bunday holda, ular kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, maxrajni faktorlarga ajratishdan iborat: 
Javob:
A) 
b) 
.
Kasrlarni yangi maxrajga aylantirish va kasrlarni qisqartirish asosan kasrli ishlarni bajarish uchun ishlatiladi. Harakatlar ma'lum qoidalarga muvofiq amalga oshiriladi. Kasrlarni qo'shishda (ayirishda) ular umumiy maxrajga keltiriladi, shundan so'ng sanoqlar qo'shiladi (ayiriladi), lekin maxraj bir xil bo'lib qoladi. Natijada ayiruvchisi ayirmalarning ko‘paytmasiga, maxraji esa maxrajlarning ko‘paytmasiga teng bo‘lgan kasr hosil bo‘ladi. Kasrga bo'lish uning teskari qismiga ko'paytirishdir.
Misol.
Qadamlarni bajaring 
.
Yechim.
Birinchidan, qavs ichidagi kasrlarni ayiramiz. Buning uchun biz ularni umumiy maxrajga keltiramiz, ya'ni 
, shundan so'ng biz sonlarni ayiramiz: 
Endi kasrlarni ko'paytiramiz: 
Shubhasiz, x 1/2 kuch bilan kamaytirish mumkin, shundan keyin bizda bor 
.
Shuningdek, kvadratlar farqi formulasidan foydalanib, maxrajdagi kuch ifodasini soddalashtirishingiz mumkin: 
.
Javob:
Misol.
Quvvat ifodasini soddalashtiring 
.
Yechim.
Shubhasiz, bu kasrni (x 2,7 +1) 2 ga kamaytirish mumkin, bu kasrni beradi. 
. X ning vakolatlari bilan yana bir narsa qilish kerakligi aniq. Buning uchun hosil bo'lgan kasrni mahsulotga aylantiramiz. Bu bizga bir xil asoslar bilan vakolatlarni taqsimlash xususiyatidan foydalanish imkoniyatini beradi: 
. Va jarayonning oxirida biz oxirgi mahsulotdan kasrga o'tamiz.
Javob:
.
Yana shuni qo‘shimcha qilamizki, ko‘rsatkich belgisini o‘zgartirgan holda manfiy ko‘rsatkichlari bo‘lgan omillarni ayiruvchidan maxrajga yoki maxrajdan hisoblagichga o‘tkazish mumkin va ko‘p hollarda maqsadga muvofiqdir. Bunday o'zgarishlar ko'pincha keyingi harakatlarni soddalashtiradi. Masalan, kuch ifodasi bilan almashtirilishi mumkin.
Ildiz va kuch bilan ifodalarni aylantirish
Ko'pincha, ba'zi transformatsiyalar talab qilinadigan iboralarda, kasr ko'rsatkichlari bo'lgan ildizlar ham vakolatlar bilan birga mavjud. Bunday ifodani kerakli shaklga aylantirish uchun ko'p hollarda faqat ildizlarga yoki faqat kuchlarga o'tish kifoya. Ammo kuchlar bilan ishlash qulayroq bo'lgani uchun ular odatda ildizlardan kuchlarga o'tadilar. Biroq, asl ifoda uchun o'zgaruvchilarning ODZ modulga murojaat qilmasdan yoki ODZni bir nechta intervallarga bo'lmasdan ildizlarni kuchlar bilan almashtirishga imkon berganda bunday o'tishni amalga oshirish tavsiya etiladi (biz buni batafsil muhokama qildik. artiklning ildizlardan darajalarga va orqaga o'tish Ratsional darajali daraja bilan tanishgandan so'ng irratsional darajali daraja kiritiladi, bu bizga ixtiyoriy haqiqiy darajali daraja haqida gapirish imkonini beradi.Bu bosqichda maktab. o'rganish eksponensial funktsiya, u analitik jihatdan bir daraja bilan beriladi, uning asosi son va ko'rsatkichi o'zgaruvchidir. Shunday qilib, biz darajalar bazasida raqamlarni va ko'rsatkichni o'z ichiga olgan kuch ifodalariga duch kelamiz - o'zgaruvchili ifodalar va tabiiyki, bunday ifodalarni o'zgartirish zarurati tug'iladi.
Aytish kerakki, ko'rsatilgan turdagi ifodalarni o'zgartirish odatda hal qilishda amalga oshirilishi kerak eksponensial tenglamalar Va eksponensial tengsizliklar, va bu konvertatsiyalar juda oddiy. Aksariyat hollarda ular darajaning xususiyatlariga asoslanadi va ko'pincha kelajakda yangi o'zgaruvchini kiritishga qaratilgan. Tenglama bizga ularni ko'rsatishga imkon beradi 5 2 x+1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x−1 =0.
Birinchidan, ko'rsatkichlari ma'lum bir o'zgaruvchining (yoki o'zgaruvchilar bilan ifodalangan) va sonning yig'indisidan iborat bo'lgan kuchlar mahsulot bilan almashtiriladi. Bu chap tomondagi ifodaning birinchi va oxirgi shartlariga taalluqlidir:
5 2 x 5 1 −3 5 x 7 x −14 7 2 x 7 −1 =0,
5 5 2 x −3 5 x 7 x −2 7 2 x =0.
Keyinchalik, tenglikning ikkala tomoni 7 2 x ifodasiga bo'linadi, bu x o'zgaruvchisining ODZ-da dastlabki tenglama uchun faqat ijobiy qiymatlarni oladi (bu bunday turdagi tenglamalarni echishning standart usuli, biz emas hozir bu haqda gapirganda, shuning uchun kuchlar bilan ifodalarni keyingi o'zgartirishlarga e'tibor bering ): 
Endi biz kasrlarni kuchlar bilan bekor qilishimiz mumkin, bu beradi 
.
Nihoyat, bir xil ko'rsatkichlarga ega bo'lgan kuchlar nisbati munosabatlarning vakolatlari bilan almashtiriladi, natijada tenglama hosil bo'ladi. 
, bu ekvivalent 
. Amalga oshirilgan o'zgartirishlar bizga yangi o'zgaruvchini kiritish imkonini beradi, bu esa dastlabki ko'rsatkichli tenglamaning yechimini kvadrat tenglamaning yechimiga qisqartiradi.
“Chiziqli tenglamalar tizimini yechish usullari” - Tenglama. Ifoda. Chiziqli tenglamalar sistemalarini yechish usullari. Yechimlar. O'zgartirish usuli. Raqam. Tizimlarni hal qilish. Biz topamiz. Qo'shish usuli. Keling, tizimni hal qilaylik.
"Faktorizatsiya usullari" - Algebraik kasrlarni kamaytirish. Tenglamani yeching. Ko‘phadlarni faktoring. Identifikatsiyalar. Asosiy natijalar. Ko'phadni birikma yordamida koeffitsientlarga ajratish. Keling, boshqa vaziyatni ko'rib chiqaylik. Ko‘phadni ko‘paytmalarga ajratishdan foydalanamiz. Koeffitsientlarning eng katta umumiy bo'luvchisi. Ko'phadni formulalar yordamida koeffitsientlarga ajratish. Qavslar ichidan umumiy omilni chiqarish. Faktoring foydali narsa.
““Darajlar” 7-sinf” - Tenglamalarni yechish. Tenglamada K ni toping.Uni daraja sifatida ko'rsating. Hisoblash. 625-son. Og'zaki sanash. Ifodani asosi 7 ga teng daraja sifatida ifodalang. Uni standart shaklda yozing. Tabiiy darajali daraja xossalari. Modulli tenglama. Muammoni hal qiling. 64 raqami. Darsning borishi. Dars maqsadlari. 729-son. Test ishi.
"Monomialning standart shakli" - iboralarni o'qing. Ko‘paytirishning kommutativ va assotsiativ qonunlaridan foydalanamiz. Stol ustida. Raqamlar mahsuloti. Buni ilmiy daraja sifatida tasavvur qiling. Monomialning darajasi nima deyiladi? Yangi materialni birlashtirish. Ko'rsatkich. Imkoniyatlar. Mustahkamlash. Amaliy ish. Monomial. Jadvalni to'ldiring. Talabalarning hisoblash qobiliyatlari. Mustaqil ish. Ehtiyotkorlik bilan qarang. Monomial va uning standart shakli.
"Tabiiy ko'rsatkichli darajaning xususiyatlari" - Darsning epigrafi. Eksponentsiya holatlari. Hikoya. Jismoniy madaniyat. Biologiya. Tabiiy darajali daraja xossalari. Ifodalarni kuch sifatida ifodalang. Tahririyat. Pifagorlar. Geografiya. Sinfda material takrorlandi. Aql gimnastikasi.
““Ko‘phadni ko‘paytirish” 7-sinf” - Ko‘phadni ko‘phadga ko‘paytirish. Polinomlarni ko'paytirish. Uy vazifasi. Dars maqsadlari. Ko'phadlarni ko'paytirish algoritmi. Ko'phadni monomga ko'paytirish. Qoida. "Ko'phadlarni ko'paytirish" mavzusidagi dars. Muammolar kitobiga muvofiq ishlang. Og'zaki ish.
