uy » San'at va ijodkorlik » To'rt o'lchovli kub chizish uchun dastur. Tesserakt va umuman n o'lchovli kublar To'rt o'lchovli kub aylanishi

To'rt o'lchovli kub chizish uchun dastur. Tesserakt va umuman n o'lchovli kublar To'rt o'lchovli kub aylanishi

Agar siz Qasoskorlar filmlarining muxlisi bo'lsangiz, "Tesseract" so'zini eshitganingizda xayolingizga keladigan birinchi narsa bu cheksiz kuchga ega bo'lgan Cheksizlik toshining kub shaklidagi shaffof idishidir.

Marvel koinotining muxlislari uchun Tesseract nafaqat Yerdan, balki boshqa sayyoralardan ham odamlarni aqldan ozdiradigan yorqin ko'k kubdir. Shuning uchun barcha Qasoskorlar Yerliklarni Tesseraktning o'ta halokatli kuchlaridan himoya qilish uchun birlashdilar.

Biroq, buni aytish kerak: Tesseract - bu haqiqiy geometrik tushuncha, aniqrog'i, 4Dda mavjud bo'lgan shakl. Bu shunchaki Qasoskorlar filmidagi ko‘k kub emas... bu haqiqiy tushuncha.

Tesseract - bu 4 o'lchovli ob'ekt. Ammo buni batafsil tushuntirishdan oldin, keling, boshidan boshlaylik.

"O'lchov" nima?

Har bir inson kosmosdagi mos ravishda ikki o'lchovli yoki uch o'lchovli ob'ektlarni ifodalovchi 2D va 3D atamalarini eshitgan. Ammo bu o'lchovlar nima?

O'lcham - bu shunchaki siz borishingiz mumkin bo'lgan yo'nalish. Misol uchun, agar siz qog'ozga chiziq chizayotgan bo'lsangiz, chapga/o'ngga (x o'qi) yoki yuqoriga/pastga (y o'qi) o'tishingiz mumkin. Shunday qilib, biz qog'ozni ikki o'lchovli deb aytamiz, chunki siz faqat ikki yo'nalishda borishingiz mumkin.

3D-da chuqurlik hissi mavjud.

Endi, haqiqiy dunyoda, yuqorida aytib o'tilgan ikkita yo'nalishdan tashqari (chap/o'ng va yuqoriga/pastga) ham "to/dan" ga o'tishingiz mumkin. Shunday qilib, 3D maydoniga chuqurlik hissi qo'shiladi. Shuning uchun biz haqiqiy hayot 3 o'lchovli deymiz.

Nuqta 0 o‘lchamni (hech qanday yo‘nalishda harakat qilmaydiganligi sababli), chiziq 1 o‘lchamni (uzunlik), kvadrat 2 o‘lchamni (uzunlik va kenglik) va kub 3 o‘lchamni (uzunlik, kenglik va balandlik) ifodalashi mumkin. ).

3D kubni oling va uning har bir yuzini (hozirda kvadratlar) kub bilan almashtiring. Va hokazo! Siz olgan shakl tesseraktdir.

Tesserakt nima?

Oddiy qilib aytganda, tesserakt 4 o'lchovli fazodagi kubdir. Bundan tashqari, bu kubning 4D analogi deb aytishingiz mumkin. Bu har bir yuz kub bo'lgan 4D shakli.

Ikki ortogonal tekislik atrofida ikki marta aylanishni amalga oshiruvchi tesseraktning 3D proyeksiyasi.
Rasm: Jeyson Hise

Mana, o'lchamlarni kontseptsiyalashning oddiy usuli: kvadrat ikki o'lchovli; shuning uchun uning har bir burchagida undan bir-biriga 90 graduslik burchak ostida cho'zilgan 2 ta chiziq mavjud. Kub 3D, shuning uchun uning har bir burchagida undan chiqadigan 3 ta chiziq bor. Xuddi shunday, tesserakt 4D shaklidir, shuning uchun har bir burchakda undan cho'zilgan 4 ta chiziq mavjud.

Nega tesseraktni tasavvur qilish qiyin?

Biz odamlar sifatida ob'ektlarni uch o'lchovli tasavvur qilish uchun rivojlanganligimiz sababli, 4D, 5D, 6D va hokazo kabi qo'shimcha o'lchamlarga kiradigan har qanday narsa biz uchun unchalik mantiqiy emas, chunki biz ularni umuman kirita olmaymiz. Bizning miyamiz kosmosdagi 4-o'lchovni tushunolmaydi. Biz shunchaki bu haqda o'ylay olmaymiz.

Biroq, biz ko'p o'lchovli bo'shliqlar kontseptsiyasini tasavvur qila olmasligimiz, uning mavjud bo'lmasligini anglatmaydi.

Matematik jihatdan tesserakt juda aniq shakldir. Xuddi shunday, yuqori o'lchamdagi barcha shakllar, ya'ni 5D va 6D ham matematik jihatdan oqilona.

Kubni 2D fazoda 6 kvadratga kengaytirish mumkin bo'lganidek, tesseraktni ham 3D fazoda 8 kubga kengaytirish mumkin.

Ajablanadigan va tushunarsiz, shunday emasmi?

Demak, tesserakt “Qasoskorlar” filmlarida kurashayotgan yaltiroq ko‘k kub emas, balki matematik jihatdan mutlaqo asosli “haqiqiy tushuncha”dir.

Giperkub va platonik qattiq jismlar

"Vektor" tizimida kesilgan ikosahedrni ("futbol to'pi") modellashtiring.
unda har bir beshburchak olti burchaklar bilan chegaralangan

Kesilgan ikosaedr muntazam beshburchaklar ko'rinishidagi yuzlarni hosil qilish uchun 12 ta burchakni kesib olish orqali olinishi mumkin. Bunda yangi ko‘pburchakning uchlari soni 5 marta ortadi (12×5=60), 20 ta uchburchak yuzlar muntazam olti burchakli (jami) aylanadi. yuzlar 20+12=32 ga aylanadi), A qirralarning soni 30+12×5=90 ga oshadi.

Vektor tizimida kesilgan ikosahedrni qurish bosqichlari

4 o'lchovli fazodagi raqamlar.

--à

--à ?

Masalan, kub va giperkub berilgan. Giperkubning 24 ta yuzi bor. Bu shuni anglatadiki, 4 o'lchovli oktaedr 24 ta tepaga ega bo'ladi. Yo'q bo'lsa ham, giperkubda kublarning 8 ta yuzi bor - har birining tepasida markaz bor. Bu shuni anglatadiki, 4 o'lchovli oktaedr 8 ta tepaga ega bo'ladi, bu esa undan ham engilroq.

4 o'lchovli oktaedr. U sakkizta teng qirrali va teng tetraedradan iborat,
har bir tepada to'rtta bilan bog'langan.

Guruch. Simulyatsiya qilishga urinish
Vektor tizimidagi gipersfera-gipersfera

Old - orqa yuzlar - buzilmagan to'plar. Yana oltita sharni ellipsoidlar yoki kvadratik sirtlar (generator sifatida 4 kontur chizig'i orqali) yoki yuzlar (birinchi navbatda generatorlar orqali aniqlanadi) orqali aniqlash mumkin.

Gipersferani "qurish" uchun ko'proq texnikalar
- 4 o'lchovli fazoda bir xil "futbol to'pi"

2-ilova

Qavariq ko'pburchaklar uchun uning uchlari, qirralari va yuzlari sonini bog'lovchi xususiyat mavjud bo'lib, 1752 yilda Leonhard Eyler tomonidan isbotlangan va Eyler teoremasi deb ataladi.

Uni shakllantirishdan oldin bizga ma'lum bo'lgan ko'pburchakni ko'rib chiqing va quyidagi jadvalni to'ldiring, bunda B - berilgan ko'pburchakning uchlari soni, P - qirralari va G - yuzlari:

Ko'p yuzli nomi
Uchburchak piramida
To'rtburchak piramida
Uchburchak prizma
To'rtburchak prizma
n-ko'mir piramidasi	n+1	2n	n+1
n-uglerod prizmasi	2n	3n	n+2
n-kesilgan ko'mir piramida	2n	3n	n+2

Bu jadvaldan barcha tanlangan ko‘pburchaklar uchun B - P + G = 2 tengligi to‘g‘ri kelishi darhol ma’lum bo‘ladi.Ma’lum bo‘lishicha, bu tenglik faqat shu ko‘pburchaklar uchun emas, balki ixtiyoriy qavariq ko‘pburchak uchun ham amal qiladi.

Eyler teoremasi. Har qanday qavariq ko'pburchak uchun tenglik amal qiladi

B - P + G = 2,

Bu erda B - uchlari soni, P - qirralarning soni va G - berilgan ko'pburchakning yuzlari soni.

Isbot. Ushbu tenglikni isbotlash uchun elastik materialdan yasalgan bu ko'pburchakning sirtini tasavvur qiling. Keling, uning yuzlaridan birini olib tashlaymiz (kesib olamiz) va qolgan sirtini tekislikka cho'zamiz. Biz ko'pburchakni olamiz (ko'pburchakning olib tashlangan yuzining qirralari bilan hosil qilingan), kichikroq ko'pburchaklarga bo'lingan (ko'pburchakning qolgan yuzlari tomonidan yaratilgan).

E'tibor bering, ko'pburchaklar deformatsiyalanishi, kattalashishi, kichrayishi yoki hatto yon tomonlarida bo'shliqlar bo'lmasa, egri bo'lishi mumkin. Cho'qqilar, qirralar va yuzlar soni o'zgarmaydi.

Natijada ko'pburchakning kichikroq ko'pburchaklarga bo'linishi tenglikni qondirishini isbotlaylik

(*)B - P + G " = 1,

Bu erda B - uchlarning umumiy soni, P - qirralarning umumiy soni va G " - bo'limga kiritilgan ko'pburchaklar soni. Ko'rinib turibdiki, G " = G - 1, bu erda G - berilgan yuzlar soni. ko'pburchak.

Berilgan qismning qaysidir ko‘pburchakda diagonal chizilgan bo‘lsa, tenglik (*) o‘zgarmasligini isbotlaylik (5-rasm, a). Haqiqatan ham, bunday diagonal chizilgandan so'ng, yangi bo'limda B uchlari, P+1 qirralari bo'ladi va ko'pburchaklar soni bittaga ko'payadi. Shuning uchun bizda bor

B - (P + 1) + (G "+1) = B - P + G " .

Ushbu xususiyatdan foydalanib, biz kiruvchi ko'pburchaklarni uchburchaklarga bo'luvchi diagonallarni chizamiz va natijada bo'lish uchun tenglikning (*) amalga oshirilishini ko'rsatamiz (5-rasm, b). Buning uchun biz uchburchaklar sonini kamaytirib, tashqi qirralarni ketma-ket olib tashlaymiz. Bunday holda, ikkita holat mumkin:

a) uchburchakni olib tashlash uchun ABC ikkita qovurg'ani olib tashlash kerak, bizning holatlarimizda AB Va Miloddan avvalgi;

b) uchburchakni olib tashlash uchunMKNbir chetini olib tashlash kerak, bizning holatlarimizdaMN.

Ikkala holatda ham tenglik (*) o'zgarmaydi. Misol uchun, birinchi holatda, uchburchakni olib tashlaganingizdan so'ng, grafik B - 1 burchak, P - 2 qirralar va G " - 1 ko'pburchakdan iborat bo'ladi:

(B - 1) - (P + 2) + (G " – 1) = B - P + G ".

Ikkinchi ishni o'zingiz ko'rib chiqing.

Shunday qilib, bitta uchburchakni olib tashlash tenglikni (*) o'zgartirmaydi. Ushbu uchburchaklarni olib tashlash jarayonini davom ettirib, biz oxir-oqibat bitta uchburchakdan iborat bo'limga erishamiz. Bunday bo'lim uchun B = 3, P = 3, G " = 1 va shuning uchun B – R + G " = 1. Demak, tenglik (*) asl bo'lim uchun ham amal qiladi, biz nihoyat shuni olamiz. ko'pburchakning bu bo'limi uchun tenglik (*) to'g'ri. Shunday qilib, dastlabki qavariq ko'pburchak uchun B - P + G = 2 tengligi to'g'ri.

Eyler munosabati mavjud bo'lmagan ko'pburchakning misoli, 6-rasmda ko'rsatilgan. Bu ko'pburchakning 16 ta uchi, 32 ta tomoni va 16 ta yuzi bor. Shunday qilib, ushbu ko'pburchak uchun B - P + G = 0 tengligi amal qiladi.

3-ilova.

Film Cube 2: Hypercube — ilmiy fantastika filmi, Kub filmining davomi.

Kub shaklidagi xonalarda sakkizta notanish odam uyg'onadi. Xonalar to'rt o'lchovli giperkub ichida joylashgan. Xonalar doimiy ravishda "kvant teleportatsiyasi" orqali harakatlanadi va agar siz keyingi xonaga kirsangiz, avvalgisiga qaytishingiz dargumon. Parallel dunyolar giperkubda kesishadi, ba'zi xonalarda vaqt boshqacha oqadi, ba'zi xonalarda esa o'lim tuzoqlari.

Filmning syujeti asosan birinchi qismning hikoyasini takrorlaydi, bu ba'zi qahramonlarning obrazlarida ham o'z aksini topadi. Giperkubning yo'q bo'lish vaqtini aniq hisoblagan Nobel mukofoti sovrindori Rozenzveyg giperkub xonalarida vafot etadi..

Tanqid

Agar birinchi qismda labirintda qamalgan odamlar bir-birlariga yordam berishga harakat qilishsa, bu filmda har bir erkak o'zi uchun. Ko'plab keraksiz maxsus effektlar (aka tuzoqlar) mavjud bo'lib, ular filmning bu qismini oldingi bilan mantiqiy bog'lamaydi. Ya'ni, Kub 2 filmi 2000 yil emas, balki 2020-2030 yillardagi kelajak labirintidir. Ikkinchi qismda bu tuzoqlar "Virtual haqiqat" deb ataladigan kompyuter dasturining bir turidir.

Nuqtalar (±1, ±1, ±1, ±1). Boshqacha qilib aytganda, uni quyidagi to'plam sifatida ko'rsatish mumkin:

Tesserakt sakkizta giperplan bilan cheklangan, ularning kesishishi tesseraktning o'zi bilan uning uch o'lchovli yuzlarini (oddiy kublar) belgilaydi. Parallel bo'lmagan 3D yuzlarning har bir juftligi 2D yuzlarni (kvadratchalar) hosil qilish uchun kesishadi va hokazo. Nihoyat, tesseraktda 8 ta 3D yuzlar, 24 ta 2D yuzlar, 32 ta qirralar va 16 ta burchaklar mavjud.

Ommabop tavsif

Keling, giperkubning uch o'lchamli bo'sh joy qoldirmasdan qanday ko'rinishini tasavvur qilishga harakat qilaylik.

Bir o'lchovli "bo'shliq" da - chiziqda - biz L uzunlikdagi AB segmentini tanlaymiz. Ikki o'lchovli tekislikda AB dan L masofada, unga parallel ravishda DC segmentini chizamiz va ularning uchlarini bog'laymiz. Natijada kvadrat CDBA hosil bo'ladi. Ushbu amalni tekislik bilan takrorlab, biz CDBAGHFE uch o'lchamli kubini olamiz. Va kubni to'rtinchi o'lchamdagi (birinchi uchtaga perpendikulyar) L masofaga siljitish orqali biz CDBAGHFEKLJIOPNM giperkubini olamiz.

Samolyotda tesseraktni qurish

Bir o'lchovli AB segmenti ikki o'lchovli CDBA kvadratining tomoni bo'lib xizmat qiladi, kvadrat CDBAGHFE kubining tomoni bo'lib xizmat qiladi, bu esa o'z navbatida to'rt o'lchovli giperkubning tomoni bo'ladi. To'g'ri chiziq segmentining ikkita chegara nuqtasi, kvadratning to'rtta uchi, kubning sakkiztasi bor. Shunday qilib, to'rt o'lchovli giperkubda 16 ta burchak bo'ladi: asl kubning 8 uchi va to'rtinchi o'lchamda siljigan 8 ta uchi. Uning 32 ta qirrasi bor - 12 tasi asl kubning boshlang'ich va oxirgi holatini beradi va yana 8 ta qirrasi to'rtinchi o'lchamga o'tgan sakkizta uchini "chizadi". Xuddi shu fikrni giperkubning yuzlari uchun ham qilish mumkin. Ikki o'lchovli fazoda faqat bitta (kvadratning o'zi), kubda 6 tasi bor (ko'chirilgan kvadratdan ikkita yuz va uning tomonlarini tavsiflovchi yana to'rtta). To'rt o'lchovli giperkubning 24 kvadrat yuzi bor - ikkita holatda asl kubning 12 kvadrati va uning o'n ikki chetidan 12 kvadrat.

Kvadratning yon tomonlari 4 ta bir oʻlchamli segment, kubning tomonlari (yuzlari) 6 ta ikki oʻlchovli kvadrat boʻlgani kabi, “toʻrt oʻlchovli kub” (tesserakt) uchun ham tomonlar 8 ta uch oʻlchamli kub boʻladi. . Tesserakt kublarning qarama-qarshi juftlarining bo'shliqlari (ya'ni, bu kublar tegishli bo'lgan uch o'lchovli bo'shliqlar) parallel. Rasmda bu kublar: CDBAGHFE va KLJIOPNM, CDBAKLJI va GHFEOPNM, EFBAMNJI va GHDCOPLK, CKIAGOME va DLJBHPNF.

Shunga o'xshab, biz ko'proq o'lchamdagi giperkublar haqidagi fikrimizni davom ettirishimiz mumkin, ammo to'rt o'lchovli giperkub biz uchun, uch o'lchovli fazoda yashovchilar uchun qanday ko'rinishini ko'rish qiziqroq. Buning uchun biz allaqachon tanish bo'lgan analogiya usulidan foydalanamiz.

Keling, ABCDHEFG sim kubini olib, chetidan bir ko'z bilan qaraymiz. Biz tekislikda to'rtta chiziq - yon qirralar bilan bog'langan ikkita kvadratni (uning yaqin va uzoq qirralarini) ko'ramiz va chizishimiz mumkin. Xuddi shunday, uch o'lchamli kosmosdagi to'rt o'lchovli giperkub bir-biriga kiritilgan va sakkiz qirra bilan bog'langan ikkita kubik "quti" kabi ko'rinadi. Bunday holda, "qutilar" ning o'zlari - uch o'lchovli yuzlar "bizning" makonimizga proektsiyalanadi va ularni bog'laydigan chiziqlar to'rtinchi o'q yo'nalishi bo'yicha cho'ziladi. Bundan tashqari, kubni proyeksiyada emas, balki fazoviy tasvirda tasavvur qilishga harakat qilishingiz mumkin.

Xuddi uch o'lchamli kub yuzining uzunligi bo'yicha siljigan kvadratdan hosil bo'lganidek, to'rtinchi o'lchamga siljigan kub giperkubni hosil qiladi. U sakkiz kub bilan cheklangan bo'lib, ular istiqbolda qandaydir murakkab shaklga o'xshaydi. To'rt o'lchovli giperkubning o'zi cheksiz miqdordagi kublardan iborat, xuddi uch o'lchovli kubni cheksiz sonli tekis kvadratlarga "kesish" mumkin.

Uch o'lchamli kubning oltita yuzini kesib, uni tekis shaklga - rivojlanishga aylantirishingiz mumkin. Asl yuzning har ikki tomonida kvadrat va yana bitta - unga qarama-qarshi yuz bo'ladi. Va to'rt o'lchovli giperkubning uch o'lchovli rivojlanishi asl kubdan, undan "o'sayotgan" oltita kubdan va yana bitta - yakuniy "giperfeys" dan iborat bo'ladi.

Tesseraktning xususiyatlari pastki o'lchamdagi geometrik figuralar xususiyatlarining to'rt o'lchovli fazoga davomini ifodalaydi.

Prognozlar

Ikki o'lchovli fazoga

Ushbu tuzilmani tasavvur qilish qiyin, lekin tesseraktni ikki o'lchovli yoki uch o'lchovli bo'shliqlarga loyihalash mumkin. Bundan tashqari, tekislikka proyeksiya qilish giperkubning cho'qqilarining joylashishini tushunishni osonlashtiradi. Shunday qilib, tesserakt ichidagi fazoviy munosabatlarni aks ettirmaydigan, lekin quyidagi misollarda bo'lgani kabi, cho'qqilarning ulanish tuzilishini ko'rsatadigan tasvirlarni olish mumkin:

Uchinchi rasmda qurilish nuqtasiga nisbatan izometriyada tesserakt ko'rsatilgan. Parallel hisoblashda bir nechta protsessorlarni bog'lash uchun topologik tarmoq uchun asos sifatida tesseraktdan foydalanishda ushbu vakillik qiziqish uyg'otadi.

Uch o'lchamli fazoga

Tesseraktning uch o'lchovli fazoga proyeksiyalaridan biri mos keladigan uchlari segmentlar bilan bog'langan ikkita ichki o'rnatilgan uch o'lchovli kublarni ifodalaydi. Ichki va tashqi kublar uch o'lchovli fazoda har xil o'lchamlarga ega, ammo to'rt o'lchovli fazoda ular teng kublardir. Barcha tesserakt kublarining tengligini tushunish uchun aylanuvchi tesserakt modeli yaratilgan.

Tesseraktning chetlari bo'ylab oltita kesilgan piramidalar oltita kubikning tasviridir. Biroq, bu kublar tesseraktga teng, chunki kvadratlar (yuzlar) kubga teng. Lekin, aslida, kub cheksiz sonli kvadratlarga yoki kvadrat cheksiz sonli segmentlarga bo'linishi mumkin bo'lgani kabi, tesseraktni ham cheksiz sonli kublarga bo'lish mumkin.

Tesseraktning uch o'lchamli fazoga yana bir qiziqarli proyeksiyasi rombsimon dodekaedr bo'lib, uning to'rt diagonali romblarning katta burchaklarida qarama-qarshi cho'qqilar juftligini bog'laydi. Bunda tesseraktning 16 ta uchidan 14 tasi rombsimon dodekaedrning 14 ta uchiga proyeksiyalanadi, qolgan 2 tasining proyeksiyalari esa uning markazida mos tushadi. Uch o'lchovli fazoga bunday proyeksiyada barcha bir o'lchovli, ikki o'lchovli va uch o'lchovli tomonlarning tengligi va parallelligi saqlanib qoladi.

Stereo juftlik

Tesseraktning stereo juftligi uch o'lchamli fazoga ikkita proyeksiya sifatida tasvirlangan. Tesseraktning ushbu tasviri chuqurlikni to'rtinchi o'lchov sifatida ifodalash uchun yaratilgan. Stereo juftlik shunday ko'riladiki, har bir ko'z ushbu tasvirlardan faqat bittasini ko'radi, tesseraktning chuqurligini aks ettiruvchi stereoskopik rasm paydo bo'ladi.

Tesseract o‘ramini ochish

Tesseraktning sirtini sakkiz kubga ochish mumkin (kubning sirtini olti kvadratga ochishga o'xshash). 261 xil tesserakt dizayni mavjud. Tesseraktning ochilishini grafikda bog'langan burchaklarni chizish orqali hisoblash mumkin.

San'atda Tesserakt

Edvina A.ning “Yangi Abbott tekisligi” asarida giperkub hikoyachi vazifasini bajaradi.
"Jimmi Neytronning sarguzashtlari"ning bir epizodida "daho bola" Jimmi Robert Xaynlaynning "Glory Road" (1963) romanidagi katlama qutisiga o'xshash to'rt o'lchovli giperkubni ixtiro qiladi.
Robert E. Heinlein kamida uchta ilmiy fantastika hikoyalarida giperkublarni eslatib o'tgan. “To‘rt o‘lchovli uy” (“The House That Built”) asarida u qurilgan uyni o‘ralmagan tesserakt sifatida tasvirlab bergan, keyin esa zilzila tufayli to‘rtinchi o‘lchamda “buklangan” va “haqiqiy” tesseraktga aylangan. .
Xaynlaynning "Glory Road" romani tashqi ko'rinishidan ko'ra ichi kattaroq bo'lgan giper o'lchamli qutini tasvirlaydi.
Genri Kuttnerning "Barcha Tenali Borogov" hikoyasida uzoq kelajakdagi bolalar uchun tesseraktga o'xshash o'quv o'yinchoqlari tasvirlangan.
Aleks Garland () romanida "tesserakt" atamasi giperkubning o'zi emas, balki to'rt o'lchovli giperkubning uch o'lchovli ochilishi uchun ishlatiladi. Bu kognitiv tizim bilish mumkin bo'lganidan ko'ra kengroq bo'lishi kerakligini ko'rsatish uchun mo'ljallangan metafora.
Kub 2 syujeti: Hypercube "giperkub" yoki bir-biriga bog'langan kublar tarmog'ida qamalgan sakkizta begona odamga qaratilgan.
Andromeda teleseriali syujet qurilmasi sifatida tesserakt generatorlaridan foydalanadi. Ular, birinchi navbatda, makon va vaqtni manipulyatsiya qilish uchun mo'ljallangan.
Salvador Dalining "Xochga mixlanish" (Corpus Hypercubus) kartinasi ().
Nextwave komikslari 5 ta tesserakt zonasini o'z ichiga olgan transport vositasini tasvirlaydi.
Voivod Nothingface albomida kompozitsiyalardan biri "Mening giperkubimda" deb nomlangan.
Entoni Pirsning "Route Cube" romanida Xalqaro taraqqiyot assotsiatsiyasining orbitadagi yo'ldoshlaridan biri 3 o'lchamga siqilgan tesserakt deb ataladi.
Uchinchi mavsumda "Qora tuynuk maktabi" seriyasida "Tesseract" epizodi mavjud. Lukas maxfiy tugmani bosadi va maktab "matematik tesserakt kabi shakllana boshlaydi".
"Tesserakt" atamasi va uning hosilasi "tesserakt" Madlen L'Englening "Vaqtdagi ajin" hikoyasida uchraydi.
TesseracT - britaniyalik djent guruhining nomi.
Marvel Cinematic Universe filmlar seriyasida Tesseract asosiy syujet elementi, giperkub shaklidagi kosmik artefaktdir.
Robert Sheklining “Sichqoncha go‘zali va to‘rtinchi o‘lchov” hikoyasida ezoterik yozuvchi, muallifning tanishi o‘zi yaratgan qurilmaga soatlab tikilib, tesseraktni ko‘rishga harakat qiladi: oyog‘iga tayoqchalar yopishtirilgan to‘p. qaysi kublar o'rnatilgan, har xil ezoterik belgilar bilan yopishtirilgan. Hikoya Xintonning ishi haqida gapiradi.
"Birinchi qasoskor", "Qasoskorlar" filmlarida. Tesseract - butun koinotning energiyasi

Boshqa ismlar

Hexadecachoron Hexadecachoron)
Oktochoron (ingliz) Oktachoron)
Tetrakub
4-kub
Hypercube (agar o'lchamlar soni ko'rsatilmagan bo'lsa)

Eslatmalar

Adabiyot

Charlz X. Xinton. To'rtinchi o'lchov, 1904. ISBN 0-405-07953-2
Martin Gardner, Matematik karnaval, 1977. ISBN 0-394-72349-X
Ian Styuart, Zamonaviy matematika tushunchalari, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Havolalar

Rus tilida

Transformator 4D dasturi. To'rt o'lchovli ob'ektlarning uch o'lchovli proyeksiyalari modellarini shakllantirish (shu jumladan Giperkub).
C++ da manba kodi bilan tesseraktni qurish va uning barcha affin transformatsiyalarini amalga oshiradigan dastur.

Inglizchada

Mushware Limited - tesseract chiqish dasturi ( Tesseract Trener, litsenziyasi GPLv2 bilan mos keladi) va to'rt o'lchovli fazoda birinchi shaxs shooter ( Adanaxis; grafiklar asosan uch o'lchovli; OS omborlarida GPL versiyasi mavjud).

Ko'p yuzli

To'g'ri
(Platonik qattiq moddalar)

Yulduzli dodekaedr Yulduzli ikozidodedkaedr Yulduzli ikosahedr Yulduzli ko'pburchak Yulduzli oktaedr

Qavariq

Arximed qattiq jismlari	Kubooktaedr Ikosidodekaedr Kesilgan oktaedr Kesilgan ikosahedr Kesilgan kub Kesilgan dodekaedr Romboktaedr Rombiksidodekaedr Rombsimon kesilgan kuboktaedr Srombiksidodekaedr. ron Kesilgan kuboktaedr Kesilgan va kosidodekaedr Muntazam prizma Antiprizma
Kataloniya tanalari	Rombododekaedr Rombotriyakontahedron Triakistthetraedron Tetrakisheksaedron Pentakisdodekaedr Triakisoktaedron Triakisokahedron Deltoidal ikozitraedron Deltoidal hekssontaedron Pentagonal ikositetraedron Discontahedron Pentagonal ikozitetraedron Discontahedron Pentagonal
To'liq fazoviy simmetriyasiz	Piramida Prizma Bipiramida Antiprizma Zonoedr Parallelepiped Rombedr Prizmatoid Kesilgan piramida
Pentagondodekaedr Parallellohedr

formulalar,
teoremalar,
nazariyalar

Boshqa

Tesserakt to'rt o'lchovli giperkub - to'rt o'lchovli fazodagi kub.
Oksford lug'atiga ko'ra, tesserakt so'zi 1888 yilda Charlz Xovard Xinton (1853-1907) tomonidan o'zining "Yangi fikr davri" kitobida yaratilgan va ishlatilgan. Keyinchalik ba'zi odamlar xuddi shu figurani tetrakub (yunoncha tétra - to'rt) - to'rt o'lchovli kub deb atashgan.
Evklid to'rt o'lchovli fazodagi oddiy tesserakt nuqtalarning qavariq korpusi (±1, ±1, ±1, ±1) sifatida aniqlanadi. Boshqacha qilib aytganda, uni quyidagi to'plam sifatida ko'rsatish mumkin:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Tesserakt sakkizta giperplan bilan chegaralangan x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , ularning kesishishi tesseraktning o'zi bilan uni 3D yuzlar (ular oddiy kublar) belgilaydi. Har bir juft parallel bo'lmagan 3D yuzlar kesishib 2D yuzlarni (kvadratchalar) hosil qiladi va hokazo. uchlari.
Ommabop tavsif
Keling, giperkubning uch o'lchamli bo'sh joy qoldirmasdan qanday ko'rinishini tasavvur qilishga harakat qilaylik.
Bir o'lchovli "bo'shliq" da - chiziqda - biz L uzunlikdagi AB segmentini tanlaymiz. Ikki o'lchovli tekislikda AB dan L masofada, unga parallel ravishda DC segmentini chizamiz va ularning uchlarini bog'laymiz. Natijada kvadrat CDBA hosil bo'ladi. Ushbu amalni tekislik bilan takrorlab, biz CDBAGHFE uch o'lchamli kubini olamiz. Va kubni to'rtinchi o'lchamdagi (birinchi uchtaga perpendikulyar) L masofaga siljitish orqali biz CDBAGHFEKLJIOPNM giperkubini olamiz.
Bir o'lchovli AB segmenti ikki o'lchovli CDBA kvadratining tomoni bo'lib xizmat qiladi, kvadrat CDBAGHFE kubining tomoni bo'lib xizmat qiladi, bu esa o'z navbatida to'rt o'lchovli giperkubning tomoni bo'ladi. To'g'ri chiziq segmentining ikkita chegara nuqtasi, kvadratning to'rtta uchi, kubning sakkiztasi bor. Shunday qilib, to'rt o'lchovli giperkubda 16 ta burchak bo'ladi: asl kubning 8 uchi va to'rtinchi o'lchamda siljigan 8 ta uchi. Uning 32 ta qirrasi bor - 12 tasi asl kubning boshlang'ich va oxirgi holatini beradi va yana 8 ta qirrasi to'rtinchi o'lchamga o'tgan sakkizta uchini "chizadi". Xuddi shu fikrni giperkubning yuzlari uchun ham qilish mumkin. Ikki o'lchovli fazoda faqat bitta (kvadratning o'zi), kubda 6 tasi bor (ko'chirilgan kvadratdan ikkita yuz va uning tomonlarini tavsiflovchi yana to'rtta). To'rt o'lchovli giperkubning 24 kvadrat yuzi bor - ikkita holatda asl kubning 12 kvadrati va uning o'n ikki chetidan 12 kvadrat.
Kvadratning yon tomonlari 4 ta bir oʻlchamli segment, kubning tomonlari (yuzlari) 6 ta ikki oʻlchovli kvadrat boʻlgani kabi, “toʻrt oʻlchovli kub” (tesserakt) uchun ham tomonlar 8 ta uch oʻlchamli kub boʻladi. . Tesserakt kublarning qarama-qarshi juftlarining bo'shliqlari (ya'ni, bu kublar tegishli bo'lgan uch o'lchovli bo'shliqlar) parallel. Rasmda bu kublar: CDBAGHFE va KLJIOPNM, CDBAKLJI va GHFEOPNM, EFBAMNJI va GHDCOPLK, CKIAGOME va DLJBHPNF.
Shunga o'xshab, biz ko'proq o'lchamdagi giperkublar haqidagi fikrimizni davom ettirishimiz mumkin, ammo to'rt o'lchovli giperkub biz uchun, uch o'lchovli fazoda yashovchilar uchun qanday ko'rinishini ko'rish qiziqroq. Buning uchun biz allaqachon tanish bo'lgan analogiya usulidan foydalanamiz.
Keling, ABCDHEFG sim kubini olib, chetidan bir ko'z bilan qaraymiz. Biz tekislikda to'rtta chiziq - yon qirralar bilan bog'langan ikkita kvadratni (uning yaqin va uzoq qirralarini) ko'ramiz va chizishimiz mumkin. Xuddi shunday, uch o'lchamli kosmosdagi to'rt o'lchovli giperkub bir-biriga kiritilgan va sakkiz qirra bilan bog'langan ikkita kubik "quti" kabi ko'rinadi. Bunday holda, "qutilar" ning o'zlari - uch o'lchovli yuzlar "bizning" makonimizga proektsiyalanadi va ularni bog'laydigan chiziqlar to'rtinchi o'q yo'nalishi bo'yicha cho'ziladi. Bundan tashqari, kubni proyeksiyada emas, balki fazoviy tasvirda tasavvur qilishga harakat qilishingiz mumkin.
Xuddi uch o'lchamli kub yuzining uzunligi bo'yicha siljigan kvadratdan hosil bo'lganidek, to'rtinchi o'lchamga siljigan kub giperkubni hosil qiladi. U sakkiz kub bilan cheklangan bo'lib, ular istiqbolda qandaydir murakkab shaklga o'xshaydi. To'rt o'lchovli giperkubning o'zi cheksiz miqdordagi kublardan iborat, xuddi uch o'lchovli kubni cheksiz sonli tekis kvadratlarga "kesish" mumkin.
Uch o'lchamli kubning oltita yuzini kesib, uni tekis shaklga - rivojlanishga aylantirishingiz mumkin. Asl yuzning har ikki tomonida kvadrat va yana bitta - unga qarama-qarshi yuz bo'ladi. Va to'rt o'lchovli giperkubning uch o'lchovli rivojlanishi asl kubdan, undan "o'sayotgan" oltita kubdan va yana bitta - yakuniy "giperfeys" dan iborat bo'ladi.
Tesseraktning xususiyatlari pastki o'lchamdagi geometrik figuralar xususiyatlarining to'rt o'lchovli fazoga davomini ifodalaydi.

Geometriyada giperkub- Bu n-kvadratning o'lchovli analogiyasi ( n= 2) va kub ( n= 3). Bu shaklning qarama-qarshi qirralarida joylashgan va bir-biriga to'g'ri burchak ostida bog'langan parallel chiziqlar guruhlaridan iborat yopiq qavariq figura.

Bu raqam sifatida ham tanilgan tesserakt(tesseract). Kub kvadratga qanday bo'lsa, tesserakt ham kubga tegishli. Rasmiyroq qilib aytganda, tesseraktni chegarasi sakkiz kubik hujayradan iborat bo'lgan muntazam qavariq to'rt o'lchovli politop (ko'p yuzli) deb ta'riflash mumkin.

Oksford inglizcha lug'atiga ko'ra, "tesseract" so'zi 1888 yilda Charlz Xovard Xinton tomonidan kiritilgan va o'zining "Tafakkurning yangi davri" kitobida ishlatilgan. Bu so'z yunoncha "tésésres" ("to'rt nur") dan to'rtta koordinata o'qi shaklida olingan. Bundan tashqari, ba'zi manbalarda xuddi shu raqam deyilgan tetrakub(tetrakub).

n-o'lchovli giperkub ham deyiladi n-kub.

Nuqta 0 o'lchamli giperkubdir. Agar siz nuqtani uzunlik birligiga siljitsangiz, siz birlik uzunlikdagi segmentni olasiz - 1 o'lchamli giperkub. Bundan tashqari, agar siz segmentni perpendikulyar yo'nalishda uzunlik birligiga siljitsangiz. segment yo'nalishi bo'yicha siz kubni olasiz - 2 o'lchamli giperkub. Kvadratni kvadrat tekisligiga perpendikulyar yo'nalishda uzunlik birligiga siljitish orqali kub olinadi - 3 o'lchamli giperkub. Bu jarayon har qanday miqdordagi o'lchamlarga umumlashtirilishi mumkin. Misol uchun, agar siz kubni to'rtinchi o'lchamda bir uzunlik birligiga siljitsangiz, siz tesseraktni olasiz.

Giperkublar oilasi har qanday o'lchamda ifodalanishi mumkin bo'lgan bir nechta oddiy ko'pburchaklardan biridir.

Giperkubning elementlari

Giperkub o'lchami n 2 bor n“Tomonlar” (bir o‘lchamli chiziqda 2 nuqta; ikki o‘lchamli kvadratda 4 ta tomon; uch o‘lchamli kubda 6 ta yuz; to‘rt o‘lchamli tesseraktda 8 ta katak mavjud). Giperkubning uchlari (nuqtalari) soni 2 ga teng n(masalan, kub uchun - 2 3 uch).

Miqdori m-chegaradagi o'lchovli giperkublar n-kub teng

Masalan, giperkub chegarasida 8 ta kub, 24 ta kvadrat, 32 ta chekka va 16 ta tepa bor.

Giperkublarning elementlari

n-kub	Ism	Vertex (0-yuz)	Chet (1-yuz)	Chet (2 yuzli)	Hujayra (3-yuz)	(4-yuz)	(5-yuz)	(6 tomonlama)	(7-yuz)	(8-yuz)
0 kub	Nuqta	1
1 kub	Chiziq segmenti	2	1
2 kub	Kvadrat	4	4	1
3 kub	Kub	8	12	6	1
4-kub	Tesserakt	16	32	24	8	1
5 kub	Penterakt	32	80	80	40	10	1
6 kub	Hexeract	64	192	240	160	60	12	1
7 kub	Hepteract	128	448	672	560	280	84	14	1
8 kub	Octeract	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9 kub	Eneract	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18

Samolyotga proyeksiya qilish

Giperkub hosil bo'lishi quyidagi tarzda ifodalanishi mumkin:

AB chiziq segmentini hosil qilish uchun ikkita A va B nuqtalari ulanishi mumkin.
ABCD kvadratini hosil qilish uchun ikkita parallel AB va CD segmentlarini ulash mumkin.
ABCDEFGH kubini hosil qilish uchun ikkita parallel kvadrat ABCD va EFGH ulanishi mumkin.
ABCDEFGHIJKLMNOP giperkubini hosil qilish uchun ikkita parallel kub ABCDEFGH va IJKLMNOP ulanishi mumkin.

Oxirgi tuzilmani tasavvur qilish oson emas, lekin uning proektsiyasini ikki o'lchovli yoki uch o'lchovli fazoda tasvirlash mumkin. Bundan tashqari, ikki o'lchovli tekislikdagi proyeksiyalar prognoz qilingan cho'qqilarning pozitsiyalarini qayta tartibga solishga imkon berish orqali foydaliroq bo'lishi mumkin. Bunday holda, tesserakt ichidagi elementlarning fazoviy munosabatlarini aks ettirmaydigan, lekin quyida keltirilgan misollarda bo'lgani kabi, cho'qqi birikmalarining tuzilishini ko'rsatadigan tasvirlarni olish mumkin.

Birinchi rasmda ikkita kubni birlashtirish orqali tesserakt qanday hosil bo'lishi ko'rsatilgan. Ushbu sxema ikkita kvadratdan kub yaratish sxemasiga o'xshaydi. Ikkinchi diagramma tesseraktning barcha qirralari bir xil uzunlikda ekanligini ko'rsatadi. Ushbu sxema, shuningdek, bir-biriga bog'langan kublarni izlashga majbur qiladi. Uchinchi diagrammada tesseraktning uchlari pastki nuqtaga nisbatan yuzlar bo'ylab masofalarga mos ravishda joylashgan. Ushbu sxema qiziq, chunki u parallel hisoblashni tashkil qilishda protsessorlarni ulashning tarmoq topologiyasi uchun asosiy sxema sifatida ishlatiladi: har qanday ikkita tugun orasidagi masofa 4 chekka uzunligidan oshmaydi va yukni muvozanatlash uchun juda ko'p turli xil yo'llar mavjud.

San'atdagi giperkub

Giperkub ilmiy-fantastik adabiyotda 1940 yildan beri paydo bo'ldi, Robert Xaynlayn "Va u qiyshiq uy qurdi" hikoyasida tesserakt skaneri shaklida qurilgan uyni tasvirlab bergan. Hikoyada, bu Keyingi, bu uy qulab tushadi va to'rt o'lchovli tesseraktga aylanadi. Shundan so'ng, giperkub ko'plab kitoblarda va qisqa hikoyalarda paydo bo'ladi.

Kub 2: Hypercube filmi giperkublar tarmog'ida qamalib qolgan sakkiz kishi haqida.

Salvador Dalining 1954 yildagi "Xochga mixlanish (Corpus Hypercubus)" kartinasi tesserakt skanerida xochga mixlangan Iso tasvirlangan. Ushbu rasmni Nyu-Yorkdagi Metropolitan san'at muzeyida ko'rish mumkin.

Xulosa

Giperkub eng oddiy to'rt o'lchovli ob'ektlardan biri bo'lib, undan to'rtinchi o'lchovning murakkabligi va g'ayrioddiyligini ko'rish mumkin. Va uch o'lchovda imkonsiz ko'rinadigan narsa to'rtta, masalan, imkonsiz raqamlarda mumkin. Shunday qilib, masalan, to'rt o'lchamdagi imkonsiz uchburchakning chiziqlari to'g'ri burchak ostida ulanadi. Va bu raqam barcha ko'rish nuqtalarida shunday ko'rinadi va uch o'lchovli kosmosda imkonsiz uchburchakni amalga oshirishdan farqli o'laroq, buzilmaydi (qarang.

Turi