जर सदिश रेषीयरित्या अवलंबून असतील तर. वेक्टरचे रेखीय अवलंबन
रेखीय अवलंबन आणि सदिशांचे रेखीय स्वातंत्र्य.
वेक्टरचा आधार. एफाइन समन्वय प्रणाली
प्रेक्षागृहात चॉकलेटसह एक कार्ट आहे आणि आज प्रत्येक पाहुण्याला एक गोड जोडपे मिळेल - रेषीय बीजगणित असलेली विश्लेषणात्मक भूमिती. हा लेख उच्च गणिताच्या दोन विभागांना एकाच वेळी स्पर्श करेल आणि ते एकाच आवरणात कसे एकत्र राहतात ते आपण पाहू. ब्रेक घ्या, ट्विक्स खा! ...अरे, किती मूर्खपणा आहे. जरी, ठीक आहे, मी स्कोअर करणार नाही, शेवटी, तुमचा अभ्यासाकडे सकारात्मक दृष्टीकोन असावा.
वेक्टरचे रेखीय अवलंबन, रेखीय वेक्टर स्वातंत्र्य, वेक्टरचा आधारआणि इतर संज्ञांचा केवळ भौमितिक अर्थ नाही, तर सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे बीजगणितीय अर्थ आहे. रेखीय बीजगणिताच्या दृष्टिकोनातून "वेक्टर" ही संकल्पना नेहमीच "सामान्य" सदिश नसते जी आपण विमानात किंवा अंतराळात चित्रित करू शकतो. तुम्हाला पुराव्यासाठी लांब पाहण्याची गरज नाही, पंच-आयामी जागेचा वेक्टर काढण्याचा प्रयत्न करा 
. किंवा हवामान वेक्टर, ज्यासाठी मी नुकतेच Gismeteo वर गेलो होतो: तापमान आणि वातावरणाचा दाब, अनुक्रमे. उदाहरण, अर्थातच, वेक्टर स्पेसच्या गुणधर्मांच्या दृष्टिकोनातून चुकीचे आहे, परंतु, असे असले तरी, कोणीही या पॅरामीटर्सला वेक्टर म्हणून औपचारिक करण्यास मनाई करत नाही. शरद ऋतूतील श्वास...
नाही, मी तुम्हाला सिद्धांत, रेखीय वेक्टर स्पेससह कंटाळणार नाही, कार्य हे आहे समजून घेणेव्याख्या आणि प्रमेये. नवीन संज्ञा (रेखीय अवलंबन, स्वातंत्र्य, रेखीय संयोजन, आधार, इ.) बीजगणितीय दृष्टिकोनातून सर्व सदिशांना लागू होतात, परंतु भूमितीय उदाहरणे दिली जातील. अशा प्रकारे, सर्वकाही सोपे, प्रवेशयोग्य आणि स्पष्ट आहे. विश्लेषणात्मक भूमितीच्या समस्यांव्यतिरिक्त, आम्ही काही विशिष्ट बीजगणित समस्यांचा देखील विचार करू. सामग्रीमध्ये प्रभुत्व मिळविण्यासाठी, धड्यांसह स्वत: ला परिचित करण्याचा सल्ला दिला जातो डमीसाठी वेक्टरआणि निर्धारकाची गणना कशी करावी?
रेखीय अवलंबन आणि विमान वेक्टरचे स्वातंत्र्य.
प्लेन बेस आणि एफाइन समन्वय प्रणाली
चला तुमच्या संगणक डेस्कच्या विमानाचा विचार करूया (फक्त एक टेबल, बेडसाइड टेबल, मजला, छत, तुम्हाला जे आवडते ते). कार्यामध्ये खालील क्रियांचा समावेश असेल:
1) विमानाचा आधार निवडा. साधारणपणे बोलायचे झाल्यास, टेबलटॉपची लांबी आणि रुंदी असते, त्यामुळे आधार तयार करण्यासाठी दोन वेक्टर आवश्यक असतील हे अंतर्ज्ञानी आहे. एक वेक्टर स्पष्टपणे पुरेसे नाही, तीन वेक्टर खूप जास्त आहेत.
2) निवडलेल्या आधारावर आधारित समन्वय प्रणाली सेट करा(कोऑर्डिनेट ग्रिड) टेबलवरील सर्व ऑब्जेक्ट्सना निर्देशांक नियुक्त करण्यासाठी.
आश्चर्यचकित होऊ नका, प्रथम स्पष्टीकरण बोटांवर असतील. शिवाय, तुमच्यावर. कृपया ठेवा डाव्या तर्जनीटेबलटॉपच्या काठावर जेणेकरून तो मॉनिटरकडे पाहील. हे वेक्टर असेल. आता जागा उजवी करंगळीटेबलच्या काठावर त्याच प्रकारे - जेणेकरून ते मॉनिटर स्क्रीनवर निर्देशित केले जाईल. हे वेक्टर असेल. हसा, तू छान दिसत आहेस! वेक्टरबद्दल आपण काय म्हणू शकतो? डेटा वेक्टर समरेख, ज्याचा अर्थ होतो रेखीयएकमेकांद्वारे व्यक्त:
, तसेच, किंवा उलट: , कुठे काही संख्या शून्यापेक्षा वेगळी आहे.
या क्रियेचे चित्र तुम्ही वर्गात पाहू शकता. डमीसाठी वेक्टर, जिथे मी व्हेक्टरला संख्येने गुणाकार करण्याचा नियम स्पष्ट केला.
तुमची बोटे संगणक डेस्कच्या विमानाचा आधार घेतील का? साहजिकच नाही. समरेखीय वेक्टर पुढे-मागे प्रवास करतात एकटादिशा आणि विमानाची लांबी आणि रुंदी असते.
अशा वेक्टर म्हणतात रेखीय अवलंबून.
संदर्भ: “रेखीय”, “रेखीय” हे शब्द गणितीय समीकरणे आणि अभिव्यक्तींमध्ये कोणतेही वर्ग, घन, इतर शक्ती, लॉगरिदम, साइन्स इत्यादी नसतात हे तथ्य दर्शवतात. फक्त रेखीय (1ली पदवी) अभिव्यक्ती आणि अवलंबित्व आहेत.
दोन विमान वेक्टर रेखीय अवलंबूनजर आणि फक्त ते समरेखित असतील तर.
टेबलावर तुमची बोटे पार करा जेणेकरून त्यांच्यामध्ये 0 किंवा 180 अंशांव्यतिरिक्त कोणताही कोन असेल. दोन विमान वेक्टररेखीय नाहीजर आणि फक्त ते समरेख नसतील तरच अवलंबून. तर, आधार प्राप्त होतो. वेगवेगळ्या लांबीच्या नॉन-लंबवत वेक्टरसह आधार "तिरकस" असल्याचे लाज वाटण्याची गरज नाही. लवकरच आपण पाहणार आहोत की त्याच्या बांधकामासाठी केवळ ९० अंशांचा कोनच योग्य नाही तर समान लांबीचे एकक वेक्टरच नाही.
कोणतीहीविमान वेक्टर एकमेव मार्गआधारानुसार विस्तारित केले आहे: 
, वास्तविक संख्या कोठे आहेत. नंबर कॉल केले जातात वेक्टर समन्वयया आधारावर.
असेही म्हटले आहे वेक्टरम्हणून सादर केले रेखीय संयोजनआधार वेक्टर. म्हणजेच अभिव्यक्ती म्हणतात वेक्टर विघटनआधारावरकिंवा रेखीय संयोजनआधार वेक्टर.
उदाहरणार्थ, आपण असे म्हणू शकतो की व्हेक्टर विमानाच्या ऑर्थोनॉर्मल आधारावर विघटित झाला आहे किंवा आपण असे म्हणू शकतो की ते सदिशांच्या रेखीय संयोगाच्या रूपात दर्शविले जाते.
चला सूत्रबद्ध करू आधाराची व्याख्याऔपचारिकपणे: विमानाचा आधाररेखीय स्वतंत्र (नॉन-कॉलिनियर) वेक्टरच्या जोडीला म्हणतात, , ज्यामध्ये कोणतेहीसमतल सदिश हे आधारभूत वेक्टरचे रेखीय संयोजन आहे.
व्याख्येचा एक अत्यावश्यक मुद्दा म्हणजे सदिश घेतले जातात एका विशिष्ट क्रमाने. बेस 
- हे दोन पूर्णपणे भिन्न तळ आहेत! जसे ते म्हणतात, आपण आपल्या उजव्या हाताच्या करंगळीच्या जागी आपल्या डाव्या हाताची करंगळी बदलू शकत नाही.
आम्ही आधार शोधून काढला आहे, परंतु समन्वय ग्रिड सेट करणे आणि तुमच्या संगणक डेस्कवरील प्रत्येक आयटमला निर्देशांक नियुक्त करणे पुरेसे नाही. ते पुरेसे का नाही? वेक्टर मुक्त आहेत आणि संपूर्ण विमानात फिरतात. मग वन्य शनिवार व रविवार पासून शिल्लक राहिलेल्या टेबलावरील त्या छोट्या घाणेरड्या ठिपक्यांसाठी तुम्ही निर्देशांक कसे नियुक्त कराल? प्रारंभ बिंदू आवश्यक आहे. आणि अशी खूण प्रत्येकासाठी परिचित एक बिंदू आहे - निर्देशांकांची उत्पत्ती. चला समन्वय प्रणाली समजून घेऊ:
मी "शाळा" प्रणालीपासून सुरुवात करेन. आधीच प्रास्ताविक धड्यात डमीसाठी वेक्टरमी आयताकृती समन्वय प्रणाली आणि ऑर्थोनॉर्मल आधार यांच्यातील काही फरक हायलाइट केले. येथे मानक चित्र आहे:
ते बोलतात तेव्हा आयताकृती समन्वय प्रणाली, नंतर बहुतेकदा त्यांचा अर्थ मूळ, समन्वय अक्ष आणि अक्षांसह स्केल असा होतो. शोध इंजिनमध्ये "आयताकृती समन्वय प्रणाली" टाइप करण्याचा प्रयत्न करा, आणि तुम्हाला दिसेल की अनेक स्त्रोत तुम्हाला 5 व्या-6 व्या इयत्तेपासून परिचित असलेल्या समन्वय अक्ष आणि विमानात बिंदू कसे प्लॉट करायचे याबद्दल सांगतील.
दुसरीकडे, असे दिसते की आयताकृती समन्वय प्रणाली ऑर्थोनॉर्मल आधाराच्या दृष्टीने पूर्णपणे परिभाषित केली जाऊ शकते. आणि ते जवळजवळ खरे आहे. शब्दरचना खालीलप्रमाणे आहे.
मूळ, आणि ऑर्थोनॉर्मलआधार निश्चित केला आहे कार्टेशियन आयताकृती समतल समन्वय प्रणाली . म्हणजेच, आयताकृती समन्वय प्रणाली निश्चितपणेएकल बिंदू आणि दोन युनिट ऑर्थोगोनल वेक्टरद्वारे परिभाषित केले जाते. म्हणूनच मी वर दिलेले रेखाचित्र तुम्ही पहात आहात - भौमितिक समस्यांमध्ये, दोन्ही वेक्टर आणि समन्वय अक्ष अनेकदा (परंतु नेहमीच नाही) काढले जातात.
मला वाटते की प्रत्येकाला बिंदू (मूळ) आणि ऑर्थोनॉर्मल आधार वापरून समजले आहे विमानावरील कोणताही बिंदू आणि विमानावरील कोणताही वेक्टरनिर्देशांक नियुक्त केले जाऊ शकतात. लाक्षणिकरित्या सांगायचे तर, "विमानावरील प्रत्येक गोष्ट क्रमांकित केली जाऊ शकते."
समन्वय वेक्टर एकक असणे आवश्यक आहे का? नाही, त्यांची अनियंत्रित नॉन-शून्य लांबी असू शकते. अनियंत्रित शून्य नसलेल्या लांबीचे एक बिंदू आणि दोन ऑर्थोगोनल वेक्टर विचारात घ्या:
असा आधार म्हणतात ऑर्थोगोनल. व्हेक्टरसह निर्देशांकांचे मूळ निर्देशांक ग्रिडद्वारे परिभाषित केले जाते आणि समतल बिंदू, कोणत्याही सदिशाचे निर्देशांक दिलेल्या आधारावर असतात. उदाहरणार्थ, किंवा. स्पष्ट गैरसोय म्हणजे समन्वय वेक्टर सामान्यतःएकता व्यतिरिक्त भिन्न लांबी आहेत. जर लांबी एकतेच्या समान असेल तर नेहमीचा ऑर्थोनॉर्मल आधार प्राप्त होतो.
! नोंद : ऑर्थोगोनल बेसिसमध्ये, तसेच खाली प्लेन आणि स्पेसच्या एफाइन बेसमध्ये, अक्षांसह एकके मानली जातात सशर्त. उदाहरणार्थ, x-अक्षाच्या बाजूच्या एका युनिटमध्ये 4 सेमी असते आणि ऑर्डिनेट अक्षाच्या बाजूच्या एका युनिटमध्ये 2 सेमी असते. आवश्यक असल्यास, "नॉन-स्टँडर्ड" निर्देशांकांना "आमच्या नेहमीच्या सेंटीमीटर" मध्ये रूपांतरित करण्यासाठी ही माहिती पुरेशी आहे.
आणि दुसऱ्या प्रश्नाचे, ज्याचे उत्तर खरेतर आधीच दिले गेले आहे, तो असा आहे की आधारभूत वेक्टरमधील कोन 90 अंशांच्या समान असणे आवश्यक आहे का? नाही! व्याख्येनुसार, आधारभूत वेक्टर असणे आवश्यक आहे फक्त नॉन-कॉलिनियर. त्यानुसार, कोन 0 आणि 180 अंश वगळता काहीही असू शकते.
विमानात एक बिंदू म्हणतात मूळ, आणि नॉन-कॉलिनियरवेक्टर, , सेट एफाइन विमान समन्वय प्रणाली :
कधीकधी अशी समन्वय प्रणाली म्हणतात तिरकसप्रणाली उदाहरणे म्हणून, रेखाचित्र बिंदू आणि वेक्टर दर्शविते: 
जसे आपण समजता, affine समन्वय प्रणाली आणखी कमी सोयीस्कर आहे; वेक्टर आणि विभागांच्या लांबीसाठी सूत्रे, ज्याची आपण धड्याच्या दुसऱ्या भागात चर्चा केली आहे, त्यात कार्य करत नाही. डमीसाठी वेक्टर, संबंधित अनेक स्वादिष्ट सूत्रे वेक्टरचे स्केलर उत्पादन. परंतु सदिश जोडण्याचे आणि सदिशाला संख्येने गुणाकारण्याचे नियम, या संबंधातील एका विभागाचे विभाजन करण्याचे सूत्र, तसेच इतर काही प्रकारच्या समस्या ज्यांचा आपण लवकरच विचार करणार आहोत ते वैध आहेत.
आणि निष्कर्ष असा आहे की affine समन्वय प्रणालीचे सर्वात सोयीस्कर विशेष केस म्हणजे कार्टेशियन आयताकृती प्रणाली. म्हणूनच तुला बहुतेकदा तिला पाहावे लागेल, माझ्या प्रिय. ...तथापि, या जीवनातील प्रत्येक गोष्ट सापेक्ष आहे - अशा अनेक परिस्थिती आहेत ज्यामध्ये एक तिरकस कोन (किंवा इतर काही, उदाहरणार्थ, ध्रुवीय) समन्वय प्रणाली. आणि ह्युमनॉइड्सना अशा प्रणाली आवडू शकतात =)
चला व्यावहारिक भागाकडे जाऊया. या धड्यातील सर्व समस्या आयताकृती कोऑर्डिनेट सिस्टीम आणि सामान्य ऍफिन केस दोन्हीसाठी वैध आहेत. येथे काहीही क्लिष्ट नाही; सर्व सामग्री अगदी शाळकरी मुलासाठी देखील उपलब्ध आहे.
प्लेन वेक्टरची समरेखता कशी ठरवायची?
वैशिष्ट्यपूर्ण गोष्ट. दोन विमान वेक्टर साठी क्रमाने 
समरेखीय होते, त्यांचे संबंधित समन्वय आनुपातिक असणे आवश्यक आणि पुरेसे आहेमूलत:, हे स्पष्ट नातेसंबंधांचे समन्वय-दर-समन्वय तपशील आहे.
उदाहरण १
a) सदिश समरेखीय आहेत का ते तपासा 
.
b) सदिश आधार तयार करतात का? 
?
उपाय:
a) सदिशांसाठी आहे का ते शोधू 
आनुपातिकता गुणांक, जसे की समानता समाधानी आहेत: 
मी तुम्हाला हा नियम लागू करण्याच्या "फॉपिश" आवृत्तीबद्दल निश्चितपणे सांगेन, जे सरावात चांगले कार्य करते. ताबडतोब प्रमाण तयार करणे आणि ते योग्य आहे का ते पाहणे ही कल्पना आहे:
सदिशांच्या संबंधित निर्देशांकांच्या गुणोत्तरांचे प्रमाण बनवू.
चला लहान करू:
, अशा प्रकारे संबंधित निर्देशांक आनुपातिक आहेत, म्हणून,
संबंध उलटे केले जाऊ शकतात; हा एक समतुल्य पर्याय आहे:
स्वयं-चाचणीसाठी, आपण हे तथ्य वापरू शकता की समरेखीय वेक्टर एकमेकांद्वारे रेखीयपणे व्यक्त केले जातात. या प्रकरणात, समानता घडते 
. त्यांची वैधता वेक्टरसह प्राथमिक ऑपरेशनद्वारे सहजपणे सत्यापित केली जाऊ शकते: 
b) दोन समतल वेक्टर एक आधार तयार करतात जर ते समरेखीय (रेखीय स्वतंत्र) नसतील. आम्ही समरूपतेसाठी वेक्टर तपासतो 
. चला एक प्रणाली तयार करूया: 
पहिल्या समीकरणावरून ते पुढे येते, दुसऱ्या समीकरणावरून ते पुढे येते, म्हणजे प्रणाली विसंगत आहे(उपाय नाहीत). अशा प्रकारे, वेक्टरचे संबंधित निर्देशांक आनुपातिक नाहीत.
निष्कर्ष: सदिश रेखीयरित्या स्वतंत्र असतात आणि आधार बनवतात.
सोल्यूशनची सरलीकृत आवृत्ती असे दिसते:
सदिशांच्या संबंधित निर्देशांकांमधून प्रमाण बनवू 
:
, ज्याचा अर्थ असा आहे की हे वेक्टर रेखीयरित्या स्वतंत्र आहेत आणि एक आधार तयार करतात.
सामान्यतः, हा पर्याय पुनरावलोकनकर्त्यांद्वारे नाकारला जात नाही, परंतु काही निर्देशांक शून्याच्या बरोबरीच्या असतात अशा प्रकरणांमध्ये समस्या उद्भवते. याप्रमाणे: 
. किंवा यासारखे: 
. किंवा यासारखे: 
. येथे प्रमाणाद्वारे कसे कार्य करावे? (खरंच, तुम्ही शून्याने भागू शकत नाही). या कारणास्तव मी सरलीकृत सोल्यूशनला "फॉपिश" म्हटले आहे.
उत्तर:अ) , ब) फॉर्म.
आपल्या स्वतःच्या समाधानासाठी एक लहान सर्जनशील उदाहरणः
उदाहरण २
पॅरामीटरच्या कोणत्या मूल्यावर वेक्टर असतात 
ते समरेख असतील का?
नमुना सोल्युशनमध्ये, पॅरामीटर प्रमाणाद्वारे आढळतो.
समरेखतेसाठी व्हेक्टर तपासण्याचा एक सुंदर बीजगणितीय मार्ग आहे. चला आपले ज्ञान व्यवस्थित करू आणि पाचव्या बिंदूप्रमाणे जोडू:
दोन समतल सदिशांसाठी खालील विधाने समतुल्य आहेत:
2) वेक्टर एक आधार तयार करतात;
3) वेक्टर समरेख नसतात;
+ 5) या सदिशांच्या समन्वयाने बनलेला निर्धारक शून्य आहे.
अनुक्रमे, खालील विरुद्ध विधाने समतुल्य आहेत:
1) वेक्टर रेखीय अवलंबून असतात;
2) सदिश आधार तयार करत नाहीत;
3) वेक्टर समरेख आहेत;
4) वेक्टर एकमेकांद्वारे रेखीयपणे व्यक्त केले जाऊ शकतात;
+ 5) या सदिशांच्या समन्वयाने बनलेला निर्धारक शून्य असतो.
मला खरोखर, खरोखर आशा आहे की आतापर्यंत तुम्हाला आलेल्या सर्व अटी आणि विधाने तुम्हाला आधीच समजली असतील.
चला नवीन, पाचव्या मुद्द्याकडे जवळून पाहू: दोन विमान वेक्टर 
दिलेल्या सदिशांच्या निर्देशांकांनी बनलेला निर्धारक शून्याच्या समान असेल तरच समरेखीय असतात:. हे वैशिष्ट्य लागू करण्यासाठी, अर्थातच, आपण सक्षम असणे आवश्यक आहे निर्धारक शोधा.
ठरवूयादुसऱ्या पद्धतीने उदाहरण 1:
a) सदिशांच्या समन्वयाने बनलेल्या निर्धारकाची गणना करू 
:
, म्हणजे हे वेक्टर समरेखीय आहेत.
b) दोन समतल वेक्टर एक आधार तयार करतात जर ते समरेखीय (रेखीय स्वतंत्र) नसतील. चला वेक्टर निर्देशांकांनी बनलेल्या निर्धारकाची गणना करू 
:
, ज्याचा अर्थ व्हेक्टर रेखीयरित्या स्वतंत्र आहेत आणि एक आधार तयार करतात.
उत्तर:अ) , ब) फॉर्म.
हे प्रमाण असलेल्या सोल्यूशनपेक्षा खूपच कॉम्पॅक्ट आणि सुंदर दिसते.
विचारात घेतलेल्या सामग्रीच्या मदतीने, केवळ वेक्टरची समरेखता स्थापित करणे शक्य नाही तर विभाग आणि सरळ रेषांची समांतरता देखील सिद्ध करणे शक्य आहे. विशिष्ट भौमितिक आकारांसह काही समस्यांचा विचार करूया.
उदाहरण ३
चौकोनाचे शिरोबिंदू दिलेले आहेत. चतुर्भुज समांतरभुज चौकोन आहे हे सिद्ध करा.
पुरावा: समस्येमध्ये रेखाचित्र तयार करण्याची गरज नाही, कारण समाधान पूर्णपणे विश्लेषणात्मक असेल. समांतरभुज चौकोनाची व्याख्या लक्षात ठेवूया:
समांतरभुज चौकोन
ज्या चौकोनाच्या विरुद्ध बाजू समांतर जोड्यांमध्ये असतात त्याला म्हणतात.
म्हणून, हे सिद्ध करणे आवश्यक आहे:
1) विरुद्ध बाजूंची समांतरता आणि;
2) विरुद्ध बाजूंची समांतरता आणि .
आम्ही सिद्ध करतो:
1) सदिश शोधा: 
२) सदिश शोधा: 
परिणाम समान वेक्टर आहे ("शाळेनुसार" - समान वेक्टर). समरूपता अगदी स्पष्ट आहे, परंतु व्यवस्थेसह, स्पष्टपणे निर्णय औपचारिक करणे चांगले आहे. चला वेक्टर निर्देशांकांनी बनलेल्या निर्धारकाची गणना करूया: 
, ज्याचा अर्थ असा की हे वेक्टर समरेखीय आहेत, आणि .
निष्कर्ष: चौकोनाच्या विरुद्ध बाजू जोड्यांमध्ये समांतर असतात, याचा अर्थ व्याख्येनुसार तो समांतरभुज चौकोन असतो. Q.E.D.
अधिक चांगले आणि भिन्न आकडे:
उदाहरण ४
चौकोनाचे शिरोबिंदू दिलेले आहेत. चतुर्भुज समलंब आहे हे सिद्ध करा.
पुराव्याच्या अधिक कठोर फॉर्म्युलेशनसाठी, अर्थातच ट्रॅपेझॉइडची व्याख्या मिळवणे चांगले आहे, परंतु ते कसे दिसते हे लक्षात ठेवणे पुरेसे आहे.
हे तुमच्यासाठी स्वतःहून सोडवायचे काम आहे. धड्याच्या शेवटी पूर्ण समाधान.
आणि आता हळूहळू विमानातून अंतराळात जाण्याची वेळ आली आहे:
स्पेस व्हेक्टरची समरेखता कशी ठरवायची?
नियम खूप समान आहे. दोन स्पेस व्हेक्टर समरेखीय असण्यासाठी, त्यांचे संबंधित निर्देशांक प्रमाणबद्ध असणे आवश्यक आणि पुरेसे आहे..
उदाहरण ५
खालील स्पेस वेक्टर समरेखीय आहेत की नाही ते शोधा:
अ);
ब)
V) 
उपाय:
अ) सदिशांच्या संबंधित निर्देशांकांसाठी समानुपातिकतेचा गुणांक आहे का ते तपासू:
प्रणालीमध्ये कोणतेही समाधान नाही, याचा अर्थ व्हेक्टर समरेखीय नाहीत.
प्रमाण तपासून "सरलीकृत" औपचारिक केले जाते. या प्रकरणात:
- संबंधित निर्देशांक आनुपातिक नसतात, याचा अर्थ वेक्टर समरेख नसतात.
उत्तर:वेक्टर समरेख नसतात.
b-c) हे स्वतंत्र निर्णयाचे मुद्दे आहेत. दोन प्रकारे करून पहा.
थर्ड-ऑर्डर निर्धारकाद्वारे संरेखिततेसाठी अवकाशीय वेक्टर तपासण्याची एक पद्धत आहे; ही पद्धत लेखात समाविष्ट आहे वेक्टरचे वेक्टर उत्पादन.
प्लेन केस प्रमाणेच, विचारात घेतलेल्या साधनांचा उपयोग अवकाशीय विभाग आणि सरळ रेषांच्या समांतरतेचा अभ्यास करण्यासाठी केला जाऊ शकतो.
दुसऱ्या विभागात आपले स्वागत आहे:
त्रिमितीय जागेत रेखीय अवलंबन आणि वेक्टरचे स्वातंत्र्य.
अवकाशीय आधार आणि affine समन्वय प्रणाली
आम्ही विमानात तपासलेले अनेक नमुने जागेसाठी वैध असतील. मी थिअरी नोट्स कमी करण्याचा प्रयत्न केला, कारण माहितीचा सिंहाचा वाटा आधीच चघळला गेला आहे. तथापि, मी शिफारस करतो की तुम्ही परिचयाचा भाग काळजीपूर्वक वाचा, कारण नवीन अटी आणि संकल्पना दिसून येतील.
आता, संगणक डेस्कच्या विमानाऐवजी, आम्ही त्रिमितीय जागा शोधतो. प्रथम, त्याचा आधार तयार करूया. कोणीतरी आता घरामध्ये आहे, कोणीतरी घराबाहेर आहे, परंतु कोणत्याही परिस्थितीत, रुंदी, लांबी आणि उंची या तीन आयामांपासून आपण सुटू शकत नाही. म्हणून, आधार तयार करण्यासाठी, तीन अवकाशीय वेक्टर आवश्यक असतील. एक किंवा दोन वेक्टर पुरेसे नाहीत, चौथा अनावश्यक आहे.
आणि पुन्हा आम्ही आमच्या बोटांवर उबदार होतो. कृपया तुमचा हात वर करा आणि वेगवेगळ्या दिशेने पसरवा अंगठा, तर्जनी आणि मधले बोट. हे वेक्टर असतील, ते वेगवेगळ्या दिशेने दिसतात, त्यांची लांबी भिन्न असते आणि त्यांच्यामध्ये भिन्न कोन असतात. अभिनंदन, त्रिमितीय जागेचा आधार तयार आहे! तसे, शिक्षकांना हे दाखवून देण्याची गरज नाही, तुम्ही कितीही बोटे फिरवलीत तरी, व्याख्यांपासून सुटका नाही =)
पुढे, स्वतःला एक महत्त्वाचा प्रश्न विचारूया: कोणतेही तीन वेक्टर त्रिमितीय जागेचा आधार बनवतात का?? कृपया संगणक डेस्कच्या शीर्षस्थानी तीन बोटांनी घट्ट दाबा. काय झालं? तीन वेक्टर एकाच विमानात स्थित आहेत, आणि, साधारणपणे बोलायचे तर, आम्ही एक परिमाण गमावला आहे - उंची. असे वेक्टर आहेत coplanarआणि, हे अगदी स्पष्ट आहे की त्रिमितीय जागेचा आधार तयार केलेला नाही.
हे लक्षात घ्यावे की कॉप्लॅनर वेक्टर्सना एकाच विमानात झोपण्याची गरज नाही, ते समांतर विमानात असू शकतात (फक्त आपल्या बोटांनी हे करू नका, फक्त साल्वाडोर डालीने हे केले =)).
व्याख्या: वेक्टर म्हणतात coplanar, जर एखादे विमान असेल ज्याला ते समांतर असतील. येथे जोडणे तर्कसंगत आहे की जर असे विमान अस्तित्वात नसेल तर व्हेक्टर कॉप्लनर होणार नाहीत.
तीन कॉप्लॅनर वेक्टर नेहमी रेखीय अवलंबून असतात, म्हणजे, ते एकमेकांद्वारे रेखीयपणे व्यक्त केले जातात. साधेपणासाठी, आपण पुन्हा कल्पना करूया की ते एकाच विमानात आहेत. प्रथम, व्हेक्टर हे केवळ कॉप्लानर नसतात, ते समरेखीय देखील असू शकतात, नंतर कोणत्याही वेक्टरद्वारे कोणतेही वेक्टर व्यक्त केले जाऊ शकतात. दुस-या बाबतीत, जर, उदाहरणार्थ, व्हेक्टर समरेखीय नसतील, तर तिसरा वेक्टर त्यांच्याद्वारे एका अनोख्या पद्धतीने व्यक्त केला जातो: 
(आणि मागील विभागातील सामग्रीवरून अंदाज लावणे सोपे का आहे).
संभाषण देखील खरे आहे: तीन नॉन-कॉप्लनर वेक्टर नेहमी रेखीय स्वतंत्र असतात, म्हणजेच ते कोणत्याही प्रकारे एकमेकांद्वारे व्यक्त होत नाहीत. आणि, स्पष्टपणे, केवळ असे वेक्टर त्रि-आयामी जागेचा आधार बनू शकतात.
व्याख्या: त्रिमितीय जागेचा आधाररेखीय स्वतंत्र (नॉन-कॉप्लनर) वेक्टरचा तिहेरी म्हणतात, एका विशिष्ट क्रमाने घेतले, आणि जागेचा कोणताही सदिश एकमेव मार्गदिलेल्या आधारावर विघटित केले जाते, या आधारावर वेक्टरचे समन्वय कोठे आहेत
मी तुम्हाला आठवण करून देतो की आम्ही असेही म्हणू शकतो की वेक्टर फॉर्ममध्ये दर्शविला जातो रेखीय संयोजनआधार वेक्टर.
समन्वय प्रणालीची संकल्पना प्लेन केससाठी अगदी तशाच प्रकारे सादर केली गेली आहे; एक बिंदू आणि कोणतेही तीन रेखीय स्वतंत्र वेक्टर पुरेसे आहेत:
मूळ, आणि नॉन-कॉप्लनरवेक्टर, एका विशिष्ट क्रमाने घेतले, सेट त्रिमितीय जागेची affine समन्वय प्रणाली
:
अर्थात, समन्वय ग्रिड "तिरकस" आणि गैरसोयीचे आहे, परंतु, तरीही, तयार केलेली समन्वय प्रणाली आम्हाला परवानगी देते निश्चितपणेकोणत्याही वेक्टरचे निर्देशांक आणि अंतराळातील कोणत्याही बिंदूचे निर्देशांक निर्धारित करा. विमानाप्रमाणेच, मी आधीच नमूद केलेली काही सूत्रे स्पेसच्या affine समन्वय प्रणालीमध्ये कार्य करणार नाहीत.
प्रत्येकाच्या अंदाजाप्रमाणे, affine समन्वय प्रणालीचे सर्वात परिचित आणि सोयीस्कर विशेष प्रकरण आहे आयताकृती स्पेस समन्वय प्रणाली:
अंतराळातील एक बिंदू म्हणतात मूळ, आणि ऑर्थोनॉर्मलआधार निश्चित केला आहे कार्टेशियन आयताकृती स्पेस समन्वय प्रणाली
. परिचित चित्र: 
व्यावहारिक कार्यांकडे जाण्यापूर्वी, माहिती पुन्हा व्यवस्थित करूया:
तीन स्पेस वेक्टरसाठी खालील विधाने समतुल्य आहेत:
1) वेक्टर रेखीय स्वतंत्र आहेत;
2) वेक्टर एक आधार तयार करतात;
3) वेक्टर कॉप्लनर नाहीत;
4) वेक्टर एकमेकांद्वारे रेखीयपणे व्यक्त केले जाऊ शकत नाहीत;
5) निर्धारक, या सदिशांच्या समन्वयाने बनलेला, शून्यापेक्षा वेगळा आहे.
मला वाटते की विरुद्ध विधाने समजण्यासारखी आहेत.
स्पेस वेक्टर्सचे रेखीय अवलंबन/स्वातंत्र्य पारंपारिकपणे निर्धारक (बिंदू 5) वापरून तपासले जाते. उर्वरित व्यावहारिक कार्ये उच्चारित बीजगणित स्वरूपाची असतील. भूमितीची काठी टांगण्याची आणि रेखीय बीजगणिताची बेसबॉल बॅट चालवण्याची वेळ आली आहे:
स्पेसचे तीन वेक्टरदिलेल्या सदिशांच्या निर्देशांकांनी बनलेला निर्धारक शून्याच्या बरोबरीचा असल्यास आणि फक्त तरच कॉप्लॅनर असतात: 
.
मी एका छोट्या तांत्रिक सूक्ष्मतेकडे तुमचे लक्ष वेधून घेऊ इच्छितो: वेक्टरचे निर्देशांक केवळ स्तंभांमध्येच नव्हे तर पंक्तींमध्ये देखील लिहिले जाऊ शकतात (यामुळे निर्धारकाचे मूल्य बदलणार नाही - निर्धारकांचे गुणधर्म पहा). परंतु स्तंभांमध्ये ते अधिक चांगले आहे, कारण काही व्यावहारिक समस्या सोडवण्यासाठी ते अधिक फायदेशीर आहे.
त्या वाचकांसाठी जे निर्धारकांची गणना करण्याच्या पद्धती थोडेसे विसरले आहेत किंवा कदाचित त्यांना अजिबातच समजलेले नाही, मी माझ्या सर्वात जुन्या धड्यांपैकी एक शिफारस करतो: निर्धारकाची गणना कशी करावी?
उदाहरण 6
खालील सदिश त्रिमितीय जागेचा आधार बनतात का ते तपासा:
उपाय: खरं तर, संपूर्ण समाधान निर्धारकाची गणना करण्यासाठी खाली येते.
अ) सदिश निर्देशांकांनी बनलेल्या निर्धारकाची गणना करूया (निर्धारक पहिल्या ओळीत प्रकट झाला आहे): 
, याचा अर्थ व्हेक्टर रेखीयरित्या स्वतंत्र आहेत (कॉप्लॅनर नाही) आणि त्रिमितीय जागेचा आधार तयार करतात.
उत्तर द्या: हे वेक्टर एक आधार तयार करतात
b) हा स्वतंत्र निर्णय घेण्याचा मुद्दा आहे. धड्याच्या शेवटी पूर्ण समाधान आणि उत्तर.
सर्जनशील कार्ये देखील आहेत:
उदाहरण 7
पॅरामीटरच्या कोणत्या मूल्यावर व्हेक्टर कॉप्लॅनर असतील?
उपाय: जर आणि फक्त जर या सदिशांच्या समन्वयाने बनलेला निर्धारक शून्याच्या समान असेल तरच सदिश समतल असतात: 
मूलत:, तुम्हाला निर्धारकासह समीकरण सोडवणे आवश्यक आहे. आम्ही जर्बोसवरील पतंगांप्रमाणे शून्यावर झुकतो - दुसर्या ओळीत निर्धारक उघडणे आणि ताबडतोब उणेपासून मुक्त होणे चांगले आहे: 
आम्ही पुढील सरलीकरण करतो आणि प्रकरण सर्वात सोप्या रेखीय समीकरणापर्यंत कमी करतो: 
उत्तर द्या: येथे
येथे तपासणे सोपे आहे; हे करण्यासाठी, तुम्हाला मूळ निर्धारकामध्ये परिणामी मूल्य बदलणे आवश्यक आहे आणि याची खात्री करा 
, ते पुन्हा उघडत आहे.
शेवटी, आम्ही आणखी एका वैशिष्ट्यपूर्ण समस्येचा विचार करू, जी निसर्गात अधिक बीजगणितीय आहे आणि पारंपारिकपणे रेखीय बीजगणित अभ्यासक्रमात समाविष्ट आहे. हे इतके सामान्य आहे की ते स्वतःच्या विषयास पात्र आहे:
3 वेक्टर त्रिमितीय जागेचा आधार बनवतात हे सिद्ध करा
आणि या आधारावर चौथ्या वेक्टरचे निर्देशांक शोधा
उदाहरण 8
वेक्टर दिले आहेत. सदिश त्रिमितीय जागेत आधार बनवतात हे दाखवा आणि या आधारावर सदिशाचे समन्वय शोधा.
उपाय: प्रथम, परिस्थिती हाताळूया. कंडिशननुसार, चार वेक्टर दिलेले आहेत, आणि तुम्ही बघू शकता, त्यांच्याकडे आधीपासून काही आधारावर समन्वय आहेत. हा आधार काय आहे हे आपल्याला स्वारस्य नाही. आणि खालील गोष्ट स्वारस्यपूर्ण आहे: तीन वेक्टर एक नवीन आधार तयार करू शकतात. आणि पहिला टप्पा उदाहरण 6 च्या सोल्यूशनशी पूर्णपणे जुळतो; व्हेक्टर खरोखर रेखीय स्वतंत्र आहेत की नाही हे तपासणे आवश्यक आहे:
चला वेक्टर निर्देशांकांनी बनलेल्या निर्धारकाची गणना करूया: 
, याचा अर्थ व्हेक्टर रेखीयरित्या स्वतंत्र आहेत आणि त्रिमितीय जागेचा आधार तयार करतात.
! महत्वाचे : वेक्टर निर्देशांक अपरिहार्यपणेलिहा स्तंभांमध्येनिर्धारक, तारांमध्ये नाही. अन्यथा, पुढील उपाय अल्गोरिदममध्ये गोंधळ होईल.
एका -मितीय अंकगणित जागेत सदिशांचा संग्रह असू द्या 
.
व्याख्या २.१.वेक्टरचा संच 
म्हणतात रेखीय स्वतंत्रसमानता स्वरूपाची असल्यास सदिश प्रणाली
केवळ अंकीय पॅरामीटर्सच्या शून्य मूल्यांसह कार्यान्वित 
.
जर समानता (2.1) समाधानी असेल तर गुणांकांपैकी किमान एक शून्यापेक्षा वेगळा असेल, तर अशा वेक्टर प्रणालीला म्हणतात. रेखीय अवलंबून .
उदाहरण 2.1.वेक्टरची रेखीय स्वातंत्र्य तपासा
उपाय.चला फॉर्मची समानता निर्माण करूया (2.1)
अट पूर्ण झाली तरच या अभिव्यक्तीची डावी बाजू शून्य होऊ शकते 
, ज्याचा अर्थ असा आहे की प्रणाली रेखीयरित्या स्वतंत्र आहे.
उदाहरण 2.1.वेक्टर असतील का? 
रेखीय स्वतंत्र?
उपाय.समानता तपासणे सोपे आहे 
मूल्यांसाठी खरे 
, 
. याचा अर्थ व्हेक्टरची ही प्रणाली रेखीयपणे अवलंबून आहे.
प्रमेय 2.1. जर सदिशांची प्रणाली रेखीय रीतीने अवलंबून असेल, तर या प्रणालीतील कोणताही सदिश प्रणालीच्या उर्वरित सदिशांचे रेखीय संयोजन (किंवा सुपरपोझिशन) म्हणून प्रस्तुत केले जाऊ शकते.
पुरावा. सदिशांची प्रणाली असे गृहीत धरू 
रेखीय अवलंबून. मग, व्याख्येनुसार, संख्यांचा संच आहे , ज्यामध्ये किमान एक संख्या शून्यापेक्षा वेगळी आहे आणि समानता (2.1) वैध आहे:
सामान्यता न गमावता, आम्ही गृहीत धरतो की शून्य नसलेला गुणांक आहे, म्हणजे 
. नंतर शेवटची समानता याने विभाजित केली जाऊ शकते आणि नंतर वेक्टर म्हणून व्यक्त केली जाऊ शकते:
.
अशाप्रकारे, वेक्टर हे वेक्टरचे सुपरपोझिशन म्हणून प्रस्तुत केले जाते 
. प्रमेय 1 सिद्ध झाला आहे.
परिणाम. तर 
रेखीय स्वतंत्र व्हेक्टरचा संच आहे, तर या संचातील एकही वेक्टर इतरांच्या संदर्भात व्यक्त करता येणार नाही..
प्रमेय 2.2. जर सदिश प्रणाली एक शून्य वेक्टर समाविष्टीत आहे, नंतर अशी प्रणाली आवश्यकपणे रेखीय अवलंबून असेल.
पुरावा. सदिश एक शून्य सदिश असू द्या, म्हणजे 
.
मग आम्ही स्थिरांक निवडतो ( 
) खालील प्रकारे:
, .
या प्रकरणात, समानता (2.1) समाधानी आहे. शून्य सदिश असल्यामुळे डावीकडील पहिली संज्ञा शून्याच्या बरोबरीची आहे. शून्य स्थिरांकाने गुणाकार केल्यावर उर्वरित संज्ञा शून्य होतात ( 
). अशा प्रकारे,
येथे , ज्याचा अर्थ वेक्टर 
रेखीय अवलंबून. प्रमेय 2.2 सिद्ध झाले आहे.
पुढच्या प्रश्नाचे उत्तर काय आहे व्हेक्टरची सर्वात मोठी संख्या एक रेखीय स्वतंत्र प्रणाली तयार करू शकतेव्ही n-मितीय अंकगणित जागा. परिच्छेद २.१ मध्ये, नैसर्गिक आधार (१.४) विचारात घेतला गेला:
हे स्थापित केले गेले की -आयामी जागेचा अनियंत्रित सदिश हा नैसर्गिक आधारभूत वेक्टरचा एक रेखीय संयोजन आहे, म्हणजेच एक अनियंत्रित सदिश 
म्हणून नैसर्गिक आधारावर व्यक्त केले जाते
, (2.2)
कुठे 
- वेक्टरचे निर्देशांक, काही संख्या दर्शवितात. मग समानता
केवळ , आणि म्हणून वेक्टरसाठी शक्य आहे 
नैसर्गिक आधार एक रेखीय स्वतंत्र प्रणाली तयार करतो. जर आपण या प्रणालीमध्ये एक अनियंत्रित वेक्टर जोडला , तर, प्रमेय 1 च्या परिणामावर आधारित, प्रणाली अवलंबून असेल, कारण सदिश सदिशांच्या संदर्भात व्यक्त केला जातो. सूत्रानुसार (2.2).
हे उदाहरण दाखवते की मध्ये n-आयामी अंकगणितीय जागेत रेखीय स्वतंत्र वेक्टर असलेल्या प्रणाली आहेत. आणि जर आपण या प्रणालीमध्ये किमान एक वेक्टर जोडला तर आपल्याला रेखीय अवलंबित सदिशांची प्रणाली मिळते. आपण हे सिद्ध करूया की जर सदिशांची संख्या स्पेसच्या परिमाणापेक्षा जास्त असेल तर ते रेषीयरित्या अवलंबून आहेत.
प्रमेय 2.3.पेक्षा जास्त असलेली कोणतीही प्रणाली नाही -मितीय अंकगणित जागेत रेखीय स्वतंत्र वेक्टर.
पुरावा. अनियंत्रित-आयामी वेक्टर विचारात घ्या:
………………………
द्या 
. चला व्हेक्टर (2.3) चे एक रेखीय संयोजन बनवू आणि ते शून्याशी समान करू:
वेक्टर समानता (2.4) समन्वयांसाठी स्केलर समानतेच्या समतुल्य आहे 
वेक्टर 
:
(2.5)
या समानता अज्ञातांसह एकसंध समीकरणांची प्रणाली तयार करतात 
. अज्ञातांची संख्या समीकरणांच्या संख्येपेक्षा जास्त असल्याने ( 
), नंतर विभाग 1 च्या प्रमेय 9.3 च्या परिणामानुसार, एकसंध प्रणाली (2.5) मध्ये शून्य समाधान आहे. परिणामी, समानता (2.4) काही मूल्यांसाठी वैध आहे 
, ज्यामध्ये सर्व शून्य समान नाहीत, याचा अर्थ व्हेक्टरची प्रणाली (2.3) रेखीयरित्या अवलंबून आहे. प्रमेय 2.3 सिद्ध झाले आहे.
परिणाम. डायमेंशनल स्पेसमध्ये रेखीय स्वतंत्र वेक्टर असलेल्या प्रणाली आहेत आणि वेक्टरपेक्षा जास्त असलेली कोणतीही प्रणाली रेखीयपणे अवलंबून असेल.
व्याख्या 2.2.रेखीय स्वतंत्र वेक्टरची प्रणाली म्हणतात जागेचा आधार, जर अवकाशातील कोणताही सदिश या रेखीय स्वतंत्र सदिशांच्या रेखीय संयोजनाप्रमाणे व्यक्त केला जाऊ शकतो.
२.३. रेखीय वेक्टर परिवर्तन
दोन सदिश आणि -मितीय अंकगणित जागा विचारात घ्या.
व्याख्या 3.1.जर प्रत्येक वेक्टर 
जर त्याच जागेतील सदिश संबंधित असेल तर आपण असे म्हणतो की मितीय अंकगणित जागेचे काही परिवर्तन दिले आहे.
आम्ही हे परिवर्तन द्वारे दर्शवू. आपण वेक्टरला प्रतिमा म्हणू. आपण समानता लिहू शकतो
. (3.1)
व्याख्या 3.2.ट्रान्सफॉर्मेशन (3.1) खालील गुणधर्म पूर्ण करत असल्यास त्याला रेखीय म्हटले जाईल:
, (3.2)
,
(3.3)
एक अनियंत्रित स्केलर (संख्या) कुठे आहे.
समन्वय स्वरूपात परिवर्तन (3.1) परिभाषित करू. सदिशांचे समन्वय करू द्या 
आणि 
व्यसनाधीन
(3.4)
सूत्रे (3.4) समन्वय स्वरूपात परिवर्तन (3.1) परिभाषित करतात. शक्यता ( 
) समानतेची प्रणाली (3.4) मॅट्रिक्स म्हणून दर्शविली जाऊ शकते
ट्रान्सफॉर्मेशन मॅट्रिक्स (3.1) म्हणतात.
कॉलम वेक्टर्सची ओळख करून घेऊ
,
ज्याचे घटक सदिशांचे समन्वय आहेत आणि त्यानुसार, म्हणून 
आणि 
. आपण यापुढे कॉलम वेक्टर्सला वेक्टर म्हणू.
नंतर ट्रान्सफॉर्मेशन (3.4) मॅट्रिक्स स्वरूपात लिहिले जाऊ शकते
. (3.5)
मॅट्रिक्सवरील अंकगणितीय क्रियांच्या गुणधर्मांमुळे परिवर्तन (3.5) रेखीय आहे.
चला काही परिवर्तनाचा विचार करू ज्याची प्रतिमा शून्य सदिश आहे. मॅट्रिक्स स्वरूपात हे परिवर्तन असे दिसेल
, (3.6)
आणि समन्वय स्वरूपात - रेखीय एकसंध समीकरणांची प्रणाली दर्शवते
(3.7)
व्याख्या 3.3.रेखीय परिवर्तन मॅट्रिक्सचे निर्धारक शून्याच्या बरोबरीचे नसल्यास, रेखीय परिवर्तनास नॉन-डिजनरेट असे म्हणतात. 
. जर निर्धारक नाहीसा झाला तर परिवर्तन अध:पतन होईल 
.
हे ज्ञात आहे की प्रणाली (3.7) मध्ये एक क्षुल्लक (स्पष्ट) समाधान आहे - शून्य. मॅट्रिक्सचा निर्धारक शून्य असल्याशिवाय हे समाधान अद्वितीय आहे.
जर रेखीय परिवर्तन क्षीण होत असेल, म्हणजेच मॅट्रिक्सचा निर्धारक शून्य असेल तर प्रणालीचे शून्य-नसलेले समाधान (3.7) दिसू शकतात.
व्याख्या 3.4. ट्रान्सफॉर्मेशनची रँक (3.5) ही ट्रान्सफॉर्मेशन मॅट्रिक्सची रँक आहे.
आपण असे म्हणू शकतो की समान संख्या मॅट्रिक्सच्या रेखीय स्वतंत्र पंक्तींच्या संख्येइतकी आहे.
रेखीय परिवर्तनाच्या भूमितीय व्याख्याकडे वळूया (3.5).
उदाहरण 3.1.एक रेखीय परिवर्तन मॅट्रिक्स द्या 
, कुठे 
चला एक अनियंत्रित वेक्टर घेऊ 
, कुठे 
आणि त्याची प्रतिमा शोधा: 
मग वेक्टर 
.
तर 
, नंतर वेक्टर लांबी आणि दिशा दोन्ही बदलेल. Fig.1 मध्ये 
.
तर 
, नंतर आम्हाला प्रतिमा मिळेल
,
म्हणजे, वेक्टर 
किंवा 
, याचा अर्थ ते फक्त लांबी बदलेल, परंतु दिशा बदलणार नाही (चित्र 2).
उदाहरण 3.2.द्या 
, . चला प्रतिमा शोधूया:
,
ते आहे 
, किंवा 
.
वेक्टर परिवर्तनाच्या परिणामी, त्याची दिशा उलट बदलली, तर वेक्टरची लांबी जतन केली गेली (चित्र 3).
उदाहरण 3.3.मॅट्रिक्सचा विचार करा 
रेखीय परिवर्तन. हे दर्शविणे सोपे आहे की या प्रकरणात वेक्टरची प्रतिमा पूर्णपणे वेक्टरशी जुळते (चित्र 4). खरंच,
.
आपण असे म्हणू शकतो की सदिशांचे रेखीय परिवर्तन मूळ सदिश बदलते लांबी आणि दिशेने दोन्ही. तथापि, काही प्रकरणांमध्ये असे मॅट्रिक्स आहेत जे वेक्टरला केवळ दिशेने (उदाहरण 3.2) किंवा फक्त लांबीमध्ये (उदाहरण 3.1, केस) बदलतात 
).
हे लक्षात घेतले पाहिजे की एकाच रेषेवर असलेले सर्व वेक्टर रेखीय अवलंबित वेक्टरची एक प्रणाली तयार करतात.
चला रेखीय परिवर्तनाकडे परत जाऊ (3.5)
आणि वेक्टरच्या संग्रहाचा विचार करा , ज्यासाठी प्रतिमा शून्य वेक्टर आहे, म्हणून 
.
व्याख्या 3.5. व्हेक्टरचा एक संच जो समीकरणाचा उपाय आहे 
, -मितीय अंकगणित जागेचे एक उपस्थान बनवते आणि त्याला म्हणतात रेखीय परिवर्तन कर्नल.
व्याख्या 3.6. रेखीय परिवर्तन दोष
या परिवर्तनाच्या कर्नलच्या परिमाणाला म्हणतात, म्हणजेच समीकरणाचे समाधान करणाऱ्या रेखीय स्वतंत्र वेक्टरची सर्वात मोठी संख्या. 
.
रेखीय परिवर्तनाच्या श्रेणीनुसार मॅट्रिक्सची रँक म्हणजे आम्ही मॅट्रिक्सच्या दोषाबाबत खालील विधान तयार करू शकतो: दोष फरकाच्या समान आहे 
, मॅट्रिक्सचे परिमाण कुठे आहे आणि त्याची श्रेणी आहे.
जर रेखीय परिवर्तन मॅट्रिक्स (3.5) ची रँक गॉसियन पद्धतीद्वारे शोधली गेली असेल, तर रँक आधीच बदललेल्या मॅट्रिक्सच्या मुख्य कर्णावरील शून्य नसलेल्या घटकांच्या संख्येशी एकरूप होतो आणि दोष शून्याच्या संख्येने निर्धारित केला जातो. पंक्ती
जर रेखीय परिवर्तन नॉन-डिजनरेट असेल तर ते आहे 
, नंतर त्याचा दोष शून्य होतो, कारण कर्नल फक्त शून्य सदिश आहे.
जर रेखीय परिवर्तन क्षीण होत असेल आणि 
, नंतर सिस्टम (3.6) मध्ये शून्याशिवाय इतर उपाय आहेत आणि या प्रकरणात दोष आधीच शून्यापेक्षा वेगळा आहे.
विशेष स्वारस्य अशी परिवर्तने आहेत जी, लांबी बदलताना, वेक्टरची दिशा बदलत नाहीत. अधिक तंतोतंत, ते मूळ सदिश असलेल्या रेषेवर सदिश सोडतात, बशर्ते की रेषा उगमस्थानातून जात असेल. अशा परिवर्तनांवर पुढील परिच्छेद २.४ मध्ये चर्चा केली जाईल.
आमची ओळख करून दिली वेक्टरवर रेखीय ऑपरेशन्ससाठी विविध अभिव्यक्ती तयार करणे शक्य करा वेक्टर प्रमाणआणि या ऑपरेशन्ससाठी सेट केलेल्या गुणधर्मांचा वापर करून त्यांचे रूपांतर करा.
दिलेल्या सदिश a 1, ..., a n वर आधारित, तुम्ही फॉर्मची अभिव्यक्ती तयार करू शकता.
जेथे 1, ..., आणि n या अनियंत्रित वास्तविक संख्या आहेत. या अभिव्यक्ती म्हणतात वेक्टरचे रेखीय संयोजन a 1, ..., a n. α i, i = 1, n या संख्या दर्शवतात रेखीय संयोजन गुणांक. वेक्टरचा संच देखील म्हणतात वेक्टर प्रणाली.
सदिशांच्या रेखीय संयोगाच्या प्रचलित संकल्पनेच्या संबंधात, सदिशांच्या संचाचे वर्णन करताना समस्या उद्भवते ज्याला 1, ..., a n या वेक्टरच्या दिलेल्या प्रणालीचे रेखीय संयोजन म्हणून लिहिले जाऊ शकते. या व्यतिरिक्त, ज्या परिस्थितीमध्ये रेखीय संयोजनाच्या स्वरूपात वेक्टरचे प्रतिनिधित्व केले जाते आणि अशा प्रतिनिधित्वाच्या विशिष्टतेबद्दल नैसर्गिक प्रश्न आहेत.
व्याख्या २.१.वेक्टर a 1, ..., आणि n म्हणतात रेखीय अवलंबून, जर गुणांकांचा संच α 1 , ... , α n असेल तर
α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)
आणि यापैकी किमान एक गुणांक शून्य नसलेला आहे. जर गुणांकांचा निर्दिष्ट संच अस्तित्वात नसेल, तर व्हेक्टर म्हणतात रेखीय स्वतंत्र.
जर α 1 = ... = α n = 0, तर, स्पष्टपणे, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. हे लक्षात घेऊन, आपण असे म्हणू शकतो: सदिश a 1, ..., आणि सर्व गुणांक α 1 , ... , α n हे समानतेचे (2.2) पालन केल्यास n रेखीयरित्या स्वतंत्र असतात.
नवीन संकल्पनेला "अवलंबन" (किंवा "स्वातंत्र्य") का म्हटले जाते हे पुढील प्रमेय स्पष्ट करते आणि रेखीय अवलंबनासाठी एक साधा निकष प्रदान करते.
प्रमेय 2.1. 1, ..., आणि n, n > 1, रेखीय अवलंबित व्हेक्टरसाठी, त्यापैकी एक हे इतरांचे रेखीय संयोजन असणे आवश्यक आणि पुरेसे आहे.
◄ गरज. a 1, ..., आणि n हे सदिश रेखीयरित्या अवलंबून आहेत असे गृहीत धरू. रेखीय अवलंबनाच्या व्याख्या 2.1 नुसार, समानतेमध्ये (2.2) डावीकडे किमान एक शून्य नसलेला गुणांक आहे, उदाहरणार्थ α 1. समानतेच्या डाव्या बाजूला पहिले पद सोडले, आम्ही बाकीच्यांना उजव्या बाजूला हलवतो, त्यांची चिन्हे बदलत असतो, नेहमीप्रमाणे. परिणामी समानतेला α 1 ने विभाजित केल्याने आपल्याला मिळते
a 1 =-α 2 /α 1 ⋅ a 2 - ... - α n /α 1 ⋅ a n
त्या उरलेल्या सदिश a 2, ..., a n चे रेखीय संयोजन म्हणून सदिश a 1 चे प्रतिनिधित्व.
पर्याप्तता. चला, उदाहरणार्थ, पहिला सदिश a 1 उर्वरित सदिशांच्या रेखीय संयोजनाप्रमाणे दर्शविला जाऊ शकतो: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. सर्व अटी उजवीकडून डावीकडे हस्तांतरित केल्याने, आम्हाला 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0 मिळते, i.e. α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n सह गुणांक a 1, ..., a n सह रेखीय संयोजन शून्य सदिश.या रेखीय संयोजनात, सर्व गुणांक शून्य नसतात. व्याख्या 2.1 नुसार, a 1, ..., आणि n हे सदिश रेखीयरित्या अवलंबून आहेत.
रेखीय अवलंबनाची व्याख्या आणि निकष दोन किंवा अधिक वेक्टर्सची उपस्थिती दर्शवण्यासाठी तयार केले जातात. तथापि, आपण एका वेक्टरच्या रेखीय अवलंबनाबद्दल देखील बोलू शकतो. ही शक्यता लक्षात येण्यासाठी, "वेक्टर रेषीयपणे अवलंबून असतात" ऐवजी, तुम्हाला "वेक्टर्सची प्रणाली रेखीय अवलंबून असते" असे म्हणणे आवश्यक आहे. हे पाहणे सोपे आहे की "एका वेक्टरची प्रणाली रेखीयपणे अवलंबून असते" या अभिव्यक्तीचा अर्थ असा आहे की हा एकल सदिश शून्य आहे (रेखीय संयोजनात फक्त एक गुणांक असतो आणि तो शून्याच्या समान नसावा).
रेखीय अवलंबनाची संकल्पना एक साधी भौमितिक व्याख्या आहे. पुढील तीन विधाने या व्याख्या स्पष्ट करतात.
प्रमेय 2.2.दोन सदिश रेषीयरित्या अवलंबून असतात जर आणि फक्त जर ते समरेख
◄ जर सदिश a आणि b रेखीयरित्या अवलंबून असतील, तर त्यापैकी एक, उदाहरणार्थ a, दुसऱ्याद्वारे व्यक्त केला जातो, म्हणजे. a = λb काही वास्तविक संख्येसाठी λ. व्याख्येनुसार 1.7 कार्य करतेसदिश प्रति संख्या, सदिश a आणि b समरेखीय आहेत.
आता व्हेक्टर a आणि b समरेखीय असू द्या. जर ते दोन्ही शून्य असतील, तर हे स्पष्ट आहे की ते रेषीयरित्या अवलंबून आहेत, कारण त्यांचे कोणतेही रेखीय संयोजन शून्य सदिशाच्या बरोबरीचे आहे. यापैकी एक सदिश 0 च्या बरोबरीने असू नये, उदाहरणार्थ वेक्टर b. सदिश लांबीचे गुणोत्तर λ ने दर्शवू: λ = |a|/|b|. समरेख वेक्टर असू शकतात दिशाहीनकिंवा विरुद्ध दिग्दर्शित. नंतरच्या प्रकरणात, आम्ही λ चे चिन्ह बदलतो. नंतर, व्याख्या 1.7 तपासल्यावर, आम्हाला खात्री पटली की a = λb. प्रमेय 2.1 नुसार, सदिश a आणि b रेखीय अवलंबून आहेत.
टिप्पणी 2.1.दोन सदिशांच्या बाबतीत, रेखीय अवलंबनाचा निकष लक्षात घेऊन, सिद्ध प्रमेय खालीलप्रमाणे सुधारित केले जाऊ शकते: दोन सदिश समरेखीय असतात आणि फक्त जर त्यांपैकी एकाला दुसऱ्याचे गुणाकार संख्येने दर्शविले जाते. दोन वेक्टरच्या समरेखतेसाठी हा एक सोयीस्कर निकष आहे.
प्रमेय 2.3.तीन सदिश रेषीय रीतीने अवलंबून असतात जर आणि फक्त जर ते coplanar.
◄ जर तीन सदिश a, b, c रेखीयपणे अवलंबून असतील, तर, प्रमेय 2.1 नुसार, त्यापैकी एक, उदाहरणार्थ a, इतरांचे रेखीय संयोजन आहे: a = βb + γс. बिंदू A वर b आणि c व्हेक्टरची उत्पत्ती एकत्र करू या. मग व्हेक्टर βb, γс बिंदू A आणि बाजूने एक समान मूळ असेल समांतरभुज चौकोन नियमानुसार, त्यांची बेरीज आहेत्या सदिश a हा मूळ A आणि सह सदिश असेल शेवट, जो घटक सदिशांवर बांधलेल्या समांतरभुज चौकोनाचा शिरोबिंदू आहे. अशाप्रकारे, सर्व वेक्टर एकाच समतलात असतात, म्हणजे कॉप्लानर.
व्हेक्टर a, b, c हे coplanar असू द्या. जर यापैकी एक सदिश शून्य असेल तर ते इतरांचे रेखीय संयोजन असेल. शून्याच्या समान रेखीय संयोजनाचे सर्व गुणांक घेणे पुरेसे आहे. म्हणून, आपण असे गृहीत धरू शकतो की तिन्ही सदिश शून्य नाहीत. सुसंगत सुरु केलेया सदिशांपैकी एका सामान्य बिंदूवर O. त्यांची टोके अनुक्रमे बिंदू A, B, C असू द्या (चित्र 2.1). बिंदू C द्वारे आपण O, A आणि O, B बिंदूंच्या जोड्यांमधून जाणाऱ्या रेषांच्या समांतर रेषा काढतो. छेदनबिंदूंना A" आणि B" असे ठरवून, आम्हाला OA"CB" समांतरभुज चौकोन मिळतो, म्हणून, OC" = OA" + OB. व्हेक्टर OA" आणि शून्य नसलेले सदिश a = OA समरेखीय आहेत, आणि म्हणून त्यांपैकी पहिला क्रमांक दुसऱ्याला वास्तविक संख्येने गुणाकारून मिळवता येतो α:OA" = αOA. त्याचप्रमाणे, OB" = βOB, β ∈ R. परिणामी, आम्हाला ते OC" = α OA + βOB, म्हणजे सदिश c हे a आणि b सदिशांचे रेखीय संयोजन आहे. प्रमेय 2.1 नुसार, a, b, c हे रेखीयरित्या अवलंबून असतात.
प्रमेय 2.4.कोणतेही चार वेक्टर रेषीय रीतीने अवलंबून असतात.
◄ आम्ही प्रमेय 2.3 प्रमाणेच त्याच योजनेनुसार पुरावा देतो. अनियंत्रित चार सदिश a, b, c आणि d विचारात घ्या. जर चार सदिशांपैकी एक शून्य असेल, किंवा त्यांच्यामध्ये दोन समरेखीय सदिश असतील, किंवा चारपैकी तीन सदिश कॉप्लॅनर असतील, तर हे चार सदिश रेखीय रीत्या अवलंबून असतात. उदाहरणार्थ, a आणि b हे व्हेक्टर समरेखीय असल्यास, आपण त्यांचे रेखीय संयोजन αa + βb = 0 हे शून्य नसलेल्या गुणांकांसह बनवू शकतो, आणि नंतर शून्यांना गुणांक म्हणून घेऊन उर्वरित दोन व्हेक्टर या संयोजनात जोडू शकतो. आम्हाला 0 च्या बरोबरीचे चार सदिशांचे रेखीय संयोजन मिळते, ज्यामध्ये शून्य नसलेले गुणांक असतात.
अशा प्रकारे, आपण असे गृहीत धरू शकतो की निवडलेल्या चार सदिशांपैकी कोणतेही सदिश शून्य नाहीत, दोन समरेखीय नाहीत आणि तीनही समतल नाहीत. बिंदू O ही त्यांची सामान्य सुरुवात म्हणून निवडू या. नंतर a, b, c, d या व्हेक्टरचे टोक काही बिंदू A, B, C, D असतील (चित्र 2.2). बिंदू D द्वारे आपण OBC, OCA, OAB या विमानांना समांतर तीन विमाने काढतो आणि A", B, C" हे अनुक्रमे OA, OB, OS या सरळ रेषांसह या विमानांचे छेदनबिंदू असू द्या. आम्हाला a मिळते. समांतरित OA" C "B" C" B"DA" आणि सदिश a, b, c हे शिरोबिंदू O मधून बाहेर पडणाऱ्या त्याच्या कडांवर असतात. OC"DC" हा समांतरभुज चौकोन असल्यामुळे OD = OC" + OC". या बदल्यात, OC" हा खंड OA"C"B" हा कर्ण समांतरभुज चौकोन आहे, त्यामुळे OC" = OA" + OB" आणि OD = OA" + OB" + OC" .
हे लक्षात घेण्यासारखे आहे की वेक्टर्सच्या जोड्या OA ≠ 0 आणि OA" , OB ≠ 0 आणि OB" , OC ≠ 0 आणि OC" समरेखीय आहेत, आणि म्हणूनच, α, β, γ गुणांक निवडणे शक्य आहे. OA" = αOA , OB" = βOB आणि OC" = γOC. आम्हाला शेवटी OD = αOA + βOB + γOC मिळते. परिणामी, OD वेक्टर इतर तीन सदिशांद्वारे व्यक्त केला जातो आणि प्रमेय 2.1 नुसार सर्व चारही वेक्टर रेखीय अवलंबून असतात.
व्याख्या. वेक्टरचे रेखीय संयोजन a 1, ..., a n सह गुणांक x 1, ..., x n ला सदिश म्हणतात
x 1 a 1 + ... + x n a n .
क्षुल्लक, जर सर्व गुणांक x 1, ..., x n शून्याच्या समान असतील.
व्याख्या. x 1 a 1 + ... + x n a n या रेषीय संयोगाला म्हणतात क्षुल्लक, x 1, ..., x n पैकी किमान एक गुणांक शून्याच्या समान नसल्यास.
रेखीय स्वतंत्र, जर शून्य वेक्टरच्या बरोबरीचे या सदिशांचे कोणतेही क्षुल्लक संयोजन नसेल.
म्हणजे, x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 असल्यास आणि फक्त x 1 = 0, ..., x n = 0 असल्यास, a 1, ..., a n हे रेखीयरित्या स्वतंत्र आहेत.
व्याख्या. a 1, ..., a n या सदिशांना म्हणतात रेखीय अवलंबून, जर या सदिशांचे शून्य सदिशाच्या बरोबरीचे एक क्षुल्लक संयोजन असेल.
रेखीय अवलंबित वेक्टरचे गुणधर्म:
n-आयामी वेक्टरसाठी.
n + 1 सदिश नेहमी रेखीय अवलंबून असतात.
2 आणि 3 मितीय वेक्टरसाठी.
दोन रेखीय अवलंबित वेक्टर समरेख आहेत. (कॉलिनियर वेक्टर रेषीयपणे अवलंबून असतात.)
त्रिमितीय वेक्टरसाठी.
तीन रेखीय अवलंबित वेक्टर समतल आहेत. (तीन coplanar वेक्टर रेखीय अवलंबून आहेत.)
रेखीय अवलंबन आणि सदिशांच्या रेखीय स्वातंत्र्यावरील समस्यांची उदाहरणे:
उदाहरण 1. a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) रेखीय स्वतंत्र आहेत का ते तपासा .
उपाय:
सदिश रेषीयपणे अवलंबून असतील, कारण सदिशांची परिमाणे सदिशांच्या संख्येपेक्षा कमी आहे.
उदाहरण 2. सदिश a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) रेखीय स्वतंत्र आहेत का ते तपासा.
उपाय:
| x 1 + x 2 = 0 | |
| x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
| x 1 + x 3 = 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 1 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 1 | 0 |
पहिल्या ओळीतून दुसरा वजा करा; तिसऱ्या ओळीत दुसरी ओळ जोडा:
| ~ | 1 - 0 | 1 - 1 | 0 - (-1) | 0 - 0 | ~ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
| 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | ||||||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 + 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
या सोल्यूशनवरून असे दिसून येते की सिस्टममध्ये अनेक उपाय आहेत, म्हणजेच x 1, x 2, x 3 या संख्यांच्या मूल्यांचे शून्य नसलेले संयोजन आहे जेणेकरुन a, b, c व्हेक्टरचे रेषीय संयोजन समान असेल. शून्य वेक्टर, उदाहरणार्थ:
A + b + c = 0
म्हणजे व्हेक्टर a, b, c रेखीय अवलंबून आहेत.
उत्तर:सदिश a, b, c रेखीय अवलंबून असतात.
उदाहरण 3. सदिश a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) रेखीय स्वतंत्र आहेत का ते तपासा.
उपाय:गुणांकांची मूल्ये शोधू या ज्यावर या सदिशांचे रेखीय संयोजन शून्य सदिशाच्या बरोबरीचे असेल.
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0हे सदिश समीकरण रेखीय समीकरणांची प्रणाली म्हणून लिहिता येते
| x 1 + x 2 = 0 | |
| x 1 + 2x 2 - x 3 = 0 | |
| x 1 + 2x 3 = 0 |
गॉस पद्धतीचा वापर करून ही पद्धत सोडवू
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 2 | 0 |
दुसऱ्या ओळीतून पहिली वजा करा; तिसऱ्या ओळीतून पहिली वजा करा:
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 2 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 2 | 0 |
पहिल्या ओळीतून दुसरा वजा करा; तिसऱ्या ओळीत दुसरा जोडा.
द्या एल - फील्डवर रेखीय जागा आर . द्या ए१, ए२, …, ए (*) पासून वेक्टरची मर्यादित प्रणाली एल . वेक्टर IN = a1× A1 +a2× A2 + … + an× अ (16) म्हणतात वेक्टरचे रेखीय संयोजन ( *), किंवा ते म्हणतात की वेक्टर IN वेक्टर (*) च्या प्रणालीद्वारे रेषीयपणे व्यक्त केले जाते.
व्याख्या 14. सदिश प्रणाली (*) म्हणतात रेखीय अवलंबून , जर आणि फक्त a1, a2, … गुणांकांचा शून्य नसलेला संच अस्तित्वात असेल तरच a1× A1 +a2× A2 + … + an× अ = 0. जर a1× A1 +a2× A2 + … + an× अ = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, नंतर प्रणाली (*) म्हणतात रेखीय स्वतंत्र.
रेखीय अवलंबन आणि स्वातंत्र्याचे गुणधर्म.
10. जर सदिश प्रणालीमध्ये शून्य सदिश असेल, तर ते रेखीयपणे अवलंबून असते.
खरंच, जर सिस्टममध्ये (*) वेक्टर असेल A1 = 0, ते 1× आहे 0 + 0× A2 + … + 0 × आन = ० .
20. जर सदिश प्रणालीमध्ये दोन आनुपातिक वेक्टर असतील तर ते रेखीय अवलंबित आहे.
द्या A1 = एल×a2. नंतर 1× A1 -l× A2 + 0× A3 + … + 0× ए N= 0.
30. n ³ 2 साठी सदिशांची एक मर्यादित प्रणाली (*) रेखीयरित्या अवलंबून असते जर आणि फक्त जर त्यातील किमान एक सदिश या प्रणालीच्या उर्वरित सदिशांचे रेखीय संयोजन असेल.
Þ (*) रेखीयपणे अवलंबून राहू द्या. त्यानंतर a1, a2, …, an, ज्यासाठी a1× गुणांकांचा शून्य नसलेला संच आहे A1 +a2× A2 + … + an× अ = 0 . सामान्यता गमावल्याशिवाय, आपण असे गृहीत धरू शकतो की a1 ¹ 0. नंतर अस्तित्वात आहे A1 = ×a2× A2 + … + ×an× ए N. तर, वेक्टर A1 उर्वरित सदिशांचे रेखीय संयोजन आहे.
Ü सदिशांपैकी एक (*) इतरांचा एक रेषीय संयोजन असू द्या. आपण असे गृहीत धरू शकतो की हा पहिला वेक्टर आहे, म्हणजे. A1 = B2 A2+ … + bn ए N, म्हणून (–1)× A1 + b2 A2+ … + bn ए N= 0 , म्हणजे (*) रेखीय अवलंबून आहे.
टिप्पणी. शेवटच्या गुणधर्माचा वापर करून, आपण सदिशांच्या असीम प्रणालीचे रेखीय अवलंबन आणि स्वातंत्र्य परिभाषित करू शकतो.
व्याख्या 15. वेक्टर प्रणाली ए१, ए२, …, ए , … (**) असे म्हणतात रेखीय अवलंबून, जर त्याच्या सदिशांपैकी किमान एक हे काही मर्यादित संख्येच्या इतर सदिशांचे रेखीय संयोजन असेल. अन्यथा, सिस्टम (**) म्हणतात रेखीय स्वतंत्र.
40. सदिशांची मर्यादित प्रणाली रेखीयरीत्या स्वतंत्र असते जर आणि फक्त जर त्यातील कोणतेही वेक्टर त्याच्या उर्वरित सदिशांच्या संदर्भात रेखीयपणे व्यक्त केले जाऊ शकत नाहीत.
50. जर सदिशांची प्रणाली रेखीयरित्या स्वतंत्र असेल, तर त्याची कोणतीही उपप्रणाली देखील रेखीयरित्या स्वतंत्र असते.
60. जर दिलेल्या सदिश प्रणालीची काही उपप्रणाली रेषीयरित्या अवलंबून असेल, तर संपूर्ण प्रणाली देखील रेखीयपणे अवलंबून असते.
व्हेक्टरच्या दोन प्रणाली द्या ए१, ए२, …, ए , … (16) आणि В1, В2, …, Вs, … (१७). जर सिस्टीमचा प्रत्येक वेक्टर (16) सिस्टीम (17) च्या मर्यादित संख्येच्या वेक्टरच्या रेषीय संयोगाच्या रूपात दर्शविला जाऊ शकतो, तर सिस्टीम (17) प्रणाली (16) द्वारे रेखीयरित्या व्यक्त केला जातो असे म्हटले जाते.
व्याख्या 16. दोन वेक्टर प्रणाली म्हणतात समतुल्य , जर त्यांपैकी प्रत्येक दुसऱ्याद्वारे रेखीयपणे व्यक्त केला असेल.
प्रमेय ९ (मूलभूत रेखीय अवलंबन प्रमेय).
असू दे - पासून वेक्टरच्या दोन मर्यादित प्रणाली एल . जर पहिली प्रणाली रेखीयरित्या स्वतंत्र असेल आणि दुसऱ्याद्वारे रेखीयपणे व्यक्त केली असेल तर एन£s.
पुरावा.चला ते ढोंग करूया एन> एस.प्रमेयाच्या परिस्थितीनुसार
|
|
प्रणाली रेखीयरित्या स्वतंत्र असल्याने, समानता (18) Û X1=x2=…=xN= 0.येथे सदिशांच्या अभिव्यक्ती बदलूया: …+=0 (19). म्हणून (20). अटी (18), (19) आणि (20) स्पष्टपणे समतुल्य आहेत. पण (18) तेव्हाच समाधानी आहे X1=x2=…=xN= 0.समानता (२०) सत्य कधी आहे ते शोधू. जर त्याचे सर्व गुणांक शून्य असतील तर ते उघडपणे खरे आहे. त्यांची बरोबरी शून्यावर केल्याने, आम्ही प्रणाली प्राप्त करतो (21). या प्रणालीमध्ये शून्य असल्याने, ते |
(21)संयुक्त समीकरणांची संख्या अज्ञातांच्या संख्येपेक्षा जास्त असल्याने, प्रणालीमध्ये अमर्यादपणे अनेक उपाय आहेत. म्हणून, त्यात शून्य नसलेले आहे X10, x20, …, xN0. या मूल्यांसाठी, समानता (18) सत्य असेल, जे व्हेक्टरची प्रणाली रेखीयरित्या स्वतंत्र आहे या वस्तुस्थितीचा विरोध करते. त्यामुळे आमचा समज चुकीचा आहे. त्यामुळे, एन£s.
परिणाम.जर दोन समतुल्य सदिश प्रणाली मर्यादित आणि रेखीयरित्या स्वतंत्र असतील तर त्यामध्ये समान संख्येतील सदिश असतात.
व्याख्या 17. वेक्टर प्रणाली म्हणतात वेक्टरची कमाल रेषीय स्वतंत्र प्रणाली रेखीय जागा एल , जर ते रेखीयरित्या स्वतंत्र असेल, परंतु त्यात कोणतेही वेक्टर जोडताना एल , या प्रणालीमध्ये समाविष्ट नाही, ते रेखीयपणे अवलंबून होते.
प्रमेय 10. पासून वेक्टरची कोणतीही दोन मर्यादित कमाल रेषीय स्वतंत्र प्रणाली एल व्हेक्टरची संख्या समान आहे.
पुरावासदिशांच्या कोणत्याही दोन कमाल रेषीय स्वतंत्र प्रणाली समतुल्य आहेत या वस्तुस्थितीचे अनुसरण करते .
स्पेस व्हेक्टरची कोणतीही रेखीय स्वतंत्र प्रणाली हे सिद्ध करणे सोपे आहे एल या जागेत वेक्टर्सच्या जास्तीत जास्त रेखीय स्वतंत्र प्रणालीमध्ये विस्तारित केले जाऊ शकते.
उदाहरणे:
1. सर्व समरेखीय भौमितिक सदिशांच्या संचामध्ये, एक नॉनझिरो वेक्टर असलेली कोणतीही प्रणाली जास्तीत जास्त रेखीयरित्या स्वतंत्र असते.
2. सर्व coplanar भौमितिक सदिशांच्या संचामध्ये, कोणतेही दोन नॉन-collinear vectors एक कमाल रेखीय स्वतंत्र प्रणाली बनवतात.
3. त्रिमितीय युक्लिडियन स्पेसच्या सर्व संभाव्य भौमितीय सदिशांच्या संचामध्ये, तीन नॉन-कॉप्लॅनर व्हेक्टरची कोणतीही प्रणाली कमाल रेखीय स्वतंत्र असते.
4. सर्व बहुपदांच्या संचामध्ये, अंश जास्त नसतात एनवास्तविक (जटिल) गुणांकांसह, बहुपदांची प्रणाली 1, x, x2, … , xnजास्तीत जास्त रेखीय स्वतंत्र आहे.
5. वास्तविक (जटिल) गुणांक असलेल्या सर्व बहुपदांच्या संचामध्ये, कमाल रेखीय स्वतंत्र प्रणालीची उदाहरणे आहेत
अ) 1, x, x2, ... , xn, ... ;
ब) 1, (१ - एक्स), (१ - एक्स)2, … , (१ - एक्स)एन,...
6. परिमाण मॅट्रिक्सचा संच एम´ एनएक रेखीय जागा आहे (हे तपासा). या जागेत कमाल रेखीय स्वतंत्र प्रणालीचे उदाहरण म्हणजे मॅट्रिक्स प्रणाली E11= , E12 =, …, EMn = .
सदिशांची प्रणाली द्यावी C1, c2, …, cf (*). (*) पासून सदिशांच्या उपप्रणालीला म्हणतात कमाल रेखीय स्वतंत्र उपप्रणालीप्रणाली ( *) , जर ते रेखीयरित्या स्वतंत्र असेल, परंतु या प्रणालीचे इतर कोणतेही वेक्टर जोडताना, ते रेखीयपणे अवलंबून होते. जर सिस्टीम (*) मर्यादित असेल, तर त्याच्या कोणत्याही कमाल रेखीय स्वतंत्र उपप्रणालीमध्ये समान संख्येने वेक्टर असतात. (स्वतः सिद्ध करा). सिस्टीमच्या जास्तीत जास्त रेखीय स्वतंत्र उपप्रणालीतील सदिशांची संख्या (*) म्हणतात रँक ही यंत्रणा. अर्थात, वेक्टरच्या समतुल्य प्रणालींमध्ये समान श्रेणी आहेत.
