مجموعه راه حل های یک سیستم همگن معادلات خطی. سیستم همگن معادلات خطی چیست؟ حل سیستم معادلات جبری خطی به شکل کلی

سیستم خطی نامیده می شود همگن ، اگر تمام عبارات آزاد آن برابر با 0 باشد.

در شکل ماتریسی، یک سیستم همگن نوشته می شود:
.

سیستم همگن (2) همیشه سازگار است . بدیهی است که مجموعه اعداد
,
, …,
تمام معادلات سیستم را برآورده می کند. راه حل
تماس گرفت صفر یا ناچیز تصمیم گیری بنابراین، یک سیستم همگن همیشه یک راه حل صفر دارد.

در چه شرایطی سیستم همگن (2) راه حل های غیر صفر (غیر بی اهمیت) خواهد داشت؟

قضیه 1.3 سیستم همگن (2) راه حل های غیر صفر دارد اگر و فقط اگر رتبه r ماتریس اصلی آن ناشناخته های کمتر n .

سیستم (2) - نامشخص
.

نتیجه 1. اگر تعداد معادلات متر سیستم همگن دارای متغیرهای کمتری است
، پس سیستم نامشخص است و راه حل های غیر صفر زیادی دارد.

نتیجه 2. سیستم همگن مربعی
دارای راه حل های غیر صفر در صورت و زمانی که ماتریس اصلی این سیستم است منحط، یعنی تعیین کننده
.

در غیر این صورت، اگر تعیین کننده
، یک سیستم همگن مربعی دارد تنها چیزی راه حل صفر
.

اجازه دهید رتبه سیستم (2)
یعنی سیستم (2) راه حل های غیر پیش پا افتاده ای دارد.

اجازه دهید و - راه حل های خاص این سیستم، به عنوان مثال.
و
.

خواص محلول های یک سیستم همگن

واقعا، .

واقعا، .

با ترکیب خواص 1) و 2)، می توان گفت که اگر

…,
- محلول های یک سیستم همگن (2)، سپس هر ترکیب خطی از آنها نیز راه حل آن است. اینجا
- اعداد واقعی دلخواه

را می توان یافت
راه حل های جزئی مستقل خطی سیستم همگن (2) که با کمک آن می توانید هر راه حل خاص دیگری از این سیستم را بدست آورید. یک راه حل کلی برای سیستم (2) بدست آورید.

تعریف 2.2 کلیت
راه حل های جزئی مستقل خطی

…,
سیستم همگن (2) به طوری که هر جواب سیستم (2) را بتوان به صورت ترکیب خطی از آنها نشان داد. سیستم اساسی راه حل ها (FSR) یک سیستم همگن (2).

اجازه دهید

…,
یک سیستم اساسی از راه حل ها است، سپس راه حل کلی سیستم همگن (2) را می توان به صورت زیر نشان داد:

جایی که

.

اظهار نظر. برای به دست آوردن FSR، باید راه حل های خصوصی پیدا کنید

…,
، به یک متغیر آزاد مقدار "1" را به نوبه خود و به همه متغیرهای آزاد دیگر مقدار "0" می دهد.

ما گرفتیم ,, …,- FSR.

مثال.حل کلی و سیستم اساسی راه حل های سیستم معادلات همگن را بیابید:

راه حل.بیایید ماتریس توسعه یافته سیستم را با قرار دادن آخرین معادله سیستم در وهله اول بنویسیم و آن را به صورت گام به گام برسانیم. از آنجایی که سمت راست معادلات در نتیجه تبدیل‌های ابتدایی تغییر نمی‌کند، ستون صفر باقی می‌ماند.

ممکن است نوشته نشود

̴
̴
̴

رتبه سیستم کجاست
- تعداد متغیرها سیستم نامشخص است و راه حل های زیادی دارد.

جزئی پایه برای متغیرها
غیر صفر:
انتخاب کنید
به عنوان متغیرهای اساسی، بقیه
- متغیرهای رایگان (هر مقدار واقعی را بگیرید).

آخرین ماتریس در زنجیره مربوط به سیستم گام به گام معادلات است:

(3)

بیایید متغیرهای اساسی را بیان کنیم
از طریق متغیرهای رایگان
(برعکس روش گاوسی).

از آخرین معادله ای که بیان می کنیم :
و آن را در معادله اول جایگزین کنید. ما آن را دریافت می کنیم. اجازه دهید پرانتزها را باز کنیم، موارد مشابه را بدهیم و بیان کنیم :
.

باور کردن
,
,
، جایی که
، بیا بنویسیم

- راه حل کلی سیستم

بیایید یک سیستم اساسی از راه حل ها را پیدا کنیم

,,.

سپس جواب کلی سیستم همگن را می توان به صورت زیر نوشت:

اظهار نظر. FSR را می‌توان به روش دیگری یافت، بدون اینکه ابتدا راه‌حلی کلی برای سیستم پیدا شود. برای انجام این کار، سیستم مرحله (3) به دست آمده باید سه بار با فرض برای حل شود :
; برای :
; برای :
.

سیستم مترمعادلات خطی ج nمجهول نامیده می شود سیستم همگن خطیمعادلات اگر تمام جمله های آزاد برابر با صفر باشند. چنین سیستمی به نظر می رسد:

جایی که و ij (من = 1, 2, …, متر; j = 1, 2, …, n) - اعداد داده شده؛ x i- ناشناخته.

یک سیستم معادلات همگن خطی همیشه سازگار است، زیرا r(الف) = r(). همیشه حداقل صفر دارد ( ناچیز) راه حل (0؛ 0؛ …؛ 0).

اجازه دهید در نظر بگیریم که در چه شرایطی سیستم های همگن راه حل های غیر صفر دارند.

قضیه 1.یک سیستم معادلات همگن خطی راه حل های غیر صفر دارد اگر و فقط اگر رتبه ماتریس اصلی آن باشد. rناشناخته های کمتر n، یعنی r < n.

□ 1). اجازه دهید یک سیستم معادلات همگن خطی یک جواب غیر صفر داشته باشد. از آنجایی که رتبه نمی تواند از اندازه ماتریس تجاوز کند، پس بدیهی است که r ≤ n. اجازه دهید r = n. سپس یکی از اندازه های جزئی n nمتفاوت از صفر بنابراین، سیستم معادلات خطی مربوطه یک راه حل منحصر به فرد دارد: . . این بدان معناست که هیچ راه حل دیگری جز راه حل های پیش پا افتاده وجود ندارد. بنابراین، اگر یک راه حل غیر ضروری وجود دارد، پس r < n.

2). اجازه دهید r < n. سپس سیستم همگن، که سازگار است، نامشخص است. این بدان معنی است که تعداد بی نهایت راه حل دارد، یعنی. راه حل های غیر صفر دارد. ■

یک سیستم همگن را در نظر بگیرید nمعادلات خطی ج nناشناخته:

(2)

قضیه 2.سیستم همگن nمعادلات خطی ج nمجهولات (2) راه حل های غیر صفر دارد اگر و فقط اگر تعیین کننده آن برابر با صفر باشد: = 0.

□ اگر سیستم (2) یک جواب غیر صفر داشته باشد، آنگاه = 0. زیرا زمانی که سیستم فقط یک جواب صفر دارد. اگر = 0، پس رتبه rماتریس اصلی سیستم کمتر از تعداد مجهولات است، یعنی. r < n. و بنابراین، سیستم دارای تعداد بی نهایت راه حل است، به عنوان مثال. راه حل های غیر صفر دارد. ■

اجازه دهید حل سیستم (1) را نشان دهیم. ایکس 1 = ک 1 , ایکس 2 = ک 2 , …, x n = k nبه عنوان یک رشته .

راه حل های یک سیستم معادلات همگن خطی دارای ویژگی های زیر هستند:

1. اگر خط راه حلی برای سیستم (1) است، سپس خط راه حلی برای سیستم (1) است.

2. اگر خطوط و راه حل های سیستم (1) و سپس برای هر مقدار هستند با 1 و با 2 ترکیب خطی آنها نیز راه حلی برای سیستم (1) است.

اعتبار این ویژگی ها را می توان با جایگزینی مستقیم آنها در معادلات سیستم تأیید کرد.

از خصوصیات فرمول‌بندی‌شده چنین برمی‌آید که هر ترکیب خطی از راه‌حل‌های یک سیستم معادلات همگن خطی نیز راه‌حلی برای این سیستم است.

سیستم راه حل های مستقل خطی ه 1 , ه 2 , …, e rتماس گرفت اساسی، اگر هر جواب سیستم (1) ترکیبی خطی از این راه حل ها باشد ه 1 , ه 2 , …, e r.

قضیه 3.اگر رتبه rماتریس ضرایب برای متغیرهای سیستم معادلات همگن خطی (1) کمتر از تعداد متغیرها است. n، سپس هر سیستم اساسی از راه حل های سیستم (1) شامل n-rتصمیمات

از همین رو تصمیم مشترکسیستم معادلات همگن خطی (1) به شکل زیر است:

جایی که ه 1 , ه 2 , …, e r- هر سیستم اساسی از راه حل های سیستم (9)، با 1 , با 2 , …, با ص- اعداد دلخواه، آر = n-r.

قضیه 4.راه حل کلی سیستم مترمعادلات خطی ج nمجهولات برابر است با مجموع جواب کلی سیستم متناظر معادلات همگن خطی (1) و راه حل خاص دلخواه این سیستم (1).

مثال.سیستم را حل کنید

راه حل.برای این سیستم متر = n= 3. تعیین کننده

طبق قضیه 2، سیستم فقط یک راه حل ساده دارد: ایکس = y = z = 0.

مثال. 1) راه حل های کلی و خاص سیستم را بیابید

2) سیستم اساسی راه حل ها را بیابید.

راه حل. 1) برای این سیستم متر = n= 3. تعیین کننده

طبق قضیه 2، سیستم دارای راه حل های غیر صفر است.

از آنجایی که تنها یک معادله مستقل در سیستم وجود دارد

ایکس + y – 4z = 0,

سپس از آن بیان خواهیم کرد ایکس =4z- y. از کجا بی نهایت راه حل بدست آوریم: (4 z- y, y, z) – این راه حل کلی سیستم است.

در z= 1, y= -1، یک راه حل خاص دریافت می کنیم: (5، -1، 1). قرار دادن z= 3, y= 2، ما دومین راه حل خاص را دریافت می کنیم: (10، 2، 3)، و غیره.

2) در حل کلی (4 z- y, y, z) متغیرها yو zرایگان هستند و متغیر ایکس- وابسته به آنها برای یافتن سیستم اساسی راه حل ها، اجازه دهید مقادیری را به متغیرهای آزاد اختصاص دهیم: ابتدا y = 1, z= 0، سپس y = 0, z= 1. ما راه حل های جزئی (-1، 1، 0)، (4، 0، 1) را به دست می آوریم که سیستم اساسی راه حل ها را تشکیل می دهند.

تصاویر:

برنج. 1 طبقه بندی سیستم های معادلات خطی

برنج. 2 مطالعه سیستم های معادلات خطی

ارائه ها:

· روش SLAE_matrix راه حل

· حل روش SLAE_Cramer

· راه حل روش SLAE_Gauss

· بسته های حل مسائل ریاضی Mathematica، MathCad: جستجو برای حل های تحلیلی و عددی برای سیستم های معادلات خطی

کنترل سوالات:

1. یک معادله خطی تعریف کنید

2. شبیه چه نوع سیستمی است؟ مترمعادلات خطی با nناشناخته؟

3. حل سیستم معادلات خطی به چه چیزی گفته می شود؟

4- چه سیستم هایی معادل نامیده می شوند؟

5. به کدام سیستم ناسازگار گفته می شود؟

6. به چه سیستمی مفصل می گویند؟

7- کدام سیستم معین نامیده می شود؟

8. به کدام سیستم نامعین می گویند

9. تبدیل های ابتدایی سیستم های معادلات خطی را فهرست کنید

10. تبدیل های ابتدایی ماتریس ها را فهرست کنید

11. یک قضیه در مورد اعمال تبدیل های ابتدایی در یک سیستم معادلات خطی فرموله کنید.

12. چه سیستم هایی را می توان با استفاده از روش ماتریسی حل کرد؟

13. چه سیستم هایی را می توان با روش کرامر حل کرد؟

14. چه سیستم هایی را می توان با روش گاوس حل کرد؟

15. 3 مورد احتمالی را که هنگام حل سیستم های معادلات خطی با استفاده از روش گاوس به وجود می آیند فهرست کنید.

16. روش ماتریسی برای حل سیستم های معادلات خطی را شرح دهید

17. روش کرامر را برای حل سیستم های معادلات خطی شرح دهید

18. روش گاوس را برای حل سیستم های معادلات خطی شرح دهید

19. چه سیستم هایی را می توان با استفاده از ماتریس معکوس حل کرد؟

20. 3 مورد احتمالی را که هنگام حل سیستم های معادلات خطی با استفاده از روش کرامر به وجود می آیند فهرست کنید.

ادبیات:

1. ریاضیات عالی برای اقتصاددانان: کتاب درسی برای دانشگاه ها / N.Sh. کرمر، بی. پوتکو، I.M. تریشین، ام.ان. فریدمن. اد. ن.ش. کرمر. - م.: وحدت، 2005. - 471 ص.

2. درس عمومی ریاضیات عالی برای اقتصاددانان: کتاب درسی. / اد. در و. ارماکووا. -M.: INFRA-M، 2006. - 655 ص.

3. مجموعه مسائل در ریاضیات عالی برای اقتصاددانان: کتاب درسی / ویرایش توسط V.I. ارماکووا. M.: INFRA-M، 2006. – 574 p.

4. Gmurman V. E. راهنمای حل مسائل در نظریه احتمال و آمار ماگمایی. - م.: مدرسه عالی، 2005. - 400 ص.

5. گمورمن. V.E نظریه احتمال و آمار ریاضی. - م.: دبیرستان، 2005.

6. Danko P.E.، Popov A.G.، Kozhevnikova T.Ya. ریاضیات عالی در تمرین ها و مسائل. Part 1, 2. – M.: Onyx 21st century: Peace and Education, 2005. – 304 p. قسمت 1؛ - 416 ص. قسمت 2.

7. ریاضیات در اقتصاد: کتاب درسی: در 2 قسمت / A.S. سولودوونیکوف، V.A. بابایتسف، A.V. برایلوف، I.G. شاندارا. - م.: امور مالی و آمار، 2006.

8. شیپاچف V.S. ریاضیات عالی: کتاب درسی برای دانش آموزان. دانشگاه ها - M.: مدرسه عالی، 2007. - 479 p.

اطلاعات مربوطه.

شما می توانید یک راه حل دقیق برای مشکل خود سفارش دهید!!!

تا بفهمی چیه سیستم تصمیم گیری اساسیبا کلیک کردن بر روی آن می توانید یک فیلم آموزشی برای همان مثال مشاهده کنید. حالا بیایید به توصیف واقعی همه کارهای ضروری بپردازیم. این به شما کمک می کند تا ماهیت این موضوع را با جزئیات بیشتری درک کنید.

چگونه می توان سیستم اساسی راه حل های یک معادله خطی را پیدا کرد؟

بیایید به عنوان مثال سیستم معادلات خطی زیر را در نظر بگیریم:

بیایید راه حل این سیستم خطی معادلات را پیدا کنیم. برای شروع، ما شما باید ماتریس ضرایب سیستم را بنویسید.

بیایید این ماتریس را به یک مثلث تبدیل کنیم.سطر اول را بدون تغییر بازنویسی می کنیم. و تمام عناصری که زیر $a_(11)$ هستند باید صفر شوند. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(21)$، باید اولی را از خط دوم کم کنید و تفاوت را در خط دوم بنویسید. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(31)$، باید اولی را از خط سوم کم کنید و تفاوت را در خط سوم بنویسید. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(41)$، باید اولین ضرب در 2 را از خط چهارم کم کنید و تفاوت را در خط چهارم بنویسید. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(31)$، باید اولین ضرب در 2 را از خط پنجم کم کنید و تفاوت را در خط پنجم بنویسید.

سطر اول و دوم را بدون تغییر بازنویسی می کنیم. و تمام عناصری که زیر $a_(22)$ هستند باید صفر شوند. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(32)$، باید عدد دوم ضرب در 2 را از خط سوم کم کنید و تفاوت را در خط سوم بنویسید. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(42)$، باید عدد دوم ضرب در 2 را از خط چهارم کم کنید و تفاوت را در خط چهارم بنویسید. برای ایجاد یک صفر به جای عنصر $a_(52)$، باید عدد دوم ضرب در 3 را از خط پنجم کم کنید و تفاوت را در خط پنجم بنویسید.

ما آن را می بینیم سه خط آخر یکسان است، پس اگر سومی را از چهارم و پنجم کم کنید، صفر می شوند.

با توجه به این ماتریس یک سیستم معادلات جدید بنویسید.

می بینیم که ما فقط سه معادله خطی مستقل و پنج مجهول داریم، بنابراین سیستم اساسی راه حل ها از دو بردار تشکیل می شود. پس ما ما باید دو مجهول آخر را به سمت راست منتقل کنیم.

اکنون، شروع به بیان مجهولاتی می کنیم که در سمت چپ هستند از طریق مجهولاتی که در سمت راست هستند. با آخرین معادله شروع می کنیم، ابتدا $x_3$ را بیان می کنیم، سپس نتیجه حاصل را جایگزین معادله دوم می کنیم و $x_2$ را بیان می کنیم و سپس در معادله اول و در اینجا $x_1$ را بیان می کنیم. بنابراین، ما تمام مجهولاتی را که در سمت چپ قرار دارند از طریق مجهولاتی که در سمت راست هستند بیان کردیم.

سپس به جای $x_4$ و $x_5$، می‌توانیم هر عددی را جایگزین کنیم و $x_1$، $x_2$ و $x_3$ را پیدا کنیم. هر پنج عدد از این اعداد ریشه های سیستم اصلی معادلات ما خواهند بود. برای پیدا کردن بردارهایی که در FSRباید 1 را به جای $x_4$، و 0 را به جای $x_5$ جایگزین کنیم، $x_1$، $x_2$ و $x_3$ را پیدا کنیم، و سپس برعکس $x_4=0$ و $x_5=1$.

مثال 1. یک راه حل کلی و چند سیستم اساسی راه حل برای سیستم پیدا کنید

راه حلبا استفاده از ماشین حساب پیدا کنید الگوریتم حل همانند سیستم های معادلات ناهمگن خطی است.
فقط با سطرها کار می کنیم، رتبه ماتریس را پیدا می کنیم، پایه جزئی. مجهولات وابسته و آزاد را اعلام می کنیم و راه حل کلی پیدا می کنیم.

خطوط اول و دوم متناسب هستند، بیایید یکی از آنها را خط بزنیم:

.
متغیرهای وابسته – x 2، x 3، x 5، رایگان – x 1، x 4. از معادله اول 10 x 5 = 0، x 5 = 0 را پیدا می کنیم، سپس
; .
راه حل کلی این است:

ما یک سیستم اساسی از راه حل ها را پیدا می کنیم که از راه حل های (n-r) تشکیل شده است. در مورد ما، n=5، r=3، بنابراین، سیستم اساسی راه حل ها از دو راه حل تشکیل شده است و این راه حل ها باید به صورت خطی مستقل باشند. برای مستقل بودن خطی سطرها لازم و کافی است که رتبه ماتریس متشکل از عناصر سطرها برابر با تعداد سطرها یعنی 2 باشد. کافی است مجهولات آزاد x 1 و به دست آوریم. x 4 مقدار از ردیف های تعیین کننده مرتبه دوم، غیر صفر، و x 2، x 3، x 5 را محاسبه کنید. ساده ترین تعیین کننده غیر صفر است.
بنابراین اولین راه حل این است: ، دومین - .
این دو تصمیم یک سیستم تصمیم گیری اساسی را تشکیل می دهند. توجه داشته باشید که سیستم بنیادی منحصر به فرد نیست (شما می توانید به تعداد دلخواه تعیین کننده غیر صفر ایجاد کنید).

مثال 2. راه حل کلی و سیستم اساسی راه حل های سیستم را بیابید
راه حل.



,
نتیجه این است که رتبه ماتریس 3 و برابر با تعداد مجهولات است. این بدان معنی است که سیستم مجهولات رایگان ندارد و بنابراین راه حل منحصر به فردی دارد - یک راه حل بی اهمیت.

ورزش . کاوش و حل یک سیستم معادلات خطی.
مثال 4

ورزش . راه حل های کلی و خاص هر سیستم را بیابید.
راه حل.بیایید ماتریس اصلی سیستم را بنویسیم:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

بیایید ماتریس را به شکل مثلثی کاهش دهیم. ما فقط با سطرها کار خواهیم کرد، زیرا ضرب یک ردیف ماتریس در عددی غیر از صفر و اضافه کردن آن به سطر دیگری برای سیستم به معنای ضرب معادله در همان عدد و اضافه کردن آن با معادله دیگری است که جواب سوال را تغییر نمی دهد. سیستم.
خط دوم را در (5-) ضرب کنید. بیایید خط 2 را به خط 1 اضافه کنیم:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

بیایید خط 2 را در (6) ضرب کنیم. خط سوم را در (-1) ضرب کنید. بیایید خط 3 را به خط 2 اضافه کنیم:
بیایید رتبه ماتریس را پیدا کنیم.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

مینور انتخابی بالاترین مرتبه (از مینورهای ممکن) را دارد و غیر صفر است (برابر حاصلضرب عناصر در مورب معکوس است)، بنابراین، ranng(A) = 2 است.
این مینور پایه است. شامل ضرایبی برای مجهولات x 1 , x 2 , به این معنی که مجهولات x 1 , x 2 وابسته (اساسی) هستند و x 3 , x 4 , x 5 آزاد هستند.
بیایید ماتریس را تبدیل کنیم و فقط پایه را در سمت چپ مینور می‌گذاریم.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x 2	x 4	x 3	x 5

سیستم با ضرایب این ماتریس معادل سیستم اصلی است و به شکل زیر است:
22x2 = 14x4 - x 3 - 24x5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
با استفاده از روش حذف مجهولات می یابیم راه حل غیر پیش پا افتاده:
ما روابطی را به دست آوردیم که متغیرهای وابسته x 1 , x 2 را از طریق متغیرهای آزاد x 3 , x 4 , x 5 بیان می کند، یعنی یافتیم تصمیم مشترک:
x 2 = 0.64x 4 - 0.0455x 3 - 1.09x 5
x 1 = - 0.55x 4 - 1.82x 3 - 0.64x 5
ما یک سیستم اساسی از راه حل ها را پیدا می کنیم که از راه حل های (n-r) تشکیل شده است.
در مورد ما، n=5، r=2، بنابراین، سیستم اساسی راه حل ها از 3 راه حل تشکیل شده است و این راه حل ها باید به صورت خطی مستقل باشند.
برای اینکه سطرها به صورت خطی مستقل باشند، لازم و کافی است که رتبه ماتریس متشکل از عناصر ردیف برابر با تعداد سطرها یعنی 3 باشد.
کافی است مجهول های رایگان x 3 , x 4 , x 5 را از خطوط تعیین کننده مرتبه 3 غیر صفر داده و x 1 , x 2 را محاسبه کنید.
ساده ترین تعیین کننده غیر صفر، ماتریس هویت است.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

وظیفه . مجموعه ای اساسی از راه حل های یک سیستم همگن معادلات خطی را بیابید.

ما به صیقل دادن فناوری خود ادامه خواهیم داد تحولات ابتداییبر سیستم همگن معادلات خطی.
بر اساس پاراگراف های اول، مطالب ممکن است خسته کننده و متوسط ​​به نظر برسد، اما این تصور فریبنده است. علاوه بر توسعه بیشتر تکنیک ها، اطلاعات جدید زیادی نیز وجود خواهد داشت، بنابراین لطفاً سعی کنید از مثال های این مقاله غافل نشوید.

سیستم همگن معادلات خطی چیست؟

پاسخ خود را نشان می دهد. سیستم معادلات خطی اگر جمله آزاد باشد همگن است هر کسمعادله سیستم صفر است مثلا:

کاملا واضح است که یک سیستم همگن همیشه سازگار استیعنی همیشه راه حل دارد. و اول از همه چیزی که نظر شما را جلب می کند به اصطلاح است ناچیزراه حل . بی اهمیت برای کسانی که اصلا معنی صفت را نمی فهمند یعنی بدون خودنمایی. البته نه از نظر آکادمیک، اما به طور قابل درک =) ...چرا دور بوش بزنیم، بیایید ببینیم آیا این سیستم راه حل دیگری دارد یا خیر:

مثال 1

راه حل: برای حل یک سیستم همگن باید بنویسید ماتریس سیستمو با کمک دگرگونی های ابتدایی آن را به شکل گام به گام درآورد. لطفاً توجه داشته باشید که در اینجا نیازی به نوشتن نوار عمودی و ستون صفر عبارت‌های آزاد نیست - هرچه باشد، مهم نیست که با صفرها چه می‌کنید، آنها صفر خواهند ماند:

(1) خط اول به خط دوم اضافه شد، ضرب در 2-. خط اول به خط سوم اضافه شد، ضرب در -3 شد.

(2) خط دوم به خط سوم اضافه شد، ضرب در -1.

تقسیم خط سوم بر 3 چندان منطقی نیست.

در نتیجه تبدیل های اولیه، یک سیستم همگن معادل به دست می آید ، و با استفاده از معکوس روش گاوسی، به راحتی می توان تأیید کرد که راه حل منحصر به فرد است.

پاسخ:

اجازه دهید یک معیار واضح را تدوین کنیم: یک سیستم همگن معادلات خطی دارد فقط یک راه حل بی اهمیت، اگر رتبه ماتریس سیستم(در این مورد 3) برابر است با تعداد متغیرها (در این مورد - 3 قطعه).

بیایید رادیو خود را گرم کنیم و با موج دگرگونی های ابتدایی هماهنگ کنیم:

مثال 2

حل یک سیستم همگن از معادلات خطی

برای ادغام نهایی الگوریتم، اجازه دهید کار نهایی را تجزیه و تحلیل کنیم:

مثال 7

یک سیستم همگن را حل کنید، پاسخ را به صورت برداری بنویسید.

راه حل: بیایید ماتریس سیستم را بنویسیم و با استفاده از تبدیل های ابتدایی آن را به شکل گام به گام در آوریم:

(1) علامت سطر اول تغییر کرده است. یک بار دیگر توجه را به تکنیکی جلب می کنم که بارها با آن مواجه شده است، که به شما امکان می دهد عمل بعدی را به طور قابل توجهی ساده کنید.

(1) خط اول به خطوط 2 و 3 اضافه شد. خط اول ضرب در 2 به خط 4 اضافه شد.

(3) سه خط آخر متناسب هستند، دو تا از آنها حذف شده است.

در نتیجه، یک ماتریس گام استاندارد به دست می آید و راه حل در امتداد مسیر خنثی شده ادامه می یابد:

- متغیرهای اساسی؛
– متغیرهای رایگان

اجازه دهید متغیرهای اساسی را بر حسب متغیرهای آزاد بیان کنیم. از معادله 2:

- جایگزینی در معادله 1:

بنابراین راه حل کلی این است:

از آنجایی که در مثال مورد بررسی سه متغیر آزاد وجود دارد، سیستم بنیادی شامل سه بردار است.

بیایید یک مقدار سه گانه را جایگزین کنیم حل کلی را وارد کنید و برداری را بدست آورید که مختصات آن هر معادله سیستم همگن را برآورده کند. و دوباره تکرار می کنم که بسیار توصیه می شود هر بردار دریافتی را بررسی کنید - زمان زیادی نمی برد، اما کاملاً از شما در برابر خطاها محافظت می کند.

برای ارزش های سه گانه بردار را پیدا کنید

و در نهایت برای این سه بردار سوم را دریافت می کنیم:

پاسخ: ، جایی که

کسانی که مایل به اجتناب از مقادیر کسری هستند ممکن است سه قلو را در نظر بگیرند و به صورت معادل جواب بگیرید:

صحبت از کسری. بیایید به ماتریس به دست آمده در مسئله نگاه کنیم و اجازه دهید از خود بپرسیم: آیا می توان راه حل بیشتر را ساده کرد؟ به هر حال، در اینجا ابتدا متغیر پایه را از طریق کسری بیان کردیم، سپس از طریق کسری، متغیر پایه را بیان کردیم، و باید بگویم که این فرآیند ساده ترین و خوشایندترین نبود.

راه حل دوم:

ایده این است که تلاش کنید سایر متغیرهای پایه را انتخاب کنید. بیایید به ماتریس نگاه کنیم و به دو مورد در ستون سوم توجه کنیم. پس چرا یک صفر در بالا نداشته باشیم؟ بیایید یک تغییر اساسی دیگر را انجام دهیم: