انتگرال منحنی در امتداد دایره نمونه هایی از راه حل ها. انتگرال های منحنی

یک انتگرال منحنی از نوع 2 به همان روشی که انتگرال منحنی نوع اول با کاهش به معین محاسبه می شود. برای انجام این کار، تمام متغیرهای زیر علامت انتگرال با استفاده از معادله خطی که ادغام در طول آن انجام می شود، از طریق یک متغیر بیان می شوند.

الف) اگر خط ABسپس توسط یک سیستم معادلات داده می شود

(10.3)

برای حالت صفحه، زمانی که منحنی با معادله داده می شود انتگرال منحنی با استفاده از فرمول محاسبه می شود: . (10.4)

اگر خط ABسپس توسط معادلات پارامتری داده می شود

(10.5)

برای یک مورد صاف، اگر خط ABتوسط معادلات پارامتری ارائه می شود ، انتگرال منحنی با فرمول محاسبه می شود:

, (10.6)

مقادیر پارامترها کجا هستند تی،مربوط به نقاط شروع و پایان مسیر ادغام است.

اگر خط ABبه صورت تکه ای صاف، پس باید از خاصیت افزایشی بودن انتگرال منحنی با تقسیم استفاده کنیم. ABروی کمان های صاف

مثال 10.1بیایید انتگرال منحنی را محاسبه کنیم در امتداد یک کانتور متشکل از بخشی از یک منحنی از یک نقطه قبل از و کمان های بیضی از نقطه قبل از .

از آنجایی که کانتور از دو بخش تشکیل شده است، از خاصیت افزایشی انتگرال منحنی استفاده می کنیم: . اجازه دهید هر دو انتگرال را به انتگرال های معین کاهش دهیم. بخشی از کانتور توسط یک معادله نسبت به متغیر داده می شود . بیایید از فرمول استفاده کنیم (10.4 ) که در آن نقش متغیرها را تغییر می دهیم. آن ها

. پس از محاسبه به دست می آوریم .

برای محاسبه انتگرال کانتور آفتاببیایید به سمت فرم پارامتریک نوشتن معادله بیضی برویم و از فرمول (10.6) استفاده کنیم.

به محدودیت های ادغام توجه کنید. نقطه مربوط به مقدار و نقطه است مطابقت دارد پاسخ:
.

مثال 10.2.بیایید در امتداد یک قطعه خط مستقیم محاسبه کنیم AB، جایی که A(1،2،3)، B(2،5،8).

راه حل. یک انتگرال منحنی از نوع دوم داده شده است. برای محاسبه آن، باید آن را به یک مورد خاص تبدیل کنید. بیایید معادلات خط را بسازیم. بردار جهت آن مختصاتی دارد .

معادلات متعارف خط AB: .

معادلات پارامتری این خط: ,

در
.

بیایید از فرمول استفاده کنیم (10.5) :

با محاسبه انتگرال به جواب می رسیم: .

5. کار نیرو هنگام حرکت یک نقطه مادی با واحد جرم از نقطه ای به نقطه دیگر در امتداد یک منحنی .

اجازه دهید در هر نقطه از یک منحنی صاف تکه ای برداری داده می شود که دارای توابع مختصات پیوسته است: . بیایید این منحنی را با نقاط به قطعات کوچک بشکنیم به طوری که در نقاط هر قسمت معنی توابع
می تواند ثابت در نظر گرفته شود، و خود قطعه ممکن است با یک قطعه مستقیم اشتباه گرفته شود (شکل 10.1 را ببینید). سپس . حاصل ضرب اسکالر یک نیروی ثابت که نقش آن توسط یک بردار ایفا می شود ، هر بردار جابجایی مستطیلی از نظر عددی برابر است با کار انجام شده توسط نیروی هنگام حرکت یک نقطه مادی در امتداد . بیایید یک جمع انتگرالی بسازیم . در حد، با افزایش نامحدود در تعداد پارتیشن ها، یک انتگرال منحنی از نوع دوم بدست می آوریم.

. (10.7) بنابراین، معنای فیزیکی انتگرال منحنی از نوع 2 است - این کاری است که به زور انجام می شود هنگام جابجایی یک نقطه مادی از آبه که دردر امتداد کانتور L.

مثال 10.3.بیایید کار انجام شده توسط بردار را محاسبه کنیم هنگام حرکت دادن یک نقطه در امتداد بخشی از منحنی ویویانی که به عنوان تقاطع یک نیمکره تعریف شده است. و سیلندر ، هنگام مشاهده از قسمت مثبت محور در خلاف جهت عقربه های ساعت حرکت می کند گاو نر.

راه حل. بیایید منحنی داده شده را به عنوان خط تقاطع دو سطح بسازیم (شکل 10.3 را ببینید).

.

برای کاهش انتگرال به یک متغیر، اجازه دهید به یک سیستم مختصات استوانه ای حرکت کنیم: .

زیرا یک نقطه در امتداد یک منحنی حرکت می کند ، پس راحت است که متغیری را به عنوان پارامتر انتخاب کنید که در امتداد کانتور تغییر کند به طوری که . سپس معادلات پارامتری زیر این منحنی را بدست می آوریم:

.که در آن
.

اجازه دهید عبارات به دست آمده را با فرمول محاسبه گردش جایگزین کنیم:

(- علامت + نشان می دهد که نقطه در امتداد کانتور در خلاف جهت عقربه های ساعت حرکت می کند)

بیایید انتگرال را محاسبه کنیم و پاسخ را دریافت کنیم: .

درس 11.

فرمول گرین برای یک منطقه به سادگی متصل. استقلال انتگرال منحنی از مسیر ادغام. فرمول نیوتن لایب نیتس یافتن تابع از دیفرانسیل کل آن با استفاده از یک انتگرال منحنی (صفحه و موارد فضایی).

OL-1 فصل 5، OL-2 فصل 3، OL-4 فصل 3 § 10، بند 10.3، 10.4.

تمرین : OL-6 شماره 2318 (a, b, d), 2319 (a, c), 2322 (a, d), 2327, 2329 یا OL-5 شماره 10.79, 82, 133, 135, 139.

خانه سازی برای درس 11: OL-6 No. 2318 (c, d), 2319 (c, d), 2322 (b, c), 2328, 2330 or OL-5 No. 10.80, 134, 136, 140

فرمول گرین

بگذار در هواپیما یک دامنه به سادگی متصل داده می شود که توسط یک کانتور بسته به صورت تکه ای صاف محدود شده است. (به یک منطقه به سادگی متصل گفته می شود که هر کانتور بسته در آن بتوان به نقطه ای در این ناحیه منقبض شد).

قضیه. اگر توابع و مشتقات جزئی آنها جی، آن

شکل 11.1

- فرمول گرین . (11.1)

جهت بای پس مثبت (در خلاف جهت عقربه های ساعت) را نشان می دهد.

مثال 11.1.با استفاده از فرمول گرین، انتگرال را محاسبه می کنیم در امتداد یک کانتور متشکل از بخش ها O.A., O.B.و کمان دایره بزرگتر ، نقاط را به هم وصل می کند آو باگر , , .

راه حل. بیایید یک کانتور بسازیم (شکل 11.2 را ببینید). اجازه دهید مشتقات لازم را محاسبه کنیم.

شکل 11.2

, ; , . توابع و مشتقات آنها در یک ناحیه بسته که توسط یک کانتور مشخص محدود شده است پیوسته هستند. طبق فرمول گرین، این انتگرال است.

پس از جایگزینی مشتقات محاسبه شده به دست می آوریم

. انتگرال دوگانه را با حرکت به مختصات قطبی محاسبه می کنیم:
.

بیایید پاسخ را با محاسبه مستقیم انتگرال در امتداد کانتور به عنوان یک انتگرال منحنی از نوع دوم بررسی کنیم.
.

پاسخ:
.

2. استقلال انتگرال منحنی از مسیر ادغام.

اجازه دهید و - نقاط دلخواه یک منطقه به سادگی متصل pl. . انتگرال های منحنی محاسبه شده از منحنی های مختلف که این نقاط را به هم متصل می کنند، معانی متفاوتی دارند. اما اگر شرایط خاصی برآورده شود، ممکن است همه این مقادیر یکسان باشند. سپس انتگرال به شکل مسیر بستگی ندارد، بلکه فقط به نقطه شروع و پایان بستگی دارد.

قضایای زیر صادق است.

قضیه 1. به منظور انتگرال
به شکل مسیر اتصال نقاط بستگی ندارد و لازم و کافی است که این انتگرال در امتداد هر کانتور بسته برابر با صفر باشد.

قضیه 2.. به منظور انتگرال
در امتداد هر کانتور بسته برابر با صفر است، لازم و کافی است که تابع و مشتقات جزئی آنها در یک منطقه بسته پیوسته بودند جیو به این ترتیب که شرط ( 11.2)

بنابراین، اگر شرایط مستقل بودن انتگرال از شکل مسیر وجود داشته باشد (11.2) ، کافی است فقط نقطه شروع و پایان را مشخص کنید: (11.3)

قضیه 3.اگر شرط در یک منطقه به سادگی متصل برآورده شود، یک تابع وجود دارد به طوری که . (11.4)

این فرمول فرمول نامیده می شود نیوتن-لایب نیتسبرای انتگرال خط

اظهار نظر.یادآوری می کنیم که برابری شرط لازم و کافی برای این واقعیت است که بیان
.

سپس از قضایای فوق چنین بر می آید که اگر توابع و مشتقات جزئی آنها پیوسته در یک منطقه بسته جی، که در آن امتیاز آورده شده است و ، و، سپس

الف) یک تابع وجود دارد ، به طوری که ،

به شکل مسیر بستگی ندارد،

ج) فرمول پابرجاست نیوتن-لایب نیتس .

مثال 11.2. اجازه دهید مطمئن شویم که انتگرال
به شکل مسیر بستگی ندارد و بیایید آن را محاسبه کنیم.

راه حل. .

شکل 11.3

بیایید بررسی کنیم که شرط (11.2) برآورده شده است.
. همانطور که می بینیم، شرط برقرار است. ارزش انتگرال به مسیر ادغام بستگی ندارد. اجازه دهید مسیر ادغام را انتخاب کنیم. اکثر

یک راه ساده برای محاسبه یک خط شکسته است DIA، نقطه شروع و پایان مسیر را به هم وصل می کند. (شکل 11.3 را ببینید)

سپس .

3. یافتن تابع با دیفرانسیل کل آن.

با استفاده از یک انتگرال منحنی، که به شکل مسیر بستگی ندارد، می توانیم تابع را پیدا کنیم. با دانستن تفاوت کامل آن. این مشکل به صورت زیر حل می شود.

اگر توابع و مشتقات جزئی آنها پیوسته در یک منطقه بسته جیو سپس عبارت دیفرانسیل کل یک تابع است . علاوه بر این، انتگرال
اولاً به شکل مسیر بستگی ندارد و ثانیاً با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس قابل محاسبه است.

بیایید محاسبه کنیم
دو راه.

شکل 11.4

الف) یک نقطه در منطقه را انتخاب کنید با مختصات خاص و یک نقطه با مختصات دلخواه. اجازه دهید انتگرال منحنی را در امتداد یک خط شکسته محاسبه کنیم که از دو پاره خط که این نقاط را به هم وصل می کند، با یکی از قطعات موازی با محور و دیگری با محور، محاسبه کنیم. سپس . (شکل 11.4 را ببینید)

معادله .

معادله .

دریافت می کنیم: با محاسبه هر دو انتگرال، مقداری تابع در پاسخ به دست می آوریم.

ب) اکنون همان انتگرال را با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس محاسبه می کنیم.

حال بیایید دو نتیجه از محاسبه یک انتگرال را با هم مقایسه کنیم. قسمت عملکردی پاسخ در بند الف تابع مورد نیاز است ، و قسمت عددی مقدار آن در نقطه است .

مثال 11.3.بیایید مطمئن شویم که بیان
دیفرانسیل کل یک تابع است و ما او را پیدا خواهیم کرد بیایید نتایج محاسبه مثال 11.2 را با استفاده از فرمول نیوتن-لایبنیتس بررسی کنیم.

راه حل.شرط وجود یک تابع (11.2) در مثال قبلی بررسی شد. بیایید این تابع را که برای آن از شکل 11.4 استفاده می کنیم، پیدا کرده و برای آن در نظر بگیریم نقطه . بیایید انتگرال را در امتداد خط شکسته بسازیم و محاسبه کنیم DIA،جایی که :

همانطور که در بالا ذکر شد، بخش عملکردی عبارت حاصل، تابع مورد نظر است
.

بیایید نتیجه محاسبات مثال 11.2 را با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس بررسی کنیم:

نتایج یکسان بود.

اظهار نظر.تمام عبارات در نظر گرفته شده برای مورد فضایی نیز صادق است، اما با تعداد بیشتری از شرایط.

بگذارید یک منحنی صاف تکه تکه متعلق به ناحیه ای از فضا باشد . سپس، اگر توابع و مشتقات جزئی آنها در ناحیه بسته ای که نقاط در آن آورده شده است پیوسته باشند و و
(11.5 ) آن

الف) عبارت دیفرانسیل کل یک تابع است ,

ب) انتگرال منحنی دیفرانسیل کل یک تابع به شکل مسیر بستگی ندارد و

ج) فرمول پابرجاست نیوتن-لایب نیتس .(11.6 )

مثال 11.4. بیایید مطمئن شویم که عبارت دیفرانسیل کامل یک تابع است و ما او را پیدا خواهیم کرد

راه حل.برای پاسخ به این سوال که آیا یک عبارت داده شده دیفرانسیل کامل یک تابع است؟ ، بیایید مشتقات جزئی توابع را محاسبه کنیم، ، . (سانتی متر. (11.5) ) ; ; ; ; ; .

این توابع همراه با مشتقات جزئی خود در هر نقطه از فضا پیوسته هستند.

می بینیم که شرایط لازم و کافی برای وجود فراهم است : , , ، و غیره.

برای محاسبه یک تابع اجازه دهید از این واقعیت استفاده کنیم که انتگرال خطی به مسیر انتگرال بستگی ندارد و با استفاده از فرمول نیوتن-لایب نیتس قابل محاسبه است. بگذارید نکته - ابتدای مسیر و نقطه ای - آخر جاده . بیایید انتگرال را محاسبه کنیم

در امتداد یک کانتور متشکل از بخشهای مستقیم موازی با محورهای مختصات. (شکل 11.5 را ببینید).

.

شکل 11.5

معادلات قطعات کانتور: ,
.

سپس

, ایکسدر اینجا ثابت شده است، بنابراین ,

اینجا ضبط شده است y، از همین رو .

در نتیجه دریافت می کنیم: .

حالا بیایید همان انتگرال را با استفاده از فرمول نیوتن لایب نیتس محاسبه کنیم.

بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم: .

از تساوی حاصل چنین است که، و

درس 12.

انتگرال سطحی از نوع اول: تعریف، خصوصیات اساسی. قوانین محاسبه انتگرال سطحی از نوع اول با استفاده از انتگرال دوگانه. کاربردهای انتگرال سطحی نوع اول: مساحت سطح، جرم سطح ماده، گشتاورهای ساکن در مورد صفحات مختصات، گشتاورهای اینرسی و مختصات مرکز ثقل. OL-1 ch.6، OL 2 ch.3، OL-4§ 11.

تمرین: OL-6 شماره 2347، 2352، 2353 یا OL-5 شماره 10.62، 65، 67.

تکلیف درس 12:

OL-6 شماره 2348، 2354 یا OL-5 شماره 10.63، 64، 68.

تعریف:اجازه دهید در هر نقطه از یک منحنی صاف L=ABدر هواپیما اکسییک تابع پیوسته از دو متغیر داده شده است f(x,y). بیایید خودسرانه منحنی را تقسیم کنیم Lبر nقطعات با نقطه A = M 0، M 1، M 2، ... M n = B.سپس در هر یک از قسمت های حاصل \(\bar((M)_(i-1)(M)_(i))\) هر نقطه \(\bar((M)_(i))\ چپ را انتخاب می کنیم (\ bar((x)_(i))،\bar((y)_(i))\right)\)و جمع $$(S)_(n)=\sum_(i=1) را ایجاد کنید. ^(n )f\left(\bar((x)_(i)),\bar((y)_(i))\right)\Delta (l)_(i)$$ جایی که \(\Delta (ل) _(i)=(M)_(i-1)(M)_(i)\) - قوس قوس \(\bar((M)_(i-1)(M)_(i ))\) . مبلغ دریافتی نامیده می شود مجموع انتگرال نوع اول برای تابع f(x,y) ، روی منحنی L داده شده است.

اجازه دهید با نشان دادن دبزرگترین طول کمان \(\bar((M)_(i-1)(M)_(i))\) (بنابراین d = \(max_(i)\Delta(l)_(i)\ )). اگر در د؟ 0 حدی از مجموع انتگرال Sn وجود دارد (مستقل از روش تقسیم منحنی L به قطعات و انتخاب نقاط \(\bar((M)_(i))\))، سپس این حد نامیده می شود. انتگرال منحنی مرتبه اولاز تابع f(x,y)در امتداد منحنی L و با $$\int_(L)f(x,y)dl$$ نشان داده می شود

می توان ثابت کرد که اگر تابع f(x,y)پیوسته است، سپس انتگرال خط \(\int_(L)f(x,y)dl\) وجود دارد.

ویژگی های یک انتگرال منحنی از نوع 1

یک انتگرال منحنی از نوع اول دارای خواصی شبیه به خواص مربوط به یک انتگرال معین است:

• افزودنی،
• خطی بودن،
• ارزیابی ماژول،
• قضیه ارزش میانگین

با این حال، یک تفاوت وجود دارد: $$\int_(AB)f(x,y)dl=\int_(BA)f(x,y)dl$$ یعنی. یک انتگرال خطی از نوع اول به جهت ادغام بستگی ندارد.

محاسبه انتگرال های منحنی از نوع اول

محاسبه یک انتگرال منحنی از نوع اول به محاسبه یک انتگرال معین کاهش می یابد. برای مثال:

1. اگر منحنی L توسط یک تابع متمایز پیوسته y=y(x)، x \(\in \) داده شود، سپس $$(\int\limits_L (f\left((x,y) \right)dl)) = (\int \limits_a^b (f\left((x,y\left(x \right)) \right)\sqrt (1 + ((\left((y"\left(x \راست)) \ راست))^ 2)) dx) ;)$$ در این مورد عبارت \(dl=\sqrt((1 + ((\left((y"\left(x \right)) \(dl=\sqrt((1 + ((\left((y"\left(x \right)))))) ))) dx \) دیفرانسیل طول قوس نامیده می شود.
2. اگر منحنی L به صورت پارامتری مشخص شود، یعنی. به شکل x=x(t)، y=y(t)، که در آن x(t)، y(t) توابعی پیوسته قابل تمایز در برخی بازه های \(\ چپ [ \آلفا،\بتا \راست]\) هستند. سپس $$ (\int\limits_L (f\left((x,y) \right)dl)) = (\int\limits_\alpha ^\beta (f\left ((x\left(t \راست)، y \left(t \راست)) \راست)\sqrt (((\left((x"\left(t \راست)) \راست))^2) + ((\left((y"\left( t \right)) \right))^2)) dt)) $$ این برابری در مورد یک منحنی فضایی L که به صورت پارامتریک تعریف شده است گسترش می یابد: x=x(t)، y=y(t)، z=z( t)، \(t\in \ چپ [ \آلفا،\بتا \راست]\). در این حالت، اگر f(x,y,z) یک تابع پیوسته در امتداد منحنی L باشد، آنگاه $$ (\int\limits_L (f\left((x,y,z) \right)dl) = ( \int \limits_\alpha ^\beta (f\left [ (x\left(t \راست)،y\left(t \راست)، z\left(t \راست)) \right ]\sqrt ((( \left ((x"\left(t \راست)) \راست))^2) + ((\left((y"\left(t \راست)) \راست))^2) + ((\چپ (( z"\left(t \راست)) \راست))^2)) dt)) $$
3. اگر یک منحنی مسطح L با معادله قطبی r=r(\(\varphi \))، \(\varphi \in\left [ \alpha ,\beta \right ] \ داده شود، سپس $$ (\int\ limits_L (f\ left((x,y) \right)dl) ) = (\int\limits_\alpha ^\beta (f\left((r\cos \varphi,r\sin \varphi) \راست)\ sqrt ((r ^2) + (((r)")^2)) d\varphi)) $$

انتگرال های منحنی از نوع اول - نمونه ها

مثال 1

یک انتگرال خطی از نوع اول را محاسبه کنید

$$ \int_(L)\frac(x)(y)dl $$ که در آن L کمان سهمی y 2 =2x است که بین نقاط (2،2) و (8،4) محصور شده است.

راه حل: دیفرانسیل قوس dl را برای منحنی \(y=\sqrt(2x)\) بیابید. ما داریم:

\((y)"=\frac(1)(\sqrt(2x)) \) $$ dl=\sqrt(1+\ چپ ((y)" \راست)^(2)) dx= \sqrt( 1+\left (\frac(1)(\sqrt(2x)) \right)^(2)) dx = \sqrt(1+ \frac(1)(2x)) dx $$ بنابراین این انتگرال برابر است با : $$\int_(L)\frac(x)(y)dl=\int_(2)^(8)\frac(x)(\sqrt(2x))\sqrt(1+\frac(1)( 2x) )dx= \int_(2)^(8)\frac(x\sqrt(1+2x))(2x)dx= $$ $$ \frac(1)(2)\int_(2)^( 8) \sqrt(1+2x)dx = \frac(1)(2).\frac(1)(3)\ چپ (1+2x \راست)^(\frac(3)(2))|_ (2)^(8)= \frac(1)(6)(17\sqrt(17)-5\sqrt(5)) $$

مثال 2

انتگرال منحنی نوع اول \(\int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl را محاسبه کنید، که در آن L دایره x 2 +y 2 =ax (a>0) است.

راه حل: اجازه دهید مختصات قطبی را معرفی کنیم: \(x = r\cos \varphi \)، \(y=r\sin \varphi \). سپس از آنجایی که x 2 +y 2 =r 2، معادله دایره به شکل: \(r^(2)=arcos\varphi \) یعنی \(r=acos\varphi \) و دیفرانسیل است. از قوس $$ dl = \ sqrt(r^2+(2)"^2)d\varphi = $$ $$ =\sqrt(a^2cos^2\varphi=a^2sin^2\varphi )d \varphi=ad\varphi $$ .

در این مورد، \(\varphi\in \left [- \frac(\pi )(2) ,\frac(\pi)(2) \right ] \). بنابراین، $$ \int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl=a\int_(-\frac(\pi )(2))^(\frac(\pi )(2))acos \varphi d\varphi =2a^2 $$

برای حالتی که حوزه ادغام بخشی از یک منحنی خاص است که در یک صفحه قرار دارد. نماد کلی یک انتگرال خطی به شرح زیر است:

جایی که f(ایکس, y) تابعی از دو متغیر است و L- منحنی، در امتداد یک بخش ABکه یکپارچه سازی صورت می گیرد. اگر انتگرال برابر با یک باشد، انتگرال خط برابر با طول قوس AB است .

مانند همیشه در حساب انتگرال، انتگرال خطی به عنوان حد مجموع انتگرال برخی از بخش های بسیار کوچک یک چیز بسیار بزرگ درک می شود. در مورد انتگرال های منحنی چه چیزی خلاصه می شود؟

بگذارید یک قطعه در هواپیما وجود داشته باشد ABمقداری منحنی Lو تابعی از دو متغیر است f(ایکس, y) در نقاط منحنی تعریف شده است L. اجازه دهید الگوریتم زیر را با این بخش از منحنی اجرا کنیم.

1. منحنی تقسیم ABبه قطعات با نقطه (تصاویر زیر).
2. آزادانه یک نقطه را در هر قسمت انتخاب کنید م.
3. مقدار تابع را در نقاط انتخاب شده بیابید.
4. مقادیر تابع ضرب در
   • طول قطعات در مورد انتگرال منحنی از نوع اول ;
   • پیش بینی قطعات بر روی محور مختصات در مورد انتگرال منحنی از نوع دوم .
5. مجموع همه محصولات را بیابید.
6. حد مجموع انتگرال یافت شده را بیابید به شرطی که طول طولانی ترین قسمت منحنی به صفر متمایل شود.

اگر حد ذکر شده وجود دارد، پس این حد مجموع انتگرال است و انتگرال منحنی تابع نامیده می شود f(ایکس, y) در امتداد منحنی AB .

اولین نوع

حالت یک انتگرال منحنی
نوع دوم

اجازه دهید نماد زیر را معرفی کنیم.

ممن ( ζ من؛ η من)- یک نقطه با مختصات انتخاب شده در هر سایت.

fمن ( ζ من؛ η من)- مقدار تابع f(ایکس, y) در نقطه انتخاب شده

Δ سمن- طول بخشی از یک قطعه منحنی (در مورد یک انتگرال منحنی از نوع اول).

Δ ایکسمن- طرح بخشی از بخش منحنی بر روی محور گاو نر(در مورد انتگرال منحنی از نوع دوم).

د= maxΔ سمن- طول طولانی ترین قسمت بخش منحنی.

انتگرال های منحنی از نوع اول

با توجه به موارد فوق در مورد حد مجموع انتگرال، یک انتگرال خطی از نوع اول به صورت زیر نوشته می شود:

.

یک انتگرال خطی از نوع اول تمام خصوصیاتی را دارد که دارد انتگرال معین. با این حال، یک تفاوت مهم وجود دارد. برای یک انتگرال معین، وقتی حدود یکپارچگی عوض می شود، علامت به عکس تغییر می کند:

در مورد انتگرال منحنی از نوع اول، فرقی نمی کند که کدام نقطه از منحنی باشد AB (آیا ب) ابتدای قطعه در نظر گرفته می شود و کدام یک پایان است، یعنی

.

انتگرال های منحنی از نوع دوم

بر اساس آنچه در مورد حد مجموع انتگرال گفته شد، یک انتگرال منحنی از نوع دوم به صورت زیر نوشته می شود:

.

در مورد انتگرال منحنی از نوع دوم، زمانی که ابتدا و انتهای یک بخش منحنی مبادله می شود، علامت انتگرال تغییر می کند:

.

هنگام کامپایل مجموع انتگرال یک انتگرال منحنی نوع دوم، مقادیر تابع fمن ( ζ من؛ η من)همچنین می توان با پیش بینی بخش هایی از یک بخش منحنی بر روی محور ضرب کرد اوه. سپس انتگرال را می گیریم

.

در عمل معمولاً از اتحاد انتگرال های منحنی نوع دوم استفاده می شود، یعنی دو تابع f = پ(ایکس, y) و f = س(ایکس, y) و انتگرال ها

,

و مجموع این انتگرال ها

تماس گرفت انتگرال منحنی کلی از نوع دوم .

محاسبه انتگرال های منحنی از نوع اول

محاسبه انتگرال های منحنی نوع اول به محاسبه انتگرال های معین کاهش می یابد. بیایید دو مورد را در نظر بگیریم.

بگذارید یک منحنی روی هواپیما داده شود y = y(ایکس) و یک بخش منحنی ABمربوط به تغییر متغیر است ایکساز جانب آقبل از ب. سپس در نقاط منحنی تابع انتگرال f(ایکس, y) = f(ایکس, y(ایکس)) ("Y" باید از طریق "X" بیان شود)، و دیفرانسیل کمان و انتگرال خط را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد

.

اگر انتگرال راحت تر ادغام می شود y، سپس از معادله منحنی باید بیان کنیم ایکس = ایکس(y) ("x" تا "y")، که در آن انتگرال را با استفاده از فرمول محاسبه می کنیم

.

مثال 1.

جایی که AB- بخش خط مستقیم بین نقاط آ(1؛ -1) و ب(2; 1) .

راه حل. بیایید یک معادله از یک خط مستقیم بسازیم AB، با استفاده از فرمول (معادله خطی که از دو نقطه داده شده می گذرد آ(ایکس1 ; y 1 ) و ب(ایکس2 ; y 2 ) ):

از معادله خط مستقیم که بیان می کنیم yاز طریق ایکس :

در آن زمان و اکنون می توانیم انتگرال را محاسبه کنیم، زیرا فقط "X" باقی مانده است:

بگذارید یک منحنی در فضا داده شود

سپس در نقاط منحنی تابع باید از طریق پارامتر بیان شود تی() و دیفرانسیل قوس بنابراین انتگرال منحنی را می توان با استفاده از فرمول محاسبه کرد

به همین ترتیب، اگر منحنی در صفحه داده شود

,

سپس انتگرال منحنی با فرمول محاسبه می شود

.

مثال 2.محاسبه انتگرال خط

جایی که L- بخشی از یک خط دایره

واقع در اکتانت اول

راه حل. این منحنی یک چهارم خط دایره است که در صفحه قرار دارد z= 3. با مقادیر پارامتر مطابقت دارد. زیرا

سپس دیفرانسیل قوس

اجازه دهید تابع انتگرال را از طریق پارامتر بیان کنیم تی :

اکنون که همه چیز را از طریق یک پارامتر بیان می کنیم تی، می توانیم محاسبه این انتگرال منحنی را به یک انتگرال معین کاهش دهیم:

محاسبه انتگرال های منحنی نوع دوم

همانطور که در مورد انتگرال های منحنی نوع اول، محاسبه انتگرال های نوع دوم به محاسبه انتگرال های معین تقلیل می یابد.

منحنی در مختصات مستطیلی دکارتی داده شده است

اجازه دهید یک منحنی روی صفحه با معادله تابع "Y" که از طریق "X" بیان می شود، به دست آید: y = y(ایکس) و قوس منحنی ABمربوط به تغییر است ایکساز جانب آقبل از ب. سپس عبارت "y" تا "x" را جایگزین انتگرال می کنیم و دیفرانسیل این عبارت "y" را نسبت به "x" تعیین می کنیم: . اکنون که همه چیز بر حسب "x" بیان می شود، انتگرال خط نوع دوم به عنوان یک انتگرال معین محاسبه می شود:

یک انتگرال منحنی از نوع دوم به طور مشابه زمانی محاسبه می شود که منحنی با معادله تابع "x" که از طریق "y" بیان می شود، به دست می آید: ایکس = ایکس(y) ، . در این حالت فرمول محاسبه انتگرال به صورت زیر است:

مثال 3.محاسبه انتگرال خط

، اگر

آ) L- بخش مستقیم O.A.، جایی که در باره(0; 0) , آ(1; −1) ;

ب) L- قوس سهمی y = ایکس² از در باره(0; 0) به آ(1; −1) .

الف) بیایید انتگرال منحنی را روی یک پاره خط مستقیم محاسبه کنیم (آبی در شکل). بیایید معادله خط مستقیم را بنویسیم و "Y" را تا "X" بیان کنیم:

.

ما گرفتیم دو = dx. ما این انتگرال منحنی را حل می کنیم:

ب) اگر L- قوس سهمی y = ایکس²، دریافت می کنیم دو = 2xdx. ما انتگرال را محاسبه می کنیم:

در مثالی که به تازگی حل شد، در دو مورد به یک نتیجه رسیدیم. و این یک تصادف نیست، بلکه نتیجه یک الگو است، زیرا این انتگرال شرایط قضیه زیر را برآورده می کند.

قضیه. اگر توابع پ(ایکس,y) , س(ایکس,y) و مشتقات جزئی آنها در منطقه پیوسته است Dتوابع و در نقاطی از این ناحیه مشتقات جزئی برابر هستند، پس انتگرال منحنی به مسیر ادغام در امتداد خط بستگی ندارد. Lواقع در منطقه D .

منحنی به صورت پارامتریک داده شده است

بگذارید یک منحنی در فضا داده شود

.

و به انتگرال هایی که جایگزین می کنیم

بیان این توابع از طریق یک پارامتر تی. فرمول محاسبه انتگرال منحنی را بدست می آوریم:

مثال 4.محاسبه انتگرال خط

,

اگر L- بخشی از بیضی

برآورده شدن شرط y ≥ 0 .

راه حل. این منحنی بخشی از بیضی است که در صفحه قرار دارد z= 2. با مقدار پارامتر مطابقت دارد.

می توانیم انتگرال منحنی را به شکل یک انتگرال معین نشان دهیم و آن را محاسبه کنیم:

اگر انتگرال منحنی داده شود و Lیک خط بسته است، پس چنین انتگرالی را یک انتگرال حلقه بسته می نامند و با استفاده از آن راحت تر محاسبه می شود فرمول گرین .

نمونه های بیشتری از محاسبه انتگرال خط

مثال 5.محاسبه انتگرال خط

جایی که L- یک قطعه خط مستقیم بین نقاط تقاطع آن با محورهای مختصات.

راه حل. اجازه دهید نقاط تلاقی خط مستقیم را با محورهای مختصات تعیین کنیم. جایگزین کردن یک خط مستقیم در معادله y= 0، دریافت می کنیم،. جایگزین کردن ایکس= 0، دریافت می کنیم،. بنابراین، نقطه تقاطع با محور گاو نر - آ(2; 0) با محور اوه - ب(0; −3) .

از معادله خط مستقیم که بیان می کنیم y :

.

, .

اکنون می توانیم انتگرال خط را به عنوان یک انتگرال معین نشان دهیم و شروع به محاسبه آن کنیم:

در انتگرال فاکتور را انتخاب کرده و به خارج از علامت انتگرال منتقل می کنیم. در انتگرال حاصل استفاده می کنیم عضویت در علامت دیفرانسیلو در نهایت آن را دریافت می کنیم.

16.3.2.1. تعریف انتگرال منحنی از نوع اول.اجازه دهید در فضای متغیرها x، y، z یک منحنی صاف تکه تکه داده می شود که تابع بر روی آن تعریف می شود f (ایکس ,y ,z بیایید منحنی را به قطعات دارای نقطه تقسیم کنیم، یک نقطه دلخواه را روی هر یک از کمان ها انتخاب کنیم، طول کمان را پیدا کنیم و مجموع انتگرال را بسازیم. اگر محدودیتی برای دنباله مجموع انتگرال در عدد وجود داشته باشد، مستقل از روش تقسیم منحنی به کمان یا انتخاب نقاط، آنگاه تابع f (ایکس ,y ,z ) منحنی انتگرال پذیر نامیده می شود و مقدار این حد را یک انتگرال منحنی از نوع اول یا یک انتگرال منحنی در طول قوس تابع می نامند. f (ایکس ,y ,z ) در امتداد منحنی، و (یا) نشان داده می شود.

قضیه هستی.اگر تابع f (ایکس ,y ,z ) روی یک منحنی صاف تکه ای پیوسته است، سپس در امتداد این منحنی قابل ادغام است.

مورد یک منحنی بسته.در این حالت می توانید یک نقطه دلخواه روی منحنی را به عنوان نقطه شروع و پایان در نظر بگیرید. در ادامه منحنی بسته را می نامیم کانتورو با یک حرف مشخص می شود با . این واقعیت که منحنی که در امتداد آن انتگرال محاسبه می شود بسته است معمولاً با یک دایره روی علامت انتگرال نشان داده می شود: .

16.3.2.2. ویژگی های یک انتگرال منحنی از نوع اول.برای این انتگرال، هر شش ویژگی که برای یک انتگرال معین، دوگانه، سه گانه معتبر هستند، از خطی بودنقبل از قضایای ارزش میانگین. آنها را تدوین و اثبات کنید بدون کمک دیگری. با این حال، هفتم، دارایی شخصی نیز برای این انتگرال صادق است:

استقلال انتگرال منحنی نوع اول از جهت منحنی:.

اثباتمجموع انتگرال انتگرال های سمت راست و چپ این برابری برای هر تقسیم منحنی و انتخاب نقاط (همیشه طول کمان) منطبق است، بنابراین حدود آنها برابر است.

16.3.2.3. محاسبه یک انتگرال منحنی از نوع اول. مثال ها.اجازه دهید منحنی با معادلات پارامتری تعریف شود، جایی که توابع متمایز پیوسته وجود دارد، و اجازه دهید نقاطی که پارتیشن منحنی را تعریف می کنند، با مقادیر پارامتر مطابقت داشته باشند، به عنوان مثال. . سپس (به بخش 13.3 مراجعه کنید. محاسبه طول منحنی ها). با توجه به قضیه مقدار میانگین، نقطه ای وجود دارد که . اجازه دهید نقاط به دست آمده با این مقدار پارامتر را انتخاب کنیم: . سپس مجموع انتگرال برای انتگرال منحنی برابر با مجموع انتگرال برای انتگرال معین خواهد بود. از آنجا که پس از عبور از حد در برابری، به دست می آوریم

بنابراین، محاسبه یک انتگرال منحنی از نوع اول به محاسبه یک انتگرال معین بر روی یک پارامتر کاهش می یابد. اگر منحنی به صورت پارامتری داده شود، این انتقال مشکلی ایجاد نمی کند. اگر یک توصیف شفاهی کیفی از منحنی داده شود، ممکن است مشکل اصلی وارد کردن یک پارامتر بر روی منحنی باشد. اجازه دهید یک بار دیگر تاکید کنیم که ادغام همیشه در جهت افزایش پارامتر انجام می شود.

مثال ها. 1. محاسبه کنید که یک دور مارپیچ کجاست

در اینجا انتقال به انتگرال معین مشکلی ایجاد نمی کند: پیدا می کنیم و .

2. همان انتگرال را روی پاره خطی که نقاط را به هم وصل می کند محاسبه کنید و .

در اینجا هیچ تعریف پارامتری مستقیمی از منحنی وجود ندارد، بنابراین AB باید یک پارامتر وارد کنید معادلات پارامتریک یک خط مستقیم به شکلی است که بردار جهت و نقطه خط مستقیم است. نقطه را نقطه و بردار: را بردار جهت می گیریم. به راحتی می توان دید که نقطه مطابق با مقدار است، نقطه مطابق با مقدار است، بنابراین.

3. قسمتی از قسمت استوانه در کنار صفحه را پیدا کنید z =ایکس +1، در اکتان اول خوابیده است.

راه حل:معادلات پارامتری دایره - راهنمای استوانه فرم دارند ایکس =2cosj، y =2sinj، و از آن زمان z=x سپس +1 z = 2cosj+1. بنابراین،

از همین رو

16.3.2.3.1. محاسبه یک انتگرال منحنی از نوع اول. مورد تخت.اگر منحنی روی هر صفحه مختصاتی قرار داشته باشد، برای مثال، صفحه اوهو ، و با توجه به تابع داده می شود ایکس به عنوان یک پارامتر، فرمول زیر را برای محاسبه انتگرال به دست می آوریم: . به طور مشابه، اگر منحنی با معادله داده شود، آنگاه .

مثال.ربع دایره ای که در ربع چهارم قرار دارد را محاسبه کنید.

راه حل. 1. در نظر گرفتن ایکس به عنوان یک پارامتر، ما دریافت می کنیم، بنابراین

2. اگر یک متغیر را به عنوان پارامتر در نظر بگیریم در ، سپس و .

3. به طور طبیعی، می توانید معادلات پارامتری معمول یک دایره را بگیرید: .

اگر منحنی در مختصات قطبی داده شود، پس، و.