معنای مشتق و مکانیکی مرتبه دوم. معنای هندسی و مکانیکی مشتق اول

منتهی الیه یک تابع را اکسترمم محلی می نامند، زیرا مفهوم اکستروم فقط با همسایگی به اندازه کافی کوچک نقطه x 1 مرتبط است. بنابراین در یک بازه یک تابع می تواند چندین انتها داشته باشد و ممکن است این اتفاق بیفتد که حداقل در یک نقطه از حداکثر در نقطه دیگر بزرگتر باشد. وجود یک ماکزیمم یا حداقل در یک نقطه خاص در بازه به این معنی نیست که در این نقطه تابع f(x) بزرگترین یا کوچکترین مقدار را در این بازه می گیرد.

شرط لازم برای یک انتها: در نقطه منتهی تابع قابل تمایز، مشتق آن برابر با صفر است.

شرط کافی برای یک انتها: اگر مشتق تابع قابل تمایز در نقطه ای x 0 برابر با صفر باشد و علامت خود را هنگام عبور از این مقدار تغییر دهد، عدد f (x 0) منتهی تابع است و اگر علامت از مثبت به منفی تغییر می کند، سپس حداکثر اگر از منفی به مثبت، سپس حداقل.

نقاطی که مشتق تابع پیوسته برابر با صفر است یا وجود ندارد، بحرانی نامیده می شوند.

بررسی یک تابع برای یک اکسترم به معنای یافتن تمام اکسترم های آن است. قانون مطالعه یک تابع برای یک اکسترم:

1). نقاط بحرانی یک تابع را پیدا کنید y = f(x)و از بین آنها فقط مواردی را انتخاب کنید که نقاط داخلی حوزه تعریف تابع هستند.

2). علامت مشتق را بررسی کنید f"(x)در سمت چپ و راست هر یک از نقاط بحرانی انتخاب شده؛

3). بر اساس شرایط کافی برای یک اکسترم، نقاط اکسترموم (در صورت وجود) را یادداشت کرده و مقادیر تابع را در آنها محاسبه کنید.

به منظور پیدا کردن بالاترین و کمترین مقدارعملکرد روی یک قطعه لازم است چندین مرحله انجام شود:

1). جریان بحرانی تابع را با حل معادله f’(x)=0 بیابید.

2). اگر نقاط بحرانی روی یک بخش قرار می گیرند، لازم است مقادیر را در نقاط بحرانی و در مرزهای فاصله پیدا کنید. اگر نقاط بحرانی روی بخش قرار نگیرند (یا وجود نداشته باشند)، مقادیر تابع فقط در مرزهای بخش یافت می شوند.

3). از مقادیر تابع به دست آمده، بزرگترین و کوچکترین را انتخاب کنید و پاسخ را به عنوان مثال به شکل زیر بنویسید: ; .

حل مسئله

مثال 2.1. دیفرانسیل تابع را پیدا کنید: .

راه حل.بر اساس خاصیت 2 دیفرانسیل یک تابع و تعریف دیفرانسیل، داریم:

مثال 2.2. دیفرانسیل تابع را پیدا کنید:

راه حل. تابع را می توان به صورت زیر نوشت: , . سپس داریم:

مثال 2.3. مشتق دوم تابع را پیدا کنید:

راه حل. بیایید تابع را تبدیل کنیم.

بیایید اولین مشتق را پیدا کنیم:

بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم:

.

مثال 2.4. دیفرانسیل مرتبه دوم تابع را پیدا کنید .

راه حل.بیایید دیفرانسیل مرتبه دوم را بر اساس عبارت برای محاسبه پیدا کنیم:

بیایید ابتدا اولین مشتق را پیدا کنیم:

; بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم: .

مثال 2.5. ضریب زاویه ای مماس بر منحنی رسم شده در نقطه با آبسیسا را ​​بیابید. x=2 .

راه حل. بر اساس معنای هندسی مشتق، داریم که شیب برابر با مشتق تابع در نقطه ای است که آبسیسا برابر است با ایکس . پیدا خواهیم کرد .

بیایید ضریب زاویه ای مماس بر نمودار تابع را محاسبه کنیم.

مثال 2.6. جمعیت باکتری ها در یک نقطه از زمان تی (تیبر حسب ساعت اندازه گیری می شود) مجموع اشخاص حقیقی. سرعت رشد باکتری ها را پیدا کنید. سرعت رشد باکتری ها را در یک زمان معین پیدا کنید t=5ساعت ها.

راه حل.سرعت رشد یک جمعیت باکتریایی اولین مشتق با توجه به زمان است تی: .

اگر t=5ساعت، سپس . بنابراین سرعت رشد باکتری ها 1000 نفر در ساعت خواهد بود.

مثال 2.7. واکنش بدن به داروی تجویز شده ممکن است به صورت افزایش فشار خون، کاهش دمای بدن، تغییر در ضربان قلب یا سایر شاخص های فیزیولوژیکی بیان شود. درجه واکنش بستگی به دوز تجویز شده دارو دارد. اگر ایکسدوز داروی تجویز شده و درجه واکنش را نشان می دهد درتوسط تابع توصیف شده است . با چه ارزشی ایکسآیا واکنش حداکثر است؟

راه حل. بیایید مشتق را پیدا کنیم .

بیایید نکات مهم را پیدا کنیم: ⇒ . ⇒ در نتیجه، دو نکته مهم داریم: . مقدار شرایط کار را برآورده نمی کند.

بیایید مشتق دوم را پیدا کنیم . بیایید مقدار مشتق دوم را در محاسبه کنیم. . این بدان معنی است - سطح دوزی که حداکثر پاسخ را می دهد.

مثال هایی برای حل خود

دیفرانسیل تابع را پیدا کنید:

1. .

2. .

3. .

4.

مشتق دوم توابع زیر را بیابید:

6. .

مشتقات مرتبه دوم را پیدا کنید و دیفرانسیل های مرتبه دوم را برای توابع زیر بنویسید:

9. .

11. تابع extremum را بررسی کنید.

12. بزرگترین و کوچکترین مقادیر یک تابع را بیابید در بخش

13. فواصل افزایش و کاهش تابع، حداکثر و حداقل نقاط و نقاط تقاطع با محورها را بیابید:

14. قانون حرکت یک نقطه شکل دارد . قانون سرعت و شتاب این نقطه را تعیین کنید.

15. معادله حرکت یک نقطه شکل (m) دارد. 1) موقعیت نقطه را در زمان های s و s پیدا کنید. 2) سرعت متوسط ​​برای زمان سپری شده بین این نقاط در زمان. 3) سرعت های لحظه ای در زمان های مشخص. 4) شتاب متوسط ​​در یک دوره زمانی مشخص. 5) شتاب های لحظه ای در زمان های مشخص.

تکلیف خانه.

تمرین:

دیفرانسیل تابع را پیدا کنید:

1. ;

2. ;

مشتقات مرتبه دوم تابع را پیدا کنید:

4.

5.

دیفرانسیل های مرتبه دوم را پیدا کنید

6. .

7. نقطه طبق قانون به صورت مستقیم حرکت می کند. محاسبه سرعت و شتاب در زمان ها و .

فواصل توابع افزایش و کاهش را بیابید:

9. .

10. هنگامی که گلوکز تزریق می شود، محتوای آن در خون انسان، در واحدهای مناسب، پس از بیان می شود. تیساعت خواهد بود . سرعت تغییر گلوکز خون را در a) بیابید. t = 1 h; ب) t = 2ساعت

تئوری.

1. سخنرانی با موضوع «مشتقات و دیفرانسیل توابع چندین آرگومان. استفاده از تابع دیفرانسیل چندین آرگومان."

2. درس 3 این راهنما.

3. پاولوشکوف I.V. و دیگران ص 101-113، 118-121.

درس 3. مشتقات و دیفرانسیل یک تابع از چندین آرگومان

ارتباط موضوع: این بخش از ریاضیات به طور گسترده ای در حل تعدادی از مسائل کاربردی استفاده می شود، زیرا بسیاری از پدیده های فیزیکی، بیولوژیکی و شیمیایی با وابستگی نه به یک، بلکه به چندین متغیر (عامل) مشخص می شوند.

هدف درس: یاد بگیرید مشتقات جزئی و دیفرانسیل توابع چندین متغیر را پیدا کنید.

وظایف هدف:

know: مفهوم تابعی از دو متغیر; مفهوم مشتقات جزئی تابعی از دو متغیر. مفهوم دیفرانسیل کامل و جزئی تابعی از چندین متغیر.

بتواند: مشتقات و دیفرانسیل توابع چند متغیر را بیابد.

اطلاعات مختصری از درس تئوری

مفاهیم اساسی

متغیر z تابعی از دو آرگومان x و y نامیده می‌شود که به برخی از جفت‌ها مقدار z بر اساس قانون یا قانون خاصی اختصاص داده شود. تابعی از دو آرگومان با نشان داده می شود.

تابع به عنوان یک سطح در یک سیستم مختصات مستطیلی در فضا مشخص می شود. نمودار یک تابع از دو متغیر مجموعه ای از نقاط در فضای سه بعدی x است

کار نامیده می شود دیفرانسیل جزئیتابع z=f(x,y)by ایکسو تعیین شده اند.

تابع دیفرانسیل کامل

دیفرانسیل یک تابع مجموع حاصل از مشتقات جزئی این تابع و افزایش متغیرهای مستقل مربوطه است، یعنی. . زیرا و سپس می توانیم بنویسیم: یا .

مشتق(توابع در یک نقطه) - مفهوم اساسی حساب دیفرانسیل، مشخص کننده نرخ تغییر یک تابع (در یک نقطه معین). این به عنوان حد نسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان آن تعریف می شود، زیرا در صورت وجود چنین حدی، افزایش آرگومان به صفر میل می کند. تابعی که دارای مشتق متناهی (در نقطه ای) باشد، متمایزپذیر (در آن نقطه) نامیده می شود.

مشتق. بیایید برخی از عملکردها را در نظر بگیریم y = f (ایکس ) در دو نقطه ایکس 0 و ایکس 0 + : f (ایکس 0) و f (ایکس 0 +). در اینجا، through نشان دهنده برخی تغییرات کوچک در آرگومان است، به نام افزایش آرگومان; بر این اساس، تفاوت بین دو مقدار تابع: f (ایکس 0 + )  f (ایکس 0 ) نامیده میشود افزایش تابع.مشتقکارکرد y = f (ایکس ) در نقطه ایکس 0 حد نامیده می شود:

اگر این محدودیت وجود داشته باشد، تابع f (ایکس ) نامیده میشود قابل تمایزدر نقطه ایکس 0 . مشتق یک تابع f (ایکس ) به صورت زیر نشان داده می شود:

معنای هندسی مشتق. نمودار تابع را در نظر بگیرید y = f (ایکس ):

از شکل 1 مشخص است که برای هر دو نقطه A و B از نمودار تابع:

زاویه انحراف AB کجاست.

بنابراین، نسبت اختلاف برابر با شیب سکنت است. اگر نقطه A را ثابت کنید و نقطه B را به سمت آن حرکت دهید، آنگاه بدون محدودیت کاهش می یابد و به 0 نزدیک می شود و مقطع AB به مماس AC نزدیک می شود. بنابراین حد نسبت اختلاف برابر با شیب مماس در نقطه A است. مشتق تابع در یک نقطه، شیب مماس بر نمودار این تابع در آن نقطه است.این چیزی است که معنی هندسی مشتق.

معادله مماس. اجازه دهید معادله مماس بر نمودار تابع در نقطه A ( ایکس 0 , f (ایکس 0 )). به طور کلی معادله یک خط مستقیم با ضریب شیب f ’(ایکس 0 ) دارای شکل:

y = f ’(ایکس 0 ) · x + b .

برای پیدا کردن ب, بیایید از این واقعیت استفاده کنیم که مماس از نقطه A عبور می کند:

f (ایکس 0 ) = f ’(ایکس 0 ) · ایکس 0 +b ,

از اینجا، ب = f (ایکس 0 ) – f ’(ایکس 0 ) · ایکس 0 ، و به جای آن این عبارت را جایگزین کنید ب، خواهیم گرفت معادله مماس:

y =f (ایکس 0 ) + f ’(ایکس 0 ) · ( x – x 0 ) .

معنای مکانیکی مشتق. بیایید ساده ترین حالت را در نظر بگیریم: حرکت یک نقطه مادی در امتداد محور مختصات، و قانون حرکت داده می شود: مختصات ایکسنقطه متحرک - تابع شناخته شده ایکس (تی) زمان تی. در فاصله زمانی از تی 0 تا تی 0 + نقطه یک فاصله حرکت می کند: ایکس (تی 0 + ) ایکس (تی 0) =، و او سرعت متوسط برابر است با: v آ =  . در 0، سرعت متوسط ​​به یک مقدار مشخص میل می کند که به آن می گویند سرعت لحظه ای v ( تی 0 ) نقطه مادی در زمان تی 0 . اما با تعریف مشتق داریم:

از اینجا، v (تی 0 ) = x' (تی 0 ) ، یعنی سرعت مشتق مختصات است توسط زمان. این چیزی است که حس مکانیکیمشتق . به همین ترتیب، شتاب مشتق سرعت نسبت به زمان است: آ = v (تی).

8. جدول مشتقات و قواعد تمایز

ما در مقاله "معنای هندسی مشتق" در مورد اینکه مشتق چیست صحبت کردیم. اگر تابعی توسط یک نمودار داده شود، مشتق آن در هر نقطه برابر است با مماس مماس بر نمودار تابع. و اگر تابع با فرمول داده شود، جدول مشتقات و قوانین تمایز به شما کمک می کند، یعنی قوانین برای یافتن مشتق.

§ 2. تعریف مشتق.

اجازه دهید تابع y= f(ایکس) تعریف شده در بازه ( آ;ب). ارزش استدلال را در نظر بگیرید

(آ;ب) . بیایید استدلال را افزایش دهیم ∆ ایکس 0، به طوری که شرط ( ایکس 0 +∆ ایکس)

آ;ب). اجازه دهید مقادیر تابع مربوطه را با y 0 و y 1 نشان دهیم:

y 0 = f(ایکس 0 ), y 1 = f(ایکس 0 +∆ ایکس). هنگام حرکت از ایکس 0 به ایکس 0 +∆ ایکستابع افزایش خواهد یافت

∆y = y 1 -y 0 = f(ایکس 0 +∆ ایکس) -f(ایکس 0 ). اگر در حین تلاش ∆ ایکسبه صفر محدودیتی برای نسبت افزایش تابع وجود دارد ∆yبه افزایش استدلالی که باعث آن شد ∆ ایکس,

آن ها محدودیتی وجود دارد

=

,

سپس این حد مشتق تابع نامیده می شود y= f(ایکس) در نقطه ایکس 0 . بنابراین، مشتق تابع y= f(ایکس) در نقطه ایکس=ایکس 0 حد نسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان است وقتی که افزایش آرگومان به صفر میل می کند. مشتق یک تابع y= f(ایکس) در نقطه ایکسبا نمادها نشان داده شده است (ایکس) یا (ایکس). از نمادها نیز استفاده می شود , , ,. سه نماد آخر بر این واقعیت تأکید دارند که مشتق با توجه به متغیر گرفته شده است ایکس.

اگر تابع y= f(ایکس) در هر نقطه از یک بازه معین یک مشتق دارد، سپس در این بازه مشتق ( ایکس) یک آرگومان تابع است ایکس.

§ 3. معنای مکانیکی و هندسی مشتق.

معادلات عادی و مماس بر نمودار یک تابع.

همانطور که در § 1 نشان داده شد، سرعت لحظه ای یک نقطه است

v = .

اما این بدان معنی است که سرعت v مشتق مسافت طی شده است اس توسط زمان تی ,

v =. بنابراین، اگر تابع y= f(ایکس) قانون حرکت مستقیم یک نقطه مادی را توصیف می کند، جایی که yمسیری است که یک نقطه مادی از لحظه شروع حرکت تا لحظه زمان طی می کند ایکس، سپس مشتق ( ایکس) سرعت لحظه ای یک نقطه را در یک زمان مشخص می کند ایکس. این معنای مکانیکی مشتق است.

در § 1 ضریب زاویه ای مماس بر نمودار تابع نیز پیدا شد y= f(ایکس) ک= tgα= . این رابطه به این معنی است که شیب مماس برابر است با مشتق ( ایکس). به بیان دقیق تر، مشتق ( ایکس) کارکرد y= f(ایکس) ، با مقدار آرگومان برابر با ایکس، برابر است با شیب مماس بر نمودار این تابع در نقطه ای که آبسیسا برابر است با ایکس. این معنای هندسی مشتق است.

اجازه دهید در ایکس=ایکس 0 تابع y= f(ایکس) ارزش می گیرد y 0 =f(ایکس 0 ) ، و نمودار این تابع دارای مماس در نقطه با مختصات ( ایکس 0 ;y 0). سپس شیب مماس

k = ( ایکس 0). با استفاده از معادله خطی که از یک نقطه معین در یک جهت معین می گذرد که از دوره هندسه تحلیلی مشخص می شود ( y-y 0 =ک(ایکس-ایکس 0))، معادله مماس را می نویسیم:

خط مستقیمی که از نقطه مماس عمود بر مماس عبور می کند، نرمال به منحنی نامیده می شود. از آنجایی که نرمال عمود بر مماس است، شیب آن است کهنجارها مربوط به شیب مماس است کاز هندسه تحلیلی با رابطه: کهنجارها = ─، یعنی. برای عبور عادی از نقطه با مختصات ( ایکس 0 ;y 0),کعادی = ─ . بنابراین، معادله این نرمال به شکل زیر است:

(به شرطی که

).

§ 4. نمونه هایی از محاسبات مشتق.

برای محاسبه مشتق یک تابع y= f(ایکس) در نقطه ایکس، لازم:

بحث و جدل ایکسافزایش ∆ را بدهید ایکس;

افزایش مربوط به تابع ∆ را پیدا کنید y=f(ایکس+∆ایکس) -f(ایکس);

رابطه برقرار کن ;

حد این نسبت را در Δ پیدا کنید ایکس→0.

مثال 4.1. مشتق یک تابع را پیدا کنید y=C=const.

بحث و جدل ایکسافزایش ∆ را بدهید ایکس.

هر چه هست ایکس, ∆y=0: ∆y=f(ایکس+∆ایکس) ─f(ایکس)=С─С=0;

از اینجا =0 و = 0، یعنی =0.

مثال 4.2. مشتق یک تابع را پیدا کنید y=ایکس.

∆ y=f(ایکس+∆ایکس) ─f(ایکس)= ایکس+∆ایکس– ایکس=∆ ایکس;

1, =1، یعنی =1.

مثال 4.3. مشتق یک تابع را پیدا کنید y=ایکس 2.

∆ y= (ایکس+∆ ایکس)2–ایکس 2= 2 ایکس∙∆ ایکس+ (∆ ایکس)2;

= 2 ایکس+ ∆ ایکس, = 2 ایکس، یعنی =2 ایکس.

مثال 4.4. مشتق تابع y=sin را بیابید ایکس.

∆ y=گناه( ایکس+∆ایکس) – گناه ایکس= 2 گناه cos( ایکس+);

=

;

=



= cos ایکس، یعنی = cos ایکس.

مثال 4.5. مشتق یک تابع را پیدا کنید y=

.

=

، یعنی = .

حس مکانیکی مشتق

از فیزیک معلوم است که قانون حرکت یکنواخت شکل دارد s = v t، جایی که س- مسیر طی شده به لحظه زمان تی, v- سرعت حرکت یکنواخت

با این حال، به دلیل بیشتر حرکاتی که در طبیعت اتفاق می‌افتند ناهموار هستند، سپس به طور کلی سرعت و در نتیجه فاصله سبه زمان بستگی خواهد داشت تی، یعنی تابع زمان خواهد بود.

بنابراین، اجازه دهید یک نقطه مادی طبق قانون در یک خط مستقیم در یک جهت حرکت کند s=s(t).

بیایید یک نقطه زمانی خاص را مشخص کنیم تی 0 . در این نقطه نقطه از مسیر عبور کرده است s=s(t 0 ). بیایید سرعت را تعیین کنیم vنقطه مادی در یک لحظه از زمان تی 0 .

برای انجام این کار، اجازه دهید زمان دیگری را در نظر بگیریم تی 0 + Δ تی. مربوط به مسیر طی شده s است =s(t 0 + Δ تی). سپس در یک دوره زمانی Δ تینقطه مسیر Δs را طی کرده است =s(t 0 + Δ ت)–s(t).

بیایید نگرش را در نظر بگیریم. به آن سرعت متوسط ​​در بازه زمانی Δ می گویند تی. سرعت متوسط ​​نمی تواند به طور دقیق سرعت حرکت یک نقطه را در لحظه مشخص کند تی 0 (زیرا حرکت ناهموار است). برای بیان دقیق تر این سرعت واقعی با استفاده از سرعت متوسط، باید مدت زمان کوتاهتری Δ را در نظر بگیرید تی.

بنابراین، سرعت حرکت در یک لحظه معین از زمان تی 0 (سرعت لحظه ای) حد متوسط ​​سرعت در بازه از تی 0 تا تی 0 +Δ تی، زمانی که Δ تی→0:

,

آن ها سرعت نابرابراین مشتق مسافت طی شده نسبت به زمان است.

معنی هندسی مشتق

اجازه دهید ابتدا تعریف مماس بر منحنی در یک نقطه معین را معرفی کنیم.

بگذارید یک منحنی و یک نقطه ثابت روی آن داشته باشیم M 0(شکل را ببینید) نکته دیگری را در نظر بگیرید ماین منحنی را رسم کنید و یک سکانس بکشید M 0 M. اگر نکته مشروع به حرکت در امتداد منحنی و نقطه می کند M 0بی حرکت می ماند، سپس سکنت موقعیت خود را تغییر می دهد. اگر با تقریب نامحدود نقطه مدر امتداد یک منحنی تا یک نقطه M 0در هر طرف، سکنت تمایل دارد موقعیت یک خط مستقیم خاص را اشغال کند M 0 T، سپس مستقیم M 0 Tمماس بر منحنی در یک نقطه داده شده نامیده می شود M 0.

که.، مماسبه منحنی در یک نقطه معین M 0موقعیت حدی سکنت نامیده می شود M 0 Mوقتی نقطه مدر امتداد منحنی به یک نقطه میل می کند M 0.

اکنون تابع پیوسته را در نظر می گیریم y=f(x)و منحنی مربوط به این تابع. با مقداری ارزش ایکستابع 0 مقدار می گیرد y 0 =f(x0).این ارزش ها ایکس 0 و y 0 روی منحنی مربوط به یک نقطه است M 0 (x 0 ; y 0).بیایید استدلال کنیم x 0افزایش Δ ایکس. مقدار جدید آرگومان با مقدار افزایش یافته تابع مطابقت دارد y 0 +Δ y=f(x 0 –Δ ایکس). ما نکته را دریافتیم M(x 0+Δ ایکس; y 0+Δ y).بیایید یک سکانت رسم کنیم M 0 Mو زاویه تشکیل شده توسط یک سکونت با جهت مثبت محور را با φ نشان دهید گاو نر. بیایید یک رابطه ایجاد کنیم و توجه داشته باشیم که .

اگر اکنون Δ ایکس← 0، سپس به دلیل تداوم تابع Δ در→ 0، و بنابراین نقطه م، در امتداد یک منحنی حرکت می کند، بدون محدودیت به نقطه نزدیک می شود M 0. سپس سکنت M 0 Mتمایل به گرفتن موقعیت مماس بر منحنی در نقطه دارد M 0و زاویه φ→α در Δ ایکس← 0، که α نشان دهنده زاویه بین مماس و جهت مثبت محور است گاو نر. از آنجایی که تابع tan φ پیوسته به φ برای φ≠π/2 بستگی دارد، پس برای φ→α tan φ → tan α و بنابراین، شیب مماس خواهد بود:

آن ها f "(x)= tg α.

بنابراین، از نظر هندسی y "(x 0)نشان دهنده شیب مماس بر نمودار این تابع در نقطه است x 0، یعنی برای یک مقدار آرگومان داده شده ایکس، مشتق برابر است با مماس زاویه تشکیل شده توسط مماس بر نمودار تابع f(x)در نقطه مناسب M 0 (x; y)با جهت محور مثبت گاو نر

مثال.شیب مماس بر منحنی را پیدا کنید y = x 2 در نقطه م(-1; 1).

قبلاً دیده بودیم که ( ایکس 2)" = 2ایکس. اما ضریب زاویه ای مماس بر منحنی tan α = است y"| x=-1 = – 2.

معنای هندسی، مکانیکی، اقتصادی مشتق

تعریف مشتق.

سخنرانی شماره 7-8

کتابشناسی - فهرست کتب

1 اوخوبوتوف، V.I. ریاضیات: کتاب درسی - چلیابینسک: چلیاب. حالت univ., 2006.- 251 p.

2 ارماکوف، V.I. مجموعه مسائل در ریاضیات عالی. آموزش. -M.: INFRA-M، 2006. - 575 p.

3 ارماکوف، V.I. درس عمومی ریاضیات عالی. کتاب درسی. -M.: INFRA-M، 2003. - 656 p.

موضوع "مشتق"

هدف:مفهوم مشتق را توضیح دهید، رابطه بین پیوستگی و تمایز یک تابع را ردیابی کنید، کاربرد استفاده از مشتقات را با مثال نشان دهید.

این حد در علم اقتصاد، هزینه نهایی تولید نامیده می شود.

تعریف مشتق. معنای هندسی و مکانیکی مشتق، معادله تابع مماس بر نمودار.

نیاز به یک پاسخ کوتاه (بدون آب غیر ضروری)

مرده_سفید_برف

مشتق مفهوم اساسی حساب دیفرانسیل است که میزان تغییر یک تابع را مشخص می کند.
هندسی؟
مماس بر یک تابع در یک نقطه... .
شرط افزایش تابع: f " (x) > 0.
شرط کاهش تابع: f " (x)< 0.
نقطه عطف (شرط لازم): f "" (x0) = 0.
محدب به بالا: f " " (x) محدب پایین: f "" (x) >0
معادله عادی: y=f(x0)-(1/f `(x0))(x-x0)
مکانیکی؟
سرعت یک مشتق با توجه به فاصله، شتاب یک مشتق نسبت به سرعت و یک مشتق دوم نسبت به فاصله است.
معادله مماس بر نمودار تابع f در نقطه x0
y=f(x0)+f `(x0)(x-x0)

کاربر حذف شد

اگر محدودیتی در نسبت دلتا y به دلتا x از افزایش تابع دلتا y به افزایش آرگومان delta x که باعث آن شده است وجود داشته باشد، وقتی دلتا x به سمت صفر میل می کند، این حد را مشتق می گویند. تابع y = f(x) در نقطه معین x و با y" یا f "(x) نشان داده می شود.
سرعت v حرکت مستقیم مشتق مسیر s نسبت به زمان t است: v = ds/dt. این معنای مکانیکی مشتق است.
ضریب زاویه ای مماس بر منحنی y = f(x) در نقطه ای با ابسیسا x صفر است مشتق f"(x صفر است) این معنای هندسی مشتق است.
منحنی مماس در نقطه M صفر یک خط مستقیم M صفر T است که ضریب زاویه ای آن برابر است با حد ضریب زاویه ای مقطع M صفر M وقتی که دلتا x به صفر میل می کند.
tg phi = lim tg آلفا به عنوان دلتا x تمایل به صفر = lim (دلتا x / دلتا y) به عنوان دلتا x تمایل به صفر
از معنای هندسی مشتق، معادله مماس به شکل زیر است:
y - y صفر = f"(x صفر) (x - x صفر)

مشتق(توابع در یک نقطه) - مفهوم اساسی حساب دیفرانسیل، مشخص کننده نرخ تغییر یک تابع (در یک نقطه معین). این به عنوان حد نسبت افزایش یک تابع به افزایش آرگومان آن تعریف می شود، زیرا در صورت وجود چنین حدی، افزایش آرگومان به صفر میل می کند. تابعی که دارای مشتق متناهی (در نقطه ای) باشد، متمایزپذیر (در آن نقطه) نامیده می شود.

مشتق. بیایید برخی از عملکردها را در نظر بگیریم y = f (ایکس ) در دو نقطه ایکس 0 و ایکس 0 + : f (ایکس 0) و f (ایکس 0 +). در اینجا، through نشان دهنده برخی تغییرات کوچک در آرگومان است، به نام افزایش آرگومان; بر این اساس، تفاوت بین دو مقدار تابع: f (ایکس 0 + )  f (ایکس 0 ) نامیده میشود افزایش تابع.مشتقکارکرد y = f (ایکس ) در نقطه ایکس 0 حد نامیده می شود:

اگر این محدودیت وجود داشته باشد، تابع f (ایکس ) نامیده میشود قابل تمایزدر نقطه ایکس 0 . مشتق یک تابع f (ایکس ) به صورت زیر نشان داده می شود:

معنای هندسی مشتق. نمودار تابع را در نظر بگیرید y = f (ایکس ):

از شکل 1 مشخص است که برای هر دو نقطه A و B از نمودار تابع:

زاویه انحراف AB کجاست.

بنابراین، نسبت اختلاف برابر با شیب سکنت است. اگر نقطه A را ثابت کنید و نقطه B را به سمت آن حرکت دهید، آنگاه بدون محدودیت کاهش می یابد و به 0 نزدیک می شود و مقطع AB به مماس AC نزدیک می شود. بنابراین حد نسبت اختلاف برابر با شیب مماس در نقطه A است. مشتق تابع در یک نقطه، شیب مماس بر نمودار این تابع در آن نقطه است.این چیزی است که معنی هندسی مشتق.

معادله مماس. اجازه دهید معادله مماس بر نمودار تابع در نقطه A ( ایکس 0 , f (ایکس 0 )). به طور کلی معادله یک خط مستقیم با ضریب شیب f ’(ایکس 0 ) دارای شکل:

y = f ’(ایکس 0 ) · x + b .

برای پیدا کردن ب, بیایید از این واقعیت استفاده کنیم که مماس از نقطه A عبور می کند:

f (ایکس 0 ) = f ’(ایکس 0 ) · ایکس 0 +b ,

از اینجا، ب = f (ایکس 0 ) – f ’(ایکس 0 ) · ایکس 0 ، و به جای آن این عبارت را جایگزین کنید ب، خواهیم گرفت معادله مماس:

y =f (ایکس 0 ) + f ’(ایکس 0 ) · ( x – x 0 ) .

معنای مکانیکی مشتق. بیایید ساده ترین حالت را در نظر بگیریم: حرکت یک نقطه مادی در امتداد محور مختصات، و قانون حرکت داده می شود: مختصات ایکسنقطه متحرک - تابع شناخته شده ایکس (تی) زمان تی. در فاصله زمانی از تی 0 تا تی 0 + نقطه یک فاصله حرکت می کند: ایکس (تی 0 + )  ایکس (تی 0) =، و او سرعت متوسط برابر است با: v آ =  . در 0، سرعت متوسط ​​به یک مقدار مشخص میل می کند که به آن می گویند سرعت لحظه ای v ( تی 0 ) نقطه مادی در زمان تی 0 . اما با تعریف مشتق داریم:

از اینجا، v (تی 0 ) = x' (تی 0 ) ، یعنی سرعت مشتق مختصات است توسط زمان. این چیزی است که حس مکانیکیمشتق . به همین ترتیب، شتاب مشتق سرعت نسبت به زمان است: آ = v (تی).

8. جدول مشتقات و قواعد تمایز

ما در مقاله "معنای هندسی مشتق" در مورد اینکه مشتق چیست صحبت کردیم. اگر تابعی توسط یک نمودار داده شود، مشتق آن در هر نقطه برابر است با مماس مماس بر نمودار تابع. و اگر تابع با فرمول داده شود، جدول مشتقات و قوانین تمایز به شما کمک می کند، یعنی قوانین برای یافتن مشتق.

بگذارید یک نقطه مادی در هواپیما داده شود. قانون حرکت آن در امتداد محور مختصات با قانون $ x(t) $ توضیح داده می شود، جایی که $ t $ زمان را مشخص می کند. سپس در زمان از $ t_0 $ تا $ t_0 + \Delta t $، نقطه از مسیر $ \Delta x = x(t_0+\Delta t) - x(t_0) $ می گذرد. معلوم می شود که سرعت متوسطچنین نقطه ای با فرمول پیدا می شود: $$ v_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) $$

اگر $ \Delta t $ به صفر میل کند، آنگاه مقدار سرعت متوسط ​​به مقداری متمایل می شود که نامیده می شود سرعت لحظه ایدر نقطه $t_0$:

$$ \lim_(\Delta t \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = v(t_0) $$

با تعریف مشتق از طریق حد، ارتباطی بین سرعت و قانون حرکت مسیر یک نقطه مادی به دست می‌آید:

$$ v(t_0) = \lim_(\Delta \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = x"(t_0) $$

نمونه هایی از راه حل ها

مشتق.بیایید برخی از عملکردها را در نظر بگیریم y= f (ایکس) در دو نقطه ایکس 0 و ایکس 0 + : f(ایکس 0) و f (ایکس 0 +). در اینجا، through نشان دهنده برخی تغییرات کوچک در آرگومان است، به نام افزایش آرگومان; بر این اساس، تفاوت بین دو مقدار تابع: f(ایکس 0 + ) - f (ایکس 0) تماس گرفت افزایش تابع. مشتقکارکرد y= f (ایکس) در نقطه ایکس 0 حد نامیده می شود:

اگر این محدودیت وجود داشته باشد، تابع f (ایکس) نامیده میشود قابل تمایزدر نقطه ایکس 0 . مشتق یک تابع f (ایکس) به صورت زیر نشان داده می شود:

معنای هندسی مشتق.نمودار تابع را در نظر بگیرید y= f (ایکس):

از شکل 1 مشخص است که برای هر دو نقطه A و B از نمودار تابع:

زاویه تمایل مقطع AB کجاست.

بنابراین، نسبت اختلاف برابر با شیب سکنت است. اگر نقطه A را ثابت کنید و نقطه B را به سمت آن حرکت دهید، آنگاه بدون محدودیت کاهش می یابد و به 0 نزدیک می شود و مقطع AB به مماس AC نزدیک می شود. بنابراین حد نسبت اختلاف برابر با شیب مماس در نقطه A است. مشتق تابع در یک نقطه، شیب مماس بر نمودار این تابع در آن نقطه است.این چیزی است که معنی هندسیمشتق.

معادله مماس.اجازه دهید معادله مماس بر نمودار تابع در نقطه A ( ایکس 0 , f (ایکس 0)). به طور کلی معادله یک خط مستقیم با ضریب شیب f ’(ایکس 0) به شکل زیر است:

y = f ’(ایکس 0) · x + b .

برای پیدا کردن باز این که مماس از نقطه A عبور می کند استفاده می کنیم:

f (ایکس 0) = f ’(ایکس 0) · ایکس 0 +b,

از اینجا، ب = f (ایکس 0) – f ’(ایکس 0) · ایکس 0 و به جای آن این عبارت را جایگزین کنید ب، خواهیم گرفت معادله مماس:

y =f (ایکس 0) + f ’(ایکس 0) · ( x – x 0) .

معنای مکانیکی مشتق.بیایید ساده ترین حالت را در نظر بگیریم: حرکت یک نقطه مادی در امتداد محور مختصات، و قانون حرکت داده می شود: مختصات ایکسنقطه متحرک - تابع شناخته شده ایکس (تی) زمان تی. در فاصله زمانی از تی 0 تا تی 0 + نقطه حرکت بر اساس فاصله: ایکس (تی 0 + ) -ایکس (تی 0) =، و او سرعت متوسطبرابر است با: v a = / . در 0، سرعت متوسط ​​به یک مقدار مشخص میل می کند که به آن می گویند سرعت لحظه ای v(تی 0) نقطه مادی در زمان تی 0 . اما با تعریف مشتق داریم:

از اینجا، v(تی 0)= x'(تی 0) یعنی سرعت مشتق مختصات نسبت به زمان است.این چیزی است که حس مکانیکیمشتق . به همین ترتیب، شتاب مشتق سرعت نسبت به زمان است: آ = v(تی).

نمونه مشکلات

وظیفه 1. معادله ای برای مماس مشترک بر نمودارهای توابع و .

یک خط مستقیم مماس مشترکی با نمودار توابع است و اگر هر دو نمودار را لمس کند، اما نه لزوماً در یک نقطه.

- معادله مماس بر نمودار تابع y=x2 در نقطه ای با آبسیسا x0

- معادله مماس بر نمودار تابع y=x3 در نقطه ای با آبسیسا x1

خطوط منطبق هستند اگر شیب و شرایط آزاد آنها برابر باشد. از اینجا

راه حل سیستم خواهد بود

معادلات مماس کلی عبارتند از:

16. قواعد تمایز. مشتقات توابع مختلط، معکوس و ضمنی.
قوانین تمایز
هنگام تمایز، یک ثابت را می توان به عنوان مشتق خارج کرد:

قانون تمایز مجموع توابع:

قانون تمایز تفاوت توابع:

قانون تمایز حاصلضرب توابع (قانون لایب نیتس):

قانون تمایز توابع ضریب:

قانون تمایز یک تابع به توان یک تابع دیگر:

قانون تمایز یک تابع پیچیده:

قانون لگاریتمی برای افتراق یک تابع: