โปรแกรมสำหรับวาดลูกบาศก์สี่มิติ ลูกบาศก์ Tesseract และลูกบาศก์ n มิติโดยทั่วไป การหมุนลูกบาศก์สี่มิติ
หากคุณเป็นแฟนภาพยนตร์ Avengers สิ่งแรกที่อาจนึกถึงเมื่อคุณได้ยินคำว่า "Tesseract" คือภาชนะรูปทรงลูกบาศก์โปร่งใสของ Infinity Stone ที่มีพลังอันไร้ขีดจำกัด
สำหรับแฟน ๆ ของ Marvel Universe Tesseract เป็นลูกบาศก์สีน้ำเงินเรืองแสงที่ทำให้ผู้คนไม่เพียงแต่จากโลกเท่านั้น แต่ยังรวมถึงดาวเคราะห์ดวงอื่นด้วย นั่นเป็นสาเหตุที่เหล่าอเวนเจอร์สมารวมตัวกันเพื่อปกป้องมนุษย์โลกจากพลังทำลายล้างอันรุนแรงของเทสเซอร์แรค
อย่างไรก็ตาม จำเป็นต้องกล่าวถึงสิ่งนี้: Tesseract เป็นแนวคิดทางเรขาคณิตที่เกิดขึ้นจริง หรือโดยเฉพาะอย่างยิ่งคือรูปร่างที่มีอยู่ใน 4D มันไม่ใช่แค่ลูกบาศก์สีน้ำเงินจาก Avengers... แต่เป็นคอนเซ็ปต์จริงๆ
Tesseract เป็นวัตถุใน 4 มิติ แต่ก่อนที่เราจะอธิบายแบบละเอียดเรามาเริ่มกันตั้งแต่ต้นก่อน
“การวัด” คืออะไร?
ทุกคนเคยได้ยินคำว่า 2D และ 3D ซึ่งเป็นตัวแทนของวัตถุสองมิติหรือสามมิติตามลำดับในอวกาศ แต่การวัดเหล่านี้คืออะไร?
มิติเป็นเพียงทิศทางที่คุณสามารถไปได้ เช่น หากคุณกำลังวาดเส้นบนกระดาษ คุณสามารถไปทางซ้าย/ขวา (แกน x) หรือขึ้น/ลง (แกน y) เราจึงบอกว่ากระดาษเป็นแบบสองมิติเพราะคุณไปได้เพียงสองทิศทางเท่านั้น
มีมิติความลึกในแบบ 3 มิติ
ตอนนี้ ในโลกแห่งความเป็นจริง นอกเหนือจากสองทิศทางที่กล่าวถึงข้างต้น (ซ้าย/ขวา และขึ้น/ลง) คุณยังสามารถ "ไป/จาก" ได้อีกด้วย ด้วยเหตุนี้ ความรู้สึกถึงความลึกจึงถูกเพิ่มเข้าไปในพื้นที่ 3 มิติ นั่นเป็นเหตุผลที่เราบอกว่าชีวิตจริงมีสามมิติ
จุดสามารถแสดงถึง 0 มิติ (เนื่องจากไม่ได้เคลื่อนที่ไปในทิศทางใดๆ) เส้นแทน 1 มิติ (ความยาว) สี่เหลี่ยมจัตุรัสแทน 2 มิติ (ความยาวและความกว้าง) และลูกบาศก์แทน 3 มิติ (ความยาว ความกว้าง และความสูง) ).
นำลูกบาศก์ 3 มิติมาแทนที่แต่ละหน้า (ซึ่งปัจจุบันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส) ด้วยลูกบาศก์ แล้วไงล่ะ! รูปร่างที่คุณได้รับคือเทสเซอร์แรค
เทสเซอร์แรคต์คืออะไร?
พูดง่ายๆ ก็คือ tesseract คือลูกบาศก์ในปริภูมิ 4 มิติ คุณยังสามารถพูดได้ว่ามันคืออะนาล็อก 4 มิติของลูกบาศก์ นี่คือรูปทรง 4 มิติ โดยแต่ละหน้าเป็นรูปลูกบาศก์
การฉายภาพสามมิติของเทสเซอร์แรคที่ทำการหมุนสองครั้งรอบระนาบตั้งฉากสองระนาบ ภาพ: เจสัน ฮิส
ต่อไปนี้เป็นวิธีง่ายๆ ในการกำหนดกรอบความคิดเกี่ยวกับมิติข้อมูล สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นแบบสองมิติ ดังนั้นแต่ละมุมจึงมีเส้น 2 เส้นยื่นออกมาจากมุม 90 องศาถึงกัน ลูกบาศก์เป็นแบบ 3 มิติ ดังนั้นแต่ละมุมจึงมีเส้น 3 เส้นต่อจากนั้น ในทำนองเดียวกัน เทสเซอร์แรคก็มีรูปร่าง 4 มิติ ดังนั้นแต่ละมุมจึงมีเส้น 4 เส้นขยายออกไป
เหตุใดจึงยากที่จะจินตนาการถึง tesseract?
เนื่องจากเราในฐานะมนุษย์ได้พัฒนาเพื่อให้มองเห็นวัตถุในสามมิติ สิ่งใดก็ตามที่อยู่ในมิติพิเศษ เช่น 4D, 5D, 6D ฯลฯ จึงไม่สมเหตุสมผลสำหรับเรามากนักเพราะเราไม่สามารถทำสิ่งเหล่านี้ได้เลย สมองของเราไม่สามารถเข้าใจมิติที่ 4 ในอวกาศได้ เราไม่สามารถคิดเกี่ยวกับเรื่องนี้ได้
อย่างไรก็ตาม เพียงเพราะเราไม่สามารถเห็นภาพแนวคิดของปริภูมิหลายมิติไม่ได้หมายความว่ามันไม่มีอยู่จริง
ในทางคณิตศาสตร์ เทสเซอร์แรกต์เป็นรูปร่างที่แม่นยำสมบูรณ์แบบ ในทำนองเดียวกัน ทุกรูปแบบในมิติที่สูงกว่า เช่น 5D และ 6D ก็เป็นไปได้ทางคณิตศาสตร์เช่นกัน
เช่นเดียวกับที่ลูกบาศก์สามารถขยายเป็น 6 สี่เหลี่ยมในพื้นที่ 2 มิติได้ เทสเซอร์แรคก็สามารถขยายเป็น 8 ลูกบาศก์ในพื้นที่ 3 มิติได้
น่าประหลาดใจและเข้าใจยากใช่ไหม?
ดังนั้นเทสเซอร์แรคจึงเป็น "แนวคิดที่แท้จริง" ที่เป็นไปได้ในทางคณิตศาสตร์อย่างแน่นอน ไม่ใช่แค่ลูกบาศก์สีฟ้าแวววาวที่ต่อสู้แย่งชิงกันในภาพยนตร์อเวนเจอร์ส
ไฮเปอร์คิวบ์และของแข็งพลาโตนิก
จำลองรูปทรงไอโคซาฮีดรอนที่ถูกตัดทอน (“ลูกฟุตบอล”) ในระบบ “เวกเตอร์”
โดยที่รูปห้าเหลี่ยมแต่ละอันล้อมรอบด้วยรูปหกเหลี่ยม
icosahedron ที่ถูกตัดทอนสามารถทำได้โดยการตัดจุดยอด 12 จุดออกเพื่อสร้างใบหน้าในรูปห้าเหลี่ยมปกติ ในกรณีนี้ จำนวนจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมใหม่เพิ่มขึ้น 5 เท่า (12×5=60) ใบหน้าสามเหลี่ยม 20 หน้าจะกลายเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติ (รวมทั้งหมด ใบหน้ากลายเป็น 20+12=32) ก จำนวนขอบเพิ่มขึ้นเป็น 30+12×5=90.
ขั้นตอนในการสร้าง icosahedron ที่ถูกตัดทอนในระบบเวกเตอร์
ตัวเลขในอวกาศ 4 มิติ
--à
--à
?
ตัวอย่างเช่น ให้ลูกบาศก์และไฮเปอร์คิวบ์ ไฮเปอร์คิวบ์มี 24 ใบหน้า ซึ่งหมายความว่าทรงแปดหน้า 4 มิติจะมีจุดยอด 24 จุด แม้ว่าจะไม่ใช่ แต่ไฮเปอร์คิวบ์ก็มีลูกบาศก์ 8 หน้า แต่ละหน้ามีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดยอด ซึ่งหมายความว่าทรงแปดหน้า 4 มิติจะมีจุดยอด 8 จุด ซึ่งเบากว่าด้วยซ้ำ
ทรงแปดหน้า 4 มิติ. ประกอบด้วยจัตุรมุขด้านเท่ากันหมดแปดด้านและเท่ากัน
เชื่อมต่อกันด้วยสี่จุดยอดแต่ละจุด
ข้าว. ความพยายามที่จะจำลอง
ไฮเปอร์สเฟียร์-ไฮเปอร์สเฟียร์ในระบบเวกเตอร์
หน้า-หลัง-ลูกไม่บิดเบี้ยว. อีกหกลูกสามารถกำหนดได้ผ่านทรงรีหรือพื้นผิวกำลังสอง (ผ่านเส้นชั้นความสูง 4 เส้นเป็นตัวกำเนิด) หรือผ่านใบหน้า (กำหนดครั้งแรกผ่านตัวกำเนิด)
เทคนิคเพิ่มเติมในการ “สร้าง” ไฮเปอร์สเฟียร์
- “ลูกฟุตบอล” แบบเดียวกันในอวกาศ 4 มิติ
ภาคผนวก 2
สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน มีคุณสมบัติที่เกี่ยวข้องกับจำนวนของจุดยอด ขอบ และหน้าของมัน ซึ่งพิสูจน์ในปี 1752 โดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ และเรียกว่าทฤษฎีบทของออยเลอร์
ก่อนที่จะจัดทำสูตร ให้พิจารณารูปทรงหลายเหลี่ยมที่เรารู้จักและกรอกตารางต่อไปนี้ โดยที่ B คือจำนวนจุดยอด ขอบ P และ G - ใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนด:
|
ชื่อรูปทรงหลายเหลี่ยม |
|||
|
ปิรามิดสามเหลี่ยม |
|||
|
ปิรามิดสี่เหลี่ยม |
|||
|
ปริซึมสามเหลี่ยม |
|||
|
ปริซึมสี่เหลี่ยม |
|||
|
ไม่มีปิรามิดถ่านหิน |
n+1 |
2n |
n+1 |
|
ไม่มีปริซึมคาร์บอน |
2n |
3n |
n+2 |
|
ไม่มีถ่านหินถูกตัดทอน ปิรามิด |
2n |
3n |
n+2 |
จากตารางนี้เป็นที่ชัดเจนทันทีว่าสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เลือกทั้งหมดจะมีความเท่าเทียมกัน B - P + G = 2 ปรากฎว่าความเท่าเทียมกันนี้ใช้ได้ไม่เพียง แต่สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้เท่านั้น แต่ยังสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบนูนโดยพลการด้วย
ทฤษฎีบทของออยเลอร์ สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนใดๆ จะมีความเท่าเทียมกัน
ข - พี + จี = 2,
โดยที่ B คือจำนวนจุดยอด P คือจำนวนขอบ และ G คือจำนวนหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนด
การพิสูจน์.เพื่อพิสูจน์ความเท่าเทียมกันนี้ ลองจินตนาการถึงพื้นผิวของรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้ที่ทำจากวัสดุยืดหยุ่น ลองลบ (ตัด) ใบหน้าด้านใดด้านหนึ่งออกแล้วยืดพื้นผิวที่เหลือลงบนเครื่องบิน เราได้รูปหลายเหลี่ยม (เกิดจากขอบของใบหน้าที่ถูกถอดออกของรูปทรงหลายเหลี่ยม) โดยแบ่งออกเป็นรูปหลายเหลี่ยมขนาดเล็กกว่า (เกิดจากใบหน้าที่เหลือของรูปทรงหลายเหลี่ยม)
โปรดทราบว่ารูปหลายเหลี่ยมสามารถเปลี่ยนรูป ขยาย ลดขนาด หรือแม้แต่ทำให้ด้านข้างโค้งงอได้ ตราบใดที่ไม่มีช่องว่างด้านข้าง จำนวนจุดยอด ขอบ และใบหน้าจะไม่เปลี่ยนแปลง
ให้เราพิสูจน์ว่าผลลัพธ์ของการแบ่งรูปหลายเหลี่ยมเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีขนาดเล็กกว่านั้นเป็นไปตามความเท่าเทียมกัน
(*)B - P + G " = 1,
โดยที่ B คือจำนวนจุดยอดทั้งหมด P คือจำนวนขอบทั้งหมด และ Г " คือจำนวนรูปหลายเหลี่ยมที่รวมอยู่ในพาร์ติชัน เห็นได้ชัดว่า Г " = Г - 1 โดยที่ Г คือจำนวนหน้าของที่กำหนด รูปทรงหลายเหลี่ยม
ให้เราพิสูจน์ว่าความเท่าเทียมกัน (*) จะไม่เปลี่ยนแปลงหากมีการลากเส้นทแยงมุมเป็นรูปหลายเหลี่ยมของพาร์ติชันที่กำหนด (รูปที่ 5, a) หลังจากวาดเส้นทแยงมุมดังกล่าวแล้ว พาร์ติชันใหม่จะมีจุดยอด B ขอบ P+1 และจำนวนรูปหลายเหลี่ยมจะเพิ่มขึ้นหนึ่งอัน ดังนั้นเราจึงมี
B - (P + 1) + (G "+1) = B – P + G " .
เมื่อใช้คุณสมบัตินี้ เราจะวาดเส้นทแยงมุมเพื่อแบ่งรูปหลายเหลี่ยมขาเข้าออกเป็นรูปสามเหลี่ยม และสำหรับพาร์ติชันผลลัพธ์ เราจะแสดงความเป็นไปได้ของความเท่าเทียมกัน (*) (รูปที่ 5, b) ในการทำเช่นนี้ เราจะลบขอบภายนอกตามลำดับ เพื่อลดจำนวนรูปสามเหลี่ยม ในกรณีนี้เป็นไปได้สองกรณี:
ก) เพื่อลบรูปสามเหลี่ยม เอบีซีในกรณีของเราจำเป็นต้องถอดซี่โครงสองซี่ออก เอบีและ บี.ซี.;
b) เพื่อลบรูปสามเหลี่ยมเอ็มเคเอ็นในกรณีของเราจำเป็นต้องลบขอบด้านหนึ่งออกมน.
ในทั้งสองกรณี ความเท่าเทียมกัน (*) จะไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น ในกรณีแรก หลังจากลบสามเหลี่ยมออกแล้ว กราฟจะประกอบด้วยจุดยอด B - 1, P - 2 ขอบ และ G " - 1 รูปหลายเหลี่ยม:
(B - 1) - (P + 2) + (G " – 1) = B – P + G "
พิจารณากรณีที่สองด้วยตัวคุณเอง
ดังนั้น การลบสามเหลี่ยมออกหนึ่งอันจะไม่เปลี่ยนความเท่าเทียมกัน (*) ดำเนินการตามขั้นตอนการลบรูปสามเหลี่ยมนี้ต่อไป ในที่สุดเราก็จะมาถึงฉากกั้นที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมรูปเดียว สำหรับพาร์ติชันดังกล่าว B = 3, P = 3, Г " = 1 และดังนั้น B – Р + Г " = 1 ซึ่งหมายความว่าความเท่าเทียมกัน (*) ยังคงอยู่สำหรับพาร์ติชันดั้งเดิมซึ่งในที่สุดเราก็ได้รับสิ่งนั้น สำหรับพาร์ติชั่นของความเท่าเทียมกันของรูปหลายเหลี่ยม (*) นี้เป็นจริง ดังนั้น สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนดั้งเดิม ความเท่าเทียมกัน B - P + G = 2 เป็นจริง
ตัวอย่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งไม่มีความสัมพันธ์ของออยเลอร์แสดงในรูปที่ 6 รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้มีจุดยอด 16 จุด ขอบ 32 ด้าน และหน้า 16 หน้า ดังนั้น สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมนี้ ความเท่าเทียมกัน B – P + G = 0 ยังคงอยู่
ภาคผนวก 3
Film Cube 2: Hypercube เป็นภาพยนตร์นิยายวิทยาศาสตร์ ซึ่งเป็นภาคต่อของภาพยนตร์เรื่อง Cube
คนแปลกหน้าแปดคนตื่นขึ้นมาในห้องรูปทรงลูกบาศก์ ห้องพักต่างๆ ตั้งอยู่ภายในไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ ห้องต่างๆ มีการเคลื่อนที่อย่างต่อเนื่องผ่าน "การเทเลพอร์ตควอนตัม" และหากคุณปีนเข้าไปในห้องถัดไป ก็ไม่น่าจะกลับไปที่ห้องก่อนหน้าได้ โลกคู่ขนานตัดกันในไฮเปอร์คิวบ์ เวลาผ่านไปไม่เหมือนกันในบางห้อง และบางห้องเป็นกับดักแห่งความตาย
เนื้อเรื่องของภาพยนตร์เรื่องนี้เน้นย้ำเรื่องราวของภาคแรกเป็นส่วนใหญ่ซึ่งสะท้อนให้เห็นในภาพของตัวละครบางตัวด้วย Rosenzweig ผู้ได้รับรางวัลโนเบล ผู้คำนวณเวลาที่แน่นอนในการทำลายไฮเปอร์คิวบ์ เสียชีวิตในห้องของไฮเปอร์คิวบ์.
การวิพากษ์วิจารณ์
หากในภาคแรกผู้คนที่ถูกขังอยู่ในเขาวงกตพยายามช่วยเหลือซึ่งกันและกัน ในหนังเรื่องนี้ ทุกคนก็เพื่อตัวเขาเอง มีเอฟเฟกต์พิเศษที่ไม่จำเป็นมากมาย (หรือที่เรียกว่ากับดัก) ที่ไม่สามารถเชื่อมโยงส่วนนี้ของภาพยนตร์กับส่วนก่อนหน้าได้อย่างมีเหตุผล นั่นคือปรากฎว่าภาพยนตร์เรื่อง Cube 2 เป็นเขาวงกตในอนาคตปี 2563-2573 แต่ไม่ใช่ปี 2543 ในส่วนแรกตามทฤษฎีแล้วบุคคลสามารถสร้างกับดักทุกประเภทได้ ในส่วนที่สอง กับดักเหล่านี้คือโปรแกรมคอมพิวเตอร์ชนิดหนึ่งที่เรียกว่า "ความจริงเสมือน"
จุด (±1, ±1, ±1, ±1) กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันสามารถแสดงเป็นชุดต่อไปนี้:
เทสเซอร์แรกนั้นถูกจำกัดด้วยไฮเปอร์เพลนแปดอัน ซึ่งจุดตัดของเทสเซอร์แรกนั้นกำหนดใบหน้าสามมิติของมัน (ซึ่งเป็นลูกบาศก์ธรรมดา) ใบหน้า 3 มิติที่ไม่ขนานกันแต่ละคู่จะตัดกันเพื่อสร้างใบหน้า 2 มิติ (สี่เหลี่ยม) และอื่นๆ ในที่สุด tesseract มีใบหน้า 3 มิติ 8 หน้า, 2D 24 หน้า, 32 ขอบ และ 16 จุดยอด
คำอธิบายยอดนิยม
ลองจินตนาการว่าไฮเปอร์คิวบ์จะมีลักษณะอย่างไรโดยไม่ทิ้งพื้นที่สามมิติ
ใน "ช่องว่าง" หนึ่งมิติ - บนเส้น - เราเลือกส่วน AB ที่มีความยาว L บนระนาบสองมิติที่ระยะ L จาก AB เราวาดส่วน DC ขนานไปกับมันและเชื่อมต่อปลายทั้งสองเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือ CDBA สี่เหลี่ยมจัตุรัส ทำซ้ำการดำเนินการนี้กับเครื่องบิน เราจะได้ลูกบาศก์สามมิติ CDBAGHFE และโดยการขยับลูกบาศก์ในมิติที่สี่ (ตั้งฉากกับสามตัวแรก) ด้วยระยะห่าง L เราจะได้ไฮเปอร์คิวบ์ CDBAGHFEKLJIOPNM
การสร้างเทสเซอร์แรคบนเครื่องบิน
AB ส่วนด้านเดียวทำหน้าที่เป็นด้านข้างของ CDBA สี่เหลี่ยมจัตุรัสสองมิติ สี่เหลี่ยมจัตุรัส - เป็นด้านข้างของลูกบาศก์ CDBAGHFE ซึ่งในทางกลับกัน จะเป็นด้านข้างของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ ส่วนของเส้นตรงมีขอบเขต 2 จุด สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีจุดยอด 4 จุด ลูกบาศก์มี 8 จุด ในไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ จะมีจุดยอด 16 จุด โดยเป็น 8 จุดยอดของลูกบาศก์เดิม และ 8 จุดยอดเลื่อนไปในมิติที่ 4 มีขอบ 32 ด้าน แต่ละด้านมี 12 ด้านเป็นตำแหน่งเริ่มต้นและจุดสุดท้ายของลูกบาศก์เดิม และอีก 8 ขอบจะ "วาด" จุดยอดทั้ง 8 จุด ซึ่งได้ย้ายไปยังมิติที่สี่แล้ว การให้เหตุผลแบบเดียวกันนี้สามารถทำได้กับใบหน้าของไฮเปอร์คิวบ์ ในพื้นที่สองมิติจะมีเพียงหน้าเดียว (ตัวสี่เหลี่ยมจัตุรัสเอง) ลูกบาศก์มี 6 หน้า (หน้าสองหน้าจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกย้าย และอีกสี่หน้าซึ่งอธิบายด้านของมัน) ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติมีหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัส 24 หน้า โดยเป็นลูกบาศก์ดั้งเดิม 12 หน้าในสองตำแหน่ง และ 12 หน้าจากขอบทั้งสิบสอง
เช่นเดียวกับด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีส่วนในหนึ่งมิติ 4 ส่วน และด้านข้าง (หน้า) ของลูกบาศก์ก็มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองมิติ 6 ชิ้น ดังนั้นสำหรับ "ลูกบาศก์สี่มิติ" (เทสเซอร์แรค) ด้านข้างจึงมีลูกบาศก์สามมิติ 8 ชิ้น . ช่องว่างของลูกบาศก์เทสเซอร์แรกต์คู่ตรงข้าม (นั่นคือ ช่องว่างสามมิติที่มีลูกบาศก์เหล่านี้อยู่) จะขนานกัน ในรูปเหล่านี้คือลูกบาศก์: CDBAGHFE และ KLJIOPNM, CDBAKLJI และ GHFEOPNM, EFBAMNJI และ GHDCOPLK, CKIAGOME และ DLJBHPNF
ในทำนองเดียวกัน เราสามารถให้เหตุผลต่อไปสำหรับไฮเปอร์คิวบ์ในจำนวนมิติที่มากขึ้นได้ แต่มันก็น่าสนใจกว่ามากที่จะเห็นว่าไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติจะมองหาเราผู้อาศัยอยู่ในอวกาศสามมิติอย่างไร สำหรับสิ่งนี้เราจะใช้วิธีการเปรียบเทียบที่คุ้นเคยอยู่แล้ว
ลองใช้ลูกบาศก์ลวด ABCDHEFG แล้วมองด้วยตาข้างเดียวจากด้านข้างของขอบ เราจะเห็นและสามารถวาดสี่เหลี่ยมสองอันบนระนาบ (ขอบใกล้และไกล) เชื่อมต่อกันด้วยเส้นสี่เส้น - ขอบด้านข้าง ในทำนองเดียวกัน ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติในพื้นที่สามมิติจะมีลักษณะเหมือน "กล่อง" ลูกบาศก์สองลูกบาศก์ที่เสียบเข้าด้วยกันและเชื่อมต่อกันด้วยขอบแปดด้าน ในกรณีนี้ "กล่อง" เอง - ใบหน้าสามมิติ - จะถูกฉายลงบนพื้นที่ "ของเรา" และเส้นที่เชื่อมต่อกันจะยืดออกไปในทิศทางของแกนที่สี่ คุณยังสามารถลองจินตนาการถึงลูกบาศก์ที่ไม่ได้อยู่ในการฉายภาพ แต่อยู่ในภาพเชิงพื้นที่
เช่นเดียวกับลูกบาศก์สามมิติที่ถูกสร้างขึ้นจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกเลื่อนไปตามความยาวของหน้ามัน ลูกบาศก์ที่ถูกเลื่อนเข้าไปในมิติที่สี่ก็จะก่อให้เกิดไฮเปอร์คิวบ์ มันถูกจำกัดด้วยแปดลูกบาศก์ ซึ่งเมื่อมองจากมุมมองจะดูเหมือนร่างที่ค่อนข้างซับซ้อน ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิตินั้นประกอบด้วยลูกบาศก์จำนวนอนันต์ เช่นเดียวกับลูกบาศก์สามมิติที่สามารถ "ตัด" ให้เป็นสี่เหลี่ยมแบนจำนวนอนันต์ได้
ด้วยการตัดใบหน้าทั้งหกของลูกบาศก์สามมิติ คุณสามารถแยกย่อยมันให้เป็นรูปแบน - การพัฒนา มันจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ที่แต่ละด้านของใบหน้าเดิม บวกอีกหนึ่งอัน - หน้าที่อยู่ตรงข้ามกัน และการพัฒนาสามมิติของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติจะประกอบด้วยลูกบาศก์ดั้งเดิม หกลูกบาศก์ "เติบโต" จากนั้นบวกอีกหนึ่งก้อน - "ไฮเปอร์เฟซ" สุดท้าย
คุณสมบัติของเทสเซอร์แรกต์แสดงถึงความต่อเนื่องของคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตที่มีมิติต่ำกว่าในปริภูมิสี่มิติ
การคาดการณ์
สู่อวกาศสองมิติ
โครงสร้างนี้เป็นเรื่องยากที่จะจินตนาการได้ แต่ก็เป็นไปได้ที่จะฉายภาพเทสเซอร์แร็กต์ลงในช่องว่างสองมิติหรือสามมิติ นอกจากนี้ การฉายภาพบนเครื่องบินทำให้ง่ายต่อการเข้าใจตำแหน่งของจุดยอดของไฮเปอร์คิวบ์ ด้วยวิธีนี้ จึงเป็นไปได้ที่จะได้ภาพที่ไม่สะท้อนความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ภายในเทสเซอร์แรคอีกต่อไป แต่แสดงให้เห็นโครงสร้างการเชื่อมต่อจุดยอด ดังตัวอย่างต่อไปนี้:
รูปภาพที่สามแสดงเทสเซอร์แรคในไอโซเมตรี สัมพันธ์กับจุดก่อสร้าง การเป็นตัวแทนนี้เป็นที่สนใจเมื่อใช้เทสเซอร์แรคเป็นพื้นฐานสำหรับเครือข่ายทอพอโลยีเพื่อเชื่อมโยงโปรเซสเซอร์หลายตัวในการคำนวณแบบขนาน
สู่อวกาศสามมิติ
หนึ่งในเส้นโครงของเทสเซอร์แรคบนอวกาศสามมิติแสดงถึงลูกบาศก์สามมิติที่ซ้อนกันสองลูกบาศก์ จุดยอดที่สอดคล้องกันซึ่งเชื่อมต่อกันด้วยเซ็กเมนต์ ลูกบาศก์ด้านในและด้านนอกมีขนาดแตกต่างกันในพื้นที่สามมิติ แต่ในพื้นที่สี่มิติจะมีขนาดเท่ากัน เพื่อให้เข้าใจถึงความเท่าเทียมกันของลูกบาศก์เทสเซอร์แรคทั้งหมด จึงได้สร้างแบบจำลองเทสเซอร์แรคแบบหมุนได้ถูกสร้างขึ้น
|
|
- ปิรามิดที่ถูกตัดทอนทั้ง 6 ชิ้นตามขอบของเทสเซอร์แรคคือภาพที่มีลูกบาศก์ 6 ลูกบาศก์เท่ากัน อย่างไรก็ตาม ลูกบาศก์เหล่านี้มีลักษณะเป็น tesseract ในขณะที่สี่เหลี่ยม (ใบหน้า) มีลักษณะเป็นลูกบาศก์ แต่ในความเป็นจริงแล้ว เทสเซอร์แรกต์สามารถแบ่งออกเป็นลูกบาศก์จำนวนอนันต์ได้ เช่นเดียวกับที่ลูกบาศก์สามารถแบ่งออกเป็นจำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นจำนวนอนันต์ หรือสี่เหลี่ยมจัตุรัสให้กลายเป็นส่วนจำนวนอนันต์
การฉายภาพเทสเซอร์แรกต์ที่น่าสนใจอีกภาพหนึ่งบนอวกาศสามมิติคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีเส้นทแยงมุมสี่เส้นเชื่อมต่อคู่ของจุดยอดที่อยู่ตรงข้ามกันที่มุมขนาดใหญ่ของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน ในกรณีนี้ จุดยอด 14 จุดจากทั้งหมด 16 จุดของเทสเซอร์แรคถูกฉายเข้าไปในจุดยอด 14 จุดของรูปทรงสิบสองหน้าขนมเปียกปูน และอีก 2 จุดที่เหลือจะฉายตรงตรงกลาง ในการฉายภาพลงในพื้นที่สามมิติ ความเท่าเทียมกันและความขนานของด้านหนึ่งมิติ สองมิติ และสามมิติทั้งหมดจะยังคงอยู่
คู่สเตอริโอ
คู่สเตอริโอของเทสเซอร์แรคจะแสดงเป็นภาพฉายสองภาพบนพื้นที่สามมิติ รูปภาพของเทสเซอร์แรกต์นี้ได้รับการออกแบบเพื่อแสดงความลึกเป็นมิติที่สี่ คู่สเตอริโอจะถูกมองเพื่อให้ตาแต่ละข้างมองเห็นเพียงภาพเดียวเท่านั้น ภาพสามมิติจะปรากฏขึ้นเพื่อสร้างความลึกของเทสเซอร์แร็กต์
การแกะ Tesseract
พื้นผิวของลูกบาศก์สามารถคลี่ออกได้เป็นแปดลูกบาศก์ (คล้ายกับวิธีที่พื้นผิวของลูกบาศก์สามารถคลี่ออกเป็นหกสี่เหลี่ยม) มีการออกแบบเทสเซอร์แรคที่แตกต่างกันถึง 261 แบบ การคลี่เทสเซอร์แรคสามารถคำนวณได้โดยการวางแผนมุมที่เชื่อมต่อกันบนกราฟ
Tesseract ในงานศิลปะ
- ใน "New Abbott Plain" ของ Edwina A. ไฮเปอร์คิวบ์ทำหน้าที่เป็นผู้บรรยาย
- ในตอนหนึ่งของ The Adventures of Jimmy Neutron "อัจฉริยะเด็ก" จิมมี่ประดิษฐ์ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติที่เหมือนกับกล่องพับจากนวนิยายเรื่อง Glory Road (1963) โดย Robert Heinlein
- Robert E. Heinlein ได้กล่าวถึงไฮเปอร์คิวบ์ในเรื่องราวนิยายวิทยาศาสตร์อย่างน้อยสามเรื่อง ใน "บ้านสี่มิติ" ("บ้านที่สร้างด้วยนกเป็ดน้ำ") เขาบรรยายถึงบ้านที่สร้างขึ้นเป็นเทสเซอร์แรคที่ยังไม่ได้ห่อ จากนั้นเนื่องจากแผ่นดินไหว จึง "พับ" ในมิติที่สี่และกลายเป็นเทสเซอร์แรค "ของจริง" .
- Glory Road นวนิยายของไฮน์ไลน์ บรรยายถึงกล่องไฮเปอร์ไซส์ที่ด้านในใหญ่กว่าด้านนอก
- เรื่องราวของ Henry Kuttner "All Tenali Borogov" บรรยายถึงของเล่นเพื่อการศึกษาสำหรับเด็กจากอนาคตอันไกลโพ้นซึ่งมีโครงสร้างคล้ายกับ tesseract
- ในนวนิยายของอเล็กซ์ การ์แลนด์ () คำว่า "tesseract" ใช้สำหรับการแฉสามมิติของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ แทนที่จะเป็นไฮเปอร์คิวบ์เอง นี่เป็นคำเปรียบเทียบที่ออกแบบมาเพื่อแสดงให้เห็นว่าระบบการรับรู้จะต้องกว้างกว่าที่รู้ได้
- เนื้อเรื่องของ Cube 2: Hypercube มีศูนย์กลางอยู่ที่คนแปลกหน้าแปดคนที่ติดอยู่ใน "ไฮเปอร์คิวบ์" หรือเครือข่ายของลูกบาศก์ที่เชื่อมต่อกัน
- ซีรีส์ทางโทรทัศน์เรื่อง Andromeda ใช้เครื่องกำเนิดเทสเซอร์แรคเป็นอุปกรณ์พล็อต ได้รับการออกแบบมาเพื่อควบคุมพื้นที่และเวลาเป็นหลัก
- จิตรกรรม “การตรึงกางเขน” (Corpus Hypercubus) โดย Salvador Dali ()
- หนังสือการ์ตูน Nextwave บรรยายถึงยานพาหนะที่มีโซนเทสเซอร์แรค 5 โซน
- ในอัลบั้ม Voivod Nothingface หนึ่งในผลงานมีชื่อว่า "In my hypercube"
- ในนวนิยาย Route Cube ของ Anthony Pearce ดวงจันทร์ดวงหนึ่งที่กำลังโคจรอยู่ของสมาคมการพัฒนาระหว่างประเทศเรียกว่าเทสเซอร์แรคต์ที่ถูกบีบอัดเป็น 3 มิติ
- ในซีรีส์เรื่อง "Black Hole School" ในฤดูกาลที่สามมีตอน "Tesseract" ลูคัสกดปุ่มลับ และโรงเรียนก็เริ่ม "มีรูปร่างเหมือนเทสเซอร์แรคทางคณิตศาสตร์"
- คำว่า "tesseract" และอนุพันธ์ของ "tesseract" มีอยู่ในเรื่องราวของ Madeleine L'Engle เรื่อง "A Wrinkle in Time"
- TesseracT เป็นชื่อวงดนตรีดีเจจากอังกฤษ
- ในภาพยนตร์ซีรีส์ Marvel Cinematic Universe เทสเซอร์แรคเป็นองค์ประกอบสำคัญในโครงเรื่อง ซึ่งเป็นสิ่งประดิษฐ์เกี่ยวกับจักรวาลที่มีรูปร่างเป็นไฮเปอร์คิวบ์
- ในเรื่องราวของ Robert Sheckley เรื่อง "Miss Mouse and the Fourth Dimension" นักเขียนลึกลับซึ่งเป็นคนรู้จักของผู้เขียนพยายามดู tesseract โดยจ้องไปที่อุปกรณ์ที่เขาออกแบบเป็นเวลาหลายชั่วโมง: ลูกบอลบนขาที่มีแท่งติดอยู่ ซึ่งลูกบาศก์ถูกติดตั้งไว้ วางทับด้วยสัญลักษณ์ลึกลับทุกประเภท เรื่องราวกล่าวถึงงานของฮินตัน
- ในภาพยนตร์เรื่อง The First Avenger, The Avengers Tesseract - พลังงานของจักรวาลทั้งหมด
ชื่ออื่น
- เฮกซาเดคาโชรอน เฮกซาเดคาโชรอน)
- ออคโทโครอน (อังกฤษ) ออคโครอน)
- เตตราคิวบ์
- 4-คิวบ์
- ไฮเปอร์คิวบ์ (หากไม่ได้ระบุจำนวนมิติ)
หมายเหตุ
วรรณกรรม
- ชาร์ลส์ เอช. ฮินตัน. มิติที่สี่ พ.ศ. 2447 ISBN 0-405-07953-2
- มาร์ติน การ์ดเนอร์ งานคาร์นิวัลคณิตศาสตร์ พ.ศ. 2520 ISBN 0-394-72349-X
- เอียน สจ๊วต แนวคิดคณิตศาสตร์สมัยใหม่ พ.ศ. 2538 ISBN 0-486-28424-7
ลิงค์
ในภาษารัสเซีย- โปรแกรม Transformer4D การสร้างแบบจำลองของการฉายภาพสามมิติของวัตถุสี่มิติ (รวมถึงไฮเปอร์คิวบ์)
- โปรแกรมที่ใช้การสร้าง tesseract และการแปลงความสัมพันธ์ทั้งหมดด้วยซอร์สโค้ดในภาษา C++
เป็นภาษาอังกฤษ
- Mushware Limited - โปรแกรมเอาท์พุต tesseract ( เทสเซอร์แรค เทรนเนอร์, ลิขสิทธิ์ที่เข้ากันได้กับ GPLv2) และเกมยิงมุมมองบุคคลที่หนึ่งในพื้นที่สี่มิติ ( อดานาซิส; กราฟิกส่วนใหญ่เป็นสามมิติ มีเวอร์ชัน GPL ในที่เก็บระบบปฏิบัติการ)
| รูปทรงหลายเหลี่ยม | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ถูกต้อง (ของแข็งสงบ) |
|||||||||
| รูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาว รูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาว รูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาว 8 หน้า | |||||||||
| นูน |
|
||||||||
| สูตร ทฤษฎีบท ทฤษฎี |
|||||||||
| อื่น | |||||||||
Tesseract เป็นไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ - ลูกบาศก์ในอวกาศสี่มิติ
ตามพจนานุกรม Oxford คำว่า tesseract ได้รับการประกาศเกียรติคุณและใช้ในปี พ.ศ. 2431 โดย Charles Howard Hinton (พ.ศ. 2396-2450) ในหนังสือของเขา A New Age of Thought ต่อมาบางคนเรียกร่างเดียวกันว่า tetracube (กรีก τετρα - สี่) - ลูกบาศก์สี่มิติ
เทสเซอร์แรคธรรมดาในปริภูมิสี่มิติแบบยุคลิดถูกกำหนดให้เป็นจุดนูน (±1, ±1, ±1, ±1) กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันสามารถแสดงเป็นชุดต่อไปนี้:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = เทสเซอร์แรคถูกจำกัดด้วยไฮเปอร์เพลนแปดอัน x_i= +- 1, i=1,2,3,4 ซึ่งเป็นจุดตัดกัน โดยที่ tesseract จะกำหนดใบหน้า 3 มิติ (ซึ่งเป็นลูกบาศก์ปกติ) แต่ละคู่ของใบหน้า 3 มิติที่ไม่ขนานกันจะตัดกันเพื่อสร้างใบหน้า 2 มิติ (สี่เหลี่ยม) เป็นต้น ในที่สุด tesseract จะมีใบหน้า 3 มิติ 8 ใบหน้า 24 ใบหน้า 2 มิติ 32 ขอบ และ 16 หน้า จุดยอด
คำอธิบายยอดนิยม
ลองจินตนาการว่าไฮเปอร์คิวบ์จะมีลักษณะอย่างไรโดยไม่ทิ้งพื้นที่สามมิติ
ใน "ช่องว่าง" หนึ่งมิติ - บนเส้น - เราเลือกส่วน AB ที่มีความยาว L บนระนาบสองมิติที่ระยะ L จาก AB เราวาดส่วน DC ขนานไปกับมันและเชื่อมต่อปลายทั้งสองเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์ที่ได้คือ CDBA สี่เหลี่ยมจัตุรัส ทำซ้ำการดำเนินการนี้กับเครื่องบิน เราจะได้ลูกบาศก์สามมิติ CDBAGHFE และโดยการขยับลูกบาศก์ในมิติที่สี่ (ตั้งฉากกับสามตัวแรก) ด้วยระยะห่าง L เราจะได้ไฮเปอร์คิวบ์ CDBAGHFEKLJIOPNM
AB ส่วนด้านเดียวทำหน้าที่เป็นด้านข้างของ CDBA สี่เหลี่ยมจัตุรัสสองมิติ สี่เหลี่ยมจัตุรัส - เป็นด้านข้างของลูกบาศก์ CDBAGHFE ซึ่งในทางกลับกัน จะเป็นด้านข้างของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ ส่วนของเส้นตรงมีขอบเขต 2 จุด สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีจุดยอด 4 จุด ลูกบาศก์มี 8 จุด ในไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติ จะมีจุดยอด 16 จุด โดยเป็น 8 จุดยอดของลูกบาศก์เดิม และ 8 จุดยอดเลื่อนไปในมิติที่ 4 มีขอบ 32 ด้าน แต่ละด้านมี 12 ด้านเป็นตำแหน่งเริ่มต้นและจุดสุดท้ายของลูกบาศก์เดิม และอีก 8 ขอบจะ "วาด" จุดยอดทั้ง 8 จุด ซึ่งได้ย้ายไปยังมิติที่สี่แล้ว การให้เหตุผลแบบเดียวกันนี้สามารถทำได้กับใบหน้าของไฮเปอร์คิวบ์ ในพื้นที่สองมิติจะมีเพียงหน้าเดียว (ตัวสี่เหลี่ยมจัตุรัสเอง) ลูกบาศก์มี 6 หน้า (หน้าสองหน้าจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกย้าย และอีกสี่หน้าซึ่งอธิบายด้านของมัน) ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติมีหน้าสี่เหลี่ยมจัตุรัส 24 หน้า โดยเป็นลูกบาศก์ดั้งเดิม 12 หน้าในสองตำแหน่ง และ 12 หน้าจากขอบทั้งสิบสอง
เช่นเดียวกับด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีส่วนในหนึ่งมิติ 4 ส่วน และด้านข้าง (หน้า) ของลูกบาศก์ก็มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสสองมิติ 6 ชิ้น ดังนั้นสำหรับ "ลูกบาศก์สี่มิติ" (เทสเซอร์แรค) ด้านข้างจึงมีลูกบาศก์สามมิติ 8 ชิ้น . ช่องว่างของลูกบาศก์เทสเซอร์แรกต์คู่ตรงข้าม (นั่นคือ ช่องว่างสามมิติที่มีลูกบาศก์เหล่านี้อยู่) จะขนานกัน ในรูปเหล่านี้คือลูกบาศก์: CDBAGHFE และ KLJIOPNM, CDBAKLJI และ GHFEOPNM, EFBAMNJI และ GHDCOPLK, CKIAGOME และ DLJBHPNF
ในทำนองเดียวกัน เราสามารถให้เหตุผลต่อไปสำหรับไฮเปอร์คิวบ์ในจำนวนมิติที่มากขึ้นได้ แต่มันก็น่าสนใจกว่ามากที่จะเห็นว่าไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติจะมองหาเราผู้อาศัยอยู่ในอวกาศสามมิติอย่างไร สำหรับสิ่งนี้เราจะใช้วิธีการเปรียบเทียบที่คุ้นเคยอยู่แล้ว
ลองใช้ลูกบาศก์ลวด ABCDHEFG แล้วมองด้วยตาข้างเดียวจากด้านข้างของขอบ เราจะเห็นและสามารถวาดสี่เหลี่ยมสองอันบนระนาบ (ขอบใกล้และไกล) เชื่อมต่อกันด้วยเส้นสี่เส้น - ขอบด้านข้าง ในทำนองเดียวกัน ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติในพื้นที่สามมิติจะมีลักษณะเหมือน "กล่อง" ลูกบาศก์สองลูกบาศก์ที่เสียบเข้าด้วยกันและเชื่อมต่อกันด้วยขอบแปดด้าน ในกรณีนี้ "กล่อง" เอง - ใบหน้าสามมิติ - จะถูกฉายลงบนพื้นที่ "ของเรา" และเส้นที่เชื่อมต่อกันจะยืดออกไปในทิศทางของแกนที่สี่ คุณยังสามารถลองจินตนาการถึงลูกบาศก์ที่ไม่ได้อยู่ในการฉายภาพ แต่อยู่ในภาพเชิงพื้นที่
เช่นเดียวกับลูกบาศก์สามมิติที่ถูกสร้างขึ้นจากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกเลื่อนไปตามความยาวของหน้ามัน ลูกบาศก์ที่ถูกเลื่อนเข้าไปในมิติที่สี่ก็จะก่อให้เกิดไฮเปอร์คิวบ์ มันถูกจำกัดด้วยแปดลูกบาศก์ ซึ่งเมื่อมองจากมุมมองจะดูเหมือนร่างที่ค่อนข้างซับซ้อน ไฮเปอร์คิวบ์สี่มิตินั้นประกอบด้วยลูกบาศก์จำนวนอนันต์ เช่นเดียวกับลูกบาศก์สามมิติที่สามารถ "ตัด" ให้เป็นสี่เหลี่ยมแบนจำนวนอนันต์ได้
ด้วยการตัดใบหน้าทั้งหกของลูกบาศก์สามมิติ คุณสามารถแยกย่อยมันให้เป็นรูปแบน - การพัฒนา มันจะมีสี่เหลี่ยมจัตุรัสอยู่ที่แต่ละด้านของใบหน้าเดิม บวกอีกหนึ่งอัน - หน้าที่อยู่ตรงข้ามกัน และการพัฒนาสามมิติของไฮเปอร์คิวบ์สี่มิติจะประกอบด้วยลูกบาศก์ดั้งเดิม หกลูกบาศก์ "เติบโต" จากนั้นบวกอีกหนึ่งก้อน - "ไฮเปอร์เฟซ" สุดท้าย
คุณสมบัติของเทสเซอร์แรกต์แสดงถึงความต่อเนื่องของคุณสมบัติของรูปทรงเรขาคณิตที่มีมิติต่ำกว่าในปริภูมิสี่มิติ
ในเรขาคณิต ไฮเปอร์คิวบ์- นี้ n- การเปรียบเทียบมิติของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ( n= 2) และลูกบาศก์ ( n= 3) เป็นรูปนูนปิดที่ประกอบด้วยกลุ่มของเส้นคู่ขนานที่อยู่บนขอบด้านตรงข้ามของรูป และเชื่อมต่อกันเป็นมุมฉาก
ตัวเลขนี้เรียกอีกอย่างว่า เทสเซอร์แรค(เทสเซอร์แรคต์). เทสเซอร์แรกต์อยู่ที่ลูกบาศก์ในขณะที่ลูกบาศก์อยู่ที่สี่เหลี่ยมจัตุรัส อย่างเป็นทางการมากขึ้น tesseract สามารถอธิบายได้ว่าเป็นโพลีโทปสี่มิตินูนปกติ (รูปทรงหลายเหลี่ยม) ซึ่งมีขอบเขตประกอบด้วยเซลล์แปดลูกบาศก์
ตามพจนานุกรมภาษาอังกฤษของ Oxford คำว่า "tesseract" ได้รับการประกาศเกียรติคุณในปี พ.ศ. 2431 โดย Charles Howard Hinton และใช้ในหนังสือของเขา "A New Era of Thought" คำนี้มาจากภาษากรีก "τεσσερες ακτινες" ("สี่รังสี") ในรูปแบบของแกนพิกัดสี่แกน นอกจากนี้ในบางแหล่งก็มีการเรียกตัวเลขเดียวกันนี้ เตตราคิวบ์(เตตระคิวบ์).
n-มิติไฮเปอร์คิวบ์เรียกอีกอย่างว่า n-คิวบ์.
จุดคือไฮเปอร์คิวบ์ที่มีมิติ 0 หากคุณเลื่อนจุดตามหน่วยความยาว คุณจะได้ส่วนของความยาวหน่วย - ไฮเปอร์คิวบ์ที่มีมิติ 1 นอกจากนี้ หากคุณเลื่อนจุดนั้นด้วยหน่วยความยาวในทิศทางตั้งฉาก ไปยังทิศทางของเซกเมนต์คุณจะได้ลูกบาศก์ - ไฮเปอร์คิวบ์ของมิติ 2 การเลื่อนสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้วยหน่วยความยาวในทิศทางที่ตั้งฉากกับระนาบของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะได้ลูกบาศก์ - ไฮเปอร์คิวบ์ของมิติ 3 กระบวนการนี้ สามารถสรุปเป็นมิติใดก็ได้ ตัวอย่างเช่น หากคุณย้ายลูกบาศก์หนึ่งหน่วยความยาวในมิติที่สี่ คุณจะได้ค่าเทสเซอร์แรคต์
ตระกูลไฮเปอร์คิวบ์เป็นหนึ่งในรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเพียงไม่กี่ชิ้นที่สามารถแสดงได้ทุกมิติ
องค์ประกอบของไฮเปอร์คิวบ์
มิติไฮเปอร์คิวบ์ nมี 2 n“ด้าน” (เส้นหนึ่งมิติมี 2 จุด สี่เหลี่ยมสองมิติมี 4 ด้าน ลูกบาศก์สามมิติมี 6 หน้า เทสเซอร์แรคต์สี่มิติมี 8 เซลล์) จำนวนจุดยอด (จุด) ของไฮเปอร์คิวบ์คือ 2 n(ตัวอย่างเช่นสำหรับคิวบ์ - 2 3 จุดยอด)
ปริมาณ ม-มิติไฮเปอร์คิวบ์บนขอบเขต n-คิวบ์เท่ากับ
ตัวอย่างเช่น บนขอบเขตของไฮเปอร์คิวบ์จะมีลูกบาศก์ 8 อัน สี่เหลี่ยม 24 อัน ขอบ 32 อัน และจุดยอด 16 อัน
| n-คิวบ์ | ชื่อ | จุดยอด (0-หน้า) |
ขอบ (1 หน้า) |
ขอบ (2 หน้า) |
เซลล์ (3 หน้า) |
(4 หน้า) | (5 หน้า) | (6 ด้าน) | (7 หน้า) | (8 หน้า) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0-คิวบ์ | จุด | 1 | ||||||||
| 1 ลูกบาศก์ | ส่วนของเส้น | 2 | 1 | |||||||
| 2 ลูกบาศก์ | สี่เหลี่ยม | 4 | 4 | 1 | ||||||
| 3 ลูกบาศก์ | คิวบ์ | 8 | 12 | 6 | 1 | |||||
| 4 ลูกบาศก์ | เทสเซอร์แรค | 16 | 32 | 24 | 8 | 1 | ||||
| 5 ลูกบาศก์ | เพนเทอร์แรคท์ | 32 | 80 | 80 | 40 | 10 | 1 | |||
| 6 ลูกบาศก์ | เฮกเซอร์แรคท์ | 64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 1 | ||
| 7 คิวบ์ | เฮปเทอแรคท์ | 128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | 14 | 1 | |
| 8 ลูกบาศก์ | ออคเตแรคท์ | 256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 1 |
| 9 ลูกบาศก์ | เอเนเนอแรคท์ | 512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | 18 |
การฉายภาพบนเครื่องบิน
การก่อตัวของไฮเปอร์คิวบ์สามารถแสดงได้ดังนี้:
- สามารถเชื่อมต่อจุด A และ B สองจุดเพื่อสร้างส่วนของเส้นตรง AB
- ส่วนขนานสองส่วน AB และ CD สามารถต่อกันเป็น ABCD สี่เหลี่ยมจัตุรัสได้
- สามารถเชื่อมต่อสี่เหลี่ยมคู่ขนาน ABCD และ EFGH เข้าด้วยกันเป็นลูกบาศก์ ABCDEFGH
- ลูกบาศก์คู่ขนาน ABCDEFGH และ IJKLMNOP สามารถเชื่อมต่อกันเพื่อสร้างไฮเปอร์คิวบ์ ABCDEFGHIJKLMNOP
โครงสร้างหลังไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะเห็นภาพ แต่สามารถพรรณนาการฉายภาพในพื้นที่สองมิติหรือสามมิติได้ นอกจากนี้ การฉายภาพบนระนาบสองมิติยังมีประโยชน์มากกว่าโดยให้ตำแหน่งของจุดยอดที่ฉายสามารถจัดเรียงใหม่ได้ ในกรณีนี้ เป็นไปได้ที่จะได้ภาพที่ไม่สะท้อนความสัมพันธ์เชิงพื้นที่ขององค์ประกอบภายในเทสเซอร์แรคอีกต่อไป แต่แสดงให้เห็นโครงสร้างของการเชื่อมต่อจุดยอด ดังตัวอย่างด้านล่าง
ภาพประกอบแรกแสดงให้เห็นว่าตามหลักการแล้ว เทสเซอร์แรกต์เกิดขึ้นได้อย่างไรโดยการต่อลูกบาศก์สองลูกเข้าด้วยกัน โครงร่างนี้คล้ายกับโครงร่างการสร้างลูกบาศก์จากสองช่องสี่เหลี่ยม แผนภาพที่สองแสดงว่าขอบทั้งหมดของเทสเซอร์แรกต์มีความยาวเท่ากัน โครงการนี้ยังบังคับให้คุณมองหาลูกบาศก์ที่เชื่อมต่อถึงกัน ในแผนภาพที่สาม จุดยอดของ tesseract จะอยู่ในตำแหน่งตามระยะห่างของใบหน้าที่สัมพันธ์กับจุดด้านล่าง โครงร่างนี้น่าสนใจเนื่องจากใช้เป็นโครงร่างพื้นฐานสำหรับโทโพโลยีเครือข่ายของการเชื่อมต่อโปรเซสเซอร์เมื่อจัดระบบคอมพิวเตอร์แบบขนาน: ระยะห่างระหว่างสองโหนดใดๆ จะต้องไม่เกิน 4 ความยาวขอบ และมีเส้นทางที่แตกต่างกันมากมายสำหรับการปรับสมดุลโหลด
ไฮเปอร์คิวบ์ในงานศิลปะ
ไฮเปอร์คิวบ์ปรากฏในวรรณกรรมนิยายวิทยาศาสตร์มาตั้งแต่ปี 1940 เมื่อ Robert Heinlein ในเรื่อง "And He Built a Crooked House" บรรยายถึงบ้านที่สร้างขึ้นในรูปทรงของการสแกนเทสเซอร์แรค ในเรื่องนี้ This Next บ้านหลังนี้พังทลายลงมากลายเป็นเทสเซอร์แรคสี่มิติ หลังจากนั้นไฮเปอร์คิวบ์ก็ปรากฏในหนังสือและเรื่องสั้นหลายเล่ม
ภาพยนตร์เรื่อง Cube 2: Hypercube เป็นเรื่องราวเกี่ยวกับคนแปดคนที่ติดอยู่ในเครือข่ายของไฮเปอร์คิวบ์
ภาพวาดของซัลวาดอร์ ดาลีเรื่อง "การตรึงกางเขน (คอร์ปัส ไฮเปอร์คิวบัส)" ในปี 1954 แสดงให้เห็นพระเยซูถูกตรึงบนไม้กางเขนด้วยการสแกนเทสเซอร์แรค ภาพวาดนี้สามารถเห็นได้ในพิพิธภัณฑ์ศิลปะเมโทรโพลิทันในนิวยอร์ก
บทสรุป
ไฮเปอร์คิวบ์เป็นหนึ่งในวัตถุสี่มิติที่ง่ายที่สุดซึ่งเราสามารถมองเห็นความซับซ้อนและความแปลกประหลาดของมิติที่สี่ได้ และสิ่งที่ดูเหมือนเป็นไปไม่ได้ในสามมิตินั้นเป็นไปได้ในสี่มิติ เช่น ตัวเลขที่เป็นไปไม่ได้ ตัวอย่างเช่น แท่งของสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ในสี่มิติจะเชื่อมต่อกันเป็นมุมฉาก และตัวเลขนี้จะมีลักษณะเช่นนี้จากทุกมุมมอง และจะไม่บิดเบี้ยว ต่างจากการนำสามเหลี่ยมที่เป็นไปไม่ได้ไปใช้ในพื้นที่สามมิติ (ดู
