Lëkundjet dhe valët. Lëkundjet harmonike Formulat për gjetjen e amplitudës së lëkundjeve

4.2. Konceptet dhe përkufizimet e seksionit "lëkundjet dhe valët"

Ekuacioni i dridhjeve harmonike dhe zgjidhja e tij:

, x=Acos(ω 0t+α ) ,

A– amplituda e lëkundjeve;

α – faza fillestare e lëkundjeve.

Periudha e lëkundjes së një pike materiale që lëkundet nën veprimin e një force elastike:

Ku m– masa e një pike materiale;

k– koeficienti i ngurtësisë.

Periudha e lëkundjes së një lavjerrës matematikor:

Ku l– gjatësia e lavjerrësit;

g= 9,8 m/s 2 – nxitimi i rënies së lirë.

Amplituda e dridhjeve e përftuar duke shtuar dy dridhje harmonike të drejtuara njësoj:

Ku A 1 dhe A 2 – amplituda e komponentëve të vibrimit;

φ 1 dhe φ 2 janë fazat fillestare të përbërësve të lëkundjeve.

Faza fillestare e lëkundjeve përftohet duke shtuar dy lëkundje harmonike të drejtuara njësoj:

.

Ekuacioni i lëkundjeve të amortizuara dhe zgjidhja e tij:

, ,

- frekuenca e lëkundjeve të amortizuara,

këtu ω 0 është frekuenca natyrore e lëkundjeve.

Zvogëlimi logaritmik i amortizimit:

ku β është koeficienti i dobësimit;

– periudha e lëkundjeve të amortizuara.

Faktori i cilësisë së sistemit oscilator:

ku θ është zvogëlimi i zbutjes logaritmike

Ekuacioni i lëkundjeve të detyruara dhe zgjidhja e tij në gjendje të qëndrueshme:

, x=A cos (ω t-φ ),

Ku F 0 – vlera e amplitudës së forcës;

– amplituda e lëkundjeve të amortizuara;

φ= - faza fillestare.

Frekuenca e rezonancës:

,

ku ω 0 – frekuenca ciklike natyrore e lëkundjeve;

β është koeficienti i dobësimit.

Lëkundjet elektromagnetike të amortizuara në një qark të përbërë nga një kapacitetC, induktivitetiLdhe rezistencësR:

,

Ku q– ngarkimi i kondensatorit;

q m– vlera e amplitudës së ngarkesës në kondensator;

β = R/2L- koeficienti i zbutjes,

Këtu R– rezistenca e qarkut;

L– induktiviteti i spirales;

– frekuenca ciklike e lëkundjeve;

këtu ω 0 – frekuenca natyrore e lëkundjeve;

α – faza fillestare e lëkundjeve.

Periudha e lëkundjeve elektromagnetike:

,

Ku ME– kapaciteti i kondensatorit;

L– induktiviteti i spirales;

R– rezistenca e qarkut.

Nëse rezistenca e qarkut është e vogël, atëherë ( R/2L) 2 <<1/L.C., pastaj periudha e lëkundjes:

Gjatësia e valës:

Ku v - shpejtësia e përhapjes së valës;

T– periudha e lëkundjes.

Ekuacioni i valës së rrafshët:

ξ =A cos (ω t-kx),

Ku A- amplituda;

ω – frekuenca ciklike;

– numri i valës.

Ekuacioni i valës sferike:

,

Ku A- amplituda;

ω – frekuenca ciklike;

k– numri i valës;

r– distanca nga qendra e valës deri në pikën e konsideruar në medium.

? Lëkundjet e lira harmonike në qark

Një qark ideal është një qark elektrik i përbërë nga një kondensator i lidhur në seri me një kapacitet ME dhe induktorët L. Sipas ligjit harmonik, voltazhi në pllakat e kondensatorit dhe rryma në induktor do të ndryshojnë.

? Oscilator harmonik. Pranvera, lavjerrëset fizike dhe matematikore, periudhat e lëkundjes së tyre

Oscilator harmonik është çdo sistem fizik që lëkundet. Oscilatorë klasikë - lavjerrëse pranverore, fizike dhe matematikore. Lavjerrësi pranveror - masë masive m, i varur në një sustë plotësisht elastike dhe që kryen lëkundje harmonike nën veprimin e një force elastike. T= . Lavjerrësi fizik është një trup i ngurtë me formë arbitrare që lëkundet nën ndikimin e gravitetit rreth një boshti horizontal që nuk kalon nga qendra e tij e gravitetit. T= . Një lavjerrës matematikor është një sistem i izoluar i përbërë nga një pikë materiale me një masë m, i varur në një fije pa peshë të pazgjatur me gjatësi L, dhe duke u lëkundur nën ndikimin e gravitetit. T= .

? Dridhje mekanike të lira të pamposhtura (ekuacioni, shpejtësia, nxitimi, energjia). Paraqitja grafike e dridhjeve harmonike.

Lëkundjet quhen të lira nëse ndodhin për shkak të energjisë së dhënë fillimisht në mungesën e mëvonshme të ndikimeve të jashtme në sistemin oscilues. Vlera ndryshon sipas ligjit të sinusit ose kosinusit. , S- zhvendosja nga pozicioni i ekuilibrit, A– amplituda, w 0 - frekuenca ciklike, – faza fillestare e lëkundjeve. Shpejtësia, nxitimi. Energji e plotë - E= . Grafikisht - duke përdorur një valë sinus ose kosinus.

? Koncepti i proceseve osciluese. Lëkundjet harmonike dhe karakteristikat e tyre. Periudha, amplituda, frekuenca dhe faza e lëkundjeve. Paraqitja grafike e dridhjeve harmonike.

Proceset periodike që përsëriten me kalimin e kohës quhen osciluese. Lëkundjet periodike, në të cilat koordinata e një trupi ndryshon me kalimin e kohës sipas ligjit të sinusit ose kosinusit, quhen harmonike. Periudha është koha e një lëkundjeje. Amplituda është zhvendosja maksimale e një pike nga pozicioni i saj ekuilibër. Frekuenca është numri i lëkundjeve të plota për njësi të kohës. Faza është një sasi nën shenjën e sinusit ose kosinusit. Ekuacioni: , Këtu S- një sasi që karakterizon gjendjen e një sistemi oscilues - frekuenca ciklike. Grafikisht - duke përdorur një valë sinus ose kosinus.

? Lëkundjet e amortizuara. Ekuacioni diferencial i këtyre lëkundjeve. Zvogëlimi logaritmik i amortizimit, koha e relaksimit, faktori i cilësisë.

Lëkundjet, amplituda e të cilave zvogëlohet me kalimin e kohës, për shembull, për shkak të fërkimit. Ekuacioni: , Këtu S- një sasi që karakterizon gjendjen e një sistemi oscilues, - frekuencë ciklike, - koeficienti i amortizimit. Zvogëlimi i amortizimit logaritmik, ku N– numri i lëkundjeve të përfunduara gjatë uljes së amplitudës në N një herë. Koha e relaksimit t - gjatë së cilës amplituda zvogëlohet për e herë. Faktori i cilësisë Q= .

? Lëkundjet e detyruara të pamposhtura. Ekuacioni diferencial i këtyre lëkundjeve. Çfarë është rezonanca? Amplituda dhe faza e lëkundjeve të detyruara.

Nëse humbja e energjisë së lëkundjeve, që çon në amortizimin e tyre, kompensohet plotësisht, krijohen lëkundje të pamposhtura. Ekuacioni: . Këtu ana e djathtë është ndikimi i jashtëm që ndryshon sipas ligjit harmonik. Nëse frekuenca natyrore e lëkundjeve të sistemit përkon me atë të jashtme, ndodh rezonanca - një rritje e mprehtë e amplitudës së sistemit. Amplituda , .

? Përshkruani shtimin e dridhjeve të të njëjtit drejtim dhe të së njëjtës frekuencë, dridhje reciproke pingule. Çfarë janë beats?

Amplituda e lëkundjes që rezulton nga shtimi i dy lëkundjeve harmonike të të njëjtit drejtim dhe të së njëjtës frekuencë është këtu A– amplituda, j – faza fillestare. Faza fillestare e lëkundjes që rezulton . Lëkundjet reciproke pingule - ekuacioni i trajektores , Këtu A Dhe NË amplituda e lëkundjeve të shtuara, diferenca e fazës j.

? Përshkruani lëkundjet e relaksimit; vetëlëkundjet.

Relaksimi - vetë-lëkundje, fort të ndryshme në formë nga ato harmonike, për shkak të shpërndarjes së konsiderueshme të energjisë në sistemet vetëlëkundëse (fërkimi në sistemet mekanike). Vetë-lëkundjet janë lëkundje të pamposhtura të mbështetura nga burime të jashtme të energjisë në mungesë të një force të ndryshueshme të jashtme. Dallimi nga ato të detyruara është se frekuenca dhe amplituda e vetë-lëkundjeve përcaktohen nga vetitë e vetë sistemit oscilues. Ato ndryshojnë nga lëkundjet e lira - ato ndryshojnë në pavarësinë e amplitudës nga koha dhe nga ndikimi fillestar afatshkurtër që nxit procesin e lëkundjes. Një shembull i një sistemi vetëlëkundës është një orë.

? Valët (konceptet bazë). Valët gjatësore dhe tërthore. Valë në këmbë. Gjatësia e valës, lidhja e saj me periudhën dhe frekuencën.

Procesi i përhapjes së dridhjeve në hapësirë ​​quhet valë. Drejtimi në të cilin një valë transferon energjinë vibruese është drejtimi në të cilin lëviz vala. Gjatësore - lëkundjet e grimcave të mediumit ndodhin në drejtim të përhapjes së valës. Tërthore - dridhjet e grimcave të mediumit ndodhin pingul me drejtimin e përhapjes së valës. Një valë në këmbë formohet nga mbivendosja e dy valëve udhëtuese që përhapen drejt njëra-tjetrës me të njëjtat frekuenca dhe amplituda, dhe në rastin e valëve tërthore, të njëjtin polarizim. Gjatësia e valës është distanca që kalon një valë në një periudhë. (gjatësia e valës, v- shpejtësia e valës, T- periudha e lëkundjes)

? Parimi i mbivendosjes (mbivendosjes) së valëve. Shpejtësia e grupit dhe lidhja e saj me shpejtësinë e fazës.

Parimi i mbivendosjes - kur disa valë përhapen në një mjedis linear, secila përhapet sikur të mos kishte valë të tjera, dhe zhvendosja që rezulton e një grimce të mediumit në çdo kohë është e barabartë me shumën gjeometrike të zhvendosjeve që grimcat marrin ndërsa marrin pjesë në secilin prej proceseve valore përbërëse. Shpejtësia e grupit është shpejtësia e lëvizjes së një grupi valësh që formojnë një paketë valësh të lokalizuar në çdo moment në hapësirë. Shpejtësia e lëvizjes së fazës së valës është shpejtësia e fazës. Në një mjedis jo të shpërndarë ato përkojnë.

? Vala elektromagnetike dhe vetitë e saj. Energjia e valëve elektromagnetike.

Vala elektromagnetike - lëkundjet elektromagnetike që përhapen në hapësirë. Përftuar eksperimentalisht nga Hertz në 1880. Vetitë - mund të përhapen në media dhe vakum, në vakum të barabartë me c, në media më pak, tërthor, E Dhe B reciprokisht pingul dhe pingul me drejtimin e përhapjes. Intensiteti rritet me rritjen e nxitimit të grimcës së ngarkuar rrezatuese; në kushte të caktuara shfaqen vetitë tipike të valës - difraksioni, etj. Dendësia vëllimore e energjisë .

Optika

Formulat themelore të optikës

Shpejtësia e dritës në mesatare:

Ku c– shpejtësia e dritës në vakum;

n– indeksi i thyerjes së mediumit.

Gjatësia e rrugës së valës optike të dritës:

L = ns,

Ku s– gjatësia e shtegut gjeometrik të një vale drite në një mjedis me një indeks thyesje n.

Dallimi i rrugës optike midis dy valëve të dritës:

∆ = L 1 – L 2 .

Varësia e diferencës së fazës nga ndryshimi optik në rrugën e valëve të dritës:

ku λ është gjatësia e valës së dritës.

Kushtet për përforcim maksimal të dritës gjatë interferencës:

∆ = kλ ( = 0, 1, 2, ...) .

Kushtet për zbutjen maksimale të dritës:

Dallimi optik në rrugën e valëve të dritës që ndodh kur drita monokromatike reflektohet nga një film i hollë:

∆ = 2d ,

Ku d- trashësia e filmit;

n– indeksi i thyerjes së filmit;

Unë i– këndi i thyerjes së dritës në film.

Rrezja e dritës Unazat e Njutonit në dritën e reflektuar:

r k = , (k = 1, 2, 3, ...),

Ku k– numri i unazës;

R– rrezja e lakimit.

Rrezja e unazave të errëta të Njutonit në dritën e reflektuar:

r k = .

Këndi φ i devijimit të rrezeve, që korrespondon me maksimumin (bandën e dritës) gjatë difraksionit me një çarje, përcaktohet nga kushti

a sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, …),

Ku a– gjerësia e folesë;

k– numri serial i maksimumit.

Këndiφ devijimi i rrezeve, që korrespondon me maksimumin (bandën e dritës) gjatë difraksionit të dritës në një grilë difraksioni, përcaktohet nga kushti

d sinφ = (k = 0, 1, 2, 3, …),

Ku d– periudha e grilës së difraksionit.

Rezolucioni i grilës së difraksionit:

R= = kN,

ku Δλ është ndryshimi më i vogël në gjatësitë valore të dy vijave spektrale ngjitur (λ dhe λ+Δλ), në të cilat këto vija mund të shihen veçmas në spektrin e përftuar nga kjo rrjetë;

N– numri i përgjithshëm i çarjeve të grilave.

Formula Wulf-Bragg:

2d mëkat θ = κ λ,

ku θ është këndi i kullotjes (këndi ndërmjet drejtimit të një rrezeje paralele të rrezatimit me rreze X që bie mbi kristal dhe rrafshit atomik në kristal);

dështë distanca ndërmjet rrafsheve atomike të kristalit.

Ligji i Brewster:

tan ε B=n 21 ,

ku ε B– këndi i rënies në të cilin rrezja e reflektuar nga dielektriku është plotësisht e polarizuar;

n 21 – indeksi relativ i thyerjes së mediumit të dytë në raport me të parin.

Ligji i Malus:

Unë = Unë 0 cos 2 α ,

Ku I 0 – intensiteti i përplasjes së dritës së polarizuar nga plani në analizues;

I– intensiteti i kësaj drite pas analizuesit;

α është këndi ndërmjet drejtimit të lëkundjeve të vektorit elektrik të rënies së dritës në analizues dhe rrafshit të transmetimit të analizuesit (nëse lëkundjet e vektorit elektrik të dritës rënëse përkojnë me këtë plan, atëherë analizuesi e transmeton këtë dritë pa zbutje).

Këndi i rrotullimit të planit të polarizimit të dritës monokromatike kur kalon nëpër një substancë optikisht aktive:

a) φ = αd(në trupat e ngurtë),

Ku α – konstante e rrotullimit;

d– gjatësia e shtegut të përshkuar nga drita në një substancë optike aktive;

b) φ = [α]pd(në zgjidhje),

Ku [α] – rrotullim specifik;

fq– përqendrimi masiv i një lënde optikisht aktive në tretësirë.

Presion i lehtë me incidencë normale në një sipërfaqe:

,

Ku Ajo– ndriçimi i energjisë (rrezatimit);

ω – dendësia e energjisë së rrezatimit vëllimor;

ρ – koeficienti i reflektimit.

4.2. Konceptet dhe përkufizimet e seksionit "optika".

? Ndërhyrja në valë. Koherencë. Kushtet maksimale dhe minimale.

Ndërhyrja është forcimi ose dobësimi i ndërsjellë i valëve koherente kur ato mbivendosen (koherente - kanë të njëjtën gjatësi dhe një ndryshim fazor konstant në pikën e mbivendosjes së tyre).

Maksimumi ;

minimale .

Këtu D është diferenca e rrugës optike, l është gjatësia e valës.

? Parimi Huygens-Fresnel. Dukuria e difraksionit. Difraksion i çarjes, grilë difraksioni.

Parimi Huygens-Fresnel - çdo pikë në hapësirë ​​që ka arritur një valë përhapëse në një moment të caktuar në kohë bëhet burim i valëve elementare koherente. Difraksioni është përkulja e valëve rreth pengesave, nëse madhësia e pengesës është e krahasueshme me gjatësinë e valës, devijimi i dritës nga përhapja drejtvizore. Difraksioni i çarjes është në rrezet paralele. Një valë e rrafshët bie mbi një pengesë; modeli i difraksionit vërehet në një ekran të vendosur në rrafshin fokal të një lente grumbulluese të instaluar në shtegun e dritës që kalon përmes pengesës. Ekrani prodhon një "imazh difraksioni" të një burimi drite të largët. Një grilë difraksioni është një sistem i çarjeve paralele me gjerësi të barabartë, të shtrirë në të njëjtin rrafsh, të ndara nga hapësira të errëta me gjerësi të barabartë. Përdoret për të ndarë dritën në një spektër dhe për të matur gjatësinë e valës.

? Shpërndarja e dritës (normale dhe jonormale). Ligji i Bouguer-it. Kuptimi i koeficientit të përthithjes.

Shpërndarja e dritës - varësia e indeksit absolut të thyerjes së një substance n në frekuencën ν (ose gjatësinë e valës λ) të dritës që bie në substancë (). Shpejtësia e dritës në vakum nuk varet nga frekuenca, kështu që nuk ka shpërndarje në vakum. Shpërndarja normale e dritës - nëse indeksi i thyerjes rritet monotonisht me rritjen e frekuencës (zvogëlohet me rritjen e gjatësisë valore). Dispersion anomal - nëse indeksi i thyerjes zvogëlohet në mënyrë monotonike me rritjen e frekuencës (rritet me rritjen e gjatësisë valore). Pasoja e dispersionit është zbërthimi i dritës së bardhë në një spektër kur ajo thyhet në një substancë. Thithja e dritës në një substancë përshkruhet nga ligji i Bouguer-it

I 0 dhe I- intensiteti i një valë drite monokromatike të rrafshët në hyrje dhe dalje të një shtrese të substancës thithëse me trashësi X, a është koeficienti i përthithjes, varet nga gjatësia e valës dhe është i ndryshëm për substanca të ndryshme.

? Si quhet polarizimi i valës? Marrja e valëve të polarizuara. Ligji i Malusit.

Polarizimi konsiston në marrjen e një orientimi preferencial të drejtimit të lëkundjeve në valët tërthore. Rregullsia në orientimin e vektorëve të fuqisë së fushës elektrike dhe magnetike të një valë elektromagnetike në një plan pingul me drejtimin e përhapjes së rrezes së dritës. E , B - pingul. Drita natyrale mund të shndërrohet në dritë të polarizuar duke përdorur polarizues. ligji i Malus ( I 0 - kaloi përmes analizuesit, I– kaloi përmes një polarizuesi).

? Dualizmi grimcë-valë. Hipoteza e De Broglie.

Historikisht, janë paraqitur dy teori të dritës: trupat korpuskulare - ndritëse lëshojnë grimca korpuskulare (prova - rrezatimi i trupit të zi, efekti fotoelektrik) dhe valë - një trup i ndritshëm shkakton dridhje elastike në mjedis, duke u përhapur si valët e zërit në ajër (prova - dukuritë e interferencës, difraksionit, polarizimit të dritës). Hipoteza e Broglie - vetitë e valëve të grimcave janë të natyrshme jo vetëm për fotonet, por edhe për grimcat që kanë një masë pushimi - elektronet, protonet, neutronet, atomet, molekulat. ? Efekt foto. ekuacioni i Ajnshtajnit.

Efekti fotoelektrik është fenomeni i bashkëveprimit të dritës me lëndën, si rezultat i të cilit energjia e fotoneve transferohet në elektronet e substancës. Ekuacioni: (energjia e fotonit shpenzohet në funksionin e punës së elektronit dhe në dhënien e energjisë kinetike elektronit)

Periudha.

Periudha T Periudha kohore gjatë së cilës sistemi bën një lëkundje të plotë quhet:

N- numri i lëkundjeve të plota në kohë t.

Frekuenca.

Frekuenca ν - numri i lëkundjeve për njësi të kohës:

Njësia e frekuencës është 1 herc (Hz) = 1 s -1

Frekuenca ciklike:

Ekuacioni i dridhjeve harmonike:

x- zhvendosja e trupit nga pozicioni. X m- amplituda, domethënë zhvendosja maksimale, (ω t+ φ 0) është faza e lëkundjes, Ψ 0 është faza fillestare e saj.

Shpejtësia.

Kur φ 0 = 0:

Përshpejtimi.

Kur φ 0 = 0:

Dridhje të lira.

Dridhjet e lira janë ato që ndodhin në një sistem mekanik (oscilator) me një devijim të vetëm nga pozicioni i tij ekuilibër, kanë një frekuencë natyrore ω 0, të specifikuar vetëm nga parametrat e sistemit dhe kalbet me kalimin e kohës për shkak të pranisë së fërkimit.

Lavjerrësi matematikor.

Frekuenca:

l- gjatësia e lavjerrësit, g- nxitimi i gravitetit.

Lavjerrësi ka energji maksimale kinetike në momentin që kalon pozicionin e ekuilibrit:

Lavjerrësi pranveror.

Frekuenca:

k- ngurtësi e pranverës, m- masa e ngarkesave.

Lavjerrësi ka energji maksimale potenciale në zhvendosjen maksimale:

Dridhjet e detyruara.

Lëkundjet e detyruara janë ato që ndodhin në një sistem oshilator (oscilator) nën ndikimin e një force të jashtme që ndryshon periodikisht.

Rezonanca.

Rezonanca - një rritje e mprehtë e amplitudës X m lëkundje të detyruara kur frekuenca ω e forcës lëvizëse përkon me frekuencën ω 0 të lëkundjeve natyrore të sistemit.

Valët.

Valët janë dridhje të materies (mekanike) ose fushave (elektromagnetike) që përhapen nëpër hapësirë ​​me kalimin e kohës.

Shpejtësia e valës.

Shpejtësia e përhapjes së valës υ është shpejtësia e transmetimit të energjisë së vibrimit. Në këtë rast, grimcat e mediumit lëkunden rreth pozicionit të ekuilibrit, në vend që të lëvizin me valën.

Gjatësia e valës.

Gjatësia e valës λ është distanca në të cilën luhatja përhapet në një periudhë:

Njësia e gjatësisë së valës është 1 metër (m).

Frekuenca e valës:

Njësia e frekuencës së valës është 1 herc (Hz).

Temat e kodifikuesit të Provimit të Unifikuar të Shtetit: vibrimet harmonike; amplituda, periudha, frekuenca, faza e lëkundjeve; dridhje të lira, dridhje të detyruara, rezonancë.

Lëkundjet - Këto janë ndryshime në gjendjen e sistemit që përsëriten me kalimin e kohës. Koncepti i lëkundjeve mbulon një gamë shumë të gjerë fenomenesh.

Dridhjet e sistemeve mekanike, ose dridhjet mekanike- kjo është lëvizja mekanike e një trupi ose sistemi trupash, e cila është e përsëritshme në kohë dhe ndodh në afërsi të pozicionit të ekuilibrit. Pozicioni i ekuilibritështë një gjendje e një sistemi në të cilin ai mund të qëndrojë pafundësisht pa përjetuar ndikime të jashtme.

Për shembull, nëse lavjerrësi devijohet dhe lëshohet, ai do të fillojë të lëkundet. Pozicioni i ekuilibrit është pozicioni i lavjerrësit në mungesë të devijimit. Lavjerrësi, nëse lihet i patrazuar, mund të qëndrojë në këtë pozicion për aq kohë sa dëshironi. Ndërsa lavjerrësi lëkundet, ai kalon nëpër pozicionin e tij të ekuilibrit shumë herë.

Menjëherë pasi u lirua lavjerrësi i devijuar, ai filloi të lëvizte, kaloi pozicionin e ekuilibrit, arriti në pozicionin ekstrem të kundërt, u ndal atje për një moment, lëvizi në drejtim të kundërt, kaloi përsëri pozicionin e ekuilibrit dhe u kthye prapa. Një gjë ka ndodhur ritëm të plotë. Pastaj ky proces do të përsëritet periodikisht.

Amplituda e lëkundjes së trupit është madhësia e devijimit të tij më të madh nga pozicioni i ekuilibrit.

Periudha e lëkundjeve - kjo është koha e një lëkundjeje të plotë. Mund të themi se gjatë një periudhe trupi përshkon një rrugë me katër amplituda.

Frekuenca e lëkundjeve është reciproke e periudhës: . Frekuenca matet në herc (Hz) dhe tregon se sa lëkundje të plota ndodhin në një sekondë.

Dridhjet harmonike.

Do të supozojmë se pozicioni i trupit oscilues përcaktohet nga një koordinatë e vetme. Pozicioni i ekuilibrit korrespondon me vlerën . Detyra kryesore e mekanikës në këtë rast është të gjejë një funksion që jep koordinatat e trupit në çdo kohë.

Për një përshkrim matematikor të lëkundjeve, është e natyrshme të përdoren funksione periodike. Ka shumë funksione të tilla, por dy prej tyre - sinusi dhe kosinusi - janë më të rëndësishmit. Ato kanë shumë veti të mira dhe janë të lidhura ngushtë me një gamë të gjerë fenomenesh fizike.

Meqenëse funksionet sinus dhe kosinus merren nga njëri-tjetri duke zhvendosur argumentin me , ne mund të kufizohemi vetëm në njërin prej tyre. Për saktësi, ne do të përdorim kosinusin.

Dridhjet harmonike- këto janë lëkundje në të cilat koordinata varet nga koha sipas ligjit harmonik:

(1)

Le të zbulojmë kuptimin e sasive të përfshira në këtë formulë.

Një vlerë pozitive është vlera më e madhe e modulit të koordinatës (pasi vlera maksimale e modulit të kosinusit është e barabartë me unitetin), d.m.th., devijimi më i madh nga pozicioni i ekuilibrit. Prandaj - amplituda e lëkundjeve.

Argumenti kosinus quhet faza hezitim. Vlera e barabartë me vlerën e fazës në quhet faza fillestare. Fazës fillestare i përgjigjet koordinata fillestare e trupit: .

Sasia quhet frekuencë ciklike. Le të gjejmë lidhjen e tij me periudhën dhe frekuencën e lëkundjeve. Një lëkundje e plotë korrespondon me një rritje faze të barabartë me radianet: , prej nga

(2)

(3)

Frekuenca ciklike matet në rad/s (radianë për sekondë).

Në përputhje me shprehjet (2) dhe (3), marrim dy forma të tjera të shkrimit të ligjit harmonik (1):

Grafiku i funksionit (1), që shpreh varësinë e koordinatës nga koha gjatë lëkundjeve harmonike, është paraqitur në Fig. 1 .

Ligji harmonik i tipit (1) është i natyrës më të përgjithshme. Ai i përgjigjet, për shembull, situatave kur dy veprime fillestare u kryen njëkohësisht në lavjerrës: ai u devijua nga një sasi dhe iu dha një shpejtësi e caktuar fillestare. Janë dy raste të veçanta të rëndësishme kur një nga këto veprime nuk është kryer.

Lëreni lavjerrësin të devijohet, por shpejtësia fillestare nuk u raportua (u lëshua pa shpejtësinë fillestare). Është e qartë se në këtë rast, prandaj mund të vendosim. Ne marrim ligjin e kosinusit:

Grafiku i lëkundjeve harmonike në këtë rast është paraqitur në Fig. 2.

Oriz. 2. Ligji i kosinusit

Le të supozojmë tani se lavjerrësi nuk u devijua, por shpejtësia fillestare nga pozicioni i ekuilibrit iu dha atij nga ndikimi. Në këtë rast, kështu që ju mund të vendosni . Ne marrim ligjin e sinusit:

Grafiku i lëkundjeve është paraqitur në Fig. 3.

Oriz. 3. Ligji i sinusit

Ekuacioni i dridhjeve harmonike.

Le t'i kthehemi ligjit të përgjithshëm harmonik (1). Le të dallojmë këtë barazi:

. (4)

Tani ne dallojmë barazinë që rezulton (4):

. (5)

Le të krahasojmë shprehjen (1) për koordinatën dhe shprehjen (5) për projeksionin e nxitimit. Ne shohim që projeksioni i nxitimit ndryshon nga koordinata vetëm nga një faktor:

. (6)

Ky raport quhet ekuacioni harmonik. Mund të rishkruhet edhe në këtë formë:

. (7)

Nga pikëpamja matematikore, ekuacioni (7) është ekuacioni diferencial. Zgjidhjet e ekuacioneve diferenciale janë funksione (jo numra, si në algjebrën e zakonshme).
Pra, mund të vërtetohet se:

Zgjidhja e ekuacionit (7) është çdo funksion i formës (1) me arbitrar;

Asnjë funksion tjetër nuk është zgjidhje për këtë ekuacion.

Me fjalë të tjera, relacionet (6), (7) përshkruajnë lëkundjet harmonike me një frekuencë ciklike dhe vetëm ato. Dy konstante përcaktohen nga kushtet fillestare - nga vlerat fillestare të koordinatës dhe shpejtësisë.

Lavjerrësi pranveror.

Lavjerrësi pranveror është një ngarkesë e lidhur me një sustë që mund të lëkundet në drejtimin horizontal ose vertikal.

Le të gjejmë periudhën e lëkundjeve të vogla horizontale të lavjerrësit të sustës (Fig. 4). Lëkundjet do të jenë të vogla nëse sasia e deformimit të sustës është shumë më e vogël se dimensionet e saj. Për deformime të vogla mund të përdorim ligjin e Hukut. Kjo do të bëjë që lëkundjet të jenë harmonike.

Ne e neglizhojmë fërkimin. Ngarkesa ka një masë dhe ngurtësia e sustës është e barabartë me .

Koordinata korrespondon me pozicionin e ekuilibrit në të cilin susta nuk deformohet. Rrjedhimisht, madhësia e deformimit të sustës është e barabartë me modulin e koordinatave të ngarkesës.

Oriz. 4. Lavjerrësi pranveror

Në drejtimin horizontal, vetëm forca elastike nga susta vepron në ngarkesë. Ligji i dytë i Njutonit për ngarkesën në projeksion në bosht ka formën:

. (8)

Nëse (ngarkesa zhvendoset djathtas, si në figurë), atëherë forca elastike drejtohet në drejtim të kundërt, dhe . Në të kundërt, nëse , atëherë . Shenjat janë të kundërta gjatë gjithë kohës, kështu që ligji i Hukut mund të shkruhet si më poshtë:

Atëherë lidhja (8) merr formën:

Kemi marrë një ekuacion të lëkundjeve harmonike të formës (6), në të cilin

Frekuenca ciklike e lëkundjes së lavjerrësit të sustës është pra e barabartë me:

. (9)

Nga këtu dhe nga marrëdhënia gjejmë periudhën e lëkundjeve horizontale të lavjerrësit të pranverës:

. (10)

Nëse varni një ngarkesë në një susta, ju merrni një lavjerrës susta që lëkundet në drejtim vertikal. Mund të tregohet se në këtë rast, formula (10) është e vlefshme për periudhën e lëkundjes.

Lavjerrësi matematikor.

Lavjerrësi i matematikës është një trup i vogël i varur në një fije të pazgjatur pa peshë (Fig. 5). Një lavjerrës matematikor mund të lëkundet në një plan vertikal në fushën e gravitetit.

Oriz. 5. Lavjerrësi matematik

Le të gjejmë periudhën e lëkundjeve të vogla të lavjerrësit matematik. Gjatësia e fillit është . Ne e neglizhojmë rezistencën e ajrit.

Le të shkruajmë ligjin e dytë të Njutonit për lavjerrësin:

dhe projektojeni atë në bosht:

Nëse lavjerrësi merr një pozicion si në figurë (d.m.th.), atëherë:

Nëse lavjerrësi është në anën tjetër të pozicionit të ekuilibrit (d.m.th.), atëherë:

Pra, për çdo pozicion të lavjerrësit kemi:

. (11)

Kur lavjerrësi është në qetësi në pozicionin e ekuilibrit, barazia plotësohet. Për lëkundjet e vogla, kur devijimet e lavjerrësit nga pozicioni i ekuilibrit janë të vogla (në krahasim me gjatësinë e fillit), plotësohet barazia e përafërt. Le ta përdorim atë në formulën (11):

Ky është një ekuacion i lëkundjeve harmonike të formës (6), në të cilën

Prandaj, frekuenca ciklike e lëkundjeve të një lavjerrës matematik është e barabartë me:

. (12)

Prandaj periudha e lëkundjes së një lavjerrës matematikor:

. (13)

Ju lutemi vini re se formula (13) nuk përfshin masën e ngarkesës. Ndryshe nga një lavjerrës pranveror, periudha e lëkundjes së një lavjerrësi matematikor nuk varet nga masa e tij.

Dridhje të lira dhe të detyruara.

Ata thonë se sistemi po dridhje të lira, nëse një herë hiqet nga pozicioni i ekuilibrit dhe më pas lihet në vetvete. Asnjë e jashtme periodike
Në këtë rast, sistemi nuk përjeton asnjë ndikim, dhe nuk ka burime të brendshme të energjisë që mbështesin lëkundjet në sistem.

Lëkundjet e sustës dhe lavjerrësit matematikor të diskutuar më sipër janë shembuj të lëkundjeve të lira.

Frekuenca me të cilën ndodhin dridhjet e lira quhet frekuencë natyrore sistemi oscilues. Kështu, formulat (9) dhe (12) japin frekuencat natyrore (ciklike) të lëkundjeve të sustës dhe lavjerrësit matematikor.

Në një situatë të idealizuar në mungesë të fërkimit, lëkundjet e lira janë të pamposhtura, domethënë ato kanë një amplitudë konstante dhe zgjasin pafundësisht. Në sistemet reale osciluese, fërkimi është gjithmonë i pranishëm, kështu që vibrimet e lira gradualisht shuhen (Fig. 6).

Dridhjet e detyruara- këto janë lëkundje të bëra nga një sistem nën ndikimin e një force të jashtme që ndryshon periodikisht me kalimin e kohës (e ashtuquajtura forca lëvizëse).

Le të supozojmë se frekuenca natyrore e lëkundjeve të sistemit është e barabartë me , dhe forca lëvizëse varet nga koha sipas ligjit harmonik:

Me kalimin e një kohe, krijohen lëkundje të detyruara: sistemi bën një lëvizje komplekse, e cila është një mbivendosje e lëkundjeve të detyruara dhe të lira. Lëkundjet e lira gradualisht shuhen, dhe në një gjendje të qëndrueshme sistemi kryen lëkundje të detyruara, të cilat gjithashtu rezultojnë të jenë harmonike. Frekuenca e lëkundjeve të detyruara në gjendje të qëndrueshme përkon me frekuencën
forca e detyruar (një forcë e jashtme, si të thuash, imponon frekuencën e saj në sistem).

Amplituda e lëkundjeve të detyruara të vendosura varet nga frekuenca e forcës lëvizëse. Grafiku i kësaj varësie është paraqitur në Fig. 7.

Oriz. 7. Rezonanca

Ne shohim që rezonanca ndodh afër frekuencës - fenomeni i rritjes së amplitudës së lëkundjeve të detyruara. Frekuenca rezonante është afërsisht e barabartë me frekuencën natyrore të lëkundjeve të sistemit: , dhe kjo barazi plotësohet më saktë, aq më pak fërkime në sistem. Në mungesë të fërkimit, frekuenca rezonante përkon me frekuencën natyrore të lëkundjeve dhe amplituda e lëkundjeve rritet deri në pafundësi në .

Lëkundjet harmonike ndodhin sipas ligjit:

x = A cos(ω t + φ 0),

Ku x– zhvendosja e grimcës nga pozicioni i ekuilibrit, A– amplituda e lëkundjeve, ω – frekuenca rrethore, φ 0 – faza fillestare, t- koha.

Periudha e lëkundjeve T = .

Shpejtësia e grimcave lëkundëse:

υ = = – Aω mëkat (ω t + φ 0),

nxitimi a = = –Aω 2 cos (ω t + φ 0).

Energjia kinetike e një grimce që i nënshtrohet lëvizjes osciluese: E k = =
mëkati 2 (ω t+ φ 0).

Energji potenciale:

E n=
cos 2 (ω t + φ 0).

Periudhat e lëkundjeve të lavjerrësit

- pranverë T =
,

Ku m- masa e ngarkesave, k- koeficienti i ngurtësisë së sustave,

- matematikore T = ,

Ku l- gjatësia e pezullimit, g- nxitimi i gravitetit,

– fizike T =
,

Ku I– momenti i inercisë së lavjerrësit në lidhje me boshtin që kalon nëpër pikën e pezullimit, m- masa e lavjerrësit, l– distanca nga pika e pezullimit deri në qendrën e masës.

Gjatësia e reduktuar e një lavjerrësi fizik gjendet nga kushti: l np = ,

Emërtimet janë të njëjta si për një lavjerrës fizik.

Kur shtohen dy lëkundje harmonike me të njëjtën frekuencë dhe një drejtim, fitohet një lëkundje harmonike e së njëjtës frekuencë me amplitudë:

A = A 1 2 + A 2 2 + 2A 1 A 2 cos(φ 2 – φ 1)

dhe faza fillestare: φ = arctan
.

Ku A 1 , A 2 – amplituda, φ 1, φ 2 – fazat fillestare të lëkundjeve të palosura.

Trajektorja e lëvizjes që rezulton kur shtohen lëkundjet reciproke pingule të së njëjtës frekuencë:

+ – cos (φ 2 – φ 1) = sin 2 (φ 2 – φ 1).

Lëkundjet e amortizuara ndodhin sipas ligjit:

x = A 0 e - β t cos(ω t + φ 0),

ku β është koeficienti i amortizimit, kuptimi i parametrave të mbetur është i njëjtë si për lëkundjet harmonike, A 0 - amplituda fillestare. Në një moment në kohë t amplituda e vibrimit:

A = A 0 e - β t .

Zvogëlimi logaritmik i amortizimit quhet:

λ = log
= β T,

Ku T- periudha e lëkundjeve: T = .

Faktori i cilësisë së një sistemi oscilues quhet:

Ekuacioni i valës që udhëton në aeroplan ka formën:

y = y 0 cos ω( t ± ),

Ku në– zhvendosja e sasisë lëkundëse nga pozicioni i ekuilibrit, në 0 - amplitudë, ω - frekuencë këndore, t- koha, X- koordinata përgjatë së cilës përhapet vala, υ – shpejtësia e përhapjes së valës.

Shenja "+" korrespondon me një valë që përhapet kundër boshtit X, shenja “–” korrespondon me një valë që përhapet përgjatë boshtit X.

Gjatësia e valës quhet periudha e saj hapësinore:

λ = υ T,

Ku υ - shpejtësia e përhapjes së valës, T– periudha e përhapjes së lëkundjeve.

Ekuacioni i valës mund të shkruhet:

y = y 0 cos 2π (+).

Një valë në këmbë përshkruhet nga ekuacioni:

y = (2y 0cos ) cos ω t.

Amplituda e valës në këmbë është e mbyllur në kllapa. Pikat me amplitudë maksimale quhen antinyje,

x n = n ,

pika me amplitudë zero - nyje,

x y = ( n + ) .

Shembuj të zgjidhjes së problemeve

Problemi 20

Amplituda e lëkundjeve harmonike është 50 mm, periudha është 4 s dhe faza fillestare . a) Shkruani ekuacionin e kësaj lëkundjeje; b) gjeni zhvendosjen e pikës lëkundëse nga pozicioni i ekuilibrit në t=0 dhe në t= 1,5 s; c) vizatoni një grafik të kësaj lëvizjeje.

Zgjidhje

Ekuacioni i lëkundjes shkruhet si x = a cos( t+  0).

Sipas kushtit njihet periudha e lëkundjes. Nëpërmjet tij mund të shprehim frekuencën rrethore  = . Parametrat e mbetur janë të njohur:

A) x= 0,05 cos( t + ).

b) Kompensimi x në t= 0.

x 1 = 0,05 cos = 0,05 = 0,0355 m.

Në t= 1,5 s

x 2 = 0,05 kost( 1,5 + )= 0,05 cos  = – 0,05 m.

V ) grafiku i një funksioni x= 0,05 çmime ( t + ) si në vazhdim:

Le të përcaktojmë pozicionin e disa pikave. I njohur X 1 (0) dhe X 2 (1.5), si dhe periudha e lëkundjes. Pra, përmes  t= vlera 4 s X përsëritet, dhe pas  t = 2 s shenja ndryshon. Midis maksimumit dhe minimumit në mes është 0.

Problemi 21

Pika kryen një lëkundje harmonike. Periudha e lëkundjes është 2 s, amplituda është 50 mm, faza fillestare është zero. Gjeni shpejtësinë e pikës në momentin kur zhvendosja e saj nga pozicioni i ekuilibrit është 25 mm.

Zgjidhje

1 mënyrë. Shkruajmë ekuacionin e lëkundjes së pikës:

x= 0,05 cos t, sepse  = =.

Gjetja e shpejtësisë në momentin e kohës t:

υ = = – 0,05 cos t.

Gjejmë momentin në kohë kur zhvendosja është 0,025 m:

0,025 = 0,05 cos t 1 ,

pra cos  t 1 = ,  t 1 = . Ne e zëvendësojmë këtë vlerë në shprehjen për shpejtësinë:

υ = – 0,05  mëkat = – 0,05  = 0,136 m/s.

Metoda 2. Energjia totale e lëvizjes osciluese:

E =
,

Ku A– amplituda,  – frekuenca rrethore, m – masë grimcash.

Në çdo moment të kohës ai përbëhet nga potenciali dhe energjia kinetike e pikës

E k = , E n = , Por k = m 2, që do të thotë E n =
.

Le të shkruajmë ligjin e ruajtjes së energjisë:

= +
,

nga këtu marrim: a 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 m/s.

Problemi 22

Amplituda e lëkundjeve harmonike të një pike materiale A= 2 cm, energji totale E= 3∙10 -7 J. Në çfarë zhvendosjeje nga pozicioni i ekuilibrit vepron forca në pikën lëkundëse F = 2,25∙10 -5 N?

Zgjidhje

Energjia totale e një pike që kryen lëkundje harmonike është e barabartë me: E =
. (13)

Moduli i forcës elastike shprehet përmes zhvendosjes së pikave nga pozicioni i ekuilibrit x në mënyrën e mëposhtme:

F = k x (14)

Formula (13) përfshin masën m dhe frekuenca rrethore , dhe në (14) - koeficienti i ngurtësisë k. Por frekuenca rrethore lidhet me m Dhe k:

 2 = ,

nga këtu k = m 2 dhe F = m 2 x. Duke u shprehur m 2 nga relacioni (13) marrim: m 2 = , F = x.

Nga ku marrim shprehjen për zhvendosjen x: x = .

Zëvendësimi i vlerave numerike jep:

x =
= 1,5∙10 -2 m = 1,5 cm.

Problemi 23

Pika merr pjesë në dy lëkundje me periudha dhe faza fillestare të njëjta. Amplituda e lëkundjeve A 1 = 3 cm dhe A 2 = 4 cm Gjeni amplitudën e dridhjes që rezulton nëse: 1) dridhjet ndodhin në një drejtim; 2) dridhjet janë reciproke pingul.

Zgjidhje

Nëse luhatjet ndodhin në një drejtim, atëherë amplituda e lëkundjes që rezulton përcaktohet si:

Ku A 1 dhe A 2 – amplituda e lëkundjeve të shtuara,  1 dhe  2 – faza fillestare. Sipas kushtit, fazat fillestare janë të njëjta, që do të thotë  2 –  1 = 0, dhe cos 0 = 1.

Prandaj:

A =
=
= A 1 +A 2 = 7 cm.

Nëse lëkundjet janë reciproke pingule, atëherë ekuacioni i lëvizjes që rezulton do të jetë:

cos( 2 –  1) = sin 2 ( 2 –  1).

Meqenëse sipas kushtit  2 –  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, ekuacioni do të shkruhet si:
=0,

ose
=0,

ose
.

Marrëdhënia që rezulton ndërmjet x Dhe në mund të përshkruhen në një grafik. Grafiku tregon se rezultati do të jetë një lëkundje e një pike në një vijë të drejtë MN. Amplituda e kësaj lëkundjeje përcaktohet si më poshtë: A =
= 5 cm.

Problemi 24

Periudha e lëkundjeve të amortizuara T=4 s, zvogëlimi logaritmik i amortizimit  = 1.6, faza fillestare është zero. Zhvendosja e pikës në t = është e barabartë me 4,5 cm 1) Shkruani ekuacionin e kësaj dridhjeje; 2) Ndërtoni një grafik të kësaj lëvizjeje për dy periudha.

Zgjidhje

Ekuacioni i lëkundjeve të amortizuara me fazën fillestare zero ka formën:

x = A 0 e -  t cos2 .

Nuk ka mjaftueshëm vlera fillestare të amplitudës për të zëvendësuar vlerat numerike A 0 dhe koeficienti i dobësimit .

Koeficienti i zbutjes mund të përcaktohet nga lidhja për zvogëlimin e zbutjes logaritmike:

 = T.

Kështu  = = = 0,4 s -1 .

Amplituda fillestare mund të përcaktohet duke zëvendësuar kushtin e dytë:

4,5 cm = A 0
cos 2 =A 0
cos = A 0
.

Nga këtu gjejmë:

A 0 = 4,5∙

(cm) = 7,75 cm.

Ekuacioni përfundimtar i lëvizjes është:

x = 0,0775
kosto.

Problemi 25

Sa është zvogëlimi logaritmik i amortizimit të një lavjerrësi matematikor, nëse për t = 1 min amplituda e lëkundjeve është ulur përgjysmë? Gjatësia e lavjerrësit l = 1 m.

Zgjidhje

Zvogëlimi logaritmik i amortizimit mund të gjendet nga relacioni: =  T,

ku  është koeficienti i zbutjes, T– periudha e lëkundjes. Frekuenca rrethore natyrore e një lavjerrës matematikor:

 0 =
= 3,13 s -1 .

Koeficienti i amortizimit të lëkundjes mund të përcaktohet nga kushti: A 0 = A 0 e -  t ,

t= ln2 = 0,693,

 =
= 0.0116c -1.

Që nga <<  0 , то в формуле  =
mund të neglizhohet në krahasim me  0 dhe periudha e lëkundjes mund të përcaktohet me formulën: T = = 2c.

Zëvendësojmë  dhe T në shprehjen për zvogëlimin logaritmik të amortizimit dhe marrim:

 = T= 0,0116 s -1 ∙ 2 s = 0,0232.

Problemi 26

Ekuacioni i lëkundjeve të pamposhtura është dhënë në formë x= 4 sin600  t cm.

Gjeni zhvendosjen nga pozicioni i ekuilibrit të një pike të vendosur në distancë l= 75 cm nga burimi i vibrimit, përmes t= 0.01 s pas fillimit të lëkundjes. Shpejtësia e përhapjes së lëkundjeve υ = 300 m/s.

Zgjidhje

Le të shkruajmë ekuacionin e një vale që përhapet nga një burim i caktuar: x= 0,04 mëkat 600 ( t– ).

Ne gjejmë fazën e valës në një kohë të caktuar në një vend të caktuar:

t– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 ∙ 0,0075 = 4,5,

mëkat 4,5 = mëkat = 1.

Prandaj, zhvendosja e pikës x= 0,04 m, d.m.th. në distancë l =75 cm nga burimi në atë kohë t= 0,01 s zhvendosja maksimale e pikës.

Bibliografi

Volkenshtein V.S.. Përmbledhje problemash për lëndën e përgjithshme të fizikës. – Shën Petersburg: SpetsLit, 2001.

Savelyev I.V.. Përmbledhje pyetjesh dhe problemash në fizikën e përgjithshme. – M.: Nauka, 1998.

Çdo lëvizje që përsëritet periodikisht quhet osciluese. Prandaj, varësitë e koordinatave dhe shpejtësisë së një trupi nga koha gjatë lëkundjeve përshkruhen nga funksionet periodike të kohës. Në kursin e fizikës shkollore, merren parasysh dridhjet në të cilat varësitë dhe shpejtësitë e trupit janë funksione trigonometrike. , ose një kombinim i tyre, ku është një numër i caktuar. Lëkundje të tilla quhen harmonike (funksione Dhe shpesh quhen funksione harmonike). Për të zgjidhur problemet mbi lëkundjet e përfshira në programin e provimit të unifikuar të shtetit në fizikë, duhet të dini përkufizimet e karakteristikave kryesore të lëvizjes lëkundëse: amplituda, periudha, frekuenca, frekuenca rrethore (ose ciklike) dhe faza e lëkundjeve. Le t'i japim këto përkufizime dhe t'i lidhim madhësitë e renditura me parametrat e varësisë së koordinatave të trupit nga koha, të cilat në rastin e lëkundjeve harmonike mund të paraqiten gjithmonë në formën

ku , dhe janë disa numra.

Amplituda e lëkundjeve është devijimi maksimal i një trupi lëkundës nga pozicioni i tij ekuilibër. Meqenëse vlerat maksimale dhe minimale të kosinusit në (11.1) janë të barabarta me ±1, amplituda e lëkundjeve të trupit që lëkundet (11.1) është e barabartë me . Periudha e lëkundjes është koha minimale pas së cilës përsëritet lëvizja e një trupi. Për varësinë (11.1), periudha mund të caktohet nga konsideratat e mëposhtme. Kosinusi është një funksion periodik me periodë. Prandaj, lëvizja përsëritet plotësisht përmes një vlere të tillë që . Nga këtu marrim

Frekuenca rrethore (ose ciklike) e lëkundjeve është numri i lëkundjeve të kryera për njësi të kohës. Nga formula (11.3) konkludojmë se frekuenca rrethore është sasia nga formula (11.1).

Faza e lëkundjes është argumenti i një funksioni trigonometrik që përshkruan varësinë e koordinatës nga koha. Nga formula (11.1) shohim se faza e lëkundjeve të trupit, lëvizja e të cilit përshkruhet nga varësia (11.1), është e barabartë me . Vlera e fazës së lëkundjes në kohën = 0 quhet faza fillestare. Për varësinë (11.1), faza fillestare e lëkundjeve është e barabartë me . Natyrisht, faza fillestare e lëkundjeve varet nga zgjedhja e pikës së referencës kohore (moment = 0), e cila është gjithmonë e kushtëzuar. Duke ndryshuar origjinën e kohës, faza fillestare e lëkundjeve gjithmonë mund të "bëhet" e barabartë me zero, dhe sinusi në formulën (11.1) mund të "kthehet" në kosinus ose anasjelltas.

Programi i provimit të unifikuar të shtetit përfshin edhe njohjen e formulave të frekuencës së lëkundjeve të sustës dhe lavjerrësit matematikor. Lavjerrësi sustë zakonisht quhet një trup që mund të lëkundet në një sipërfaqe të lëmuar horizontale nën veprimin e një sustë, skaji i dytë i së cilës është i fiksuar (figura majtas). Lavjerrësi matematikor është një trup masiv, dimensionet e të cilit mund të neglizhohen, duke u lëkundur në një fije të gjatë, pa peshë dhe të pazgjatur (figura e djathtë). Emri i këtij sistemi, "lavjerrës matematikor", është për shkak të faktit se ai përfaqëson një abstrakt matematikore model i vërtetë ( fizike) lavjerrës. Është e nevojshme të mbani mend formulat për periudhën (ose frekuencën) e lëkundjeve të pranverës dhe lavjerrësit matematikor. Për një lavjerrës pranveror

ku është gjatësia e fillit, është nxitimi i gravitetit. Le të shqyrtojmë zbatimin e këtyre përkufizimeve dhe ligjeve duke përdorur shembullin e zgjidhjes së problemeve.

Për të gjetur frekuencën ciklike të lëkundjeve të ngarkesës në detyra 11.1.1 Le të gjejmë fillimisht periudhën e lëkundjes dhe më pas të përdorim formulën (11.2). Meqenëse 10 m 28 s është 628 s, dhe gjatë kësaj kohe ngarkesa lëkundet 100 herë, periudha e lëkundjes së ngarkesës është 6,28 s. Prandaj, frekuenca ciklike e lëkundjeve është 1 s -1 (përgjigje 2 ). NË problema 11.1.2 ngarkesa ka bërë 60 lëkundje në 600 s, kështu që frekuenca e lëkundjeve është 0,1 s -1 (përgjigje 1 ).

Për të kuptuar distancën që ngarkesa do të përshkojë në 2,5 periudha ( problema 11.1.3), le të ndjekim lëvizjen e tij. Pas një periudhe, ngarkesa do të kthehet përsëri në pikën e devijimit maksimal, duke përfunduar një lëkundje të plotë. Prandaj, gjatë kësaj kohe, ngarkesa do të kalojë një distancë të barabartë me katër amplituda: në pozicionin e ekuilibrit - një amplitudë, nga pozicioni i ekuilibrit në pikën e devijimit maksimal në drejtimin tjetër - e dyta, përsëri në pozicionin e ekuilibrit - e treta, nga pozicioni i ekuilibrit në pikën e fillimit - e katërta. Gjatë periudhës së dytë, ngarkesa përsëri do të kalojë nëpër katër amplituda, dhe gjatë gjysmës së mbetur të periudhës - dy amplituda. Prandaj, distanca e përshkuar është e barabartë me dhjetë amplituda (përgjigje 4 ).

Sasia e lëvizjes së trupit është distanca nga pika e fillimit deri në pikën përfundimtare. Mbi 2.5 periudha në detyra 11.1.4 trupi do të ketë kohë të kryejë dy lëkundje të plota dhe gjysmë të plota, d.m.th. do të jetë në devijimin maksimal, por në anën tjetër të pozicionit të ekuilibrit. Prandaj, madhësia e zhvendosjes është e barabartë me dy amplituda (përgjigje 3 ).

Sipas përkufizimit, faza e lëkundjes është argumenti i një funksioni trigonometrik që përshkruan varësinë e koordinatave të një trupi lëkundës nga koha. Prandaj përgjigjja e saktë është problema 11.1.5 - 3 .

Një periudhë është koha e lëkundjes së plotë. Kjo do të thotë se kthimi i një trupi përsëri në të njëjtën pikë nga e cila trupi filloi të lëvizte nuk do të thotë se ka kaluar një periudhë: trupi duhet të kthehet në të njëjtën pikë me të njëjtën shpejtësi. Për shembull, një trup, pasi ka filluar lëkundjet nga një pozicion ekuilibri, do të ketë kohë të devijojë me një sasi maksimale në një drejtim, të kthehet prapa, të devijojë me një maksimum në drejtimin tjetër dhe të kthehet përsëri. Prandaj, gjatë periudhës trupi do të ketë kohë të devijojë me sasinë maksimale nga pozicioni i ekuilibrit dy herë dhe të kthehet prapa. Rrjedhimisht, kalimi nga pozicioni i ekuilibrit në pikën e devijimit maksimal ( problemi 11.1.6) trupi kalon një të katërtën e periudhës (përgjigje 3 ).

Lëkundjet harmonike janë ato në të cilat varësia e koordinatave të trupit lëkundës nga koha përshkruhet nga një funksion trigonometrik (sinus ose kosinus) i kohës. NË detyra 11.1.7 këto janë funksionet dhe , pavarësisht se parametrat e përfshirë në to janë caktuar si 2 dhe 2 . Funksioni është një funksion trigonometrik i katrorit të kohës. Prandaj, dridhjet e vetëm sasive dhe janë harmonike (përgjigje 4 ).

Gjatë dridhjeve harmonike, shpejtësia e trupit ndryshon sipas ligjit , ku është amplituda e lëkundjeve të shpejtësisë (pika e referencës kohore zgjidhet në mënyrë që faza fillestare e lëkundjeve të jetë e barabartë me zero). Prej këtu gjejmë varësinë e energjisë kinetike të trupit nga koha
(problema 11.1.8). Duke përdorur më tej formulën e njohur trigonometrike, marrim

Nga kjo formulë del se energjia kinetike e një trupi ndryshon gjatë lëkundjeve harmonike edhe sipas ligjit harmonik, por me frekuencë të dyfishtë (përgjigje 2 ).

Pas marrëdhënies midis energjisë kinetike të ngarkesës dhe energjisë potenciale të sustës ( problema 11.1.9) është e lehtë për t'u ndjekur nga konsideratat e mëposhtme. Kur trupi devijohet me sasinë maksimale nga pozicioni i ekuilibrit, shpejtësia e trupit është zero, dhe, për rrjedhojë, energjia potenciale e sustës është më e madhe se energjia kinetike e ngarkesës. Përkundrazi, kur trupi kalon në pozicionin e ekuilibrit, energjia potenciale e sustës është zero, dhe për këtë arsye energjia kinetike është më e madhe se energjia potenciale. Prandaj, ndërmjet kalimit të pozicionit të ekuilibrit dhe devijimit maksimal, energjia kinetike dhe potenciale krahasohen një herë. Dhe meqenëse gjatë një periudhe trupi kalon katër herë nga pozicioni i ekuilibrit në devijimin maksimal ose prapa, atëherë gjatë periudhës energjia kinetike e ngarkesës dhe energjia potenciale e sustës krahasohen katër herë me njëra-tjetrën (përgjigja 2 ).

Amplituda e luhatjeve të shpejtësisë ( detyra 11.1.10) është më e lehtë për tu gjetur duke përdorur ligjin e ruajtjes së energjisë. Në pikën e devijimit maksimal, energjia e sistemit oscilues është e barabartë me energjinë potenciale të sustës , ku është koeficienti i ngurtësisë së sustës, është amplituda e vibrimit. Kur kalon nëpër pozicionin e ekuilibrit, energjia e trupit është e barabartë me energjinë kinetike , ku është masa e trupit, është shpejtësia e trupit kur kalon në pozicionin e ekuilibrit, e cila është shpejtësia maksimale e trupit gjatë procesit të lëkundjes dhe, për rrjedhojë, paraqet amplituda e lëkundjeve të shpejtësisë. Duke barazuar këto energji, ne gjejmë

(përgjigje 4 ).

Nga formula (11.5) konkludojmë ( problema 11.2.2), se periudha e tij nuk varet nga masa e një lavjerrës matematikor dhe me një rritje në gjatësi me 4 herë, periudha e lëkundjeve rritet me 2 herë (përgjigja 1 ).

Një orë është një proces oscilues që përdoret për të matur intervalet e kohës ( problema 11.2.3). Fjalët "ora është me nxitim" do të thotë se periudha e këtij procesi është më e vogël se sa duhet. Prandaj, për të sqaruar ecurinë e këtyre orëve, është e nevojshme të rritet periudha e procesit. Sipas formulës (11.5), për të rritur periudhën e lëkundjes së një lavjerrës matematikor, është e nevojshme të rritet gjatësia e tij (përgjigje 3 ).

Për të gjetur amplituda e lëkundjeve në problema 11.2.4, është e nevojshme të paraqitet varësia e koordinatave të trupit nga koha në formën e një funksioni të vetëm trigonometrik. Për funksionin e dhënë në kusht, kjo mund të bëhet duke futur një kënd shtesë. Shumëzimi dhe pjesëtimi i këtij funksioni me dhe duke përdorur formulën për shtimin e funksioneve trigonometrike, marrim

ku është këndi i tillë që . Nga kjo formulë del se amplituda e lëkundjeve të trupit është (përgjigje 4 ).