Equação tangente ao gráfico 10. Equação tangente

A videoaula “Equação de uma tangente ao gráfico de uma função” demonstra material didático para o domínio do tema. Durante a videoaula, são descritos o material teórico necessário para formular o conceito de equação de uma tangente ao gráfico de uma função em um determinado ponto, um algoritmo para encontrar tal tangente e exemplos de resolução de problemas utilizando o material teórico estudado .

O vídeo tutorial utiliza métodos que melhoram a clareza do material. A apresentação contém desenhos, diagramas, comentários de voz importantes, animação, destaque e outras ferramentas.

A videoaula começa com uma apresentação do tema da aula e uma imagem de uma tangente ao gráfico de alguma função y=f(x) no ponto M(a;f(a)). Sabe-se que o coeficiente angular da tangente traçada ao gráfico num determinado ponto é igual à derivada da função f΄(a) neste ponto. Também do curso de álgebra conhecemos a equação da reta y=kx+m. A solução para o problema de encontrar a equação tangente em um ponto é apresentada esquematicamente, o que se resume a encontrar os coeficientes k, m. Conhecendo as coordenadas de um ponto pertencente ao gráfico da função, podemos encontrar m substituindo o valor da coordenada na equação tangente f(a)=ka+m. A partir daí encontramos m=f(a)-ka. Assim, conhecendo o valor da derivada em um determinado ponto e as coordenadas do ponto, podemos representar a equação tangente desta forma y=f(a)+f΄(a)(x-a).

A seguir está um exemplo de composição de uma equação tangente seguindo o diagrama. Dada a função y=x 2 , x=-2. Tomando a=-2, encontramos o valor da função em um determinado ponto f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Determinamos a derivada da função f΄(x)=2x. Neste ponto a derivada é igual a f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. Para compor a equação, foram encontrados todos os coeficientes a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4, portanto a equação tangente é y=4+(-4)(x+2). Simplificando a equação, obtemos y = -4-4x.

O exemplo a seguir sugere a construção de uma equação para a tangente na origem ao gráfico da função y=tgx. Em um determinado ponto a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1. Portanto, a equação tangente se parece com y=x.

A título de generalização, o processo de composição de uma equação tangente ao gráfico de uma função em um determinado ponto é formalizado na forma de um algoritmo composto por 4 etapas:

• Insira a designação a para a abcissa do ponto tangente;
• f(a) é calculado;
• f΄(x) é determinado e f΄(a) é calculado. Os valores encontrados de a, f(a), f΄(a) são substituídos na fórmula da equação tangente y=f(a)+f΄(a)(x-a).

O Exemplo 1 considera a composição da equação tangente ao gráfico da função y=1/x no ponto x=1. Para resolver o problema usamos um algoritmo. Para uma determinada função no ponto a=1, o valor da função f(a)=-1. Derivada da função f΄(x)=1/x 2. No ponto a=1 a derivada f΄(a)= f΄(1)=1. A partir dos dados obtidos, traça-se a equação tangente y=-1+(x-1), ou y=x-2.

No exemplo 2, é necessário encontrar a equação da tangente ao gráfico da função y=x 3 +3x 2 -2x-2. A principal condição é o paralelismo da tangente e da reta y=-2x+1. Primeiro, encontramos o coeficiente angular da tangente, igual ao coeficiente angular da reta y=-2x+1. Como f΄(a)=-2 para uma determinada reta, então k=-2 para a tangente desejada. Encontramos a derivada da função (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. Sabendo que f΄(a)=-2, encontramos as coordenadas do ponto 3a 2 +6a-2=-2. Tendo resolvido a equação, obtemos 1 =0 e 2 =-2. Usando as coordenadas encontradas, você pode encontrar a equação tangente usando um algoritmo bem conhecido. Encontramos o valor da função nos pontos f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. O valor da derivada no ponto f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. Substituindo os valores encontrados na equação tangente, obtemos para o primeiro ponto a 1 =0 y=-2x-2, e para o segundo ponto a 2 =-2 a equação tangente y=-2x-22.

O Exemplo 3 descreve a composição da equação tangente para desenhá-la no ponto (0;3) do gráfico da função y=√x. A solução é feita usando um algoritmo bem conhecido. O ponto tangente possui coordenadas x=a, onde a>0. O valor da função no ponto f(a)=√x. A derivada da função f΄(х)=1/2√х, portanto em um determinado ponto f΄(а)=1/2√а. Substituindo todos os valores obtidos na equação tangente, obtemos y = √a + (x-a)/2√a. Transformando a equação, obtemos y=x/2√а+√а/2. Sabendo que a tangente passa pelo ponto (0;3), encontramos o valor de a. Encontramos a de 3=√a/2. Portanto, √a=6, a=36. Encontramos a equação tangente y=x/12+3. A figura mostra o gráfico da função em consideração e a tangente desejada construída.

Os alunos são lembrados das igualdades aproximadas Δy=≈f΄(x)Δx e f(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. Tomando x=a, x+Δx=x, Δx=x-a, obtemos f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a), portanto f(x)≈f(a)+ f΄( a)(x-a).

No exemplo 4, é necessário encontrar o valor aproximado da expressão 2,003 6. Como é necessário encontrar o valor da função f(x)=x 6 no ponto x=2,003, podemos usar a fórmula bem conhecida, tomando f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. Derivada no ponto f΄(2)=192. Portanto, 2,003 6 ≈65-192·0,003. Tendo calculado a expressão, obtemos 2,003 6 ≈64,576.

A videoaula “Equação de uma tangente ao gráfico de uma função” é recomendada para uso em uma aula tradicional de matemática na escola. Para um professor que ensina remotamente, o material em vídeo ajudará a explicar o tema com mais clareza. O vídeo pode ser recomendado para que os alunos revisem de forma independente, se necessário, para aprofundar sua compreensão do assunto.

DECODIFICAÇÃO DE TEXTO:

Sabemos que se um ponto M (a; f(a)) (em com coordenadas a e ef de a) pertence ao gráfico da função y = f (x) e se neste ponto é possível traçar uma tangente ao gráfico da função que não é perpendicular ao eixo abscissa, então o coeficiente angular da tangente é igual a f"(a) (eff primo de a).

Sejam dados uma função y = f(x) e um ponto M (a; f(a)), e também se sabe que f´(a) existe. Vamos criar uma equação para a tangente ao gráfico de uma determinada função em um determinado ponto. Esta equação, como a equação de qualquer reta que não seja paralela ao eixo das ordenadas, tem a forma y = kx+m (o y é igual a ka x mais em), então a tarefa é encontrar os valores de os coeficientes k e m (ka e em)

Coeficiente de ângulo k= f"(a). Para calcular o valor de m, utilizamos o fato de que a reta desejada passa pelo ponto M(a; f (a)). Isso significa que se substituirmos as coordenadas do ponto M na equação da reta, obtemos a igualdade correta: f(a) = ka+m, de onde descobrimos que m = f(a) - ka.

Resta substituir os valores encontrados dos coeficientes ki e m na equação da reta:

y = kx+(f(a) -ka);

y = f(a)+k(x-a);

sim= f(a)+ f"(a) (x- a). ( y é igual a ef de a mais ef primo de a, multiplicado por x menos a).

Obtivemos a equação da tangente ao gráfico da função y = f(x) no ponto x=a.

Se, digamos, y = x 2 e x = -2 (ou seja, a = -2), então f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x, o que significa f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (então o ef de a é igual a quatro, o ef do primo de x é igual a dois x, o que significa que ef linha de a é igual a menos quatro)

Substituindo os valores encontrados a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 na equação, obtemos: y = 4+(-4)(x+2), ou seja, y = -4x -4.

(E é igual a menos quatro x menos quatro)

Vamos criar uma equação para a tangente ao gráfico da função y = tanx (y é igual à tangente x) na origem. Temos: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , o que significa f"(0) = l. Substituindo os valores encontrados a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 na equação, obtemos: y=x.

Vamos resumir nossos passos para encontrar a equação da tangente ao gráfico de uma função no ponto x usando um algoritmo.

ALGORITMO PARA DESENVOLVER UMA EQUAÇÃO PARA UMA TANGENTE AO GRÁFICO DA FUNÇÃO y = f(x):

1) Designe a abcissa do ponto de tangência com a letra a.

2) Calcule f(a).

3) Encontre f´(x) e calcule f´(a).

4) Substitua os números encontrados a, f(a), f´(a) na fórmula sim= f(a)+ f"(a) (x- a).

Exemplo 1. Crie uma equação para a tangente ao gráfico da função y = - in

ponto x = 1.

Solução. Vamos utilizar o algoritmo, levando em consideração que neste exemplo

2) f(uma)=f(1)=- =-1

3) f´(x)=; f´(a)= f´(1)= =1.

4) Substitua os três números encontrados: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 na fórmula. Obtemos: y = -1+(x-1), y = x-2 .

Resposta: y = x-2.

Exemplo 2. Dada a função y = x 3 +3x 2 -2x-2. Escreva a equação da tangente ao gráfico da função y = f(x), paralela à reta y = -2x +1.

Utilizando o algoritmo de composição da equação tangente, levamos em consideração que neste exemplo f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2, mas a abcissa do ponto tangente não é indicada aqui.

Vamos começar a pensar assim. A tangente desejada deve ser paralela à reta y = -2x+1. E as retas paralelas têm coeficientes angulares iguais. Isso significa que o coeficiente angular da tangente é igual ao coeficiente angular da reta dada: k tangente. = -2. Hok cas. = f"(a). Assim, podemos encontrar o valor de a a partir da equação f ´(a) = -2.

Vamos encontrar a derivada da função e =f(x):

f"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;f"(uma)= 3a 2 +6a-2.

Da equação f"(a) = -2, ou seja, 3a 2 +6a-2=-2 encontramos a 1 =0, a 2 =-2. Isso significa que existem duas tangentes que satisfazem as condições do problema: uma no ponto com abscissa 0, a outra no ponto com abscissa -2.

Agora você pode seguir o algoritmo.

1) a 1 =0 e 2 =-2.

2) f(uma 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(uma2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) f"(uma 1) = f"(uma 2) = -2.

4) Substituindo os valores a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 na fórmula, obtemos:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2.

Substituindo os valores a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 na fórmula, obtemos:

y=6-2(x+2), y=-2x+2.

Resposta: y=-2x-2, y=-2x+2.

Exemplo 3. A partir do ponto (0; 3) desenhe uma tangente ao gráfico da função y = . Solução. Vamos utilizar o algoritmo de composição da equação tangente, levando em consideração que neste exemplo f(x) = . Observe que aqui, como no exemplo 2, a abcissa do ponto tangente não é explicitamente indicada. No entanto, seguimos o algoritmo.

1) Seja x = a a abcissa do ponto de tangência; é claro que a >0.

3) f´(x)=()´=; f´(a) =.

4) Substituindo os valores de a, f(a) = , f"(a) = na fórmula

y=f (a) +f "(a) (x-a), Nós temos:

Por condição, a tangente passa pelo ponto (0; 3). Substituindo os valores x = 0, y = 3 na equação, obtemos: 3 = e então =6, a =36.

Como você pode ver, neste exemplo, apenas na quarta etapa do algoritmo conseguimos encontrar a abcissa do ponto tangente. Substituindo o valor a =36 na equação, obtemos: y=+3

Na Fig. A Figura 1 mostra uma ilustração geométrica do exemplo considerado: um gráfico da função y = é traçado, uma linha reta é desenhada y = +3.

Resposta: y = +3.

Sabemos que para uma função y = f(x), que tem uma derivada no ponto x, a igualdade aproximada é válida: Δyf´(x)Δx (delta y é aproximadamente igual ao eff primo de x multiplicado por delta x)

ou, mais detalhadamente, f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff de x mais delta x menos ef de x é aproximadamente igual a eff primo de x por delta x).

Para conveniência de uma discussão mais aprofundada, vamos alterar a notação:

em vez de x escreveremos A,

em vez de x+Δx escreveremos x

em vez de Δx escreveremos x-a.

Então a igualdade aproximada escrita acima terá a forma:

f(x)-f(a)f´(a)(x-a)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (eff de x é aproximadamente igual a ef de a mais ef primo de a, multiplicado pela diferença entre x e a).

Exemplo 4. Encontre o valor aproximado da expressão numérica 2.003 6.

Solução. Estamos falando sobre encontrar o valor da função y = x 6 no ponto x = 2,003. Vamos usar a fórmula f(x)f(a)+f´(a)(x-a), levando em consideração que neste exemplo f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 e, portanto, f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

Como resultado obtemos:

2,003 6 64+192· 0,003, ou seja, 2,003 6 =64,576.

Se usarmos uma calculadora, obtemos:

2,003 6 = 64,5781643...

Como você pode ver, a precisão da aproximação é bastante aceitável.

O tópico “O coeficiente angular de uma tangente como tangente do ângulo de inclinação” é aplicado em diversas tarefas no exame de certificação. Dependendo de sua condição, o graduado pode ser solicitado a fornecer uma resposta completa ou curta. Ao se preparar para fazer o Exame Estadual Unificado de matemática, o aluno deve repetir definitivamente as tarefas que exigem o cálculo da inclinação de uma tangente.

O portal educacional Shkolkovo irá ajudá-lo a fazer isso. Nossos especialistas prepararam e apresentaram material teórico e prático da forma mais acessível possível. Familiarizados com ele, graduados com qualquer nível de formação poderão resolver com sucesso problemas relacionados a derivadas em que é necessário encontrar a tangente do ângulo tangente.

Momentos básicos

Para encontrar a solução correta e racional para tais problemas no Exame Estadual Unificado, é necessário lembrar a definição básica: a derivada representa a taxa de variação de uma função; é igual à tangente do ângulo tangente traçado ao gráfico da função em um determinado ponto. É igualmente importante completar o desenho. Isso permitirá que você encontre a solução correta para problemas de USE na derivada, na qual você precisa calcular a tangente do ângulo tangente. Para maior clareza, é melhor traçar o gráfico no plano OXY.

Se você já se familiarizou com o material básico sobre o tema derivadas e está pronto para começar a resolver problemas de cálculo da tangente do ângulo tangente, semelhantes às tarefas do Exame de Estado Unificado, você pode fazer isso online. Para cada tarefa, por exemplo, problemas sobre o tema “Relação de uma derivada com a velocidade e aceleração de um corpo”, anotamos a resposta correta e o algoritmo de solução. Ao mesmo tempo, os alunos podem praticar a execução de tarefas de diversos níveis de complexidade. Se necessário, o exercício pode ser salvo na seção “Favoritos” para que você possa discutir a solução posteriormente com o professor.

O artigo fornece uma explicação detalhada das definições, o significado geométrico da derivada com notações gráficas. A equação de uma reta tangente será considerada com exemplos, serão encontradas as equações de uma tangente a curvas de 2ª ordem.

Yandex.RTB RA-339285-1 Definição 1

O ângulo de inclinação da reta y = k x + b é denominado ângulo α, que é medido da direção positiva do eixo x até a reta y = k x + b na direção positiva.

Na figura, a direção x é indicada por uma seta verde e um arco verde, e o ângulo de inclinação por um arco vermelho. A linha azul refere-se à linha reta.

Definição 2

A inclinação da linha reta y = k x + b é chamada de coeficiente numérico k.

O coeficiente angular é igual à tangente da reta, ou seja, k = t g α.

• O ângulo de inclinação de uma linha reta é igual a 0 somente se ela for paralela a x e a inclinação for igual a zero, porque a tangente de zero é igual a 0. Isso significa que a forma da equação será y = b.
• Se o ângulo de inclinação da linha reta y = k x + b for agudo, então as condições 0 são satisfeitas< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0, e há um aumento no gráfico.
• Se α = π 2, então a localização da linha é perpendicular a x. A igualdade é especificada por x = c com o valor c sendo um número real.
• Se o ângulo de inclinação da linha reta y = k x + b for obtuso, então corresponde às condições π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

Definição 3

Uma secante é uma reta que passa por 2 pontos da função f(x). Em outras palavras, uma secante é uma linha reta traçada através de quaisquer dois pontos no gráfico de uma determinada função.

A figura mostra que AB é uma secante, e f(x) é uma curva preta, α é um arco vermelho, indicando o ângulo de inclinação da secante.

Quando o coeficiente angular de uma linha reta é igual à tangente do ângulo de inclinação, é claro que a tangente de um triângulo retângulo A B C pode ser encontrada pela razão entre o lado oposto e o adjacente.

Definição 4

Obtemos uma fórmula para encontrar uma secante da forma:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A, onde as abcissas dos pontos A e B são os valores x A, x B e f (x A), f (x B) são as funções de valores nesses pontos.

Obviamente, o coeficiente angular da secante é determinado usando a igualdade k = f (x B) - f (x A) x B - x A ou k = f (x A) - f (x B) x A - x B , e a equação deve ser escrita como y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) ou
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

A secante divide o gráfico visualmente em 3 partes: à esquerda do ponto A, de A a B, à direita de B. A figura abaixo mostra que existem três secantes que são consideradas coincidentes, ou seja, são definidas usando um equação semelhante.

Por definição, é claro que a reta e sua secante neste caso coincidem.

Uma secante pode cruzar o gráfico de uma determinada função várias vezes. Se houver uma equação da forma y = 0 para uma secante, então o número de pontos de intersecção com a senóide é infinito.

Definição 5

Tangente ao gráfico da função f(x) no ponto x 0 ; f (x 0) é uma linha reta que passa por um determinado ponto x 0; f (x 0), com a presença de um segmento que possui muitos valores de x próximos de x 0.

Exemplo 1

Vamos dar uma olhada mais de perto no exemplo abaixo. Então fica claro que a reta definida pela função y = x + 1 é considerada tangente a y = 2 x no ponto com coordenadas (1; 2). Para maior clareza, é necessário considerar gráficos com valores próximos de (1; 2). A função y = 2 x é mostrada em preto, a linha azul é a linha tangente e o ponto vermelho é o ponto de intersecção.

Obviamente, y = 2 x se funde com a reta y = x + 1.

Para determinar a tangente, devemos considerar o comportamento da tangente A B à medida que o ponto B se aproxima infinitamente do ponto A. Para maior clareza, apresentamos um desenho.

A secante AB, indicada pela linha azul, tende para a posição da própria tangente, e o ângulo de inclinação da secante α começará a tender para o ângulo de inclinação da própria tangente α x.

Definição 6

A tangente ao gráfico da função y = f (x) no ponto A é considerada a posição limite da secante A B quando B tende para A, ou seja, B → A.

Agora vamos considerar o significado geométrico da derivada de uma função em um ponto.

Vamos considerar a secante A B para a função f (x), onde A e B com coordenadas x 0, f (x 0) e x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x) e ∆ x é denotado como o incremento do argumento. Agora a função terá a forma ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Para maior clareza, vamos dar um exemplo de desenho.

Considere o triângulo retângulo resultante A B C. Usamos a definição de tangente para resolver, ou seja, obtemos a relação ∆ y ∆ x = t g α . Da definição de uma tangente segue que lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . De acordo com a regra da derivada em um ponto, temos que a derivada f (x) no ponto x 0 é chamada de limite da razão entre o incremento da função e o incremento do argumento, onde ∆ x → 0 , então denotamos como f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

Segue-se que f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x, onde k x é denotado como a inclinação da tangente.

Ou seja, descobrimos que f ' (x) pode existir no ponto x 0, e como a tangente a um determinado gráfico da função no ponto de tangência igual a x 0, f 0 (x 0), onde o valor de a inclinação da tangente no ponto é igual à derivada no ponto x 0 . Então obtemos que k x = f " (x 0) .

O significado geométrico da derivada de uma função em um ponto é que ela dá o conceito da existência de uma tangente ao gráfico no mesmo ponto.

Para escrever a equação de qualquer reta em um plano, é necessário ter um coeficiente angular com o ponto por onde ela passa. Sua notação é considerada x 0 na interseção.

A equação tangente ao gráfico da função y = f (x) no ponto x 0, f 0 (x 0) assume a forma y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

Isso significa que o valor final da derivada f "(x 0) pode determinar a posição da tangente, ou seja, verticalmente, desde que lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ e lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ ou ausência total sob a condição lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

A localização da tangente depende do valor de seu coeficiente angular k x = f "(x 0). Quando paralelo ao eixo o x, obtemos que k k = 0, quando paralelo a o y - k x = ∞, e a forma do equação tangente x = x 0 aumenta com k x > 0, diminui à medida que k x< 0 .

Exemplo 2

Compile uma equação para a tangente ao gráfico da função y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 no ponto com coordenadas (1; 3) e determine o ângulo de inclinação.

Solução

Por condição, temos que a função esteja definida para todos os números reais. Descobrimos que o ponto com as coordenadas especificadas pela condição (1; 3) é um ponto de tangência, então x 0 = - 1, f (x 0) = - 3.

É necessário encontrar a derivada no ponto com valor - 1. Nós entendemos isso

y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

O valor de f' (x) no ponto de tangência é a inclinação da tangente, que é igual à tangente da inclinação.

Então k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

Segue-se que α x = a r c t g 3 3 = π 6

Responder: a equação tangente assume a forma

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

Para maior clareza, damos um exemplo em uma ilustração gráfica.

A cor preta é usada para o gráfico da função original, a cor azul é a imagem da tangente e o ponto vermelho é o ponto de tangência. A figura à direita mostra uma visão ampliada.

Exemplo 3

Determine a existência de uma tangente ao gráfico de uma determinada função
y = 3 · x - 1 5 + 1 no ponto com coordenadas (1 ; 1) . Escreva uma equação e determine o ângulo de inclinação.

Solução

Por condição, temos que o domínio de definição de uma determinada função seja considerado o conjunto de todos os números reais.

Vamos prosseguir para encontrar a derivada

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

Se x 0 = 1, então f' (x) é indefinido, mas os limites são escritos como lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ e lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , o que significa existência tangente vertical no ponto (1; 1).

Responder: a equação terá a forma x = 1, onde o ângulo de inclinação será igual a π 2.

Para maior clareza, vamos representá-lo graficamente.

Exemplo 4

Encontre os pontos no gráfico da função y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2, onde

1. Não há tangente;
2. A tangente é paralela a x;
3. A tangente é paralela à reta y = 8 5 x + 4.

Solução

É necessário atentar para o escopo da definição. Por condição, temos que a função esteja definida no conjunto de todos os números reais. Expandimos o módulo e resolvemos o sistema com intervalos x ∈ - ∞ ; 2 e [-2; + ∞) . Nós entendemos isso

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

É necessário diferenciar a função. Nós temos isso

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; +∞)

Quando x = − 2, então a derivada não existe porque os limites unilaterais não são iguais nesse ponto:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y " (x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

Calculamos o valor da função no ponto x = - 2, onde obtemos isso

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2, ou seja, a tangente no ponto ( - 2; - 2) não existirá.
2. A tangente é paralela a x quando a inclinação é zero. Então k x = t g α x = f "(x 0). Ou seja, é necessário encontrar os valores de tal x quando a derivada da função o transforma em zero. Ou seja, os valores de f ' (x) serão os pontos de tangência, onde a tangente é paralela a x .

Quando x ∈ - ∞ ; - 2, então - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0, e para x ∈ (- 2; + ∞) obtemos 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

Calcule os valores da função correspondentes

1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 e 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

Portanto - 5; 8 5, - 4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 são considerados os pontos necessários do gráfico da função.

Vejamos uma representação gráfica da solução.

A linha preta é o gráfico da função, os pontos vermelhos são os pontos de tangência.

1. Quando as linhas são paralelas, os coeficientes angulares são iguais. Então é necessário procurar pontos no gráfico da função onde a inclinação será igual ao valor 8 5. Para fazer isso, você precisa resolver uma equação da forma y "(x) = 8 5. Então, se x ∈ - ∞; - 2, obtemos que - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5, e se x ∈ ( - 2 ; + ∞), então 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

A primeira equação não tem raízes porque o discriminante é menor que zero. Vamos escrever isso

1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 43 = - 28< 0

Outra equação tem duas raízes reais, então

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

Vamos prosseguir para encontrar os valores da função. Nós entendemos isso

y 1 = y (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

Pontos com valores – 1; 4 15, 5; 8 3 são os pontos nos quais as tangentes são paralelas à reta y = 8 5 x + 4.

Responder: linha preta – gráfico da função, linha vermelha – gráfico de y = 8 5 x + 4, linha azul – tangentes nos pontos - 1; 4 15, 5; 8 3.

Pode haver um número infinito de tangentes para determinadas funções.

Exemplo 5

Escreva as equações de todas as tangentes disponíveis da função y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3, que estão localizadas perpendicularmente à linha reta y = - 2 x + 1 2.

Solução

Para compilar a equação tangente, é necessário encontrar o coeficiente e as coordenadas do ponto tangente, com base na condição de perpendicularidade das retas. A definição é a seguinte: o produto dos coeficientes angulares perpendiculares às retas é igual a - 1, ou seja, escrito como k x · k ⊥ = - 1. Da condição temos que o coeficiente angular está localizado perpendicularmente à reta e é igual a k ⊥ = - 2, então k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

Agora você precisa encontrar as coordenadas dos pontos de contato. Você precisa encontrar x e então seu valor para uma determinada função. Observe que a partir do significado geométrico da derivada no ponto
x 0 obtemos que k x = y "(x 0). A partir desta igualdade encontramos os valores de x para os pontos de contato.

Nós entendemos isso

y "(x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3" = 3 - sen 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 sen 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 sen 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 sen 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sen 3 2 x 0 - π 4 = - 19

Esta equação trigonométrica será usada para calcular as ordenadas dos pontos tangentes.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk ou 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sen 1 9 + 2 πk ou 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sen 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sen 1 9 + 2 πk ou x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sen 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z é um conjunto de inteiros.

x pontos de contato foram encontrados. Agora você precisa prosseguir para a busca pelos valores de y:

y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sen 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 ou y 0 = 3 - 1 - sen 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 ou y 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

y 0 = 4 5 - 1 3 ou y 0 = - 4 5 + 1 3

Disto obtemos que 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + arc sen 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 são os pontos de tangência.

Responder: as equações necessárias serão escritas como

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - arc sen 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + arc sen 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 , k ∈ Z

Para uma representação visual, considere uma função e uma tangente em uma linha de coordenadas.

A figura mostra que a função está localizada no intervalo [-10; 10], onde a linha preta é o gráfico da função, as linhas azuis são tangentes, que estão localizadas perpendicularmente à linha dada da forma y = - 2 x + 1 2. Os pontos vermelhos são pontos de contato.

As equações canônicas das curvas de 2ª ordem não são funções de valor único. As equações tangentes para eles são compiladas de acordo com esquemas conhecidos.

Tangente a um círculo

Para definir um círculo com centro no ponto x c e n t e r ; y centro e raio R, aplique a fórmula x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

Esta igualdade pode ser escrita como uma união de duas funções:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

A primeira função está localizada na parte superior e a segunda na parte inferior, conforme mostrado na figura.

Para compilar a equação de um círculo no ponto x 0; y 0 , que está localizado no semicírculo superior ou inferior, você deve encontrar a equação do gráfico de uma função da forma y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r ou y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y centralize no ponto indicado.

Quando em pontos x c e n t e r ; y centro + R e x centro ; as tangentes y c e n t e r - R podem ser dadas pelas equações y = y c e n t e r + R e y = y c e n t e r - R , e nos pontos x c e n t e r + R ; y centro e
x c e n t e r - R ; y centro será paralelo a o y, então obtemos equações da forma x = x c e n t e r + R e x = x c e n t e r - R .

Tangente a uma elipse

Quando a elipse tem centro em x c e n t e r ; y centro com semieixos a e b, então ele pode ser especificado usando a equação x - x centro 2 a 2 + y - y centro 2 b 2 = 1.

Uma elipse e um círculo podem ser denotados pela combinação de duas funções, nomeadamente a semi-elipse superior e inferior. Então nós entendemos isso

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

Se as tangentes estão localizadas nos vértices da elipse, então elas são paralelas em torno de x ou em torno de y. Abaixo, para maior clareza, considere a figura.

Exemplo 6

Escreva a equação da tangente à elipse x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 em pontos com valores de x iguais a x = 2.

Solução

É necessário encontrar os pontos tangentes que correspondem ao valor x = 2. Substituímos na equação existente da elipse e descobrimos que

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

Então 2; 5 3 2 + 5 e 2; - 5 3 2 + 5 são os pontos tangentes que pertencem à semi-elipse superior e inferior.

Vamos prosseguir para encontrar e resolver a equação da elipse em relação a y. Nós entendemos isso

x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2

Obviamente, a meia elipse superior é especificada usando uma função da forma y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2, e a metade inferior da elipse y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

Vamos aplicar um algoritmo padrão para criar uma equação para uma tangente ao gráfico de uma função em um ponto. Escrevemos que a equação da primeira tangente no ponto 2; 5 3 2 + 5 será parecido

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3 ) 2 ⇒ y "(x 0) = y" (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5

Descobrimos que a equação da segunda tangente com um valor no ponto
2; - 5 3 2 + 5 assume a forma

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5

Graficamente, as tangentes são designadas da seguinte forma:

Tangente à hipérbole

Quando uma hipérbole tem centro em x c e n t e r ; y centro e vértices x centro + α; y c e n t e r e x c ​​e n t e r - α ; y c e n t e r , a desigualdade x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 ocorre, se com vértices x c e n t e r ; y centro + b e x centro ; y c e n t e r - b , então é especificado usando a desigualdade x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

Uma hipérbole pode ser representada como duas funções combinadas da forma

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r ou y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r

No primeiro caso temos que as tangentes são paralelas a y, e no segundo são paralelas a x.

Segue-se que para encontrar a equação da tangente a uma hipérbole é necessário descobrir a qual função pertence o ponto de tangência. Para determinar isso, é necessário substituir nas equações e verificar a identidade.

Exemplo 7

Escreva uma equação para a tangente à hipérbole x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 no ponto 7; - 3 3 - 3 .

Solução

É necessário transformar o registro da solução para encontrar uma hipérbole usando 2 funções. Nós entendemos isso

x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 x - 3 2 - 4 e y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

É necessário identificar a qual função pertence um determinado ponto de coordenadas 7; - 3 3 - 3 .

Obviamente, para verificar a primeira função é necessário y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, então o ponto não pertence ao gráfico, já que a igualdade não é válida.

Para a segunda função temos que y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, o que significa que o ponto pertence ao gráfico dado. A partir daqui você deve encontrar a inclinação.

Nós entendemos isso

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

Responder: a equação tangente pode ser representada como

y = - 3 x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 x + 4 3 - 3

Está claramente representado assim:

Tangente a uma parábola

Para criar uma equação para a tangente à parábola y = a x 2 + b x + c no ponto x 0, y (x 0), você deve usar um algoritmo padrão, então a equação assumirá a forma y = y "(x 0) x - x 0 + y ( x 0). Tal tangente no vértice é paralela a x.

Você deve definir a parábola x = a y 2 + b y + c como a união de duas funções. Portanto, precisamos resolver a equação para y. Nós entendemos isso

x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a

Representado graficamente como:

Para descobrir se um ponto x 0, y (x 0) pertence a uma função, proceda com cuidado de acordo com o algoritmo padrão. Tal tangente será paralela a oy em relação à parábola.

Exemplo 8

Escreva a equação da tangente ao gráfico x - 2 y 2 - 5 y + 3 quando tivermos um ângulo tangente de 150°.

Solução

Começamos a solução representando a parábola como duas funções. Nós entendemos isso

2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4

O valor da inclinação é igual ao valor da derivada no ponto x 0 desta função e é igual à tangente do ângulo de inclinação.

Nós temos:

k x = y " (x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

A partir daqui determinamos o valor x para os pontos de contato.

A primeira função será escrita como

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

Obviamente, não existem raízes reais, pois obtivemos um valor negativo. Concluímos que não existe tangente com ângulo de 150° para tal função.

A segunda função será escrita como

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

Temos que os pontos de contato são 23 4 ; - 5 + 3 4 .

Responder: a equação tangente assume a forma

y = - 1 3 x - 23 4 + - 5 + 3 4

Vamos representá-lo graficamente desta forma:

Se você notar um erro no texto, destaque-o e pressione Ctrl+Enter

Uma tangente é uma linha reta , que toca o gráfico da função em um ponto e todos os pontos estão na distância mais curta do gráfico da função. Portanto, a tangente passa tangente ao gráfico da função em um determinado ângulo e várias tangentes em ângulos diferentes não podem passar pelo ponto de tangência. Equações tangentes e equações normais ao gráfico de uma função são construídas usando a derivada.

A equação tangente é derivada da equação da linha .

Vamos derivar a equação da tangente e depois a equação da normal ao gráfico da função.

sim = kx + b .

Nele k- coeficiente angular.

A partir daqui, obtemos a seguinte entrada:

sim - sim 0 = k(x - x 0 ) .

Valor derivado f "(x 0 ) funções sim = f(x) no ponto x0 igual à inclinação k=tg φ tangente ao gráfico de uma função desenhada através de um ponto M0 (x 0 , sim 0 ) , Onde sim0 = f(x 0 ) . Isso é significado geométrico da derivada .

Assim, podemos substituir k sobre f "(x 0 ) e obtenha o seguinte equação da tangente ao gráfico de uma função :

sim - sim 0 = f "(x 0 )(x - x 0 ) .

Nos problemas que envolvem a composição da equação de uma tangente ao gráfico de uma função (e passaremos a eles em breve), é necessário reduzir a equação obtida da fórmula acima para equação de uma linha reta na forma geral. Para fazer isso, mova todas as letras e números para o lado esquerdo da equação e deixe zero no lado direito.

Agora sobre a equação normal. Normal - esta é uma linha reta que passa pelo ponto de tangência ao gráfico da função perpendicular à tangente. Equação normal :

(x - x 0 ) + f "(x 0 )(sim - sim 0 ) = 0

Para aquecer, você deverá resolver o primeiro exemplo sozinho e, em seguida, analisar a solução. Há todos os motivos para esperar que esta tarefa não seja um “banho frio” para os nossos leitores.

Exemplo 0. Crie uma equação tangente e uma equação normal para o gráfico de uma função em um ponto M (1, 1) .

Exemplo 1. Escreva uma equação tangente e uma equação normal ao gráfico de uma função , se a abcissa for tangente .

Vamos encontrar a derivada da função:

Agora temos tudo o que precisa ser substituído na entrada dada na ajuda teórica para obter a equação tangente. Nós temos

Neste exemplo, tivemos sorte: a inclinação acabou sendo zero, então não houve necessidade de reduzir separadamente a equação à sua forma geral. Agora podemos criar a equação normal:

Na figura abaixo: o gráfico da função é bordô, a tangente é verde, a normal é laranja.

O próximo exemplo também não é complicado: a função, como no anterior, também é um polinômio, mas a inclinação não será igual a zero, então será adicionado mais um passo - trazendo a equação para uma forma geral.

Exemplo 2.

Solução. Vamos encontrar a ordenada do ponto tangente:

Vamos encontrar a derivada da função:

.

Vamos encontrar o valor da derivada no ponto de tangência, ou seja, a inclinação da tangente:

Substituímos todos os dados obtidos na “fórmula em branco” e obtemos a equação tangente:

Trazemos a equação à sua forma geral (coletamos todas as letras e números, exceto zero, no lado esquerdo e deixamos zero à direita):

Compomos a equação normal:

Exemplo 3. Escreva a equação da tangente e a equação da normal ao gráfico da função se a abcissa for o ponto de tangência.

Solução. Vamos encontrar a ordenada do ponto tangente:

Vamos encontrar a derivada da função:

.

Vamos encontrar o valor da derivada no ponto de tangência, ou seja, a inclinação da tangente:

.

Encontramos a equação tangente:

Antes de trazer a equação para sua forma geral, é preciso “pentear” um pouco: multiplicar termo por termo por 4. Fazemos isso e trazemos a equação para sua forma geral:

Compomos a equação normal:

Exemplo 4. Escreva a equação da tangente e a equação da normal ao gráfico da função se a abcissa for o ponto de tangência.

Solução. Vamos encontrar a ordenada do ponto tangente:

.

Vamos encontrar a derivada da função:

Vamos encontrar o valor da derivada no ponto de tangência, ou seja, a inclinação da tangente:

.

Obtemos a equação tangente:

Trazemos a equação para sua forma geral:

Compomos a equação normal:

Um erro comum ao escrever equações tangentes e normais é não perceber que a função dada no exemplo é complexa e calcular sua derivada como a derivada de uma função simples. Os exemplos a seguir já são de funções complexas(a lição correspondente será aberta em uma nova janela).

Exemplo 5. Escreva a equação da tangente e a equação da normal ao gráfico da função se a abcissa for o ponto de tangência.

Solução. Vamos encontrar a ordenada do ponto tangente:

Atenção! Esta função é complexa, pois o argumento tangente (2 x) é em si uma função. Portanto, encontramos a derivada de uma função como a derivada de uma função complexa.

Tipo de trabalho: 7

Doença

A reta y=3x+2 é tangente ao gráfico da função y=-12x^2+bx-10. Encontre b, dado que a abcissa do ponto tangente é menor que zero.

Mostrar solução

Solução

Seja x_0 a abcissa do ponto no gráfico da função y=-12x^2+bx-10 por onde passa a tangente a este gráfico.

O valor da derivada no ponto x_0 é igual à inclinação da tangente, ou seja, y"(x_0)=-24x_0+b=3. Por outro lado, o ponto de tangência pertence simultaneamente tanto ao gráfico do função e a tangente, ou seja, -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2. \begin(casos) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \fim(casos)

Resolvendo este sistema, obtemos x_0^2=1, o que significa x_0=-1 ou x_0=1. De acordo com a condição de abcissas, os pontos tangentes são menores que zero, então x_0=-1, então b=3+24x_0=-21.

Responder

Tipo de trabalho: 7
Tópico: Significado geométrico das derivadas. Tangente ao gráfico de uma função

Doença

A reta y=-3x+4 é paralela à tangente ao gráfico da função y=-x^2+5x-7. Encontre a abscissa do ponto tangente.

Mostrar solução

Solução

O coeficiente angular da linha reta para o gráfico da função y=-x^2+5x-7 em um ponto arbitrário x_0 é igual a y"(x_0). Mas y"=-2x+5, o que significa y" (x_0)=-2x_0+5. Angular o coeficiente da reta y=-3x+4 especificado na condição é igual a -3. -2x_0 +5=-3.

Obtemos: x_0 = 4.

Responder

Fonte: “Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado 2017. Nível do perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: Significado geométrico das derivadas. Tangente ao gráfico de uma função

Doença

Mostrar solução

Solução

Pela figura determinamos que a tangente passa pelos pontos A(-6; 2) e B(-1; 1). Denotemos por C(-6; 1) o ponto de intersecção das retas x=-6 e y=1, e por \alpha o ângulo ABC (você pode ver na figura que ele é agudo). Então a linha reta AB forma um ângulo \pi -\alpha com a direção positiva do eixo do Boi, que é obtuso.

Como se sabe, tg(\pi -\alpha) será o valor da derivada da função f(x) no ponto x_0. notar que tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. A partir daqui, usando as fórmulas de redução, obtemos: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Responder

Fonte: “Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado 2017. Nível do perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: Significado geométrico das derivadas. Tangente ao gráfico de uma função

Doença

A reta y=-2x-4 é tangente ao gráfico da função y=16x^2+bx+12. Encontre b, dado que a abcissa do ponto tangente é maior que zero.

Mostrar solução

Solução

Seja x_0 a abcissa do ponto no gráfico da função y=16x^2+bx+12 através do qual

é tangente a este gráfico.

O valor da derivada no ponto x_0 é igual à inclinação da tangente, ou seja, y"(x_0)=32x_0+b=-2. Por outro lado, o ponto de tangência pertence simultaneamente tanto ao gráfico do função e a tangente, ou seja, 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Obtemos um sistema de equações. \begin(casos) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \fim(casos)

Resolvendo o sistema, obtemos x_0^2=1, o que significa x_0=-1 ou x_0=1. De acordo com a condição de abcissas, os pontos tangentes são maiores que zero, então x_0=1, então b=-2-32x_0=-34.

Responder

Fonte: “Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado 2017. Nível do perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: Significado geométrico das derivadas. Tangente ao gráfico de uma função

Doença

A figura mostra um gráfico da função y=f(x), definida no intervalo (-2; 8). Determine o número de pontos em que a tangente ao gráfico da função é paralela à reta y=6.

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Solução

A linha reta y=6 é paralela ao eixo do Boi. Portanto, encontramos pontos nos quais a tangente ao gráfico da função é paralela ao eixo do Boi. Neste gráfico, tais pontos são pontos extremos (pontos máximos ou mínimos). Como você pode ver, existem 4 pontos extremos.

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Fonte: “Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado 2017. Nível do perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: Significado geométrico das derivadas. Tangente ao gráfico de uma função

Doença

A reta y=4x-6 é paralela à tangente ao gráfico da função y=x^2-4x+9. Encontre a abscissa do ponto tangente.

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Solução

A inclinação da tangente ao gráfico da função y=x^2-4x+9 em um ponto arbitrário x_0 é igual a y"(x_0). Mas y"=2x-4, o que significa y"(x_0)= 2x_0-4. A inclinação da tangente y =4x-7 especificada na condição é igual a 4. Retas paralelas têm os mesmos coeficientes angulares. Portanto, encontramos um valor de x_0 tal que 2x_0-4=4.

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Fonte: “Matemática. Preparação para o Exame Estadual Unificado 2017. Nível do perfil." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Tipo de trabalho: 7
Tópico: Significado geométrico das derivadas. Tangente ao gráfico de uma função

Doença

A figura mostra o gráfico da função y=f(x) e a tangente a ela no ponto com a abcissa x_0. Encontre o valor da derivada da função f(x) no ponto x_0.

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Solução

Pela figura determinamos que a tangente passa pelos pontos A(1; 1) e B(5; 4). Denotemos por C(5; 1) o ponto de intersecção das retas x=5 e y=1, e por \alpha o ângulo BAC (você pode ver na figura que ele é agudo). Então a linha reta AB forma um ângulo α com a direção positiva do eixo do Boi.