Densidade de distribuição de uma variável aleatória discreta. Densidade de distribuição de probabilidade

O resultado de qualquer experimento aleatório pode ser caracterizado qualitativa e quantitativamente. Qualitativo o resultado de um experimento aleatório - aleatório evento. Qualquer característica quantitativa, que, como resultado de um experimento aleatório, pode assumir um dentre vários valores, - valor aleatório. Valor aleatório é um dos conceitos centrais da teoria da probabilidade.

Seja um espaço de probabilidade arbitrário. Variável aleatóriaé uma função numérica real x =x (w), w W tal que para qualquer real x .

Evento Costuma-se escrevê-lo na forma x< x. A seguir, as variáveis ​​​​aleatórias serão denotadas por letras gregas minúsculas x, h, z, ...

Uma variável aleatória é o número de pontos obtidos no lançamento de um dado ou a altura de um aluno selecionado aleatoriamente no grupo de estudo. No primeiro caso estamos lidando com discreto variável aleatória(leva valores de um conjunto de números discretos M =(1, 2, 3, 4, 5, 6); no segundo caso - com contínuo variável aleatória(leva valores de um conjunto numérico contínuo - do intervalo da reta numérica EU=).

Cada variável aleatória é completamente determinada por seu função de distribuição.

Se x é uma variável aleatória, então a função F(x) = FX(x) = P(x< x) é chamado função de distribuição variável aleatória x. Aqui P(x<x) - a probabilidade de a variável aleatória x assumir um valor menor que x.

É importante entender que a função de distribuição é o “passaporte” de uma variável aleatória: ela contém todas as informações sobre a variável aleatória e, portanto, o estudo de uma variável aleatória consiste em estudá-la funções de distribuição, que muitas vezes é chamado simplesmente distribuição.

A função de distribuição de qualquer variável aleatória possui as seguintes propriedades:

Se x é uma variável aleatória discreta que assume os valores x 1 <x 2 < … <XI < … с вероятностями p 1 <p 2 < … <eu < …, то таблица вида

x 1	x 2	…	XI	…
p 1	p 2	…	eu	…

chamado distribuição de uma variável aleatória discreta.

A função de distribuição de uma variável aleatória com tal distribuição tem a forma

Uma variável aleatória discreta tem uma função de distribuição escalonada. Por exemplo, para o número aleatório de pontos obtidos em um lançamento de um dado, a distribuição, a função de distribuição e o gráfico da função de distribuição são:

1	2	3	4	5	6
1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Se a função de distribuição FX(x) é contínua, então a variável aleatória x é chamada variável aleatória contínua.

Se a função de distribuição de uma variável aleatória contínua diferenciável, então uma representação mais visual da variável aleatória é dada por densidade de probabilidade da variável aleatória p x(x), que está relacionado à função de distribuição FX(x) fórmulas

E .

A partir daqui, em particular, segue-se que para qualquer variável aleatória.

Ao resolver problemas práticos, muitas vezes é necessário encontrar o valor x, em que a função de distribuição FX(x) a variável aleatória x assume um determinado valor p, ou seja equação precisa ser resolvida FX(x) = p. Soluções de tal equação (valores correspondentes x) na teoria da probabilidade são chamados quantil.

Quantil x p ( p-quantil, quantil de nível p) variável aleatória com função de distribuição FX(x), chamada de solução XP equações FX(x) = p, p(0, 1). Para alguns p a equação FX(x) = p pode haver várias soluções, para alguns - nenhuma. Isto significa que para a variável aleatória correspondente, alguns quantis não são definidos exclusivamente e alguns quantis não existem.

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Maneira simplificada:

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1. Densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua, sua definição, propriedades e gráfico.

Diz-se que uma variável aleatória X tem uma distribuição (distribuída) com densidade
em uma determinada seção do eixo x. Densidade de probabilidade
, como a função de distribuição F(x), é uma das formas da lei de distribuição, mas ao contrário da função de distribuição, existe apenas para contínuo variáveis ​​aleatórias . A densidade de probabilidade às vezes é chamada função diferencial ou lei de distribuição diferencial . Gráfico de densidade de probabilidade
chamado curva de distribuição .

Propriedades da densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua.

☺
como a derivada de uma função monotonicamente não decrescente F(x). ☻

☺
De acordo com a propriedade 4 da função de distribuição. Como F(x) é uma antiderivada para a densidade de probabilidade
(porque
, então de acordo com a fórmula de Newton-Leibniz, o incremento da antiderivada no segmento [a,b] é uma integral definida
. ☻

A probabilidade obtida geometricamente é igual à área da figura delimitada no topo pela curva de distribuição e baseada no segmento [a,b] (Fig. 3.8).

A função de distribuição de uma variável aleatória contínua pode ser expressa em termos de densidade de probabilidade de acordo com a fórmula:

.

Geometricamente, a função de distribuição é igual à área da figura delimitada acima da curva de distribuição e situada à esquerda do ponto x (Fig. 3.9).

Geometricamente, as propriedades 1 e 4 da densidade de probabilidade significam que seu gráfico - a curva de distribuição - não fica abaixo do eixo das abcissas, e a área total da figura delimitada pela curva de distribuição e pelo eixo das abcissas é igual a um.

1. Uma variável aleatória distribuída de acordo com a lei binomial, sua expectativa matemática e variância. Lei de distribuição de Poisson.

Definição. A variável aleatória discreta X tem lei de distribuição binomial com parâmetros npq, se assume valores 0, 1, 2,..., m,... ,n com probabilidades

onde 0<р

Como vemos, as probabilidades P(X=m) são encontradas usando a fórmula de Bernoulli, portanto, a lei de distribuição binomial é a lei de distribuição do número X=m ocorrências do evento A em n tentativas independentes, em cada uma das quais pode ocorrer com a mesma probabilidade p .

A série de distribuição da lei binomial tem a forma:

É óbvio que a definição da lei binomial está correta, porque propriedade principal de uma série de distribuição
feito porque nada mais é do que a soma de todos os termos da expansão do binômio de Newton:

Valor esperado variável aleatória X, distribuída de acordo com a lei binomial,

e sua variação

Definição. A variável aleatória discreta X tem Lei de distribuição de Poisson com parâmetro λ > 0, se assumir os valores 0, 1, 2,..., m, ... (um conjunto infinito mas contável de valores) com probabilidades
,

A série de distribuição da lei de Poisson tem a forma:

Obviamente, a definição da lei de Poisson está correta, uma vez que a propriedade principal da série de distribuição
satisfeito, porque a soma da série.

Na Fig. A Figura 4.1 mostra um polígono (polígono) da distribuição de uma variável aleatória distribuída de acordo com a lei de Poisson Р(Х=m)=Р m (λ) com parâmetros λ = 0,5, λ = 1, λ = 2, λ = 3,5.

Teorema. Expectativa e variação de uma variável aleatória distribuída de acordo com a lei de Poisson coincidem e são iguais ao parâmetro λ desta lei, ou seja,

E

"

Definição. Contínuo chamada de variável aleatória que pode assumir todos os valores de algum intervalo finito ou infinito.

Para uma variável aleatória contínua, é introduzido o conceito de função de distribuição.

Definição. Função de distribuição probabilidades de uma variável aleatória X é uma função F(x), que determina para cada valor x a probabilidade de a variável aleatória X assumir um valor menor que x, ou seja:

F(x) = P(X< x)

Freqüentemente, em vez do termo “função de distribuição”, é usado o termo “função de distribuição cumulativa”.

Propriedades da função de distribuição:

1. Os valores da função de distribuição pertencem ao segmento:

0 ≤ F(x) ≤ 1.

2. A função de distribuição é uma função não decrescente, ou seja:

se x > x,

então F(x) ≥ F(x).

3. A probabilidade de uma variável aleatória assumir um valor contido no intervalo:

a probabilidade de que uma variável aleatória contínua X assumirá qualquer valor do intervalo [ a; b], é igual a uma certa integral de sua densidade de probabilidade variando de a antes b:

.

Neste caso, a fórmula geral da função F(x) distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua, que pode ser usada se a função densidade for conhecida f(x) :

.

O gráfico de densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua é chamado de curva de distribuição (figura abaixo).

Área de uma figura (sombreada na figura) delimitada por uma curva, linhas retas desenhadas a partir de pontos a E b perpendicular ao eixo x, e o eixo Oh, exibe graficamente a probabilidade de que o valor de uma variável aleatória contínua X está dentro da faixa de a antes b.

Propriedades da função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua

1. A probabilidade de uma variável aleatória assumir qualquer valor do intervalo (e a área da figura que é limitada pelo gráfico da função f(x) e eixo Oh) é igual a um:

2. A função densidade de probabilidade não pode assumir valores negativos:

e fora da existência da distribuição seu valor é zero

Densidade de distribuição f(x), bem como a função de distribuição F(x), é uma das formas da lei de distribuição, mas diferentemente da função de distribuição, não é universal: a densidade de distribuição existe apenas para variáveis ​​aleatórias contínuas.

Mencionemos os dois tipos mais importantes de distribuição de uma variável aleatória contínua na prática.

Se a função densidade de distribuição f(x) variável aleatória contínua em algum intervalo finito [ a; b] assume um valor constante C, e fora do intervalo assume um valor igual a zero, então este a distribuição é chamada uniforme .

Se o gráfico da função densidade de distribuição for simétrico em relação ao centro, os valores médios concentram-se próximos ao centro, e ao se afastar do centro, são coletados aqueles mais diferentes da média (o gráfico da função se assemelha a uma seção de um sino), então isso distribuição é chamada normal .

Exemplo 1. A função de distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua é conhecida:

Função encontrar f(x) densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua. Construa gráficos de ambas as funções. Encontre a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir qualquer valor no intervalo de 4 a 8: .

Solução. Obtemos a função de densidade de probabilidade encontrando a derivada da função de distribuição de probabilidade:

Gráfico de uma função F(x) - parábola:

Gráfico de uma função f(x) - direto:

Vamos encontrar a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir qualquer valor no intervalo de 4 a 8:

Exemplo 2. A função de densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua é dada como:

Calcular coeficiente C. Função encontrar F(x) distribuição de probabilidade de uma variável aleatória contínua. Construa gráficos de ambas as funções. Encontre a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir qualquer valor no intervalo de 0 a 5: .

Solução. Coeficiente C encontramos, usando a propriedade 1 da função de densidade de probabilidade:

Assim, a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua é:

Integrando, encontramos a função F(x) distribuições de probabilidade. Se x < 0 , то F(x) = 0 . Se 0< x < 10 , то

.

x> 10, então F(x) = 1 .

Assim, o registro completo da função de distribuição de probabilidade é:

Gráfico de uma função f(x) :

Gráfico de uma função F(x) :

Vamos encontrar a probabilidade de uma variável aleatória contínua assumir qualquer valor no intervalo de 0 a 5:

Exemplo 3. Densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua Xé dado pela igualdade e . Encontrar coeficiente A, a probabilidade de que uma variável aleatória contínua X assumirá qualquer valor do intervalo ]0, 5[, a função de distribuição de uma variável aleatória contínua X.

Solução. Por condição chegamos à igualdade

Portanto, , de onde . Então,

.

Agora encontramos a probabilidade de que uma variável aleatória contínua X assumirá qualquer valor do intervalo ]0, 5[:

Agora obtemos a função de distribuição desta variável aleatória:

Exemplo 4. Encontre a densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua X, que assume apenas valores não negativos, e sua função de distribuição .