Regulāras četrstūra prizmas malas. Trīsstūra prizma visas formulas un piemēru uzdevumi
Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.
Personiskās informācijas vākšana un izmantošana
Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.
Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.
Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.
Kādu personas informāciju mēs apkopojam:
- Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.
Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:
- Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
- Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
- Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
- Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.
Informācijas izpaušana trešajām personām
Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.
Izņēmumi:
- Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas procedūru, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai Krievijas Federācijas valdības iestāžu lūgumiem - izpaust savu personisko informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
- Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.
Personiskās informācijas aizsardzība
Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.
Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī
Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.
Skolas programmā stereometrijas kursam trīsdimensiju figūru izpēte parasti sākas ar vienkāršu ģeometrisku ķermeni - prizmas daudzskaldni. Tās pamatu lomu pilda 2 vienādi daudzstūri, kas atrodas paralēlās plaknēs. Īpašs gadījums ir regulāra četrstūra prizma. Tās pamatnes ir 2 vienādi regulāri četrstūri, kuriem malas ir perpendikulāras, un tiem ir paralelogramu (vai taisnstūru, ja prizma nav slīpa) forma.
Kā izskatās prizma?
Parasta četrstūra prizma ir sešstūris, kura pamatnes ir 2 kvadrāti, un sānu malas attēlo taisnstūri. Vēl viens šīs ģeometriskās figūras nosaukums ir taisns paralēlskaldnis.
Zemāk ir parādīts zīmējums, kurā parādīta četrstūra prizma.
Bildē arī var redzēt svarīgākie elementi, kas veido ģeometrisku ķermeni. Tie ietver:
Dažreiz ģeometrijas problēmās jūs varat saskarties ar sadaļas jēdzienu. Definīcija skanēs šādi: sadaļa ir visi tilpuma ķermeņa punkti, kas pieder griešanas plaknei. Sekcija var būt perpendikulāra (krusto figūras malas 90 grādu leņķī). Taisnstūra prizmai tiek ņemta vērā arī diagonāle (maksimālais konstruējamo sekciju skaits ir 2), kas iet cauri 2 malām un pamatnes diagonālēm.
Ja griezums ir novilkts tā, ka griešanas plakne nav paralēla ne pamatnēm, ne sānu virsmām, rezultāts ir nogriezta prizma.
Reducēto prizmatisko elementu atrašanai tiek izmantotas dažādas attiecības un formulas. Daži no tiem ir zināmi no planimetrijas kursa (piemēram, lai atrastu prizmas pamatnes laukumu, pietiek atcerēties kvadrāta laukuma formulu).
Virsmas laukums un tilpums
Lai noteiktu prizmas tilpumu, izmantojot formulu, jums jāzina tās pamatnes laukums un augstums:
V = Sbas h
Tā kā regulāras tetraedriskas prizmas pamatne ir kvadrāts ar malu a, Jūs varat uzrakstīt formulu sīkāk:
V = a²·h
Ja mēs runājam par kubu - parastu prizmu ar vienādu garumu, platumu un augstumu, tilpumu aprēķina šādi:
Lai saprastu, kā atrast prizmas sānu virsmas laukumu, jums ir jāiedomājas tās attīstība.
No zīmējuma redzams, ka sānu virsmu veido 4 vienādi taisnstūri. Tās laukumu aprēķina kā pamatnes perimetra un figūras augstuma reizinājumu:
Sside = Posn h
Ņemot vērā, ka laukuma perimetrs ir vienāds ar P = 4a, formula iegūst šādu formu:
Sside = 4a h
Par kubu:
Sside = 4a²
Lai aprēķinātu prizmas kopējo virsmas laukumu, sānu laukumam jāpievieno 2 pamatlaukumi:
Pilns = Sside + 2Smain
Attiecībā uz četrstūrveida regulāru prizmu formula izskatās šādi:
Kopējais = 4a h + 2a²
Par kuba virsmas laukumu:
Pilns = 6a²
Zinot tilpumu vai virsmas laukumu, varat aprēķināt ģeometriskā ķermeņa atsevišķus elementus.
Prizmu elementu atrašana
Bieži vien ir problēmas, kurās ir dots apjoms vai ir zināma sānu virsmas laukuma vērtība, kur nepieciešams noteikt pamatnes malas garumu vai augstumu. Šādos gadījumos formulas var iegūt:
- pamatnes malas garums: a = Sside / 4h = √(V / h);
- augstums vai sānu ribu garums: h = Sside / 4a = V / a²;
- bāzes laukums: Sbas = V / h;
- sānu sejas zona: Sānu gr = Sside / 4.
Lai noteiktu, cik liela platība ir diagonāles sadaļai, jums jāzina diagonāles garums un figūras augstums. Par kvadrātu d = a√2. Tāpēc:
Sdiag = ah√2
Lai aprēķinātu prizmas diagonāli, izmantojiet formulu:
dbalva = √(2a² + h²)
Lai saprastu, kā pielietot dotās attiecības, var vingrināties un atrisināt vairākus vienkāršus uzdevumus.
Problēmu piemēri ar risinājumiem
Šeit ir daži uzdevumi, kas atrodami valsts gala eksāmenos matemātikā.
1. vingrinājums.
Smiltis ielej kastē, kas veidota kā regulāra četrstūra prizma. Tā līmeņa augstums ir 10 cm. Kāds būs smilšu līmenis, ja to pārvietosiet tādas pašas formas traukā, bet ar divreiz garāku pamatni?
Tas būtu jāpamato šādi. Smilšu daudzums pirmajā un otrajā konteinerā nemainījās, t.i., to tilpums tajos ir vienāds. Pamatnes garumu var apzīmēt ar a. Šajā gadījumā pirmajā lodziņā vielas tilpums būs:
V₁ = ha² = 10a²
Otrajai kastītei pamatnes garums ir 2a, bet smilšu līmeņa augstums nav zināms:
V₂ = h (2a)² = 4ha²
Tāpēc ka V₁ = V₂, mēs varam pielīdzināt izteicienus:
10a² = 4ha²
Samazinot abas vienādojuma puses par a², mēs iegūstam:
Rezultātā jaunais smilšu līmenis būs h = 10/4 = 2,5 cm.
2. uzdevums.
ABCDA₁B₁C₁D₁ ir pareiza prizma. Ir zināms, ka BD = AB₁ = 6√2. Atrodiet ķermeņa kopējo virsmas laukumu.
Lai būtu vieglāk saprast, kuri elementi ir zināmi, varat uzzīmēt figūru.
Tā kā mēs runājam par parasto prizmu, varam secināt, ka pie pamatnes ir kvadrāts ar diagonāli 6√2. Sānu malas diagonālei ir vienāds izmērs, tāpēc arī sānu virsmai ir kvadrāta forma, kas vienāda ar pamatni. Izrādās, ka visi trīs izmēri – garums, platums un augstums – ir vienādi. Varam secināt, ka ABCDA₁B₁C₁D₁ ir kubs.
Jebkuras malas garums tiek noteikts caur zināmu diagonāli:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Kopējo virsmas laukumu nosaka, izmantojot kuba formulu:
Pilns = 6a² = 6 6² = 216
3. uzdevums.
Telpa tiek remontēta. Ir zināms, ka tā grīdai ir kvadrāta forma ar platību 9 m². Telpas augstums ir 2,5 m. Kādas ir zemākās izmaksas par telpu tapsēšanu, ja 1 m² maksā 50 rubļus?
Tā kā grīda un griesti ir kvadrāti, t.i., regulāri četrstūri, un to sienas ir perpendikulāras horizontālām virsmām, varam secināt, ka tā ir regulāra prizma. Ir nepieciešams noteikt tā sānu virsmas laukumu.
Istabas garums ir a = √9 = 3 m.
Teritorija tiks noklāta ar tapetēm Side = 4 3 2,5 = 30 m².
Šīs telpas tapešu izmaksas būs viszemākās 50,30 = 1500 rubļi
Tātad, lai atrisinātu uzdevumus, kas saistīti ar taisnstūra prizmu, pietiek ar iespēju aprēķināt kvadrāta un taisnstūra laukumu un perimetru, kā arī zināt tilpuma un virsmas laukuma atrašanas formulas.
Kā atrast kuba laukumu
Definīcija.
Šis ir sešstūris, kura pamatnes ir divi vienādi kvadrāti, bet sānu malas ir vienādi taisnstūri
Sānu riba- ir divu blakus esošo sānu virsmu kopējā puse
Prizmas augstums- tas ir segments, kas ir perpendikulārs prizmas pamatnēm
Prizmas diagonāle- segments, kas savieno divas pamatu virsotnes, kas nepieder vienai un tai pašai virsmai
Diagonālā plakne- plakne, kas iet caur prizmas diagonāli un tās sānu malām
Diagonālā sadaļa- prizmas un diagonālās plaknes krustpunkta robežas. Regulāras četrstūra prizmas diagonālais šķērsgriezums ir taisnstūris
Perpendikulārs griezums (ortogonāls griezums)- tas ir prizmas un plaknes krustpunkts, kas novilkts perpendikulāri tās sānu malām
Regulāras četrstūra prizmas elementi
Attēlā parādītas divas regulāras četrstūra prizmas, kuras apzīmē ar atbilstošiem burtiem:
- Bāzes ABCD un A 1 B 1 C 1 D 1 ir vienādas un paralēlas viena otrai
- Sānu malas AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C un CC 1 D 1 D, no kurām katra ir taisnstūris
- Sānu virsma - visu prizmas sānu virsmu laukumu summa
- Kopējā virsma - visu pamatņu un sānu virsmu laukumu summa (sānu virsmas un pamatņu laukumu summa)
- Sānu ribas AA 1, BB 1, CC 1 un DD 1.
- Diagonāle B 1 D
- Pamatnes diagonāle BD
- Diagonālais griezums BB 1 D 1 D
- Perpendikulārs griezums A 2 B 2 C 2 D 2.
Regulāras četrstūra prizmas īpašības
- Pamati ir divi vienādi kvadrāti
- Pamatnes ir paralēlas viena otrai
- Sānu malas ir taisnstūri
- Sānu malas ir vienādas viena ar otru
- Sānu virsmas ir perpendikulāras pamatnēm
- Sānu ribas ir paralēlas viena otrai un vienādas
- Perpendikulārs griezums perpendikulārs visām sānu ribām un paralēls pamatnēm
- Perpendikulāra griezuma leņķi - taisni
- Regulāras četrstūra prizmas diagonālais šķērsgriezums ir taisnstūris
- Perpendikulārs (ortogonāls griezums) paralēli pamatiem
Formulas regulārai četrstūra prizmai
Norādījumi problēmu risināšanai
Risinot problēmas par tēmu " regulāra četrstūra prizma" nozīmē to:Pareiza prizma- prizma, kuras pamatnē atrodas regulārs daudzstūris, un sānu malas ir perpendikulāras pamatnes plaknēm. Tas ir, regulāra četrstūra prizma atrodas tās pamatnē kvadrāts. (skatīt parastās četrstūra prizmas īpašības iepriekš) Piezīme. Šī ir daļa no nodarbības ar ģeometrijas problēmām (sekciju stereometrija - prizma). Šeit ir problēmas, kuras ir grūti atrisināt. Ja jums ir jāatrisina ģeometrijas problēma, kuras šeit nav, rakstiet par to forumā. Lai apzīmētu kvadrātsaknes izvilkšanas darbību uzdevumu risināšanā, tiek izmantots simbols√ .
Uzdevums.
Regulārā četrstūra prizmā pamatnes laukums ir 144 cm 2 un augstums 14 cm. Atrodi prizmas diagonāli un kopējo virsmas laukumu.Risinājums.
Regulārs četrstūris ir kvadrāts.
Attiecīgi pamatnes puse būs vienāda
No kurienes regulāras taisnstūra prizmas pamatnes diagonāle būs vienāda ar
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2
Regulāras prizmas diagonāle veido taisnleņķa trīsstūri ar pamatnes diagonāli un prizmas augstumu. Attiecīgi, saskaņā ar Pitagora teorēmu, noteiktas regulāras četrstūra prizmas diagonāle būs vienāda ar:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm
Atbilde: 22 cm
Uzdevums
Nosakiet regulāras četrstūra prizmas kopējo virsmu, ja tās diagonāle ir 5 cm un sānu skaldnes diagonāle ir 4 cm.Risinājums.
Tā kā regulāras četrstūra prizmas pamatne ir kvadrāts, mēs atrodam pamatnes malu (apzīmēta kā a), izmantojot Pitagora teorēmu:
A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5
Tad sānu virsmas augstums (apzīmēts ar h) būs vienāds ar:
H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5
Kopējais virsmas laukums būs vienāds ar sānu virsmas laukuma summu un divkāršu pamatplatību
S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√ (175/4)
S = 25 + 4√ (7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.
Atbilde: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.
Trīsstūrveida prizma ir trīsdimensiju cieta viela, kas veidojas, apvienojot taisnstūrus un trīsstūrus. Šajā nodarbībā jūs uzzināsiet, kā atrast trīsstūrveida prizmas iekšpuses (tilpuma) un ārpuses (virsmas laukumu) izmērus.
Trīsstūrveida prizma ir pieckalnis, ko veido divas paralēlas plaknes, kurās atrodas divi trijstūri, veidojot divas prizmas skaldnes, bet atlikušās trīs skaldnes ir paralelogrami, kas veidoti no trijstūra malām.
Trīsstūrveida prizmas elementi
Trijstūri ABC un A 1 B 1 C 1 ir prizmu pamatnes .
Četrstūri A 1 B 1 BA, B 1 BCC 1 un A 1 C 1 CA ir prizmas sānu virsmas .
Seju sāni ir prizmas ribiņas(A 1 B 1, A 1 C 1, C 1 B 1, AA 1, CC 1, BB 1, AB, BC, AC), trīsstūrveida prizmai kopā ir 9 skaldnes.
Prismas augstums ir perpendikulārs segments, kas savieno abas prizmas skaldnes (attēlā tas ir h).
Prismas diagonāle ir segments, kuram ir galiņi divās prizmas virsotnēs, kas nepieder vienai un tai pašai skaldnei. Trīsstūrveida prizmai šādu diagonāli nevar novilkt.
Bāzes laukums ir prizmas trīsstūrveida virsmas laukums.
ir prizmas četrstūrveida skaldņu laukumu summa.
Trīsstūrveida prizmu veidi
Ir divu veidu trīsstūrveida prizmas: taisnas un slīpas.
Taisnai prizmai ir taisnstūrveida sānu malas, bet slīpai prizmai ir paralelogrammas sānu virsmas (sk. attēlu)
Prizmu, kuras sānu malas ir perpendikulāras pamatu plaknēm, sauc par taisni.
Prizmu, kuras sānu malas ir slīpas pret pamatu plaknēm, sauc par slīpu.
Pamatformulas trīsstūra prizmas aprēķināšanai
Trīsstūrveida prizmas tilpums
Lai atrastu trīsstūrveida prizmas tilpumu, tās pamatnes laukums jāreizina ar prizmas augstumu.
Prizmas tilpums = pamatnes laukums x augstums
V=S pamata h
Prizmas sānu virsmas laukums
Lai atrastu trīsstūrveida prizmas sānu virsmas laukumu, tās pamatnes perimetrs jāreizina ar augstumu.
Trīsstūrveida prizmas sānu virsmas laukums = pamatnes perimetrs x augstums
S puse = P galvenā h
Prizmas kopējais virsmas laukums
Lai atrastu prizmas kopējo virsmas laukumu, jāpievieno tās pamatlaukums un sānu virsmas laukums.
jo S puse = P galvenais. h, tad mēs iegūstam:
S pilns pagrieziens =P pamata h+2S pamata
Pareiza prizma - taisna prizma, kuras pamatne ir regulārs daudzstūris.
Prizmas īpašības:
Prizmas augšējā un apakšējā pamatne ir vienādi daudzstūri.
Prizmas sānu malām ir paralelograma forma.
Prizmas sānu malas ir paralēlas un vienādas.
Padoms: Aprēķinot trīsstūrveida prizmu, jums jāpievērš uzmanība izmantotajām vienībām. Piemēram, ja pamatlaukums ir norādīts cm 2, tad augstums jāizsaka centimetros un tilpums cm 3. Ja pamatnes laukums ir mm 2, tad augstums jāizsaka mm, bet tilpums mm 3 utt.
Prizmas piemērs
Šajā piemērā:
— ABC un DEF veido prizmas trīsstūrveida pamatnes
- ABED, BCFE un ACFD ir taisnstūra sānu virsmas
— Sānu malas DA, EB un FC atbilst prizmas augstumam.
— Punkti A, B, C, D, E, F ir prizmas virsotnes.
Trīsstūrveida prizmas aprēķināšanas uzdevumi
1. problēma. Taisnstūra trīsstūrveida prizmas pamatne ir taisnleņķa trīsstūris ar kājiņām 6 un 8, sānu mala ir 5. Atrast prizmas tilpumu.
Risinājums: Taisnas prizmas tilpums ir vienāds ar V = Sh, kur S ir pamatnes laukums un h ir sānu mala. Pamatnes laukums šajā gadījumā ir taisnleņķa trīsstūra laukums (tā laukums ir vienāds ar pusi no taisnstūra laukuma ar malām 6 un 8). Tādējādi tilpums ir vienāds ar:
V = 1/2 6 8 5 = 120.
2. uzdevums.
Caur trīsstūrveida prizmas pamatnes viduslīniju tiek novilkta plakne, kas ir paralēla sānu malai. Nogrieztās trīsstūra prizmas tilpums ir 5. Atrodiet sākotnējās prizmas tilpumu.
Risinājums:
Prizmas tilpums ir vienāds ar pamatnes laukuma un augstuma reizinājumu: V = S bāze h.
Trijstūris, kas atrodas sākotnējās prizmas pamatnē, ir līdzīgs trīsstūrim, kas atrodas nogrieztās prizmas pamatnē. Līdzības koeficients ir 2, jo griezums ir novilkts caur vidējo līniju (lielākā trijstūra lineārie izmēri ir divreiz lielāki par mazākā trijstūra lineārajiem izmēriem). Ir zināms, ka līdzīgu skaitļu laukumi ir saistīti kā līdzības koeficienta kvadrāts, tas ir, S 2 = S 1 k 2 = S 1 2 2 = 4S 1 .
Visas prizmas pamatlaukums ir 4 reizes lielāks nekā nogrieztās prizmas pamatlaukums. Abu prizmu augstumi ir vienādi, tāpēc visas prizmas tilpums ir 4 reizes lielāks par nogrieztās prizmas tilpumu.
Tādējādi nepieciešamais tilpums ir 20.
