Számsorozat alapdefiníciói. A konvergens számsorok alapvető tulajdonságai

Egy véges számú tag összegének tulajdonságai eltérnek egy sorozat tulajdonságaitól, azaz végtelen számú tag összegétől. Tehát véges számú tag esetén tetszőleges sorrendben csoportosíthatók, ez az összegen nem változtat. Léteznek konvergens sorozatok (feltételesen konvergensek, amelyekről az 5. részben lesz szó), amelyeknél – amint azt Riemann Riemann Georg Friedrich Bernhard (1826 - 1866) német matematikus megmutatta – a kifejezések sorrendjének megfelelő megváltoztatásával elkészíthető. a sorozat összege tetszőleges kívánt számmal, sőt egy divergens sorozattal egyenlő.

2.1. példa. Tekintsük az (1.7) alak divergens sorozatát.

Tagjait párokba csoportosítva kapunk egy konvergens számsort, amelynek összege nulla:

Másrészt, ha tagjait párokba csoportosítjuk, a második taggal kezdve, egy konvergens sorozatot is kapunk, de összege eggyel egyenlő:

A konvergens sorozatoknak vannak bizonyos tulajdonságai, amelyek lehetővé teszik, hogy véges összegekként kezeljük őket. Így ezeket számokkal lehet szorozni, tagonként összeadni és kivonni. Bármely szomszédos kifejezést csoportokba vonhatnak.

Tétel 2.1. (Egy sorozat konvergenciájának szükséges jele).

Ha az (1.1) sorozat konvergál, akkor a közös tagja nullára hajlik, mivel n korlátlanul növekszik, azaz.

A tétel bizonyítása abból következik, hogy és ha

S az (1.1) sorozat összege, tehát

A (2.1) feltétel szükséges, de nem elégséges feltétele a sorozatok konvergenciájának. Vagyis ha egy sorozat közös tagja nullára hajlik at, ez nem jelenti azt, hogy a sorozat konvergál. Például az (1.2) harmonikus sorozat esetében, amint az alább látható lesz, ez eltér.

Következmény (Egy sorozat divergenciájának elegendő jele).

Ha a sorozat közös kifejezése nem szokott nullázni, akkor ez a sorozat eltér.

2.2. példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Ehhez a sorhoz

Ezért ez a sorozat eltér egymástól.

A fentebb vizsgált (1.6), (1.7) divergens sorozatok azért is ilyenek, mert nem teljesül számukra a szükséges konvergenciakritérium. Az (1.6) sorozat esetében az (1.7) sorozat határértéke nem létezik.

Ingatlan 2.1 . Egy sorozat konvergenciája vagy divergenciája nem változik, ha véges számú tagot önkényesen eltávolítunk belőle, hozzáadunk, vagy átrendezünk benne (ebben az esetben konvergens sorozatnál az összege változhat).

A tulajdonság bizonyítása abból következik, hogy az (1.1) sorozat és bármely maradéka egyidejűleg konvergál vagy divergál.

Ingatlan 2.2 . Egy konvergens sorozatot meg lehet szorozni egy számmal, azaz ha az (1.1) sorozat konvergál, S összege és c egy bizonyos szám, akkor

A bizonyítás abból következik, hogy véges összegekre a következő egyenlőségek állnak fenn:

Ingatlan 2.3. A konvergens sorozatokat tagonként összeadhatjuk és kivonhatjuk, azaz ha a sorozat,

konvergál,

majd egy sorozat

konvergál és összege egyenlő azaz

A bizonyítás a véges összegek határának tulajdonságaiból következik, azaz.

2.3. példa. Számítsa ki egy sorozat összegét

A sorozat általános kifejezését ábrázoljuk a formában

Ekkor az eredeti sorozat egy geometriai progresszió két konvergáló sorozatának tagonkénti különbségeként ábrázolható.

Az (1.8) képlet segítségével kiszámítjuk a geometriai haladás megfelelő sorozatának összegeit.

Az első sorra tehát

A második sorhoz tehát

Végre megvan

Ez a cikk strukturált és részletes információkat tartalmaz, amelyek hasznosak lehetnek a gyakorlatok és feladatok elemzésekor. Megnézzük a számsorok témáját.

Ez a cikk az alapvető definíciókkal és fogalmakkal kezdődik. Ezután standard opciókat használunk, és tanulmányozzuk az alapvető képleteket. Az anyag egységesítése érdekében a cikk alapvető példákat és feladatokat közöl.

Alaptézisek

Először képzeljük el a rendszert: a 1 , a 2 . . . , a n , . . . , ahol a k ∈ R, k = 1, 2. . . .

Vegyünk például olyan számokat, mint: 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, . . . .

1. definíció

Egy számsor a ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + tagok összege. . . + a n +. . . .

A definíció jobb megértéséhez tekintsük az adott esetet, amelyben q = - 0. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 + . . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

2. definíció

a k általános vagy k –th sorozat tagja.

Valahogy így néz ki - 16 · - 1 2 k.

3. definíció

Sorozatok részösszege valahogy így néz ki S n = a 1 + a 2 + . . . + a n , amelyben n- bármilyen szám. S n is nth a sorozat összege.

Például ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5.

S 1 , S 2 , . . . , S n , . . . végtelen számsort alkotnak.

Egy sorra nth az összeget az S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n képlettel találjuk meg. A következő részösszegeket használjuk: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 · 1 - - 1 2 n , . . . .

4. definíció

A ∑ k = 1 ∞ a k sorozat az konvergens amikor a sorozatnak véges határértéke van S = lim S n n → + ∞ . Ha nincs határérték, vagy a sorozat végtelen, akkor a ∑ k = 1 ∞ a k sorozatot ún. divergens.

5. definíció

Egy konvergens sorozat összege∑ k = 1 ∞ a k a ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S sorozat határértéke.

Ebben a példában lim S n n → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3, sor ∑ k = 1 ∞ ( - 16) · - 1 2 k konvergál. Az összeg 16 3: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

1. példa

Divergens sorozatra példa egynél nagyobb nevezővel rendelkező geometriai sorozat összege: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2 n - 1 + . . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1 .

Az n-edik részösszeget a következőképpen adja meg: S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1, a részösszegek határa pedig végtelen: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

A divergens számsorok másik példája a ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + alakú összeg. . . . Ebben az esetben az n-edik részösszeg úgy számítható ki, hogy Sn = 5n. A részösszegek határa végtelen lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞ .

6. definíció

Ugyanolyan alakú összeg, mint ∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n + . . . - Ezt harmonikus számsorozat.

7. definíció

Összeg ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 n s + . . . , Ahol s– valós szám, egy általánosított harmonikus számsor.

A fent tárgyalt definíciók segítenek a legtöbb példa és probléma megoldásában.

A definíciók kiegészítéséhez bizonyos egyenletek bizonyítása szükséges.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k – divergens.

Fordított módszert alkalmazunk. Ha konvergál, akkor a határ véges. Az egyenletet felírhatjuk a következőképpen: lim n → + ∞ S n = S és lim n → + ∞ S 2 n = S. Bizonyos műveletek után az l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 egyenlőséget kapjuk.

Ellen,

S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 + . . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n

A következő egyenlőtlenségek érvényesek: 1 n + 1 > 1 2 n, 1 n + 1 > 1 2 n, . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n . Azt kapjuk, hogy S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + . . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n + . . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2 . Az S 2 n - S n > 1 2 kifejezés azt jelzi, hogy a lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 nem teljesül. A sorozat szerteágazó.

1. b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + . . . + b 1 q n + . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

Meg kell erősíteni, hogy egy számsorozat összege q-hoz konvergál< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

A fenti definíciók szerint az összeg n kifejezéseket az S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 képlet szerint határozzuk meg.

Ha q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

Bebizonyítottuk, hogy a számsorok konvergálnak.

q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + esetén. . . ∑ k = 1 ∞ b 1 . Az összegek az S n = b 1 · n képlettel határozhatók meg, a határérték végtelen lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞. A bemutatott változatban a sorozat eltér.

Ha q = -1, akkor a sorozat így néz ki: b 1 - b 1 + b 1 - . . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1 . A részösszegek így néznek ki: S n = b 1 páratlanra n, és S n = 0 párosra n. Ezt az esetet figyelembe véve megbizonyosodunk arról, hogy nincs határ, és a sorozatok eltérőek.

q > 1 esetén lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · ∞ - 1 q - 1 = ∞

Bebizonyítottuk, hogy a számsorok eltérnek egymástól.

1. A ∑ k = 1 ∞ 1 k s sorozat konvergál, ha s > 1és divergál, ha s ≤ 1.

Mert s = 1∑ k = 1 ∞ 1 k eredményt kapunk, a sorozat divergál.

Amikor s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k, természetes szám. Mivel a sorozat ∑ k = 1 ∞ 1 k divergens, nincs határ. Ezt követően a ∑ k = 1 ∞ 1 k s sorozat korlátlan. Arra a következtetésre jutunk, hogy a kiválasztott sorozat akkor tér el s< 1 .

Bizonyítani kell, hogy a ∑ k = 1 ∞ 1 k s sorozat konvergál s > 1.

Képzeljük el, hogy S 2 n - 1 - S n - 1:

S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s +. . . + 1 (2 n - 1) s

Tegyük fel, hogy 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Képzeljük el az egyenletet a természetes és páros n = 2 számokra: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Kapunk:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s + . . . + 1 7 s + 1 8 s + . . . + 1 15 s + . . . = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 + . . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

A kifejezés 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . a q = 1 2 s - 1 geometriai haladás összege. A kezdeti adatok szerint a s > 1, majd 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 növekszik és 1 1 - 1 2 s - 1 felett korlátozódik. Képzeljük el, hogy van egy határérték, és a sorozat konvergens ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

8. definíció

Sorozat ∑ k = 1 ∞ a k ebben az esetben pozitív, ha tagjai > 0 a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Sorozat ∑ k = 1 ∞ b k jeladó, ha a számok előjele eltérő. Ezt a példát a következőképpen mutatjuk be: ∑ ​​k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · a k vagy ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · a k , ahol a k > 0 , k = 1 , 2 , . . . .

Sorozat ∑ k = 1 ∞ b k váltakozó, mivel sok negatív és pozitív számot tartalmaz.

A második opciósorozat a harmadik opció speciális esete.

Íme az egyes esetekre példák:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

A harmadik lehetőségnél az abszolút és feltételes konvergenciát is meghatározhatja.

9. definíció

A ∑ k = 1 ∞ b k váltakozó sorozat abszolút konvergens abban az esetben, ha ∑ k = 1 ∞ b k is konvergensnek tekinthető.

Nézzünk meg néhány tipikus lehetőséget részletesen.

2. példa

Ha a sorok 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . és 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . konvergensnek vannak definiálva, akkor helyes azt feltételezni, hogy 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . .

10. definíció

Egy ∑ k = 1 ∞ b k váltakozó sorozatot feltételesen konvergensnek tekintünk, ha ∑ k = 1 ∞ b k divergens, és a ∑ k = 1 ∞ b k sorozatot konvergensnek tekintjük.

3. példa

Vizsgáljuk meg részletesen a ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + opciót. . . . Az abszolút értékekből álló ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k sorozatot divergensnek definiáljuk. Ez az opció konvergensnek tekinthető, mivel könnyen meghatározható. Ebből a példából megtudjuk, hogy a ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + sorozat. . . feltételesen konvergensnek tekintendő.

A konvergens sorozatok jellemzői

Elemezzük a tulajdonságokat bizonyos esetekben

1. Ha ∑ k = 1 ∞ a k konvergál, akkor a ∑ k = m + 1 ∞ a k sorozatot is konvergensnek tekintjük. Megjegyezhető, hogy a sor nélkül m kifejezéseket is konvergensnek tekintik. Ha ∑ k = m + 1 ∞ a k-hez több számot adunk, akkor a kapott eredmény is konvergens lesz.
2. Ha ∑ k = 1 ∞ a k konvergál és az összeg = S, akkor a ∑ k = 1 ∞ A · a k , ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S sorozat is konvergál, ahol A-állandó.
3. Ha ∑ k = 1 ∞ a k és ∑ k = 1 ∞ b k konvergensek, az összegek AÉs B is, akkor a ∑ k = 1 ∞ a k + b k és a ∑ k = 1 ∞ a k - b k sorozat is konvergál. Az összegek egyenlőek lesznek A+BÉs A-B illetőleg.

4. példa

Határozzuk meg, hogy a sorozat ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 konvergál.

Változtassuk meg a ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 kifejezést. A ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 sorozatot konvergensnek tekintjük, mivel a ∑ k = 1 ∞ 1 k s sorozat konvergál, ha s > 1. A második tulajdonság szerint ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

5. példa

Határozza meg, hogy a ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 sorozat konvergál-e.

Alakítsuk át az eredeti változatot ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 n 2 .

∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 és ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 összeget kapjuk. Minden sorozat a tulajdonság szerint konvergensnek minősül. Tehát ahogy a sorozatok közelednek, úgy az eredeti verzió is.

6. példa

Számítsa ki, hogy az 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + sorozat konvergál-e. . . és számolja ki az összeget.

Bővítsük ki az eredeti verziót:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + . . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 + . . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 + . . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Mindegyik sorozat konvergál, mert egy számsorozat egyik tagja. A harmadik tulajdonság szerint kiszámolhatjuk, hogy az eredeti változat is konvergens. Kiszámoljuk az összeget: A ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 sorozat első tagja és a nevező = 0. 5, ezt követi: ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0 . 5 = 2. Az első tag ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 , és a csökkenő számsor nevezője = 1 3 . A következőt kapjuk: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

A fent kapott kifejezéseket használjuk az 1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + összeg meghatározásához. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

Szükséges feltétele annak meghatározásának, hogy egy sorozat konvergens-e

11. definíció

Ha a ∑ k = 1 ∞ a k sorozat konvergens, akkor a határértéke kth term = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Ha bármelyik opciót bejelöljük, nem szabad megfeledkeznünk a nélkülözhetetlen feltételről. Ha nem teljesül, akkor a sorozat szétválik. Ha lim k → + ∞ a k ≠ 0, akkor a sorozat divergens.

Tisztázni kell, hogy a feltétel fontos, de nem elégséges. Ha teljesül a lim k → + ∞ a k = 0 egyenlőség, akkor ez nem garantálja, hogy ∑ k = 1 ∞ a k konvergens.

Mondjunk egy példát. A ∑ k = 1 ∞ 1 k harmonikus sorozatra a feltétel teljesül lim k → + ∞ 1 k = 0 , de a sorozat így is eltér.

7. példa

Határozzuk meg a ∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n konvergenciát.

Ellenőrizzük az eredeti kifejezést a lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n feltétel teljesítésére. = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Határ nth tag nem egyenlő 0-val. Bebizonyítottuk, hogy ez a sorozat eltér egymástól.

Hogyan határozható meg egy pozitív sorozat konvergenciája.

Ha folyamatosan használja ezeket a jellemzőket, folyamatosan számolnia kell a határértékeket. Ez a rész segít elkerülni a nehézségeket a példák és problémák megoldása során. Egy pozitív sorozat konvergenciájának meghatározásához van egy bizonyos feltétel.

Pozitív előjelű ∑ k = 1 ∞ a k konvergenciájára a k > 0 ∀ k = 1 , 2 , 3 , . . . az összegek korlátozott sorozatát kell meghatározni.

Hogyan hasonlítsuk össze a sorozatokat

A sorozatok összehasonlításának több jele is van. Összehasonlítjuk azokat a sorozatokat, amelyek konvergenciáját javasoljuk meghatározni, azzal a sorozattal, amelynek konvergenciája ismert.

Első jel

∑ k = 1 ∞ a k és ∑ k = 1 ∞ b k pozitív előjelű sorozatok. Az a k ≤ b k egyenlőtlenség érvényes k = 1, 2, 3, ... Ebből következik, hogy a ∑ k = 1 ∞ b k sorozatból ∑ k = 1 ∞ a k . Mivel ∑ k = 1 ∞ a k divergens, a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat divergensként definiálható.

Ezt a szabályt folyamatosan használják egyenletek megoldására, és komoly érv, amely segít a konvergencia meghatározásában. A nehézség abban rejlik, hogy nem minden esetben lehet megfelelő példát találni az összehasonlításra. Elég gyakran egy sorozatot az indikátor elvének megfelelően választanak ki kth tag egyenlő lesz a számláló és a nevező kitevőjének levonásának eredményével kth sorozat tagja. Tegyük fel, hogy a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5, a különbség egyenlő lesz 2 – 3 = - 1 . Ebben az esetben meghatározhatjuk, hogy összehasonlítás céljából egy sorozatot k-th b k = k - 1 = 1 k tag, ami harmonikus.

A kapott anyag megszilárdítása érdekében részletesen megvizsgálunk néhány tipikus lehetőséget.

8. példa

Határozzuk meg, hogy mekkora a ∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 sorozat!

Mivel a határérték = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0, a szükséges feltételt teljesítettük. Az egyenlőtlenség igazságos lesz 1 k< 1 k - 1 2 для k, amelyek természetesek. Az előző bekezdésekből megtudtuk, hogy a ∑ k = 1 ∞ 1 k harmonikus sorozat divergens. Az első kritérium szerint bizonyítható, hogy az eredeti változat eltérő.

9. példa

Határozzuk meg, hogy a sorozat konvergens vagy divergens ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

Ebben a példában a szükséges feltétel teljesül, mivel lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0. 1 k 3 + 3 k - 1 egyenlőtlenségként ábrázoljuk< 1 k 3 для любого значения k. A ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 sorozat konvergens, mivel a ∑ k = 1 ∞ 1 k s harmonikus sorozat konvergál s > 1. Az első kritérium alapján megállapíthatjuk, hogy a számsor konvergens.

10. példa

Határozzuk meg, mi a ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) sorozat! lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

Ebben az opcióban jelölheti meg a kívánt feltétel teljesülését. Határozzuk meg az összehasonlítás céljából egy sorozatot. Például ∑ k = 1 ∞ 1 k s . A fokozat meghatározásához tekintsük az (ln (ln k)) sorozatot, k = 3, 4, 5. . . . Az ln (ln 3) , ln (ln 4) , ln (ln 5) , szekvencia tagjai. . . a végtelenségig növekszik. Az egyenlet elemzése után megállapíthatjuk, hogy ha N = 1619 értéket veszünk, akkor a sorozat tagjai > 2. Erre a sorozatra az 1 k ln (ln k) egyenlőtlenség igaz< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Második jel

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k és ∑ k = 1 ∞ b k pozitív számsorok.

Ha lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ , akkor a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat konvergál, és ∑ k = 1 ∞ a k is konvergál.

Ha lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, akkor mivel a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat divergál, akkor ∑ k = 1 ∞ a k is divergál.

Ha lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ és lim k → + ∞ a k b k ≠ 0, akkor egy sorozat konvergenciája vagy divergenciája egy másik sorozat konvergenciáját vagy divergenciáját jelenti.

Tekintsük ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 a második előjellel. Összehasonlításhoz ∑ k = 1 ∞ b k vesszük a ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 konvergens sorozatot. Határozzuk meg a határértéket: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

A második kritérium szerint megállapítható, hogy a ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 konvergens sorozat azt jelenti, hogy az eredeti változat is konvergál.

11. példa

Határozzuk meg, hogy mekkora a ∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 sorozat!

Elemezzük a lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 szükséges feltételt, amely ebben a változatban teljesül. A második kritérium szerint vegyük a ∑ k = 1 ∞ 1 k sorozatot. A határértéket keressük: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

A fenti tézisek szerint a divergens sorozat az eredeti sorozat divergenciáját vonja maga után.

Harmadik jel

Nézzük az összehasonlítás harmadik jelét.

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k és _ ∑ k = 1 ∞ b k pozitív számsorok. Ha a feltétel teljesül egy bizonyos a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k számra, akkor ennek a sorozatnak a ∑ k = 1 ∞ b k konvergenciája azt jelenti, hogy a ∑ k = 1 ∞ a k sorozat is konvergens. A ∑ k = 1 ∞ a k divergens sorozat a ∑ k = 1 ∞ b k divergenciát vonja maga után.

D'Alembert jele

Képzeljük el, hogy ∑ k = 1 ∞ a k egy pozitív számsor. Ha lim k → + ∞ a k + 1 a k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, majd divergens.

1. megjegyzés

D'Alembert tesztje akkor érvényes, ha a határ végtelen.

Ha lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ , akkor a sorozat konvergens, ha lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ , akkor divergens.

Ha lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1, akkor a d’Alembert-jel nem segít, és további kutatásokra lesz szükség.

12. példa

D’Alembert-próbával határozzuk meg, hogy a sorozat konvergens vagy divergens ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k!

Ellenőrizni kell, hogy a szükséges konvergencia feltétel teljesül-e. Számítsuk ki a határértéket L'Hopital szabályával: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ ln 2 = 0

Láthatjuk, hogy a feltétel teljesül. Használjuk d'Alembert tesztjét: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1

A sorozat konvergens.

13. példa

Határozza meg, hogy a sorozat divergens-e ∑ k = 1 ∞ k k k ! .

Határozzuk meg a sorozat divergenciáját a d'Alembert-próbával: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k ! k k · (k + 1) ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k · (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1

Ezért a sorozat eltérő.

Radikális Cauchy jele

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k egy pozitív előjelű sorozat. Ha lim k → + ∞ a k k< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, majd divergens.

Jegyzet 2

Ha lim k → + ∞ a k k = 1, akkor ez a jel nem ad információt - további elemzés szükséges.

Ez a funkció könnyen azonosítható példákban használható. Tipikus az az eset, amikor egy számsor tagja egy exponenciális hatványkifejezés.

A kapott információk konszolidálása érdekében nézzünk meg néhány tipikus példát.

14. példa

Határozza meg, hogy a ∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k pozitív előjelű sorozat konvergens-e.

A szükséges feltételt teljesültnek tekintjük, mivel lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0 .

A fent tárgyalt ismérv szerint lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0.< 1 . Данный ряд является сходимым.

15. példa

Konvergál-e a ∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 számsor?

Az előző bekezdésben leírt jellemzőt használjuk lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Integrált Cauchy-teszt

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k pozitív előjelű sorozat. Szükséges a folyamatos argumentum függvényének jelölése y = f(x), ami egybeesik a n = f (n) -vel. Ha y = f(x) nagyobb, mint nulla, nem szakad meg és csökken [ a ; + ∞) , ahol a ≥ 1

Ekkor, ha a ∫ a + ∞ f (x) d x nem megfelelő integrál konvergens, akkor a vizsgált sorozat is konvergál. Ha eltér, akkor a vizsgált példában a sorozat is eltér.

Ha ellenőrizni szeretné, hogy egy függvény csökken-e, használhatja az előző leckékben tárgyalt anyagot.

16. példa

Tekintsük a ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k példát a konvergenciára.

A sorozat konvergenciájának feltétele teljesültnek tekinthető, mivel lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 . Tekintsük y = 1 x ln x. Nagyobb, mint nulla, nem szakad meg és [2-vel csökken; + ∞) . Az első két pont biztosan ismert, de a harmadikat részletesebben kell tárgyalni. Keresse meg a deriváltot: y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. kisebb, mint nulla a [ 2 ; + ∞ esetén. Ez bizonyítja azt a tézist, hogy a függvény csökken.

Valójában az y = 1 x ln x függvény megfelel a fentebb vizsgált elv jellemzőinek. Használjuk: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞

A kapott eredmények szerint az eredeti példa divergens, mivel a nem megfelelő integrál divergens.

17. példa

Igazoljuk a ∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 sorozat konvergenciáját.

Mivel lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0, akkor a feltételt teljesültnek tekintjük.

A k = 4-től kezdve a helyes kifejezés 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Ha a ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 sorozatot konvergensnek tekintjük, akkor az egyik összehasonlítási elv szerint a ∑ k = 4 ∞ 1 (10) sorozatot k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 is konvergensnek tekintendő. Így megállapíthatjuk, hogy az eredeti kifejezés is konvergens.

Térjünk át a bizonyításra: ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Mivel az y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 függvény nagyobb nullánál, ezért nem szakad meg, és [4-gyel csökken; + ∞) . Az előző bekezdésben leírt funkciót használjuk:

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A = = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 · ln 28 2

A kapott ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 konvergens sorozatban meghatározhatjuk, hogy ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8 )) 3 is konvergál.

Raabe jele

Tegyük fel, hogy ∑ k = 1 ∞ a k egy pozitív számsor.

Ha lim k → + ∞ k · a k a k + 1< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, akkor konvergál.

Ez a meghatározási módszer akkor használható, ha a fent leírt technikák nem adnak látható eredményeket.

Abszolút konvergencia tanulmány

A vizsgálathoz ∑ k = 1 ∞ b k -t veszünk. Pozitív előjelet használunk ∑ k = 1 ∞ b k . A fentebb leírt megfelelő funkciók bármelyikét használhatjuk. Ha a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat konvergál, akkor az eredeti sorozat abszolút konvergens.

18. példa

Vizsgáljuk meg a ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 sorozatot a ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k konvergenciára. 3 + 2 k - 1 .

A feltétel teljesül lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Használjuk a ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 és a második jelet: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

A ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 sorozat konvergál. Az eredeti sorozat is abszolút konvergens.

Váltakozó sorozatok eltérése

Ha a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat divergens, akkor a megfelelő ∑ k = 1 ∞ b k váltakozó sorozat vagy divergens, vagy feltételesen konvergens.

Csak a d'Alembert-próba és a radikális Cauchy-teszt segít levonni a ∑ k = 1 ∞ b k-ra vonatkozó következtetéseket a ∑ k = 1 ∞ b k modulusoktól való eltérésből. A ∑ k = 1 ∞ b k sorozat akkor is divergál, ha a szükséges konvergenciafeltétel nem teljesül, vagyis ha lim k → ∞ + b k ≠ 0.

19. példa

Ellenőrizd az eltérést 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6, . . . .

Modul kth kifejezést a következőképpen ábrázoljuk: b k = k ! 7 k.

Vizsgáljuk meg a ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k sorozatot! 7 k a konvergenciára a d'Alembert-kritérium segítségével: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7 k + 1 k ! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞ .

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k ! 7 k ugyanúgy eltér, mint az eredeti verzió.

20. példa

∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) konvergens.

Tekintsük a szükséges feltételt: lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 " (ln (k + 1)) " = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . A feltétel nem teljesül, ezért ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) a sorozat divergens. A határértéket a L'Hopital-szabály alapján számítottuk ki.

Feltételes konvergenciakritériumok

Leibniz tesztje

12. definíció

Ha a váltakozó sorozat tagjainak értékei csökkennek b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . . és a modulushatár = 0, ha k → + ∞, akkor a ∑ k = 1 ∞ b k sorozat konvergál.

17. példa

Tekintsük ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) a konvergenciához.

A sorozatot a következőképpen ábrázoljuk: ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) . A szükséges feltétel teljesül: lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . Tekintsük ∑ k = 1 ∞ 1 k a második összehasonlítási kritérium lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5

Azt találjuk, hogy ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) divergál. A ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) sorozat a Leibniz-kritérium szerint konvergál: szekvencia 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10, 2 2 + 1 5 · 2 · (2 ​​+ 1) = 5 30 , 2 · 3 + 1 5 · 3 · 3 + 1 , . . . csökken és lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 .

A sorozat feltételesen konvergál.

Abel-Dirichlet teszt

13. definíció

∑ k = 1 + ∞ u k · v k konvergál, ha ( u k ) nem növekszik, és a ∑ k = 1 + ∞ v k sorozat korlátos.

17. példa

Fedezze fel az 1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + számokat. . . a konvergencia érdekében.

Képzeljük el

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + . . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

ahol (u k) = 1, 1 2, 1 3, . . . nem növekvő, és a sorozat (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2, . . . korlátozott (S k) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0, . . . . A sorozat összefolyik.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Alapvető definíciók.

Meghatározás. Egy végtelen számsorozat tagjainak összegét nevezzük számsorozat.

Ugyanakkor a számok
sorozat tagjainak nevezzük őket, és u n– a sorozat közös tagja.

Meghatározás. Összegek
,n = 1, 2, … hívják magán (rész)összegek sor.

Így lehetséges a sorozat részösszegeinek sorozatait figyelembe venni S 1 , S 2 , …, S n , …

Meghatározás. Sor
hívott konvergens, ha részösszegeinek sorozata konvergál. Konvergens sorozatok összege részösszegei sorozatának határa.

Meghatározás. Ha egy sorozat részösszegeinek sorozata eltér, pl. nincs határértéke, vagy végtelen a határértéke, akkor a sorozat hívásra kerül divergensés nem rendelnek hozzá összeget.

A sorok tulajdonságai.

1) A sorozatok konvergenciája vagy divergenciája nem sérül, ha megváltoztatja, eldobja vagy hozzáadja a sorozat véges számú tagját.

2) Vegyünk két sort
És
, ahol C egy állandó szám.

Tétel. Ha a sor
konvergál és összege egyenlőS, majd a sorozat
is konvergál, és összege egyenlő C-velS. (C  0)

3) Vegyünk két sort
És
.Összeg vagy különbség ezek közül a sorozatokat sorozatnak fogják nevezni
, ahol az elemeket az azonos számú eredeti elemek összeadásával (kivonásával) kapjuk meg.

Tétel. Ha a sorok
És
konvergálnak, összegük pedig egyenlőSÉs , majd a sorozat
is konvergál és összege egyenlőS +  .

Két konvergens sorozat különbsége is konvergens sorozat lesz.

Egy konvergens és egy divergens sorozat összege divergens sorozat.

Két divergens sorozat összegéről nem lehet általános állítást tenni.

A sorozatok tanulmányozása során elsősorban két problémát oldanak meg: a konvergencia tanulmányozását és a sorozatok összegének megállapítását.

Cauchy-kritérium.

(a sorozatok konvergenciájához szükséges és elégséges feltételek)

A sorrend érdekében
konvergens volt, szükséges és elegendő, hogy bármely
volt ilyen számN, hogy atn > Nés bármilyenp> 0, ahol p egy egész szám, a következő egyenlőtlenség érvényesül:

.

Bizonyíték. (szükségesség)

Hadd
, majd tetszőleges számra
van olyan N szám, hogy az egyenlőtlenség

akkor teljesül, ha n>N. n>N és bármely p>0 egész számra az egyenlőtlenség is fennáll
. Mindkét egyenlőtlenséget figyelembe véve a következőket kapjuk:

A szükségesség bebizonyosodott. Nem vesszük figyelembe az elegendőség igazolását.

Fogalmazzuk meg a sorozat Cauchy-kritériumát.

A sorozat érdekében
konvergens volt, szükséges és elegendő, hogy bármely
volt egy számNolyan, hogy atn> Nés bármilyenp>0 az egyenlőtlenség fennállna

.

A gyakorlatban azonban a Cauchy-kritérium közvetlen használata nem túl kényelmes. Ezért általában egyszerűbb konvergenciateszteket használnak:

1) Ha a sor
konvergál, akkor szükséges, hogy a közös kifejezés u n nullára hajlott. Ez a feltétel azonban nem elegendő. Csak azt mondhatjuk, hogy ha a közös kifejezés nem nullázódik, akkor a sorozat határozottan eltér. Például az úgynevezett harmonikus sorozat divergens, bár közös tagja nullára hajlik.

Példa. Vizsgáljuk meg a sorozatok konvergenciáját!

meg fogjuk találni
- a konvergencia szükséges kritériuma nem teljesül, ami azt jelenti, hogy a sorozatok divergálnak.

2) Ha egy sorozat konvergál, akkor részösszegeinek sorozata korlátos.

Ez a jel azonban szintén nem elegendő.

Például az 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… sorozat eltér, mert részösszegei sorrendje eltér attól, hogy

A részösszegek sorrendje azonban korlátozott, mert
bármely n.

Nem negatív kifejezéseket tartalmazó sorozat.

A konstans előjelű sorozatok tanulmányozása során korlátozzuk magunkat a nem negatív kifejezésű sorozatok figyelembevételére, mert ezekből a sorozatokból egyszerűen –1-gyel megszorozva negatív tagú sorozatokat kaphatunk.

Tétel. A sorozatok konvergenciájáért
nemnegatív tagokkal szükséges és elégséges ahhoz, hogy a sorozat részösszegei korlátosak legyenek.

Jel a sorozatok nem negatív kifejezésekkel való összehasonlítására.

Legyen két sor adott
És
nál nél u n , v n  0 .

Tétel. Ha u n  v n bármely n, majd a sorozatok konvergenciájából
a sorozat összefolyik
, és a sorozat eltéréséből
a sorozat eltér
.

Bizonyíték. Jelöljük azzal S n És  n sorozatok részösszegei
És
. Mert tétel feltételei szerint a sorozat
konvergál, akkor részösszegei korlátosak, azaz. mindenki előtt n n  M, ahol M egy bizonyos szám. Hanem azért, mert u n  v n, Azt S n   n majd a sorozat részösszegei
szintén korlátozottak, és ez elegendő a konvergenciához.

Példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Mert
, és a harmonikus sorozat eltér, akkor a sorozat eltér
.

Példa.

Mert
, és a sorozat
konvergál (mint egy csökkenő geometriai progresszió), majd a sorozat
is konvergál.

A következő konvergenciajelet is használják:

Tétel. Ha
és van egy határ
, Aholh– nullától eltérő szám, majd a sorozat
És
azonosan viselkednek a konvergencia szempontjából.

D'Alembert jele.

(Jean Leron d'Alembert (1717-1783) – francia matematikus)

Ha sorozatnak
pozitív kifejezésekkel van olyan számq<1, что для всех достаточно больших negyenlőtlenség érvényesül

aztán egy sorozat
konvergál, ha mindegyikhez elég nagyoknfeltétel teljesül

aztán egy sorozat
eltér.

D'Alembert korlátozó jele.

D'Alembert korlátozó kritériuma a fenti D'Alembert-kritérium következménye.

Ha van határ
, akkor mikor < 1 ряд сходится, а при  > 1 – eltér. Ha = 1, akkor a konvergencia kérdése nem válaszolható meg.

Példa. Határozza meg a sorozatok konvergenciáját! .

Következtetés: a sorozat konvergál.

Példa. Határozza meg a sorozatok konvergenciáját!

Következtetés: a sorozat konvergál.

Cauchy jele. (radikális jel)

Ha sorozatnak
nem negatív kifejezésekkel van olyan számq<1, что для всех достаточно больших negyenlőtlenség érvényesül

,

aztán egy sorozat
konvergál, ha mindegyikhez elég nagyoknegyenlőtlenség érvényesül

aztán egy sorozat
eltér.

Következmény. Ha van határ
, akkor mikor<1 ряд сходится, а при >Az 1. sor eltér.

Példa. Határozza meg a sorozatok konvergenciáját!
.

Következtetés: a sorozat konvergál.

Példa. Határozza meg a sorozatok konvergenciáját!
.

Azok. A Cauchy-teszt nem ad választ a sorozatok konvergenciájának kérdésére. Ellenőrizzük, hogy a szükséges konvergenciafeltételek teljesülnek-e. Ahogy fentebb említettük, ha egy sorozat konvergál, akkor a sorozat közös tagja nullára hajlik.

,

Így a konvergencia szükséges feltétele nem teljesül, ami azt jelenti, hogy a sorozat divergál.

Integrált Cauchy-teszt.

Ha (x) egy folytonos pozitív függvény, amely az intervallumon keresztül csökkenÉs
majd az integrálok
És
azonosan viselkednek a konvergencia szempontjából.

Váltakozó sorozatok.

Váltakozó sorok.

Egy váltakozó sorozat a következőképpen írható fel:

Ahol

Leibniz jele.

Ha a váltakozó sor előjele abszolút értékeketu én csökkennek
és a közös kifejezés nullára hajlik
, akkor a sorozat konvergál.

Sorozatok abszolút és feltételes konvergenciája.

Nézzünk meg néhány váltakozó sorozatot (tetszőleges előjelekkel).

(1)

és egy sorozat, amely a sorozat tagjainak abszolút értékéből áll (1):

(2)

Tétel. A (2) sorozatok konvergenciájából következik az (1) sorozatok konvergenciája.

Bizonyíték. A (2) sorozat nem negatív kifejezéseket tartalmazó sorozat. Ha a (2) sorozat konvergál, akkor a Cauchy-kritérium alapján tetszőleges >0 esetén van olyan N szám, amelyre n>N és bármely p>0 egész számra a következő egyenlőtlenség igaz:

Az abszolút értékek tulajdonsága szerint:

Azaz a Cauchy-kritérium szerint a (2) sorozatok konvergenciájából az (1) sorozatok konvergenciája következik.

Meghatározás. Sor
hívott abszolút konvergens, ha a sorozat konvergál
.

Nyilvánvaló, hogy állandó előjelű sorozatoknál a konvergencia és az abszolút konvergencia fogalma egybeesik.

Meghatározás. Sor
hívott feltételesen konvergens, ha konvergál és a sorozat
eltér.

D'Alembert és Cauchy tesztjei váltakozó sorozatokhoz.

Hadd
- váltakozó sorozatok.

D'Alembert jele. Ha van határ
, akkor mikor<1 ряд
abszolút konvergens lesz, és mikor>

Cauchy jele. Ha van határ
, akkor mikor<1 ряд
abszolút konvergens lesz, és ha >1, akkor a sorozat divergens lesz. Ha =1, az előjel nem ad választ a sorozatok konvergenciájára.

Abszolút konvergens sorozatok tulajdonságai.

1) Tétel. A sorozat abszolút konvergenciájáért
szükséges és elégséges, hogy két konvergens, nem negatív tagú sorozat különbségeként ábrázolható.

Következmény. A feltételesen konvergens sorozat két divergens sorozat különbsége, amelyekben a nem negatív tagok nullára hajlanak.

2) Egy konvergens sorozatban a sorozat tagjainak minden olyan csoportosítása, amely nem változtatja meg sorrendjüket, megőrzi a sorozatok konvergenciáját és nagyságát.

3) Ha egy sorozat abszolút konvergál, akkor a tagok tetszőleges permutációjával kapott sorozat is abszolút konvergál, és összege megegyezik.

Egy feltételesen konvergens sorozat feltételeinek átrendezésével tetszőleges előre meghatározott összegű feltételesen konvergens sorozatot kaphatunk, sőt, divergens sorozatot is.

4) Tétel. Egy abszolút konvergens sorozat tagjainak bármely csoportosítására (ebben az esetben a csoportok száma lehet véges vagy végtelen, és egy csoport tagjainak száma lehet véges vagy végtelen) egy konvergens sorozatot kapunk, az összeget amelyből egyenlő az eredeti sorozat összegével.

5) Ha a sorok És abszolút konvergálnak, és összegük rendre egyenlő S és , majd egy sorozat, amely az alak összes szorzatából áll
tetszőleges sorrendben véve szintén abszolút konvergál, és összege egyenlő S - a szorzott sorozat összegeinek szorzata.

Ha feltételesen konvergens sorozatokat szorozunk, akkor ennek eredményeként divergens sorozatot kaphatunk.

Funkcionális sorozatok.

Meghatározás. Ha a sorozat tagjai nem számok, hanem függvényei x, akkor a sorozat ún funkcionális.

A függvénysorok konvergenciájának vizsgálata bonyolultabb, mint a numerikus sorozatok vizsgálata. Ugyanaz a funkcionális sorozat, ugyanazokkal a változó értékekkel x konvergálnak, és másokkal - eltérnek. Ezért a funkcionális sorozatok konvergenciájának kérdése a változó értékeinek meghatározásához vezet x, amelynél a sorozat konvergál.

Az ilyen értékek halmazát ún konvergencia területe.

Mivel a sorozat konvergencia tartományába tartozó függvények határértéke egy bizonyos szám, a függvénysorozat határa egy bizonyos függvény lesz:

Meghatározás. Sorozat ( f n (x) } konvergál funkcionálni, működtetni f(x) a szakaszon, ha bármely >0 számra és bármely pontra x a vizsgált szakaszból van olyan N = N(, x) szám, hogy az egyenlőtlenség

akkor teljesül, ha n>N.

A kiválasztott >0 értéknél a szakasz minden pontjának megvan a maga száma, így a szakasz összes pontjának végtelen számú szám lesz. Ha ezek közül a számok közül a legnagyobbat választja, akkor ez a szám megfelelő lesz a szegmens minden pontjára, pl. minden pontban közös lesz.

Meghatározás. Sorozat ( f n (x) } egységesen konvergál funkcionálni, működtetni f(x) a szakaszon, ha bármely >0 számra van olyan N = N() szám, hogy az egyenlőtlenség

n>N esetén teljesül a szakasz minden pontjára.

Példa. Fontolja meg a sorrendet

Ez a sorozat a teljes számegyenesen konvergál a függvényhez f(x)=0 , mert

Készítsünk grafikonokat ebből a sorozatból:

sinx

Mint látható, növekvő számmal n a szekvencia grafikonja megközelíti a tengelyt x.

Funkcionális sorozat.

Meghatározás. Magán (rész)összegek funkcionális tartomány
függvényeket hívják

Meghatározás. Funkcionális tartomány
hívott konvergens pontban ( x=x 0 ), ha részösszegeinek sorozata ezen a ponton konvergál. Sorozatkorlát
hívott összeg sor
azon a ponton x 0 .

Meghatározás. Az összes érték halmaza x, amelyre a sorozat konvergál
hívott konvergencia területe sor.

Meghatározás. Sor
hívott egyenletesen konvergens az intervallumon, ha ennek a sorozatnak a részösszegeinek sorozata egyenletesen konvergál ezen az intervallumon.

Tétel. (Cauchy-kritérium a sorozatok egyenletes konvergenciájához)

A sorozatok egységes konvergenciájáért
szükséges és elégséges, hogy bármely számhoz >0 létezett ilyen számN( ), amely atn> Nés bármilyen egészp>0 egyenlőtlenség

érvényes minden x-re a [a, b].

Tétel. (Weierstrass-teszt az egyenletes konvergenciára)

(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815-1897) – német matematikus)

Sor
egyenletesen és abszolút konvergál az intervallumon [a, b], ha ugyanazon a szegmensen lévő tagjainak modulusai nem haladják meg egy pozitív tagú konvergens számsor megfelelő tagját:

azok. egyenlőtlenség van:

.

Azt is mondják, hogy ebben az esetben a funkcionális sorozat
szakosodott számsorozat
.

Példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából
.

Mert
ez mindig nyilvánvaló
.

Sőt, ismert, hogy az általános harmonikus sorozat ha=3>1 konvergál, akkor a Weierstrass-próbának megfelelően a vizsgált sorozat egyenletesen, ráadásul tetszőleges intervallumban konvergál.

Példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából .

A [-1,1] intervallumon az egyenlőtlenség fennáll
azok. a Weierstrass-kritérium szerint a vizsgált sorozat ezen a szegmensen konvergál, de a (-, -1)  (1, ) intervallumokon eltér.

Egyenletesen konvergens sorozatok tulajdonságai.

1) Tétel egy sorozat összegének folytonosságáról.

Ha a sorozat tagjai
- folyamatos a szakaszon [a, b] függvény és a sorozat egyenletesen konvergál, akkor annak összegeS(x) egy folytonos függvény a [a, b].

2) Tétel egy sorozat távonkénti integrációjáról.

Egyenletesen konvergál a szegmensen [a, b] egy folytonos tagú sorozat ezen az intervallumon tagonként integrálható, azaz. egy sorozat, amely a szegmensben lévő kifejezéseinek integráljaiból áll [a, b] , konvergál a sorozat összegének integráljához ezen a szakaszon.

3) Tétel a sorozatok tagonkénti differenciálásáról.

Ha a sorozat tagjai
konvergál a szegmensben [a, b] folytonos deriváltokkal rendelkező folytonos függvényeket és ezekből a deriváltokból álló sorozatokat jelöli
egységesen konvergál ezen a szegmensen, akkor ez a sorozat egyenletesen konvergál és tagonként differenciálható.

Azon alapul, hogy a sorozat összege a változó valamilyen függvénye x, elvégezheti a függvény sorozat formájában történő ábrázolásának műveletét (függvény sorozattá bővítése), amelyet széles körben alkalmaznak az integrációs, differenciálási és egyéb függvényekkel végzett műveleteknél.

A gyakorlatban gyakran alkalmazzák a függvények hatványsoros kiterjesztését.

Teljesítmény sorozat.

Meghatározás. Teljesítmény sorozat forma sorozatának nevezzük

.

A hatványsorok konvergenciájának tanulmányozásához célszerű a D'Alembert-tesztet használni.

Példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

d'Alembert jelét alkalmazzuk:

.

Azt találjuk, hogy ez a sorozat a
és eltér a
.

Most meghatározzuk a konvergenciát az 1 és –1 határpontoknál.

x = 1 esetén:
A sorozat Leibniz kritériuma szerint konvergál (lásd Leibniz jele.).

x = -1 esetén:
a sorozat szétválik (harmonikus sorozat).

Ábel tételei.

(Nils Henrik Abel (1802-1829) – norvég matematikus)

Tétel. Ha a hatványsor
-nél konvergálx = x 1 , akkor konvergál és ráadásul abszolút mindenkinek
.

Bizonyíték. A tétel feltételei szerint, mivel a sorozat feltételei korlátozottak, akkor

Ahol k- valamilyen állandó szám. A következő egyenlőtlenség igaz:

Ebből az egyenlőtlenségből kitűnik, hogy mikor x< x 1 sorozatunk tagjainak számértékei kisebbek (legalábbis nem többek), mint a fentebb írt egyenlőtlenség jobb oldalán lévő sorozat megfelelő tagjai, amelyek geometriai progressziót alkotnak. Ennek a progressziónak a nevezője a tétel feltételei szerint kisebb egynél, ezért ez a progresszió konvergens sorozat.

Ezért az összehasonlítási kritérium alapján arra a következtetésre jutunk, hogy a sorozat
konvergál, ami a sorozatot jelenti
abszolút konvergál.

Így ha a hatványsor
egy ponton konvergál x 1 , akkor a 2 hosszúságú intervallum bármely pontján abszolút konvergál egy pontban középre állítva x = 0.

Következmény. Én Kövér x = x 1 a sorozat szétválik, akkor mindenkinél eltér
.

Így minden hatványsorhoz van egy pozitív R szám, amely mindenre x oly módon, hogy
a sorozat abszolút konvergens, és mindenért
a sor eltér. Ebben az esetben az R számot hívják konvergencia sugár. Az intervallumot (-R, R) nevezzük konvergencia intervallum.

Vegye figyelembe, hogy ez az intervallum az egyik vagy mindkét oldalon zárható, vagy nem zárható.

A konvergencia sugarát a következő képlet segítségével találhatjuk meg:

Példa. Keresse meg a sorozat konvergencia területét

A konvergencia sugár megkeresése
.

Ezért ez a sorozat bármely érték esetén konvergál x. Ennek a sorozatnak a közös tagja nulla.

Tétel. Ha a hatványsor
pozitív értékhez konvergál x=x 1 , akkor egyenletesen konvergál bármely intervallumban belül
.

Műveletek hatványsorokkal.

Tekintsünk egy végtelen számsorozatot, azaz. számok halmaza, amelyben minden természetes szám n egy bizonyos szabály szerint egy bizonyos számnak felel meg a n. Az alak egy kifejezését számsorozatnak nevezzük, magukat a számokat a sorozat tagjainak nevezzük, - sorozat közös tagja. A sorozat röviden a következőképpen írható: .

Olyan mennyiségek, amelyek csak n a sorozat első tagjai ún sorozat részösszegei.

Egy számsort konvergensnek nevezünk, ha részösszegeinek sorozatának véges határa van. Szám S sorozat összegének nevezzük.

Ha a határ nem létezik, akkor a sorozatot divergensnek mondjuk.

1. példa Adott egy végtelen geometriai progresszió. Készítsünk sorozatot

és vizsgáljuk meg a konvergenciát egy sorozat konvergenciájának definíciója alapján. Ehhez készítsünk egy részösszeget =. Az iskolai matematika tantárgyból ismert, hogy. Emlékezzünk, hogyan működik ez. Ennek bizonyítására osztjunk

Számítsuk ki a határt, figyelembe véve, hogy itt három eset lehetséges:

2) ha q= 1, majd = és ,

3) ha q= -1, akkor =, és , a = , és . Ez azt jelenti, hogy a részösszegek sorozatának nincs egyetlen korlátja.

Ezért azt a következtetést vonjuk le, hogy egy geometriai progresszió akkor konvergál, és divergál -nál.

2. példa Bizonyítsd be a sorozat divergenciáját!

Megoldás. Becsüljük meg a sorozat részösszegét:

> , azaz > ,

a részösszeg határa pedig egyenlő a végtelennel (a határértékekre vonatkozó jól ismert tétel szerint: ha x n > y n, majd ): = ¥. Ez azt jelenti, hogy ez a sorozat eltér egymástól.

Konvergens sorozatok tulajdonságai

Tekintsünk két sort és . A második sort az elsőből az első eldobásával kapjuk meg m tagjai. Ezt a sorozatot a sorozat többi részének nevezik, és jelölése van r n.

1. tétel. Ha egy konvergens sorozat tagjait megszorozzuk egy bizonyos számmal VAL VEL, akkor a sorozatok konvergenciája nem sérül, és az összeget megszorozzuk VAL VEL.

2. tétel. Két konvergens sorozat összeadható (kivonható) tagonként, és az eredményül kapott sorozat összege egyenlő lesz, ahol az első sorozat összege, és a második sorozat összege.

3. tétel. Ha egy sorozat konvergál, akkor bármely maradéka konvergál. A sorozat többi részének konvergenciájából maga a sorozat konvergenciája következik.

Mondhatjuk másképp is: egy sorozat konvergenciáját nem befolyásolja, ha véges számú tagot elvetünk (vagy hozzárendelünk) a sorozatban. És ez a tulajdonság a legfigyelemreméltóbb. Valóban, legyen a sorozat összege egyenlő a végtelennel (a sorozat eltér). Nagyon nagy, de véges számú kifejezést adunk hozzá a sorozathoz. Ez az összeg nagyon nagy lehet, de ismétlem, ez egy véges szám. Tehát ez azt jelenti, hogy a sorozat maradékának összege, és ott a sorozat tagjai már elhanyagolható számok, még mindig egyenlő a végtelennel a tagok számának végtelensége miatt.

4. tétel. A konvergencia szükséges jele.

Ha egy sorozat konvergál, akkor a közös tagja a n nullára hajlik, i.e. .

Bizonyíték. Igazán,

És ha a sorozat konvergál, akkor és , tehát .

Vegye figyelembe, hogy ez a jel nem elegendő, pl. a sorozat eltérhet, és a közös kifejezés nullára hajlik. A 2. példában a sorozat eltér, bár közös kifejezése a .

De ha és n nem szokott nullázni , akkor a sorozat divergens ( egy sorozat divergenciájának elegendő jelzése).

Pozitív tagokkal rendelkező sorozatok konvergenciája

Egy sorozat pozitívnak mondható, ha minden.

Egy ilyen sorozat részösszegei S n növekvő sorozatot alkotnak, hiszen minden előző kisebb, mint a következő, azaz. . A határok elméletéből ismert (Bolzano-Weierstrass tétel), hogy ha egy növekvő sorozat felülről korlátos (azaz mindenre S n van ilyen szám M, Mit S n < M mindenkinek n), akkor van határa. Ebből következik a következő tétel.

Tétel. Egy pozitív tagú sorozat akkor konvergál, ha a részösszegei fent korlátosak, máskülönben pedig divergál.

Mindegyik ezen a tulajdonságon alapul elegendő jele a pozitív tagú sorozatok konvergenciájának. Nézzük a főbbeket.

Összehasonlító jel

Tekintsünk két sorozatot nem negatív kifejezésekkel: - (3) és - (4), és néhányból kiindulva n. Ekkor a (4) sorozatok konvergenciájából a (3) sorozatok konvergenciája következik. A (3) sorozat divergenciájából pedig a (4) sorozat divergenciája következik.

Egyébként: ha egy nagyobb tagú sorozat konvergál, akkor a kisebb tagú sorozat is konvergál; ha egy kisebb tagú sorozat eltér, akkor a nagyobb tagú sorozat is eltér.

Példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából.

Megoldás. Egy sorozat általános tagja, a sorozat pedig egy nevezővel rendelkező geometriai sorozat tagjainak végtelen összege< 1, т.е. это сходящийся ряд. По признаку сравнения (т.к. сходится ряд с б?льшими членами, то сходится и ряд с меньшими) данный ряд сходится.

Összehasonlító jel extrém formában

Tekintsünk két sorozatot és , És legyen , véges szám. Ekkor mindkét sorozat egyidejűleg konvergál vagy divergál.

Példa.

Megoldás. Válasszunk egy sorozatot az összehasonlításhoz, hogy megtudjuk, hogyan viselkedik a sorozat általános kifejezése nagyoknál n:

Azok. ~ , és összehasonlító sorozatként azt a sorozatot vesszük, amely eltér, amint azt korábban bemutattuk.

Számítsuk ki a határt

és ez azt jelenti, hogy mindkét sor ugyanúgy viselkedik, azaz. ez a sorozat is eltér.

D'Alembert jele

Legyen adott egy sorozat és létezik egy határ. Aztán ha l < 1, то ряд сходится, если l> 1, akkor a sorozat eltér, ha l= 1, akkor ez a jel nem ad választ (azaz további kutatásra van szükség).

Példa. Vizsgáljuk meg a sorozatot a konvergencia szempontjából (emlékezzünk rá, hogy pl. n-faktoriális az összes egész szám szorzata 1-től n).

Megoldás. Ehhez a sorozathoz (a megtalálásához inkább a n helyettes n+ 1). Számítsuk ki a határt

és mivel a határ 1-nél kisebb, ez a sorozat konvergál.

Radikális Cauchy jele

Legyen adott egy sorozat és létezik egy határ. Ha l< 1, то ряд сходится, если l> 1, akkor a sorozat eltér, ha l= 1, akkor ez a jel nem ad választ (további kutatás szükséges).

Példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

Megoldás. A sorozat közös tagja. Számítsuk ki a határt. Ez azt jelenti, hogy a sorozatok konvergálnak.

Integrált Cauchy-teszt

Tekintsük a sorozatot, és tegyük fel, hogy az intervallumon xО van egy folyamatos, pozitív és monoton csökkenő függvény, n= 1, 2, 3… Ekkor a sorozat és a nem megfelelő integrál egyszerre konvergál vagy divergál.

Vegye figyelembe, hogy ha egy sorozatot adunk meg, akkor a függvényt az intervallumon veszi figyelembe.

Emlékezzünk arra, hogy a jelzett helytelen integrál konvergensnek nevezzük, ha van véges határ, és akkor =. Ha az at-nek nincs véges határa, akkor ezt mondják helytelen integrál eltér

Példa. Nézzük a sorozatot... általánosított harmonikus sorozat vagy Dirichlet sorozat kitevővel s. Ha s= 1, akkor a sorozatot hívjuk harmonikus sorozat.

Ezt a sorozatot az integrál Cauchy-próbával vizsgáljuk: =, és az = függvény a tesztben meghatározott összes tulajdonsággal rendelkezik. Számítsuk ki a nem megfelelő integrált.

Három eset lehetséges:

1) s < 1, и тогда

az integrál eltér.

2) mikor s = 1

az integrál eltér.

3) ha s> 1, akkor

az integrál konvergál.

Következtetés. Az általánosított harmonikus sorozat konvergál, ha s> 1, és eltér, ha s ≤ 1.

Ezt a sorozatot gyakran használják más fokozatokat tartalmazó sorozatokkal való összehasonlításra n.

Példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából.

Megoldás. Ennél a sorozatnál a ~ =, ami azt jelenti, hogy összehasonlítjuk ezt a sorozatot azzal a sorozattal, amely úgy konvergál, mint egy Dirichlet sorozat egy kitevővel s = 2 > 1.

A határformában lévő összehasonlítási kritériumot használva megtaláljuk ennek a sorozatnak és a Dirichlet-sor közös tagjainak arányának határát:

Ezért ez a sorozat is konvergál.

Használati javaslatoka konvergencia jelei

Mindenekelőtt a sorozat konvergenciájához szükséges kritériumot kell használni, és ki kell számítani a sorozat közös tagjának határát. Ha , akkor a sorozat nyilvánvalóan eltér, ha pedig , akkor az elégséges jelek egyikét kell használni.

Az összehasonlítás jelei Olyan esetekben célszerű használni, amikor a sorozat általános tagjának kifejezését átalakítva az eredeti sorozatból át lehet lépni egy olyan sorozatba, amelynek konvergenciája (vagy divergenciája) ismert. Különösen, ha csak hatásköröket tartalmaz nés nem tartalmaz más funkciókat, mindig meg lehet csinálni.

Az összehasonlítás jelei akkor használatosak, ha az eredeti sorozat összehasonlítható egy általánosított harmonikus sorozattal vagy egy végtelen geometriai progresszióból álló sorozattal.< применяют, если при замене n . Самой медленно растущей функцией является логарифм, а быстрее всего растёт степенно-показательная функция . Между ними другие известные функции располагаются в следующем порядке:

Ezért, ha a számláló tartalmazza ezen függvények egyikét, a nevező pedig egy tőle balra lévő függvényt, akkor nagy valószínűséggel a sorozat eltér, és fordítva.

FELSŐ MATEMATIKA

Számsorozat

Előadás.Számsorozat

1. Számsorozat definíciója. Konvergencia

2. A számsorok alapvető tulajdonságai

3. Pozitív feltételekkel rendelkező sorozatok. A konvergencia jelei

4. Váltakozó sorok. Leibniz konvergencia teszt

5. Váltakozó sorozatok

Önellenőrző kérdések

Irodalom

Előadás. NUMERIKUS SOROZAT

1. Számsorozat definíciója. Konvergencia.

2. A számsorok alapvető tulajdonságai.

3. Pozitív feltételekkel rendelkező sorozatok. A konvergencia jelei.

4. Váltakozó sorok. Leibniz konvergencia teszt.

5. Váltakozó sorozatok.

1. Számsorozat definíciója. Konvergencia

A matematikai alkalmazásokban, valamint a közgazdaságtan, a statisztika és más területek egyes problémáinak megoldásában végtelen számú tagú összegeket vesznek figyelembe. Itt fogjuk meghatározni, hogy mit kell érteni az ilyen összegeken.

Legyen adott egy végtelen számsorozat

, , …, , …

Meghatározás 1.1. Számsorozat vagy egyszerűen közel a forma kifejezésének (összegének) nevezzük

. (1.1) hívják egy szám tagjai, – Tábornok vagy n – m sorozat tagja.

Az (1.1) sorozat meghatározásához elegendő a természetes argumentum függvényét megadni

egy sorozat edik tagjának kiszámítása a szám alapján

Példa 1.1. Hadd

. sor (1.2)

hívott harmonikus sorozat .

Példa 1.2. Hadd

, sor (1,3)

hívott általánosított harmonikus sorozat. Abban a speciális esetben, amikor

harmonikus sorozatot kapunk.

Példa 1.3. Hadd

= . sor (1.4)

hívott geometriai progresszió közelében.

Az (1.1) sorozat tagjaiból egy numerikust képezünk részek sorozataösszegeket Ahol

– a sorozat első tagjainak összege, amelyet ún n-részösszeg, azaz , , ,

…………………………….

, (1.5)

…………………………….

Számsorozat

korlátlan számnövekedéssel képes:

1) véges határral rendelkeznek;

2) nincs véges határa (a határ nem létezik, vagy egyenlő a végtelennel).

Meghatározás 1.2. Az (1.1) sorozatot hívják konvergens, ha részösszegei sorozatának (1.5) véges határa van, azaz.

Ebben az esetben a szám

hívott összeg sorozat (1.1) és .

Meghatározás 1.3.Az (1.1) sorozatot hívják eltérő, ha részösszegei sorozatának nincs véges határa.

Nincs összeg hozzárendelve az eltérő sorozatokhoz.

Így egy (1.1) konvergens sorozat összegének megtalálásának problémája egyenértékű a részösszegei sorozatának határértékének kiszámításával.

Nézzünk néhány példát.

1.4. példa. Bizonyítsd be, hogy a sorozat

konvergál, és találja meg az összegét.

meg fogjuk találni n- ennek a sorozatnak a részösszege

.

Általános tag

Képviseljük a sorozatot a formában.

Innentől a következőket kapjuk:

. Ezért ez a sorozat konvergál, és összege egyenlő 1-gyel:

1.5. példa. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

(1.6)

Ehhez a sorhoz

. Ezért ez a sorozat eltér egymástól.

Megjegyzés. Nál nél

sorozat (1.6) végtelen számú nulla összege, és nyilvánvalóan konvergens.

Példa 1.6. Vizsgálja meg a sorozatot a konvergencia szempontjából

(1.7)

Ehhez a sorhoz

Ebben az esetben a részösszegek sorozatának határa az

nem létezik, és a sorozat eltér.

Példa 1.7. Vizsgáljuk meg a geometriai progresszió sorozatát (1.4) a konvergencia szempontjából:

Ezt könnyű megmutatni n-edik parciális összege egy geometriai progresszió sorozat at

képlet adja meg.

Nézzük az eseteket:

Aztán és.

Ezért a sorozat konvergál, és összege egyenlő