Komplex számok geometriai ábrázolása és a rajtuk végzett műveletek. Komplex szám trigonometrikus alakja

Definíciók . Hadd a, b- valós számok, én– valami szimbólum. A komplex szám az alak jelölése a+kettős.

KiegészítésÉs szorzás számok a komplex számok halmazán: (a+kettős)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

(a+bi)(c+di)=(ac–bd)+(hirdetés+bc)i. .

1. tétel . Komplex számok halmaza VAL VEL az összeadás és szorzás műveleteivel mezőt alkot. Az összeadás tulajdonságai

1) Kommutativitás b: (a+kettős)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i=(c+di)+(a+kettős).

2) Az asszociativitás :[(a+kettős)+(c+di)]+(pl+fi)=(a+c+e)+(b+d+f)i=(a+kettős)+[(c+di)+(pl+fi)].

3) Létezés semleges elem :(a+kettős)+(0 +0i)=(a+kettős). Szám 0 +0 én nullának nevezzük és jelöljük 0 .

4) Létezés ellentétes elem : (a+kettős)+(–a–kettős)=0 +0i=0 .

5) A szorzás kommutativitása : (a+bi)(c+di)=(ac–bd)+(időszámításunk előtt+ad)i=(c+di)(a+kettős).

6) A szorzás asszociativitása :Ha z 1=a+kettős, z 2=c+di, z 3=e+fi, Azt (z 1 z 2) z 3=z 1 (z 2 z 3).

7) Eloszlás: Ha z 1=a+kettős, z 2=c+di, z 3=e+fi, Azt z 1 (z 2+z 3)=z 1 z 2+z 1 z 3.

8) Semleges elem a szorzáshoz :(a+bi)(1+0i)=(egy 1–b 0)+(a · 0+b·1)i=a+kettős.

9) Szám 1 +0i=1 - Mértékegység.

9) Létezés inverz elem : "z¹ 0 $z –1 :z Z –1 =1 .

Hadd z=a+kettős. Valós számok a, hívott érvényes, A b - képzeletbeli részek összetett szám z. Használt jelölések: a=Rez, b=Imz.

Ha b=0 , Azt z=a+ 0i=a- valós szám. Ezért a valós számok halmaza R része a komplex számok halmazának C: R Í C.

Jegyzet:én 2=(0 +1i)(0+1i)=–1 +0i=–1 . A szám ezen tulajdonságának felhasználása én, valamint az 1. Tételben bizonyított műveletek tulajdonságait, komplex számokkal is végezhet műveleteket a szokásos szabályok szerint, helyettesítve én 2 tovább - 1 .

Megjegyzés. A £, ³ („kevesebb”, „nagyobb”) relációk komplex számokhoz nincsenek definiálva.

2 Trigonometrikus jelölés .

A z = a+bi bejegyzést hívjuk algebrai komplex szám alakja . Tekintsünk egy síkot egy kiválasztott derékszögű koordinátarendszerrel. Mi képviseljük a számot z pont koordinátákkal (a, b). Aztán valós számok a=a+0i tengelypontokkal lesz ábrázolva ÖKÖR- ez az úgynevezett érvényes tengely. Tengely OY hívott képzeletbeli tengely, pontjai az alak számainak felelnek meg kettős amelyeket néha úgy hívnak pusztán képzeletbeli . Az egész gépet ún összetett sík .Hívják a számot modult számok z: ,

Poláris szög j hívott érv számok z: j=argz.

Az érvelést egy időtartamig határozzák meg 2 kp; amiért – p< j £ p , hívott fő fontossága érv. Számok r, j a pont poláris koordinátái z. Ez egyértelmű a=r cosj, b=r sinjés kapjuk: z=a+kettős=r·(cosj+bűnöm). trigonometrikus forma komplex szám írása.

Konjugált számok . A komplex számot egy szám konjugáltjának nevezzükz = a + kettős . Egyértelmű, hogy. Tulajdonságok : .

Megjegyzés. A konjugált számok összege és szorzata valós számok:

Összetett szám z hívott kifejezés hol AÉs V- valós számok, én– képzeletbeli egység vagy speciális jel.

Ebben az esetben a következő megállapodások teljesülnek:

1) az a+bi kifejezéssel aritmetikai műveleteket hajthat végre az algebra literális kifejezéseire elfogadott szabályok szerint;

5) az a+bi=c+di egyenlőség, ahol a, b, c, d valós számok, akkor és csak akkor következik be, ha a=c és b=d.

A 0+bi=bi számot hívják képzeletbeli vagy pusztán képzeletbeli.

Bármely a valós szám egy komplex szám speciális esete, mert felírható a=a+ 0i alakban. Konkrétan 0=0+0i, de ha a+bi=0, akkor a+bi=0+0i, tehát a=b=0.

Így egy a+bi=0 komplex szám akkor és csak akkor, ha a=0 és b=0.

Az egyezményekből következnek a komplex számok transzformációjának törvényei:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;

Látjuk, hogy a komplex számok összege, különbsége, szorzata és hányadosa (ahol az osztó nem egyenlő nullával) viszont komplex szám.

Szám A hívott egy komplex szám valós része z(jelölése ), V– a z komplex szám képzeletbeli része (jelölése ).

Nulla valós résszel rendelkező z komplex számot hívunk. pusztán képzeletbeli, nulla képzeletbeli – tisztán valóságos.

Két komplex számot hívunk. egyenlő ha valós és képzeletbeli részük egybeesik.

Két komplex számot hívunk. konjugált, ha vannak anyagok. a részek egybeesnek, de a képzeletbeli részek előjelekben különböznek. , akkor a konjugáltja.

A konjugált számok összege az anyagok száma, a különbség pedig egy tisztán képzeletbeli szám. A számok szorzási és összeadási műveletei természetesen a komplex számok halmazán vannak definiálva. Ugyanis ha és két komplex szám, akkor az összeg: ; munka: .

Határozzuk meg most a kivonás és osztás műveleteit.

Vegye figyelembe, hogy két komplex szám szorzata az anyagok száma.

(mivel i=-1). Ezt a számot hívják. négyzet modulus számok. Így ha egy szám , akkor modulusa valós szám.

A valós számokkal ellentétben a „több” és a „kevesebb” fogalmát nem vezetik be a komplex számokhoz.

Komplex számok geometriai ábrázolása. A valós számokat a számegyenesen lévő pontok jelölik:

Itt van a lényeg A jelentése –3, pont B– 2. szám, és O- nulla. Ezzel szemben a komplex számokat a koordinátasíkon lévő pontok képviselik. Erre a célra téglalap alakú (derékszögű) koordinátákat választunk, mindkét tengelyen azonos léptékkel. Aztán a komplex szám a+ bi ponttal lesz jelölve P a abszcisszával és b ordinátával(rizs.). Ezt a koordinátarendszert ún összetett sík.

Modul komplex szám a vektor hossza OP, komplex számot képvisel a koordinátán ( átfogó) repülőgép. Komplex szám modulusa a+ bi jelölve | a+ bi| vagy levelet rés egyenlő:

A konjugált komplex számok modulusa azonos. __

Érv komplex szám a tengely közötti szög ÖKÖRés vektor OP, amely ezt a komplex számot képviseli. Ezért tan = b / a .

Komplex szám trigonometrikus alakja. A komplex szám algebrai formában történő írása mellett egy másik alakot is használnak, az ún trigonometrikus.

Legyen a z=a+bi komplex szám az (a,b) koordinátákkal rendelkező OA vektorral. Jelöljük az OA vektor hosszát bükk r-vel: r=|OA|, és az általa bezárt szöget az Ox tengely pozitív irányával φ szöggel.

A sinφ=b/r, cosφ=a/r függvények definícióit felhasználva a z=a+bi komplex szám z=r(cosφ+i*sinφ) alakban írható fel, ahol , és a φ szöget ebből határozzuk meg. a feltételeket

Trigonometrikus forma egy z komplex szám z=r(cosφ+i*sinφ) formában van ábrázolva, ahol r és φ valós számok, r≥0.

Valóban, az r számot hívják modult komplex számot és |z|-vel jelöljük, a φ szög pedig a z komplex szám argumentuma. Egy z komplex szám φ argumentumát Arg z jelöli.

Műveletek trigonometrikus formában ábrázolt komplex számokkal:

Ez híres Moivre képlete.

8 .Vektor tér. Vektorterek példái és legegyszerűbb tulajdonságai. Egy vektorrendszer lineáris függése és függetlensége. A végső vektorrendszer alapja és rangja

Vektor tér - egy matematikai fogalom, amely általánosítja a közönséges háromdimenziós tér összes (szabad) vektorának halmazának fogalmát.

A háromdimenziós térben lévő vektorok esetében a vektorok összeadásának és valós számokkal való szorzásának szabályai vannak feltüntetve. Bármilyen vektorra alkalmazható x, y, zés bármilyen számot α, β ezek a szabályok megfelelnek következő feltételekkel:

1) x+nál nél=nál nél+x(összeadás kommutativitása);

2)(x+nál nél)+z=x+(y+z) (összeadás asszociativitása);

3) van egy nulla vektor 0 (vagy nullvektor), amely kielégíti a feltételt x+0 =x: bármely vektorhoz x;

4) bármely vektorra x van egy ellentétes vektor nál nél oly módon, hogy x+nál nél =0 ,

5) 1 x=X,ahol 1 a mező mértékegysége

6) α (βx)=(αβ )x(szorzás asszociativitása), ahol a szorzat αβ skalárok szorzata

7) (α +β )x=αх+βх(a numerikus tényezőhöz viszonyított eloszlási tulajdonság);

8) α (x+nál nél)=αх+αу(a vektorszorzóhoz viszonyított eloszlási tulajdonság).

A vektoros (vagy lineáris) tér halmaz R, tetszőleges természetű elemekből áll (úgynevezett vektor), amelyben az elemek összeadásának és valós számokkal való szorzásának műveletei vannak definiálva, amelyek teljesítik az 1-8 feltételt.

Ilyen terek például a valós számok halmaza, a vektorok halmaza a síkon és a térben, a mátrixok stb.

Tétel: „A vektorterek legegyszerűbb tulajdonságai”

1. Egy vektortérben csak egy nulla vektor van.

2. A vektortérben minden vektornak van egyedi ellentéte.

4. .

Dokumentum

Legyen 0 a V vektortér nulla vektora. Ekkor . Legyen egy másik nulla vektor. Akkor . Vegyük az első esetben , a másodikban pedig - . Akkor és , honnan következik, hogy stb.

Először is bebizonyítjuk, hogy egy nulla skalár és bármely vektor szorzata egyenlő egy nulla vektorral.

Hadd . Ezután a vektortér axiómáit alkalmazva megkapjuk:

Az összeadás szempontjából a vektortér Abel-csoport, és a törlési törvény minden csoportra érvényes. A redukciós törvényt alkalmazva az utolsó egyenlőségből 0*x=0 következik

Most bebizonyítjuk a 4) állítást. Legyen tetszőleges vektor. Akkor

Ebből azonnal következik, hogy a (-1)x vektor ellentétes az x vektorral.

Legyen most x=0. Ekkor a vektortér axiómáit alkalmazva a következőt kapjuk:

Tegyük fel, hogy. Mivel ahol K mező, akkor . Szorozzuk meg a bal oldali egyenlőséget :-el, ami azt jelenti, hogy 1*x=0 vagy x=0

Egy vektorrendszer lineáris függése és függetlensége. A vektorok halmazát vektorrendszernek nevezzük.

Egy vektorrendszert lineárisan függőnek nevezünk, ha vannak olyan számok, amelyek nem egyenlők egyszerre nullával, így (1)

Egy k vektorból álló rendszert lineárisan függetlennek nevezünk, ha az (1) egyenlőség csak -re lehetséges, azaz. amikor az (1) egyenlőség bal oldalán lévő lineáris kombináció triviális.

Megjegyzések:

1. Egy vektor is rendszert alkot: at lineárisan függő, és lineárisan független at.

2. A vektorrendszer bármely részét alrendszernek nevezzük.

Lineárisan függő és lineárisan független vektorok tulajdonságai:

1. Ha egy vektorrendszer nulla vektort tartalmaz, akkor az lineárisan függő.

2. Ha egy vektorrendszernek két egyenlő vektora van, akkor lineárisan függő.

3. Ha egy vektorrendszernek két arányos vektora van, akkor lineárisan függő.

4. Egy k>1 vektorból álló rendszer akkor és csak akkor lineárisan függ, ha legalább az egyik vektor a többi vektor lineáris kombinációja.

5. A lineárisan független rendszerben lévő vektorok lineárisan független alrendszert alkotnak.

6. Egy lineárisan függő alrendszert tartalmazó vektorrendszer lineárisan függő.

7. Ha egy vektorrendszer lineárisan független, és egy vektor hozzáadása után kiderül, hogy lineárisan függ, akkor a vektor vektorokká bővíthető, ráadásul egyedi módon, pl. a tágulási együtthatók egyedileg megtalálhatók.

Bizonyítsuk be például az utolsó tulajdonságot. Mivel a vektorok rendszere lineárisan függ, vannak olyan számok, amelyek nem mindegyike egyenlő 0-val, ami. Ebben az egyenlőségben. Sőt, ha , akkor. Ez azt jelenti, hogy a vektorok nemtriviális lineáris kombinációja egyenlő a nulla vektorral, ami ellentmond a rendszer lineáris függetlenségének. Ebből következően, majd, i.e. a vektor vektorok lineáris kombinációja. Továbbra is meg kell mutatni egy ilyen ábrázolás egyediségét. Tegyük fel az ellenkezőjét. Legyen két bővítés és , és a kiterjesztések nem minden együtthatója egyenlő egymással (például ).

Akkor az egyenlőségből kapunk .

Ezért a vektorok lineáris kombinációja egyenlő a nulla vektorral. Mivel nem minden együtthatója egyenlő (legalábbis) nullával, ez a kombináció nem triviális, ami ellentmond a vektorok lineáris függetlenségének feltételének. Az ebből eredő ellentmondás megerősíti a bővítés egyediségét.

A vektorrendszer rangja és alapja. Egy vektorrendszer rangja a rendszer lineárisan független vektorainak maximális száma.

A vektorrendszer alapja egy adott vektorrendszer maximális lineárisan független alrendszerének nevezzük.

Tétel. Bármely rendszervektor ábrázolható rendszerbázisvektorok lineáris kombinációjaként. (Bármely rendszervektor bázisvektorokká bővíthető.) A kiterjesztési együtthatók egy adott vektorra és egy adott bázisra egyedileg kerülnek meghatározásra.

Dokumentum:

Legyen alapja a rendszernek.

1 eset. Vektor - az alapján. Ezért egyenlő az egyik bázisvektorral, mondjuk . Akkor = .

2. eset. A vektor nem az alapból származik. Ekkor r>k.

Tekintsünk egy vektorrendszert. Ez a rendszer lineárisan függő, hiszen alap, i.e. maximális lineárisan független alrendszer. Következésképpen vannak olyan számok 1-vel, 2-vel, ..., k-vel, és nem mindegyik egyenlő nullával, így

Nyilvánvaló, hogy (ha c = 0, akkor a rendszer alapja lineárisan függő).

Bizonyítsuk be, hogy a vektor kiterjesztése a bázishoz képest egyedi. Tegyük fel az ellenkezőjét: a vektornak két kiterjesztése van a bázishoz képest.

Ezeket az egyenlőségeket levonva azt kapjuk

A bázisvektorok lineáris függetlenségét figyelembe véve azt kapjuk, hogy

Következésképpen a vektor kiterjesztése a bázis szempontjából egyedi.

A vektorok száma a rendszer bármely bázisában azonos és egyenlő a vektorrendszer rangjával.

Def. A komplex számok rendszerét min mezőnek nevezzük, amely a valós számok mezőjének kiterjesztése, és amelyben van egy i elem (i 2 -1=0)

Def. Algebra<ℂ, +, ∙, 0, 1, ℝ, ⊕, ⊙, i>Számítógépes számrendszernek nevezzük, ha a következő feltételek (axiómák) teljesülnek:

1. a,b∊ℂ∃!m∊ℂ: a+b=m

2. a,b,c∊ℂ (a+b)+c=a+(b+c)

3. a,b∊ℂa+b=b+a

4. ∃ 0∊ℂ a∊ℂ a+0=a

5. a∊ℂ ∃(-a)∊ℂ a+(-a)=0

6. a,b∊ℂ ∃! n∊ℂa∙b=n

7. a,b,c∊ℂ (a∙b)∙c=a∙(b∙c)

8. a,b∊ℂa∙b=b∙a

9. ∃1∊ℂ a∊ℂ a∙1=a

10. a∊ℂ ∃a -1 ∊ℂ a∙a -1 =1

11. a,b,c∊ℂ (a+b)c=ac+bc

12. - akciómező számok

13. Rєℂ, a,b∊R a⊕b=a+b, a⊙b=a∙b

14. ∃i∊ℂ:i 2 +1=0

15. ℳ≠⌀ 1)ℳ⊂ℂ,R⊂ℳ 2) α,β∊ℳ⇒(α+β)∊ℳ és (α∙β)∊ℳ)⇒ℳ=ℂ

Szent számok:

1. α∊ℂ∃! (a,b) ∊ R:α=a+b∙i

2. A kompszámok mezője nem rendezhető lineárisan, azaz. α∊ℂ, α≥0 |+1, α 2 +1≥1, i 2 +1=0, 0≥1-lehetetlen.

3. Az algebra alaptétele: A ℂ számmező algebrailag zárt, azaz bármely többes szám pozitív. fokkal a ℂ számmező felett legalább egy halmaza van. gyökér

A következő a főből alg. tételek: Pozitívok tetszőleges sokasága. A komplex számok mező feletti fokok feloszthatók egy pozitív együtthatójú elsőfokú ... szorzatra.

Következő: minden quad szintnek 2 gyökere van: 1) D>0 2 különböző. érvényes gyök 2)D=0 2-a cél. gyökér egybeesése 3)D<0 2-а компл-х корня.

4. Axióma. a komplex számok elmélete kategorikus és konzisztens

Módszertan.

Az általános oktatási órákon a komplex szám fogalmát nem veszik figyelembe, csak a valós számok tanulmányozására korlátozódnak. De a középiskolában az iskolások már meglehetősen érett matematikai képzettséggel rendelkeznek, és képesek megérteni a szám fogalmának bővítésének szükségességét. Az általános fejlődés szempontjából a komplex számokkal kapcsolatos ismereteket a természettudományokban és a technikában hasznosítják, ami fontos a tanuló számára a leendő szakmaválasztás folyamatában. Egyes tankönyvek szerzői e téma tanulmányozását kötelezően beiktatják algebrai tankönyveikbe és a speciális szintű matematikai elemzés kezdeteibe, amit az állami szabvány előír.

Módszertani szempontból a „Komplex számok” témakör a matematika alaptanfolyamában lefektetett polinom- és számfogalmakat fejleszti és elmélyíti, bizonyos értelemben kiegészítve a számfogalom középiskolai fejlődési útját.

Sok iskolásnak azonban még középiskolás korában is gyengén fejlett az absztrakt gondolkodása, vagy nagyon nehéz elképzelni egy „képzeletbeli, képzeletbeli” egységet, megérteni a koordináta és a komplex sík közötti különbségeket. Vagy éppen ellenkezőleg, a hallgató elvont fogalmakkal operál, azok valós tartalmától elzárva.

A „Komplex számok” témakör tanulmányozása után a tanulóknak világosan meg kell érteniük a komplex számokat, ismerniük kell a komplex számok algebrai, geometriai és trigonometrikus alakját. A tanulóknak képesnek kell lenniük az összeadás, szorzás, kivonás, osztás, hatványozás és gyökkivonás műveleteinek elvégzésére komplex számokon; konvertálja a komplex számokat algebraiból trigonometrikus formába, van fogalma a komplex számok geometriai modelljéről

N. Ya. Vilenkin, O. S. Ivashev-Musatov, S. I. Shvartsburd matematikai óráknak szóló tankönyvében „Algebra és a matematikai elemzés kezdetei” a „Komplex számok” témát mutatják be a 11. osztályban. A témakör tanulmányozását a 11. évfolyam második felében kínáljuk, miután a 10. évfolyamon a trigonometria, a 11. évfolyamon pedig az integrál- és differenciálegyenleteket, az exponenciális, logaritmikus és hatványfüggvényeket, valamint a polinomokat. A tankönyvben a „Komplex számok és a velük végzett műveletek” témakör két részre oszlik: Komplex számok algebrai formában; Komplex számok trigonometrikus alakja. A „Komplex számok és műveletek rajtuk” témakör áttekintése a másodfokú egyenletek, a harmadik és negyedik fokú egyenletek megoldásának kérdésével kezdődik, és ennek következtében feltárul az „új i szám” bevezetésének szükségessége. Azonnal adottak a komplex számok fogalmai és a velük végzett műveletek: a komplex számok összegének, szorzatának és hányadosának megtalálása. Ezután a komplex szám fogalmának szigorú meghatározása, az összeadás és szorzás, kivonás és osztás műveleteinek tulajdonságait adjuk meg. A következő bekezdés a konjugált komplex számokról és azok tulajdonságairól szól. Ezután megvizsgáljuk a komplex számok négyzetgyökeinek kinyerését és a másodfokú egyenletek komplex együtthatókkal való megoldását. A következő bekezdés a következőket tárgyalja: a komplex számok geometriai ábrázolása; poláris koordináta-rendszer és komplex számok trigonometrikus alakja; komplex számok szorzása, hatványozása és osztása trigonometrikus formában; Moivre-képlet, komplex számok alkalmazása trigonometrikus azonosságok bizonyítására; komplex szám gyökének kinyerése; polinomalgebra alaptétele; komplex számok és geometriai transzformációk, komplex változó függvényei.

A tankönyvben S.M. Nikolsky, M.K. Potapova, N.N. Reshetnikova, A.V. Shevkin „Algebra és a matematikai elemzés kezdetei”, téma „A komplex számokat a 11. évfolyamon veszik figyelembe az összes téma tanulmányozása után, azaz. iskolai algebratanfolyam végén. A téma három részre oszlik: Algebrai forma és komplex számok geometriai értelmezése; Komplex számok trigonometrikus alakja; Polinomok gyökerei, komplex számok exponenciális alakja. A bekezdések tartalma meglehetősen terjedelmes, sok fogalmat, definíciót és tételt tartalmaz. Az „Algebrai alak és a komplex számok geometriai értelmezése” bekezdés három részt tartalmaz: komplex szám algebrai formája; komplex számok konjugálása; komplex szám geometriai értelmezése. A „Komplex szám trigonometrikus alakja” bekezdés tartalmazza a komplex szám trigonometrikus alakja fogalmának bevezetéséhez szükséges definíciókat és fogalmakat, valamint egy algoritmust az algebrai jelölési formáról a trigonometrikus jelölési formára való átmenethez. komplex szám. Az utolsó bekezdésben „A polinomok gyökerei. A komplex számok exponenciális alakja" három részből áll: a komplex számok gyökerei és tulajdonságaik; polinomok gyökerei; komplex szám exponenciális alakja.

A tankönyvi anyag kis terjedelemben kerül bemutatásra, de elég ahhoz, hogy a tanulók megértsék a komplex számok lényegét, és elsajátítsák azokról a minimális ismereteket. A tankönyv kevés gyakorlatot tartalmaz, és nem foglalkozik a komplex szám hatványra emelésének kérdésével és a Moivre-formulával.

A tankönyvben A.G. Mordkovich, P.V. Semenov „Algebra és a matematikai elemzés kezdetei”, profilszint, 10. évfolyam, a „Komplex számok” témát a 10. évfolyam második felében vezetik be közvetlenül a „valós számok” és a „trigonometria” témakörök tanulmányozása után. Ez az elhelyezés nem véletlen: mind a számkör-, mind a trigonometriai képleteket aktívan használják a komplex számok trigonometrikus alakjának, a Moivre-képletnek a tanulmányozásában, valamint a komplex számok négyzet- és kockagyökeinek kinyerésekor. A „Komplex számok” témakört a 6. fejezet mutatja be, és 5 részre oszlik: komplex számok és a rajtuk végzett számtani műveletek; komplex számok és a koordinátasík; komplex szám írásának trigonometrikus formája; komplex számok és másodfokú egyenletek; komplex szám hatványra emelése, komplex szám köbgyökének kinyerése.

A komplex szám fogalmát a számfogalom kiterjesztéseként vezetik be, és bizonyos műveletek valós számokkal való végrehajtásának lehetetlenségét. A tankönyv egy táblázatot mutat be a főbb numerikus halmazokkal és az azokban megengedett műveletekkel. Felsoroljuk azokat a minimális feltételeket, amelyeket a komplex számoknak teljesíteniük kell, majd bemutatjuk az imaginárius egység fogalmát, a komplex szám definícióját, a komplex számok egyenlőségét, azok összegét, különbségét, szorzatát és hányadosát.

A valós számok halmazának geometriai modelljétől áttérünk a komplex számok halmazának geometriai modelljére. A „Komplex szám írásának trigonometrikus formája” témakör vizsgálata a komplex szám modulusának meghatározásával és tulajdonságaival kezdődik. Ezután megvizsgáljuk a komplex szám trigonometrikus alakját, a komplex szám argumentumának meghatározását és a komplex számok standard trigonometrikus alakját.

Ezután egy komplex szám négyzetgyökének kinyerését és a másodfokú egyenletek megoldását tanulmányozzuk. Az utolsó bekezdésben pedig bemutatjuk a Moivre-féle képletet, és levezetünk egy algoritmust egy komplex szám kockagyökének kinyerésére.

A vizsgált tankönyvben is minden bekezdésben, az elméleti résszel párhuzamosan, több olyan példát is figyelembe veszünk, amelyek illusztrálják az elméletet és értelmesebb képet adnak a témáról. Rövid történelmi tényeket közölnek.

Tekintsük az x%y € R valós számok összes lehetséges rendezett párjának (i» y) R2 halmazát. Az ilyen párokra (a, b) = (c, d) akkor és csak akkor, ha a = c és b - d. Vezessünk be belső összetételi törvényeket ehhez az R2 halmazhoz összeadási és szorzási műveletek formájában. Az összeadást a £faa egyenlőséggel határozzuk meg, a művelet asszociatív és kommutatív; van (a 4.5 definíció szerint) egy semleges eleme (0, 0), és a 4.6 definíció szerint minden párhoz (a, 6) megadható egy szimmetrikus (ellentétes) elem (-a, -6). Valóban, V(a, 6) £ R2 Sőt, vagy a Komplex számok mezője. A szorzást az egyenlőséggel határozzuk meg Könnyen ellenőrizhető, hogy az így bevezetett művelet asszociatív, kommutatív és disztributív-e az összeadás tekintetében. Ennek a műveletnek van egy semleges eleme, ami az (1, 0) pár, mivel tehát a bevezetett összeadási és szorzási műveletek tekintetében az R2 halmaz egy azonosságú Abel-gyűrű (lásd 4.1. táblázat). x* Az (x, 0) € R2 párok és az x G R valós számok halmaza között nem nehéz egy az egyhez megfelelést (x, 0) x) megállapítani, amiből az következik, hogy komplex számok. azok. Az ilyen párok összeadása és szorzása ugyanúgy történik, mint a valós számok. Helyettesítsük az (x, 0) alakú párokat valós számokra, pl. (zh, 0) helyett egyszerűen w-t írunk, különösen (1, 0) helyett - egyszerűen 1-et. Az R2 halmazban különleges helyet foglal el a (0, 1) pár. A (4.3) szerint tulajdonságokkal rendelkezik és speciális i jelölést kapott, majd a (4.2) és (4.3) figyelembevételével bármely (x, y) € R2 pár ábrázolható komplex számok mezőjeként. Jelöljük z-vel. A z elemet a z elem komplex konjugátumának nevezzük. Figyelembe véve (4.3) z-z = x2 -by2. Ha z nem esik egybe a semleges elemmel (0, 0), azaz. ha x és y egyszerre nem egyenlő 0-val (2^0-val jelölve), akkor x2 + + y2 φ 0. Ekkor a z elem inverze (szimmetrikus, ellentétes a szorzási művelettel - lásd 4.1) = x + iy a következő z "1 elem lesz, hogy zz~l = 1 vagy zzz~l =z, azaz (x2 + y2)z~l = x - y Innen -1_ X 2 Y \ Következésképpen minden elem gf O-nak inverze van az svbe-hez a szorzási művelet tekintetében, és az R2 halmaz a rajta lévő összeadás és szorzás (4.1) és (4.3) szerint egy mező (lásd a 4.1. táblázatot). komplex számok mezője (vagy halmaza), és S-vel jelöljük. B A fenti egy az egyhez megfelelés (r, 0) értelmében € R2 ++ x € R, a komplex számok törtrésze a mező kiterjesztése valós számokból. C bármely r elemét komplex számnak nevezzük, és z = x + iy> formájú ábrázolása, ahol x, y £ R és i2 = -l, - a komplex számot reprezentálja algebrai formában. Ebben az esetben £-t egy komplex szám valós részének nevezzük, és Re z-vel jelöljük, y-t pedig képzeletbeli résznek, és Imz-vel jelöljük (t a képzeletbeli egység). Vegye figyelembe, hogy egy komplex szám imaginárius része valós szám. Az y elnevezés nem teljesen sikeres, de a történelmi hagyomány előtti tisztelgésként a mai napig megmaradt. A „komplex szám” kifejezést JI francia matematikus vezette be 1803-ban. Carnot (1753-1823), de ezt a kifejezést 1828-ban kezdte szisztematikusan használni K. Gauss a kevésbé sikeres „képzetes szám”44 helyettesítésére. századi orosz matematikai irodalomban. az „összetett szám”44 kifejezést használta. Már R. Descartes is szembeállította egy komplex szám valós és képzetes részét. Később a francia reele (valóságos) és imagimaire (képzelt) szavak első betűi lettek e részek jelölései, bár sok matematikus a képzeletbeli mennyiségek lényegét tisztázatlannak, sőt titokzatosnak és misztikusnak tartotta. Így I. Newton nem vette be őket a szám fogalmába, G. Leibniz pedig a következő mondatot birtokolja: „A képzeletbeli számok az isteni szellem gyönyörű és csodálatos menedékei, szinte a lét kétéltűje a nemléttel44. Mivel az összes lehetséges valós számpár R2 halmaza azonosítható a síkon lévő pontokkal, minden z komplex szám =? x + iy az y) pontnak felel meg (4.1. ábra), ami lehetővé teszi, hogy egy komplex szám ábrázolásának geometriai alakjáról beszéljünk. Ha a komplex számokat egy sík pontjaival azonosítjuk, azt komplex síknak vagy komplex számok síkjának nevezzük. A valós számok az ökör tengelyére kerülnek, azaz. z számok, amelyekre lmz = y = 0, és az Oy tengelyen - z = = iy számok, amelyeket tisztán képzeletbelinek nevezünk, amelyekre Re z = x = 0. Ez az ábra. A 4.1. ábrán látható, hogy a komplex síkban lévő koordinátatengelyeket valósnak, illetve imaginárisnak nevezzük. A z és z komplex konjugált elemeknek megfelelő sík pontjai (komplex konjugált számok) szimmetrikusak a valós tengelyre, a z és z-t képviselő pontok pedig szimmetrikusak az origóra. Távolság Komplex számok mezője. a síkon z = x + iy komplex számot ábrázoló M(x, y) pontot az origóból a komplex szám modulusának nevezzük, és \z\ vagy r jelöléssel jelöljük. az Ox tengely pozitív irányával alkotott M pontot komplex szám argumentumának nevezzük, és Argz vagy (p) jelöléssel jelöljük (lásd 4.1. ábra). A szög mérése a trigonometriához hasonlóan történik: a szögváltozás pozitív irányát az óramutató járásával ellentétes iránynak tekintjük. Nyilvánvaló, hogy Arg z nem egyedileg definiált, hanem egy olyan tag erejéig, amely többszöröse 2π\ Az argumentum egyetlen értéke, amely kielégíti a feltételt (néha a 0-t fő értéknek nevezik, és argz-vel jelöljük. Így Arg * = arg2: + 2πm, m € Z. Z - 0 esetén az Args értéke nincs definiálva.Az ennek a számnak megfelelő pontot (origot) csak a \z\ = z = 0 feltétel jellemzi. a komplex síkon minden z komplex számnak felel meg az M(x, y) pont egy sugárvektora, amely poláris koordinátákkal definiálható: az r ^ 0 poláris sugár, amely megegyezik a komplex szám modulusával, és a polárszög, amely egybeesik ennek a komplex számnak az argumentumának fő értékével. Az iskolai trigonometria tantárgyból ismert trigonometrikus függvények és inverzeik definíciói szerint (lásd 3.5) a komplex síkon tetszőleges z helypontra x=rcosy >= X A komplex szám argumentumának főértékére vonatkozó korlátozásokat figyelembe véve azt kapjuk, hogy ha x > 0; ha x 0; ha x = 0 és y. A (4.6)-ból az következik, hogy a jogi jelölés + tsiny>), (4.8) A komplex számok ábrázolásának trigonometrikus alakja. Az algebrai ábrázolásmódról a trigonometrikusra való áttéréshez használja a (4.5) és (4.7)”-t, a fordított átmenethez pedig - (4.6). Figyeljük meg, hogy két nem nulla komplex szám akkor és csak akkor egyenlő, ha a moduljaik egyenlőek, és argumentumaik a 2π többszörösei által különböznek. A (4.1) szerint a z\ és r2 komplex számok összege komplex szám lesz és különbségük - Ezekből a képletekből következik, hogy a komplex számok összeadása (vagy kivonása) hasonló a vektorok összeadásához (vagy kivonásához). komplex síkban a paralelogramma szabály szerint (4.2. ábra) (ebben az esetben a vektorok megfelelő koordinátáit összeadjuk vagy kivonjuk). Ezért a komplex számok modulusaira az a egyenlőtlenségi háromszög alakban érvényes (a háromszög egyik oldalának hossza nem nagyobb, mint a másik két oldala hosszának összege). Ezzel azonban véget ér a komplex számok és vektorok közötti analógia. A komplex számok összege vagy különbsége lehet valós szám (például komplex konjugált számok összege z-f z = = 2x, x = Rez e R). A (4.3) szerint a z\ és z2 komplex számok szorzata komplex szám lesz A φ 0 szám osztása a szorzás inverz műveleteként kerül bevezetésre, azaz. a Z1/22 hányadoson V*2 φ 0 esetén olyan -r komplex számot értünk, amely kielégíti a z^z = z\ egyenlőséget. Miután ennek az egyenlőségnek mindkét oldalát megszorozzuk 22-vel, azt kapjuk, hogy egy z komplex számot n € N hatványra emelve z-t önmagával n-szeresére szorozzuk, figyelembe véve azt a tényt, hogy k 6 N esetén a komplex számok mezője. A trigonometrikus jelölési forma (4.8) lehetővé teszi a komplex számok szorzásának, osztásának és hatványozásának egyszerűsítését. Így z\ = r\(cos(p\ + isiny?i) és Z2 = Г2(о + -f isin no (4.3) esetén megállapíthatjuk, hogy a komplex síkon (4.3. ábra) a szorzás megfelel egy forgatásnak. az OM szakasz szögével (az óramutató járásával ellentétes irányban 0-nál) és hosszának változásával Г2 = \z2\-szor, * osztás - ennek a szakasznak az óramutató járásával megegyező szögben történő elforgatása és hosszának megváltoztatása 1/гг = 1/|г2| szor- Ha az n £ N hatványra emelését úgy tekintjük, mint z szorzatát önmagával n-szer, felével. A. de Moivre (1667-1754) angol matematikus tiszteletére ezt az összefüggést Moivre-féle komplex szám pozitív egész számra emelésének képletének nevezzük. Ha egy komplex számot racionális hatványra emelünk q = m /n, q€ Q, m € Z, n6N, akkor ennek a számnak az 1/n hatványára való emelésével, vagy, ahogy általában mondják, a komplex szám n-edik gyöke A gyök kinyerése a fokra emelés inverz művelete, azaz = w, ha wn = z. Legyen) Ekkor a (4.13)-ból megvan és a komplex számok egyenlőségét figyelembe véve megkapjuk A (4.14) kifejezésből, amelyet a pozitív egész hatvány gyökének komplex számból való kivonására szolgáló Moivre-képletnek neveznek, az következik, hogy az y/z lehetséges értékei között n érték felel meg a k = = 0-nak, n - 1 eltérő lesz. $fz minden n különböző értékének ugyanaz a modulusa, és argumentumaik 2jr/n többszörösei szögekkel különböznek. Az értékek a komplex sík pontjainak felelnek meg az 1/f sugarú körbe írt szabályos n-szög csúcsaiban, amelynek középpontja az origóban van. Ebben az esetben az egyik csúcs sugárvektora szöget (p/n) zár be az Ox tengellyel.(4.13)-ból és (4.14)-ből következik a z /0 komplex szám g€ racionális hatványra emelésének képlete. Q. Beli g = m/n, ahol m € Z és n € N egy irreducibilis tört, akkor 4.10 példa Legyen Akkor a (4.5) szerint ri = 1 és rj = 2. a z\ és Z2 komplex számokat (4.4. ábra), (4.7) figyelembevételével kapjuk (Ezért trigonometrikus formában. (4.11) és (4.12) szerint azt találjuk: (4.13) segítségével z\-t emelünk az n = 4 hatványt (4.14) alkalmazva z2-ből kivonjuk az n = 3 hatvány gyökét. A számítási eredmények a 4.4. ábrán láthatók.Zi harmadik gyökének három értéke egy szabályos háromszög csúcsainak felel meg Az ABC egy sugarú körbe írva és ezen csúcsok poláris szögei = i*/18, 4>в = 13t/18 és = 25t/18 (vagy = - 11^/18).

Előadások algebráról és geometriáról. 1. félév.

2. előadás. Komplex számok mezője.

2. fejezet Komplex számok mezője.

1. záradék. Komplex számok mezőjének felépítése.

Legyen a valós számok mezőjének derékszögű négyzete, azaz.
– valós számok rendezett párjainak halmaza. Határozzuk meg ezen a halmazon két belső bináris algebrai műveletet – összeadást és szorzást a következő szabályok szerint:
definíció szerint fogalmazzuk meg

(1)

(2)
.

Nyilvánvalóan két pár összege és szorzata
megint van pár sok
, mert a valós számok összege, szorzata és különbsége valós számok. És így,
– algebrai szerkezet két belső bináris algebrai művelettel.

Tétel.
- terület.

Bizonyíték. Sorozatosan ellenőrizzük a mező mind a kilenc axiómájának teljesülését.

1. Az összeadásra vonatkozó asszociativitás törvénye:

.

Hadd . Ezután a párok összeadásának definíciója szerint
És .

A másik oldalon,
És .

Mivel R egy mező, a valós számok összeadása megfelel az asszociativitás törvényének, ezért . Ez magában foglalja a párok egyenlőségét, és ebből következik az egyenlőség stb.

2. Null elem megléte:

.

Jelöljük
, ahol 0 a valós számok mezőjének nulla eleme, azaz. nulla szám. Hadd
– tetszőleges pár
. Ezután a párok összeadásának definíciójával és . Ennélfogva,
és egy pár
az összeadás műveletére vonatkozóan van egy nulla elem, amelynek meglétét igazolni kellett.

3. Ellentétes elem megléte:

.

Hadd
– tetszőleges pár
.

Mutassuk meg, hogy az ellentétes elem a pár

. Valóban, definíció szerint

párokat hozzáadva a következőket kapjuk:

ÉS . Ez egyenlőségre utal, stb.

4. A kommutativitás törvénye az összeadásra vonatkozóan:

.

Hadd
– két tetszőleges pár. Ezután a párok összeadásának definíciója szerint a következőt kapjuk:

ÉS . Mivel R egy mező, a kommutatív összeadás törvénye és
,
, ami a párok egyenlőségét jelenti: és
stb.

5. A szorzásra vonatkozó asszociativitás törvénye:

.

Hadd . Ezután a párok szorzásának definíciója szerint

,
És

Az eredmény egyenlő párok lett. Ennélfogva,
stb.

6. Egyetlen elem megléte:

.

Fogalmazzuk meg definíció szerint
és azt mutasd meg – egységelem a szorzáshoz viszonyítva. Hadd
. Ekkor a párok szorzásának definíciója szerint . És így,
stb.

7. Inverz elem létezése:

.

Hadd
És
, azaz az a és b számok nem egyenlőek egyidejűleg nullával, ami azt jelenti
. Fogalmazzuk meg definíció szerint
és mutassuk meg, hogy ez az elem teljesíti az egyenlőséget
. Valójában a párok szorzásának definíciója szerint

,

Így ellenőriztük az egyenlőséget
stb.

8. A szorzásra vonatkozó kommutativitás törvénye:

.

Hadd
– két tetszőleges pár. Ezután a párok szorzásának definíciója szerint

Mivel R egy mező, a valós számok szorzása és összeadása megfelel a kommutativitás törvényének és

,
, ami az egyenlőséget jelenti
stb.

9. A szorzás eloszlási törvénye az összeadáshoz viszonyítva:

És
.

Hadd . Ezután a párok összeadása és szorzása definíciójával

,

Itt az összeadáshoz viszonyított szorzás eloszlási törvényét használtuk, amelynek a valós számok engedelmeskednek. Hasonlóképpen,

,
És

Innentől azt látjuk
.

Az eloszlás második törvényének bizonyítására a szorzásra vonatkozóan a jól bevált eloszlási törvényt és a kommutativitás törvényét használjuk, amelyeket szintén már bizonyítottunk:

A tétel bizonyítást nyert.

Meghatározás. Terület
a komplex számok mezőjének, elemeit pedig – a valós számok rendezett párjait – komplex számoknak nevezzük.

2. záradék. Komplex számok írásának algebrai formája.

Jelöljük azzal
– a mező részhalmaza
, amely azokból a valós számpárokból áll, amelyek második eleme nulla. Hadd
. Majd a párok összeadás és szorzás szabályai szerint
,
. Ez lehetőséget ad arra, hogy azonosítsuk az ilyen párokat az első elemükkel és magával a halmazzal R készlettel.

Fogalmazzuk meg definíció szerint
. Ezért különösen
,
.

Egy párnak
Vezessünk be egy speciális jelölést. Fogalmazzuk meg definíció szerint
. Akkor

(3)
.

A komplex szám írásának ezt a formáját algebrainak nevezzük.

Magát a komplex számok mezőjét C betű jelöli.

.

Jegyezzük meg még, hogy. Ez azt jelenti, hogy egy komplex szám
egy másodfokú egyenlet gyöke
. Könnyen belátható, hogy ennek az egyenletnek a második gyöke egy komplex szám
. Igazán, .

Így a komplex számok alábbi definícióját adhatjuk.

Meghatározás. A komplex szám a valós számok rendezett párja
, amelyet általában a formában írnak
, ahol az i elem a másodfokú egyenlet gyöke
, azaz
.

Meghatározás. Hadd
– komplex szám írásának algebrai formája. Az i elemet képzeletbeli egységnek nevezzük. Az a valós számot a z komplex szám valós részének nevezzük, és jelöljük
. A b valós számot a z komplex szám képzeletbeli részének nevezzük, és jelöljük
.

Meghatározás. Az olyan komplex számot, amelynek valós része nulla, tisztán imagináriusnak nevezzük.

A komplex számok felírásának algebrai alakjának definíciójából (lásd a (3) egyenlőséget) rögtön következik a két komplex szám egyenlőségének feltétele:

Két komplex szám akkor és csak akkor egyenlő, ha valós és képzetes részeik egyenlőek, azaz.

.

Itt az & egy kötőszó, egy logikai összekötő „és”.

Megjegyzés. A definíciókból az következik
, azaz bármely valós szám olyan komplex szám, amelynek képzetes része nulla. Bármely komplex szám tekinthető két komplex szám összeadásának eredményének, amelyek közül az egyik valós szám (képzetes része nulla), a másik pedig tisztán képzeletbeli:

3. pont. Műveletek komplex számokkal algebrai jelölésben.

A párok összeadásának (1) definíciójából és a komplex szám írásának algebrai formájából (3) a komplex számok összeadásának és szorzásának szabályai következnek az írás algebrai formájában. Hadd
,
– tetszőleges komplex számok. Akkor

Vegyük észre, hogy ugyanezt az eredményt kaphatjuk a bizonyított tétel használatával is. A komplex számok halmaza egy mezőt alkot. Az asszociativitás, kommutativitás és disztributivitás törvényei érvényesek a területen. Minden egyes komplex számot a 2. bekezdés végén található megjegyzés szerint tekintünk. – két komplex szám összeadásának eredményeként. Akkor

Itt az egyenlőséget használtuk
.

Így nem kell emlékezni az összeadás (4) és különösen a szorzás (5) szabályaira. Továbbá világos, hogy
– nulla elem, – ellentétes.

A kivonási műveletet összeadásként definiáljuk az ellenkezőjével:

Példák. 1),
, ,

2). Oldja meg az egyenletet a komplex számok mezőjében:

.

Megoldás. A diszkrimináns megtalálása
. A másodfokú egyenlet gyökeinek képletével megtaláljuk a gyököket:

. Válasz:
.

Megjegyzés. Itt az egyenlőséget használtuk
, ahol
.

Definiáljuk az osztási műveletet bármely K mezőben az inverz elemével való szorzásként:
definíció szerint fogalmazzuk meg
És

.

Ezt könnyű ellenőrizni
,

Igazán,

A (6) képletet azonban nem kell megjegyezni. Jobb egy egyszerű szabályt alkalmazni. De ehhez először is vezessünk be egy fogalmat.

Meghatározás. Összetett szám
komplex szám komplex konjugátumának nevezzük
.

A definícióból rögtön következik, hogy a szám
egy szám összetett konjugátuma
, azaz az olyan számok, amelyek egymástól csak a képzeletbeli rész előjelében különböznek egymástól, egymás összetett konjugátumai.

Példa:
És
, én és – én,
stb.

A komplex számok osztásának szabálya.

Egy komplex szám egy másikkal való osztásához meg kell szoroznia a tört számlálóját és nevezőjét a nevező komplex konjugátumával.

.

Példák. ,

,
,
.

Megjegyzés. Ha
, akkor annak komplex konjugált számát jelöljük
.

4. pont. Komplex konjugált számok tulajdonságai.

1.

.

2.

.

3.
.

4.

.

5.

6.

.

7.

.

8.

9. Bármely polinomhoz
a z komplex változó valós együtthatóival

.

Bizonyíték. 1) Hagyjuk
– tetszőleges komplex szám. Majd egy komplex konjugált szám definíciója szerint
satöbbi.

2) Hagyjuk. Akkor
. A másik oldalon,
És
, amiből az következik
.

3) Bizonyítsuk be a matematikai indukció módszerével, hogy az egyenlőség tetszőleges számú n tagra igaz.

a) Az indukció alapja.

Nál nél
,
egyenlőség
csak bevált.

b) Indukciós hipotézis.

Tegyük fel, hogy az állítás igaz, ha a tagok száma egyenlő
:.

c) Indukciós átmenet.

Mivel az állítás két kifejezésre igaz, akkor

Itt következik a bizonyított egyenlőség.

4) Hagyjuk. Akkor
. Másrészt ebből az következik
.

5) A 3) ponthoz hasonlóan matematikai indukciós módszerrel igazoljuk.

6) Hagyjuk
és k egy tetszőleges természetes szám. Ezután egy szám természetes hatványának meghatározása szerint
stb.

7) Legyen a valós szám. Akkor
és egy komplex konjugált szám definíciója szerint
stb.

8) Hagyjuk
. A (4) és 7) bekezdésben már bizonyított tulajdonságok szerint
stb.

9) Legyen z komplex változó és
polinom a z komplex változóban valós együtthatókkal:, ahol

- valós számok. Ezután a már bevált tulajdonságokat felhasználva megkapjuk:

A tétel bizonyítást nyert.

Példa. Kiszámítja
.

Megoldás. Jelöljük
. Akkor
,
,
. Innen, .

5. pont. A komplex szám természetes fokának gyökének fogalma.

Meghatározás. Hadd
– tetszőleges természetes szám. A z komplex szám n-edik gyöke egy komplex szám , oly módon, hogy
.

Később a következő tétel kerül bizonyításra, amit egyelőre bizonyítás nélkül fogadunk el.

Tétel. (Egy komplex szám n-edik gyökének létezéséről és számáról.)

Egy komplex számnak pontosan n n-edik gyöke van.

Egy komplex szám n-edik gyökének jelölésére a szokásos gyökjelet használjuk. De van egy lényeges különbség. Ha a pozitív valós szám, akkor
definíció szerint az n-edik fokú pozitív gyökét jelöli, ezt aritmetikai gyöknek nevezzük.

Ha n páratlan szám, akkor bármely a valós számnak van egyedi n-edik gyöke. Nál nél
ez az egyetlen gyökér
definíció szerint aritmetikai, -val
ez az egyetlen gyökér
nem aritmetikai, hanem az ellenkező szám számtani gyökével fejezhető ki:
, Ahol
számtani, mert
.