اعداد صحیح و اعداد طبیعی اعداد: طبیعی، صحیح، عقلی، واقعی

اینها اعدادی هستند که هنگام شمارش استفاده می شوند: 1، 2، 3... و غیره.

صفر طبیعی نیست.

اعداد طبیعی معمولا با نماد نشان داده می شوند ن.

تمام اعداد. اعداد مثبت و منفی

دو عددی که فقط از نظر علامت با یکدیگر تفاوت دارند نامیده می شوند مقابلبه عنوان مثال، +1 و -1، +5 و -5. علامت "+" معمولا نوشته نمی شود، اما فرض بر این است که یک "+" در جلوی عدد وجود دارد. چنین اعدادی نامیده می شوند مثبت. اعدادی که قبل از علامت "-" قرار دارند فراخوانی می شوند منفی.

اعداد طبیعی، متضاد و صفر آنها را اعداد صحیح می گویند. مجموعه اعداد صحیح با نماد نشان داده می شود ز.

اعداد گویا

اینها کسرهای محدود و کسرهای تناوبی نامتناهی هستند. مثلا،

مجموعه اعداد گویا نشان داده می شود س. همه اعداد صحیح گویا هستند.

اعداد گنگ

کسر غیر تناوبی نامتناهی را عدد غیر منطقی می نامند. مثلا:

مجموعه اعداد غیر منطقی نشان داده می شود جی.

اعداد واقعی

مجموعه همه اعداد گویا و همه غیر منطقی نامیده می شود مجموعه واقعی (واقعی)شماره.

اعداد واقعی با نماد نشان داده می شوند آر.

گرد کردن اعداد

عدد را در نظر بگیرید 8,759123... . گرد کردن به نزدیکترین عدد صحیح به معنای نوشتن تنها بخشی از عدد است که قبل از نقطه اعشار است. گرد کردن به دهم به معنای نوشتن کل جزء و یک رقم بعد از اعشار است. گرد به نزدیکترین صدم - دو رقم بعد از نقطه اعشار. تا هزارم - سه رقمی و غیره

تمام اعداد -اینها اعداد طبیعی و همچنین متضاد و صفر آنها هستند.

تمام اعداد- بسط مجموعه اعداد طبیعی ن، که با افزودن به به دست می آید ن 0 و اعداد منفی مانند - n. مجموعه اعداد صحیح نشان می دهد ز.

مجموع، تفاوت و حاصلضرب اعداد صحیح دوباره اعداد صحیح می دهد، یعنی. اعداد صحیح با توجه به عملیات جمع و ضرب یک حلقه تشکیل می دهند.

اعداد صحیح در خط اعداد:

چند عدد صحیح؟ چند عدد صحیح؟ بزرگترین و کوچکترین عدد صحیح وجود ندارد. این سریال بی پایان است. بزرگترین و کوچکترین عدد صحیح وجود ندارد.

اعداد طبیعی نیز نامیده می شوند مثبت اعداد صحیح، یعنی عبارت «عدد طبیعی» و «عدد صحیح مثبت» یکسان هستند.

نه کسری و نه اعشاری اعداد کامل نیستند. اما کسری با اعداد کامل وجود دارد.

نمونه هایی از اعداد صحیح: -8, 111, 0, 1285642, -20051 و غیره

به زبان ساده، اعداد صحیح هستند (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) - دنباله ای از اعداد صحیح یعنی آنهایی که جزء کسری (()) آنها برابر با صفر است. آنها هیچ سهمی ندارند.

اعداد طبیعی اعداد کامل و مثبت هستند. تمام اعداد، مثال ها: (1,2,3,4...+ ∞).

عملیات روی اعداد صحیح

1. مجموع اعداد صحیح

برای جمع دو عدد صحیح با علامت های یکسان، باید ماژول های این اعداد را جمع کرده و علامت نهایی را جلوی جمع قرار دهید.

مثال:

(+2) + (+5) = +7.

2. تفریق اعداد صحیح

برای اضافه کردن دو عدد صحیح با علامت های مختلف، باید مدول عددی که بزرگتر است را از مدول عددی که کوچکتر است کم کنید و پیشوند پاسخ را با علامت عدد مدول بزرگتر قرار دهید.

مثال:

(-2) + (+5) = +3.

3. ضرب اعداد صحیح

برای ضرب دو عدد صحیح باید مدول های این اعداد را ضرب کنید و اگر اعداد اصلی هم علامت بودند یک علامت مثبت (+) در جلوی حاصل ضرب و اگر اعداد اصلی با هم بودند علامت منفی (-) بگذارید.

مثال:

(+2) ∙ (-3) = -6.

هنگامی که اعداد متعدد ضرب شوند، علامت حاصلضرب اگر تعداد عوامل غیر مثبت زوج باشد، مثبت و اگر تعداد عوامل غیرمثبت فرد باشد، منفی خواهد بود.

مثال:

(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 عامل غیر مثبت).

4. تقسیم اعداد صحیح

برای تقسیم اعداد صحیح، باید مدول یکی را بر مدول دیگری تقسیم کنید و در صورت یکسان بودن علامت اعداد، علامت «+» و در صورت متفاوت بودن علامت منهای قرار دهید.

مثال:

(-12) : (+6) = -2.

خواص اعداد صحیح

Z تحت تقسیم 2 عدد صحیح بسته نمی شود ( به عنوان مثال 1/2). جدول زیر برخی از خصوصیات اساسی جمع و ضرب را برای هر عدد صحیح نشان می دهد الف، بو ج.

ویژگی	علاوه بر این	ضرب
انزوا	آ + ب- کل	آ × ب- کل
انجمنی	آ + (ب + ج) = (آ + ب) + ج	آ × ( ب × ج) = (آ × ب) × ج
جابجایی	آ + ب = ب + آ	آ × ب = ب × آ
وجود داشتن عنصر خنثی	آ + 0 = آ	آ × 1 = آ
وجود داشتن عنصر مخالف	آ + (−آ) = 0	آ ≠ ± 1 ⇒ 1/aعدد صحیح نیست
توزیع نسبی ضرب علاوه بر این	آ × ( ب + ج) = (آ × ب) + (آ × ج)

از جدول می توان نتیجه گرفت که زیک حلقه جابجایی با وحدت تحت جمع و ضرب است.

تقسیم استاندارد در مجموعه اعداد صحیح وجود ندارد، اما به اصطلاح وجود دارد تقسیم با باقی مانده: برای همه اعداد صحیح آو ب, b≠0، یک مجموعه از اعداد صحیح وجود دارد qو r، چی a = bq + rو 0≤r<|b| ، جایی که |ب|- مقدار مطلق (مدول) عدد ب. اینجا آ- قابل تقسیم، ب- تقسیم کننده، q- خصوصی، r- باقی مانده

اگر عدد 0 را به سمت چپ یک سری اعداد طبیعی اضافه کنیم، به دست می آید سری اعداد صحیح مثبت:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

اعداد صحیح منفی

بیایید به یک مثال کوچک نگاه کنیم. تصویر سمت چپ یک دماسنج را نشان می دهد که دمای 7 درجه سانتی گراد را نشان می دهد. اگر دما 4 درجه سانتیگراد کاهش یابد، دماسنج 3 درجه سانتیگراد گرما را نشان می دهد. کاهش دما با عمل تفریق مطابقت دارد:

نکته: همه درجات با حرف C (سلسیوس) نوشته می شوند، علامت درجه با یک فاصله از عدد جدا می شود. به عنوان مثال، 7 درجه سانتیگراد.

اگر دما 7 درجه سانتیگراد کاهش یابد، دماسنج 0 درجه سانتیگراد را نشان می دهد. کاهش دما با عمل تفریق مطابقت دارد:

اگر دما 8 درجه سانتیگراد کاهش یابد، دماسنج -1 درجه سانتیگراد (1 درجه سانتیگراد زیر صفر) را نشان می دهد. اما نتیجه تفریق 7 - 8 را نمی توان با اعداد طبیعی و صفر نوشت.

بیایید تفریق را با استفاده از یک سری اعداد صحیح مثبت نشان دهیم:

1) از عدد 7، 4 عدد به سمت چپ بشمارید و 3 بدست آورید:

2) از عدد 7 7 عدد به سمت چپ بشمارید و 0 بدست آورید:

شمردن 8 عدد از عدد 7 به سمت چپ در یک سری اعداد صحیح مثبت غیرممکن است. برای عملی کردن اقدامات 7 - 8، ما محدوده اعداد صحیح مثبت را گسترش می دهیم. برای این کار، در سمت چپ صفر، همه اعداد طبیعی را به ترتیب (از راست به چپ) می نویسیم و به هر یک از آنها علامت - را اضافه می کنیم که نشان می دهد این عدد در سمت چپ صفر است.

ورودی های -1، -2، -3، ... خواندن منهای 1، منهای 2، منهای 3 و غیره:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

سری اعداد حاصل نامیده می شود سری اعداد صحیح. نقطه‌های سمت چپ و راست در این ورودی به این معنی است که می‌توان سریال را به‌طور نامحدود به راست و چپ ادامه داد.

در سمت راست عدد 0 در این ردیف اعدادی فراخوانی می شوند طبیعییا اعداد صحیح مثبت(به طور خلاصه - مثبت).

در سمت چپ عدد 0 در این ردیف اعداد فراخوانی شده اند عدد صحیح منفی(به طور خلاصه - منفی).

عدد 0 یک عدد صحیح است، اما نه مثبت است و نه منفی. اعداد مثبت و منفی را از هم جدا می کند.

از این رو، سری اعداد صحیح از اعداد صحیح منفی، صفر و مثبت تشکیل شده است.

مقایسه عدد صحیح

دو عدد صحیح را مقایسه کنید- به این معنی است که بفهمیم کدام یک بزرگتر است، کدام یک کوچکتر است یا اینکه اعداد مساوی هستند.

شما می توانید اعداد صحیح را با استفاده از یک ردیف از اعداد صحیح مقایسه کنید، زیرا اگر در امتداد ردیف از چپ به راست حرکت کنید، اعداد موجود در آن از کوچکترین به بزرگترین مرتب شده اند. بنابراین، در یک سری از اعداد صحیح، می توانید کاما را با علامت کمتر از جایگزین کنید:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

از این رو، از دو عدد صحیح، عددی که در سمت راست سری است بزرگتر و عددی که در سمت چپ قرار دارد کوچکتر است.، به معنای:

1) هر عدد مثبت بزرگتر از صفر و بزرگتر از هر عدد منفی است:

1 > 0; 15 > -16

2) هر عدد منفی کوچکتر از صفر:

7 < 0; -357 < 0

3) از بین دو عدد منفی، عددی که در سمت راست سری اعداد صحیح قرار دارد بزرگتر است.

اعداد طبیعی اعدادی هستند که همه چیز با آنها شروع شد. و امروز اینها اولین اعدادی هستند که یک فرد در زندگی خود با آنها روبرو می شود ، هنگامی که در کودکی یاد می گیرد که روی انگشتانش بشمارد یا عصای شمارش کند.

تعریف: اعداد طبیعی اعدادی هستند که برای شمارش اجسام استفاده می شوند (1، 2، 3، 4، 5، ...) [عدد 0 طبیعی نیست. تاریخچه جداگانه خود را در تاریخ ریاضیات دارد و بسیار دیرتر از اعداد طبیعی ظاهر شد.]

مجموعه تمام اعداد طبیعی (1، 2، 3، 4، 5، ...) با حرف N نشان داده می شود.

تمام اعداد

پس از یادگیری شمارش، کار بعدی ما این است که انجام عملیات حسابی روی اعداد را یاد بگیریم. معمولاً ابتدا جمع و تفریق (با استفاده از چوب های شمارش) آموزش داده می شود.

با جمع، همه چیز روشن است: با جمع کردن هر دو عدد طبیعی، نتیجه همیشه همان عدد طبیعی خواهد بود. اما در تفریق متوجه می شویم که نمی توانیم بزرگتر را از کوچکتر کم کنیم تا نتیجه یک عدد طبیعی باشد. (3-5 = چی؟) اینجاست که ایده اعداد منفی مطرح می شود. (اعداد منفی دیگر اعداد طبیعی نیستند)

در مرحله وقوع اعداد منفی (و دیرتر از کسری ظاهر شدند)مخالفان آنها نیز وجود داشتند که آنها را مزخرف می دانستند. (سه شی را می توان روی انگشتان شما نشان داد، ده را می توان نشان داد، هزاران شی را می توان با قیاس نشان داد. و "منهای سه کیسه" چیست؟ - در آن زمان، اعداد قبلاً به تنهایی استفاده می شدند، جدا از موارد خاص. اشیایی که تعداد آنها را نشان می دهند هنوز در ذهن افراد بسیار نزدیکتر از امروز به این موضوعات خاص بود.) اما، مانند مخالفت ها، استدلال اصلی به نفع اعداد منفی از تمرین ناشی شد: اعداد منفی این امکان را به راحتی فراهم کردند. بدهی ها را بشمار 3 − 5 = −2 - من 3 سکه داشتم، 5 سکه خرج کردم. این یعنی نه تنها سکه هایم تمام شد، بلکه 2 سکه هم به کسی بدهکار بودم. اگر یکی را برگردانم، بدهی −2+1=−1 تغییر می‌کند، اما می‌تواند با یک عدد منفی نیز نمایش داده شود.

در نتیجه، اعداد منفی در ریاضیات ظاهر شدند و اکنون تعداد نامتناهی اعداد طبیعی داریم (1، 2، 3، 4، ...) و به همان تعداد متضاد آنها وجود دارد (-1، −2، −). 3، -4، ...). بیایید 0 دیگری به آنها اضافه کنیم و مجموعه همه این اعداد را اعداد صحیح می نامیم.

تعریف: اعداد طبیعی، متضاد آنها و صفر مجموعه اعداد صحیح را تشکیل می دهند. با حرف Z مشخص شده است.

هر دو عدد صحیح را می توان از یکدیگر کم کرد یا با آن یک عدد کامل به وجود آورد.

ایده اضافه کردن اعداد صحیح از قبل امکان ضرب را به عنوان روشی سریعتر برای جمع کردن پیشنهاد می کند. اگر 7 کیسه 6 کیلوگرمی داشته باشیم، می توانیم 6+6+6+6+6+6+6 را اضافه کنیم (6 تا به مجموع فعلی هفت بار اضافه کنیم)، یا به سادگی می توانیم به یاد داشته باشیم که چنین عملیاتی همیشه منجر به 42. درست مانند جمع کردن شش هفت، 7+7+7+7+7+7 نیز همیشه 42 می دهد.

نتایج عملیات جمع مسلم - قطعیاعداد با خودتان مسلم - قطعیتعداد دفعات برای همه جفت اعداد از 2 تا 9 نوشته می شود و جدول ضرب ساخته می شود. برای ضرب اعداد صحیح بزرگتر از 9، قانون ضرب ستونی اختراع می شود. (که در مورد کسرهای اعشاری نیز صدق می کند و در یکی از مقالات بعدی مورد بحث قرار خواهد گرفت.) هنگام ضرب هر دو عدد صحیح در یکدیگر، نتیجه همیشه یک عدد صحیح خواهد بود.

اعداد گویا

حالا تقسیم. همانطور که تفریق عمل معکوس جمع است، ما به ایده تقسیم به عنوان عمل معکوس ضرب می رسیم.

وقتی 7 کیسه 6 کیلویی داشتیم با استفاده از ضرب به راحتی محاسبه کردیم که وزن کل محتویات کیسه ها 42 کیلوگرم است. بیایید تصور کنیم که کل محتویات همه کیسه ها را در یک توده معمولی به وزن 42 کیلوگرم ریختیم. و سپس نظر خود را تغییر دادند و خواستند محتویات را در 7 کیسه توزیع کنند. اگر یک کیسه را به طور مساوی تقسیم کنیم چند کیلوگرم در نهایت در یک کیسه می شود؟ - بدیهی است که 6.

اگر بخواهیم 42 کیلوگرم را در 6 کیسه توزیع کنیم چه می شود؟ در اینجا فکر می کنیم که اگر 6 کیسه 7 کیلوگرمی را در یک توده بریزیم، می توان همان 42 کیلوگرم را به دست آورد. و این بدان معنی است که وقتی 42 کیلوگرم را به 6 کیسه به طور مساوی تقسیم می کنیم، در یک کیسه 7 کیلوگرم به دست می آید.

اگر 42 کیلوگرم را به طور مساوی به 3 کیسه تقسیم کنید چه؟ و در اینجا نیز شروع به انتخاب عددی می کنیم که وقتی در 3 ضرب می شود، 42 به دست می آید. برای مقادیر "جدولی"، مانند 6 · 7 = 42 => 42: 6 = 7، تقسیم را انجام می دهیم. عملیات به سادگی با یادآوری جدول ضرب. برای موارد پیچیده تر از تقسیم ستون استفاده می شود که در یکی از مقالات بعدی به آن پرداخته خواهد شد. در مورد 3 و 42، می توانید "انتخاب" کنید تا به یاد داشته باشید که 3 · 14 = 42. این به معنای 42:3 = 14 است. هر کیسه حاوی 14 کیلوگرم خواهد بود.

حالا بیایید سعی کنیم 42 کیلوگرم را به طور مساوی به 5 کیسه تقسیم کنیم. 42:5 =؟
ما متوجه می شویم که 5 · 8 = 40 (کم) و 5 · 9 = 45 (بسیاری). یعنی از 5 کیسه 42 کیلو نمی گیریم نه 8 کیلو در کیسه و نه 9 کیلو. در عین حال، واضح است که در واقعیت هیچ چیز مانع از تقسیم هر مقدار (مثلاً غلات) به 5 قسمت مساوی نمی شود.

عمل تقسیم اعداد صحیح بر یکدیگر لزوماً منجر به یک عدد صحیح نمی شود. اینگونه به مفهوم کسر رسیدیم. 42:5 = 42/5 = 8 کامل 2/5 (اگر به صورت کسری شمارش شود) یا 42:5 = 8.4 (اگر به صورت اعشاری شمارش شود).

کسری مشترک و اعشاری

می توان گفت که هر کسری معمولی m/n (m هر عدد صحیحی است، n هر عدد طبیعی است) به سادگی شکل خاصی از نوشتن نتیجه تقسیم عدد m بر عدد n است. (m را صورت کسر می گویند، n مخرج است) حاصل تقسیم مثلا عدد 25 بر عدد 5 را می توان به صورت کسری معمولی 25/5 نیز نوشت. اما این ضروری نیست، زیرا نتیجه تقسیم 25 بر 5 را می توان به سادگی به عنوان عدد صحیح 5 نوشت. (و 25/5 = 5). اما نتیجه تقسیم عدد 25 بر عدد 3 دیگر نمی تواند به عنوان یک عدد صحیح نمایش داده شود، بنابراین در اینجا نیاز به استفاده از کسری وجود دارد، 25:3 = 25/3. (شما می توانید کل قسمت 25/3 = 8 کل 1/3 را تشخیص دهید. کسرهای معمولی و عملیات با کسرهای معمولی در مقالات بعدی با جزئیات بیشتر مورد بحث قرار خواهند گرفت.)

خوبی کسرهای معمولی این است که برای نشان دادن نتیجه تقسیم هر دو عدد صحیح به عنوان کسری، فقط باید تقسیم را در صورت کسر و مقسوم علیه را در مخرج بنویسید. (123:11=123/11، 67:89=67/89، 127:53=127/53، ...) سپس، در صورت امکان، کسر را کاهش دهید و/یا کل قسمت را جدا کنید (این اعمال با کسرهای معمولی در مقالات بعدی به تفصیل مورد بحث قرار خواهد گرفت). مشکل این است که انجام عملیات حسابی (جمع، تفریق) با کسرهای معمولی دیگر به اندازه اعداد صحیح راحت نیست.

برای راحتی نوشتن (در یک خط) و برای راحتی محاسبات (با امکان محاسبات در یک ستون، مانند اعداد صحیح معمولی)، علاوه بر کسرهای معمولی، کسرهای اعشاری نیز اختراع شد. کسر اعشاری یک کسر معمولی خاص نوشته شده با مخرج 10، 100، 1000 و غیره است. به عنوان مثال، کسر مشترک 7/10 همان کسر اعشاری 0.7 است. (8/100 = 0.08؛ 2 کل 3/10 = 2.3؛ 7 کل 1/1000 = 7، 001). یک مقاله جداگانه به تبدیل کسرهای معمولی به اعشار و بالعکس اختصاص داده خواهد شد. عملیات با کسری اعشاری - مقالات دیگر.

هر عدد صحیح را می توان به عنوان یک کسر مشترک با مخرج 1 نشان داد. (5=5/1؛ −765=−765/1).

تعریف: تمام اعدادی که می توانند به صورت کسری نمایش داده شوند، اعداد گویا نامیده می شوند. مجموعه اعداد گویا با حرف Q نشان داده می شود.

هنگام تقسیم هر دو عدد صحیح بر یکدیگر (به جز تقسیم بر 0)، نتیجه همیشه یک عدد گویا خواهد بود. برای کسرهای معمولی، قوانینی برای جمع، تفریق، ضرب و تقسیم وجود دارد که به شما امکان می دهد عملیات مربوطه را با هر دو کسر انجام دهید و همچنین در نتیجه یک عدد گویا (کسری یا صحیح) به دست آورید.

مجموعه اعداد گویا اولین مجموعه ای است که در نظر گرفته ایم که در آن می توانید جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کنید (به جز تقسیم بر 0) و هرگز از مرزهای این مجموعه فراتر نروید (یعنی همیشه یک گویا بدست آورید). در نتیجه عدد).

به نظر می رسد که اعداد دیگری وجود ندارد، همه اعداد گویا هستند. اما این هم درست نیست.

اعداد واقعی

اعدادی هستند که نمی توان آنها را به صورت کسری m/n نشان داد (که m یک عدد صحیح است، n یک عدد طبیعی است).

این اعداد چیست؟ ما هنوز عملیات اقتدار را در نظر نگرفته ایم. به عنوان مثال، 4 2 = 4 · 4 = 16. 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125. همانطور که ضرب یک شکل راحت‌تر برای نوشتن و محاسبه جمع است، قدرت نیز شکلی از نوشتن ضرب همان عدد در خودش به تعداد معینی است.

اما اکنون بیایید به عملیات معکوس توان - استخراج ریشه نگاه کنیم. جذر 16 عددی است که با مجذور شدن 16 یعنی عدد 4 می شود. (اثبات این جمله، نمونه های دیگری از اعداد غیر منطقی و تاریخچه آنها را می توان به عنوان مثال در ویکی پدیا یافت)

در GIA درجه 9 این وظیفه تعیین می شود که آیا یک عدد حاوی ریشه در نماد آن، منطقی یا غیرمنطقی است. وظیفه این است که سعی کنید این عدد را به فرمی که حاوی ریشه نباشد (با استفاده از ویژگی های ریشه) تبدیل کنید. اگر نمی توانید از ریشه خلاص شوید، آنگاه عدد غیرمنطقی است.

مثال دیگری از یک عدد غیر منطقی عدد π است که برای همه از هندسه و مثلثات آشناست.

تعریف: اعداد گویا و غیر منطقی با هم اعداد حقیقی (یا حقیقی) نامیده می شوند. مجموعه تمام اعداد حقیقی با حرف R نشان داده می شود.

در اعداد حقیقی، برخلاف اعداد گویا، می توانیم فاصله بین هر دو نقطه از یک خط یا صفحه را بیان کنیم.
اگر یک خط مستقیم بکشید و دو نقطه دلخواه روی آن انتخاب کنید یا دو نقطه دلخواه روی یک صفحه انتخاب کنید، ممکن است معلوم شود که فاصله دقیق بین این نقاط را نمی توان به عنوان یک عدد گویا بیان کرد. (مثال - افت مثلث قائم الزاویه با پایه های 1 و 1، طبق قضیه فیثاغورث، برابر با ریشه دو خواهد بود - یعنی یک عدد غیر منطقی. این همچنین شامل طول دقیق قطر یک سلول چهارتایی می شود. (طول قطر هر مربع ایده آل با اضلاع یکپارچه).)
و در مجموعه اعداد حقیقی، هر فاصله روی یک خط، در یک صفحه یا در فضا را می توان با عدد واقعی مربوطه بیان کرد.