معادلة الظل للرسم البياني 10. معادلة الظل

يوضح درس الفيديو "معادلة المماس للرسم البياني للدالة" المواد التعليمية لإتقان الموضوع. خلال درس الفيديو، يتم وصف المواد النظرية اللازمة لصياغة مفهوم معادلة المماس للرسم البياني للدالة عند نقطة معينة، وخوارزمية للعثور على مثل هذا المماس، وأمثلة على حل المشكلات باستخدام المادة النظرية المدروسة .

يستخدم الفيديو التعليمي أساليب تعمل على تحسين وضوح المادة. يحتوي العرض التقديمي على رسومات ومخططات وتعليقات صوتية مهمة ورسوم متحركة وإبراز وأدوات أخرى.

يبدأ درس الفيديو بعرض تقديمي لموضوع الدرس وصورة مماس للرسم البياني لبعض الوظائف y=f(x) عند النقطة M(a;f(a)). ومن المعروف أن المعامل الزاوي للظل المرسوم على الرسم البياني عند نقطة معينة يساوي مشتقة الدالة f΄(a) عند هذه النقطة. ومن مقرر الجبر أيضاً نعرف معادلة الخط المستقيم y=kx+m. يتم تقديم حل مشكلة إيجاد معادلة الظل عند نقطة ما بشكل تخطيطي، مما يقلل من إيجاد المعاملات k، m. بمعرفة إحداثيات نقطة تنتمي إلى الرسم البياني للدالة، يمكننا إيجاد m عن طريق استبدال قيمة الإحداثيات في معادلة الظل f(a)=ka+m. ومنه نجد m=f(a)-ka. وبالتالي، بمعرفة قيمة المشتق عند نقطة معينة وإحداثيات النقطة، يمكننا تمثيل معادلة الظل بهذه الطريقة y=f(a)+f΄(a)(x-a).

ما يلي هو مثال على تكوين معادلة الظل باتباع الرسم التخطيطي. بالنظر إلى الدالة y=x 2 , x=-2. بأخذ a=-2، نجد قيمة الدالة عند نقطة معينة f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. نحدد مشتقة الدالة f΄(x)=2x. عند هذه النقطة يكون المشتق يساوي f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4. لتكوين المعادلة، تم العثور على جميع المعاملات a=-2، f(a)=4، f΄(a)=-4، وبالتالي فإن معادلة الظل هي y=4+(-4)(x+2). بتبسيط المعادلة نحصل على y = -4-4x.

يقترح المثال التالي إنشاء معادلة للمماس عند نقطة الأصل للرسم البياني للدالة y=tgx. عند نقطة معينة a=0، f(0)=0، f΄(x)=1/cos 2 x، f΄(0)=1. لذا فإن معادلة الظل تبدو مثل y=x.

على سبيل التعميم، يتم إضفاء الطابع الرسمي على عملية تكوين معادلة مماسة للرسم البياني للدالة عند نقطة معينة في شكل خوارزمية تتكون من 4 خطوات:

• أدخل التعيين a لنقطة المماس؛
• يتم حساب f(a)؛
• يتم تحديد f΄(x) ويتم حساب f΄(a). يتم استبدال القيم الموجودة لـ a، f(a)، f΄(a) في صيغة معادلة الظل y=f(a)+f΄(a)(x-a).

يتناول المثال 1 تكوين معادلة الظل للرسم البياني للدالة y=1/x عند النقطة x=1. لحل المشكلة نستخدم خوارزمية. بالنسبة لدالة معينة عند النقطة a=1، قيمة الدالة f(a)=-1. مشتق الدالة f΄(x)=1/x 2. عند النقطة أ=1 المشتقة f΄(a)= f΄(1)=1. باستخدام البيانات التي تم الحصول عليها، يتم وضع معادلة الظل y=-1+(x-1)، أو y=x-2.

في المثال 2، من الضروري إيجاد معادلة المماس للرسم البياني للدالة y=x 3 +3x 2 -2x-2. الشرط الرئيسي هو توازي المماس والخط المستقيم y=-2x+1. أولاً، نوجد المعامل الزاوي للظل، والذي يساوي المعامل الزاوي للخط المستقيم y=-2x+1. بما أن f΄(a)=-2 لخط معين، فإن k=-2 للمماس المطلوب. نجد مشتقة الدالة (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2. بمعرفة أن f΄(a)=-2، نجد إحداثيات النقطة 3a 2 +6a-2=-2. وبعد حل المعادلة، نحصل على 1 = 0، و2 = -2. باستخدام الإحداثيات التي تم العثور عليها، يمكنك العثور على معادلة الظل باستخدام خوارزمية معروفة. نجد قيمة الدالة عند النقاط f(a 1)=-2, f(a 2)=-18. قيمة المشتق عند النقطة f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2. باستبدال القيم الموجودة في معادلة الظل، نحصل على النقطة الأولى a 1 =0 y=-2x-2، وللنقطة الثانية a 2 =-2 معادلة الظل y=-2x-22.

يصف المثال 3 تركيب معادلة الظل لرسمها عند النقطة (0;3) إلى الرسم البياني للدالة y=√x. يتم الحل باستخدام خوارزمية معروفة. نقطة الظل لها إحداثيات x=a، حيث a>0. قيمة الدالة عند النقطة f(a)=√x. مشتق الدالة f΄(x)=1/2√x، وبالتالي عند نقطة معينة f΄(а)=1/2√а. باستبدال جميع القيم التي تم الحصول عليها في معادلة الظل، نحصل على y = √a + (x-a)/2√a. بتحويل المعادلة، نحصل على y=x/2√a+√a/2. بمعرفة أن المماس يمر بالنقطة (0;3)، نجد قيمة أ. نجد أ من 3=√a/2. ومن ثم √أ=6، أ=36. نجد معادلة الظل ص=س/12+3. يوضح الشكل الرسم البياني للوظيفة قيد النظر والظل المطلوب.

يتم تذكير الطلاب بالمساواة التقريبية Δy=≈f΄(x)Δx وf(x+Δx)-f(x)≈f΄(x)Δx. بأخذ x=a، x+Δx=x، Δx=x-a، نحصل على f(x)- f(a)≈f΄(a)(x-a)، وبالتالي f(x)≈f(a)+ f΄( أ)(س-أ).

في المثال 4، من الضروري إيجاد القيمة التقريبية للتعبير 2.003 6. نظرًا لأنه من الضروري إيجاد قيمة الدالة f(x)=x 6 عند النقطة x=2.003، فيمكننا استخدام الصيغة المعروفة، مع أخذ f(x)=x 6, a=2, f(a )= f(2)=64, f ΄(x)=6x 5. مشتق عند النقطة f΄(2)=192. لذلك، 2.003 6 ≈65-192·0.003. بعد حساب التعبير، نحصل على 2.003 6 ≈64.576.

يوصى باستخدام درس الفيديو "معادلة الظل للرسم البياني للدالة" في درس الرياضيات التقليدي في المدرسة. بالنسبة للمعلم الذي يقوم بالتدريس عن بعد، ستساعد مواد الفيديو في شرح الموضوع بشكل أكثر وضوحًا. يمكن التوصية بالفيديو للطلاب لمراجعته بشكل مستقل إذا لزم الأمر لتعميق فهمهم للموضوع.

فك تشفير النص:

نحن نعلم أنه إذا كانت النقطة M (a; f(a)) (em بإحداثيات a و ef من a) تنتمي إلى الرسم البياني للدالة y = f (x) وإذا كان من الممكن عند هذه النقطة رسم ظل إلى الرسم البياني للدالة التي ليست متعامدة مع محور الإحداثي السيني، فإن المعامل الزاوي للظل يساوي f"(a) (eff prime من a).

لنفترض أن الدالة y = f(x) والنقطة M (a; f(a)) معروفة أيضًا بوجود f´(a). لنقم بإنشاء معادلة لمماس الرسم البياني لدالة معينة عند نقطة معينة. هذه المعادلة، مثل معادلة أي خط مستقيم غير موازي للمحور الإحداثي، لها الصيغة y = kx+m (y يساوي ka x زائد em)، وبالتالي فإن المهمة هي إيجاد قيم المعاملات ك و م (كا و م)

معامل الزاوية k= f"(a). لحساب قيمة m، نستخدم حقيقة أن الخط المستقيم المطلوب يمر عبر النقطة M(a; f (a)). وهذا يعني أنه إذا قمنا باستبدال إحداثيات عند نقطة M في معادلة الخط المستقيم، نحصل على المساواة الصحيحة: f(a) = ka+m، حيث نجد أن m = f(a) - ka.

يبقى استبدال القيم الموجودة للمعاملات ki و m في معادلة الخط المستقيم:

y = kx+(f(a) -ka);

ص = و(أ)+ك(س-أ);

ذ= F(أ)+ F"(أ) (س- أ). ( y يساوي ef من زائد ef الرئيسي من a، مضروبًا في x ناقص a).

لقد حصلنا على معادلة المماس للرسم البياني للدالة y = f(x) عند النقطة x=a.

إذا، على سبيل المثال، y = x 2 وx = -2 (أي a = -2)، إذن f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4؛ f´(x) = 2x، وهو ما يعني f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4. (ثم ef لـ a يساوي أربعة، ef لرأس العدد x يساوي اثنين x، وهو ما يعني ef الأولية من يساوي ناقص أربعة)

باستبدال القيم الموجودة a = -2، f(a) = 4، f"(a) = -4 في المعادلة، نحصل على: y = 4+(-4)(x+2)، أي y = -4x -4.

(E يساوي ناقص أربعة × ناقص أربعة)

لنقم بإنشاء معادلة لمماس الرسم البياني للدالة y = tanx (y يساوي المماس x) عند نقطة الأصل. لدينا: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= ، مما يعني f"(0) = l. باستبدال القيم الموجودة a=0، f(a)=0، f´(a) = 1 في المعادلة، نحصل على: y=x.

دعونا نلخص خطواتنا في إيجاد معادلة المماس للرسم البياني للدالة عند النقطة x باستخدام خوارزمية.

خوارزمية لتطوير معادلة مماس الرسم البياني للدالة y = f(x):

1) قم بتعيين حدود نقطة المماس بالحرف أ.

2) احسب f (أ).

3) أوجد f´(x) واحسب f´(a).

4) عوّض بالأرقام الموجودة a، f(a)، f´(a) في الصيغة ذ= F(أ)+ F"(أ) (س- أ).

مثال 1. أنشئ معادلة لمماس الرسم البياني للدالة y = - in

النقطة س = 1.

حل. دعونا نستخدم الخوارزمية، مع الأخذ في الاعتبار ما في هذا المثال

2) و(أ)=و(1)=- =-1

3) و'(س)=; و'(أ)= و'(1)= =1.

4) عوض بالأرقام الثلاثة التي تم العثور عليها: a = 1، f(a) = -1، f"(a) = 1 في الصيغة. نحصل على: y = -1+(x-1)، y = x-2 .

الجواب: ص = س-2.

مثال 2. بالنظر إلى الدالة y = × 3 +3x 2 -2x-2. اكتب معادلة المماس للرسم البياني للدالة y = f(x) الموازي للخط المستقيم y = -2x +1.

باستخدام الخوارزمية لتكوين معادلة الظل، نأخذ في الاعتبار أنه في هذا المثال f(x) = × 3 +3x 2 -2x-2، ولكن لم تتم الإشارة هنا إلى حدود نقطة الظل.

دعونا نبدأ بالتفكير بهذه الطريقة. يجب أن يكون الظل المطلوب موازيا للخط المستقيم y = -2x+1. والخطوط المتوازية لها معاملات زوايا متساوية. هذا يعني أن المعامل الزاوي للظل يساوي المعامل الزاوي للخط المستقيم المعطى: k tangent. = -2. هوك كاس. = f"(a). وهكذا يمكننا إيجاد قيمة a من المعادلة f ´(a) = -2.

دعونا نجد مشتقة الدالة ص=F(س):

F"(س)= (س 3 +3س 2 -2س-2)´ =3س 2 +6س-2؛F"(أ)= 3أ 2 +6أ-2.

من المعادلة f"(a) = -2، أي 3أ 2 +6أ-2=-2 نجد 1 = 0، 2 = -2. هذا يعني أن هناك مماسين يحققان شروط المشكلة: أحدهما عند النقطة ذات الإحداثي السيني 0، والآخر عند النقطة التي يوجد فيها الإحداثي السيني -2.

الآن يمكنك اتباع الخوارزمية.

1) أ 1 = 0، و 2 = -2.

2) و(أ 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; و(أ2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) و"(أ 1) = و"(أ 2) = -2.

4) استبدال القيم a 1 = 0، f(a 1) = -2، f"(a 1) = -2 في الصيغة، نحصل على:

ص=-2-2(س-0)، ص=-2س-2.

باستبدال القيم a 2 = -2، f(a 2) =6، f"(a 2) = -2 في الصيغة، نحصل على:

ص=6-2(س+2)، ص=-2س+2.

الإجابة: ص=-2س-2، ص=-2س+2.

مثال 3. من النقطة (0؛ 3) ارسم مماسًا للرسم البياني للدالة y = . حل. دعونا نستخدم الخوارزمية لتكوين معادلة الظل، مع الأخذ في الاعتبار أنه في هذا المثال f(x) = . لاحظ أنه هنا، كما في المثال 2، لم تتم الإشارة بوضوح إلى الإحداثي الإحداثي لنقطة الظل. ومع ذلك، فإننا نتبع الخوارزمية.

1) دع x = a يكون حدًا لنقطة التماس؛ فمن الواضح أن >0.

3) و'(س)=()'=; و'(أ) =.

4) استبدال قيم a، f(a) = , f"(a) = في الصيغة

ص=و (أ) +و "(أ) (س-أ)، نحن نحصل:

بشرط أن يمر الظل بالنقطة (0 ؛ 3). بتعويض القيم x = 0، y = 3 في المعادلة، نحصل على: 3 = ، ثم =6، a =36.

كما ترون، في هذا المثال، فقط في الخطوة الرابعة من الخوارزمية تمكنا من العثور على حدود نقطة الظل. بالتعويض بالقيمة a =36 في المعادلة نحصل على: y=+3

في التين. يوضح الشكل 1 رسمًا هندسيًا للمثال قيد النظر: تم رسم رسم بياني للدالة y =، ورسم خط مستقيم y = +3.

الجواب: ص = +3.

نحن نعلم أنه بالنسبة للدالة y = f(x)، التي لها مشتق عند النقطة x، تكون المساواة التقريبية صحيحة: Δyf´(x)Δx (دلتا y تساوي تقريبًا eff الرئيسي لـ x مضروبًا في delta x)

أو، بمزيد من التفصيل، f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff from x plus delta x ناقص ef from x يساوي تقريبًا eff prime من x بواسطة delta x).

لتسهيل إجراء مزيد من المناقشة، دعونا نغير الترميز:

بدلا من x سنكتب أ,

بدلاً من x+Δx سنكتب x

بدلاً من Δx سنكتب x-a.

ثم المساواة التقريبية المكتوبة أعلاه سوف تأخذ الشكل:

و(خ)-و(أ)و'(أ)(س-أ)

f(x)f(a)+f´(a)(x-a). (التأثير من x يساوي تقريبًا ef من زائد ef الرئيسي من a، مضروبًا في الفرق بين x وa).

مثال 4. أوجد القيمة التقريبية للتعبير العددي 2.003 6.

حل. نحن نتحدث عن إيجاد قيمة الدالة y = x 6 عند النقطة x = 2.003. دعونا نستخدم الصيغة f(x)f(a)+f´(a)(x-a)، مع الأخذ في الاعتبار أنه في هذا المثال f(x)=x 6، a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2.003, f"(x) = 6x 5 وبالتالي f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192.

ونتيجة لذلك نحصل على:

2.003 6 64+192· 0.003، أي. 2.003 6 =64.576.

إذا استخدمنا الآلة الحاسبة نحصل على:

2,003 6 = 64,5781643...

كما ترون، دقة التقريب مقبولة تماما.

يتم إعطاء موضوع "المعامل الزاوي للظل كظل زاوية الميل" عدة مهام في امتحان الشهادة. اعتمادًا على حالتهم، قد يُطلب من الخريج تقديم إجابة كاملة أو إجابة قصيرة. عند التحضير لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، يجب على الطالب بالتأكيد تكرار المهام التي تتطلب حساب ميل المماس.

ستساعدك بوابة شكولكوفو التعليمية على القيام بذلك. قام المتخصصون لدينا بإعداد وتقديم المواد النظرية والعملية بأكثر الطرق الممكنة للوصول. بعد التعرف عليه، سيتمكن الخريجون الحاصلون على أي مستوى من التدريب من حل المشكلات المتعلقة بالمشتقات بنجاح والتي من الضروري فيها العثور على ظل زاوية الظل.

لحظات أساسية

للعثور على الحل الصحيح والعقلاني لمثل هذه المهام في امتحان الدولة الموحدة، من الضروري أن نتذكر التعريف الأساسي: يمثل المشتق معدل تغيير الوظيفة؛ فهو يساوي ظل زاوية الظل المرسومة على الرسم البياني للدالة عند نقطة معينة. من المهم بنفس القدر إكمال الرسم. سيسمح لك بإيجاد الحل الصحيح لمشاكل الاستخدام على المشتق، والتي تحتاج فيها إلى حساب ظل زاوية الظل. من أجل الوضوح، من الأفضل رسم الرسم البياني على مستوى OXY.

إذا كنت قد تعرفت بالفعل على المواد الأساسية حول موضوع المشتقات وكنت على استعداد لبدء حل المشكلات المتعلقة بحساب ظل زاوية الظل، على غرار مهام امتحان الدولة الموحدة، فيمكنك القيام بذلك عبر الإنترنت. لكل مهمة، على سبيل المثال، مسائل حول موضوع "علاقة المشتق مع سرعة الجسم وتسارعه"، قمنا بكتابة الإجابة الصحيحة وخوارزمية الحل. وفي الوقت نفسه، يمكن للطلاب ممارسة أداء المهام بمستويات مختلفة من التعقيد. إذا لزم الأمر، يمكن حفظ التمرين في قسم "المفضلة" حتى تتمكن من مناقشة الحل مع المعلم لاحقًا.

تقدم المقالة شرحًا تفصيليًا للتعريفات والمعنى الهندسي للمشتق مع الرموز الرسومية. سيتم النظر في معادلة خط المماس مع الأمثلة، وسيتم العثور على معادلات المماس لمنحنيات الدرجة الثانية.

تعريف Yandex.RTB RA-A-339285-1 1

زاوية ميل الخط المستقيم y = k x + b تسمى الزاوية α، والتي تقاس من الاتجاه الموجب للمحور x إلى الخط المستقيم y = k x + b في الاتجاه الموجب.

في الشكل، يُشار إلى اتجاه x بسهم أخضر وقوس أخضر، وزاوية الميل بقوس أحمر. يشير الخط الأزرق إلى الخط المستقيم.

التعريف 2

يسمى ميل الخط المستقيم y = k x + b بالمعامل العددي k.

المعامل الزاوي يساوي ظل الخط المستقيم، بمعنى آخر k = t g α.

• زاوية ميل الخط المستقيم تساوي 0 فقط إذا كان موازياً لـ x وكان ميله يساوي صفراً، لأن ظل الصفر يساوي 0. وهذا يعني أن شكل المعادلة سيكون y = b.
• إذا كانت زاوية ميل الخط المستقيم y = k x + b حادة، فإن الشروط 0 تتحقق< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0، وهناك زيادة في الرسم البياني.
• إذا كانت α = π 2، فإن موقع الخط يكون عموديًا على x. يتم تحديد المساواة بواسطة x = c حيث تكون القيمة c رقمًا حقيقيًا.
• إذا كانت زاوية ميل الخط المستقيم y = k x + b منفرجة، فإنها تتوافق مع الشروط π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.

التعريف 3

القاطع هو الخط الذي يمر عبر نقطتين من الدالة f (x). بمعنى آخر، القاطع هو خط مستقيم يتم رسمه عبر أي نقطتين على الرسم البياني لدالة معينة.

يوضح الشكل أن A B هو قاطع، وf (x) هو منحنى أسود، و α هو قوس أحمر، مما يشير إلى زاوية ميل القاطع.

عندما يكون معامل الزاوي لخط مستقيم يساوي ظل زاوية الميل، فمن الواضح أنه يمكن إيجاد ظل المثلث القائم أ ب ج بنسبة الضلع المقابل إلى الضلع المجاور.

التعريف 4

نحصل على صيغة لإيجاد القاطع من النموذج:

k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A، حيث أن حروف النقطتين A و B هي القيم x A وx B وf (x A) وf (x) ب) هي وظائف القيم في هذه النقاط.

من الواضح أن المعامل الزاوي للقاطع يتم تحديده باستخدام المساواة k = f (x B) - f (x A) x B - x A أو k = f (x A) - f (x B) x A - x B ، ويجب كتابة المعادلة بالشكل y = f (x B) - f (x A) x B - x A x - x A + f (x A) أو
y = f (x A) - f (x B) x A - x B x - x B + f (x B) .

يقسم القاطع الرسم البياني بصريًا إلى 3 أجزاء: على يسار النقطة A، من A إلى B، وإلى يمين B. يوضح الشكل أدناه أن هناك ثلاثة قطاعات تعتبر متطابقة، أي أنه تم ضبطها باستخدام معادلة مماثلة.

ومن الواضح من التعريف أن الخط المستقيم وقاطعه في هذه الحالة متطابقان.

يمكن للقاطع أن يتقاطع مع الرسم البياني لدالة معينة عدة مرات. إذا كانت هناك معادلة بالصيغة y = 0 للقاطع، فإن عدد نقاط التقاطع مع الجيوب الأنفية لا نهائي.

التعريف 5

مماس للرسم البياني للدالة f (x) عند النقطة x 0 ; f (x 0) هو خط مستقيم يمر بنقطة معينة x 0؛ f (x 0)، مع وجود مقطع يحتوي على العديد من قيم x القريبة من x 0.

مثال 1

دعونا نلقي نظرة فاحصة على المثال أدناه. فمن الواضح أن الخط الذي تحدده الدالة y = x + 1 يعتبر مماسا لـ y = 2 x عند النقطة ذات الإحداثيات (1؛ 2). وللتوضيح، من الضروري النظر في الرسوم البيانية ذات القيم القريبة من (1؛ 2). تظهر الدالة y = 2 x باللون الأسود، والخط الأزرق هو خط المماس، والنقطة الحمراء هي نقطة التقاطع.

من الواضح أن y = 2 x تندمج مع السطر y = x + 1.

لتحديد المماس، يجب أن نأخذ في الاعتبار سلوك المماس A B عندما تقترب النقطة B من النقطة A إلى ما لا نهاية، من أجل الوضوح، نقدم رسمًا.

يميل القاطع A B، المشار إليه بالخط الأزرق، إلى موضع الظل نفسه، وستبدأ زاوية ميل القاطع α في الميل إلى زاوية ميل الظل نفسه α x.

التعريف 6

يعتبر ظل الرسم البياني للدالة y = f (x) عند النقطة A هو الموضع المحدود للقاطع A B حيث يميل B إلى A، أي B → A.

الآن دعنا ننتقل إلى النظر في المعنى الهندسي لمشتقة دالة عند نقطة ما.

دعنا ننتقل إلى النظر في القاطع A B للدالة f (x)، حيث A وB بإحداثيات x 0 وf (x 0) وx 0 + ∆ x وf (x 0 + ∆ x) و∆ x هي يشار إليها على أنها زيادة الوسيطة. الآن ستأخذ الدالة الشكل ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . من أجل الوضوح، دعونا نعطي مثالا على الرسم.

خذ بعين الاعتبار المثلث القائم الناتج A B C. نستخدم تعريف المماس للحل، أي أننا حصلنا على العلاقة ∆ y ∆ x = t g α . من تعريف المماس يتبع ذلك lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . وفقًا لقاعدة المشتقة عند نقطة ما، لدينا أن المشتقة f (x) عند النقطة x 0 تسمى نهاية نسبة زيادة الدالة إلى زيادة الوسيطة، حيث ∆ x → 0 ، ثم نشير إليها بالشكل f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .

ويترتب على ذلك أن f " (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x، حيث يُشار إلى k x على أنه ميل المماس.

أي أننا نجد أن f '(x) يمكن أن توجد عند النقطة x 0، ومثل المماس لمخطط معين للدالة عند نقطة التماس يساوي x 0، f 0 (x 0)، حيث تكون قيمة ميل المماس عند النقطة يساوي المشتقة عند النقطة x 0 . ثم نحصل على k x = f " (x 0) .

المعنى الهندسي لمشتقة الدالة عند نقطة ما هو أنها تعطي مفهوم وجود مماس للرسم البياني عند نفس النقطة.

لكتابة معادلة أي خط مستقيم على مستوى، من الضروري أن يكون معامل الزاوية مع النقطة التي يمر بها. يؤخذ تدوينه ليكون x 0 عند التقاطع.

معادلة الظل للرسم البياني للدالة y = f (x) عند النقطة x 0، f 0 (x 0) تأخذ الشكل y = f "(x 0) x - x 0 + f (x 0).

وهذا يعني أن القيمة النهائية للمشتق f "(x 0) يمكن أن تحدد موضع الظل، أي عموديًا، بشرط lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ وlim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ أو الغياب على الإطلاق بشرط lim x → x 0 + 0 f " (x) ≠ lim x → x 0 - 0 f " (x) .

يعتمد موقع المماس على قيمة معامله الزاوي k x = f "(x 0). عندما يكون موازيًا للمحور o x، نحصل على k k = 0، عندما يكون موازيًا لـ o y - k x = ∞، ويكون شكل المماس معادلة الظل x = x 0 تزداد مع k x > 0، وتتناقص عندما k x< 0 .

مثال 2

قم بتجميع معادلة مماس الرسم البياني للدالة y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 عند النقطة ذات الإحداثيات (1; 3) وحدد زاوية الميل.

حل

بالشرط، لدينا أن الدالة محددة لجميع الأعداد الحقيقية. نجد أن النقطة ذات الإحداثيات المحددة بالشرط (1؛ 3) هي نقطة تماس، إذن x 0 = - 1، f (x 0) = - 3.

من الضروري العثور على المشتق عند النقطة ذات القيمة - 1. لقد حصلنا على ذلك

y " = ه x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = ه x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = ه x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y " (x 0) = y " (- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3

قيمة f' (x) عند نقطة التماس هي ميل الظل، وهو يساوي ظل الميل.

ثم k x = t g α x = y " (x 0) = 3 3

ويترتب على ذلك أن α x = a r c t g 3 3 = π 6

إجابة:معادلة الظل تأخذ الشكل

y = f " (x 0) x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3

من أجل الوضوح، نعطي مثالا في الرسم التوضيحي.

يتم استخدام اللون الأسود للرسم البياني للوظيفة الأصلية، واللون الأزرق هو صورة الظل، والنقطة الحمراء هي نقطة الظل. يوضح الشكل الموجود على اليمين منظرًا موسعًا.

مثال 3

تحديد وجود مماس للرسم البياني لوظيفة معينة
y = 3 · x - 1 5 + 1 عند النقطة ذات الإحداثيات (1 ; 1) . اكتب معادلة وحدد زاوية الميل.

حل

بالشرط، لدينا أن مجال تعريف دالة معينة يعتبر مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.

دعنا ننتقل إلى إيجاد المشتق

y " = 3 x - 1 5 + 1 " = 3 1 5 (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 1 (x - 1) 4 5

إذا كان x 0 = 1، فإن f' (x) غير معرف، ولكن النهايات مكتوبة بالشكل lim x → 1 + 0 3 5 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ و lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ ، مما يعني الوجود المماس الرأسي عند النقطة (1؛ 1).

إجابة:المعادلة سوف تأخذ الشكل x = 1، حيث زاوية الميل ستكون π 2.

من أجل الوضوح، دعونا تصوير ذلك بيانيا.

مثال 4

أوجد النقاط على الرسم البياني للدالة y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 حيث

1. لا يوجد الظل.
2. الظل موازي لـ x؛
3. المماس يوازي الخط y = 8 5 x + 4.

حل

من الضروري الانتباه إلى نطاق التعريف. بالشرط، لدينا أن الدالة معرفة على مجموعة جميع الأعداد الحقيقية. نقوم بتوسيع الوحدة وحل النظام بفواصل زمنية x ∈ - ∞ ؛ 2 و [ - 2 ; + ∞) . لقد حصلنا على ذلك

y = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

من الضروري التمييز بين الوظيفة. لدينا هذا

y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [ - 2 ; + ∞) ⇔ y " = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) , x ∈ - ∞ ; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3 , x ∈ [ - 2 ; + ∞)

عندما x = −2، فإن المشتقة غير موجودة لأن النهايتين من جانب واحد غير متساويتين عند تلك النقطة:

lim x → - 2 - 0 y " (x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (- 2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 الحد x → - 2 + 0 y " (x) = الحد x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3

نحسب قيمة الدالة عند النقطة x = - 2 حيث نحصل على ذلك

1. y (- 2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2، أي المماس عند النقطة ( - 2؛ - 2) لن يكون موجودا.
2. يكون المماس موازيًا لـ x عندما يكون الميل صفرًا. ثم k x = t g α x = f "(x 0). أي أنه من الضروري العثور على قيم x عندما يحولها مشتق الدالة إلى الصفر. أي قيم f ' (x) ستكون نقاط التماس، حيث يكون الظل موازيا لـ x .

عندما س ∈ - ∞ ; - 2، إذن - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0، وبالنسبة لـ x ∈ (- 2; + ∞) نحصل على 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0.

1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 د = 12 2 - 4 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 × 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞ ; - 2 1 5 (س 2 - 4 س + 3) = 0 د = 4 2 - 4 · 3 = 4 × 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2 ; +∞

احسب قيم الوظائف المقابلة

ص 1 = ص - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 ص 2 = ص (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 ص 3 = ص (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 1 2 - 16 5 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 ص 4 = ص (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 3 2 - 16 5 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3

وبالتالي - 5؛ 8 5، - 4؛ 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 تعتبر النقاط المطلوبة للرسم البياني للوظيفة.

دعونا نلقي نظرة على تمثيل رسومي للحل.

الخط الأسود هو الرسم البياني للوظيفة، والنقاط الحمراء هي نقاط التماس.

1. عندما يكون المستقيمان متوازيين، تكون معاملات الزوايا متساوية. ثم من الضروري البحث عن نقاط على الرسم البياني للوظيفة حيث يكون الميل مساوياً للقيمة 8 5. للقيام بذلك، عليك حل معادلة من الصورة y "(x) = 8 5. فإذا كانت x ∈ - ∞; - 2، نحصل على - 1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 8 5، وإذا كان x ∈ ( - 2 ; + ∞)، فإن 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5.

المعادلة الأولى ليس لها جذور لأن المميز أقل من الصفر. دعونا نكتب ذلك

1 5 × 2 + 12 × + 35 = 8 5 × 2 + 12 × + 43 = 0 د = 12 4 - 2 43 = - 28< 0

إذن، هناك معادلة أخرى لها جذرين حقيقيين

1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 د = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2 ; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2 ; +∞

دعنا ننتقل إلى إيجاد قيم الوظيفة. لقد حصلنا على ذلك

ص 1 = ص (- 1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 ص 2 = ص (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 5 2 - 16 5 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3

النقاط ذات القيم - 1؛ 4 15, 5; 8 3 هي النقاط التي تكون مماساتها موازية للمستقيم y = 8 5 x + 4.

إجابة:الخط الأسود - الرسم البياني للدالة، الخط الأحمر - الرسم البياني لـ y = 8 5 x + 4، الخط الأزرق - مماسات عند النقاط - 1؛ 4 15, 5; 8 3.

قد يكون هناك عدد لا حصر له من الظلال لوظائف معينة.

مثال 5

اكتب معادلات جميع مماسات الدالة y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 المتعامدة على الخط المستقيم y = - 2 x + 1 2.

حل

لتجميع معادلة الظل، من الضروري إيجاد معامل وإحداثيات نقطة الظل، بناءً على حالة عمودي الخطوط. التعريف هو كما يلي: حاصل ضرب المعاملات الزاوية المتعامدة مع الخطوط المستقيمة يساوي - 1، أي مكتوبًا بالشكل k x · k ⊥ = - 1. من الشرط لدينا أن المعامل الزاوي يقع عموديًا على الخط ويساوي k ⊥ = - 2، ثم k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2.

أنت الآن بحاجة إلى العثور على إحداثيات نقاط اللمس. تحتاج إلى العثور على x ثم قيمته لوظيفة معينة. لاحظ أنه من المعنى الهندسي للمشتق عند النقطة
x 0 نحصل على أن k x = y "(x 0). ومن هذه المساواة نجد قيم x لنقاط الاتصال.

لقد حصلنا على ذلك

y " (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 - sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 x 0 - π 4 " = - 3 sin 3 2 x 0 - π 4 3 2 = - 9 2 خطيئة 3 2 x 0 - π 4 ⇒ ك x = y " (x 0) ⇔ - 9 2 خطيئة 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ خطيئة 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9

سيتم استخدام هذه المعادلة المثلثية لحساب إحداثيات نقاط الظل.

3 2 x 0 - π 4 = a r c sin - 1 9 + 2 πk أو 3 2 x 0 - π 4 = π - a r c sin - 1 9 + 2 πk

3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk أو 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk

x 0 = 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk أو x 0 = 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk , k ∈ Z

Z هي مجموعة من الأعداد الصحيحة.

تم العثور على نقاط اتصال x. أنت الآن بحاجة إلى الانتقال إلى البحث عن قيم y:

ص 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

y 0 = 3 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 أو y 0 = 3 - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3

ص 0 = 3 1 - - 1 9 2 - 1 3 أو ص 0 = 3 - 1 - - 1 9 2 - 1 3

ص 0 = 4 5 - 1 3 أو ص 0 = - 4 5 + 1 3

من هذا نحصل على أن 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk ; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 1 3 هي نقاط التماس.

إجابة:سيتم كتابة المعادلات اللازمة كما

y = 1 2 x - 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk + 4 5 - 1 3 , y = 1 2 x - 2 3 5 π 4 + a r c sin 1 9 + 2 πk - 4 5 + 1 3 ، ك ∈ ض

للحصول على تمثيل مرئي، فكر في دالة وظل على خط الإحداثيات.

يوضح الشكل أن الدالة تقع على الفاصل الزمني [ - 10 ; 10 ]، حيث الخط الأسود هو الرسم البياني للدالة، والخطوط الزرقاء هي مماسات، والتي تقع عموديًا على الخط المعطى من النموذج y = - 2 x + 1 2. النقاط الحمراء هي نقاط اللمس.

المعادلات الأساسية لمنحنيات الرتبة الثانية ليست دوالً ذات قيمة واحدة. يتم تجميع معادلات الظل الخاصة بهم وفقًا للمخططات المعروفة.

مماس لدائرة

لتحديد دائرة مركزها النقطة x c e n t e r ; y c e n t e r ونصف القطر R، طبّق الصيغة x - x c e n t e r 2 + y - y c e n t e r 2 = R 2 .

يمكن كتابة هذه المساواة كاتحاد بين وظيفتين:

y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r

الوظيفة الأولى تقع في الأعلى، والثانية في الأسفل، كما هو موضح في الشكل.

لتجميع معادلة الدائرة عند النقطة x 0؛ y 0 ، الموجود في نصف الدائرة العلوي أو السفلي، يجب أن تجد معادلة الرسم البياني لدالة من النموذج y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r أو y = - R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r عند النقطة المشار إليها.

عندما تكون عند النقاط x c e n t e r ; y c e n t e r + R و x c e n t e r ; y c e n t e r - R يمكن الحصول على الظل من المعادلات y = y c e n t e r + R و y = y c e n t e r - R، وعند النقاط x c e n t e r + R ; y c e n t e r و
x c e n t e r - R ; y c e n t e r سيكون موازيا لـ o y، ثم نحصل على معادلات من الصيغة x = x c e n t e r + R و x = x c e n t e r - R .

الظل إلى القطع الناقص

عندما يكون للقطع الناقص مركز عند x c e n t e r ; y c e n t e r مع أنصاف المحاور a و b، فيمكن تحديدها باستخدام المعادلة x - x c e n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1.

يمكن الإشارة إلى القطع الناقص والدائرة من خلال الجمع بين وظيفتين، وهما نصف القطع الناقص العلوي والسفلي. ثم حصلنا على ذلك

y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r

إذا كانت المماسات تقع عند رؤوس القطع الناقص، فهي متوازية حول x أو حول y. أدناه، من أجل الوضوح، النظر في الشكل.

مثال 6

اكتب معادلة المماس للقطع الناقص x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 عند نقاط قيم x تساوي x = 2.

حل

من الضروري العثور على نقاط الظل التي تتوافق مع القيمة x = 2. نعوض في معادلة القطع الناقص الموجودة ونجد ذلك

x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5

ثم 2 ; 5 3 2 + 5 و 2؛ - 5 3 2 + 5 هي نقاط الظل التي تنتمي إلى نصف القطع الناقص العلوي والسفلي.

دعنا ننتقل إلى إيجاد وحل معادلة القطع الناقص بالنسبة لـ y. لقد حصلنا على ذلك

س - 3 2 4 + ص - 5 2 25 = 1 ص - 5 2 25 = 1 - س - 3 2 4 (ص - 5) 2 = 25 1 - س - 3 2 4 ص - 5 = ± 5 1 - س - 3 2 4 ص = 5 ± 5 2 4 - س - 3 2

من الواضح أنه يتم تحديد النصف العلوي من القطع الناقص باستخدام دالة بالشكل y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2، والنصف السفلي من القطع الناقص y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2.

دعونا نطبق خوارزمية قياسية لإنشاء معادلة مماس للرسم البياني للدالة عند نقطة ما. دعونا نكتب أن معادلة المماس الأول عند النقطة 2؛ 5 3 2 + 5 سيبدو هكذا

y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 x - 3 4 - ( x - 3) ) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = - 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + y 0 ⇔ ص = 5 2 3 (س - 2) + 5 3 2 + 5

نجد أن معادلة المماس الثاني بقيمة عند النقطة
2 ; - 5 3 2 + 5 يأخذ الشكل

y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 1 2 4 - (x - 3) 2 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 x - 3 4 - (x) - 3) 2 ⇒ y " (x 0) = y " (2) = 5 2 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y " (x 0) x - x 0 + ص 0 ⇔ ص = - 5 2 3 (س - 2) - 5 3 2 + 5

بيانياً، يتم تحديد الظلال على النحو التالي:

الظل إلى المبالغة

عندما يكون للقطع الزائد مركز في x c e n t e r ; y c e n t e r والقمم x c e n t e r + α ; y c e n t e r و x c e n t e r - α ; y c e n t e r , تحدث المتراجحة x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 إذا كانت الرءوس x c e n t e r ; y c e n t e r + b و x c e n t e r ; y c e n t e r - b , ثم يتم تحديده باستخدام المتراجحة x - x c e n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .

يمكن تمثيل القطع الزائد كوظيفتين مدمجتين للنموذج

y = b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r أو y = b a · (x - x c e n t e r) 2 + a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 + أ 2 + y c e n t e r

في الحالة الأولى لدينا أن المماسات موازية لـ y، وفي الحالة الثانية موازية لـ x.

ويترتب على ذلك أنه من أجل العثور على معادلة المماس للقطع الزائد، من الضروري معرفة الوظيفة التي تنتمي إليها نقطة التماس. لتحديد ذلك، من الضروري التعويض في المعادلات والتحقق من الهوية.

مثال 7

اكتب معادلة مماس القطع الزائد x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 عند النقطة 7؛ - 3 3 - 3 .

حل

من الضروري تحويل سجل الحل للعثور على القطع الزائد باستخدام وظيفتين. لقد حصلنا على ذلك

س - 3 2 4 - ص + 3 2 9 = 1 ⇒ ص + 3 2 9 = س - 3 2 4 - 1 ⇒ ص + 3 2 = 9 س - 3 2 4 - 1 ⇒ ص + 3 = 3 2 س - 3 2 - 4 و y + 3 = - 3 2 x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 x - 3 2 - 4 - 3

من الضروري تحديد الوظيفة التي تنتمي إليها نقطة معينة ذات الإحداثيات 7؛ - 3 3 - 3 .

من الواضح أنه للتحقق من الوظيفة الأولى فمن الضروري y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3، إذن النقطة لا تنتمي إلى الرسم البياني، لأن المساواة لا تقام.

بالنسبة للدالة الثانية، y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3, مما يعني أن النقطة تنتمي إلى الرسم البياني المعطى. من هنا يجب أن تجد المنحدر.

لقد حصلنا على ذلك

y " = - 3 2 (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y " (x 0) = - 3 2 x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 × 0 = 7 = - 3 2 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3

إجابة:يمكن تمثيل معادلة الظل على النحو التالي

ص = - 3 س - 7 - 3 3 - 3 = - 3 س + 4 3 - 3

تم تصويره بوضوح على النحو التالي:

الظل إلى القطع المكافئ

لإنشاء معادلة مماس القطع المكافئ y = a x 2 + b x + c عند النقطة x 0, y (x 0)، يجب عليك استخدام خوارزمية قياسية، ثم ستأخذ المعادلة الشكل y = y "(x) 0) x - x 0 + y ( x 0). هذا المماس عند الرأس موازي لـ x.

يجب عليك تعريف القطع المكافئ x = a y 2 + b y + c باعتباره اتحاد وظيفتين. ولذلك، علينا حل المعادلة لـ y. لقد حصلنا على ذلك

x = أ y 2 + ب y + ج ⇔ أ y 2 + ب y + ج - x = 0 د = ب 2 - 4 أ (ج - س) ذ = - ب + ب 2 - 4 أ (ج - س) 2 أ y = - ب - ب 2 - 4 أ (ج - س) 2 أ

تم تصويره بيانياً على النحو التالي:

لمعرفة ما إذا كانت النقطة x 0, y (x 0) تنتمي إلى دالة، تابع بلطف وفقًا للخوارزمية القياسية. سيكون مثل هذا المماس موازيًا لـ o y بالنسبة للقطع المكافئ.

مثال 8

اكتب معادلة المماس للتمثيل البياني x - 2 y 2 - 5 y + 3 عندما يكون لدينا زاوية ظل مقدارها 150 درجة.

حل

نبدأ الحل بتمثيل القطع المكافئ كوظيفتين. لقد حصلنا على ذلك

2 ص 2 - 5 ص + 3 - س = 0 د = (- 5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - س) = 49 - 8 س ص = 5 + 49 - 8 س - 4 ص = 5 - 49 - 8 س - 4

قيمة الميل تساوي قيمة المشتق عند النقطة x 0 من هذه الدالة وتساوي ظل زاوية الميل.

نحن نحصل:

ك x = y " (x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3

ومن هنا نحدد قيمة x لنقاط الاتصال.

سيتم كتابة الوظيفة الأولى كـ

y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3

من الواضح أنه لا توجد جذور حقيقية، لأننا حصلنا على قيمة سالبة. نستنتج أنه لا يوجد مماس بزاوية 150° لمثل هذه الدالة.

سيتم كتابة الوظيفة الثانية كـ

y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ ص (س 0) = 5 - 49 - 8 23 4 - 4 = - 5 + 3 4

لدينا أن نقاط الاتصال هي 23 4 ; - 5 + 3 4 .

إجابة:معادلة الظل تأخذ الشكل

ص = - 1 3 س - 23 4 + - 5 + 3 4

دعونا نصورها بيانيا بهذه الطريقة:

إذا لاحظت وجود خطأ في النص، فيرجى تحديده والضغط على Ctrl+Enter

المماس هو خط مستقيم ، الذي يلامس الرسم البياني للدالة عند نقطة واحدة وجميع نقاطها تقع على أقصر مسافة من الرسم البياني للدالة. لذلك، يمر المماس مماسًا للرسم البياني للدالة عند زاوية معينة ولا يمكن لعدة مماسات بزوايا مختلفة المرور عبر نقطة التماس. يتم إنشاء معادلات الظل والمعادلات العادية للرسم البياني للدالة باستخدام المشتق.

معادلة الظل مشتقة من المعادلة الخطية .

دعونا نشتق معادلة المماس، ثم معادلة العمودي على الرسم البياني للدالة.

ذ = kx + ب .

فيه ك- المعامل الزاوي.

ومن هنا نحصل على الإدخال التالي:

ذ - ذ 0 = ك(س - س 0 ) .

قيمة مشتقة F "(س 0 ) المهام ذ = F(س) عند هذه النقطة س0 يساوي المنحدر ك= تيراغرام φ مماس للرسم البياني للدالة المرسومة من خلال نقطة م0 (س 0 , ذ 0 ) ، أين ذ0 = F(س 0 ) . هذا هو المعنى الهندسي للمشتق .

وهكذا يمكننا أن نستبدل كعلى F "(س 0 ) والحصول على ما يلي معادلة المماس للرسم البياني للدالة :

ذ - ذ 0 = F "(س 0 )(س - س 0 ) .

في المسائل التي تتضمن تكوين معادلة مماس للرسم البياني للدالة (وسننتقل إليها قريبًا)، يلزم تقليل المعادلة التي تم الحصول عليها من الصيغة أعلاه إلى معادلة الخط المستقيم في الصورة العامة. للقيام بذلك، تحتاج إلى نقل جميع الحروف والأرقام إلى الجانب الأيسر من المعادلة، وترك الصفر على الجانب الأيمن.

الآن عن المعادلة العادية. طبيعي - هذا خط مستقيم يمر عبر نقطة التماس إلى الرسم البياني للدالة المتعامدة مع الظل. معادلة عادية :

(س - س 0 ) + F "(س 0 )(ذ - ذ 0 ) = 0

للإحماء، يطلب منك حل المثال الأول بنفسك، ومن ثم إلقاء نظرة على الحل. هناك كل الأسباب التي تجعلنا نأمل في ألا تكون هذه المهمة بمثابة "دش بارد" لقرائنا.

مثال 0.أنشئ معادلة ظل ومعادلة عادية للرسم البياني للدالة عند نقطة ما م (1, 1) .

مثال 1.اكتب معادلة ظل ومعادلة عادية للتمثيل البياني للدالة ، إذا كان الإحداثي مماسا.

لنجد مشتقة الدالة:

الآن لدينا كل ما يلزم استبداله في الإدخال الوارد في المساعدة النظرية للحصول على معادلة الظل. نحن نحصل

في هذا المثال، كنا محظوظين: تبين أن الميل يساوي صفرًا، لذلك لم تكن هناك حاجة لاختزال المعادلة بشكل منفصل إلى شكلها العام. الآن يمكننا إنشاء المعادلة العادية:

في الشكل أدناه: الرسم البياني للدالة باللون العنابي، والظل باللون الأخضر، والعمودي باللون البرتقالي.

المثال التالي ليس معقدًا أيضًا: الوظيفة، كما في المثال السابق، هي أيضًا متعددة الحدود، لكن المنحدر لن يساوي الصفر، لذلك ستتم إضافة خطوة أخرى - وبذلك تصل المعادلة إلى شكل عام.

مثال 2.

حل. لنجد إحداثيات نقطة الظل:

لنجد مشتقة الدالة:

.

دعونا نوجد قيمة المشتقة عند نقطة التماس، أي ميل المماس:

نستبدل جميع البيانات التي تم الحصول عليها في "الصيغة الفارغة" ونحصل على معادلة الظل:

نعيد المعادلة إلى شكلها العام (نجمع كل الحروف والأرقام غير الصفر في الطرف الأيسر، ونترك الصفر في الطرف الأيمن):

نحن نشكل المعادلة العادية:

مثال 3.اكتب معادلة المماس ومعادلة العمودي على التمثيل البياني للدالة إذا كان الإحداثي الإحداثي هو نقطة التماس.

حل. لنجد إحداثيات نقطة الظل:

لنجد مشتقة الدالة:

.

دعونا نوجد قيمة المشتقة عند نقطة التماس، أي ميل المماس:

.

نجد معادلة الظل:

قبل إحضار المعادلة إلى شكلها العام، تحتاج إلى "تمشيطها" قليلاً: ضرب حد بحد في 4. نفعل ذلك ونعيد المعادلة إلى شكلها العام:

نحن نشكل المعادلة العادية:

مثال 4.اكتب معادلة المماس ومعادلة العمودي على التمثيل البياني للدالة إذا كان الإحداثي الإحداثي هو نقطة التماس.

حل. لنجد إحداثيات نقطة الظل:

.

لنجد مشتقة الدالة:

دعونا نوجد قيمة المشتقة عند نقطة التماس، أي ميل المماس:

.

نحصل على معادلة الظل:

ونأتي بالمعادلة إلى صورتها العامة:

نحن نشكل المعادلة العادية:

من الأخطاء الشائعة عند كتابة معادلات الظل والمعادلات العادية عدم ملاحظة أن الدالة الواردة في المثال معقدة وحساب مشتقتها على أنها مشتقة دالة بسيطة. الأمثلة التالية هي بالفعل من وظائف معقدة(سيتم فتح الدرس المقابل في نافذة جديدة).

مثال 5.اكتب معادلة المماس ومعادلة العمودي على التمثيل البياني للدالة إذا كان الإحداثي الإحداثي هو نقطة التماس.

حل. لنجد إحداثيات نقطة الظل:

انتباه! هذه الوظيفة معقدة، لأن وسيطة الظل (2 س) هي في حد ذاتها وظيفة. لذلك، نجد مشتقة الدالة كمشتقة دالة مركبة.

نوع الوظيفة: 7

حالة

الخط المستقيم y=3x+2 مماس للرسم البياني للدالة y=-12x^2+bx-10. أوجد b، إذا كان الإحداثي الإحداثي لنقطة المماس أقل من الصفر.

عرض الحل

حل

اجعل x_0 هو نقطة الإحداثيات على الرسم البياني للدالة y=-12x^2+bx-10 التي يمر من خلالها ظل هذا الرسم البياني.

قيمة المشتق عند النقطة x_0 تساوي ميل المماس، أي y"(x_0)=-24x_0+b=3. ومن ناحية أخرى، فإن نقطة التماس تنتمي في نفس الوقت إلى كل من الرسم البياني للدالة الدالة والظل، أي -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0+2. نحصل على نظام من المعادلات \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(الحالات)

لحل هذا النظام، نحصل على x_0^2=1، وهو ما يعني إما x_0=-1 أو x_0=1. وفقًا لشرط الإحداثي السيني، تكون نقاط الظل أقل من الصفر، لذا x_0=-1، ثم b=3+24x_0=-21.

إجابة

نوع الوظيفة: 7
الموضوع: المعنى الهندسي للمشتقات. مماس للرسم البياني للدالة

حالة

الخط المستقيم y=-3x+4 يوازي مماس الرسم البياني للدالة y=-x^2+5x-7. أوجد حدود نقطة المماس.

عرض الحل

حل

المعامل الزاوي للخط المستقيم للرسم البياني للدالة y=-x^2+5x-7 عند نقطة عشوائية x_0 يساوي y"(x_0). لكن y"=-2x+5، مما يعني y" (x_0)=-2x_0+5 معامل الخط y=-3x+4 المحدد في الشرط يساوي -3. الخطوط المتوازية لها نفس المعاملات الزاوية، لذلك نجد قيمة x_0 بحيث = -2x_0 +5=-3.

نحصل على: x_0 = 4.

إجابة

المصدر: "الرياضيات. التحضير لامتحان الدولة الموحدة 2017. مستوى الملف الشخصي." إد. F. F. ليسينكو، S. Yu.

نوع الوظيفة: 7
الموضوع: المعنى الهندسي للمشتقات. مماس للرسم البياني للدالة

حالة

عرض الحل

حل

من الشكل نحدد أن المماس يمر بالنقطتين A(-6; 2) و B(-1; 1). دعونا نشير بـ C(-6; 1) إلى نقطة تقاطع الخطين x=-6 و y=1، وبـ \alpha الزاوية ABC (يمكنك أن ترى في الشكل أنها حادة). ثم يشكل الخط المستقيم AB زاوية \pi -\alpha مع الاتجاه الموجب لمحور الثور، وهو منفرج.

كما هو معروف، tg(\pi -\alpha) ستكون قيمة مشتقة الدالة f(x) عند النقطة x_0. لاحظ أن tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.ومن هنا وباستخدام صيغ التخفيض نحصل على: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

إجابة

المصدر: "الرياضيات. التحضير لامتحان الدولة الموحدة 2017. مستوى الملف الشخصي." إد. F. F. ليسينكو، S. Yu.

نوع الوظيفة: 7
الموضوع: المعنى الهندسي للمشتقات. مماس للرسم البياني للدالة

حالة

الخط المستقيم y=-2x-4 مماس للرسم البياني للدالة y=16x^2+bx+12. أوجد b، إذا كان الإحداثي الإحداثي لنقطة المماس أكبر من الصفر.

عرض الحل

حل

اجعل x_0 هو الحد الفاصل للنقطة على الرسم البياني للدالة y=16x^2+bx+12 التي من خلالها

هو مماس لهذا الرسم البياني.

قيمة المشتق عند النقطة x_0 تساوي ميل المماس، أي y"(x_0)=32x_0+b=-2. ومن ناحية أخرى، فإن نقطة التماس تنتمي في نفس الوقت إلى كل من الرسم البياني للدالة الدالة والظل، أي 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 نحصل على نظام المعادلات \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \النهاية(الحالات)

لحل النظام، نحصل على x_0^2=1، وهو ما يعني إما x_0=-1 أو x_0=1. وفقًا لشرط الإحداثي السيني، تكون نقاط الظل أكبر من الصفر، لذلك x_0=1، ثم b=-2-32x_0=-34.

إجابة

المصدر: "الرياضيات. التحضير لامتحان الدولة الموحدة 2017. مستوى الملف الشخصي." إد. F. F. ليسينكو، S. Yu.

نوع الوظيفة: 7
الموضوع: المعنى الهندسي للمشتقات. مماس للرسم البياني للدالة

حالة

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y=f(x)، المحددة على الفاصل الزمني (-2؛ 8). حدد عدد النقاط التي يكون عندها مماس الرسم البياني للدالة موازيًا للخط المستقيم y=6.

عرض الحل

حل

الخط المستقيم y=6 موازي لمحور الثور. لذلك، نجد النقاط التي يكون فيها مماس الرسم البياني للدالة موازيًا لمحور الثور. على هذا الرسم البياني، هذه النقاط هي النقاط القصوى (الحد الأقصى أو الحد الأدنى من النقاط). كما ترون، هناك 4 نقاط متطرفة.

إجابة

المصدر: "الرياضيات. التحضير لامتحان الدولة الموحدة 2017. مستوى الملف الشخصي." إد. F. F. ليسينكو، S. Yu.

نوع الوظيفة: 7
الموضوع: المعنى الهندسي للمشتقات. مماس للرسم البياني للدالة

حالة

الخط y=4x-6 يوازي مماس الرسم البياني للدالة y=x^2-4x+9. أوجد حدود نقطة المماس.

عرض الحل

حل

ميل المماس للرسم البياني للدالة y=x^2-4x+9 عند نقطة عشوائية x_0 يساوي y"(x_0). لكن y"=2x-4، مما يعني y"(x_0)= 2x_0-4. ميل المماس y =4x-7 المحدد في الشرط يساوي 4. الخطوط المتوازية لها نفس المعاملات الزاوية، لذلك نجد قيمة x_0 بحيث تكون 2x_0-4=4.

إجابة

المصدر: "الرياضيات. التحضير لامتحان الدولة الموحدة 2017. مستوى الملف الشخصي." إد. F. F. ليسينكو، S. Yu.

نوع الوظيفة: 7
الموضوع: المعنى الهندسي للمشتقات. مماس للرسم البياني للدالة

حالة

يوضح الشكل الرسم البياني للدالة y=f(x) والمماس لها عند النقطة مع الإحداثي السيني x_0. أوجد قيمة مشتقة الدالة f(x) عند النقطة x_0.

عرض الحل

حل

من الشكل نحدد أن المماس يمر بالنقطتين A(1; 1) و B(5;4). دعونا نشير بـ C(5; 1) إلى نقطة تقاطع الخطين x=5 و y=1، وبـ \alpha الزاوية BAC (يمكنك أن ترى في الشكل أنها حادة). ثم يشكل الخط المستقيم AB زاوية \alpha مع الاتجاه الموجب لمحور الثور.