كثافة التوزيع لمتغير عشوائي منفصل. كثافة التوزيع الاحتمالية
يمكن وصف نتيجة أي تجربة عشوائية من الناحيتين النوعية والكمية. نوعينتيجة تجربة عشوائية - عشوائي حدث. أي خاصية كمية، والتي نتيجة لتجربة عشوائية يمكن أن تأخذ واحدة من عدد من القيم، - قيمة عشوائية.قيمة عشوائية هو أحد المفاهيم المركزية لنظرية الاحتمالات.
اسمحوا أن تكون مساحة الاحتمال التعسفي. متغير عشوائيتسمى دالة عددية حقيقية x = x (w)، w W بحيث تكون لأي قيمة حقيقية س 
.
حدث من المعتاد كتابتها بالشكل x< س. فيما يلي، سيتم الإشارة إلى المتغيرات العشوائية بالأحرف اليونانية الصغيرة x، h، z، ...
المتغير العشوائي هو عدد النقاط التي تم الحصول عليها عند رمي النرد، أو ارتفاع الطالب الذي تم اختياره عشوائيا من مجموعة الدراسة. في الحالة الأولى نحن نتعامل معها منفصلة متغير عشوائي(يأخذ القيم من مجموعة أرقام منفصلة م=(1، 2، 3، 4، 5، 6)؛ في الحالة الثانية - مع مستمر متغير عشوائي(يأخذ القيم من مجموعة أرقام مستمرة - من الفاصل الزمني لخط الأعداد أنا=).
يتم تحديد كل متغير عشوائي بشكل كامل من خلاله وظيفة التوزيع.
إذا كان x متغيرًا عشوائيًا، فإن الدالة F(س) = الفوركس(س) = ص(x< س) يسمى وظيفة التوزيعالمتغير العشوائي x. هنا ص(x<س) - احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي x قيمة أقل من س.
من المهم أن نفهم أن دالة التوزيع هي "جواز السفر" للمتغير العشوائي: فهي تحتوي على جميع المعلومات حول المتغير العشوائي وبالتالي دراسة المتغير العشوائي تتمثل في دراسته وظائف التوزيع،والذي غالبا ما يسمى ببساطة توزيع.
تتميز دالة التوزيع لأي متغير عشوائي بالخصائص التالية:
إذا كان x متغيرًا عشوائيًا منفصلاً يأخذ القيم س 1 <س 2 < … <× ط < … с вероятностями ص 1 <ص 2 < … <باي < …, то таблица вида
| س 1 | س 2 | … | × ط | … |
| ص 1 | ص 2 | … | باي | … |
مُسَمًّى توزيع متغير عشوائي منفصل.
دالة التوزيع لمتغير عشوائي بهذا التوزيع لها الشكل
المتغير العشوائي المنفصل لديه وظيفة توزيع الخطوة. على سبيل المثال، بالنسبة للعدد العشوائي للنقاط التي تم الحصول عليها من رمية نرد واحدة، فإن التوزيع ودالة التوزيع والرسم البياني لوظيفة التوزيع هي:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
إذا كانت وظيفة التوزيع الفوركس(س) مستمر، ثم يسمى المتغير العشوائي x متغير عشوائي مستمر
إذا كانت دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر قابل للتفاضل، ثم يتم إعطاء تمثيل أكثر وضوحًا للمتغير العشوائي بواسطة الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي p x(س), والتي ترتبط بوظيفة التوزيع الفوركس(س) الصيغ
و 
.
ومن هنا، على وجه الخصوص، يتبع ذلك بالنسبة لأي متغير عشوائي.
عند حل المشكلات العملية، غالبًا ما يكون من الضروري العثور على القيمة س، حيث وظيفة التوزيع الفوركس(س) المتغير العشوائي x يأخذ قيمة معينة ص، أي. المعادلة تحتاج إلى حل الفوركس(س) = ص. حلول مثل هذه المعادلة (القيم المقابلة س) في نظرية الاحتمالات تسمى quantiles.
الكمية س ع ( ص-الكمية، المستوى الكمي ص) متغير عشوائي له دالة التوزيع الفوركس(س)، يسمى الحل xpالمعادلات الفوركس(س) = ص, ص(0، 1). بالنسبة للبعض صالمعادلة الفوركس(س) = صقد يكون لها عدة حلول، بالنسبة للبعض - لا شيء. وهذا يعني أنه بالنسبة للمتغير العشوائي المقابل، لم يتم تعريف بعض الكميات بشكل فريد، وبعض الكميات غير موجودة.
الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر وتعريفها وخصائصها ورسمها البياني.
يقال أن المتغير العشوائي X له توزيع (موزع) بالكثافة 
على جزء معين من المحور السيني. كثافة الاحتمال 
، مثل دالة التوزيع F(x)، هي أحد أشكال قانون التوزيع، ولكن على عكس دالة التوزيع، فهي موجودة فقط للمستمر
المتغيرات العشوائية
. تسمى أحيانًا كثافة الاحتمال وظيفة تفاضلية
أو قانون التوزيع التفاضلي
. مؤامرة الكثافة الاحتمالية 
مُسَمًّى منحنى التوزيع
.
خصائص الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر.
☺
كمشتق من دالة رتيبة غير متناقصة F(x). ☻
☺ 
وفقا للخاصية 4 من وظيفة التوزيع. بما أن F(x) هو مشتق عكسي لكثافة الاحتمال 
(لأن 
، وفقًا لصيغة نيوتن-لايبنيز، فإن زيادة المشتق العكسي على القطعة [a,b] هي تكامل محدد 
.
☻
الاحتمال الذي تم الحصول عليه هندسيًا يساوي مساحة الشكل الذي يحده من الأعلى منحنى التوزيع ويستند إلى المقطع [أ، ب] (الشكل 3.8).
يمكن التعبير عن دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر من حيث الكثافة الاحتمالية وفقًا للصيغة:
.
هندسياً، دالة التوزيع تساوي مساحة الشكل المحصور فوق منحنى التوزيع والواقع على يسار النقطة x (الشكل 3.9).
هندسيًا، الخواص 1 و4 لكثافة الاحتمال تعني أن الرسم البياني الخاص به - منحنى التوزيع - لا يقع أسفل محور الإحداثي السيني، والمساحة الإجمالية للشكل الذي يحده منحنى التوزيع ومحور الإحداثي السيني تساوي واحدًا.
متغير عشوائي موزع وفق قانون ذات الحدين وتوقعه الرياضي وتباينه. قانون توزيع بواسون
تعريف. المتغير العشوائي المتقطع X قانون التوزيع ذو الحدين مع المعلمات npq، إذا كانت تأخذ القيم 0، 1، 2،...، m،...،n مع الاحتمالات
حيث 0<р كما نرى، تم العثور على احتمالات P(X=m) باستخدام صيغة برنولي، وبالتالي فإن قانون التوزيع ذي الحدين هو قانون توزيع العدد X=m تكرارات الحدث A في n تجارب مستقلة، في كل منها يمكن أن يحدث بنفس الاحتمال ص . سلسلة التوزيع لقانون ذي الحدين لها الشكل: ومن الواضح أن تعريف قانون ذات الحدين صحيح، لأنه الخاصية الرئيسية لسلسلة التوزيع القيمة المتوقعة
المتغير العشوائي X، موزع حسب قانون ذات الحدين، تعريف.
المتغير العشوائي المتقطع X قانون توزيع بواسون
مع المعلمة lect > 0، إذا كانت تأخذ القيم 0، 1، 2،...، m، ... (مجموعة لا نهائية ولكن قابلة للعد من القيم) مع الاحتمالات سلسلة توزيع قانون بواسون لها الشكل: من الواضح أن تعريف قانون بواسون صحيح، باعتباره الخاصية الرئيسية لسلسلة التوزيع في التين. يوضح الشكل 4.1 مضلعًا (مضلعًا) لتوزيع متغير عشوائي موزع وفقًا لقانون بواسون Р(Х=m)=Р m (α) مع المعلمات lect = 0.5، lect = 1، lect = 2، lect = 3.5. نظرية.
التوقع والتباين
لمتغير عشوائي موزع وفق قانون بواسون يتطابق ويساوي المعلمة lect لهذا القانون، أي. تعريف . مستمريسمى متغيرًا عشوائيًا يمكنه أخذ جميع القيم من فترة زمنية محدودة أو لا نهائية. بالنسبة للمتغير العشوائي المستمر، تم تقديم مفهوم دالة التوزيع. تعريف. وظيفة التوزيعاحتمالات المتغير العشوائي X هي دالة F(x)، التي تحدد لكل قيمة x احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي X قيمة أقل من x، أي: و(س) = ف(س< x) في كثير من الأحيان، بدلا من مصطلح "وظيفة التوزيع"، يتم استخدام مصطلح "وظيفة التوزيع التراكمي". خصائص وظيفة التوزيع: 1. تنتمي قيم دالة التوزيع إلى المقطع: 0 ≥ F(x) ≥ 1. 2. دالة التوزيع دالة غير تناقصية وهي: إذا س > س، ثم F(x) ≥ F(x). 3. احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي قيمة موجودة في الفترة: احتمال وجود متغير عشوائي مستمر Xسوف تأخذ أي قيمة من الفاصل الزمني [ أ; ب]، يساوي تكاملًا معينًا لكثافة احتمالية تتراوح من أقبل ب: في هذه الحالة، الصيغة العامة للوظيفة F(س) التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المستمر، والذي يمكن استخدامه إذا كانت دالة الكثافة معروفة F(س)
: يسمى الرسم البياني للكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر بمنحنى التوزيع (الشكل أدناه). مساحة الشكل (المظلل في الشكل) التي يحدها منحنى، خطوط مستقيمة مرسومة من النقاط أو بعمودي على المحور السيني، والمحور أوه، يعرض بيانيًا احتمال أن تكون قيمة المتغير العشوائي المستمر Xيقع ضمن نطاق أقبل ب. 1. احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي أي قيمة من الفاصل الزمني (ومساحة الشكل التي يقتصرها الرسم البياني للدالة F(س) والمحور أوه) يساوي واحد: 2. لا يمكن لدالة كثافة الاحتمال أن تأخذ قيمًا سالبة: وخارج وجود التوزيع قيمته صفر كثافة التوزيع F(س)، وكذلك وظيفة التوزيع F(س)، هو أحد أشكال قانون التوزيع، ولكن على عكس دالة التوزيع، فهو ليس عالميًا: كثافة التوزيع موجودة فقط للمتغيرات العشوائية المستمرة. ولنذكر أهم نوعين من توزيع المتغير العشوائي المستمر عملياً. إذا كانت دالة كثافة التوزيع F(س) متغير عشوائي مستمر في بعض الفترات المحدودة [ أ; ب] يأخذ قيمة ثابتة ج، وخارج الفترة يأخذ قيمة تساوي الصفر، فهذا التوزيع يسمى موحد . إذا كان الرسم البياني لدالة كثافة التوزيع متماثلًا حول المركز، فإن القيم المتوسطة تتركز بالقرب من المركز، وعند الابتعاد عن المركز، يتم جمع تلك الأكثر اختلافًا عن المتوسط (يشبه الرسم البياني للدالة مقطعًا الجرس)، ثم هذا التوزيع يسمى عادي . مثال 1.تُعرف دالة التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المستمر: البحث عن وظيفة F(س) الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر. إنشاء الرسوم البيانية لكلا الدالتين. أوجد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة في الفترة من 4 إلى 8: . حل. نحصل على دالة الكثافة الاحتمالية من خلال إيجاد مشتق دالة التوزيع الاحتمالي: رسم بياني للدالة F(س) - القطع المكافئ: رسم بياني للدالة F(س) - مستقيم: لنجد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة في النطاق من 4 إلى 8: مثال 2.يتم إعطاء دالة كثافة الاحتمال لمتغير عشوائي مستمر على النحو التالي: حساب المعامل ج. البحث عن وظيفة F(س) التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المستمر. إنشاء الرسوم البيانية لكلا الدالتين. أوجد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة في النطاق من 0 إلى 5: . حل. معامل في الرياضيات او درجة جنجد باستخدام الخاصية 1 لدالة الكثافة الاحتمالية: وبالتالي فإن دالة الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر هي: وبالتكامل نجد الدالة F(س) التوزيعات الاحتمالية. لو س < 0
, то
F(س) = 0 . إذا 0< س < 10
, то س> 10 إذن F(س) = 1
. وبالتالي، فإن السجل الكامل لوظيفة التوزيع الاحتمالي هو: رسم بياني للدالة F(س)
: رسم بياني للدالة F(س)
: لنجد احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي المستمر أي قيمة في النطاق من 0 إلى 5: مثال 3.الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر Xويعطى من قبل المساواة ، و . أوجد المعامل أ، احتمال أن يكون متغير عشوائي مستمر Xسوف تأخذ أي قيمة من الفاصل الزمني ]0، 5[، دالة التوزيع لمتغير عشوائي مستمر X. حل. بالشرط نصل إلى المساواة ولذلك، من أين. لذا، الآن نجد احتمال وجود متغير عشوائي مستمر Xسوف تأخذ أي قيمة من الفاصل الزمني ]0، 5[: الآن نحصل على دالة التوزيع لهذا المتغير العشوائي: مثال 4.أوجد الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر X، والتي تأخذ فقط القيم غير السالبة، ووظيفة التوزيع الخاصة بها 
تم بسبب 
ليس أكثر من مجموع كل شروط توسيع ذات الحدين لنيوتن:
وتباينه 
,
راض، لأن مجموع هذه السلسلة.
و 
"
.
.
خصائص دالة الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي المستمر
.
.
.
