Центр масс системы материальных точек. Урок «Центр масс Система центра масс определение

Термин «центр масс» используется не только в механике и в расчетах движения но и обыденной жизни. Просто люди не всегда задумываются о том, какие же законы природы проявляются в той или иной ситуации. Например, фигуристы в парном катании активно используют центр масс системы, когда раскручиваются, взявшись за руки.

Понятие центра масс также применяется при проектировке кораблей. Необходимо учесть не просто два тела, а огромное их количество и все привести к единому знаменателю. Ошибки в расчетах означают отсутствие устойчивости корабля: в одном случае он будет чрезмерно погружен в воду, рискуя пойти ко дну при самых незначительных волнах; а в другом слишком приподнят над уровнем моря, создавая опасность переворота на бок. Кстати, именно поэтому каждая вещь на борту должна быть на своем месте, предусмотренным расчетами: наиболее массивные в самом низу.

Центр масс используется не только в отношении небесных тел и проектировании механизмов, но и при изучении «поведения» частиц микромира. К примеру, многие из них рождаются парами (электрон-позитрон). Обладая изначальным вращением и подчиняясь законам притяжения/отталкивания, они могут быть рассмотрены как система с общим центром масс.

Определение

При рассмотрении системы частиц, часто удобно найти такую точку, которая характеризует положение и движение рассматриваемой системы как единого целого. Такой точкой является центр масс .

Если у нас две частицы одинаковой массы, то такая точка находится посередине между ними.

Координаты центра масс

Допустим, что две материальные точки, имеющие массы $m_1$ и $m_2$ находятся на оси абсцисс и имеют координаты $x_1$ и $x_2$. Расстояние ($\Delta x$) между этими частицами равно:

\[\Delta x=x_2-x_1\left(1\right).\]

Определение

Точку С (рис.1), делящую расстояние между этими частицами на отрезки, обратно пропорциональные массам частиц называют центром масс этой системы частиц.

В соответствии с определением для рис.1 имеем:

\[\frac{l_1}{l_2}=\frac{m_2}{m_1}\left(2\right).\]

где $x_c$ - координата центра масс, то получаем:

Из формулы (4) получим:

Выражение (5) легко обобщается для множества материальных точек, которые расположены произвольным образом. При этом абсцисса центра масс равна:

Аналогично получают выражения для ординаты ($y_c$) центра масс и его аппликаты ($z_c$):

\ \

Формулы (6-8) совпадают с выражениями, определяющими центр тяжести тела. В том случае, если размеры тела малы в сравнении с расстоянием до центра Земли, центр тяжести считают совпадающим с центром масс тела. В большинстве задач центр тяжести совпадает с центром масс тела.

Если положение N материальных точек системы задано в векторной форме, то радиус - вектор, определяющий положение центра масс находим как:

\[{\overline{r}}_c=\frac{\sum\limits^N_{i=1}{m_i{\overline{r}}_i}}{\sum\limits^N_{i=1}{m_i}}\left(9\right).\]

Движение центра масс

Выражение для скорости центра масс (${\overline{v}}_c=\frac{d{\overline{r}}_c}{dt}$) имеет вид:

\[{\overline{v}}_c=\frac{m_1{\overline{v}}_1+m_2{\overline{v}}_2+\dots +m_n{\overline{v}}_n}{m_1+m_2+\dots +m_n}=\frac{\overline{P}}{M}\left(10\right),\]

где $\overline{P}$ - суммарный импульс системы частиц; $M$ масса системы. Выражение (10) справедливо при движениях со скоростями которые существенно меньше скорости света.

Если система частиц является замкнутой, то сумма импульсов ее частей не изменяется. Следовательно, скорость центра масс при этом величина постоянная. Говорят, что центр масс замкнутой системы перемещается по инерции, то есть прямолинейно и равномерно, и это движение не зависимо от движения составных частей системы. В замкнутой системе могут действовать внутренние силы, в результате их действия части системы могут иметь ускорения. Но это не оказывает влияния на движение центра масс. Под действием внутренних сил скорость центра масс не изменяется.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Запишите координаты центра масс системы из трех шариков, которые находятся в вершинах и центра равностороннего треугольника, сторона которого равна $b\ (м)$ (рис.2).

Решение. Для решения задачи используем выражения, определяющие координаты центра масс:

\ \

Из рис.2 мы видим, что абсциссы точек:

\[\left\{ \begin{array}{c} m_1=2m,\ \ x_1=0;;\ \ \\ {\rm \ }m_2=3m,\ \ \ \ x_2=\frac{b}{2};; \\ m_3=m,\ \ x_3=\frac{b}{2};; \\ m_4=4m,\ \ x_4=b. \end{array} \right.\left(2.3\right).\]

Тогда абсцисса центра масса равна:

Найдем ординаты точек.

\[ \begin{array}{c} m_1=2m,\ \ y_1=0;;\ \ \\ {\rm \ }m_2=3m,\ \ \ \ y_2=\frac{b\sqrt{3}}{2};; \\ m_3=m,\ \ y_3=\frac{b\sqrt{3}}{6};; \\ m_4=4m,\ \ y_4=0. \end{array} \left(2.4\right).\]

Для нахождения ординаты $y_2$ вычислим, чему равна высота в равностороннем треугольнике:

Ординату $y_3$ найдем, помня, что медианы в равностороннем треугольнике точкой пересечения делятся в отношении 2:1 от вершины, получаем:

Вычислим ординату центра масс:

Ответ. $x_c=0,6b\ {\rm \ }{\rm м}$; $y_c=\frac{b\sqrt{3}\ }{6}$ м

Пример 2

Задание. Запишите закон движения центра масс.

Решение. Закон изменения импульса системы частиц является законом движения центра масс. Из формулы:

\[{\overline{v}}_c=\frac{\overline{P}}{M}\to \overline{P}=M{\overline{v}}_c\left(2.1\right)\]

при постоянной массе $M$ продифференцировав обе части выражения (2.1), получим:

\[\frac{d\overline{P}}{dt}=M\frac{d{\overline{v}}_c}{dt}\left(2.2\right).\]

Выражение (2.2) означает, что скорость изменения импульса системы равняется произведению массы системы на ускорение ее центра масс. Так как

\[\frac{d\overline{P}}{dt}=\sum\limits^N_{i=1}{{\overline{F}}_i\left(2.3\right),}\]

В соответствии с выражением (2.4) получаем, что центр масс системы движется так, как двигалась бы одна материальная точка массы M, если на нее действует сила, равная сумме всех внешних сил, действующих на частицы, которые входят в рассматриваемую систему. Если $\sum\limits^N_{i=1}{{\overline{F}}_i=0,}$ то центр масс движется равномерно и прямолинейно.

с массами `m_1`, `m_2`, `m_3`, `…`. Каждую из этих частей можно рассматривать как материальную точку. Положение в пространстве `i`-ой материальной точки с массой `m_i` определяется радиус - вектором `vecr_i` (рис. 11). Масса тела есть сумма масс отдельных его частей: `m=sum_im_i`. По определению центром масс тела (системы тел) называется такая точка `C`, радиус-вектор которой `vecr_c` определяется по формуле `vecr_c=1/m sum_im_ivecr_i`.

Можно показать, что положение центра масс относительно тела не зависит от выбора начала координат `O`, т. е. данное выше определение центра масс однозначно и корректно.

Не вдаваясь в методы нахождения центра масс, скажем, что центр масс однородных симметричных тел расположен в их геометрическом центре или на оси симметрии, центр масс у плоского тела в виде произвольного треугольника находится на пересечении его медиан.

Оказывается, что у центра масс тела (или системы тел) есть ряд замечательных свойств. В динамике показывается, что импульс произвольно движущегося тела равен произведению массы тела на скорость его центра масс и что центр масс движется так, как если бы все внешние силы, действующие на тело, были приложены в центре масс, а масса всего тела была сосредоточена в нём.

Центром тяжести тела, находящегося в поле тяготения Земли, называют точку приложения равнодействующей всех сил тяжести, действующих на все части тела. Эта равнодействующая называется силой тяжести, действующей на тело. Сила тяжести, приложенная в центре тяжести тела, оказывает на тело такое же воздействие, как и все силы тяжести, действующие на отдельные части тела.

Интересен случай, когда размеры тела намного меньше размеров Земли. Тогда можно считать, что на все части тела действуют параллельные силы тяжести, т. е. тело находится в однородном поле тяжести. У параллельных и одинаково направленных сил всегда есть равнодействующая, что можно доказать. Но при определённом положении тела в пространстве можно указать только линию действия равнодействующей всех параллельных сил тяжести, точка её приложения останется пока неопределённой, т. к. для твёрдого тела любую силу можно переносить вдоль лини её действия. Как же быть с точкой приложения?

Можно показать, что при любом положении тела в однородном поле тяжести линия действия равнодействующей всех сил тяжести, действующих на отдельные части тела, проходят через одну и ту же точку, неподвижную относительно тела. В этой точке и прикладывается равнодействующая, а сама точка будет центром тяжести тела.

Положение центра тяжести относительно тела зависит только от формы тела и распределения массы в теле и не зависит от положения тела в однородном поле тяжести. Центр тяжести не обязательно находится в самом теле. Например, у обруча в однородном поле тяжести центр тяжести лежит в его геометрическом центре.

Сообщим без доказательства чрезвычайно любопытный и важный факт. Оказывается, в однородном поле тяжести центр тяжести тела совпадает с его центром масс. Напомним, что центр масс тела существует независимо от наличия поля тяжести, а о центре тяжести можно говорить только при наличии силы тяжести.

Местоположение центра тяжести тела, а значит, и центра масс, удобно находить, учитывая симметричность тела и используя понятие момента силы.

На лёгком стержне (рис. 12) закреплены шары масса ми `m_1=3` кг, `m_2=2` кг, `m_3=6` кг, `m_4=3` кг. Расстояние между центрами любых ближайших шаров `a=10` см. Найти положение центра тяжести и центра масс конструкции.

Положение относительно шаров центра тяжести конструкции не зависит от ориентации стержня в пространстве. Для решения задачи удобно расположить стержень горизонтально, как показано на рисунке 12. Пусть центр тяжести находится на расстоянии `L` от центра левого шара, т. е. от т. `A`. В центре тяжести приложена равнодействующая всех сил тяжести, и её момент относительно оси `A` равен сумме моментов сил тяжестишаров.

Имеем: `R=(m_1+m_2+m_3+m_4)g`, `RL=m_2ga+m_3g2a+m_4g3a`.

Отсюда `L=(m_2+2m_3+3m_4)/(m_1+m_2+m_3+m_4) a~~16,4` см.

Центр тяжести совпадает с центром масс и находится в точке `C` на расстоянии `L~~16,4` см от центра левого шара.

Центр масс это геометрическая точка находящаяся внутри тела, которая определяет распределение массы этого тела. Любое тело можно представить в виде суммы некоторого количества материальных точек. В этом случае положение центра масс определяет радиус вектор.

Формула 1 - Радиус вектора центра масс.

mi - масса итой точки.

ri - радиус вектор итой точки.

Если просуммировать массы всех материальных точек, то получится масса всего тела. На положение центра масс влияет однородность распределения массы по объему тела. Центр масс может находиться как внутри тела, так и за его приделами. Скажем у кольца, центр масс находится в центре окружности. Там где нет вещества. В общем, для симметричных тел обладающих однородным распределением массы центр масс всегда находится в центре симметрии или на ее оси.

Рисунок 1 - Центры массы симметричных тел.

Если к телу прикладывать некоторую силу, то оно начнет двигаться. Представьте себе кольцо, лежащее на поверхности стола. Если к нему приложить силу, а попросту начать толкать, то оно будет скользить по поверхности стола. А вот направление движения будет завесить от места приложения силы.

Если силу направить от внешнего края к центру, по перпендикуляру к внешней поверхности, то кольцо начнет прямолинейно двигаться по поверхности стола в направлении приложения силы. Если же силу приложить по касательной к внешнему радиусу кольца, то оно начнет поворачиваться относительно своего центра масс. Таким образом, можно заключить, что движение тела состоит из суммы поступательного движения и вращательного относительно центра масс. То есть движение любого тела можно описать движением материальной точки находящейся в центре масс и имеющей массу всего тела.

Рисунок 2 - Поступательное и вращательное движение кольца.

Существует также понятие центр тяжести. В общем, это не одно и то же что и центр масс. Центр тяжести это точка относительно, которой общий момент силы тяжести равен нулю. Если представить себе стержень длинной скажем 1 метр, диаметром 1см, и однородный по своему сечению. На концах стержня закреплены металлические шары одинаковой массы. То центр масс этого стержня будет находиться посередине. Если этот стержень поместить в неоднородное гравитационное поле, то центр тяжести будет смещён в сторону большей напряжённости поля.

Рисунок 3 - Тело в неоднородном и однородном гравитационном поле.

На поверхности земли, где сила тяжести однородна, центр масс практически совпадает с центром тяжести. Для любого постоянного однородного гравитационного поля центр тяжести всегда будет совпадать с центром масс.

Любое тело можно рассматривать как совокупность материальных точек, в качестве которых можно, например, брать молекулы. Пусть тело состоит из n материальных точек с массами m1, m2, ...mn.

Центром масс тела , состоящего из n материальных точек, называется точка (в геометрическом смысле), радиус-вектор которой определяется формулой :

Здесь R1 – радиус-вектор точки с номером i (i = 1, 2, ... n).

Это определение выглядит непривычно, но на самом деле оно даёт положение того самого центра масс, о котором у нас имеется интуитивное представление. Например, центр масс стержня будет находиться в его середине. Сумма масс всех точек, входящая в знаменатель вышеопределённой формулы, называется массой тела. Массой тела называется сумма масс всех его точек : m = m1 + m2 + ... + mn .

В симметричных однородных телах ЦМ всегда расположен в центре симметрии или лежит на оси симметрии, если у фигуры центра симметрии нет. Центр масс может находиться как внутри тела (диск, квадрат, треугольник), так и вне его (кольцо, рамка, угольник).

Для человека положение ЦМ зависит от принятой позы. Во многих видах спорта важным слагаемым успеха является способность сохранять равновесие. Так, в спортивной гимнастике, акробатике

большое количество элементов включат в себя разные виды равновесия. Важна способность сохранять равновесие в фигурном катании, в беге на коньках, где опора имеет очень малую площадь.

Условиями равновесия покоящегося тела являются одновременное равенство нулю суммы сил и суммы моментов сил , действующих на тело.

Выясним, какое положение должна занимать ось вращения, чтобы закреплённое на ней тело оставалось в равновесии под действием сил тяжести. Для этого разобьём тело на множество маленьких кусочков и нарисуем действующие на них силы тяжести.

В соответствии с правилом моментов для равновесия необходимо, чтобы сумма моментов всех этих сил относительно оси равнялась нулю.

Можно показать, что для каждого тела существует единственная точка, где сумма моментов сил тяжести относительно любой оси, проходящей через эту точку, равна нулю. Эта точка называется центром тяжести (обычно совпадает с центром масс).

Центром тяжести тела (ЦТ) называется точка, относительно которой сумма моментов сил тяжести, действующей на все частицы тела, равна нулю .

Таким образом, силы тяжести не вызывают вращения тела вокруг центра тяжести. Поэтому все силы тяжести можно было бы заменить единственной силой, которая приложена к этой точке и равна силе тяжести.

Для изучения движений тела спортсмена часто вводится термин общий центр тяжести (ОЦТ). Основные свойства центра тяжести:

Если тело закреплено на оси, проходящей через центр тяжести, то сила тяжести не будет вызывать его вращения;

Центр тяжести является точкой приложения силы тяжести;

В однородном поле центр тяжести совпадает с центром масс.

Равновесным называется такое положение тела, при котором оно может оставаться в покое сколь угодно долго. При отклонении тела от положения равновесия, силы, действующие на него, изменяются, и равновесие сил нарушается.

Существуют различные виды равновесия (рис. 9). Принято различать три вида равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное.

Устойчивое равновесие (рис. 9, а) характеризуется тем, что тело возвращается в первоначальное положение при его отклонении. В таком случае возникают силы, или моменты сил, стремящаяся возвратить тело в исходное положение. Примером может служить положение тела с верхней опорой (например, вис на перекладине), когда при любых отклонениях тело стремится возвратиться в начальное положение.

Безразличное равновесие (рис. 9, б) характеризуется тем, что при изменении положения тела не возникает сил или моментов сил, стремящихся возвратить тело в начальное положение или ещё более удалить тело от него. Это редко наблюдаемый у человека случай. Примером может служить состояние невесомости на космическом корабле.

Неустойчивое равновесие (рис. 9, в) наблюдается тогда, когда при малых отклонениях тела возникают силы или моменты сил, стремящихся ещё больше отклонить тело от начального положения. Такой случай можно наблюдать, когда человек, стоя на опоре очень малой площади (значительно меньшей площади его двух ног или даже одной ноги), отклоняется в сторону.

Рисунок 9. Равновесие тела : устойчивое (а), безразличное (б), неустойчивое (в)

Наряду с перечисленными видами равновесия тел в биомеханике рассматривают ещё один вид равновесия – ограниченно-устойчивое. Этот вид равновесия отличается тем, что тело может вернуться в начальное положение при отклонении от него до некоторого предела, например, определяемого границей площади опоры. Если же отклонение переходит этот предел, равновесие становится неустойчивым.

Основная задача при обеспечении равновесия тела человека состоит в том, чтобы проекция ОЦМ тела находилась в пределах площади опоры. В зависимости от вида деятельности (сохранение статического положения, ходьба, бег и т. п.) и требований к устойчивости частота и быстрота корригирующих воздействий изменяются, но процессы сохранения равновесия одинаковы.

Распределение массы в теле человека

Масса тела и массы отдельных сегментов очень важны для различных аспектов биомеханики. Во многих видах спорта необходимо знать распределение массы для выработки правильной техники выполнения упражнений. Для анализа движений тела человека используется метод сегментирования: оно условно рассекается на определённые сегменты. Для каждого сегмента определяются его масса и положение центра масс. В табл. 1 определены массы частей тела в относительных единицах.

Таблица 1. Массы частей тела в относительных единицах

Часто вместо понятия центра масс используют другое понятие – центр тяжести. В однородном поле тяжести центр тяжести всегда совпадает с центром масс. Положение центра тяжести звена указывают как его расстояние от оси проксимального сустава и выражают относительно длины звена, принятой за единицу.

В табл. 2 приведены анатомическое положение центров тяжести различных звеньев тела.

Таблица 2. Центры тяжести частей тела