Плотность распределения дискретной случайной величины. Плотность распределения вероятностей
Результат любого случайного эксперимента можно характеризовать качественно и количественно. Качественный результат случайного эксперимента - случайное событие . Любая количественная характеристика , которая в результате случайного эксперимента может принять одно из некоторого множества значений, - случайная величина. Случайная величина является одним из центральных понятий теории вероятностей.
Пусть - произвольное вероятностное пространство. Случайной величиной называется действительная числовая функция x =x (w ), w W , такая, что при любом действительном x .
Событие принято записывать в виде x < x . В дальнейшем случайные величины будем обозначать строчными греческими буквами x , h , z , …
Случайной величиной является число очков, выпавших при бросании игральной кости, или рост случайно выбранного из учебной группы студента. В первом случае мы имеем дело с дискретной случайной величиной (она принимает значения из дискретного числового множества M= {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; во втором случае - с непрерывной случайной величиной (она принимает значения из непрерывного числового множества - из промежутка числовой прямой I =).
Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения .
Если x .- случайная величина, то функция F (x ) = F x (x ) = P (x < x ) называется функцией распределения случайной величины x . Здесь P (x < x ) - вероятность того, что случайная величина x принимает значение, меньшее x .
Важно понимать, что функция распределения является “паспортом” случайной величины: она содержит всю информация о случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением .
Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:
Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x 1 < x 2 < … < x i < … с вероятностями p 1 < p 2 < … < p i < …, то таблица вида
x 1 | x 2 | … | x i | … |
p 1 | p 2 | … | p i | … |
называется распределением дискретной случайной величины .
Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид
У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая. Например, для случайного числа очков, выпавших при одном бросании игральной кости, распределение, функция распределения и график функции распределения имеют вид:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Если функция распределения F x (x ) непрерывна, то случайная величина x называется непрерывной случайной величиной.
Если функция распределения непрерывной случайной величины дифференцируема , то более наглядное представление о случайной величине дает плотность вероятности случайной величины p x (x ), которая связана с функцией распределения F x (x ) формулами
и .
Отсюда, в частности, следует, что для любой случайной величины .
При решении практических задач часто требуется найти значение x , при котором функция распределения F x (x ) случайной величины x принимает заданное значение p , т.е. требуется решить уравнение F x (x ) = p . Решения такого уравнения (соответствующие значения x ) в теории вероятностей называются квантилями.
Квантилью x p (p -квантилью, квантилью уровня p ) случайной величины , имеющей функцию распределения F x (x ), называют решение x p уравнения F x (x ) = p , p (0, 1). Для некоторых p уравнение F x (x ) = p может иметь несколько решений, для некоторых - ни одного. Это означает, что для соответствующей случайной величины некоторые квантили определены неоднозначно, а некоторые кванитили не существуют.
Плотность вероятности непрерывной случайной величины, ее определение, свойства и график.
Про случайную
величину Х говорят, что она имеет
распределение (распределена) с плотностью
на определенном участке оси абсцисс.
Плотность вероятности
,
как и функция распределения F(x), является
одной из форм закона распределения, но
в отличие от функции распределения она
существует толькодля
непрерывных
случайных
величин
.
Плотность вероятности иногда называют
дифференциальной
функцией
или дифференциальным
законом распределения
.
График плотности вероятности
называетсякривой
распределения
.
Свойства плотности вероятности непрерывной случайной величины.
☺
как
производная монотонно неубывающей
функции F(х).
☻
☺
Согласно свойству
4 функции распределения
.
Так как F(x) - первообразная для плотности
вероятности
(т.к.
,
то по формуле Ньютона-Лейбница приращение
первообразной на отрезке [а,b]
– определенный интеграл
.
☻
Геометрически полученная вероятность равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и опирающейся на отрезок [а,b] (рис. 3.8).
Функция распределения непрерывной случайной величины может быть выражена через плотность вероятности по формуле :
.
Геометрически функция распределения равна площади фигуры, ограниченной сверху кривой распределения и лежащей левее точки х (рис. 3.9).
Геометрически свойства 1 и 4 плотности вероятности означают, что ее график - кривая распределения - лежит не ниже оси абсцисс, и полная площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
Случайная величина, распределенная по биномиальному закону, ее математическое ожидание и дисперсия. Закон распределения Пуассона.
Определение . Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами npq, если она принимает значения 0, 1, 2,..., m,... ,n с вероятностями
где 0<р Как видим, вероятности
Р(Х=m)
находятся по формуле Бернулли,
следовательно, биномиальный закон
распределения представляет собой закон
распределения числа Х=m
наступлений события А в n независимых
испытаниях, в каждом из которых оно
может произойти с одной и той же
вероятностью р. Ряд распределения
биномиального закона имеет вид: Очевидно, что
определение биномиального закона
корректно, т.к. основное свойство ряда
распределения
Математическое
ожидание
случайной величины Х, распределенной
по биноминальному закону, а ее дисперсия
Определение
.
Дискретная
случайная величина Х имеет закон
распределения Пуассона
с параметром λ > 0, если она принимает
значения 0, 1, 2,..., m,
... (бесконечное, но счетное множество
значений) с вероятностями Ряд распределения
закона Пуассона имеет вид: Очевидно, что
определение закона Пуассона корректно,
так как основное свойство ряда
распределения
На рис. 4.1 показан
многоугольник (полигон) распределения
случайной величины, распределенной по
закону Пуассона Р(Х=m)=Р m (λ)
с параметрами λ
= 0,5, λ
= 1, λ
= 2, λ
= 3,5. Теорема
.
Математическое
oжидaниe и дисперсия
случайной величины, распределенной по
закону Пуассона, совпадают и равны
параметру λ
этого закона, т.е. и
Определение
. Непрерывной
называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Для непрерывной случайной величины вводится понятие функции распределения. Определение.
Функцией распределения
вероятностей случайной величины Х называют функцию F(х), определяющую для каждого значения x вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее x, то есть: F(х) = P(X < x) Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения». Свойства функции распределения:
1. Значения функции распределения принадлежат отрезку: 0 ≤ F(х) ≤ 1. 2. Функция распределения есть неубывающая функция, то есть: если x > x , то F(x ) ≥ F(x ). 3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале : вероятность того, что непрерывная случайная величина X
примет какое-либо значение из интервала [a
; b
], равна определённому
интегралу от её плотности вероятности в пределах от a
до b
: . При этом общая формула функции F
(x
)
распределения вероятностей непрерывной случайной величины, которой можно пользоваться, если известна функция
плотности f
(x
)
: . График плотности вероятности непрерывной случайной величины
называется её кривой распределения (рис. ниже). Площадь фигуры (на рисунке заштрихована), ограниченной кривой, прямыми, проведёнными из точек a
и b
перпендикулярно оси абсцисс, и осью Ох
, графически отображает вероятность того,
что значение непрерывной случайной величины Х
находится в пределах от
a
до b
. 1. Вероятность того, что случайная величина примет какое-либо значение из интервала
(и площадь фигуры,
которую ограничивают график функции f
(x
) и ось
Ох
) равна единице: 2. Функция плотности вероятности не может принимать отрицательные значения: а за пределами существования распределения её значение равно нулю Плотность распределения f
(x
), как и функция распределения
F
(x
), является одной из форм закона распределения, но в отличие от функции
распределения, она не универсальна: плотность распределения существует только для непрерывных
случайных величин. Упомянем о двух важнейших в практике видах распределения непрерывной случайной величины. Если функция плотности распределения f
(x
) непрерывной случайной
величины в некотором конечном интервале [a
; b
] принимает постоянное значение
C
, а за пределами интервала принимает значение, равное нулю, то такое распределение называется
равномерным
. Если график функции плотности распределения симметричен относительно центра,
средние значения сосредоточены вблизи центра, а при отдалении от центра собираются более отличающиеся от средних
(график функции напоминает разрез колокола), то такое распределение называется нормальным
. Пример 1.
Известна функция распределения вероятностей
непрерывной случайной величины: Найти функцию f
(x
)
плотности
вероятности непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что
непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 4 до 8:
. Решение. Функцию плотности вероятности получаем, находя производную функции распределения
вероятностей: График функции F
(x
)
- парабола: График функции f
(x
)
- прямая: Найдём вероятность того, что
непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 4 до 8: Пример 2.
Функция плотности вероятности
непрерывной случайной величины дана в виде: Вычислить коэффициент C
. Найти функцию F
(x
)
распределения вероятностей непрерывной случайной величины. Построить графики обеих функций. Найти вероятность того, что
непрерывная случайная величина примет какое-либо значение в интервале от 0 до 5:
. Решение. Коэффициент C
найдём, пользуясь
свойством 1 функции плотности вероятности: Таким образом, функция плотности вероятности непрерывной случайной величины: Интегрируя, найдём функцию F
(x
)
распределения вероятностей. Если x
< 0
, то
F
(x
) = 0
. Если 0 < x
< 10
, то . x
> 10
, то
F
(x
) = 1
. Таким образом, полная запись функции распределения вероятностей: График функции f
(x
)
: График функции F
(x
)
: Найдём вероятность того, что
непрерывная случайная величина примет какое либо значение в интервале от 0 до 5: Пример 3.
Плотность вероятности непрерывной
случайной величины X
задана равенством
,
при этом .
Найти коэффициент А
, вероятность того, что непрерывная случайная величина
X
примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[, функцию распределения
непрерывной случайной величины X
. Решение. По условию
приходим к равенству Следовательно, ,
откуда . Итак, . Теперь находим вероятность того, что непрерывная случайная величина
X
примет какое-либо значение из интервала ]0, 5[: Теперь получим функцию распределения данной случайной величины: Пример 4.
Найти плотность вероятности непрерывной
случайной величины X
, которая принимает только неотрицательные значения, а
её функция распределения .
выполнено, ибоесть не что иное, как сумма всех членов
разложения бинома Ньютона:
,
выполнено,
ибо сумма ряда.
"
Свойства функции плотности вероятности непрерывной случайной величины