Chiziqli tenglamalar. Bitta o'zgaruvchili tenglama O'zgaruvchan aniqlangan chiziqli tenglama

1. Bitta o‘zgaruvchili tenglama tushunchasi

2. Ekvivalent tenglamalar. Tenglamalarning ekvivalentligi haqidagi teoremalar

3. Bitta o‘zgaruvchili tenglamalarni yechish

Bir o'zgaruvchili tenglamalar

O'zgaruvchisi bo'lgan ikkita ifodani olaylik: 4 X va 5 X+ 2. Ularni teng belgi bilan bog'lab, biz jumlani olamiz 4x= 5X+ 2. U o'zgaruvchini o'z ichiga oladi va o'zgaruvchining qiymatlarini almashtirganda, bayonotga aylanadi. Masalan, qachon x =-2 taklif 4x= 5X+ 2 haqiqiy son tengligiga aylanadi 4 ·(-2) = 5 ·(-2) + 2 va qachon x = 1 - noto'g'ri 4 1 = 5 1 + 2. Shuning uchun, jumla 4x = 5x + 2 ifodali shakli mavjud. Uni chaqirishadi bitta o'zgaruvchili tenglama.

Umuman olganda, bitta o'zgaruvchiga ega bo'lgan tenglamani quyidagicha aniqlash mumkin:

Ta'rif. f(x) va g(x) oʻzgaruvchisi x va aniqlanish sohasi X boʻlgan ikkita ifoda boʻlsin. U holda f(x) = g(x) koʻrinishdagi ekspressiv shakl bitta oʻzgaruvchili tenglama deyiladi.

O'zgaruvchan qiymat X ko'pchilikdan X, bunda tenglama haqiqiy sonli tenglikka aylanadi tenglamaning ildizi(yoki uning qarori). Tenglamani yeching - bu uning ko'plab ildizlarini topishni anglatadi.

Demak, tenglamaning ildizi 4x = 5x+ 2, agar biz uni to'plamda ko'rib chiqsak R haqiqiy sonlar soni -2. Bu tenglama boshqa ildizlarga ega emas. Bu uning ildizlari to'plami (-2) ekanligini anglatadi.

Haqiqiy sonlar to'plamiga tenglama berilsin ( X - 1)(x+ 2) = 0. Uning ikkita ildizi bor - 1 va -2 raqamlari. Demak, bu tenglamaning ildizlar to‘plami: (-2,-1).

Tenglama (3x + 1)-2 = 6X Haqiqiy sonlar to'plamida aniqlangan + 2 o'zgaruvchining barcha haqiqiy qiymatlari uchun haqiqiy raqamli tenglikka aylanadi X: agar chap tomondagi qavslarni ochsak, biz olamiz 6x + 2 = 6x + 2. Bunday holda, uning ildizi har qanday haqiqiy son, ildizlar to'plami esa barcha haqiqiy sonlar to'plamidir, deymiz.

Tenglama (3x+ 1) 2 = 6 X Haqiqiy sonlar to'plamida aniqlangan + 1 hech qanday haqiqiy qiymat uchun haqiqiy raqamli tenglikka aylanmaydi X: chap tomondagi qavslarni ochganimizdan so'ng biz 6 ni olamiz X + 2 = 6x + 1, bu hech kim bilan mumkin emas X. Bunday holda, berilgan tenglamaning ildizlari yo'q va uning ildizlari to'plami bo'sh deb aytamiz.

Har qanday tenglamani yechish uchun avval uni boshqa, oddiyroq bilan almashtirib o'zgartiriladi; hosil bo'lgan tenglama yana o'zgartiriladi, uni oddiyroq bilan almashtiradi va hokazo. Bu jarayon ildizlari ma'lum usulda topilishi mumkin bo'lgan tenglama olinmaguncha davom ettiriladi. Ammo bu ildizlar berilgan tenglamaning ildizi bo'lishi uchun transformatsiya jarayonida ildizlar to'plami mos keladigan tenglamalar hosil bo'lishi kerak. Bunday tenglamalar deyiladi ekvivalent.

Sinf: 7

№1 dars.

Dars turi: o`tilgan materialni mustahkamlash.

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy:

• noma’lum tenglamani ekvivalentlik xossalaridan foydalanib chiziqli tenglamaga keltirish yo‘li bilan yechish malakasini shakllantirish.

Tarbiyaviy:

• fikrning ravshanligi va aniqligini, mantiqiy fikrlashni, algoritmik madaniyat elementlarini shakllantirish;
• matematik nutqni rivojlantirish;
• e'tibor, xotirani rivojlantirish;
• o'z-o'zini sinab ko'rish va o'zaro test qilish ko'nikmalarini shakllantirish.

Tarbiyaviy:

• kuchli irodali fazilatlarni shakllantirish;
• muloqot qobiliyatlarini shakllantirish;
• yutuqlaringizni ob'ektiv baholashni ishlab chiqish;
• mas'uliyatni shakllantirish.

Uskunalar: interfaol doska, flomaster uchun doska, mustaqil ish uchun topshiriqlar yozilgan kartochkalar, past natijali o`quvchilar uchun bilimlarni to`g`rilash kartochkalari, darslik, ishchi daftar, uy vazifasi uchun daftar, mustaqil ish uchun daftar.

Darslar davomida

2. Uy vazifasini tekshirish – 4 min.

Talabalar uy vazifasini tekshiradilar, uning yechimi doskaning orqa tomoniga talabalardan biri tomonidan yoziladi.

3. Og'zaki ish – 6 min.

(1) Og'zaki hisoblash davom etayotganda, past natijalarga erishgan talabalar oladi bilimlarni tuzatish kartasi va namunaga muvofiq 1), 2), 4) va 6) topshiriqlarni bajaring. (Sm. 1-ilova.)

Bilimlarni tuzatish uchun karta.

(2) Boshqa talabalar uchun vazifalar interfaol doskaga proektsiyalanadi: (Qarang. Taqdimot: Slayd 2)

1. Yulduzcha o'rniga "+" yoki "-" belgisini qo'ying va nuqta o'rniga raqamlarni qo'ying:
   a) (*5)+(*7) = 2;
   b) (*8) – (*8) = (*4)–12;
   c) (*9) + (*4) = –5;
   d) (–15) ​​– (*…) = 0;
   e) (*8) + (*…) = –12;
   f) (*10) – (*…) = 12.
2. Tenglamaga ekvivalent tenglamalarni yozing:
   A) x – 7 = 5;
   b) 2x – 4 = 0;
   c) x –11 = x – 7;
   d) 2(x –12) = 2x – 24.

3. Mantiqiy muammo: Vika, Natasha va Lena do'konda karam, olma va sabzi sotib oldilar. Har kim turli xil mahsulotlarni sotib oldi. Vika sabzavot sotib oldi, Natasha olma yoki sabzi sotib oldi, Lena sabzavot bo'lmagan sotib oldi. Kim nima sotib oldi? (Topshiriqni bajargan o‘quvchilardan biri doskaga chiqadi va jadvalni to‘ldiradi.) (3-slayd)

	Vika	Natasha	Lena
TO
I
M

Jadvalni to'ldiring

	Vika	Natasha	Lena
TO	+	–	–
I	–	–	+
M	–	+	–

4. Tenglamalarni chiziqli tenglamaga keltirish orqali yechish qobiliyatini umumlashtirish – 9 min.

Sinf bilan guruhda ishlash. (4-slayd)

Keling, tenglamani yechamiz

12 – (4x – 18) = (36 + 5x) + (28 – 6x). (1)

Buning uchun biz quyidagi o'zgarishlarni amalga oshiramiz:

1. Qavslarni ochamiz. Qavslar oldida ortiqcha belgisi mavjud bo'lsa, qavslar ichiga olingan har bir atamaning belgisini saqlab, qavslar qoldirilishi mumkin. Qavslar oldida minus belgisi mavjud bo'lsa, qavslar ichiga olingan har bir atamaning belgisini o'zgartirish orqali qavslarni olib tashlash mumkin:

12 - 4x + 18 = 36 + 5x + 28 - 6x. (2)

(2) va (1) tenglamalar ekvivalentdir:

2. Belgilari qarama-qarshi bo'lgan noma'lum atamalarni tenglamaning faqat bir tomonida (chapda yoki o'ngda) bo'lishi uchun harakatlantiramiz. Shu bilan birga, biz qarama-qarshi belgilar bilan ma'lum bo'lgan atamalarni tenglamaning faqat boshqa qismida bo'lishi uchun harakatlantiramiz.

Masalan, qarama-qarshi belgili noma'lum atamalarni tenglamaning chap tomoniga, ma'lumlarini esa o'ng tomoniga o'tkazamiz, keyin tenglamani olamiz.

– 4x – 5x + 6x = 36 + 28 – 18 - 12, (3)

tenglamaga teng (2) , va shuning uchun tenglama (1) .

3. Keling, shunga o'xshash atamalarni ko'rib chiqaylik:

–3x = 34. (4)

Tenglama (4) tenglamaga teng (3) , va shuning uchun tenglama (1) .

4. Keling, tenglamaning ikkala tomonini ajratamiz (4) noma'lum koeffitsienti bo'yicha.

Olingan tenglama x =(4) tenglamaga, shuning uchun (3), (2), (1) tenglamalarga ekvivalent bo'ladi.

Shuning uchun (1) tenglamaning ildizi son bo'ladi

Ushbu sxema (algoritm) yordamida biz bugungi darsda tenglamalarni yechamiz:

1. Qavslarni oching.
2. Noma’lumlarni o‘z ichiga olgan hadlarni tenglamaning bir tomoniga, qolgan hadlarini esa boshqa tomoniga qo‘ying.
3. O'xshash a'zolarni bering.
4. Tenglamaning ikkala tomonini noma'lum koeffitsientga bo'ling.

Eslatma: Shuni ta'kidlash kerakki, yuqoridagi diagramma majburiy emas, chunki ko'pincha ko'rsatilgan qadamlarning ba'zilari keraksiz bo'lgan tenglamalar mavjud. Boshqa tenglamalarni echishda, masalan, tenglamada bo'lgani kabi, ushbu sxemadan chetga chiqish osonroq bo'lishi mumkin:

7(x – 2) = 42.

5. Mashq qilish mashqlari – 8 min.

№ 132 (a, d), 135 (a, d), 138 (b, d)– izoh va doskadagi eslatma bilan.

6. Mustaqil ish – 14 min.(mustaqil ish uchun daftarlarda bajariladi, keyin o‘zaro nazorat o‘tkaziladi; javoblar interfaol doskada ko‘rsatiladi)

Mustaqil ishlashdan oldin talabalarga taklif qilinadi epchillik vazifasi - 2 min.

Qalamni qog'ozdan ko'tarmasdan yoki chiziqning bir xil qismidan ikki marta o'tmasdan, bosilgan xatni torting. (5-slayd)

(Talabalar plastik varaqlar va markerlardan foydalanadilar.)

1. Tenglamalarni yeching (kartalarda) (Qarang. 2-ilova)

Qo'shimcha vazifa raqami.135 (b, c).

7. Darsni yakunlash – 1 min.

Tenglamani chiziqli tenglamaga keltirish algoritmi.

8. Uyga vazifa xabari – 2 min.

6-band, No 136 (a-d), 240 (a), 243 (a, b), 224-moddalar.(Uyga vazifa mazmunini tushuntiring).

№2 dars.

Dars maqsadlari:

Tarbiyaviy:

• qoidalarni takrorlash, o‘quvchilarning chiziqli tenglamalarni yechish bo‘yicha bilimlarini tizimlashtirish, chuqurlashtirish va kengaytirish;
• tenglamalarni turli usullarda yechishda olingan bilimlarni qo‘llash qobiliyatini rivojlantirish.

Tarbiyaviy:

• intellektual qobiliyatlarni rivojlantirish: tenglamani yechish algoritmini tahlil qilish, tenglamani yechish algoritmini tuzishda mantiqiy fikrlash, yechish usulini tanlashda o‘zgaruvchanlik, tenglamalarni yechish usullari bilan tizimlashtirish;
• matematik nutqni rivojlantirish;
• vizual xotirani rivojlantirish.

Tarbiyaviy:

• kognitiv faollikni tarbiyalash;
• o'z-o'zini nazorat qilish, o'zaro nazorat va o'zini o'zi qadrlash ko'nikmalarini rivojlantirish;
• mas'uliyat va o'zaro yordam tuyg'usini tarbiyalash;
• aniqlik va matematik savodxonlikni singdirish;
• do‘stlik, xushmuomalalik, tartib-intizom, mas’uliyat hissini tarbiyalash;
• Salomatlikni tejash.

a) tarbiyaviy: qoidalarni takrorlash, tizimlashtirish, chiziqli tenglamalarni echish bo'yicha talabalar bilimlarini chuqurlashtirish va kengaytirish;

b) rivojlantiruvchi: fikrlash, xotira, e'tibor va aqlning moslashuvchanligini rivojlantirish;

v) tarbiyaviy: fanga va ona yurt tarixiga qiziqish uyg'otish.

Uskunalar: interfaol doska, signal kartalari (yashil va qizil), test ishi yozilgan varaqlar, darslik, ishchi daftar, uy vazifasi uchun daftar, mustaqil ish uchun daftar.

Ish shakli: individual, jamoaviy.

Darslar davomida

1. Tashkiliy vaqt – 1 min.

Talabalar bilan salomlashish, ularning darsga tayyorligini tekshirish, dars mavzusi va dars maqsadini e’lon qilish.

2. Og'zaki ish – 10 min.

(Interfaol doskada aqliy hisoblash uchun topshiriqlar ko'rsatiladi.)(6-slayd)

1) Muammolarni hal qilish:

a) Onasi qizidan 22 yosh katta. Agar ular 46 yoshda bo'lsa, onam necha yoshda?
b) Oilada uchta aka-uka bor va ularning har biri avvalgisidan yarmi kichik. Hamma birodarlar birgalikda 21 yoshda. Hamma necha yoshda?

2) Tenglamalarni yeching:(tushuntirish)

4) Qiyinchilik tug'dirgan uy vazifalarini tushuntiring.

3. Mashqlarni bajarish – 10 min. (8-slayd)

(1) Tenglamaning ildizi qanday tengsizlikni qanoatlantiradi:

a) x > 1;
b) x< 0;
c) x > 0;
d) x< –1.

(2) Ifodaning qaysi qiymatida da ifoda qiymati 2u – 4 ifoda qiymatidan 5 marta kam 5y - 10?

(3) Qanday qiymatda k tenglama kx – 9 = 0 ildizi 2 ga teng?

Qarang va eslab qoling (7 soniya). (9-slayd)

30 soniyadan so'ng o'quvchilar chizilgan rasmni plastik varaqlarda takrorlaydilar.

4. Jismoniy tarbiya mashg'uloti – 1,5 min.

Ko'zlar va qo'llar uchun mashq

(Talabalar interfaol doskada aks ettirilgan mashqlarni tomosha qiladilar va takrorlaydilar.)

5. Mustaqil test ishi – 15 min.

(Talabalar mustaqil ishlash uchun daftarlarida test ishini bajaradilar, javoblarni ish daftarlarida takrorlaydilar. Testlarni topshirgandan so'ng, o'quvchilar doskada ko'rsatilgan javoblar bilan javoblarni tekshiradilar)

Ishni tugatgan talabalar birinchi navbatda yomon o'qiyotgan o'quvchilarga yordam berishadi.

6. Darsni yakunlash – 2 min.

– Bitta o‘zgaruvchiga ega bo‘lgan qaysi tenglama chiziqli deyiladi?

– Tenglamaning ildizi nima deyiladi?

– “Tenglamani yechish” nimani anglatadi?

– Tenglama nechta ildizga ega bo‘lishi mumkin?

7. Uyga vazifa xabari. - 1 min.

6-band, № 294 (a, b), 244, 241 (a, c), 240 (d) - A, B darajasi

6-band, № 244, 241(b, c), 243(c), 239, 237– C darajasi

(Uyga vazifa mazmunini tushuntiring.)

8. Fikrlash – 0,5 min.

– Sinfdagi ishingizdan qoniqasizmi?

- Dars davomida qaysi turdagi faoliyat sizga ko'proq yoqdi?

Adabiyot:

1. Algebra 7. / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Peshkov, S.V. Suvorov. tomonidan tahrirlangan S.A. Telyakovskiy./ M.: Ta'lim, 1989 - 2006.
2. Tematik va yakuniy nazorat uchun test topshiriqlari to'plami. Algebra 7-sinf/ Guseva I.L., Pushkin S.A., Rybakova N.V.. Umumiy tahrir: Tatur A.O.– M.: “Intellekt-markaz” 2009 yil – 160 b.
3. Algebra darsini rejalashtirish. / T.N. Erina. O'qituvchilar uchun qo'llanma / M: nashriyot. “Imtihon”, 2008. – 302, b.
4. 7-sinf uchun matematika bo'yicha bilimlarni tuzatish uchun kartalar./ Levitas G.G./M.: Ilexa, 2000. – 56 b.

Chiziqli tenglamalarni yechishda biz ildizni, ya'ni tenglamani to'g'ri tenglikka aylantiradigan o'zgaruvchining qiymatini topishga harakat qilamiz.

Tenglamaning ildizini topish uchun sizga kerak ekvivalent transformatsiyalar bizga berilgan tenglamani shaklga keltiradi

\(x=[raqam]\)

Bu raqam ildiz bo'ladi.

Ya'ni, biz tenglamani o'zgartiramiz, uni har bir qadamda soddalashtiramiz, uni ildizi aniq bo'lgan "x = raqam" butunlay ibtidoiy tenglamaga keltirmaguncha. Chiziqli tenglamalarni echishda eng ko'p qo'llaniladigan transformatsiyalar quyidagilar:

Masalan: tenglamaning ikkala tomoniga \(5\) qo'shing \(6x-5=1\)

\(6x-5=1\) \(|+5\)
\(6x-5+5=1+5\)
\(6x=6\)

Shuni esda tutingki, biz tenglamaning boshqa tomoniga beshlikni yozib, uning belgisini o'zgartirsak, xuddi shunday natijani tezroq olishimiz mumkin. Darhaqiqat, maktab "tenglar orqali ishorani teskarisiga o'tkazish" aynan shunday amalga oshiriladi.

2. Tenglamaning ikkala tomonini bir xil son yoki ifodaga ko‘paytirish yoki bo‘lish.

Masalan: \(-2x=8\) tenglamani minus ikkiga bo'ling

\(-2x=8\) \(|:(-2)\)
\(x=-4\)

Odatda bu qadam eng oxirida, tenglama allaqachon \(ax=b\) ko'rinishiga tushirilganda amalga oshiriladi va biz uni chapdan olib tashlash uchun \(a\) ga bo'lamiz.

3. Matematikaning xossalari va qonunlaridan foydalanish: qavs ochish, o‘xshash atamalarni keltirish, kasrlarni kamaytirish va hokazo.

Chapga va o'ngga \(2x\) qo'shing

Tenglamaning har ikki tomonidan \(24\) ayirilsin

Biz yana shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz

Endi biz tenglamani \(-3\) ga bo'lamiz, shu bilan chap tomondagi oldingi X ni olib tashlaymiz.

Javob : \(7\)

Javob topildi. Biroq, keling, buni tekshirib ko'raylik. Agar ettita haqiqatan ham ildiz bo'lsa, uni asl tenglamada X o'rniga almashtirganda, to'g'ri tenglikni olish kerak - chap va o'ngdagi bir xil raqamlar. Kel urinib ko'ramiz.

Imtihon:
\(6(4-7)+7=3-2\cdot7\)
\(6\cdot(-3)+7=3-14\)
\(-18+7=-11\)
\(-11=-11\)

Bu amalga oshdi. Bu shuni anglatadiki, ettita haqiqatan ham asl chiziqli tenglamaning ildizidir.

O'zgartirish orqali topilgan javoblarni tekshirishga dangasa bo'lmang, ayniqsa siz test yoki imtihonda tenglamani yechayotgan bo'lsangiz.

Savol qoladi - keyingi bosqichda tenglama bilan nima qilish kerakligini qanday aniqlash mumkin? Uni qanday qilib aniq aylantirish mumkin? Biror narsaga bo'linadimi? Yoki ayirishmi? Va aniq nimani ayirishim kerak? Nimaga bo'linadi?

Javob oddiy:

Sizning maqsadingiz tenglamani \(x=[son]\ ko'rinishiga keltirishdir, ya'ni chap tomonda koeffitsientsiz va raqamlarsiz x, o'ngda esa faqat o'zgaruvchisiz son. Shuning uchun, sizni nima to'xtatayotganiga qarang va aralashuvchi komponentning teskarisini bajaring.

Buni yaxshiroq tushunish uchun \(x+3=13-4x\) chiziqli tenglamaning yechimini bosqichma-bosqich ko'rib chiqamiz.

O'ylab ko'raylik: bu tenglama \(x=[son]\) dan qanday farq qiladi? Bizni nima to'xtatmoqda? Nima bo'ldi?

Birinchidan, uchtasi aralashadi, chunki chap tomonda raqamlarsiz faqat bitta X bo'lishi kerak. "Troyka" nima qiladi? Qo'shilgan X ga. Shunday qilib, uni olib tashlash uchun - ayirish bir xil uchta. Ammo chap tomondagi uchtani ayiradigan bo'lsak, tenglik buzilmasligi uchun uni o'ngdan ayirishimiz kerak.

\(x+3=13-4x\) \(|-3\)
\(x+3-3=13-4x-3\)
\(x=10-4x\)

Yaxshi. Endi sizni nima to'xtatmoqda? O'ngda \(4x\), chunki u erda faqat raqamlar bo'lishi kerak. \(4x\) chegirib tashlangan- olib tashlaymiz qo'shish orqali.

\(x=10-4x\) \(|+4x\)
\(x+4x=10-4x+4x\)

Endi biz chap va o'ngda shunga o'xshash atamalarni taqdim etamiz.

Bu deyarli tayyor. Chapdagi beshtasini olib tashlash qoladi. U nima ish qiladi"? Ko'payadi x ustida. Shunday qilib, uni olib tashlaymiz bo'linish.

\(5x=10\) \(|:5\)
\(\frac(5x)(5)\) \(=\)\(\frac(10)(5)\)
\(x=2\)

Yechim tugallangan, tenglamaning ildizi ikkitadir. Siz almashtirish orqali tekshirishingiz mumkin.

e'tibor bering, bu ko'pincha chiziqli tenglamalarda faqat bitta ildiz mavjud. Biroq, ikkita alohida holat bo'lishi mumkin.

Maxsus holat 1 - chiziqli tenglamada ildiz yo'q.

Misol . \(3x-1=2(x+3)+x\) tenglamasini yeching.

Yechim :

Javob : ildiz yo'q.

Darhaqiqat, bunday natijaga erishishimiz ilgari \(3x-1=3x+6\) olganimizda ham ko'rinardi. O'ylab ko'ring: biz ayirgan \(1\) va \(6\) qo'shgan \(3x\) \(3x\) qanday teng bo'lishi mumkin? Shubhasiz, yo'q, chunki ular bir xil narsa bilan turli xil ishlarni qilishgan! Natijalar har xil bo'lishi aniq.

Maxsus holat 2 - chiziqli tenglama cheksiz ko'p ildizlarga ega.

Misol . \(8(x+2)-4=12x-4(x-3)\) chiziqli tenglamani yeching.

Yechim :

Javob : har qanday raqam.

Bu, darvoqe, bundan oldinroq, bosqichda sezilgan edi: \(8x+12=8x+12\). Darhaqiqat, chap va o'ng bir xil iboralardir. Qaysi X-ni almashtirsangiz, u erda ham, u erda ham bir xil raqam bo'ladi.

Murakkab chiziqli tenglamalar.

Asl tenglama har doim ham darhol chiziqli tenglamaga o'xshamaydi; ba'zida u boshqa, murakkabroq tenglamalar kabi "maskalangan". Biroq, transformatsiya jarayonida niqob yo'qoladi.

Misol . \(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\) tenglamaning ildizini toping.

Yechim :

\(2x^(2)-(x-4)^(2)=(3+x)^(2)-15\)		Bu erda x kvadrati borga o'xshaydi - bu chiziqli tenglama emas! Lekin shoshmang. Keling, murojaat qilaylik
\(2x^(2)-(x^(2)-8x+16)=9+6x+x^(2)-15\)		Nima uchun kengaytirish natijasi \((x-4)^(2)\) qavs ichida, lekin natija \((3+x)^(2)\) emas? Chunki birinchi kvadrat oldida minus bor, bu barcha belgilarni o'zgartiradi. Va bu haqda unutmaslik uchun biz hozir ochadigan qavs ichida natijani olamiz.
\(2x^(2)-x^(2)+8x-16=9+6x+x^(2)-15\)		Biz shunga o'xshash shartlarni taqdim etamiz
\(x^(2)+8x-16=x^(2)+6x-6\)
\(x^(2)-x^(2)+8x-6x=-6+16\)		Shunga o'xshash narsalarni yana taqdim etamiz.
		Mana bunday. Ma'lum bo'lishicha, dastlabki tenglama juda chiziqli va X kvadrati bizni chalg'itadigan ekrandan boshqa narsa emas. :) Tenglamani \(2\) ga bo'lish orqali yechimni yakunlaymiz va javobni olamiz.

Javob : \(x=5\)

Misol . \(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6) chiziqli tenglamani yeching. )\)

Yechim :

\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\)		Tenglama chiziqli ko'rinmaydi, bu qandaydir kasrlar ... Biroq, keling, tenglamaning ikkala tomonini hammaning umumiy maxrajiga ko'paytirish orqali maxrajlardan xalos bo'laylik - oltita
\(6\cdot\)\((\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(\frac(1)(3))\) \(=\) \(\frac( 9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Chapdagi qavsni kengaytiring
\(6\cdot\)\(\frac(x+2)(2)\) \(-\) \(6\cdot\)\(\frac(1)(3)\) \(=\) \(\frac(9+7x)(6)\) \(\cdot 6\)		Endi maxrajlarni kamaytiramiz
\(3(x+2)-2=9+7x\)		Endi u oddiy chiziqliga o'xshaydi! Keling, tugatamiz.
		Tenglar orqali tarjima qilish orqali biz o'ng tomonda X va chap tomonda raqamlarni yig'amiz
		Xo'sh, o'ng va chap tomonlarni \(-4\) ga bo'lib, biz javobni olamiz

Javob : \(x=-1,25\)

Avval siz nima ekanligini tushunishingiz kerak.

Oddiy ta'rif mavjud chiziqli tenglama, bu oddiy maktabda berilgan: "o'zgaruvchi faqat birinchi darajali bo'lgan tenglama". Ammo bu mutlaqo to'g'ri emas: tenglama chiziqli emas, hatto bunga kamaymaydi, kvadratikga tushadi.

Aniqroq ta'rif: chiziqli tenglama dan foydalanadigan tenglamadir ekvivalent transformatsiyalar shakliga qisqartirilishi mumkin, bu erda title="a,b bbRda, ~a0)">. На деле мы будем приводить это уравнение к виду путём переноса в правую часть и деления обеих частей уравнения на . Осталось разъяснить, какие уравнения и как мы можем привести к такому виду, и, самое главное, что дальше делать с ними, чтобы решить его.!}

Aslida, tenglamaning chiziqli yoki chiziqli emasligini tushunish uchun uni birinchi navbatda soddalashtirish kerak, ya'ni uning tasnifi bir ma'noli bo'ladigan shaklga keltirilishi kerak. Esingizda bo'lsin, tenglama o'z ildizlarini o'zgartirmasa, siz xohlagan narsani qilishingiz mumkin - bu shunday. ekvivalent konvertatsiya. Eng oddiy ekvivalent transformatsiyalar quyidagilarni o'z ichiga oladi:

1. qavslarni ochish
2. o'xshash olib kelish
3. tenglamaning ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan songa ko'paytirish va/yoki bo'lish
4. bir xil son yoki ifodaning ikkala tomonini qo'shish va/yoki ayirish*

Siz ushbu o'zgarishlarni og'riqsiz bajarishingiz mumkin, siz tenglikni "buzasizmi" yoki yo'qmi deb o'ylamasdan.
*Oxirgi transformatsiyaning o'ziga xos talqini - bu belgining o'zgarishi bilan atamalarni bir qismdan ikkinchisiga "ko'chirish".

1-misol:
(qavslarni ochamiz)
(har ikkala qismga qo'shing va chapga raqamning belgisini va o'ngdagi o'zgaruvchilarni o'zgartirib ayirish/ko'chirish)
(Keling, shunga o'xshashlarni beraylik)
(tenglamaning ikkala tomonini 3 ga bo'ling)

Shunday qilib, biz asl ildizga ega bo'lgan tenglamani olamiz. O‘quvchiga shuni eslatib o‘tamiz "Tenglamani yechish"- uning barcha ildizlarini topish va boshqalar yo'qligini isbotlashni anglatadi va "tenglamaning ildizi"- bu noma'lum o'rniga qo'yilganda tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiradigan raqam. Xo'sh, oxirgi tenglamada tenglamani haqiqiy tenglikka aylantiradigan raqamni topish juda oddiy - bu raqam. Boshqa hech qanday raqam bu tenglamadan identifikatsiya qilmaydi. Javob:

2-misol:
(tenglamaning ikkala tomonini ga ko'paytiring , : title="x3/2) ga ko'paytirmasligimizga ishonch hosil qilganimizdan so'ng"> и title="x3">. То есть если такие корни получатся, то мы их обязаны будем выкинуть.)!}
(qavslarni ochamiz)
(shartlarni o'zgartiramiz)
(Keling, shunga o'xshashlarni beraylik)
(biz ikkala qismni ga ajratamiz)

Barcha chiziqli tenglamalar taxminan shunday echiladi. Yosh o'quvchilar uchun, ehtimol, bu tushuntirish murakkab bo'lib tuyuldi, shuning uchun biz versiyani taklif qilamiz "5-sinf uchun chiziqli tenglamalar"

Ushbu darsda siz chiziqli tenglamalarni echishni o'rganasiz va chiziqli tenglamalarni echishni OSONroq qilish uchun ikki turdagi transformatsiyalarni qanday amalga oshirishni tushunasiz!

Har bir do'st nechta olma oldi?

Har birimiz ikkilanmasdan javob beramiz: "Har bir do'stga olma bor".

Ammo endi men sizga bu haqda o'ylashni taklif qilaman ... Ha, ha. Ma'lum bo'lishicha, bunday oddiy savolga javob berayotganda, siz o'z boshingizda qaror qilasiz chiziqli tenglama!

yoki og'zaki - uchta do'stga Vasyaning barcha olmalari bo'lganligi sababli olma berildi.

Va endi siz allaqachon qaror qildingiz chiziqli tenglama.

Endi bu atamaga matematik ta’rif beramiz.

"chiziqli tenglamalar" nima?

Chiziqli tenglama - ga teng bo'lgan algebraik tenglama bo'lib, uni tashkil etuvchi ko'phadlarning umumiy darajasi. Bu shunday ko'rinadi:

Qayerda va har qanday raqamlar va

Vasya va olma bilan bog'liq ishimiz uchun biz yozamiz:

- "Agar Vasya uchta do'stiga bir xil miqdordagi olma bersa, unda olma qolmaydi"

"Yashirin" chiziqli tenglamalar yoki identifikatsiya o'zgarishlarining ahamiyati

Bir qarashda hamma narsa juda oddiy bo'lishiga qaramay, tenglamalarni echishda ehtiyot bo'lish kerak, chunki chiziqli tenglamalar nafaqat shakldagi tenglamalar, balki o'zgartiradigan va soddalashtiradigan har qanday tenglamalar deb ataladi. bu turga tushing.

Masalan:

Biz o'ng tomonda nima borligini ko'ramiz, bu nazariy jihatdan allaqachon tenglama chiziqli emasligini ko'rsatadi.

Bundan tashqari, agar biz qavslarni ochsak, biz yana ikkita atama olamiz, lekin xulosa chiqarishga shoshilmang!

Tenglamaning chiziqli ekanligini aniqlashdan oldin, barcha o'zgarishlarni amalga oshirish va shu bilan asl misolni soddalashtirish kerak.

Bunday holda, transformatsiyalar tashqi ko'rinishini o'zgartirishi mumkin, lekin tenglamaning mohiyatini emas.

Boshqacha qilib aytganda, transformatsiya ma'lumotlari bo'lishi kerak bir xil yoki ekvivalent.

Bunday o'zgarishlar faqat ikkitadir, ammo ular muammolarni hal qilishda juda va JUDA muhim rol o'ynaydi. Keling, aniq misollar yordamida ikkala transformatsiyani ko'rib chiqaylik.

Chapga - o'ngga o'tkazing.

Aytaylik, quyidagi tenglamani yechishimiz kerak:

Hatto boshlang'ich maktabda ham bizga: "X bilan - chapga, X harfisiz - o'ngga" deb aytishgan.

X bilan qanday ifoda o'ng tomonda?

To'g'ri, lekin qanday qilib emas.

Va bu juda muhim, chunki agar bu oddiy ko'rinadigan savol noto'g'ri tushunilsa, noto'g'ri javob chiqadi.

X bilan qanday ifoda chap tomonda joylashgan?

To'g'ri, .

Endi biz buni tushunganimizdan so'ng, biz noma'lum bo'lgan barcha atamalarni chap tomonga, ma'lum bo'lgan barcha narsalarni esa o'ng tomonga o'tkazamiz.

Va esda tutingki, agar raqam oldida hech qanday belgi bo'lmasa, masalan, raqam ijobiydir, ya'ni uning oldida "" belgisi mavjud.

Oʻtkazildimi? Nima oldingiz?

Faqat shunga o'xshash shartlarni olib kelish kerak. Biz taqdim etamiz:

Shunday qilib, biz birinchi o'xshash o'zgarishlarni muvaffaqiyatli tahlil qildik, garchi siz buni bilganingizga va mensiz faol foydalanganingizga aminman.

Asosiysi, raqamlar va belgilar haqida unutmang teng belgisi orqali tarjima qilganda ularni teskarisiga o'zgartiring!

Ko'paytirish - bo'lish.

Keling, darhol misol bilan boshlaylik

Keling, ko'rib chiqaylik va o'ylab ko'raylik: bu misol bizga nima yoqmaydi?

Noma'lum narsa bir tomonda, ma'lum boshqa joyda, lekin nimadir bizni to'xtatmoqda ...

Va bu to'rtlik, chunki u bo'lmaganida hamma narsa mukammal bo'lar edi - x raqamga teng - bizga kerak bo'lgan tarzda!

Undan qanday qutulish mumkin?

Biz uni o'ngga siljita olmaymiz, chunki keyin biz butun multiplikatorni ko'chirishimiz kerak (biz uni olib, undan yirtib tashlay olmaymiz) va butun multiplikatorni ko'chirish ham mantiqiy emas ...

Bo'linish haqida eslash vaqti keldi, shuning uchun hamma narsani taqsimlaylik!

Hamma narsa - bu chap va o'ng tomonni anglatadi. Bu yo'l va faqat shu tarzda!

Biz nima qilyapmiz?

Mana javob.

Endi boshqa misolni ko'rib chiqamiz:

Bu holatda nima qilish kerakligini taxmin qila olasizmi? To'g'ri, chap va o'ng tomonlarni ko'paytiring! Qanday javob oldingiz? To'g'ri. .

Shubhasiz, siz shaxsni o'zgartirish haqida hamma narsani bilgansiz. O'ylab ko'ringki, biz bu bilimlarni xotirangizda yangilab oldik va endi yana bir narsaga vaqt keldi - Masalan, bizning katta misolimizni hal qilish uchun:

Yuqorida aytib o'tganimizdek, unga qarab, bu tenglama chiziqli deb ayta olmaysiz, lekin biz qavslarni ochib, bir xil o'zgarishlarni amalga oshirishimiz kerak. Shunday ekan, boshlaylik!

Boshlash uchun biz qisqartirilgan ko'paytirish uchun formulalarni, xususan, yig'indining kvadratini va farqning kvadratini eslaymiz. Agar bu nima ekanligini va qavslar qanday ochilganini eslamasangiz, men mavzuni o'qishni qat'iy tavsiya qilaman, chunki bu ko'nikmalar imtihonda duch kelgan deyarli barcha misollarni echishda siz uchun foydali bo'ladi.
Ochilganmi? Keling, taqqoslaylik:

Endi shunga o'xshash shartlarni keltirish vaqti keldi. O'sha boshlang'ich sinflarda ular bizga "pashsha va kotletlarni birlashtirmanglar" deb aytganlarini eslaysizmi? Mana buni sizga eslataman. Biz hamma narsani alohida-alohida qo'shamiz - mavjud bo'lgan omillar, mavjud bo'lgan omillar va noma'lumlari bo'lmagan qolgan omillar. Shunga o'xshash atamalarni keltirganingizda, barcha noma'lumlarni chapga va hamma ma'lumlarni o'ngga siljiting. Nima oldingiz?

Ko'rib turganingizdek, kvadratdagi X belgilari yo'qoldi va biz butunlay normal narsani ko'ramiz. chiziqli tenglama. Faqat uni topish qoladi!

Va nihoyat, identifikatsiya o'zgarishlari haqida yana bir muhim narsani aytaman - identifikatsiyani o'zgartirish nafaqat chiziqli tenglamalar uchun, balki kvadratik, kasr ratsional va boshqalar uchun ham qo'llaniladi. Shuni yodda tutish kerakki, omillarni tenglik belgisi orqali o'tkazganimizda, biz ishorani qarama-qarshi tomonga o'zgartiramiz va qandaydir songa bo'lish yoki ko'paytirishda biz tenglamaning har ikki tomonini BUCHUN songa ko'paytiramiz/bo'lamiz.

Bu misoldan yana nimani olib tashladingiz? Tenglamaga qarab, uning chiziqli yoki yo'qligini to'g'ridan-to'g'ri va aniq aniqlash har doim ham mumkin emas. Avval ifodani to'liq soddalashtirish kerak va shundan keyingina uning nima ekanligini hukm qilish kerak.

Chiziqli tenglamalar. 3 ta misol

O'zingiz mashq qilishingiz uchun yana bir nechta misollar - tenglama chiziqli yoki yo'qligini aniqlang va agar shunday bo'lsa, uning ildizlarini toping:

Javoblar:

1. Bu.

2. Emas.

Qavslarni ochib, shunga o'xshash atamalarni keltiramiz:

Keling, bir xil konvertatsiya qilaylik - chap va o'ng tomonlarni quyidagilarga bo'ling:

Biz tenglama chiziqli emasligini ko'ramiz, shuning uchun uning ildizlarini izlashning hojati yo'q.

3. Bu.

Keling, bir xil o'zgartirishni amalga oshiramiz - maxrajdan xalos bo'lish uchun chap va o'ng tomonlarni ko'paytiramiz.

O'ylab ko'ring, nima uchun bu juda muhim? Agar siz ushbu savolga javobni bilsangiz, tenglamani keyingi yechishga o'ting, agar bo'lmasa, murakkabroq misollarda xatolikka yo'l qo'ymaslik uchun mavzuni ko'rib chiqing. Aytgancha, siz ko'rib turganingizdek, vaziyat mumkin emas. Nega?
Shunday qilib, keling, tenglamani qayta tashkil qilaylik:

Agar siz hamma narsani qiyinchiliksiz boshqargan bo'lsangiz, keling, ikkita o'zgaruvchiga ega chiziqli tenglamalar haqida gapiraylik.

Ikki o'zgaruvchili chiziqli tenglamalar

Endi biroz murakkabroq - ikkita o'zgaruvchili chiziqli tenglamalarga o'tamiz.

Chiziqli tenglamalar ikki o'zgaruvchi bilan quyidagi shaklga ega:

Qaerda, va - har qanday raqamlar va.

Ko'rib turganingizdek, yagona farq tenglamaga boshqa o'zgaruvchining qo'shilishidir. Shunday qilib, hamma narsa bir xil - x kvadrati yo'q, o'zgaruvchiga bo'linish yo'q va hokazo. va h.k.

Sizga qanday hayotiy misol keltira olaman...

Keling, xuddi shu Vasyani olaylik. Aytaylik, u 3 ta do'stning har biriga bir xil miqdorda olma berishni va olmalarni o'zi uchun saqlashga qaror qildi.

Vasya har bir do'stiga olma bersa, qancha olma sotib olishi kerak? Nima haqida? Agar bo'lsa-chi?

Har bir kishi oladigan olma soni va sotib olinishi kerak bo'lgan olmalarning umumiy soni o'rtasidagi bog'liqlik tenglama bilan ifodalanadi:

• - odam oladigan olma soni (, yoki, yoki);
• - Vasya o'zi uchun oladigan olma soni;
• - Vasya bir kishiga olma sonini hisobga olgan holda qancha olma sotib olishi kerak?

Ushbu muammoni hal qilib, agar Vasya bitta do'stiga olma bersa, u bo'laklarni sotib olishi kerak, agar olma bersa va hokazo.

Va umuman. Bizda ikkita o'zgaruvchi bor.

Nega bu munosabatni grafikda ko'rsatmaslik kerak?

Biz o'zimizning qiymatimizni, ya'ni nuqtalarni koordinatalar bilan quramiz va belgilaymiz va!

Ko'rib turganingizdek, ular bir-biriga bog'liq chiziqli, shuning uchun tenglamalarning nomi - " chiziqli».

Keling, olmalardan mavhumlashtiramiz va turli xil tenglamalarni grafik jihatdan ko'rib chiqamiz.

Tuzilgan ikkita grafikni diqqat bilan ko'rib chiqing - ixtiyoriy funktsiyalar bilan aniqlangan to'g'ri chiziq va parabola:

Ikkala rasmdagi mos nuqtalarni toping va belgilang.
Nima oldingiz?

Siz buni birinchi funktsiyaning grafigida ko'rasiz yolg'iz mos keladi bitta, ya'ni ular ham bir-biriga chiziqli bog'liq bo'lib, ikkinchi funktsiya haqida gapirib bo'lmaydi.

Albatta, siz ikkinchi grafikda x - ham mos keladi, deb bahslashishingiz mumkin, ammo bu faqat bitta nuqta, ya'ni alohida holat, chunki siz hali ham bittadan ko'proq mos keladigan narsani topishingiz mumkin.

Va tuzilgan grafik hech qanday tarzda chiziqqa o'xshamaydi, balki paraboladir.

Yana bir bor takrorlayman: chiziqli tenglamaning grafigi TO'G'RI chiziq bo'lishi kerak.

Agar biz biron bir darajaga borsak, tenglama chiziqli bo'lmaydi - bu parabola misolida aniq, garchi siz o'zingiz uchun yana bir nechta oddiy grafiklarni qurishingiz mumkin, masalan yoki.

Lekin sizni ishontirib aytamanki, ularning hech biri TO'G'RI CHIZIQ bo'lmaydi.

Ishonma? Uni yarating va keyin men olgan narsalar bilan solishtiring:

Agar biror narsani, masalan, qandaydir raqamga ajratsak nima bo'ladi?

Chiziqli munosabatlar bo'ladimi va?

Keling, bahslashmaylik, lekin quraylik! Masalan, funksiya grafigini tuzamiz.

Qandaydir tarzda u to'g'ri chiziq sifatida qurilganga o'xshamaydi ... shunga ko'ra, tenglama chiziqli emas.

Keling, xulosa qilaylik:

1. Chiziqli tenglama - algebraik tenglama bo‘lib, uni tashkil etuvchi ko‘phadlarning umumiy darajasi teng bo‘ladi.
2. Chiziqli tenglama bitta o'zgaruvchi bilan quyidagi shaklga ega:
   , bu yerda va istalgan sonlar;
   Chiziqli tenglama ikkita o'zgaruvchi bilan:
   , qaerda va har qanday sonlar.
3. Tenglama chiziqli yoki chiziqli emasligini darhol aniqlash har doim ham mumkin emas. Ba'zan buni tushunish uchun bir xil o'zgarishlarni amalga oshirish, o'xshash atamalarni chapga/o'ngga siljitish, ishorani o'zgartirishni unutmaslik yoki tenglamaning ikkala tomonini bir xil songa ko'paytirish/bo'lish kerak bo'ladi.

Chiziqli tenglamalar. ASOSIY NARSALAR HAQIDA QISQA

1. Chiziqli tenglama

Bu algebraik tenglama bo'lib, uni tashkil etuvchi polinomlarning umumiy darajasi tengdir.

2. Bitta o‘zgaruvchili chiziqli tenglama shaklga ega:

Qaerda va har qanday raqamlar;

3. Ikki o‘zgaruvchili chiziqli tenglama shaklga ega:

Qaerda, va - har qanday raqamlar.

4. Identifikatsiya o‘zgarishlari

Tenglama chiziqli yoki chiziqli emasligini aniqlash uchun bir xil o'zgarishlarni bajarish kerak:

• o'xshash atamalarni chapga/o'ngga siljiting, belgini o'zgartirishni unutmang;
• tenglamaning ikkala tomonini bir xil songa ko'paytirish/bo'lish.

YouClever talabasi bo'ling,

Yagona davlat imtihoniga yoki matematikadan yagona davlat imtihoniga tayyorlaning,

Shuningdek, YouClever darsligiga cheklovlarsiz kiring...