uy » San'at va ijodkorlik » Perpendikulyar kesma orqali prizmaning hajmi. Prizma nima? Prizmaning umumiy sirt maydoni

Perpendikulyar kesma orqali prizmaning hajmi. Prizma nima? Prizmaning umumiy sirt maydoni

Diagonal kesmalar Prizmaning asos diagonali va unga tutash ikki yon chetlari orqali o'tuvchi tekislik kesimi prizmaning diagonal kesimi deyiladi. Piramidaning tekisligi asosning diagonali va tepasi orqali o'tadigan qismiga piramidaning diagonal kesimi deyiladi. Samolyot piramidani kesib, uning asosiga parallel bo'lsin. Piramidaning bu tekislik va poydevor orasiga o'ralgan qismi kesilgan piramida deyiladi. Piramidaning kesma qismi kesilgan piramidaning asosi deb ham ataladi.

Bo'limlarni qurish Ko'p yuzli kesimlarni qurishda asosiylari to'g'ri chiziq va tekislikning kesishish nuqtasini, shuningdek, ikkita tekislikning kesishish chizig'ini qurishdir. Agar to'g'ri chiziqning ikkita A va B nuqtasi berilgan bo'lsa va ularning tekislikka A' va B' proyeksiyalari ma'lum bo'lsa, to'g'ri chiziq va tekislik ma'lumotlarining kesishish nuqtasi S nuqtasi chiziqlarning kesishish nuqtasi bo'ladi. AB va A'B' Agar tekislikning uchta A, B, C nuqtalari berilgan bo'lsa va ularning boshqa tekislikka proyeksiyalari A', B', C' ma'lum bo'lsa, u holda bu tekisliklarning kesishish chizig'ini topish uchun P nuqtalar olinadi. va AB va AC chiziqlarning ikkinchi tekislik bilan kesishishi Q topildi. PQ to'g'ri chiziq tekisliklarning kerakli kesishish chizig'i bo'ladi.

1-mashq Kubning chetlari va B cho'qqilarida yotgan E, F nuqtalardan o'tuvchi tekislik bilan kubning kesmasini qurish. Kubning E, F va B cho'qqilari orqali o'tuvchi kesmasini qurish uchun E va B, F va B nuqtalarni segmentlar bilan bog'laymiz.E va F nuqtalar orqali mos ravishda BF va BE ga parallel chiziqlar o'tkazamiz. Olingan parallelogramma BFGE kerakli qism bo'ladi.

2-mashq Kub chetlarida yotgan E, F, G nuqtalardan o`tuvchi tekislik bilan kub kesimini yasang. Yechim. Kubning E, F, G nuqtalardan o'tuvchi kesmasini qurish uchun EF to'g'ri chiziqni o'tkazing va uning AD bilan kesishgan nuqtasini P ni belgilang. PG va AB chiziqlarning kesishish nuqtasi Q bilan belgilansin. Keling, E va Q, F va G nuqtalarini bog'laymiz. Hosil bo'lgan trapetsiya EFGQ kerakli kesma bo'ladi.

3-mashq Kub chetlarida yotgan E, F, G nuqtalardan o`tuvchi tekislik bilan kub kesimini yasang. Yechim. Kubning E, F, G nuqtalardan o'tuvchi kesmasini qurish uchun EF to'g'ri chiziqni o'tkazing va uning AD bilan kesishgan nuqtasini P ni belgilang. PG to‘g‘ri chiziqning AB va DC bilan kesishish nuqtalarini Q, R bilan belgilaymiz. FR ning CC 1 bilan kesishish nuqtasini S bilan belgilaymiz. E va Q, G va S nuqtalarni tutashtiramiz. Hosil bo lgan beshburchak EFSGQ kerakli kesma bo ladi.

4-mashq Kub chetlarida yotgan E, F, G nuqtalardan o`tuvchi tekislik bilan kub kesimini yasang. Yechim. Kubning E, F, G nuqtalardan o'tuvchi kesmasini qurish uchun EF to'g'ri chiziq bilan ABCD yuz tekisligining kesishgan P nuqtasini topamiz. PG to‘g‘ri chiziqning AB va CD bilan kesishgan nuqtalarini Q, R bilan belgilaymiz. RF chizig'ini chizing va uning CC 1 va DD 1 bilan kesishgan nuqtalarini S, T ni belgilang. TE chizig'ini chizing va uning A 1 D bilan kesishgan nuqtasini U bilan belgilang 1. E va Q, G va S, U va F nuqtalarini bog'lang. Olingan olti burchakli EUFSGQ kerakli qism bo'ladi.

5-mashq Kub kesimini mos ravishda BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, AA 1 B 1 B yuzlariga tegishli E, F, G nuqtalardan o`tuvchi tekislik orqali yasang. Yechim. Bu nuqtalardan ABCD yuz tekisligiga EE’, FF’, GG’ perpendikulyarlarni tushiramiz va FE va FG to’g’ri chiziqning shu tekislik bilan kesishishining I va H nuqtalarini topamiz. IH kerakli tekislikning kesishish chizig'i va ABCD yuzining tekisligi bo'ladi. IH to‘g‘ri chiziqning AB va BC bilan kesishgan nuqtalarini Q, R bilan belgilaymiz. PG va QE chiziqlarni chizamiz va R, S ularning AA 1 va CC 1 bilan kesishgan nuqtalarini belgilaymiz. PR, PQ va QS ga parallel SU, UV va RV chiziqlarni chizamiz. Olingan olti burchakli RPQSUV kerakli qism bo'ladi.

6-mashq Kubning BD diagonaliga parallel bo‘lgan E, F nuqtalaridan o‘tuvchi tekislik kubning chetlarida yotgan kesimini yasang. Yechim. BD ga parallel FG va EH chiziqlarni chizamiz. EG ga parallel bo'lgan FP to'g'ri chiziq chizamiz va P va G nuqtalarini bog'laymiz. E va G, F va H nuqtalarini bog'laymiz. Hosil bo'lgan beshburchak EGPFH kerakli kesma bo'ladi.

ABCA 1 B 1 C 1 prizmasining tekisligi E, F, G nuqtalardan o`tuvchi kesmani tuzing.8-mashq Yechim. E va F nuqtalarni tutashtiramiz FG chiziqni va uning CC 1 bilan kesishgan nuqtasini chizamiz, H ni belgilaymiz. EH chiziqni va uning A 1 C 1 bilan kesishgan nuqtasini chizamiz, I va G nuqtalarni tutamiz. Olingan to'rtburchak EFGI kerakli qism bo'ladi.

ABCA 1 B 1 C 1 prizmasining tekisligi E, F, G nuqtalardan o`tuvchi kesmani tuzing.9-mashq Yechim. EG to'g'ri chiziq chizamiz va H va I ni uning CC 1 va AC bilan kesishgan nuqtalarini belgilaymiz. IF to'g'ri chiziq chizamiz va uning AB bilan kesishgan nuqtasi K ni belgilaymiz. FH to'g'ri chiziqni va uning B 1 bilan kesishgan nuqtasini o'tkazamiz C 1 L ni belgilaymiz. E va K nuqtalarni bog'laymiz. , G va L. Olingan beshburchak EKFLG kerakli bo'lim bo'ladi.

ABCA 1 B 1 C 1 prizmasining AC 1 ga parallel tekisligi D 1 nuqtalaridan o`tuvchi kesmani tuzing.10-mashq Yechim. D nuqta orqali AC 1 ga parallel chiziq o'tkazamiz va uning BC 1 chiziq bilan kesishgan nuqtasini E ni belgilaymiz. Bu nuqta ADD 1 A yuz tekisligiga tegishli bo'ladi 1. DE chiziqni chizamiz va uning kesishish nuqtasini F bilan belgilaymiz. chekkasi BC. F va D nuqtalarni segment bilan bog‘laymiz.D nuqta orqali FD to‘g‘ri chiziqqa parallel chiziq o‘tkazamiz va uning A 1 C 1 cheti bilan kesishgan nuqtasini, H – A chiziq bilan kesishgan nuqtasini G bilan belgilaymiz. 1 B 1. DH to'g'ri chiziq chizamiz va uning AA qirrasi bilan kesishgan nuqtasini P bilan belgilaymiz 1. P va G nuqtalarni segment bilan bog'laymiz.Olingan to'rtburchak EFIK kerakli kesma bo'ladi.

BC qirrasidagi E, ABB 1 A 1 yuzidagi F va ACC 1 A 1 yuzidagi G nuqtalaridan o‘tuvchi tekislik orqali ABCA 1 B 1 C 1 prizma kesimini tuzing. 11-mashq Yechish. GF chiziq chizamiz va uning ABC tekisligi bilan kesishgan H nuqtasini topamiz. EH to'g'ri chiziq chizamiz va uning AC va AB bilan kesishgan nuqtalarini P va I bilan belgilaymiz. PG va IF to‘g‘ri chiziqlarni chizamiz va S, R va Q ni A 1 C 1, A 1 B 1 va BB 1 bilan kesishgan nuqtalarini belgilaymiz. E va Q, S va R nuqtalarini bog‘laymiz. Hosil bo‘lgan beshburchak EQRSP bo‘ladi. kerakli bo'lim.

Muntazam olti burchakli prizmaning tekisligi A, B, D nuqtalardan o‘tuvchi kesmani tuzing 1. 12-mashq Yechish. E'tibor bering, kesma E nuqtadan o'tadi 1. AB chiziqni o'tkazamiz va uning CD va FE to'g'ri chiziq bilan kesishgan K va L nuqtalarini topamiz. KD 1, LE 1 chiziqlarni chizamiz va ularning P, Q kesishgan nuqtalarini CC 1 va FF 1 chiziqlar bilan topamiz. ABPD 1 E 1 Q olti burchakli kerakli kesma bo'ladi.

A, B’, F’ nuqtalardan o’tuvchi tekislik bilan muntazam olti burchakli prizma kesmasini tuzing. 13-mashq Yechim. AB' va AF' segmentlarini chizamiz. B' nuqta orqali AF' ga parallel chiziq o'tkazamiz va uning EE 1 bilan kesishgan nuqtasi E' ni belgilaymiz. F' nuqta orqali AB' ga parallel chiziq o'tkazamiz va uning CC 1 bilan kesishgan nuqtasini C' deb belgilaymiz. E’ va C’ nuqtalar orqali AB’ va AF’ ga parallel chiziqlar o’tkazamiz va ularning D 1 E 1 va C 1 D 1 bilan kesishgan nuqtalarini D’, D” deb belgilaymiz. B', C' nuqtalarini bog'laymiz; D', D"; F', E'. Olingan yetti burchakli AB'C'D"D'E'F" kerakli qism bo'ladi.

F’, B’, D’ nuqtalardan o‘tuvchi tekislik bilan muntazam olti burchakli prizma kesimini tuzing. 14-mashq Yechim. F’B’ va F’D’ to’g’ri chiziqlarni chizamiz va ularning ABC tekislik bilan kesishgan P va Q nuqtalarini topamiz. Keling, to'g'ridan-to'g'ri PQ qilaylik. R bilan PQ va FC ning kesishish nuqtasi belgilansin. F’R va CC 1 ning kesishish nuqtasini C’ deb belgilaymiz. B', C' va C', D' nuqtalarini bog'laymiz. F' nuqta orqali C'D' va B'C' ga parallel chiziqlar o'tkazamiz va ularning AA 1 va EE 1 bilan kesishgan nuqtalarini A' va E' deb belgilaymiz. A', B' va E', D' nuqtalarini bog'laymiz. Olingan olti burchakli A'B'C'D'E'F' kerakli qism bo'ladi.

Prizmatik ko'pburchak prizmaning 4 va undan yuqori o'lchamli bo'shliqlarda umumlashtirilishi. n-o'lchovli prizmatik ko'pburchak ikkitadan tuzilgan ( n− 1 )-o‘lchovli politoplar keyingi o‘lchamga o‘tkaziladi.

Prizmatik elementlar n-o'lchovli ko'pburchaklar elementlardan ikki barobar ko'paytiriladi ( n− 1 )-o‘lchovli ko‘pburchak, keyin keyingi darajadagi yangi elementlar yaratiladi.

Keling, olamiz n-elementli o'lchovli ko'pburchak f i (\displaystyle f_(i)) (i- o'lchamli yuz, i = 0, ..., n). prizmatik ( n + 1 (\displaystyle n+1))-o'lchovli ko'p yuzli bo'ladi 2 f i + f - 1 (\displaystyle 2f_(i)+f_(-1)) o'lchov elementlari i(da f − 1 = 0 (\displaystyle f_(-1)=0), f n = 1 (\displaystyle f_(n)=1)).

O'lchamlari bo'yicha:

bilan ko'pburchakni oling n cho'qqilari va n partiyalar. Biz 2 bilan prizma olamiz n tepaliklar, 3 n qovurg'alar va 2 + n (\displaystyle 2+n) qirralar.
Biz bilan ko'pburchakni olamiz v cho'qqilar, e qovurg'alar va f qirralar. Biz 2 bilan (4 o'lchovli) prizma olamiz v uchlari, qirralari, yuzlari va 2 + f (\displaystyle 2+f) hujayralar.
bilan 4 o'lchovli ko'pburchakni olamiz v cho'qqilar, e qovurg'alar, f qirralar va c hujayralar. Biz 2 bilan (5 o'lchovli) prizma olamiz v cho'qqilar, 2 e + v (\displaystyle 2e+v) qovurg'alar, 2 f + e (\displaystyle 2f+e)(2 o'lchovli) yuzlar, 2 c + f (\displaystyle 2c+f) hujayralar va 2 + c (\displaystyle 2+c) giper hujayralar.

Bir jinsli prizmatik ko‘p yuzli

To'g'ri n- Schlafli belgisi bilan ifodalangan ko'p yuzli ( p, q, ..., t), o'lchamli bir hil prizmatik ko'p yuzli hosil qilishi mumkin ( n+ 1), ikkita Schläfli belgilarining to'g'ridan-to'g'ri mahsuloti bilan ifodalanadi: ( p, q, ..., t}×{}.

O'lchamlari bo'yicha:

0 oʻlchamli koʻp yuzli prizma chiziq boʻlagi boʻlib, boʻsh Schlafli belgisi () bilan ifodalanadi.
1 o'lchovli ko'p yuzli prizma ikki segmentdan olingan to'rtburchakdir. Bu prizma Schläfli belgilarining ()×() mahsuloti sifatida ifodalanadi. Agar prizma kvadrat bo'lsa, yozuvni qisqartirish mumkin: ()×() = (4).
Ko'pburchak prizma - bu to'rtburchaklar bilan bog'langan ikkita ko'pburchakdan (biri parallel ravishda ikkinchisini ko'chirishdan olingan) olingan 3 o'lchovli prizma. Muntazam ko'pburchakdan ( p) bir hil olishingiz mumkin n-mahsulot bilan ifodalangan ko'mir prizmasi ( p)×(). Agar p= 4, prizma kubga aylanadi: (4)×() = (4, 3).
Ikkita koʻpyoqlamadan (biri ikkinchisining parallel koʻchirilishi natijasida olingan) olingan 4 oʻlchovli prizma 3 oʻlchovli prizmatik hujayralarni bogʻlaydi. Oddiy ko'pburchakdan ( p, q) mahsulot bilan ifodalangan bir hil 4 o'lchovli prizmani olishimiz mumkin. p, q)×(). Agar ko'pburchak kub bo'lsa va prizmaning tomonlari ham kub bo'lsa, prizma tesseraktga aylanadi: (4, 3)×() = (4, 3, 3).

Yuqori oʻlchamdagi prizmatik koʻpyoqlamalar har qanday ikki koʻpyoqlamaning bevosita mahsuloti sifatida ham mavjud. Prizmatik ko'pburchakning o'lchami mahsulot elementlarining o'lchamlari mahsulotiga teng. Bunday mahsulotning birinchi misoli 4 o'lchovli fazoda mavjud bo'lib, ikki ko'pburchak ko'paytmasi bilan olinadigan duoprizmalar deb ataladi. Muntazam duoprizmalar belgisi bilan ifodalanadi ( p}×{ q}.

Muntazam oila prizma

Poligon
Mozaika

Stereometriya kursi bo'yicha maktab o'quv dasturida uch o'lchamli figuralarni o'rganish odatda oddiy geometrik jism - prizma ko'pburchakdan boshlanadi. Uning asoslari rolini parallel tekisliklarda yotgan 2 ta teng ko'pburchak bajaradi. Maxsus holat - bu muntazam to'rtburchak prizma. Uning asoslari ikkita bir xil muntazam to'rtburchaklar bo'lib, tomonlari perpendikulyar bo'lib, parallelogramm shakliga ega (yoki prizma qiya bo'lmasa, to'rtburchaklar).

Prizma nimaga o'xshaydi?

Muntazam to'rtburchak prizma olti burchakli bo'lib, uning asoslari 2 kvadrat, yon yuzlari to'rtburchaklar bilan ifodalanadi. Ushbu geometrik figuraning yana bir nomi to'g'ri parallelepipeddir.

Quyida to'rtburchak prizma ko'rsatilgan chizma ko'rsatilgan.

Rasmda ham ko'rishingiz mumkin geometrik jismni tashkil etuvchi eng muhim elementlar. Bularga quyidagilar kiradi:

Ba'zan geometriya masalalarida kesim tushunchasiga duch kelishingiz mumkin. Ta'rif shunday bo'ladi: kesma - bu kesuvchi tekislikka tegishli bo'lgan hajmli tananing barcha nuqtalari. Bo'lim perpendikulyar bo'lishi mumkin (rasmning qirralarini 90 graduslik burchak ostida kesib o'tadi). To'g'ri to'rtburchaklar prizma uchun diagonal kesma ham ko'rib chiqiladi (qurilishi mumkin bo'lgan bo'limlarning maksimal soni 2 ta), 2 chetidan va poydevorning diagonallaridan o'tadi.

Agar kesma kesuvchi tekislik na asoslarga, na yon yuzlarga parallel bo'lmagan tarzda chizilgan bo'lsa, natijada kesilgan prizma hosil bo'ladi.

Qisqartirilgan prizmatik elementlarni topish uchun turli munosabatlar va formulalar qo'llaniladi. Ulardan ba'zilari planimetriya kursidan ma'lum (masalan, prizma asosining maydonini topish uchun kvadrat maydoni formulasini eslash kifoya).

Sirt maydoni va hajmi

Prizma hajmini formuladan foydalanib aniqlash uchun siz uning asosining maydoni va balandligini bilishingiz kerak:

V = Sbas h

Muntazam tetraedral prizma asosi tomoni bilan kvadrat bo'lgani uchun a, Siz formulani batafsilroq shaklda yozishingiz mumkin:

V = a²·h

Agar biz kub haqida gapiradigan bo'lsak - uzunligi, kengligi va balandligi teng bo'lgan oddiy prizma, hajm quyidagicha hisoblanadi:

Prizmaning lateral sirt maydonini qanday topishni tushunish uchun uning rivojlanishini tasavvur qilish kerak.

Chizmadan ko'rinib turibdiki, yon sirt 4 ta teng to'rtburchakdan iborat. Uning maydoni poydevor perimetri va rasm balandligining mahsuloti sifatida hisoblanadi:

Sside = Posn h

Kvadratning perimetri teng ekanligini hisobga olgan holda P = 4a, formula quyidagi shaklni oladi:

Yon tomoni = 4a soat

Kub uchun:

Yon tomoni = 4a²

Prizmaning umumiy sirt maydonini hisoblash uchun siz lateral maydonga 2 ta asosiy maydonni qo'shishingiz kerak:

Sfull = Sside + 2Smain

To'rtburchak muntazam prizmaga nisbatan formula quyidagicha ko'rinadi:

Jami = 4a h + 2a²

Kubning sirt maydoni uchun:

Sfull = 6a²

Hajmi yoki sirt maydonini bilib, siz geometrik tananing alohida elementlarini hisoblashingiz mumkin.

Prizma elementlarini topish

Ko'pincha hajm berilgan yoki lateral sirt maydonining qiymati ma'lum bo'lgan muammolar mavjud, bu erda taglikning yon tomonining uzunligini yoki balandligini aniqlash kerak. Bunday hollarda formulalar olinishi mumkin:

Asosiy tomon uzunligi: a = Sside / 4h = √(V / h);
balandligi yoki yon qovurg'a uzunligi: h = Sside / 4a = V / a²;
baza maydoni: Sbas = V / h;
yon yuz maydoni: Yon gr = Sside / 4.

Diagonal qismning maydoni qancha ekanligini aniqlash uchun diagonalning uzunligini va raqamning balandligini bilishingiz kerak. Kvadrat uchun d = a√2. Shuning uchun:

Sdiag = ah√2

Prizma diagonalini hisoblash uchun quyidagi formuladan foydalaning:

dprize = √(2a² + h²)

Berilgan munosabatlarni qanday qo'llashni tushunish uchun siz bir nechta oddiy vazifalarni mashq qilishingiz va hal qilishingiz mumkin.

Yechimlari bilan muammolarga misollar

Bu erda matematikadan davlat yakuniy imtihonlarida topilgan ba'zi vazifalar.

1-mashq.

Qum odatdagi to'rtburchak prizma shaklidagi qutiga quyiladi. Uning sathining balandligi 10 sm.Agar siz uni bir xil shakldagi, lekin taglik ikki barobar uzunroq idishga o'tkazsangiz, qum darajasi qanday bo'ladi?

Buni quyidagicha asoslash kerak. Birinchi va ikkinchi idishlardagi qum miqdori o'zgarmadi, ya'ni ulardagi hajmi bir xil. Poydevor uzunligini quyidagi bilan belgilashingiz mumkin a. Bunday holda, birinchi quti uchun moddaning hajmi quyidagicha bo'ladi:

V₁ = ha² = 10a²

Ikkinchi quti uchun taglikning uzunligi 2a, lekin qum sathining balandligi noma'lum:

V₂ = h (2a)² = 4ga²

Chunki V₁ = V₂, biz ifodalarni tenglashtirishimiz mumkin:

10a² = 4ga²

Tenglamaning ikkala tomonini a² ga kamaytirgandan so'ng, biz quyidagilarni olamiz:

Natijada, yangi qum darajasi bo'ladi h = 10/4 = 2,5 sm.

Vazifa 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ to'g'ri prizma. Ma'lumki, BD = AB₁ = 6√2. Tananing umumiy sirt maydonini toping.

Qaysi elementlar ma'lum ekanligini tushunishni osonlashtirish uchun siz rasm chizishingiz mumkin.

Biz muntazam prizma haqida gapirayotganimiz sababli, asosda diagonali 6√2 bo'lgan kvadrat bor degan xulosaga kelishimiz mumkin. Yon yuzning diagonali bir xil o'lchamga ega, shuning uchun yon yuz ham poydevorga teng kvadrat shakliga ega. Ma'lum bo'lishicha, barcha uch o'lcham - uzunlik, kenglik va balandlik tengdir. ABCDA₁B₁C₁D₁ kub degan xulosaga kelishimiz mumkin.

Har qanday qirraning uzunligi ma'lum diagonal orqali aniqlanadi:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Umumiy sirt maydoni kub formulasi yordamida topiladi:

Sfull = 6a² = 6 6² = 216

Vazifa 3.

Xona ta'mirlanmoqda. Ma'lumki, uning qavati maydoni 9 m² bo'lgan kvadrat shakliga ega. Xonaning balandligi 2,5 m, agar 1 m² 50 rubl bo'lsa, xonani devor qog'ozi bilan qoplashning eng past narxi qancha?

Zamin va ship kvadratchalar, ya'ni muntazam to'rtburchaklar va uning devorlari gorizontal sirtlarga perpendikulyar bo'lganligi sababli, biz uni muntazam prizma deb xulosa qilishimiz mumkin. Uning lateral yuzasining maydonini aniqlash kerak.

Xonaning uzunligi a = √9 = 3 m.

Hudud devor qog'ozi bilan qoplanadi Yon tomoni = 4 3 2,5 = 30 m².

Bu xona uchun devor qog'ozi eng past narxi bo'ladi 50·30 = 1500 rubl

Shunday qilib, to'rtburchaklar prizma bilan bog'liq masalalarni hal qilish uchun kvadrat va to'rtburchakning maydoni va perimetrini hisoblay olish, shuningdek, hajm va sirt maydonini topish formulalarini bilish kifoya.

Kubning maydonini qanday topish mumkin

Ta'rif.

Bu olti burchakli bo'lib, uning asoslari ikkita teng kvadrat va yon yuzlari teng to'rtburchaklardir.

Yon qovurg'a- ikkita qo'shni yon yuzning umumiy tomoni

Prizma balandligi- bu prizma asoslariga perpendikulyar segment

Prizma diagonali- bir yuzga tegishli bo'lmagan asoslarning ikkita uchini bog'lovchi segment

Diagonal tekislik- prizma diagonali va uning lateral qirralari orqali o'tadigan tekislik

Diagonal qism- prizma va diagonal tekislikning kesishish chegaralari. Muntazam to'rtburchak prizmaning diagonal kesmasi to'rtburchakdir

Perpendikulyar kesma (ortogonal kesma)- bu prizma va uning lateral qirralariga perpendikulyar chizilgan tekislikning kesishishi.

Muntazam to'rtburchak prizmaning elementlari

Rasmda ikkita oddiy to'rtburchak prizma ko'rsatilgan, ular tegishli harflar bilan ko'rsatilgan:

ABCD va A 1 B 1 C 1 D 1 asoslari bir-biriga teng va parallel
Yon yuzlar AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C va CC 1 D 1 D, ularning har biri to'rtburchak
Lateral sirt - prizmaning barcha lateral yuzlari maydonlarining yig'indisi
Umumiy sirt - barcha asoslar va yon yuzalar maydonlarining yig'indisi (yon yuza va poydevorlar maydoni yig'indisi)
Yon qovurg'alar AA 1, BB 1, CC 1 va DD 1.
Diagonali B 1 D
Asosiy diagonali BD
Diagonal kesma BB 1 D 1 D
Perpendikulyar kesma A 2 B 2 C 2 D 2.

Muntazam to'rtburchak prizmaning xossalari

Asoslar ikkita teng kvadratdir
Bazalar bir-biriga parallel
Yon tomonlari to'rtburchaklardir
Yon qirralar bir-biriga teng
Yon yuzlar asoslarga perpendikulyar
Yanal qovurg'alar bir-biriga parallel va tengdir
Barcha yon qovurg'alarga perpendikulyar va asoslarga parallel perpendikulyar kesim
Perpendikulyar kesimning burchaklari - tekis
Muntazam to'rtburchak prizmaning diagonal kesmasi to'rtburchakdir
Asoslarga parallel ravishda perpendikulyar (ortogonal kesma).

Muntazam to'rtburchak prizma uchun formulalar

Muammolarni hal qilish bo'yicha ko'rsatmalar

Mavzu bo'yicha muammolarni hal qilishda " muntazam to'rtburchak prizma" shuni anglatadiki:

To'g'ri prizma- prizma, uning asosida muntazam ko'pburchak yotqizilgan, yon qirralari esa asos tekisliklariga perpendikulyar. Ya'ni, oddiy to'rtburchak prizma uning bazasida joylashgan kvadrat. (yuqoridagi oddiy to'rtburchak prizmaning xususiyatlariga qarang) Eslatma. Bu geometriya masalalari (kesim stereometriya - prizma) bilan darsning bir qismidir. Bu erda hal qilish qiyin bo'lgan muammolar mavjud. Agar siz bu erda bo'lmagan geometriya muammosini hal qilishingiz kerak bo'lsa, bu haqda forumda yozing. Muammolarni yechishda kvadrat ildizni ajratib olish harakatini belgilash uchun belgidan foydalaniladi√ .

Vazifa.

Muntazam to‘rtburchak prizmada asos maydoni 144 sm 2, balandligi 14 sm.Prizmaning diagonalini va umumiy sirtini toping.

Yechim.
Muntazam to'rtburchak kvadratdir.
Shunga ko'ra, taglikning tomoni teng bo'ladi

√144 = 12 sm.
Muntazam to'rtburchaklar prizma asosining diagonali qayerdan teng bo'ladi
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Muntazam prizmaning diagonali asos diagonali va prizma balandligi bilan toʻgʻri burchakli uchburchak hosil qiladi. Shunga ko'ra, Pifagor teoremasiga ko'ra, berilgan muntazam to'rtburchak prizmaning diagonali quyidagilarga teng bo'ladi:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 sm

Javob: 22 sm

Vazifa

Muntazam to'rtburchak prizmaning diagonali 5 sm va yon yuzining diagonali 4 sm bo'lsa, uning umumiy sirtini aniqlang.

Yechim.
Muntazam to'rtburchak prizmaning asosi kvadrat bo'lganligi sababli, Pifagor teoremasidan foydalanib, asosning tomonini (a bilan belgilanadi) topamiz:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Yon yuzning balandligi (h bilan belgilanadi) keyin teng bo'ladi:

H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5

Umumiy sirt maydoni lateral yuzaning yig'indisiga va taglik maydonining ikki barobariga teng bo'ladi

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 sm 2.

Javob: 25 + 10√7 ≈ 51,46 sm 2.

To'g'ri prizma haqida umumiy ma'lumot

Prizmaning lateral yuzasi (aniqrog'i, lateral sirt maydoni) deyiladi so'm yon yuzlarning joylari. Prizmaning umumiy yuzasi lateral yuzasi va asoslar maydonlarining yig'indisiga teng.

19.1 teorema. To'g'ri prizmaning lateral yuzasi poydevor perimetri va prizma balandligi ko'paytmasiga, ya'ni yon chetining uzunligiga teng.

Isbot. To'g'ri prizmaning lateral yuzlari to'rtburchaklardir. Bu to'rtburchaklarning asoslari prizma tagida yotgan ko'pburchakning tomonlari bo'lib, balandliklari yon qirralarning uzunligiga teng. Bundan kelib chiqadiki, prizmaning lateral yuzasi teng

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

bu yerda a 1 va n - asos qirralarining uzunligi, p - prizma asosining perimetri, I - yon qirralarning uzunligi. Teorema isbotlangan.

Amaliy vazifa

Muammo (22) . Eğimli prizmada u amalga oshiriladi Bo'lim, yon qovurg'alarga perpendikulyar va barcha yon qovurg'alarni kesib o'tadi. Agar ko‘ndalang kesim perimetri p ga, yon qirralari esa l ga teng bo‘lsa, prizmaning lateral yuzasini toping.

Yechim. Chizilgan kesma tekisligi prizmani ikki qismga ajratadi (411-rasm). Keling, prizma asoslarini birlashtirgan holda, ulardan birini parallel tarjimaga bo'ysundiramiz. Bunda asosi asl prizmaning kesmasi bo'lgan, yon qirralari esa l ga teng bo'lgan to'g'ri prizma olamiz. Bu prizma asl prizma bilan bir xil lateral sirtga ega. Shunday qilib, asl prizmaning lateral yuzasi pl ga teng.

O'tilgan mavzuning qisqacha mazmuni

Keling, prizmalar haqida o'tgan mavzuni umumlashtirishga harakat qilaylik va prizma qanday xususiyatlarga ega ekanligini eslaylik.

Prizma xossalari

Birinchidan, prizma barcha asoslari teng ko'pburchaklarga ega;
Ikkinchidan, prizmada uning barcha yon yuzlari parallelogrammlardir;
Uchinchidan, prizma kabi ko'p qirrali shaklda barcha lateral qirralar teng;

Bundan tashqari, prizmalar kabi ko'pburchaklar tekis yoki moyil bo'lishi mumkinligini yodda tutish kerak.

Qaysi prizma to'g'ri prizma deyiladi?

Agar prizmaning yon qirrasi uning asosi tekisligiga perpendikulyar bo'lsa, bunday prizma to'g'ri prizma deyiladi.

To'g'ri prizmaning lateral yuzlari to'rtburchaklar ekanligini eslash ortiqcha bo'lmaydi.

Qaysi turdagi prizma qiya deyiladi?

Ammo prizmaning yon qirrasi uning asosi tekisligiga perpendikulyar joylashmagan bo'lsa, u holda biz uni qiya prizma deb bemalol ayta olamiz.

Qaysi prizma to'g'ri deb ataladi?

Agar to'g'ri prizma asosida muntazam ko'pburchak yotsa, bunday prizma muntazamdir.

Keling, oddiy prizmaga ega bo'lgan xususiyatlarni eslaylik.

Muntazam prizmaning xossalari

Birinchidan, muntazam ko'pburchaklar doimo muntazam prizmaning asosi bo'lib xizmat qiladi;
Ikkinchidan, agar muntazam prizmaning yon yuzlarini ko'rib chiqsak, ular doimo teng to'rtburchaklardir;
Uchinchidan, agar siz yon qovurg'alarning o'lchamlarini taqqoslasangiz, oddiy prizmada ular har doim teng bo'ladi.
To'rtinchidan, to'g'ri prizma har doim to'g'ri bo'ladi;
Beshinchidan, agar muntazam prizmada lateral yuzlar kvadrat shakliga ega bo'lsa, unda bunday raqam odatda yarim muntazam ko'pburchak deb ataladi.

Prizma kesimi

Endi prizmaning ko‘ndalang kesimini ko‘rib chiqamiz:

Uy vazifasi

Endi masalalar yechish orqali o‘rgangan mavzuimizni mustahkamlashga harakat qilaylik.

Qiyalik uchburchak prizma chizamiz, uning qirralari orasidagi masofa teng bo'ladi: 3 sm, 4 sm va 5 sm va bu prizmaning lateral yuzasi 60 sm2 ga teng bo'ladi. Ushbu parametrlarga ega bo'lgan holda, ushbu prizmaning yon chetini toping.

Bilasizmi, geometrik shakllar bizni doimo o'rab oladi, nafaqat geometriya darslarida, balki kundalik hayotda ham u yoki bu geometrik figuraga o'xshash narsalar mavjud.