Безліч рішень однорідної системи лінійних рівнянь. Що таке однорідна система лінійних рівнянь? Вирішення систем лінійних рівнянь алгебри загального виду

Лінійна система називається однорідний якщо всі її вільні члени дорівнюють 0.

У матричному вигляді однорідна система записується:
.

Однорідна система (2) завжди спільна . Очевидно, що набір чисел
,
, …,
задовольняє кожному рівняння системи. Рішення
називається нульовим або тривіальним рішенням. Таким чином, однорідна система має нульове рішення.

За яких умов однорідна система (2) матиме ненульові (нетривіальні) рішення?

Теорема 1.3 Однорідна система (2) має ненульові рішення тоді і тільки тоді, коли ранг r її основний матриці менше числа невідомих n .

Система (2) – невизначена
.

Наслідок 1. Якщо число рівнянь m однорідної системи менше кількості змінних
, то система є невизначеною і має безліч ненульових рішень.

Наслідок 2. Квадратна однорідна система
має ненульові рішення тоді й тоді, коли основна матриця цієї системи вироджена, тобто. визначник
.

В іншому випадку, якщо визначник
, квадратна однорідна система має єдине нульове рішення
.

Нехай ранг системи (2)
тобто система (2) має нетривіальні рішення.

Нехай і - Приватні рішення цієї системи, тобто.
і
.

Властивості рішень однорідної системи

Справді, .

Справді, .

Поєднуючи, властивості 1) та 2), можна сказати, що якщо

…,
- рішення однорідної системи (2), те й будь-яка їхня лінійна комбінація- також є її рішенням. Тут
- Довільні дійсні числа.

Можна знайти
лінійно незалежних приватних рішень однорідної системи (2), з допомогою яких можна отримати будь-яке інше окреме рішення цієї системи, тобто. одержати загальне рішення системи (2).

Визначення 2.2 Сукупність
лінійно незалежних приватних рішень

…,
однорідної системи (2) таких, що кожне рішення системи (2) можна подати у вигляді їх лінійної комбінації, називається фундаментальною системою рішень (ФСР) однорідної системи (2).

Нехай

…,
- фундаментальна система рішень, тоді загальне рішення однорідної системи (2) можна у вигляді:

Де

.

Зауваження. Щоб отримати ФСР, потрібно знайти приватні рішення

…,
, надаючи по черзі будь-якої однієї вільної змінної значення «1», а решті вільним змінним – значення «0».

Отримаємо ,, …,– ФСР.

приклад.Знайти загальне рішення та фундаментальну систему розв'язків однорідної системи рівнянь:

Рішення.Запишемо розширену матрицю системи, попередньо поставивши перше місце останнє рівняння системи, і наведемо її до ступінчастому виду. Оскільки праві частини рівнянь внаслідок елементарних перетворень не змінюються, залишаючись нулями, стовпець

можна не виписувати.

̴
̴
̴

Ранг системи де
- Число змінних. Система невизначена, має багато рішень.

Базовий мінор при змінних
відмінний від нуля:
обираємо
як базові змінні, інші
- вільні змінні (приймають будь-які дійсні значення).

Останньою в ланцюжку матриці відповідає ступінчаста система рівнянь:

(3)

Виразимо базисні змінні
через вільні змінні
(Зворотний хід методу Гауса).

З останнього рівняння висловимо :
і підставимо перше рівняння. Отримаємо. Розкриємо дужки, наведемо подібні та висловимо :
.

Вважаючи
,
,
, де
, запишемо

- загальне рішення системи.

Знайдемо фундаментальну систему рішень

,,.

Тоді загальне рішення однорідної системи можна записати як:

Зауваження. ФСР можна було знайти іншим шляхом, без попереднього віднайдення загального рішення системи. Для цього отриману східчасту систему (3) потрібно було вирішити тричі, вважаючи :
; для :
; для :
.

Система mлінійних рівнянь c nневідомими називається системою лінійних одноріднихрівнянь, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю. Така система має вигляд:

де а ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - задані числа; х i- Невідомі.

Система лінійних однорідних рівнянь завжди спільна, оскільки r(А) = r(). Вона має, принаймні, нульове ( тривіальне) рішення (0; 0; …; 0).

Розглянемо за яких умов однорідні системи мають ненульові рішення.

Теорема 1.Система лінійних однорідних рівнянь має ненульові рішення тоді й лише тоді, коли ранг її основної матриці rменше числа невідомих n, тобто. r < n.

□ 1). Нехай система лінійних однорідних рівнянь має ненульове розв'язання. Так як ранг не може перевищувати розмір матриці, то, очевидно, r ≤ n. Нехай r = n. Тоді один із мінорів розміру n nвідмінний від нуля. Тому відповідна система лінійних рівнянь має єдине рішення: , , . Отже, інших, окрім тривіальних рішень немає. Отже, якщо є нетривіальне рішення, то r < n.

2). Нехай r < n. Тоді однорідна система, будучи спільною, є невизначеною. Отже, вона має безліч рішень, тобто. має й ненульові рішення. ■

Розглянемо однорідну систему nлінійних рівнянь c nневідомими:

(2)

Теорема 2.Однорідна система nлінійних рівнянь c nневідомими (2) має ненульові рішення і тоді, коли її визначник дорівнює нулю: = 0.

□ Якщо система (2) має ненульове рішення, то = 0. Бо система має тільки єдине нульове рішення. Якщо ж = 0, то ранг rосновний матриці системи менше від числа невідомих, тобто. r < n. І, отже, система має безліч рішень, тобто. має й ненульові рішення. ■

Позначимо рішення системи (1) х 1 = k 1 , х 2 = k 2 , …, х n = k nу вигляді рядка .

Рішення системи лінійних однорідних рівнянь мають такі властивості:

1. Якщо рядок - рішення системи (1), то рядок - рішення системи (1).

2. Якщо рядки і - рішення системи (1), то за будь-яких значень з 1 та з 2 їхня лінійна комбінація - теж рішення системи (1).

Перевірити справедливість зазначених властивостей можна безпосередньою підстановкою в рівняння системи.

Зі сформульованих властивостей випливає, що будь-яка лінійна комбінація рішень системи лінійних однорідних рівнянь також є рішенням цієї системи.

Система лінійно незалежних рішень е 1 , е 2 , …, е рназивається фундаментальної, якщо кожне рішення системи (1) є лінійною комбінацією цих рішень е 1 , е 2 , …, е р.

Теорема 3.Якщо ранг rматриці коефіцієнтів при змінних системах лінійних однорідних рівнянь (1) менше числа змінних n, то всяка фундаментальна система рішень системи (1) складається з n – rрішень.

Тому загальне рішеннясистеми лінійних однорідних рівнянь (1) має вигляд:

де е 1 , е 2 , …, е р– будь-яка фундаментальна система рішень системи (9), з 1 , з 2 , …, з р- довільні числа, р = n – r.

Теорема 4.Загальне рішення системи mлінійних рівнянь c nневідомими дорівнює сумі загального розв'язання відповідної їй системи лінійних однорідних рівнянь (1) та довільного приватного розв'язання цієї системи (1).

приклад.Вирішіть систему

Рішення.Для даної системи m = n= 3. Визначник

по теоремі 2 система має лише тривіальне рішення: x = y = z = 0.

приклад. 1) Знайдіть загальне та приватні рішення системи

2) Знайдіть фундаментальну систему рішень.

Рішення. 1) Для цієї системи m = n= 3. Визначник

за теоремою 2 система має ненульові рішення.

Оскільки в системі лише одне незалежне рівняння

x + y – 4z = 0,

то з нього висловимо x =4z- y. Звідки отримаємо безліч рішень: (4 z- y, y, z) - це і є загальне рішення системи.

При z= 1, y= -1, отримаємо одне окреме рішення: (5, -1, 1). Поклавши z= 3, y= 2, отримаємо друге окреме рішення: (10, 2, 3) і т.д.

2) У загальному рішенні (4 z- y, y, z) змінні yі zє вільними, а змінна х- Залежна від них. Для того, щоб знайти фундаментальну систему рішень, надамо вільним змінним значенням: спочатку y = 1, z= 0, потім y = 0, z= 1. Отримаємо приватні рішення (-1, 1, 0), (4, 0, 1), які утворюють фундаментальну систему рішень.

Ілюстрації:

Мал. 1 Класифікація систем лінійних рівнянь

Мал. 2 Дослідження систем лінійних рівнянь

Презентації:

· Рішення СЛАУ_матричний метод

· Рішення СЛАУ_метод Крамера

· Рішення СЛАУ_метод Гаусса

· Пакети вирішення математичних завдань Mathematica, MathCad: пошук аналітичного та числового рішення систем лінійних рівнянь

Контрольні питання:

1. Дайте визначення лінійного рівняння

2. Який вид має система mлінійних рівнянь з nневідомими?

3. Що називається розв'язуванням систем лінійних рівнянь?

4. Які системи називаються рівносильними?

5. Яка система називається несумісною?

6. Яка система називається спільною?

7. Яка система називається певною?

8. Яка система називається невизначеною

9. Перерахуйте елементарні перетворення систем лінійних рівнянь

10. Перерахуйте елементарні перетворення матриць

11. Сформулюйте теорему щодо застосування елементарних перетворень до системи лінійних рівнянь

12. Які системи можна вирішувати матричним способом?

13. Які системи можна розв'язувати методом Крамера?

14. Які системи можна вирішувати методом Гаусса?

15. Перерахуйте 3 можливі випадки, що виникають при вирішенні систем лінійних рівнянь методом Гаусса

16. Опишіть матричний метод розв'язання систем лінійних рівнянь

17. Опишіть метод Крамера розв'язання систем лінійних рівнянь

18. Опишіть метод Гауса вирішення систем лінійних рівнянь

19. Які системи можна вирішувати із застосуванням зворотної матриці?

20. Перерахуйте 3 можливі випадки, що виникають при вирішенні систем лінійних рівнянь методом Крамера

Література:

1. Вища математика для економістів: Підручник для вузів/Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, І.М. Трішин, М.Н.Фрідман. За ред. Н.Ш. Кремер. - М.: ЮНІТІ, 2005. - 471 с.

2. Загальний курс вищої математики економістів: Підручник. / За ред. В.І. Єрмакова. -М.: ІНФРА-М, 2006. - 655 с.

3. Збірник завдань з вищої математики для економістів: Навчальний посібник/Під ред.В.І. Єрмакова. М.: ІНФРА-М, 2006. - 574 с.

4. Гмурман В. Є. Керівництво до вирішення завдань з теорії ймовірностей та магматичної статистики. - М: Вища школа, 2005. - 400 с.

5. Гмурман. В.Е Теорія ймовірностей та математична статистика. - М: Вища школа, 2005.

6. Данко П.Є., Попов А.Г., Кожевнікова Т.Я. Вища математика у вправах та завданнях. Ч. 1, 2. - М.: Онікс 21 століття: Світ та освіта, 2005. - 304 с. Ч. 1; - 416 с. ч. 2.

7. Математика економіки: Підручник: У 2-х год. / А.С. Солодовніков, В.А. Бабайцев, А.В. Браїлов, І.Г. Шандар. - М.: Фінанси та статистика, 2006.

8. Шипачов В.С. Вища математика: Підручник для студ. вузів - М.: Вища школа, 2007. - 479 с.

Подібна інформація.

Ви можете замовити докладне вирішення вашої задачі!

Щоб зрозуміти, що таке фундаментальна система рішеньВи можете переглянути відео-урок для цього ж прикладу, клацнувши . Тепер перейдемо до опису всієї необхідної роботи. Це допоможе вам детальніше розібратися в суті цього питання.

Як знайти фундаментальну систему розв'язків лінійного рівняння?

Візьмемо для прикладу таку систему лінійних рівнянь:

Знайдемо розв'язання цієї лінійної системи рівнянь. Для початку нам треба виписати матрицю коефіцієнтів системи.

Перетворимо цю матрицю на трикутну.Перший рядок переписуємо без змін. І всі елементи, що стоять під $a_(11)$, треба зробити нулями. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(21)$, треба від другого рядка відняти першу, і різницю записати в другому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(31)$, треба від третього рядка відняти першу і різницю записати в третьому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(41)$, треба від четвертого рядка відняти першу помножену на 2 і різницю записати в четвертому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(31)$, треба від п'ятого рядка відняти першу помножену на 2 і різницю записати в п'ятому рядку.

Перший та другий рядок переписуємо без змін. І всі елементи, що стоять під $a_(22)$, треба зробити нулями. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(32)$, треба від третього рядка відняти другу помножену на 2 і різницю записати в третьому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(42)$, треба від четвертого рядка відняти другу помножену на 2 і різницю записати в четвертому рядку. Щоб зробити нуль у місце елемента $a_(52)$, треба від п'ятого рядка відняти другу помножену на 3 і різницю записати в п'ятому рядку.

Бачимо, що останні три рядки – однаковітому якщо від четвертої і п'ятої відняти третю, то вони стануть нульовими.

За цією матрицею записуємо нову систему рівнянь.

Бачимо, що лінійно незалежних рівнянь у нас лише три, а невідомих п'ять, тому фундаментальна система рішень складатиметься з двох векторів. Значить, нам треба перенести дві останні невідомі праворуч.

Тепер починаємо висловлювати ті невідомі, що стоять у лівій частині через ті, що стоять у правій частині. Починаємо з останнього рівняння, спочатку висловимо $x_3$, потім отриманий результат підставимо на друге рівняння і висловимо $x_2$, а потім у перше рівняння і тут висловимо $x_1$. Таким чином ми всі невідомі, що стоять у лівій частині, висловили через невідомі, що стоять у правій частині.

Після чого ви замість $x_4$ і $x_5$ можемо підставляти будь-які числа і знаходити $x_1$, $x_2$ і $x_3$. Кожна така п'ятірка чисел буде корінням нашої початкової системи рівнянь. Що б знайти вектори, що входять до ФСРнам треба замість $x_4$ підставити 1, а замість $x_5$ підставити 0, знайти $x_1$, $x_2$ і $x_3$, та був навпаки $x_4=0$ і $x_5=1$.

приклад 1 . Знайти загальне рішення та якусь фундаментальну систему рішень для системи

Рішеннязнаходимо за допомогою калькулятора. Алгоритм розв'язання такий самий, як і для систем лінійних неоднорідних рівнянь.
Оперуючи тільки з рядками, знаходимо ранг матриці, базовий мінор; оголошуємо залежні та вільні невідомі та знаходимо спільне рішення.

Перший і другий рядки пропорційні, один з них викреслимо:

.
Залежні змінні - x 2, x 3, x 5, вільні - x 1, x 4. З першого рівняння 10x5 = 0 знаходимо x5 = 0, тоді
; .
Загальне рішення має вигляд:

Знаходимо фундаментальну систему рішень, що складається з (n-r) рішень. У разі n=5, r=3, отже, фундаментальна система рішень і двох рішень, причому ці рішення мають бути лінійно незалежними. Щоб рядки були лінійно незалежними, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці, складеної з елементів рядків, дорівнював кількості рядків, тобто 2. Достатньо надати вільним невідомим x 1 і x 4 значення з рядків визначника другого порядку, відмінного від нуля, і підрахувати х 2 , х 3 , х 5 . Найпростішим визначником, відмінним від нуля, є .
Таким чином, перше рішення: , друге - .
Ці два рішення становлять фундаментальну систему рішень. Зауважимо, що фундаментальна система не єдина (визначників, відмінних від нуля, можна скласти скільки завгодно).

Приклад 2 . Знайти загальне рішення та фундаментальну систему рішень системи
Рішення.



,
звідси випливає, що ранг матриці дорівнює 3 і дорівнює числу невідомих. Отже, система немає вільних невідомих, тому має єдине рішення – тривіальне.

Завдання. Дослідити та вирішити систему лінійних рівнянь.
Приклад 4

Завдання. Знайти загальне та приватне рішення кожної системи.
Рішення.Випишемо основну матрицю системи:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Наведемо матрицю до трикутного вигляду. Будемо працювати тільки з рядками, тому що множення рядка матриці на число, відмінне від нуля, і додаток до іншого рядка для системи означає множення рівняння на це число і додавання з іншим рівнянням, що не змінює рішення системи.
Помножимо 2-й рядок на (-5). Додамо 2-й рядок до 1-го:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Помножимо 2-й рядок на (6). Помножимо 3-й рядок на (-1). Додамо 3-й рядок до 2-го:
Знайдемо ранг матриці.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x 1	x 2	x 3	x 4	x 5

Виділений мінор має найвищий порядок (з можливих мінорів) і відмінний від нуля (він дорівнює добутку елементів, що стоять на зворотній діагоналі), отже rang(A) = 2.
Цей мінор є базовим. До нього увійшли коефіцієнти при невідомих x 1, x 2, отже, невідомі x 1, x 2 - залежні (базисні), а x 3, x 4, x 5 - вільні.
Перетворимо матрицю, залишаючи зліва тільки базовий мінор.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x 1	x 2	x 4	x 3	x 5

Система з коефіцієнтами цієї матриці еквівалентна вихідній системі і має вигляд:
22x 2 = 14x 4 - x 3 - 24x 5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Методом виключення невідомих знаходимо нетривіальне рішення:
Отримали співвідношення, що виражають залежні змінні x 1 x 2 через вільні x 3 x 4 x 5 тобто знайшли загальне рішення:
x 2 = 0.64x 4 - 0.0455x 3 - 1.09x 5
x 1 = - 0.55x 4 - 1.82x 3 - 0.64x 5
Знаходимо фундаментальну систему рішень, що складається з (n-r) рішень.
У разі n=5, r=2, отже, фундаментальна система рішень складається з 3-х рішень, причому ці рішення мають бути лінійно незалежними.
Щоб рядки були лінійно незалежними, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці, складеної з елементів рядків, дорівнював кількості рядків, тобто 3.
Достатньо надати вільним невідомим x 3 x 4 x 5 значення з рядків визначника 3-го порядку, відмінного від нуля, і підрахувати x 1 x 2 .
Найпростішим визначником, відмінним від нуля, є одинична матриця.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Завдання. Знайти фундаментальний набір розв'язків однорідної системи лінійних рівнянь.

Ми продовжимо шліфувати техніку елементарних перетвореньна однорідної системи лінійних рівнянь.
За першими абзацами матеріал може здатися нудним і звичайним, але це враження оманливе. Крім подальшого відпрацювання технічних прийомів, буде багато нової інформації, тому, будь ласка, постарайтеся не нехтувати прикладами цієї статті.

Що таке однорідна система лінійних рівнянь?

Відповідь напрошується сама собою. Система лінійних рівнянь є однорідною, якщо вільний член кожногорівняння системи дорівнює нулю. Наприклад:

Цілком зрозуміло, що однорідна система завжди спільнатобто завжди має рішення. І, перш за все, в очі впадає так зване тривіальнеРішення . Тривіальне, для тих, хто зовсім не зрозумів сенс прикметника, отже безпонтове. Не академічно, звичайно, але зате зрозуміло =) …Чого ходити навколо і навколо, давайте з'ясуємо, чи немає в даної системи якихось інших рішень:

Приклад 1

Рішення: щоб вирішити однорідну систему необхідно записати матрицю системиі за допомогою елементарних перетворень привести її до ступінчастого вигляду. Зверніть увагу, що тут відпадає необхідність записувати вертикальну межу та нульовий стовпець вільних членів – адже що не роби з нулями, вони так і залишаться нулями:

(1) До другого рядка додали перший рядок, помножений на -2. До третього рядка додали перший рядок, помножений на -3.

(2) До третього рядка додали другий рядок, помножений на -1.

Ділити третій рядок на 3 немає особливого сенсу.

В результаті елементарних перетворень отримано еквівалентну однорідну систему , і, застосовуючи зворотний хід методу Гауса, легко переконатися, що рішення єдине.

Відповідь:

Сформулюємо очевидний критерій: однорідна система лінійних рівнянь має тільки тривіальне рішення, якщо ранг матриці системи(у разі 3) дорівнює кількості змінних (у разі – 3 прим.).

Розігріємося та налаштовуємо свій радіоприймач на хвилю елементарних перетворень:

Приклад 2

Розв'язати однорідну систему лінійних рівнянь

Щоб остаточно закріпити алгоритм, розберемо фінальне завдання:

Приклад 7

Вирішити однорідну систему, відповідь записати у векторній формі.

Рішення: запишемо матрицю системи та за допомогою елементарних перетворень наведемо її до ступінчастого вигляду:

(1) У першому рядку змінили знак. Ще раз загострюю увагу на прийомі, що неодноразово зустрічався, який дозволяє істотно спростити наступну дію.

(1) До 2-го та 3-го рядків додали перший рядок. До 4-го рядка додали перший рядок, помножений на 2.

(3) Останні три рядки пропорційні, два з них видалили.

В результаті отримана стандартна ступінчаста матриця, і рішення продовжується за накатаною колією:

- Базисні змінні;
- Вільні змінні.

Виразимо базисні змінні через вільні змінні. З 2-го рівняння:

- Підставимо в 1-е рівняння:

Таким чином, загальне рішення:

Оскільки в цьому прикладі три вільні змінні, то фундаментальна система містить три вектори.

Підставимо трійку значень у загальне рішення і отримаємо вектор координати якого задовольняють кожному рівнянню однорідної системи. І знову повторюся, що дуже бажано перевіряти кожен отриманий вектор - часу займе не так багато, а від помилок вбереже повністю.

Для трійки значень знаходимо вектор

І, нарешті, для трійки отримуємо третій вектор:

Відповідь: , де

Бажаючі уникнути дробових значень можуть розглянути трійки та отримати відповідь в еквівалентному вигляді:

До речі про дроби. Подивимося на отриману в задачі матрицю і поставимо запитання – чи не можна спростити подальше рішення? Адже тут ми спочатку висловили через дроби базисну змінну, потім через дроби базисну змінну, і, треба сказати, процес це був не найпростіший і не найприємніший.

Другий варіант вирішення:

Ідея полягає в тому, щоб спробувати вибрати інші базисні змінні. Подивимося на матрицю і помітимо дві одиниці у третьому стовпці. То чому б не отримати нуль вгорі? Проведемо ще одне елементарне перетворення: