1 первісна невизначений інтеграл та його властивості. Невизначений інтеграл

Первісна функція та невизначений інтеграл

Факт 1. Інтегрування - дія, зворотне диференціювання, а саме, відновлення функції за відомою похідною цієї функції. Відновлена ​​таким чином функція F(x) називається первісноїдля функції f(x).

Визначення 1. Функція F(x f(x) на деякому проміжку Xякщо для всіх значень xз цього проміжку виконується рівність F "(x)=f(x), тобто дана функція f(x) є похідною від первісної функції F(x). .

Наприклад, функція F(x) = sin x є первісною для функції f(x) = cos x на всій числовій прямій, тому що при будь-якому значенні ікса (sin x)" = (cos x) .

Визначення 2. Невизначеним інтегралом функції f(x) називається сукупність всіх її первісних. При цьому використовується запис

∫

f(x)dx

,

де знак ∫ називається знаком інтеграла, функція f(x) – підінтегральною функцією, а f(x)dx - Підінтегральний вираз.

Таким чином, якщо F(x) – якась первісна для f(x) , то

∫

f(x)dx = F(x) +C

де C - Довільна постійна (константа).

Для розуміння сенсу безлічі первісних функцій як невизначеного інтеграла доречна наступна аналогія. Нехай є двері (традиційні дерев'яні двері). Її функція – "бути дверима". А з чого зроблено двері? Із дерева. Значить, безліччю первісних підінтегральних функцій "бути дверима", тобто її невизначеним інтегралом, є функція "бути деревом + С", де С - константа, яка в даному контексті може позначати, наприклад, породу дерева. Подібно до того, як двері зроблені з дерева за допомогою деяких інструментів, похідна функції "зроблена" з первісної функції за допомогою формули, яку ми дізналися, вивчаючи похідну .

Тоді таблиця функцій поширених предметів та відповідних їм первісних ("бути дверима" - "бути деревом", "бути ложкою" - "бути металом" та ін.) аналогічна до таблиці основних невизначених інтегралів, яка буде наведена трохи нижче. У таблиці невизначених інтегралів перераховуються поширені функції із зазначенням первісних, у тому числі " зроблені " ці функції. У частині завдань перебування невизначеного інтеграла дані такі подинтегральные функції, які без особливих умов може бути проінтегровані безпосередньо, тобто за таблицею невизначених інтегралів. У завданнях складніше підінтегральну функцію потрібно попередньо перетворити те щоб можна було використовувати табличні інтеграли.

Факт 2. Відновлюючи функцію як первісну, ми маємо враховувати довільну постійну (константу) C, а щоб не писати список первісної з різними константами від 1 до нескінченності, потрібно записувати безліч первісних з довільною константою Cнаприклад, так: 5 x³+С . Отже, довільна стала (константа) входить у вираз первісної, оскільки первісна може бути функцією, наприклад, 5 x³+4 або 5 x³+3 і при диференціюванні 4 або 3, або будь-яка інша константа перетворюються на нуль.

Поставимо завдання інтегрування: для цієї функції f(x) знайти таку функцію F(x), похідна якоїдорівнює f(x).

приклад 1.Знайти безліч первісних функцій

Рішення. Для цієї функції першорядною є функція

Функція F(x) називається первісною для функції f(x), якщо похідна F(x) дорівнює f(x), або, що те саме, диференціал F(x) дорівнює f(x) dx, тобто.

(2)

Отже, функція - первісна для функції . Однак вона не є єдиною первісною для . Ними служать також функції

де З- Довільна постійна. У цьому вся можна переконатися диференціюванням.

Таким чином, якщо для функції існує одна первісна, то для неї існує безліч первісних, що відрізняються на постійне доданок. Усі первісні функції записуються в наведеному вище вигляді. Це випливає із наступної теореми.

Теорема (формальний виклад факту 2).Якщо F(x) – первісна для функції f(x) на деякому проміжку Х, то будь-яка інша первісна для f(x) на тому ж проміжку може бути представлена ​​у вигляді F(x) + C, де З- Довільна постійна.

У наступному прикладі вже звертаємося до таблиці інтегралів, яка буде дана в параграфі 3, після властивостей невизначеного інтегралу. Робимо це до ознайомлення з усією таблицею, щоб було зрозуміло суть вищевикладеного. А після таблиці та властивостей будемо користуватися ними при інтегруванні у всій повноті.

приклад 2.Знайти безліч первісних функцій:

Рішення. Знаходимо безліч первісних функцій, у тому числі " зроблені " дані функції. При згадці формул з таблиці інтегралів поки що просто прийміть, що є такі формули, а повністю саму таблицю невизначених інтегралів ми вивчимо трохи далі.

1) Застосовуючи формулу (7) з таблиці інтегралів при n= 3, отримаємо

2) Використовуючи формулу (10) з таблиці інтегралів при n= 1/3, маємо

3) Оскільки

то за формулою (7) при n= -1/4 знайдемо

Під знаком інтеграла пишуть не саму функцію f, а її твір на диференціал dx. Це робиться насамперед для того, щоб вказати, за якою змінною шукається первісна. Наприклад,

, ;

тут обох випадках подинтегральная функція дорівнює , та її невизначені інтеграли у розглянутих випадках виявляються різними. У першому випадку ця функція сприймається як функція від змінної x, а у другому - як функція від z .

Процес знаходження невизначеного інтеграла функції називається інтегрування цієї функції.

Геометричний зміст невизначеного інтегралу

Нехай потрібно знайти криву y=F(x)і ми вже знаємо, що тангенс кута нахилу дотичної в кожній точці є задана функція f(x)абсциси цієї точки.

Відповідно до геометричного змісту похідної, тангенс кута нахилу дотичної в даній точці кривої y=F(x)дорівнює значенню похідної F"(x). Отже, потрібно знайти таку функцію F(x), для котрої F"(x)=f(x). Необхідна в завданні функція F(x)є первісною від f(x). Умову задачі задовольняє не одна крива, а сімейство кривих. y=F(x)- одна з таких кривих, а будь-яка інша крива може бути отримана з неї паралельним перенесенням вздовж осі Ой.

Назвемо графік первісної функції від f(x)інтегральної кривої. Якщо F"(x)=f(x), то графік функції y=F(x)є інтегральна крива.

Факт 3. Невизначений інтеграл геометрично представлений насінням усіх інтегральних кривих як на малюнку нижче. Відстань кожної кривої від початку координат визначається довільною постійною (константою) інтегрування C.

Властивості невизначеного інтегралу

Факт 4. Теорема 1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції, яке диференціал – підинтегральному вираженню.

Факт 5. Теорема 2. Невизначений інтеграл від диференціалу функції f(x) дорівнює функції f(x) з точністю до постійного доданку , тобто.

(3)

Теореми 1 і 2 показують, що диференціювання та інтегрування є взаємно-зворотними операціями.

Факт 6. Теорема 3. Постійний множник у підінтегральному вираженні можна виносити за знак невизначеного інтегралу , тобто.

Інтегральне обчислення.

Первісна функція.

Визначення: Функція F(x) називається первісною функцієюфункції f(x) на відрізку , якщо у будь-якій точці цього відрізка правильна рівність:

Слід зазначити, що первісних однієї й тієї функції може бути нескінченно багато. Вони відрізнятимуться один від одного на деяке постійне число.

F 1 (x) = F 2 (x) + C.

Невизначений інтеграл.

Визначення: Невизначеним інтеграломфункції f(x) називається сукупність первісних функцій, які визначені співвідношенням:

Записують:

Умовою існування невизначеного інтеграла на певному відрізку є безперервність функції цьому відрізку.

Властивості:

1.

2.

3.

4.

Приклад:

Знаходження значення невизначеного інтеграла пов'язане головним чином із знаходженням первісної функції. Для деяких функцій це досить складне завдання. Нижче буде розглянуто способи знаходження невизначених інтегралів для основних класів функцій – раціональних, ірраціональних, тригонометричних, показових та ін.

Для зручності значення невизначених інтегралів більшості елементарних функцій зібрані спеціальні таблиці інтегралів, які бувають іноді дуже об'ємними. У них включені різні комбінації функцій, що найчастіше зустрічаються. Але більшість представлених у цих таблицях формул є наслідками один одного, тому наведемо таблицю основних інтегралів, за допомогою якої можна отримати значення невизначених інтегралів різних функцій.

Інтеграл		Значення	Інтеграл		Значення
		lnsinx+ C
		ln

Методи інтегрування.

Розглянемо три основні методи інтегрування.

Безпосереднє інтегрування.

Метод безпосереднього інтегрування заснований на припущенні про можливе значення первісної функції із подальшою перевіркою цього значення диференціюванням. Загалом, зауважимо, що диференціювання є потужним інструментом перевірки результатів інтегрування.

Розглянемо застосування цього на прикладі:

Потрібно знайти значення інтегралу . На основі відомої формули диференціювання
можна зробити висновок, що шуканий інтеграл дорівнює
, де С - деяке постійне число. Однак, з іншого боку
. Таким чином, остаточно можна зробити висновок:

Зауважимо, що на відміну диференціювання, де знаходження похідної використовувалися чіткі прийоми і методи, правила знаходження похідної, нарешті визначення похідної, для інтегрування такі методи недоступні. Якщо при знаходженні похідної ми користувалися, так би мовити, конструктивними методами, які, базуючись на певних правилах, призводили до результату, то при знаходженні первісної доводиться переважно спиратися на знання таблиць похідних та первісних.

Що стосується методу безпосереднього інтегрування, то він застосовний тільки для деяких обмежених класів функцій. Функцій, для яких можна відразу знайти первинну дуже мало. Тому здебільшого застосовуються способи, описані нижче.

Спосіб підстановки (заміни змінних).

Теорема: Якщо потрібно знайти інтеграл
, але складно відшукати первісну, то за допомогою заміни x = (t) та dx = (t)dt виходить:

Доведення : Продиференціюємо пропоновану рівність:

За розглянутою вище якістю №2 невизначеного інтеграла:

f(x) dx = f[  (t)]  (t) dt

що з урахуванням введених позначень є вихідним припущенням. Теорему доведено.

приклад.Знайти невизначений інтеграл
.

Зробимо заміну t = sinx, dt = cosxdt.

приклад.

Заміна
Отримуємо:

Нижче буде розглянуто інші приклади застосування методу підстановки для різних типів функцій.

Інтегрування частинами.

Спосіб заснований на відомій формулі похідної праці:

(uv) = uv + vu

де u та v – деякі функції від х.

У диференціальній формі: d(uv) = udv + vdu

Проінтегрувавши, отримуємо:
, а відповідно до наведених вище властивостей невизначеного інтеграла:

або
;

Отримали формулу інтегрування частинами, яка дозволяє знаходити інтеграли багатьох елементарних функцій.

приклад.

Як видно, послідовне застосування формули інтегрування частинами дозволяє поступово спростити функцію і привести інтеграл до табличного.

приклад.

Видно, що в результаті повторного застосування інтегрування частинами функцію не вдалося спростити до табличного виду. Однак останній отриманий інтеграл нічим не відрізняється від вихідного. Тому перенесемо його до лівої частини рівності.

Таким чином, інтеграл знайдено взагалі без застосування таблиць інтегралів.

Перш ніж докладно розглянути методи інтегрування різних класів функцій, наведемо ще кілька прикладів знаходження невизначених інтегралів приведенням їх до табличних.

приклад.

приклад.

приклад.

приклад.

приклад.

приклад.

приклад.

приклад.

приклад.

приклад.

Інтегрування елементарних дробів.

Визначення: Елементарниминазиваються дроби наступних чотирьох типів:

I.
ІІІ.

ІІ.
IV.

m, n – натуральні числа (m  2, n  2) та b 2 – 4ac<0.

Перші два типи інтегралів від елементарних дробів досить просто наводяться до табличних підстановок t = ax + b.

Розглянемо спосіб інтегрування елементарних дробів виду III.

Інтеграл дробу виду III може бути представлений у вигляді:

Тут у загальному вигляді показано приведення інтеграла дробу виду III до двох табличних інтегралів.

Розглянемо застосування зазначеної формули на прикладах.

приклад.

Взагалі кажучи, якщо у тричлена ax 2 + bx + c вираз b 2 – 4ac >0, то дріб за визначенням не є елементарним, проте її можна інтегрувати вказаним вище способом.

приклад.

приклад.

Розглянемо тепер методи інтегрування найпростіших дробів IV типу.

Спочатку розглянемо окремий випадок при М = 0, N = 1.

Тоді інтеграл виду
можна шляхом виділення у знаменнику повного квадрата подати у вигляді
. Зробимо таке перетворення:

Другий інтеграл, що входить до цієї рівності, будемо брати частинами.

Позначимо:

Для вихідного інтеграла отримуємо:

Отримана формула називається рекурентної.Якщо застосувати її n-1 раз, то вийде табличний інтеграл
.

Повернемося тепер до інтегралу від елементарного дробу виду IV у загальному випадку.

В отриманій рівності перший інтеграл за допомогою підстановки t = u 2 + sнаводиться до табличного а до другого інтегралу застосовується розглянута вище рекурентна формула.

Незважаючи на складність інтегрування елементарного дробу виду IV, що здається, на практиці його досить легко застосовувати для дробів з невеликим ступенем n, А універсальність і спільність підходу уможливлює дуже просту реалізацію цього на ЕОМ.

приклад:

Інтегрування оптимальних функцій.

Інтегрування раціональних дробів.

Для того щоб проінтегрувати раціональний дріб необхідно розкласти його на елементарні дроби.

Теорема: Якщо
- правильний раціональний дріб, знаменник P(x) якого представлений у вигляді твору лінійних і квадратичних множників (зазначимо, що будь-який многочлен з дійсними коефіцієнтами може бути представлений у такому вигляді: P(x) = (x - a)  …(x - b)  (x 2 + px + q)  …(x 2 + rx + s)  ), то цей дріб може бути розкладений на елементарні за наступною схемою:

де A i , B i , M i , N i , R i , S i - деякі постійні величини.

При інтегруванні раціональних дробів вдаються до розкладання вихідного дробу елементарні. Для знаходження величин A i , B i , M i , N i , R i , S i застосовують так званий метод невизначених коефіцієнтів, Суть якого полягає в тому, що для того, щоб два многочлена були тотожно рівні, необхідно і достатньо, щоб були рівні коефіцієнти при однакових ступенях х.

Застосування цього розглянемо на конкретному прикладі.

приклад.

Приводячи до спільного знаменника та прирівнюючи відповідні чисельники, отримуємо:

приклад.

Т.к. дріб неправильний, то попередньо слід виділити в неї цілу частину:

6x 5 - 8x 4 - 25x 3 + 20x 2 - 76x - 7 3x 3 - 4x 2 - 17x + 6

6x 5 - 8x 4 - 34x 3 + 12x 2 2x 2 + 3

9x 3 + 8x 2 – 76x - 7

9x 3 – 12x 2 – 51x +18

20x 2 – 25x – 25

Розкладемо знаменник отриманого дробу на множники. Видно, що за х = 3 знаменник дробу перетворюється на нуль. Тоді:

3x 3 - 4x 2 - 17x + 6x - 3

3x 3 - 9x 2 3x 2 + 5x - 2

Таким чином, 3x 3 – 4x 2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x 2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2)(3x – 1). Тоді:

Для того, щоб уникнути при знаходженні невизначених коефіцієнтів розкриття дужок, угруповання та вирішення системи рівнянь (яка в деяких випадках може виявитися досить великою) застосовують так званий метод довільних значень. Суть методу у тому, що у отримане вище вираз підставляються почергово кілька (за кількістю невизначених коефіцієнтів) довільних значень x. Для спрощення обчислень прийнято як довільні значення приймати точки, у яких знаменник дробу дорівнює нулю, тобто. у разі – 3, -2, 1/3. Отримуємо:

Остаточно отримуємо:

=

приклад.

Знайдемо невизначені коефіцієнти:

Тоді значення заданого інтегралу:

Інтегрування деяких тригонометричних

функцій.

Інтегралів від тригонометричних функцій може бути дуже багато. Більшість цих інтегралів взагалі не можна обчислити аналітично, тому розглянемо деякі найголовніші типи функцій, які можуть бути проінтегровані завжди.

Інтеграл виду
.

Тут R – позначення певної раціональної функції змінних sinx і cosx.

Інтеграли цього виду обчислюються за допомогою підстановки
. Ця підстановка дозволяє перетворити тригонометричну функцію на раціональну.

,

Тоді

Таким чином:

Описане вище перетворення називається універсальною тригонометричною підстановкою.

приклад.

Безперечною перевагою цієї підстановки є те, що з її допомогою завжди можна перетворити тригонометричну функцію в раціональну та обчислити відповідний інтеграл. До недоліків можна віднести те, що при перетворенні може вийти досить складна раціональна функція, інтегрування якої займе багато часу та сил.

Однак при неможливості застосувати раціональнішу заміну змінної цей метод є єдино результативним.

приклад.

Інтеграл виду
якщо

функціяRcosx.

Незважаючи на можливість обчислення такого інтеграла за допомогою універсальної тригонометричної підстановки, раціональніше застосувати підстановку t = sinx.

Функція
може містити cosx тільки у парних ступенях, а, отже, може бути перетворена на раціональну функцію щодо sinx.

приклад.

Взагалі кажучи, для застосування цього методу необхідна лише непарність функції щодо косинуса, а ступінь синуса, що входить у функцію, може бути будь-якою, як цілою, так і дробовою.

Інтеграл виду
якщо

функціяRє непарною щодоsinx.

За аналогією з розглянутим вище випадком робиться підстановка t = cosx.

приклад.

Інтеграл виду

функціяRпарна щодоsinxіcosx.

Для перетворення функції R на раціональну використовується підстановка

t = tgx.

приклад.

Інтеграл твору синусів та косинусів

різних аргументів.

Залежно від типу твору застосовується одна з трьох формул:

приклад.

приклад.

Іноді при інтегруванні тригонометричних функцій зручно використовувати загальновідомі тригонометричні формули зниження порядку функцій.

приклад.

приклад.

Іноді застосовують деякі нестандартні прийоми.

приклад.

Інтегрування деяких ірраціональних функций.

Не кожна ірраціональна функція може мати інтеграл, виражений елементарними функціями. Для знаходження інтеграла від ірраціональної функції слід застосувати підстановку, яка дозволить перетворити функцію на раціональну, інтеграл від якої може бути знайдений як відомо завжди.

Розглянемо деякі прийоми для інтегрування різних типів ірраціональних функций.

Інтеграл виду
деn- натуральне число.

За допомогою підстановки
функція раціоналізується.

приклад.

Якщо до складу ірраціональної функції входять коріння різних ступенів, то як нова змінна раціонально взяти корінь ступеня, що дорівнює найменшому загальному кратному ступенів коренів, що входять у вираз.

Проілюструємо це з прикладу.

приклад.

Інтегрування біномінальних диференціалів.

Поняття невизначеного інтегралу.диференціювання -це дія, за допомогою якого за цією функцією знаходиться її похідна або диференціал. Наприклад, якщо F(x) = х 10 , то F" (х) = 10х 9 dF (х) = 10x 9 dx.

Інтегрування -це дія, зворотне диференціювання. За допомогою інтегрування по цій похідній або диференціалу функції знаходиться сама функція. Наприклад, якщо F" (х) = 7х6, то F(х) == х7, так як (х7)"=7х6.

Диференційована функція F(x), хЕ]a; b[ називається первісноїдля функції f(х) на інтервалі ]а; Ь[, якщо F"(х) = f(х) для кожного хЕ]a; b[.

Так, для функції f(x) = 1/cos 3 х першоподібною служить функція F(x)= tg x, оскільки (tg x)" = 1/cos 2 х.

Сукупність всіх первісних функцій f(x) на інтервалі ]а; b[ називають невизначеним інтеграломвід функції f(x) на цьому інтервалі і пишуть f(x)dx = F(x) + С. Тут f(x)dx - підінтегральний вираз;

F(х)-підінтегральна функція; х-змінна інтегрування: С - довільна стала.

Наприклад, 5x 4 dx = х 5 + З, оскільки (х 3 + З)" = 5х 4 .

Наведемо основні властивості невизначеного інтегралу. 1.Диференціал невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

D f (x) dx = f (x) dx.

2.Неопределенный інтеграл від диференціала функції дорівнює цій функції, складеної з довільною постійною, тобто.

3.Постійний множник можна виносити за знак невизначеного інтеграла:

af(x)dx = f(x)dx

4. Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми функцій дорівнює сумі алгебри невизначених інтегралів від кожної функції:

(f 1 (х) ± f 2 (х)) dx = f 1 (х) dx ± f 2 (х) dx.

Основні формули інтегрування

(Табличні інтеграли).

6.

приклад 1.Знайти

Рішення. Зробимо підстановку 2 - Зх 2 = t тоді -6xdx = dt, xdx = - (1/6) dt. Далі, отримуємо

приклад 3.Знайти

Рішення. Покладемо 10х = t; тоді 10dx = dt, звідки dx=(1/10)dt.

3.

Так, при знаходженні sinl0xdx можна використати формулу sinkxdx = - (1/k) cos kx+C де k=10.

Тоді sinl0xdx = -(1/10) сos10х+С.

Запитання та вправи для самоперевірки

1. Яка дія називається інтегруванням?

2. Яка функція називається первісною для функції f(x)?

3. Дайте визначення невизначеного інтегралу.

4. Перерахуйте основні властивості невизначеного інтегралу.

5. Яким процесом можна перевірити інтегрування?

6. Напишіть основні формули інтегрування (табличні інтеграли).

7. Знайдіть інтеграли: а) б) в)

де а-нижня межа, Ь-верхня межа, F(x)-якась первісна функції f(х).

З цієї формули видно порядок обчислення певного інтегралу 1) знаходять одну з первісних F (x) даної функції; 2) знаходять значення F(x) при х = а та х = Ь; 3) обчислюють різницю F(Ь) - F(а).

приклад 1.Обчислити інтеграл

Рішення. Скористаємося визначенням ступеня з дробовим та негативним показником та обчислимо певний інтеграл:

2. Відрізок інтегрування можна розбивати на частини:

3. Постійний множник можна виносити за знак інтегралу:

4. Інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів від усіх доданків:

2) Визначимо межі інтегрування для змінної t. При х=1 отримуємо t н =1 3 +2=3, при х=2 отримуємо t =2 3 +2=10.

приклад 3.Обчислити інтеграл

Рішення. 1) покладемо cos x = t; тоді - sinxdx = dt і

sinxdx=-dt. 2) Визначимо межі інтегрування для змінної t: t н =cos0=1:t =cos (π/2)=0.

3) Виразивши підінтегральний вираз через t і dt і перейшовши до нових меж, отримаємо

Обчислимо кожен інтеграл окремо:

Приклад 5.Обчислити площу фігури, обмеженою параболою у = х 2 прямими х = - 1, х = 2 і віссю абсцис (рис.47).

Рішення. Застосовуючи формулу (1), отримуємо

тобто. S = 3 кв. од.

Площа фігури ABCD (рис. 48), обмеженої графіками безперервних функцій у = f 1 (x) і у f 2 = (x), де х Є [а, b], відрізками прямих х = а та х = Ь, обчислюється за формулі

		Об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу криволінійної трапеції аАВЬ, обмеженою безперервною кривою x=f(y), де у Є [а, b], відрізком [а, b] осі Оу, відрізками прямих у = а та у = Ь ( 53), обчислюється за формулою Шлях, пройдений точкою. Якщо точка рухається прямолінійно та її швидкість v=f(t) є відома функція часу t, то шлях пройдений точкою за проміжок часу , обчислюється за формулою Запитання для самоперевірки 1. Дайте визначення певного інтегралу. 2. Перерахуйте основні властивості певного інтегралу. 3. У чому полягає геометричний зміст певного інтегралу? 4. Напишіть формули для визначення площі плоскої фігури за допомогою певного інтегралу. 5. За якими формулами є об'єм тіла обертання? 6. Напишіть формулу для обчислення шляху, пройденого тілом. 7. Напишіть формулу для обчислення роботи змінної сили. 8. За якою формулою обчислюється сила тиску рідини на платівку?

Функцію, що відновлюється за її похідною або диференціалом, називають первісної.

Визначення.Функція F(x)називається первісноїдля функції

f(x)на деякому проміжку, якщо у кожній точці цього проміжку

F"(x) = f(x)

або, що теж,

dF(x) = f(x)dx

Наприклад, F(x) = sin xє первісною для f(x) = cos xна всій числовій осі OХ, так як

(sin x)" = cos x

Якщо функція F(x) є первісна для функції f(x) на [ a; b], то функція F(x) + С, де Cбудь-яке дійсне число, також є первісною для f(x) за будь-якого значення C. Дійсно ( F(x) + C)" = F"(x) + C" = f(x).

приклад.

Визначення.Якщо F(x)одна з первісних для функції f(x)на [ a; b], то вираз F(x) + С, де Cдовільна постійна, називається невизначеним інтеграломвід функції f(x)та позначається символом ʃ f(x)dx(читається: невизначений інтеграл від f(x)на dx). Отже,

ʃ f (x ) dx = F (x ) + C ,

де f(x)називається підінтегральною функцією, f(x)dx‒ підінтегральним виразом, x‒ змінної інтегрування, а символ ʃ‒ знаком невизначеного інтеграла.

Властивості невизначеного інтеграла та його геометричні властивості.

З визначення невизначеного інтеграла випливає, що:

1. Похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

Справді, F"(x) = f(x) та ʃ f(x)dx = F(x)+ C. Тоді

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу

Справді,

3. Невизначений інтеграл від похідної дорівнює самій функції плюс довільна постійна:

Справді, F"(x) = f(x). Тоді,

4. Невизначений інтеграл від диференціала дорівнює диференційованій функції плюс довільна постійна:

Справді, . Тоді,

5. Постійний множник k(k≠ 0) можна виносити за знак невизначеного інтегралу:

6. Невизначений інтеграл від суми алгебри кінцевого числа функції дорівнює сумі алгебри інтегралів від цих функцій:

Назвемо графік первісної F(x) інтегральної кривої. Графік будь-якої іншої первісної F(x) + Cвиходить паралельним перенесенням інтегральної кривої F(x)вздовж осі OY.

приклад.

Таблиця основних інтегралів

Основні прийоми інтегрування

1. Безпосереднє (табличне) інтегрування.

Безпосереднє (табличне) інтегрування – це приведення інтеграла до табличного виду за допомогою основних властивостей та формул елементарної математики.

приклад 1.

Рішення:

приклад2 .

Рішення:

приклад3 .

Рішення:

2. Метод підведення під диференціал.

приклад 1.

Рішення:

приклад2 .

Рішення:

приклад3 .

Рішення:

приклад4 .

Рішення:

приклад5 .

Рішення:

приклад6 .

Рішення:

приклад7 .

Рішення:

приклад8 .

Рішення:

приклад9 .

Рішення:

приклад10 .

Рішення:

3. Другий спосіб підведення під диференціал.

приклад 1.

Рішення:

приклад2 .

Рішення:

4. Метод заміни змінної (підстановки).

приклад.

Рішення:

5. Метод інтегрування частинами.

За цією формулою беруться такі типи інтегралів:

1 тип.

, формула застосовується n‒ раз, інше dv.

2 тип.

, Формула застосовується один раз.

приклад1 .

Рішення:

приклад 2.

Рішення:

приклад3 .

Рішення:

приклад4 .

Рішення:

ІНТЕГРУВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ДРОБІВ.

Раціональним дробом називається відношення двох багаточленів – ступеня m та ‒ ступеня n,

Можливі такі випадки:

1. Якщо , то застосовують метод розподілу кутом для виключення цілої частини.

2. Якщо і в знаменнику тричлен квадратний, то застосовують метод доповнення до повного квадрата.

приклад 1.

Рішення:

приклад2 .

Рішення:

3. Метод невизначених коефіцієнтів при розкладанні правильного раціонального дробу на суму найпростіших дробів.

Будь-який правильний раціональний дріб, де, можна подати у вигляді суми найпростіших дробів:

де A, B, C, D, E, F, M, N,...‒ невизначені коефіцієнти.

Для знаходження невизначених коефіцієнтів треба праву частину привести до спільного знаменника. Оскільки знаменник збігається зі знаменником дробу правої частини, їх можна відкинути і прирівняти чисельники. Потім, прирівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях x у лівій та правій частинах, отримаємо систему лінійних рівнянь з n‒ невідомими. Вирішивши цю систему, знайдемо шукані коефіцієнти A, B, C, Dі так далі. Отже, розкладемо правильний раціональний дріб на найпростіші дроби.

Розглянемо на прикладах можливі варіанти:

1. Якщо множники знаменника лінійні та різні:

2. Якщо серед множників знаменника є короткі множники:

3. Якщо серед множників знаменника є квадратний тричлен, нерозкладний на множники:

Приклади:Розкласти на суму найпростіших раціональний дріб. Проінтегрувати.

Приклад1.

Оскільки знаменники дробів рівні, повинні бути рівні і чисельники, тобто.

приклад 2.

приклад3 .

Інтеграл є важливою частиною диференціального обчислення. Інтеграли можуть бути подвійні, потрійні та ін. Для знаходження площі поверхні та обсягу геометричних тіл використовуються різні типи інтегралів.

Невизначений інтеграл має вигляд: \(∫f(x)\, dx\) і певний інтеграла має вигляд: \(\int_a^b\!f(x)\, dx\)

Область площини, обмеженої графіком певного інтеграла:

Операції інтегрування обернені диференціювання. З цієї причини треба згадати першорядну функцію таблицю похідних.

Функція \(F(x) = x^2\) є первісною для функції \(f(х) = 2х\). Функції \(f(х) = x^2+2\) і \(f(х) = x^2+7\) також є первісними для функції \(f(х) = 2х\). \(2\) і \(7-\) це константи, похідні яких дорівнюють нулю, тому ми можемо підставляти їх скільки завгодно, значення первісної не зміниться. Для запису невизначеного інтеграла використовує знак (∫) . Невизначений інтеграл- це сукупність всіх первісних функцій \(f(х) = 2х\). Операції інтегрування обернені диференціювання. \(∫2x = x^2+C\) , де \(C\) це константа інтегрування, тобто якщо ми обчислимо похідну \(x^2\) , то отримаємо \(2x\) , а це і є \ (∫2x) . Легко, чи не так? Якщо ви не зрозуміли, вам потрібно повторити похідну функції. Тепер ми можемо вивести формулу за якою обчислюватимемо інтеграл: \(∫u^ndu=\frac(u^n+1) (n+1), n ​​≠ -1\). ми вичитали 1, тепер ми додаємо 1 , n не може бути 0. Також існують інші правила інтегрування для інших основних функцій які треба вивчити:

Рішення невизначеного інтеграла це зворотний процес знаходження первинних диференціальних рівнянь. Ми знаходимо функцію, похідна якої є інтегралом, і не забуваємо додавати "+C" наприкінці.

Принципи інтегрального знищення були сформульовані незалежно один від одного Ісаком Ньютоном і Готфрідом Лейбніцем наприкінці 17 століття. Бернхард Ріман дав суворе математичне визначення інтегралів. Першим документованим систематичним методом, здатним визначати інтеграли, є метод зчеснення давньогрецького астронома Евдокса, який намагався знайти площі та обсяги, розбивши їх на нескінченну кількість відомих площ та обсягів. Цей метод був розроблений і використаний Архімедом в 3-му столітті до н. е. і використовувався для розрахунку площ парабол та наближення до площі кола.

Аналогічний метод був незалежно розроблений у Китаї близько 3-го століття нашої ери Лю Хуеєм, який використав його, щоб знайти площу кола. Цей метод пізніше був використаний у 5-му столітті китайськими математиками-батьком та сином ЗУ Чунчжі та ЗУ Генгом, щоб знайти обсяг сфери.

Наступні значні досягнення в інтегральному численні не з'являлися до 17 століття. У цей час роботи Кавальєрі та Ферма почали закладати основи сучасного числення.

Зокрема, фундаментальна теорема обчислення інтегралів дозволяє вирішувати набагато ширший клас завдань. Рівним за важливістю є комплексна математична структура, яку розробили Ньютон та Лейбніц. Ця структура інтегралів взята безпосередньо з роботи Лейбніца і стала сучасним інтегральним обчисленням. Обчислення було змінено Ріманом, використовуючи межі. Згодом було розглянуто загальніші функції, особливо у контексті аналізу Фур'є, яких визначення Рімана не застосовується. Лебег сформулював інше визначення інтеграла, засноване на теорії заходів (підпілля реального аналізу).

Сучасне позначення невизначеного інтеграла було запроваджено Готфрідом Лейбніцем у 1675 році.

Інтеграли широко використовуються у багатьох галузях математики. Наприклад, теоретично ймовірностей інтеграли використовуються визначення ймовірності попадання деякої випадкової величини в певний діапазон.

Інтеграли можуть бути використані для обчислення площі двовимірної області, що має криволінійний кордон, а також для обчислення обсягу тривимірного об'єкта, що має криволінійний кордон.

Інтеграли використовуються у фізиці, у таких областях, як кінематика, щоб знайти переміщення, час та швидкість.