Аксіоматичне визначення системи цілих чисел. Аксіоматика дійсних чисел

При побудові аксіоматичної теорії натуральних чисел первинними термінами будуть «елемент» або «число» (які в контексті цього посібника ми можемо розглядати як синоніми) та «множину», основними відносинами: «приналежність» (елемент належить множині), «рівність» та « слідкувати за», що позначається а / (читається «число а штрих слід за числом а», наприклад, за двійкою слідує трійка, тобто 2 / = 3, за числом 10 слідує число 11, тобто 10 / = 11 і т.д).

Безліч натуральних чисел(натуральним рядом, позитивними цілими числами) називається безліч N з введеним ставленням «слідувати за», в якому виконані наступні 4 аксіоми:

А 1 . У безлічі N існує елемент, званий одиницею, який не слідує ні за яким іншим числом.

А 2 . Для кожного елемента натурального ряду існує єдиний наступний за ним.

А 3 . Кожен елемент N слід лише за одним елементом натурального ряду.

А 4. ( Аксіома індукції) Якщо підмножина М множини N містить у собі одиницю, а також разом з кожним своїм елементом а містить і наступний за ним елемент а / , то М збігається N.

Ті ж аксіоми можна записати коротко за допомогою математичних символів:

А 1 ( 1  N) ( a  N) a / ≠ 1

A 2 ( a  N) ( a /  N) a = b => a / = b /

A 3 a / = b / => a = b

Якщо елемент b слідує за елементом а (b = а /), то говоритимемо, що елемент а є попереднім для елемента b (або передує b). Ця система аксіом носить назву системи аксіом Пеано(оскільки була введена в XIX столітті італійським математиком Джузеппе Пеано). Це лише один із можливих наборів аксіом, що дозволяє визначити безліч натуральних чисел; існують інші еквівалентні підходи.

Найпростіші властивості натуральних чисел

Властивість 1. Якщо елементи різні, то й наступні за ними різні, тобто

a  b => a /  b / .

Доведенняздійснюється методом від протилежного: припустимо, що a / = b / тоді (по А 3) a = b, що суперечить умові теореми.

Властивість 2. Якщо елементи різні, те й попередні (якщо вони існують) різні, тобто

a /  b / => a  b.

Доведення: припустимо, що a = b, тоді, згідно з А 2 маємо a / = b / , що суперечить умові теореми.

Властивість 3. Ніяке натуральне число не дорівнює наступному за ним.

Доведення: Введемо в розгляд безліч М, що складається з таких натуральних чисел, для яких ця умова виконується

М = (a  N | a  a / ).

Доказ проводитимемо, спираючись на аксіому індукції. За визначенням множини М, воно є підмножиною множини натуральних чисел. Далі 1М, тому що одиниця не слідує ні за яким натуральним числом (А 1), а значить у тому числі і для а = 1 маємо: 1  1 / . Припустимо тепер, що деяке а  М. Це означає, що a  a / (за визначенням М), звідки a /  (a /) / (властивість 1), тобто a /  М. З усього вище сказаного на підставі аксіоми індукції можна зробити висновок, що М = N, тобто наша теорема вірна всім натуральних чисел.

Теорема 4. Для будь-якого натурального числа відмінного від 1 існує попереднє число.

Доведення: Розглянемо безліч

М = (1)  (c N | ( a  N) c = a / ).

Це М є безліч натуральних чисел, одиниця явно належить даному множині. Друга частина цієї множини – це елементи, котрим існують попередні, отже, якщо а  М, то a / теж належить М (його другої частини, оскільки в a / є попередній – це а). Таким чином, на підставі аксіоми індукції М збігається з безліччю всіх натуральних чисел, а значить всі натуральні числа це або 1 або ті, для яких існує попередній елемент. Теорему доведено.

Несуперечність аксіоматичної теорії натуральних чисел

Як інтуїтивна модель безлічі натуральних чисел можна розглядати набори рисочок: числу 1 відповідатиме |, числу 2 ||, і т.д., тобто натуральний ряд матиме вигляд:

|, ||, |||, ||||, ||||| ….

Дані ряди рисок можуть служити моделлю натуральних чисел, якщо як відношення «іти за» використовувати «приписування однієї рисочки до числа». Справедливість усіх аксіом інтуїтивно очевидна. Вочевидь, дана модель перестав бути суворо логічної. Для побудови строгої моделі потрібно мати іншу свідомо несуперечливу аксіоматичну теорію. Але такої теорії у нашому розпорядженні, як зазначалося вище, немає. Таким чином, або ми змушені спертися на інтуїцію, або не вдаватися до методу моделей, а послатися на те, що протягом більш ніж 6 тисячоліть, під час яких здійснюється вивчення натуральних чисел, жодних протиріч з цими аксіомами не було виявлено.

Незалежність системи аксіом Пеано

Для доказу незалежності першої аксіоми достатньо побудувати модель, в якій аксіома А 1 хибна, а аксіоми А 2, А3, А4 істини. Розглянемо як первинні терміни (елементи) числа 1, 2, 3, а відношення «іти за» визначимо співвідношеннями: 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 1.

У цій моделі немає елемента, який би не слідував ні за яким іншим (аксіома 1 хибна), але всі інші аксіоми виконуються. Отже, перша аксіома залежить від інших.

Друга аксіома складається з двох частин – існування та єдиності. Незалежність даної аксіоми (у частині існування) можна проілюструвати на моделі з двох чисел (1, 2) із ставленням «іти за», заданим єдиним співвідношенням: 1 / = 2:

Для двійки відсутній наступний елемент, аксіоми А 1 , А 3 , А 4 істинні.

Незалежність цієї аксіоми, в частині єдиності, ілюструє модель, в якій безліччю N буде безліч всіх звичайних натуральних чисел, а також всіляких слів (наборів букв, які не обов'язково мають сенс), складених з літер латинського алфавіту (після літери z наступної буде аа, потім аb ... аz, потім ba ..., за всіма можливими словами з двох літер, останнім з яких буде zz, піде слово ааа, і так далі). Ставлення «іти за» введемо так, як показано на малюнку:

Тут аксіоми А 1 А 3 А 4 також істинні, але за 1 слід відразу два елементи 2 і а. Отже, аксіома 2 залежить від інших.

Незалежність аксіоми 3 ілюструє модель:

в якій А1, А2, А4 істинні, але число 2 слід і за числом 4, і за числом 1.

Для доказу незалежності аксіоми індукції використовуємо множину N, що складається з усіх натуральних чисел, а також трьох букв (a, b, c). Відношення слідування в даній моделі можна ввести так, як показано на малюнку:

Тут для натуральних чисел використовується звичайне відношення слідування, а для літер відношення «слідувати за» визначається такими формулами: a / = b, b / = c, c / = a. Очевидно, що 1 не слідує ні за яким натуральним числом, для кожного є наступний, і притому тільки один, кожен елемент слід не більше ніж за одним елементом. Однак якщо ми розглянемо безліч М, що складається зі звичайних натуральних чисел, то це буде підмножина даної множини, що містить одиницю, а також наступний елемент для кожного елемента з М. Однак це підмножина не збігатиметься з усією моделлю, тому що не міститиме в собі літери a, b, c. Отже, аксіома індукції у цій моделі не виконується, отже, аксіома індукції залежить від інших аксіом.

Аксіоматична теорія натуральних чисел є категоричною(Повною у вузькому значенні).

 (n /) = ( (n)) / .

Принцип повної математичної індукції.

Теорема індукції.Нехай деяке твердження Р(n) сформульовано для всіх натуральних чисел, і нехай а) Р(1) – істинно; б) з того, що Р(k) істинно, слідує, що Р(k/) також істинно. Тоді твердження Р(n) справедливе всім натуральних чисел.

Для доказу введемо множину М таких натуральних чисел n (М  N), для яких твердження Р(n) істинне. Скористаємося аксіомою A 4 , тобто спробуємо довести, що:

1. k  M => k /  M.

Якщо нам це вдасться, то, згідно з аксіомою А 4 , ми зможемо дійти невтішного висновку, що M = N, тобто P(n) істинно всім натуральних числа.

1) За умовою а) теореми, Р(1) істинно, отже, 1М.

2) Якщо деяке k  М, то (за побудовою М) Р(k) – істинно. За умовою б) теореми, це тягне у себе істинність Р(k /), отже k /  М.

Отже, по аксіомі індукції (А 4) М = N, отже Р(n) істинно всім натуральних чисел.

Таким чином, аксіома індукції дозволяє створити метод доказу теорем щодо індукції. Цей метод відіграє ключову роль при доведенні основних теорем арифметики, що стосуються натуральних чисел. Він полягає в наступному:

1) перевіряється справедливість затвердження дляn=1 (База індукції) ,

2) передбачається справедливість цього твердження дляn= k, деk- довільне натуральне число(індукційне припущення) , і з урахуванням цього припущення встановлюється справедливість затвердження дляn= k / (індукційний крок ).

Доказ, заснований на даному алгоритмі, називається доказом методом математичної індукції .

Завдання для самостійного вирішення

№1.1. З'ясувати, які з цих систем задовольняють аксіомам Пеано (є моделями безлічі натуральних чисел), визначити, які аксіоми виконані, а які – ні.

а) N = (3, 4, 5 ...), n / = n + 1;

б) N = (n  6, n  N), n / = n + 1;

в) N = (n  - 2, n  Z), n / = n + 1;

г) N = (n  - 2, n  Z), n / = n + 2;

д) непарні натуральні числа, n / = n +1;

е) непарні натуральні числа, n / = n +2;

ж) Натуральні числа із ставленням n/ = n + 2;

з) N = (1, 2, 3), 1 / = 3, 2 / = 3, 3 / = 2;

і) N = (1, 2, 3, 4, 5), 1 / = 2, 2 / = 3, 3 / = 4, 4 / = 5, 5 / = 1;

к) Натуральні числа, кратні 3 із ставленням n / = n + 3

л) парні натуральні числа з відношенням n / = n + 2

м) Цілі числа,
.

У шкільному курсі математики дійсні числа визначалися конструктивним шляхом, ґрунтуючись на потребі проводити виміри. Таке визначення було несуворим і часто заводило дослідників у глухий кут. Наприклад, питання про безперервність дійсних чисел, тобто чи є порожнечі в цій множині. Тому під час проведення математичних досліджень необхідно мати суворе визначення досліджуваних понять, хоча у межах деяких інтуїтивних припущень (аксіом), які узгоджуються з практикою.

Визначення. Сукупність елементів x, y, z, …, що складається з більш ніж одного елемента,називається безліччю Rдійсних чисел, якщо для цих об'єктів встановлено такі операції та відносини:

I група аксіом- Аксіоми операції складання.

У безлічі Rвведено операцію додавання, тобто для будь-якої пари елементів aі b сумоюі позначається a + b
I 1 . a+b=b+a, a, b R .

I 2 . a+(b+c)=(a+b)+c,a, b, c R .

I 3. Існує такий елемент, званий нулемі позначається 0, що для будь-якого a R виконується умова a+0=a.

I 4 . Для будь-якого елемента a R існує елемент, званий йому протилежнимі позначається - a, для котрого a+(-a) = 0. Елемент a+(-b), a, b R , називається різницеюелементів aі bі позначається a - b.

II-група аксіом - аксіоми операції множення. У безлічі Rвведено операцію множення, тобто для будь-якої пари елементів aі bвизначено єдиний елемент, який їх називають творомі позначається a b, отже при цьому виконуються такі умови:
ІІ 1 . ab=ba, a, b R .

II 2 a(bc)=(ab)c, a, b, c R .

ІІ 3 . Існує таке елемент, зване одиницеюі позначається 1, що для будь-якого a R виконується умова a 1=a.

II 4 . Для будь-кого a 0 існує елемент, званий йому зворотнимі позначається або 1/ a, для котрого a=1. Елемент a , b 0, називається приватнимвід розподілу aна bі позначається a:bабо або a/b.

II 5 . Зв'язок операцій складання та множення: для будь-яких a, b, c R виконується умова ( ac + b)c=ac+bc.

Сукупність об'єктів, що задовольняє аксіом I і II груп, називаються числовим полем або просто полем. А відповідні аксіоми називаються аксіомами поля.

III – третя група аксіом – аксіоми порядку.Для елементів Rвизначено ставлення до порядку. Воно полягає у наступному. Для будь-яких двох різних елементів aі bмає місце одне з двох співвідношень: або a b(читається " aменше або дорівнює b"), або a b(читається " aбільше або дорівнює b"). При цьому передбачається, що виконуються такі умови:

ІІІ 1. a aдля кожного a.З a b, bслід a = b.

ІІІ 2 . Транзитивність. Якщо a bі b c, то a c.

ІІІ 3 . Якщо a b, то для будь-якого елемента cмає місце a+c b+c.

ІІІ 4 . Якщо a 0, b 0, то ab 0 .

IV група аксіом складається з однієї аксіоми – аксіоми безперервності.Для будь-яких непустих множин Xі Yз Rтаких, що для кожної пари елементів x Xі y Yвиконується нерівність x < y, існує елемент a R, що задовольняє умову

Мал. 2

x < a < y, x X, y Y(Рис.2). Перелічені властивості повністю визначають безліч дійсних чисел у тому сенсі, що з цих властивостей випливають і всі інші його властивості. Це визначення однозначно задає безліч дійсних чисел з точністю до конкретної природи його елементів. Застереження про те, що в безлічі міститься більше одного елемента, необхідне тому, що безліч, що складається з одного лише нуля, очевидно задовольняє всім аксіомам. Надалі елементи множини R називатимемо числами.

Визначимо тепер знайомі нам поняття натуральних, раціональних та ірраціональних чисел. Числа 1, 2 1+1, 3 2+1, ...називаються натуральними числами, та їх безліч позначається N . З визначення безлічі натуральних чисел випливає, що воно має наступну характеристичну властивість: якщо

1) A N ,

3) для кожного елемента x A має місце включення x+ 1 A, то A=N .

Дійсно, згідно з умовою 2) маємо 1 Aтому за властивістю 3) і 2 A, а тоді згідно з тим самим властивістю отримаємо 3 A. Оскільки будь-яке натуральне число nвиходить з 1 послідовним додатком до неї тієї ж 1, то n A, тобто. N A, а оскільки за умовою 1 виконується включення A N , то A=N .

На цій властивості натуральних чисел заснований принцип доказу методом математичної індукції. Якщо є безліч тверджень, кожному з яких приписано натуральне число (його номер) n=1, 2, ..., і якщо доведено, що:

1) справедливе затвердження із номером 1;

2) із справедливості затвердження з будь-яким номером n N слід справедливість затвердження з номером n+1;

то цим доведено справедливість всіх тверджень, тобто. будь-якого затвердження з довільним номером n N .

Числа 0, + 1, + 2, ... називають цілими числами, їх безліч позначають Z .

Числа виду m/n, де mі nцілі, а n 0, називаються раціональними числами. Безліч всіх раціональних чисел позначають Q .

Дійсні числа, які не є раціональними, називаються ірраціональними, їх безліч позначається I .

Виникає питання, що, можливо, раціональні числа вичерпують всі елементи множини R?Відповідь це питання дає аксіома безперервності. Дійсно, для раціональних чисел ця аксіома не виконується. Наприклад, розглянемо дві множини:

Легко бачити, що для будь-яких елементів виконується нерівність . Однак раціональногочисла, що поділяє ці дві множини, не існує. Насправді, цим числом може бути тільки , але воно не є раціональним. Цей факт і вказує на те, що існують ірраціональні числа у множині R.

Крім чотирьох арифметичних дій над числами можна робити дії зведення у ступінь та вилучення кореня. Для будь-якого числа a R та натурального nступінь a nвизначається як твір nспівмножників, рівних a:

За визначенням a 0 1, a>0, a- n 1/ a n, a 0, n- натуральне число.

приклад.Нерівність Бернуллі: ( 1+x) n> 1+nxДовести шляхом індукції.

Нехай a>0, n- натуральне число. Число bназивається коренем n-й ступеня з числа a, якщо b n =a. У цьому випадку пишеться. Існування та єдиність позитивного кореня будь-якого ступеня nз будь-якого позитивного числа буде доведено нижче у п. 7.3.
Корінь парного ступеня a 0 має два значення: якщо b = , k N , то й -b=. Справді, з b 2k = aвипливає, що

(-b)2k = ((-b) 2 )k = (b 2)k = b 2k

Невід'ємне значення називається його арифметичним значенням.
Якщо r = p/q, де pі qцілі, q 0, тобто. r- раціональне число, то для a > 0

(2.1)

Таким чином, ступінь a rвизначено для будь-якого раціонального числа r. З її визначення випливає, що для будь-якого раціонального rмає місце рівність

a -r = 1/a r.

Ступінь a x(число xназивається показником ступеня) для будь-якого дійсного числа xвиходить за допомогою безперервного поширення ступеня із раціональним показником (див. про це у п. 8.2). Для будь-якого числа a R невід'ємне число

називається його абсолютною величиноюабо модулем. Для абсолютних величин чисел справедливі нерівності

|a + b| < |a| + |b|,
||a - b|| < |a - b|, a, b R

Вони доводяться з допомогою властивостей I-IV дійсних чисел.

Роль аксіоми безперервності у побудові математичного аналізу

Значення аксіоми безперервності таке, що без неї неможлива сувора побудова математичного аналізу. [ джерело не вказано 1351 день] Для ілюстрації наведемо кілька фундаментальних тверджень аналізу, доказ яких спирається на безперервність дійсних чисел:

· (Теорема Вейєрштраса).Будь-яка обмежена монотонно зростаюча послідовність сходиться

· (Теорема Больцано – Коші).Безперервна на відрізку функція, що приймає на його кінцях значення різного знака, перетворюється на нуль в деякій внутрішній точці відрізка

· (Існування статечної, показової, логарифмічної та всіх тригонометричних функцій на всій «природній» області визначення).Наприклад, доводиться, що з будь-якого і цілого існує , тобто рішення рівняння . Це дозволяє визначити значення виразу для всіх раціональних:

Нарешті, знову завдяки безперервності числової прямої можна визначити значення виразу для довільного . Аналогічно, використовуючи властивість безперервності, доводиться існування числа будь-яких .

Тривалий історичний проміжок часу математики доводили теореми з аналізу, в «тонких місцях» посилаючись на геометричне обґрунтування, а частіше - і взагалі їх пропускаючи, оскільки це було очевидним. Найважливіше поняття безперервності використовувалося без чіткого визначення. Лише в останній третині XIX століття німецький математик Карл Вейєрштрас зробив арифметизацію аналізу, побудувавши першу сувору теорію дійсних чисел як нескінченних десяткових дробів. Він запропонував класичне визначення межі мовою, довів ряд тверджень, які до нього вважалися «очевидними», і тим самим завершив побудову фундаменту математичного аналізу.

Пізніше було запропоновано інші підходи до визначення дійсного числа. В аксіоматичному підході безперервність дійсних чисел виділена явно окрему аксіому. У конструктивних підходах до теорії дійсного числа, наприклад при побудові дійсних чисел за допомогою дедекіндових перерізів, властивість безперервності (у тому чи іншому формулюванні) доводиться як теорема.

Інші формулювання якості безперервності та еквівалентні пропозиції[ред. редагувати вікі-текст]

Існує кілька різних тверджень, що виражають властивість безперервності дійсних чисел. Кожен з цих принципів можна покласти в основу побудови теорії дійсного числа як аксіома безперервності, і з неї вивести всі інші. Докладніше це питання обговорюється у наступному розділі.

Безперервність за Дедекіндом[ред. редагувати вікі-текст]

Основна стаття:Теорія перерізів у сфері раціональних чисел

Питання про безперервність дійсних чисел Дедекінд розглядає у своїй роботі «Безперервність та ірраціональні числа». У ньому він порівнює раціональні числа з точками прямої лінії. Як відомо, між раціональними числами та точками прямої можна встановити відповідність, коли на прямій вибирають початкову точку та одиницю виміру відрізків. За допомогою останньої можна по кожному раціональному числу побудувати відповідний відрізок, і відклавши його вправо або вліво, дивлячись по тому, чи є позитивне чи негативне число, отримати точку , відповідну числу. Таким чином, кожному раціональному числу відповідає одна і лише одна точка на прямій.

При цьому виявляється, що на прямій є безліч точок, які не відповідають жодному раціональному числу. Наприклад, точка, отримана шляхом відкладення довжини діагоналі квадрата, побудованого на одиничному відрізку. Таким чином, область раціональних чисел не має тієї повнотою, або ж безперервністюяка властива прямій лінії.

Щоб з'ясувати у чому полягає ця безперервність, Дедекінд робить наступне зауваження. Якщо є певна точка прямої, то всі точки прямої розпадаються на два класи: точки розташовані ліворуч, і точки розташовані правіше. Сама ж точка може бути довільно віднесена до нижнього, або до верхнього класу. Дедекінд вбачає сутність безперервності у зворотному принципі:

Геометрично цей принцип є очевидним, проте довести його ми не в змозі. Дедекінд підкреслює, що, по суті, цей принцип є постулатом, в якому виражена сутність тієї прямої властивості, що приписується, яку ми називаємо безперервністю.

Щоб глибше зрозуміти сутність безперервності числової прямої в сенсі Дедекінда, розглянемо довільне перетин безлічі дійсних чисел, тобто поділ всіх дійсних чисел на два непусті класи, так що всі числа одного класу лежать на числовій прямій ліворуч від всіх чисел другого. Ці класи називаються відповідно нижнімі верхнім класамиперерізу. Теоретично є 4 можливості:

1. У нижньому класі є максимальний елемент, у верхньому класі немає мінімального

2. У нижньому класі немає максимального елемента, а у верхньому класі є мінімальний

3. У нижньому класі є максимальний, а у верхньому – мінімальний елементи

4. У нижньому класі немає максимального, а у верхньому – мінімального елементів

У першому та другому випадках максимальний елемент нижнього або мінімальний елемент верхнього відповідно і виробляє цей переріз. У третьому випадку ми маємо стрибок, а четвертому - пробіл. Таким чином, безперервність числової прямої означає, що в безлічі дійсних чисел немає ні стрибків, ні прогалин, тобто, образно кажучи, немає порожнеч.

Якщо ввести поняття перерізу множини дійсних чисел, то принцип безперервності Дедекінда можна сформулювати так.

Принцип безперервності Дедекінда (повноти). Для кожного перерізу множини дійсних чисел існує число, що виробляє цей переріз.

Зауваження. Формулювання Аксіоми безперервності про існування точки, що розділяє дві множини, дуже нагадує формулювання принципу безперервності Дедекінда. Насправді ці твердження еквівалентні, і, по суті, є різними формулюваннями одного й того самого. Тому обидва ці твердження називають принципом безперервності дійсних чисел за Дедекіндом.

Лемма про вкладені відрізки (принцип Коші - Кантора)[ред. редагувати вікі-текст]

Основна стаття:Лемма про вкладені відрізки

Лемма про вкладені відрізки (Коші – Кантор). Будь-яка система вкладених відрізків

має непусте перетин, тобто існує принаймні одне число, що належить усім відрізкам цієї системи.

Якщо, крім того, довжина відрізків даної системи прагне нуля, тобто

то перетин відрізків цієї системи складається з однієї точки.

Цю властивість називають безперервністю безлічі дійсних чисел у сенсі Кантора. Нижче буде показано, що для архімедових упорядкованих полів безперервність по Кантору еквівалентна безперервності за Дедекіндом.

Принцип супремуму[ред. редагувати вікі-текст]

Принцип супремуму. Будь-яке непусте обмежене зверху безліч дійсних чисел має супремум.

У курсах математичного аналізу ця пропозиція зазвичай є теоремою та її доказ суттєво використовує безперервність безлічі дійсних чисел у тій чи іншій формі. Разом про те можна навпаки, постулювати існування супремуму у всякого непустого обмеженого зверху безлічі, і спираючись це довести, наприклад, принцип безперервності по Дедекинду. Таким чином, теорема про супремум є одним з еквівалентних формулювань властивості безперервності дійсних чисел.

Зауваження. Замість супремуму можна використовувати подвійне поняття інфімуму.

Принцип інфімуму. Будь-яке непусте обмежене знизу безліч дійсних чисел має інфімум.

Ця пропозиція також еквівалентна принципу безперервності Дедекінда. Більше того, можна показати, що з затвердження теореми про супремум безпосередньо випливає твердження теореми про інфімум, і навпаки (див. нижче).

Лемма про кінцеве покриття (принцип Гейне – Бореля)[ред. редагувати вікі-текст]

Основна стаття:Лемма Гейне - Бореля

Лемма про кінцеве покриття (Гейне – Борель). У будь-якій системі інтервалів, що покриває відрізок, існує кінцева підсистема, що покриває цей відрізок.

Лемма про граничну точку (принцип Больцано - Вейєрштрасса)[ред. редагувати вікі-текст]

Основна стаття:Теорема Больцано - Вейєрштраса

Лемма про граничну точку (Больцано – Вейєрштрас). Будь-яка нескінченна обмежена числова множина має принаймні одну граничну точку.

Еквівалентність речень, що виражають безперервність безлічі дійсних чисел[ред. редагувати вікі-текст]

Зробимо деякі попередні зауваження. Відповідно до аксіоматичного визначення дійсного числа, сукупність дійсних чисел задовольняє трьом групам аксіом. Перша група – аксіоми поля. Друга група висловлює той факт, що сукупність дійсних чисел є лінійно впорядкованою множиною, причому відношення порядку узгоджено з основними операціями поля. Таким чином, перша та друга групи аксіом означають, що сукупність дійсних чисел є впорядкованим полем. Третя група аксіом складається з однієї аксіоми - аксіоми безперервності (або повноти).

Щоб показати еквівалентність різних формулювань безперервності дійсних чисел, слід довести, що й упорядкованого поля виконано одне з цих пропозицій, те з цього випливає справедливість решти.

Теорема. Нехай - довільна лінійно впорядкована множина. Наступні твердження еквівалентні:

1. Якими б не були непорожні множини і такі, що для будь-яких двох елементів і виконується нерівність, існує такий елемент, що для всіх і має місце співвідношення

2. Для будь-якого перерізу існує елемент, що виробляє цей переріз

3. Будь-яка непуста обмежена зверху безліч має супремум

4. Будь-яка непуста обмежена знизу безліч має інфімум

Як видно з цієї теореми, ці чотири пропозиції використовують лише те, що на введено відношення лінійного порядку, і не використовують структуру поля. Таким чином, кожне з них виражає властивість як лінійно впорядкованої множини. Ця властивість (довільної лінійно впорядкованої множини, не обов'язково безлічі дійсних чисел) називається безперервністю, або повнотою, за Дедекіндом.

Доказ еквівалентності інших пропозицій вже потребує структури поля.

Теорема. Нехай – довільне впорядковане поле. Наступні пропозиції рівносильні:

1. (як лінійно впорядковане безліч) є повним за Дедекіндом

2. Для виконання принципу Архімедаі принцип вкладених відрізків

3. Для виконання принципу Гейне - Бореля

4. Для виконання принципу Больцано - Вейєрштрасса

Зауваження. Як очевидно з теореми, принцип вкладених відрізків сам собою не рівносильнийпринципом безперервності Дедекінда. З принципу безперервності Дедекінда випливає принцип вкладених відрізків, проте для зворотного потрібно додатково зажадати, щоб упорядковане поле задовольняло аксіомі Архімеда

Доказ наведених теорем можна знайти у книгах зі списку літератури, наведеного нижче.

· Кудрявцев, Л.Д.Курс математичного аналізу. - 5-те вид. – М.: «Дрофа», 2003. – Т. 1. – 704 с. - ISBN 5-7107-4119-1.

· Фіхтенгольц, Г. М.Основи математичного аналізу. - 7-ме вид. – М.: «ФІЗМАТЛІТ», 2002. – Т. 1. – 416 с. - ISBN 5-9221-0196-X.

· Дедекінд, Р.Безперервність та ірраціональні числа = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4-те виправлене видання. – Одеса: Mathesis, 1923. – 44 с.

· Зорич, В. А.Математичний аналіз. Частина I. – Вид. 4-те, випр. - М.: «МЦНМО», 2002. - 657 с. - ISBN 5-94057-056-9.

· Безперервність функцій та числових областей: Б. Больцано, Л. О. Коші, Р. Дедекінд, Г. Кантор. - 3-тє вид. – Новосибірськ: АНТ, 2005. – 64 с.

4.5. Аксіома безперервності

Якими б не були два непорожні множини дійсних чисел A і

B , у яких для будь-яких елементів a ∈ A та b ∈ B виконується нерівність

a ≤ b існує таке число λ , що для всіх a ∈ A , b ∈ B має місце не-

рівність a ≤ λ ≤ b .

Властивість безперервності дійсних чисел означає, що на річ-

ної прямої немає «порожнеч», тобто точки, що зображають числа заповнюють

всю речову вісь.

Дамо інше формулювання аксіомі безперервності. Для цього введемо

Визначення 1.4.5. Дві множини A і B називатимемо перетином

множини дійсних чисел, якщо

1) множини A і B не порожні;

2) об'єднання множин A і B складає безліч всіх речовин-

них чисел;

3) кожне число множини A менше від числа множини B .

Тобто кожна множина, що утворює перетин, містить хоча б один

елемент, ці множини не містять загальних елементів і, якщо a ∈ A і b ∈ B , то

Безліч A називатимемо нижнім класом, а безліч B - верхнім

класом перерізу. Позначати перетин через A B .

Найпростішими прикладами перерізів є перерізи отримані слі-

дуючим чином. Візьмемо якесь число α і покладемо

A = ( x x< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

сікаються і якщо a ∈ A і b ∈ B , то a< b , поэтому множества A и B образуют

переріз. Аналогічно, можна утворити переріз, множинами

A = (x x ≤ α), B = (x x > α).

Такі перерізи називатимемо перерізами, породженими числом α або

будемо говорити, що число α здійснює цей переріз. Це можна записати як

Перерізи, породжені будь-яким числом, мають два цікаві

властивостями:

Властивість 1. Або верхній клас містить найменше число, і в нижньому

класі немає найбільшого числа, або нижній клас містить найбільше чис-

ло, і верхньому класі немає найменшого.

Властивість 2. Число, що виробляє цей переріз, єдине.

Виявляється, що аксіома безперервності, сформульована вище, екві-

стрічка твердженню, яке називають принципом Дедекінда:

Принцип Дедекінда. Для кожного перерізу існує число, що породжує

це перетин.

Доведемо еквівалентність цих тверджень.

Нехай справедлива аксіома безперервності, і задано якесь се-

чення A B . Тоді, оскільки класи A і B задовольняють умовам, сформу-

в аксіомі, існує число λ таке, що a ≤ λ ≤ b для будь-яких чисел

a ∈ A та b ∈ B . Але число λ має належати одному і лише одному з

класів A або B, тому буде виконано одну з нерівностей a ≤ λ< b или

a< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

або найменшим у верхньому класі і породжує цей переріз.

Назад, нехай виконано принцип Дедекінда і задані два непусті

множини A і B таких, що для всіх a ∈ A і b ∈ B виконується нерівність

a ≤ b . Позначимо через B безліч чисел таких, що a ≤ b для будь-якого

b ∈ B та всіх a ∈ A . Тоді B ⊂ B . За безліч A приймемо безліч усіх чи-

сіл, що не входять до B .

Доведемо, що множини A і B утворюють переріз.

Справді, очевидно, що множина B не порожня, оскільки містить

непорожня множина B . Безліч A теж не порожня, тому що якщо число a ∈ A ,

то число a − 1∉ B , оскільки будь-яке число, що входить до B, має бути не менше

числа a , отже, a − 1∈ A .

безліч всіх дійсних чисел, через вибір множин.

І, нарешті, якщо a ∈ A і b ∈ B , то a b . Справді, якщо якесь

число c задовольнятиме нерівності c > b , де b ∈ B , то буде вірним не-

рівність c > a (a - довільний елемент множини A) та c ∈ B .

Отже, A і B утворюють переріз, і в силу принципу Дедекінда, існує чис-

ло λ , що породжує цей переріз, тобто є чи найбільшим клас-

Доведемо, що це число не може належати до класу A . Дійсно-

але якщо λ ∈ A , то існує число a* ∈ A таке, що λ< a* . Тогда существует

число a′ , що лежить між числами λ та a*. З нерівності a′< a* следует, что

a′ ∈ A тоді з нерівності λ< a′ следует, что λ не является наибольшим в

клас A, що суперечить принципу Дедекінда. Отже, число λ бу-

дет найменшим у класі B і всім a ∈ A і виконуватиметься нерівність

a ≤ λ ≤ b , що потрібно було довести.◄

Таким чином, властивість, сформульована в аксіомі та властивість,

сформульоване у принципі Дедекінда еквівалентні. Надалі ці

властивості безлічі речових чисел ми називатимемо безперервністю

за Дедекіндом.

З безперервності безлічі дійсних чисел за Дедекіндом випливають

дві важливі теореми.

Теорема 1.4.3. (Принцип Архімеда) Яке б не було речове число

a, існує натуральне число n таке, що a< n .

Припустимо, що твердження теореми неправильне, тобто існує та-

число b0 , що виконується нерівність n ≤ b0 для всіх натуральних чисел

n. Розіб'ємо безліч дійсних чисел на два класи: до класу B віднесемо

усі числа b, що задовольняють нерівності n ≤ b для будь-яких натуральних n.

Цей клас не порожній, тому що йому належить число b0. До класу A віднесемо все

решта числа. Цей клас теж не порожній, тому що будь-яке натуральне число

входить до A . Класи A і B не перетинаються і їхнє об'єднання становить

множина всіх дійсних чисел.

Якщо взяти довільні числа a ∈ A та b ∈ B , то знайдеться натуральне

число n0 таке, що a< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A і B задовольняють принцип Дедекінда і існує число α , яке

породжує перетин A B , тобто є або найбільшим у класі A , чи-

бо найменшим у класі B . Якщо припустити, що α входить до класу A , то

можна знайти натуральне n1 , для якого виконується нерівність α< n1 .

Так як n1 теж входить у A , то число не буде найбільшим у цьому класі,

отже, наше припущення є невірним і α є найменшим у

клас B .

З іншого боку, візьмемо число α - 1, яке входить до класу A. Слідова-

тельно, знайдеться натуральне число n2 таке, що α − 1< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

слід, що α ∈ A . Отримане протиріччя доводить теорему.

Слідство. Якими б не були числа a та b такі, що 0< a < b , существует

натуральне число n, для якого виконується нерівність na> b.

Для доказу достатньо застосувати принцип Архімеда до

і скористатися властивістю нерівностей.

Наслідок має простий геометричний зміст: Якими б не були два

відрізка, якщо на більшому з них, від одного з його кінців послідовно від-

кладати менший, то за кінцеве число кроків можна вийти за межі

більшого відрізка.

Приклад 1. Довести, що для будь-якого невід'ємного числа a існує

єдине невід'ємне речове число t таке, що

t n = a, n ∈ , n ≥ 2 .

Ця теорема про існування арифметичного кореня n-ого ступеня

з невід'ємного числа в шкільному курсі алгебри приймається без доказів.

ства.

☺Якщо a = 0 , то x = 0 , тому доказ існування арифмети-

чеського кореня з числа a потрібно лише для a > 0 .

Припустимо, що a > 0 і розіб'ємо множину всіх дійсних чисел

на два класи. До класу B віднесемо всі позитивні числа x, які задовольня-

творять нерівності x n > a , клас A , решта.

По аксіомі Архімеда існують натуральні числа k і m такі, що

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >a та 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

A містить позитивні числа.

Очевидно, що A ∪ B = і якщо x1 ∈ A і x2 ∈ B , то x1< x2 .

Таким чином, класи A та B утворюють переріз. Число, що утворює це

переріз, позначимо через t. Тоді t або є найбільшим числом клас-

се A, або найменшим у класі B.

Припустимо, що t ∈ A і t n< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

венству 0< h < 1 . Тогда

(t + h)n = t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n−1 + Cn t n−2 + ... + Cn + Cn t n) − hCn t n = t n + h (t + 1) − ht n =

T n + h (t + 1) − t n

То отримаємо (t + h)< a . Это означает,

Звідси, якщо взяти h<

що t + h ∈ A , що суперечить з того що t найбільший елемент у класі A .

Аналогічно, якщо припустити, що t - найменший елемент класу B,

то, взявши число h , що задовольняє нерівності 0< h < 1 и h < ,

отримаємо (t − h) = t n − Cnt n−1h + Cn t n−2 h 2 − ... + (−1) Cn h n >

> t n − Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h = t n − h (t + 1) − t n > a .

Це означає, що t − h ∈ B та t не може бути найменшим елементом

класу B. Отже, t n = a.

Єдиність випливає з того, що, якщо t1< t2 , то t1n < t2 .☻ n

Приклад 2. Довести, що якщо a< b , то всегда найдется рациональное число r

таке, що a< r < b .

☺Якщо числа a та b - раціональні, то число раціонально і удов-

літворює необхідним умовам. Припустимо, що хоча б одне із чисел a або b

ірраціонально, наприклад, припустимо, що ірраціонально число b . Предполо-

жим також, що a ≥ 0 тоді b > 0 . Запишемо подання чисел a та b у вигляді

десяткових дробів: a = α 0 ,α1α 2α 3.... і b = β 0 , β1β 2 β3... , де другий дріб беско-

нечна та неперіодична. Що стосується уявлення числа a , то будемо вважати-

ти, що, якщо число a - раціонально, то його запис або кінцева, або це пе-

ріодична дріб, період якої не дорівнює 9.

Оскільки b > a , то β 0 ≥ 0 ; якщо β 0 = α 0, то β1 ≥ α1; якщо β1 = α1 , то β 2 ≥ α 2

і т. д., причому знайдеться таке значення i, при якому вперше буде ви-

повнятися сувора нерівність βi > αi. Тоді число β 0 , β1β 2 ...βi буде раціо-

ним і буде лежати між числами a і b.

Якщо a< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n , де n - натуральне число, таке, що n ≥ a . Існування такого числа

випливає з аксіоми Архімеда. ☻

Визначення 1.4.6. Нехай дана послідовність відрізків числової осі

([ an ; bn ]) , an< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

відрізків, якщо для будь-якого n виконуються нерівності an ≤ an+1 і

Для такої системи виконуються включення

[a1; b1] ⊃ [a2; b2] ⊃ [a3; b3 ] ⊃ ... ⊃ [ an ; bn ] ⊃ ... ,

тобто кожен наступний відрізок міститься у попередньому.

Теорема 1.4.4. Для будь-якої системи вкладених відрізків існує по

принаймні одна точка, яка входить у кожен із цих відрізків.

Візьмемо дві множини A = (an) і B = (bn). Вони не порожні і за будь-яких

n і m виконується нерівність an< bm . Докажем это.

Якщо n ≥ m, то an< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

Таким чином, класи A і B задовольняють аксіомі безперервності і

отже, існує число таке, що an ≤ λ ≤ bn для будь-якого n, тобто. це

число належить будь-якому відрізку [an; bn ] .◄

Надалі (теорема 2.1.8) ми уточнимо цю теорему.

Твердження, сформульоване в теоремі 1.4.4, називається принципом

Кантора, а безліч, що задовольняє цій умові, називатимемо не-

перервним по Кантору.

Ми довели, що, якщо впорядковане безліч безперервно по Деді-

кінду, то в ньому виконано принцип Архімеда і воно безперервно за Кантором.

Можна довести, що впорядкована множина, в якій виконані прин-

ципи Архімеда та Кантора, буде безперервним за Дедекіндом. Доведення

цього факту міститься, наприклад, у .

Принцип Архімеда дозволяє кожному відрізку прямої зіставити не-

яке єдине позитивне число, що задовольняє умовам:

1. рівним відрізкам відповідають рівні числа;

2. Якщо точка відрізка АС і відрізкам АВ і ВС відповідають числа a і

b, то відрізку АС відповідає число a + b;

3. деякому відрізку відповідає число 1.

Число, що відповідає кожному відрізку і відповідає умовам 1-3 на-

називається довжиною цього відрізка.

Принцип Кантора дозволяє довести, що для кожного позитивного

числа можна знайти відрізок, довжина якого дорівнює цьому числу. Таким чином,

між безліччю позитивних дійсних чисел і безліччю відріз-

ків, які відкладаються від деякої точки прямої по задану сторону

від цієї точки, можна встановити взаємно однозначну відповідність.

Це дозволяє дати визначення числової осі та ввести відповідність ме-

чекаю речовими числами та точками на прямій. Для цього візьмемо деко-

ну пряму і виберемо на ній точку О, яка розділить цю пряму на два

променя. Один з цих променів назвемо позитивним, а другий заперечувач-

ним. Тоді говоритимемо, що ми обрали напрямок на цій прямій.

Визначення 1.4.7. Числовою віссю називатимемо пряму, на якій

а) точка О, яка називається початком відліку або початком координат;

б) напрямок;

в) відрізок одиничної довжини.

Тепер кожному речовому числу a зіставимо точку M на число-

виття пряме таким чином, щоб

а) числу 0 відповідало початок координат;

б) OM = a - Довжина відрізка від початку координат до точки M дорівнювала

модулю числа;

в) якщо a - позитивно, то точка береться на позитивному промені і, ес-

чи воно негативне, то - на негативному.

Це правило встановлює взаємно-однозначну відповідність між

безліччю речових чисел і безліччю точок на прямій.

Числову пряму (вісь) будемо також називати речовою прямою

Звідси також випливає геометричний зміст модуля речовинного чис-

ла: модуль числа дорівнює відстані від початку координат до точки, обра-

що дає це число на числовій осі.

Тепер ми можемо дати геометричну інтерпретацію властивостям 6 та 7

модуля речового числа. При позитивному З числа x, задовольняю-

щі властивості 6, заповнюють проміжок (−C , C) , а числа x, що задовольняють

властивості 7, лежать на променях (−∞,C) або (C , +∞) .

Відзначимо ще одну чудову геометричну властивість модуля речі.

ного числа.

Модуль різниці двох чисел дорівнює відстані між точками, соот-

відповідними цим числам на речовій осі.

рих стандартних числових множин.

Безліч натуральних чисел;

Безліч цілих чисел;

Безліч раціональних чисел;

Безліч дійсних чисел;

Безліч, відповідно, цілих, раціональних і речей-

тивних невід'ємних чисел;

Безліч комплексних чисел.

Крім того, множина дійсних чисел позначається як (−∞, +∞) .

Підмножини цієї множини:

(a, b) = (x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;

[a, b] = (x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) - відрізок;

(a, b] = (x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

ли або напіввідрізки;

(a, +∞) = (x | x ∈ R, a< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[ a, +∞) = ( x | x ∈ R, a ≤ x) або (−∞, b] = ( x | x ∈ R, x ≤ b) - замкнені промені.

Нарешті, іноді нам будуть потрібні проміжки, у яких нам не буде важливо,

належать його кінці цього проміжку чи ні. Такий проміжок будемо

позначати a, b.

§ 5 Обмеженість числових множин

Визначення 1.5.1. Числова множина X називається обмеженою

зверху, якщо існує число М таке, що x ≤ M для будь-якого елемента x з

множини X .

Визначення 1.5.2. Числова множина X називається обмеженою

знизу, якщо існує число m таке, що x ≥ m для будь-якого елемента x з

множини X .

Визначення 1.5.3. Числова множина X називається обмеженою,

якщо воно обмежене зверху та знизу.

У символічному записі ці визначення виглядатимуть так

множина X обмежена зверху, якщо ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M ,

обмежено знизу, якщо ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m та

обмежено, якщо ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .

Теорема 1.5.1. Числова множина X обмежена тоді і тільки тоді,

коли існує число C таке, що для всіх елементів x з цього багато-

ства виконується нерівність x ≤ C .

Нехай безліч X обмежена. Покладемо C = max (m, M) - най-

більше із чисел m і M . Тоді, використовуючи властивості модуля речових

чисел, отримаємо нерівності x ≤ M ≤ M ≤ C і x ≥ m ≥ − m ≥ −C , звідки сліду-

е, що x ≤ C .

Назад, якщо виконується нерівність x ≤ C , то −C ≤ x ≤ C . Це і є тре-

бує, якщо покласти M = C і m = −C .◄

Число M , що обмежує множину X зверху, називається верхньою

кордоном множини. Якщо M - верхня межа множини X, то будь-яке

число M ′ , яке більше за M , теж буде верхньою межею цієї множини.

Таким чином, ми можемо говорити про безліч верхніх меж множини

X. Позначимо безліч верхніх меж через M. Тоді, ∀x ∈ X та ∀M ∈ M

буде виконано нерівність x ≤ M , отже, по аксіомі безперервно-

сти існує число M 0 таке, що x ≤ M 0 ≤ M . Це число називається точ-

ної верхньою межею числової множини X або верхньою гранню цього

множини або супремумом множини X і позначається M 0 = sup X .

Таким чином, ми довели, що кожна непуста числова множина,

обмежений зверху, завжди має точну верхню межу.

Очевидно, що рівність M 0 = sup X рівносильна двом умовам:

1) ∀x ∈ X виконується нерівність x ≤ M 0, тобто. M 0 - верхня межа багато-

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X отже виконується нерівність xε > M 0 − ε , тобто. цю гра-

ніцю не можна покращити (зменшити).

Приклад 1. Розглянемо множину X = ⎨1 − ⎬ . Доведемо, що sup X = 1 .

☺ Справді, по-перше, нерівність 1 −< 1 выполняется для любого

n ∈; по-друге, якщо взяти довільне позитивне число ε, то по

принципу Архімеда можна знайти натуральне число nε, таке що nε>. То-

гди буде виконано нерівність 1 − > 1 − ε, тобто. знайшовся елемент xnε багато-

ство X , більший ніж 1 − ε , що означає, що 1 – найменша верхня грані-

Аналогічно, можна довести, що якщо множина обмежена знизу, то

воно має точну нижню межу, яка називається також нижньою гра-

нью або інфімумом множини X і позначається inf X .

Рівність m0 = inf X рівносильна умовам:

1) ∀x ∈ X виконується нерівність x ≥ m0;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X так, що виконується нерівність xε< m0 + ε .

Якщо у множині X є найбільший елемент x0, то називатимемо його

максимальним елементом множини X і позначати x0 = max X. Тоді

sup X = x0. Аналогічно, якщо в багатьох існує найменший елемент, то

його будемо називати мінімальним, позначати min X і він буде ін-

Фімумом множини X .

Наприклад, безліч натуральних чисел має найменший елемент –

одиницю, яка одночасно є і інфімумом множини. Супре-

мума ця безліч не має, тому що вона не є обмеженою зверху.

Визначення точних верхньої та нижньої меж можна поширити на

множини, необмежені зверху або знизу, вважаючи, sup X = +∞ або, соот-

ветственно, inf X = −∞ .

На закінчення сформулюємо кілька властивостей верхніх і нижніх гра-

Властивість 1. Нехай X - деяке числове безліч. Позначимо через

− X безліч (− x | x ∈ X). Тоді sup(−X) = − inf X і inf(−X) = − sup X .

Властивість 2. Нехай X - деяка числова множина λ - речова

число. Позначимо через λ X безліч (λ x | x ∈ X). Тоді, якщо λ ≥ 0 , то

sup (λ X) = λ sup X , inf (λ X) = λ inf X і, якщо λ< 0, то

sup (X) = inf X, inf (X) = sup X.

Властивість 3. Нехай X1 і X2 - числові множини. Позначимо через

X1 + X 2 безліч (x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2 ) і через X1 − X 2 безліч

(x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2) . Тоді sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2, sup (X 1 - X 2) = sup X 1 - inf X 2 і

inf (X1 − X 2) = inf X1 − sup X 2 .

Властивість 4. Нехай X1 і X 2 - числові множини, всі елементи кото-

рих невід'ємні. Тоді

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2, inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2 .

Доведемо, наприклад, перша рівність у властивості 3.

Нехай x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2 і x = x1 + x2. Тоді x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X 2 та

x ≤ sup X1 + sup X 2 , звідки sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2 .

Щоб довести протилежну нерівність, візьмемо число

y< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

що x1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

y< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = +x1 x2 ∈ X1+ X2, який більший за число y і

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

Докази інших властивостей проводяться аналогічно і нада-

няються читачеві.

§ 6 Рахункові та незлічені множини

Визначення 1.6.1. Розглянемо безліч перших n натуральних чисел

n = (1,2,..., n) і деяка множина A . Якщо можна встановити взаємно-

однозначна відповідність між A і n, то безліч A будемо називати

кінцевим.

Визначення 1.6.2. Нехай дано кілька A . Якщо можна

встановити взаємно однозначну відповідність між безліччю A та

безліччю натуральних чисел, то безліч A будемо називати рахунок-

Визначення 1.6.3. Якщо безліч A звичайно або рахунково, то будемо го-

вірити, що вона не більш ніж рахункова.

Таким чином, безліч буде рахунково, якщо його елементи можна роз-

покласти у вигляді послідовності.

Приклад 1. Безліч парних чисел – лічильне, оскільки відображення n ↔ 2n

є взаємно однозначною відповідністю між безліччю натуральних

чисел і безліччю парних чисел.

Очевидно, таку відповідність можна встановити не єдиним чином.

зом. Наприклад, можна встановити відповідність між безліччю і багато-

ністю (цілих чисел), встановивши відповідність у такий спосіб

Аксіоматичний метод у математиці.

Основні поняття та відносини аксіоматичної теорії натурального ряду. Визначення натурального числа.

Додавання натуральних чисел.

Збільшення натуральних чисел.

Властивості множини натуральних чисел

Віднімання та розподіл натуральних чисел.

Аксіоматичний метод у математиці

При аксіоматичній побудові якої-небудь математичної теорії дотримуються певні правила:

1. Деякі поняття теорії вибираються як основнихта приймаються без визначення.

2. Формулюються аксіоми, які у цій теорії приймаються без докази, у яких розкриваються властивості основних понять.

3. Кожному поняття теорії, яке не міститься у списку основних, дається визначення, у ньому пояснюється його зміст за допомогою основних та попередніх даному поняттю.

4. Кожна пропозиція теорії, яка не міститься у списку аксіом, має бути доведена. Такі пропозиції називають теоремамиі доводять їх на основі аксіом і теорем, що передують аналізованої.

Система аксіом має бути:

а) несуперечливою:ми повинні бути впевнені, що, роблячи різні висновки з даної системи аксіом, ніколи не прийдемо до суперечності;

б) незалежною: ніяка аксіома не повинна бути наслідком інших аксіом цієї системи.

в) повної, якщо в її рамках завжди можна довести чи це твердження, чи його заперечення.

Першим досвідом аксіоматичного побудови теорії вважатимуться виклад геометрії Евклідом у його " Початках " (3 в. е.). Значний внесок у розвиток аксіоматичного методу побудови геометрії та алгебри зробили Н.І. Лобачевський та Е.Галуа. Наприкінці 19 ст. італійським математиком Пеано було розроблено систему аксіом для арифметики.

Основні поняття та відносини аксіоматичної теорії натурального числа. Визначення натурального числа.

Як основне (невизначуване) поняття в деякій множині N вибирається ставлення , і навіть використовуються теоретико-множинні поняття, і навіть правила логіки.

Елемент, що безпосередньо наступає за елементом а,позначають а".

Відносини «безпосередньо слідувати за» задовольняють наступним аксіомам:

Аксіоми Пеано:

Аксіома 1. У безлічі N існує елемент, безпосередньо не наступнийні за яким елементом цієї множини. Будемо називати його одиницеюта позначати символом 1 .

Аксіома 2. Для кожного елемента а з N існує єдиний елемент а" , безпосередньо наступний за а .

Аксіома 3. Для кожного елемента а з Nіснує не більше одного елемента, за яким безпосередньо слідує а .

Аксіома 4.Будь-яке підмножина М безлічі N Зівпадає з N , якщо має властивості: 1) 1 міститься в М ; 2) з того, що а міститься в М , слід, що і а" міститься в М.

Визначення 1. Безліч N , для елементів якого встановлено ставлення «безпосередньо слідувати за», що задовольняє аксіомам 1-4, називається безліччю натуральних чисел, а його елементи - натуральними числами.

У даному визначенні нічого не йдеться про природу елементів множини N . Значить, вона може бути будь-якою. Вибираючи як безліч N деяка конкретна множина, на якій задано конкретне відношення «безпосередньо слідувати за», що задовольняє аксіомам 1-4, ми отримаємо модель даної системи аксіом.

Стандартною моделлю системи аксіом Пеано є ряд чисел, що виник у процесі історичного розвитку суспільства: 1,2,3,4,... Натуральний ряд починається з числа 1 (аксіома 1); за кожним натуральним числом безпосередньо слідує єдине натуральне число (аксіома 2); кожне натуральне число безпосередньо слідує не більше ніж за одним натуральним числом (аксіома 3); починаючи від числа 1 і переходячи по порядку до безпосередньо наступних один за одним натуральних чисел, отримуємо всю множину цих чисел (аксіома 4).

Отже, ми розпочали аксіоматичну побудову системи натуральних чисел з вибору основного відносини «безпосередньо слідувати за»та аксіом, в яких описані його властивості. Подальша побудова теорії передбачає розгляд відомих властивостей натуральних чисел та операцій з них. Вони мають бути розкриті у визначеннях і теоремах, тобто. виведені суто логічним шляхом з відношення «безпосередньо слідувати за», та аксіом 1-4.

Перше поняття, яке ми введемо після визначення натурального числа, – це ставлення «безпосередньо передує» , яке часто використовують під час розгляду властивостей натурального ряду.

Визначення 2.Якщо натуральне число b безпосередньо слідує занатуральним числом а, то число а називається безпосередньо попереднім(або попереднім) числу b .

Відношення «передує» має рядом властивостей.

Теорема 1. Одиниця немає попереднього натурального числа.

Теорема 2. Кожне натуральне число а, Відмінне від 1, має єдине попереднє число b,таке, що b"= а.

Аксіоматична побудова теорії натуральних чисел не розглядається ні в початковій, ні в середній школі. Проте властивості відносини «безпосередньо слідувати за», які відбито у аксіомах Пеано, є предметом вивчення у початковому курсі математики. Вже у першому класі під час розгляду чисел першого десятка з'ясовується, як можна одержати кожне число. У цьому використовуються поняття «слід» і «передує». Кожне нове число постає як продовження вивченого відрізка натурального ряду чисел. Учні переконуються у цьому, що з кожним числом йде таке, і лише одне, що натуральний ряд чисел нескінченний.

Додавання натуральних чисел

За правилами побудови аксіоматичної теорії, визначення додавання натуральних чисел потрібно запровадити, використовуючи лише відношення «безпосередньо слідувати за», і поняття «натуральне число»і «попереднє число».

Випередимо визначення складання наступними міркуваннями. Якщо до будь-якого натурального числа адодати 1, то отримаємо число а",безпосередньо наступне за а, тобто. а+ 1= а"і, отже, отримаємо правило додавання 1 до будь-якого натурального числа. Але як додавати до анатуральне число b,відмінне від 1? Скористаємося наступним фактом: якщо відомо, що 2 + 3 = 5, то сума 2 + 4 = 6, яке безпосередньо слідує за числом 5. Відбувається так тому, що в сумі 2 + 4 друге доданок є число, що безпосередньо наступає за числом 3. Таким чином, 2 + 4 = 2+3 " =(2+3)". Загалом маємо , .

Ці факти покладено основою визначення складання натуральних чисел в аксіоматичної теорії.

Визначення 3. Додаванням натуральних чиселназивається алгебраїчна операція, що має властивості:

Число а + b називається сумою чисел аі b , а самі числа аі b - доданками.

Система цілих чисел

Згадаймо, що натуральний ряд з'явився для переліку предметів. Але якщо ми захочемо робити якісь дії з предметами, то нам знадобляться арифметичні операції над числами. Тобто, якщо ми хочемо складати яблука або ділити торт, нам треба перекласти ці дії мовою чисел.

Звернемо увагу, що з введення операцій + і * у мову натуральних чисел потрібно додати аксіоми, що визначають властивості цих операцій. Але тоді і безліч натуральних чисел теж розширюється.

Подивимося, як розширюється безліч натуральних чисел. Найпростіша операція, яка була потрібна однією з перших – це додавання. Якщо ми хочемо визначити операцію додавання, необхідно визначити зворотну до неї - віднімання. Справді, якщо ми знаємо, що буде в результаті додавання, наприклад, 5 і 2, то ми повинні вміти вирішувати і завдання типу: що треба додати до 4, щоб отримати 11. Тобто, завдання, пов'язані зі складанням, обов'язково вимагатимуть вміння виробляти і зворотну дію - віднімання. Але якщо додавання натуральних чисел дає знову натуральне число, то віднімання натуральних чисел дає результат, що не вписується в N. Були потрібні якісь ще числа. За аналогією зрозумілого віднімання з більшого числа меншого було введено правило віднімання від меншого більшого – так з'явилися цілі негативні числа.

Доповнюючи натуральний ряд операціями + і - ми приходимо до безлічі цілих чисел.

Z=N+операції(+-)

Система раціональних чисел як мова арифметики

Розглянемо тепер таку за складністю дію – множення. По суті, це багаторазове додавання. І добуток цілих чисел залишається цілим числом.

Але зворотна операція до множення – це поділ. А воно далеко не завжди дає цілий результат. І знову ми стоїмо перед дилемою - або прийняти як це, що результат поділу може «не існувати», або вигадати числа якогось нового типу. Так виникли раціональні числа.

Візьмемо систему цілих чисел і доповнимо її аксіомами, що визначають операції множення та поділу. Отримаємо систему раціональних чисел.

Q=Z+операції(*/)

Отже, мова раціональних чисел дозволяє робити всі арифметичні операціїнад числами. Мова натуральних чисел цього було недостатньо.

Наведемо аксіоматичне визначення системи раціональних чисел.

Визначення. Безліч Q називається безліччю раціональних чисел, яке елементи - раціональними числами, якщо виконується наступний комплекс умов, званий аксіоматикою раціональних чисел:

Аксіоми операції складання. Для будь-якої впорядкованої пари х,уелементів з Qвизначено деякий елемент х+уÎQ, званий сумою хі у. При цьому виконуються такі умови:

1. (Існування нуля) Існує елемент 0 (нуль) такий, що для будь-якого хÎQ

х+0=0+х=х.

2. Для будь-якого елемента х Q Q існує елемент - хÎ Q (протилежний х) такий, що

х+ (-х) = (-х) + х = 0.

3. (Комутативність) Для будь-яких х,уÎ Q

4. (Асоціативність) Для будь-яких х,у,z Q

х + (у + z) = (х + у) + z

Аксіоми операції множення.

Для будь-якої впорядкованої пари х, уелементів з Q визначено деякий елемент хуÎ Q, званий твором хі у.При цьому виконуються такі умови:

5. (Існування одиничного елемента) Існує елемент 1 Q такий, що для будь-якого хÎ Q

х . 1 = 1. х = х

6. Для будь-якого елемента х Q Q , ( х≠ 0) існує зворотний елемент х-1 ≠0 такий, що

х. х -1 = х -1. х = 1

7. (Асоціативність) Для будь-яких х, у,zÎ Q

х . (у . z) = (х . у) . z

8. (Комутативність) Для будь-яких х, уÎ Q

Аксіома зв'язку складання та множення.

9. (Дистрибутивність) Для будь-яких х, у, zÎ Q

(х+у) . z = x . z+у . z

Аксіоми порядку.

Будь-які два елементи х, у, Q Q вступають у відношення порівняння ≤. При цьому виконуються такі умови:

10. (х≤у)L ( у≤x) ó x=у

11. (х≤у) L (у≤ z) => x≤z

12. Для будь-яких х, уÎ Q або х< у, либо у < x .

Ставлення< называется строгим неравенством,

Відношення = називається рівністю елементів Q.

Аксіома зв'язку складання та порядку.

13. Для будь-яких x, y, z ÎQ, (x £ y) Þ x+z £ y+z

Аксіома зв'язку множення та порядку.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) Þ (0 £ x´y)

Аксіома безперервності Архімеда.

15. Для будь-яких a > b > 0 існує m N і n Q такі, що m ³ 1, n< b и a= mb+n.

*****************************************

Таким чином, система раціональних чисел – це мова арифметики.

Проте, на вирішення практичних обчислювальних завдань цієї мови виявляється недостатньо.

При аксіоматичному побудові будь-якої математичної теорії дотримуються певні правила:

· Деякі поняття теорії вибираються як основні і приймаються без визначення;

· Кожен поняття теорії, яке не міститься в списку основних, дається визначення;

· Формулюються аксіоми - пропозиції, які в даній теорії приймаються без доказу; у яких розкриваються властивості основних понять;

· Кожна пропозиція теорії, яка не міститься в списку аксіом, має бути доведена; такі пропозиції називають теоремами та доводять їх на основі аксіом та терем.

При аксіоматичному побудові теорії всі твердження виводяться з аксіом доказом.

Тому до системи аксіом пред'являються спеціальні вимоги:

· Несуперечливість (система аксіом називається несуперечливою, якщо з неї не можна логічно вивести дві пропозиції, що взаємно виключають одна одну);

· незалежність (система аксіом називається незалежною, якщо жодна з аксіом цієї системи не є наслідком інших аксіом).

Безліч, із заданим у ньому ставленням називається моделлю даної системи аксіом, якщо у ньому виконуються всі аксіоми даної системи.

Побудувати систему аксіом для множини натуральних чисел можна багатьма способами. За основне поняття можна прийняти, наприклад, суму чисел чи відношення порядку. У будь-якому випадку потрібно задати систему аксіом, що описує властивості основних понять.

Дамо систему аксіом, прийнявши основне поняття операцію додавання.

Непорожня безліч Nназвемо безліччю натуральних чисел, якщо у ньому визначено операцію (a; b) → a + b, звана додаванням і має властивості:

1. додавання комутативно, тобто. a + b = b + a.

2. додавання асоціативно, тобто. (a + b) + c = a + (b + c).

4. у будь-якій множині А, що є підмножиною множини N, де Ає число таке, що все хА, рівні a + b, де bN.

Аксіом 1 – 4 достатньо, щоб побудувати всю арифметику натуральних чисел. Але при такій побудові вже не можна спиратися на властивості кінцевих множин, які не відбилися в цих аксіомах.

Візьмемо як основне поняття відношення «безпосередньо слідувати за…», задане на непорожній безлічі N. Тоді натуральним рядом чисел буде безліч N, в якому визначено відношення «безпосередньо слідувати за», а натуральними числами будуть називатися всі елементи N, причому мають місце наступні аксіоми Пеано:

АКСІОМА 1.

У безлічіNіснує елемент, безпосередньо не наступний ні за яким елементом цієї множини. Будемо називати його одиницею і позначати символом 1.

АКСІОМА 2.

Для кожного елемента а зNіснує єдиний елемент а безпосередньо наступний за а.

АКСІОМА 3.

Для кожного елемента а зNіснує не більше одного елемента, за яким безпосередньо слідує а.

АКСОІМА 4.

Всяка підмножина М множиниNЗівпадає зN, якщо має властивості: 1) 1 міститься в М; 2) з того, що а міститься в М, випливає, що і міститься в М.

Безліч N,для елементів якого встановлено відношення «безпосередньо слідувати за…», що задовольняє аксіомам 1 - 4, називається безліччю натуральних чисел , а його елементи - натуральні числами.

Якщо як безліч Nвибрати деяке конкретне безліч, у якому поставлено конкретне ставлення «безпосередньо слідувати за…», що задовольняє аксіомам 1 - 4, отримаємо різні інтерпретації (моделі) даної системи аксіом.

Стандартною моделлю системи аксіом Пеано є ряд чисел, що виник у процесі історичного розвитку суспільства: 1, 2, 3, 4, 5, …

Моделью аксіом Пеано може бути будь-яка лічильна множина.

Наприклад, I, II, III, IIII, …

о оо ооо оооо, …

один два три чотири, …

Розглянемо послідовність множин, в якій множина (оо) є початковим елементом, а кожна наступна множина виходить з попереднього приписуванням ще одного гуртка (рис.15).

Тоді Nє безліч, що складається з множин описаного виду, і є моделлю системи аксіом Пеано.

Справді, у множині Nіснує елемент (oo), безпосередньо не наступний ні за яким елементом цієї множини, тобто. виконується аксіома 1. Для кожної множини Ааналізованої сукупності існує єдина множина, яка виходить з Адодаванням одного гуртка, тобто. виконується аксіома 2. Для кожної множини Аіснує не більше однієї множини, з якої утворюється безліч Адодаванням одного гуртка, тобто. виконується аксіома 3. Якщо МNі відомо, що безліч Аміститься в М,слід, що й множина, в якій на один гурток більше, ніж у множині А, також міститься в М, то М =N, і означає виконується аксіома 4.

У визначенні натурального числа жодну з аксіом опустити не можна.

Встановимо, які з множин, наведених на рис. 16 є моделлю аксіом Пеано.

1 а b d a г) Рис.16

Рішення.На малюнку 16 а) зображено безліч, в якому виконуються аксіоми 2 і 3. Дійсно, для кожного елемента існує єдиний, що безпосередньо слідує за ним, і існує єдиний елемент, за яким він слідує. Але в цій множині не виконується аксіома 1 (аксіома 4 не має сенсу, тому що в множині немає елемента, безпосередньо не наступного ні за яким іншим). Тому це безліч не є моделлю аксіом Пеано.

На малюнку 16 б) показано безліч, в якому виконані аксіоми 1, 3 та 4, але за елементом абезпосередньо випливають два елементи, а не один, як потрібно в аксіомі 2. Тому ця множина не є моделлю аксіом Пеано.

На рис. 16 в) зображено безліч, в якому виконані аксіоми 1, 2, 4, але елемент збезпосередньо слідує відразу за двома елементами. Тому це безліч не є моделлю аксіом Пеано.

На рис. 16 г) зображено безліч, що задовольняє аксіомам 2, 3, і, якщо в якості початкового елемента візьмемо число 5, то дана множина задовольнятиме аксіомам 1 і 4. Тобто, в даній множині для кожного елемента існує єдиний, безпосередньо наступний ним, і існує єдиний елемент, за яким він слідує. Існує і елемент, безпосередньо не наступний ні за яким елементом цієї множини. , тобто. виконується аксіома 1. Відповідно буде виконуватися і аксіома 4. Тому ця множина є моделлю аксіом Пеано.

Використовуючи аксіоми Пеано, можна доводити ряд тверджень Наприклад, доведемо, що для всіх натуральних чисел виконується нерівність х х.

Доведення.Позначимо через Абезліч натуральних чисел, для яких а а.Число 1 належить А, оскільки воно не слідує ні за яким числом N, отже, слід само собою: 1 1. Нехай аА,тоді а а.Позначимо ачерез b. В силу аксіоми 3 аb,тобто. b bі bА.