Похідна 2 порядку та механічний зміст. Геометричний та механічний зміст першої похідної

Екстремум функції називають локальним екстремумом, так як поняття екстремуму пов'язане лише з досить малою околицею точки х1. Так що на одному проміжку функція може мати кілька екстремумів, причому може статися, що мінімум в одній точці більше максимуму в іншій. Наявність максимуму або мінімуму в окремій точці інтервалу не означає, що в цій точці функція f(x) приймає найбільше чи найменше значення цьому інтервалі.

Необхідна умова екстремуму: У точці екстремуму функції, що диференціюється, її похідна дорівнює нулю.

Достатня умова екстремуму: Якщо похідна функція, що диференціюється, в деякій точці х 0 дорівнює нулю і змінює свій знак при переході через це значення, то число f(х 0) є екстремумом функції, причому якщо зміна знака відбувається з плюсу на мінус, то максимум, якщо з мінусу на плюс, то мінімум.

Точки, в яких похідна безперервної функції дорівнює нулю або не називаються критичними.

Дослідити функцію на екстремум означає знайти всі її екстремуми. Правило дослідження функції на екстремум:

1). Знайти критичні точки функції у = f(x)і вибрати їх лише ті, які є внутрішніми точками області визначення функції;

2). Дослідити знак похідної f"(x)ліворуч і праворуч від кожної з вибраних критичних точок;

3). На підставі достатньої умови екстремуму виписати точки екстремуму (якщо вони є) та обчислити значення функції у них.

Для того, щоб знайти найбільше та найменше значенняфункції на відрізку необхідно виконати кілька етапів:

1). Знайти критичні струми функції, розв'язавши рівняння f'(x)=0.

2). Якщо критичні точки потрапили на відрізок, необхідно знайти значення в критичних точках і межах інтервалу. Якщо критичні точки не потрапили на відрізок (або їх немає), то знаходять значення функції лише межах відрізка.

3). З отриманих значень функції вибирають найбільше та найменше і записують відповідь, наприклад, у вигляді: ; .

Вирішення задач

приклад 2.1. Знайти диференціал функції: .

Рішення.На підставі властивості 2 диференціала функції та визначення диференціала маємо:

приклад 2.2. Знайти диференціал функції:

Рішення. Функцію можна записати як: , . Тоді маємо:

приклад 2.3. Знайти другу похідну функції:

Рішення. Перетворимо функцію.

Знайдемо першу похідну:

знайдемо другу похідну:

.

Приклад 2.4. Знайти диференціал другого порядку від функції .

Рішення.Знайдемо диференціал другого порядку на підставі виразу для обчислення:

Знайдемо спочатку першу похідну:

; знайдемо другу похідну: .

приклад 2.5. Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до кривої, проведеної в точці з абсцисою х = 2 .

Рішення. На підставі геометричного сенсу похідної маємо, що кутовий коефіцієнт дорівнює похідній функції в точці, абсцис якої дорівнює х . Знайдемо .

Обчислимо – кутовий коефіцієнт щодо графіку функції.

приклад 2.6. Населення бактерій у момент часу t (tвимірюється в годиннику) налічує особин. Знайти швидкість зростання бактерій. Знайти швидкість зростання бактерій у момент часу t = 5годин.

Рішення.Швидкість зростання популяції бактерій – це перша похідна за часом t: .

Якщо t = 5годин, то . Отже, швидкість зростання бактерій становитиме 1000 особин на годину.

приклад 2.7. Реакція організму на введені ліки може виражатися у підвищенні кров'яного тиску, зменшенні температури тіла, зміні пульсу чи інших фізіологічних показників. Ступінь реакції залежить від призначеної дози ліків. Якщо хпозначає дозу призначених ліків, а ступінь реакції уописується функцією . При якому значенні хреакція максимальна?

Рішення. Знайдемо похідну .

Знайдемо критичні точки: ⇒ . ⇒ Отже, маємо дві критичні точки: . Значення не задовольняє умову завдання.

Знайдемо другу похідну . Обчислимо значення другої похідної при . . Значить – рівень дози, що дає максимальну реакцію.

Приклади для самостійного вирішення

Знайти диференціал функції:

1. .

2. .

3. .

4.

Знайти другі похідні наступних функцій:

6. .

Знайти похідні другого порядку та записати диференціали другого порядку для наступних функцій:

9. .

11. Дослідити функцію на екстремум.

12. Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку.

13. Знайти інтервали зростання та зменшення функції, точки максимуму і мінімуму і точки перетину з осями:

14. Закон руху точки має вигляд . Визначити закон швидкість та прискорення цієї точки.

15. Рівняння руху точки має вигляд (м). Знайти 1) положення точки в моменти часу с і с; 2) середню швидкість за час, що минув між цими моментами часу; 3) миттєві швидкості у зазначені моменти часу; 4) середнє прискорення за вказаний проміжок часу; 5) миттєві прискорення у зазначені моменти часу.

Завдання додому.

Практика:

Знайти диференціал функції:

1. ;

2. ;

Знайти похідні другого порядку функції:

4.

5.

Знайти диференціали другого порядку

6. .

7. Крапка рухається прямолінійно за законом. Обчислити швидкість та прискорення в моменти часу та .

Знайти інтервали зростання та зменшення функцій:

9. .

10. При вливанні глюкози її вміст у крові людини, виражений у відповідних одиницях, через tгодинника складе . Знайдіть швидкість зміни вмісту глюкози в крові при а) t =1год; б) t =2год.

Теорія.

1. Лекція на тему «Похідні та диференціали функції кількох аргументів. Додаток диференціала функції кількох аргументів».

2. Заняття 3 даного методичного посібника.

3. Павлушков І.В. та інші стор. 101-113, 118-121.

Заняття 3. Похідні та диференціали функції кількох аргументів

Актуальність теми: даний розділ математики має широке застосування під час вирішення низки прикладних завдань, оскільки багатьом явищам фізичного, біологічного, хімічного явища властива залежність від однієї, як від кількох змінних (чинників).

Мета заняття: навчитися знаходити приватні похідні та диференціали функцій кількох змінних.

Цільові завдання:

знати: поняття функції двох змінних; поняття приватних похідних функції двох змінних; поняття повного та приватних диференціалів функції декількох змінних;

вміти: знаходити похідні та диференціали функцій кількох змінних.

Короткі відомості з теоретичного курсу

Основні поняття

Змінна z називається функцією двох аргументів x і y, якщо деяким парам значень за яким-небудь правилом чи законом ставиться у відповідність певне значення z. Функція двох аргументів позначається.

Функція задається у вигляді поверхні у прямокутній системі координат у просторі. Графіком функції двох змінних називається безліч точок тривимірного простору х

Твір називається приватним диференціаломфункції z = f (x, y) по хі позначаються.

Повний диференціал функції

Диференціалом функції називається сума творів приватних похідних цієї функції збільшення відповідних незалежних змінних, тобто. . Так як і тоді можна записати: або .

Виробнича(функції у точці) - основне поняття диференціального обчислення, що характеризує швидкість зміни функції (у цій точці). Визначається як межа відношення збільшення функції до збільшення її аргументу при прагненні збільшення аргументу до нуля, якщо така межа існує. Функцію, що має кінцеву похідну (у деякій точці), називають диференційованою (у даній точці).

Похідна. Розглянемо деяку функцію y = f (x ) у двох точках x 0 та x 0 + : f (x 0) та f (x 0 +). Тут через позначено деяку малу зміну аргументу, звану збільшенням аргументу; відповідно різниця між двома значеннями функції: f (x 0 + )  f (x 0 ) називається збільшенням функції.Похіднийфункції y = f (x ) у точці x 0 називається межа:

Якщо ця межа існує, то функція f (x ) називається диференційованоїу точці x 0 . Похідна функції f (x ) позначається так:

Геометричний зміст похідної. Розглянемо графік функції y = f (x ):

З рис.1 видно, що з будь-яких двох точок A і B графіка функції:

де - Кут нахилу січної AB.

Таким чином, різницеве ​​відношення дорівнює кутовому коефіцієнту січної. Якщо зафіксувати точку A і рухати до неї точку B, то необмежено зменшується і наближається до 0, а січна АВ наближається до дотичної АС. Отже, межа різницевого відношення дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної в точці A. Звідси випливає: похідна функції в точці є кутовий коефіцієнт, що стосується графіка цієї функції в цій точці.У цьому полягає геометричний зміст похідною.

Рівняння дотичної. Виведемо рівняння щодо графіку функції в точці A ( x 0 , f (x 0 )). У загальному випадку рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом f ’(x 0 ) має вигляд:

y = f ’(x 0 ) · x + b.

Щоб знайти b, скористаємося тим, що дотична проходить через точку A:

f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 + b ,

звідси, b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , і підставляючи цей вираз замість b, ми отримаємо рівняння дотичної:

y =f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · ( x – x 0 ) .

Механічний сенс похідної. Розглянемо найпростіший випадок: рух матеріальної точки вздовж координатної осі, причому закон руху заданий: координата xточки, що рухається - відома функція x (t) часу t. Протягом інтервалу часу від t 0 до t 0 + точка переміщається на відстань: x (t 0 + ) x (t 0) = , а її Середня швидкість дорівнює: v a =  . При 0 значення середньої швидкості прагне певної величини, яка називається миттєвою швидкістю v ( t 0 ) матеріальної точки на момент часу t 0 . Але за визначенням похідної ми маємо:

звідси, v (t 0 ) = x’ (t 0 ), тобто. швидкість – це похідна координати по часу. У цьому полягає механічний сенспохідний . Аналогічно, прискорення - це похідна швидкості за часом: a = v’ (t).

8.Таблиця похідних та правила диференціювання

Про те, що таке похідна, ми розповіли у статті «Геометричний зміст похідної». Якщо функція задана графіком, її похідна у кожній точці дорівнює тангенсу кута нахилу щодо графіку функції. А якщо функція задана формулою – вам допоможуть таблиця похідних та правила диференціювання, тобто правила знаходження похідної.

§ 2. Визначення похідної.

Нехай функція y= f(x) визначено на інтервалі ( a;b). Розглянемо значення аргументу

(a;b) . Дамо аргументу збільшення ∆ x 0, так щоб виконувалася умова ( x 0 +∆ x)

a;b). Позначимо відповідні значення функції через y 0 та y 1:

y 0 = f(x 0 ), y 1 = f(x 0 +∆ x). При переході від x 0 до x 0 +∆ xфункція отримає збільшення

∆y = y 1 - y 0 = f(x 0 +∆ x) -f(x 0 ). Якщо при прагненні ∆ xдо нуля існує межа відношення збільшення функції ∆yдо аргументу, що викликав його прирощення. ∆ x,

тобто. існує межа

=

,

то ця межа називається похідною функції y= f(x) у точці x 0 . Отже, похідна функції y= f(x) у точці x=x 0 є межа відношення збільшення функції до збільшення аргументу, коли збільшення аргументу прагне до нуля. Похідна функції y= f(x) у точці xпозначається символами (x) або (x). Використовуються також позначення , , ,. В останніх трьох позначеннях підкреслюється та обставина, що похідна береться за змінною x.

Якщо функція y= f(x) має похідну в кожній точці деякого інтервалу, то на цьому інтервалі похідна ( x) є функція аргументу x.

§ 3. Механічний та геометричний зміст похідної.

Рівняння нормалі та щодо графіку функції.

Як було показано в § 1, миттєва швидкість точки є

v = .

Але це означає, що швидкість v є похідна від пройденого шляху S по часу t ,

v =. Таким чином, якщо функція y= f(x) описує закон прямолінійного руху матеріальної точки, де yє шлях, пройдений матеріальною точкою від моменту початку руху до моменту часу x, то похідна ( x) визначає миттєву швидкість точки в момент часу x. У цьому полягає механічний зміст похідної.

У § 1 було знайдено також кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції y= f(x) k= tgα= . Це співвідношення означає, що кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює похідній ( x). Говорячи суворо, похідна ( x) функції y= f(x) , обчислена при значенні аргументу, що дорівнює x, дорівнює кутовому коефіцієнту щодо графіку цієї функції в точці, абсциса якої дорівнює x. У цьому полягає геометричний зміст похідної.

Нехай при x=x 0 функція y= f(x) приймає значення y 0 =f(x 0 ) , та графік цієї функції має дотичну в точці з координатами ( x 0 ;y 0). Тоді кутовий коефіцієнт дотичної

k = ( x 0). Використовуючи відоме з курсу аналітичної геометрії рівняння прямої, що проходить через задану точку в заданому напрямку ( y-y 0 =k(x-x 0)), запишемо рівняння дотичної:

Пряма, що проходить через точку торкання перпендикулярно дотичної, називається нормаллю до кривої. Оскільки нормаль перпендикулярна дотичній, то її кутовий коефіцієнт kнорм пов'язаний з кутовим коефіцієнтом дотичної kвідомим з аналітичної геометрії співвідношенням: kнорм = ─, тобто. для нормалі, що проходить через точку з координатами ( x 0 ;y 0),kнорм = ─. Отже, рівняння цієї нормалі має вигляд:

(за умови, що

).

§ 4. Приклади обчислення похідної.

Для того, щоб обчислити похідну функції y= f(x) у точці x, необхідно:

Аргументу xдати приріст ∆ x;

Знайти відповідне збільшення функції ∆ y=f(x+∆x) -f(x);

Скласти ставлення ;

Знайти межу цього відношення при ∆ x→0.

Приклад 4.1. Знайти похідну функції y= C = const.

Аргументу xдаємо збільшення ∆ x.

Яке б не було x, ∆y=0: ∆y=f(x+∆x) ─f(x)=С─С=0;

Звідси =0 і =0, тобто. =0.

Приклад 4.2. Знайти похідну функції y=x.

∆ y=f(x+∆x) ─f(x)= x+∆x– x=∆ x;

1, =1, тобто. =1.

Приклад 4.3. Знайти похідну функції y=x 2.

∆ y= (x+∆ x)2–x 2= 2 x∙∆ x+ (∆ x)2;

= 2 x+ ∆ x, = 2 x, тобто. =2 x.

Приклад 4.4. Знайти похідну функції y=sin x.

∆ y= sin ( x+∆x) – sin x= 2sin cos( x+);

=

;

=



= cos x, тобто. = cos x.

приклад 4.5. Знайти похідну функції y=

.

=

, тобто. = .

МЕХАНІЧНИЙ ДУМКА ВИРОБНИЧОЇ

З фізики відомо, що закон рівномірного руху має вигляд s = v·t, де s– шлях, пройдений на момент часу t, v- Швидкість рівномірного руху.

Проте, т.к. більшість рухів, що відбуваються в природі, нерівномірно, то в загальному випадку швидкість, а, отже, і відстань sбуде залежати від часу t, тобто. буде функцією часу.

Отже, нехай матеріальна точка рухається прямою в одному напрямку за законом s = s (t).

Зазначимо деякий момент часу t 0 . До цього моменту точка пройшла шлях s = s (t 0 ). Визначимо швидкість vматеріальної точки на момент часу t 0 .

Для цього розглянемо якийсь інший момент часу t 0 + Δ t. Йому відповідає пройдений шлях s = s (t 0 + Δ t). Тоді за проміжок часу Δ tточка пройшла шлях Δs = s (t 0 + Δ t)–s(t).

Розглянемо ставлення. Воно називається середньою швидкістю у проміжку часу Δ t. Середня швидкість не може точно охарактеризувати швидкість переміщення точки в момент t 0 (т.к. рух нерівномірний). Для того, щоб точніше виразити цю дійсну швидкість за допомогою середньої швидкості, потрібно взяти менший проміжок часу Δ t.

Отже, швидкістю руху в даний момент часу t 0 (миттєвою швидкістю) називається межа середньої швидкості в проміжку від t 0 до t 0 +Δ t, коли Δ t→0:

,

тобто. швидкість нерівномірного рухуце похідна від пройденого шляху за часом.

ГЕОМЕТРИЧНИЙ ДУМКА ВИРОБНИЧОЇ

Введемо спочатку визначення дотичної до кривої у цій точці.

Нехай маємо криву та на ній фіксовану точку М 0(див. малюнок). Розглянемо іншу точку Мцією кривою і проведемо січну M 0 M. Якщо точка Мпочинає переміщатися кривою, а точка М 0залишається нерухомою, то січка змінює своє становище. Якщо при необмеженому наближенні точки Мпо кривій до точки М 0з будь-якої сторони січка прагне зайняти становище певної прямої М 0 Т, то пряма М 0 Тназивається дотичною до кривої в даній точці М 0.

Т.о., дотичноїдо кривої в даній точці М 0називається граничне положення сіючої М 0 М, коли точка Мпрагне вздовж кривої до точки М 0.

Розглянемо тепер безперервну функцію y=f(x)та відповідну цій функції криву. За деякого значення х 0 функція набуває значення y 0 = f (x 0).Цим значенням x 0 та y 0 на кривій відповідає точка М 0 (x 0; y 0).Дамо аргументу x 0приріст Δ х. Новому значенню аргументу відповідає нарощене значення функції y 0 +Δ y=f(x 0 –Δ x). Отримуємо точку М(x 0+Δ x; y 0+Δ y).Проведемо січну М 0 Мі позначимо через φ кут, утворений січною з позитивним напрямом осі Ox. Складемо відношення та зауважимо, що .

Якщо тепер Δ x→0, то через безперервність функції Δ у→0, і тому точка М, переміщаючись кривою, необмежено наближається до точки М 0. Тоді січуча М 0 Мбуде прагнути зайняти становище дотичної до кривої в точці М 0, а кут φ→α при Δ x→0, де через α позначили кут між дотичним та позитивним напрямком осі Ox. Оскільки функція tg φ безперервно залежить від φ при φ≠π/2 то при φ→α tg φ → tg α і, отже, кутовий коефіцієнт дотичної буде:

тобто. f "(x)= tg α.

Т.о., геометрично у "(x 0)представляє кутовий коефіцієнт щодо графіку цієї функції в точці x 0, тобто. при даному значенні аргументу x, похідна дорівнює тангенсу кута, утвореного щодо графіку функції f(x)у відповідній точці М 0 (x; y)з позитивним напрямом осі Ox.

приклад.Знайти кутовий коефіцієнт дотичної до кривої у = х 2 у точці М(-1; 1).

Раніше ми вже бачили, що ( x 2)" = 2х. Але кутовий коефіцієнт щодо кривої є tg α = y"| x = -1 = - 2.

Геометричний, механічний, економічний змив похідної

Визначення похідної.

Лекція №7-8

Список використаної літератури

1 Ухоботов, В. І. Математика: Навчальний посібник. - Челябінськ: Челяб. держ. ун-т, 2006. - 251 с.

2 Єрмаков, В.І. Збірник завдань із вищої математики. Навчальний посібник. -М.: ІНФРА-М, 2006. - 575 с

3 Єрмаков, В.І. Загальний курс математики. Підручник -М.: ІНФРА-М, 2003. - 656 с.

Тема «Похідна»

Ціль:пояснити поняття похідної, простежити залежність між безперервністю і диференційованістю функції, показати застосування використання похідної на прикладах.

Ця межа економіки називається граничними витратами виробництва.

Визначення похідної. Геометричний та механічний зміст похідної, рівняння касальной до графіку функції.

Потрібна коротка відповідь (без зайвої води)

Мертвий_білий_сніг

Похідна – основне поняття диференціального обчислення, що характеризує швидкість зміни функції.
Геометричний?
Стосовно функції в точці... .
Умова зростання функції: f "(x)> 0.
Умова зменшення функції: f "(x)< 0.
Точка перегину (необхідна умова): f " " (x0) = 0.
Випуклість догори: f " " (x) Випуклість донизу: f " " (x) >0
Рівняння нормалі: у = f (x0) - (1 / f `(x0)) (x-x0)
Механічний?
швидкість це похідна на відстані, прискорення похідна на швидкості і друга похідна на відстані.. .
Рівняння щодо графіку функції f у точці x0
y=f(x0)+f`(x0)(x-x0)

користувача видалено

Якщо існує межа відношення дельта y до дельта x збільшення функції дельта y до аргументу дельта x, що викликав його прирощення, коли дельта x прагнути до нуля, то ця межа називається похідною функції y = f(x) в даній точці х і позначається y" або f "(x)
Швидкість v прямолінійного руху є похідною шляху s за часом t: v = ds/dt. У цьому полягає механічний зміст похідної.
Кутовий коефіцієнт дотичної до кривої y = f(x) у точці з абсцисою х нульове є похідна f"(x нульового). У цьому полягає геометричний зміст похідної.
Стосовною кривою в точці М нульове називається пряма М нульове Т, кутовий коефіцієнт якої дорівнює межі кутового коефіцієнта січної М нульове М один, коли дельта х прагне нуля.
tg фі = lim tg альфа при дельта х прагне до нуля = lim (дельта х/ дельта у) при дельта х прагне до нуля
З геометричного сенсу похідної рівняння дотичної набуде вигляду:
у - у нульове = f "(x нульового) (х - х нульове)

Виробнича(функції у точці) - основне поняття диференціального обчислення, що характеризує швидкість зміни функції (у цій точці). Визначається як межа відношення збільшення функції до збільшення її аргументу при прагненні збільшення аргументу до нуля, якщо така межа існує. Функцію, що має кінцеву похідну (у деякій точці), називають диференційованою (у даній точці).

Похідна. Розглянемо деяку функцію y = f (x ) у двох точках x 0 та x 0 + : f (x 0) та f (x 0 +). Тут через позначено деяку малу зміну аргументу, звану збільшенням аргументу; відповідно різниця між двома значеннями функції: f (x 0 + )  f (x 0 ) називається збільшенням функції.Похіднийфункції y = f (x ) у точці x 0 називається межа:

Якщо ця межа існує, то функція f (x ) називається диференційованоїу точці x 0 . Похідна функції f (x ) позначається так:

Геометричний зміст похідної. Розглянемо графік функції y = f (x ):

З рис.1 видно, що з будь-яких двох точок A і B графіка функції:

де - Кут нахилу січної AB.

Таким чином, різницеве ​​відношення дорівнює кутовому коефіцієнту січної. Якщо зафіксувати точку A і рухати до неї точку B, то необмежено зменшується і наближається до 0, а січна АВ наближається до дотичної АС. Отже, межа різницевого відношення дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної в точці A. Звідси випливає: похідна функції в точці є кутовий коефіцієнт, що стосується графіка цієї функції в цій точці.У цьому полягає геометричний зміст похідною.

Рівняння дотичної. Виведемо рівняння щодо графіку функції в точці A ( x 0 , f (x 0 )). У загальному випадку рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом f ’(x 0 ) має вигляд:

y = f ’(x 0 ) · x + b.

Щоб знайти b, скористаємося тим, що дотична проходить через точку A:

f (x 0 ) = f ’(x 0 ) · x 0 + b ,

звідси, b = f (x 0 ) – f ’(x 0 ) · x 0 , і підставляючи цей вираз замість b, ми отримаємо рівняння дотичної:

y =f (x 0 ) + f ’(x 0 ) · ( x – x 0 ) .

Механічний сенс похідної. Розглянемо найпростіший випадок: рух матеріальної точки вздовж координатної осі, причому закон руху заданий: координата xточки, що рухається - відома функція x (t) часу t. Протягом інтервалу часу від t 0 до t 0 + точка переміщається на відстань: x (t 0 + )  x (t 0) = , а її Середня швидкість дорівнює: v a =  . При 0 значення середньої швидкості прагне певної величини, яка називається миттєвою швидкістю v ( t 0 ) матеріальної точки на момент часу t 0 . Але за визначенням похідної ми маємо:

звідси, v (t 0 ) = x’ (t 0 ), тобто. швидкість – це похідна координати по часу. У цьому полягає механічний сенспохідний . Аналогічно, прискорення - це похідна швидкості за часом: a = v’ (t).

8.Таблиця похідних та правила диференціювання

Про те, що таке похідна, ми розповіли у статті «Геометричний зміст похідної». Якщо функція задана графіком, її похідна у кожній точці дорівнює тангенсу кута нахилу щодо графіку функції. А якщо функція задана формулою – вам допоможуть таблиця похідних та правила диференціювання, тобто правила знаходження похідної.

Нехай задано матеріальну точку на площині. Закон її руху вдоль координатної осі описується за законом $ x (t) $, де $ t $ задає час. Тоді за час від $ t_0 $ до $ t_0 + \ Delta t $ точка проходить шлях $ \ Delta x = x (t_0 + \ Delta t) - x (t_0) $. Виходить що Середня швидкістьтакої точки знаходиться за формулою: $$ v_(cp) = \frac(\Delta x)(\Delta t) $$

Якщо спрямувати $ \ Delta t $ на нуль, то значення середньої швидкості буде прагнути до величини званої миттєвою швидкістюу точці $t_0$:

$$ \lim_(\Delta t \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = v(t_0) $$

За визначенням похідної через межу отримуємо зв'язок між швидкістю та законом руху шляху матеріальної точки:

$$ v(t_0) = \lim_(\Delta \to 0) \frac(\Delta x)(\Delta t) = x"(t_0) $$

Приклади рішень

Похідна.Розглянемо деяку функцію y= f (x) у двох точках x 0 та x 0 + : f(x 0) та f (x 0 +). Тут через позначено деяку зміну аргументу, звану збільшенням аргументу; відповідно різниця між двома значеннями функції: f(x 0 + ) - f (x 0)називається збільшенням функції. Похіднийфункції y= f (x) у точці x 0 називається межа:

Якщо ця межа існує, то функція f (x) називається диференційованоїу точці x 0 . Похідна функції f (x) позначається так:

Геометричний зміст похідної.Розглянемо графік функції y= f (x):

З рис.1 видно, що з будь-яких двох точок A і B графіка функції:

Де – кут нахилу січної AB.

Таким чином, різницеве ​​відношення дорівнює кутовому коефіцієнту січної. Якщо зафіксувати точку A і рухати до неї точку B, то необмежено зменшується і наближається до 0, а січна АВ наближається до дотичної АС. Отже, межа різницевого відношення дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної в точці A. Звідси випливає: похідна функції в точці є кутовий коефіцієнт, що стосується графіка цієї функції в цій точці.У цьому полягає геометричний змістпохідною.

Рівняння дотичної.Виведемо рівняння щодо графіку функції в точці A ( x 0 , f (x 0)). У загальному випадку рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом f ’(x 0) має вигляд:

y = f ’(x 0) · x + b.

Щоб знайти b,скористаємося тим, що дотична проходить через точку A:

f (x 0) = f ’(x 0) · x 0 + b,

звідси, b = f (x 0) – f ’(x 0) · x 0 , і підставляючи цей вираз замість b, ми отримаємо рівняння дотичної:

y =f (x 0) + f ’(x 0) · ( x – x 0) .

Механічний сенс похідної.Розглянемо найпростіший випадок: рух матеріальної точки вздовж координатної осі, причому закон руху заданий: координата xточки, що рухається - відома функція x (t) часу t. Протягом інтервалу часу від t 0 до t 0 + точка переміщається на відстань: x (t 0 + ) -x (t 0) = , а її Середня швидкістьдорівнює: v a = / . При 0 значення середньої швидкості прагне певної величини, яка називається миттєвою швидкістю v(t 0) матеріальної точки на момент часу t 0 . Але за визначенням похідної ми маємо:

звідси, v(t 0)= x’(t 0), тобто. швидкість - це похідна координати за часом.У цьому полягає механічний сенспохідний . Аналогічно, прискорення - це похідна швидкості за часом: a = v’(t).

Приклади завдань

Завдання 1. Складіть рівняння загальної, що стосується графіків функцій і .

Пряма є загальною дотичною графіків функцій і якщо вона стосується як одного, так і іншого графіків, але зовсім не обов'язково в одній і тій же точці.

- рівняння дотичної до графіка функції y=x2 у точці з абсцисою x0

- рівняння дотичної до графіка функції y=x3 у точці з абсцисою x1

Прямі збігаються, якщо їх кутові коефіцієнти та вільні члени рівні. Звідси

Рішенням системи будуть

Рівняння загальних дотичних мають вигляд:

16. Правила диференціювання. Похідні складної, зворотної та неявної функції.
Правила диференціювання
При диференціюванні константу можна виносити за похідну:

Правило диференціювання суми функцій:

Правило диференціювання різниці функцій:

Правило диференціювання добутку функцій (правило Лейбниця):

Правило диференціювання приватних функцій:

Правило диференціювання функції у ступені іншої функції:

Правило диференціювання складної функції:

Правило логарифму під час диференціювання функції: