Цілі та натуральні числа. Числа: натуральні, цілі, раціональні, дійсні

Це числа, які використовуються за рахунку: 1, 2, 3 і т.д.

Нуль не є натуральним.

Натуральні числа прийнято позначати символом N.

Цілі числа. Позитивні та негативні числа

Два числа, що відрізняються один від одного тільки знаком, називаються протилежниминаприклад, +1 і -1, +5 і -5. Знак "+" зазвичай не пишуть, але припускають, що перед числом стоїть "+". Такі числа називаються позитивними. Числа, перед якими стоїть знак "-", називаються негативними.

Натуральні числа, протилежні їм і нуль, називають цілими числами. Безліч цілих чисел позначають символом Z.

Раціональні числа

Це кінцеві дроби та нескінченні періодичні дроби. Наприклад,

Безліч раціональних чисел позначається Q. Усі цілі числа є раціональними.

Ірраціональні числа

Нескінченна неперіодична дріб називається ірраціональним числом. Наприклад:

Безліч ірраціональних чисел позначається J.

Справжні числа

Безліч всіх раціональних та всіх ірраціональних чисел називається безліччю дійсних (речових)чисел.

Справжні числа позначаються символом R.

Округлення чисел

Розглянемо число 8,759123... . Округлити до цілої частини означає записати лише частину числа, що знаходиться до коми. Округлити до десятих означає записати цілу частину і після коми одну цифру; округлити до сотих - після коми дві цифри; до тисячних – три цифри тощо.

Цілі числа -це натуральні числа, а також протилежні їм числа та нуль.

Цілі числа- Розширення безлічі натуральних чисел N, яке виходить шляхом додавання до N 0 та негативних чисел типу − n. Безліч цілих чисел позначають Z.

Сума , різницю і добуток цілих чисел дають знову цілі числа, тобто. цілі числа становлять кільце щодо операцій складання та множення.

Цілі числа на числовій осі:

Скільки цілих чисел? Яка кількість цілих чисел? Найбільшого і найменшого цілого числа немає. Цей ряд нескінченний. Найбільше та найменше ціле число не існує.

Натуральні числа ще називаються позитивними цілими числами, тобто. фраза «натуральне число» і «позитивне ціле число» це те саме.

Ні прості, ні десяткові дроби є цілими числами. Але є дроби з цілими числами.

Приклади цілих чисел: -8, 111, 0, 1285642, -20051 і так далі.

Говорячи простою мовою, цілі числа - це (∞... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4...+ ∞) - Послідовність цілих чисел. Тобто ті, у яких дрібна частина (()) дорівнює нулю. Вони не мають часток.

Натуральні числа – це цілі, позитивні числа. Цілі числа, приклади: (1,2,3,4...+ ∞).

Операції над цілими числами.

1. Сума цілих чисел.

Для складання двох цілих чисел з однаковими знаками необхідно скласти модулі цих чисел і перед сумою поставити підсумковий знак.

Приклад:

(+2) + (+5) = +7.

2. Віднімання цілих чисел.

Для складання двох цілих чисел з різними знаками необхідно з модуля числа, яке більше відняти модуль числа, яке менше і перед відповіддю поставити знак більшого числа по модулю.

Приклад:

(-2) + (+5) = +3.

3. Примноження цілих чисел.

Для множення двох цілих чисел необхідно перемножити модулі цих чисел і перед твором поставити знак плюс (+), якщо вихідні числа були одного знака, і мінус (-) - якщо різного.

Приклад:

(+2) ∙ (-3) = -6.

Коли множаться кілька чисел, знак твору буде позитивним, якщо число непозитивних співмножників парне, і негативний, якщо непарне.

Приклад:

(-2) ∙ (+3) ∙ (-5) ∙ (-3) ∙ (+4) = -360 (3 непозитивних помножувачів).

4. Розподіл цілих чисел.

Для поділу цілих чисел необхідно поділити модуль одного на модуль іншого і поставити перед результатом знак «+», якщо знаки чисел однакові, і мінус, - якщо різні.

Приклад:

(-12) : (+6) = -2.

Властивості цілих чисел.

Z не замкнуто щодо розподілу 2-х цілих чисел ( наприклад, 1/2). Нижче наведена таблиця показує деякі основні властивості додавання та множення для будь-яких цілих a, bі c.

Властивість	додавання	множення
замкнутість	a + b- ціле	a × b- ціле
асоціативність	a + (b + c) = (a + b) + c	a × ( b × c) = (a × b) × c
комутативність	a + b = b + a	a × b = b × a
існування нейтрального елемента	a + 0 = a	a × 1 = a
існування протилежного елемента	a + (−a) = 0	a ≠ ± 1 ⇒ 1/aне є цілим
дистрибутивність множення щодо додавання	a × ( b + c) = (a × b) + (a × c)

З таблиці можна дійти невтішного висновку, що Z- це комутативне кільце з одиницею щодо складання та множення.

Стандартний поділ не існує на багатьох цілих чисел, але є т.зв. розподіл із залишком: для будь-яких цілих aі b, b≠0є один набір цілих чисел qі r, що a = bq + rі 0≤r<|b| , де |b|- Абсолютна величина (модуль) числа b. Тут a- ділене, b- дільник, q- приватне, r- Залишок.

Якщо до ряду натуральних чисел приписати ліворуч число 0, то вийде ряд позитивних цілих чисел:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

Цілі негативні числа

Розглянемо невеликий приклад. На малюнку зліва зображено термометр, який показує температуру 7 ° C тепла. Якщо температура знизиться на 4 °C, то термометр показуватиме 3 °C тепла. Зменшенню температури відповідає дія віднімання:

Примітка: всі градуси пишуться з літерою C (Цельсія), знак градуса відокремлюється від числа пробілом. Наприклад, 7 °C.

Якщо температура знизиться на 7 °C, то термометр показуватиме 0 °C. Зменшенню температури відповідає дія віднімання:

Якщо температура знизиться на 8 °C, то термометр покаже -1 °C (1 °C морозу). Але результат віднімання 7 - 8 не можна записати за допомогою натуральних чисел та нуля.

Проілюструємо віднімання ряду цілих позитивних чисел:

1) Від числа 7 відрахуємо вліво 4 числа та отримаємо 3:

2) Від числа 7 відрахуємо вліво 7 чисел і отримаємо 0:

Відрахувати серед позитивних цілих чисел від числа 7 вліво 8 чисел не можна. Щоб дія 7 - 8 стала здійсненною, розширимо ряд позитивних цілих чисел. Для цього ліворуч від нуля запишемо (праворуч ліворуч) по порядку всі натуральні числа, додаючи до кожного з них знак - , що показує, що це число стоїть ліворуч від нуля.

Записи -1, -2, -3, ... читають мінус 1, мінус 2, мінус 3 і т. д.:

5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Отриманий ряд чисел називають поруч цілих чисел. Точки ліворуч і праворуч у цьому записі означають, що ряд можна продовжувати необмежено праворуч і ліворуч.

Праворуч від числа 0 у цьому ряду розташовані числа, які називають натуральнимиабо цілими позитивними(коротко - позитивними).

Ліворуч від числа 0 у цьому ряду розташовані числа, які називають цілими негативними(коротко - негативними).

Число 0 ціле, але не є ні позитивним, ні негативним числом. Воно поділяє позитивні та негативні числа.

Отже, ряд цілих чисел складається з цілих негативних чисел, нуля та цілих позитивних чисел.

Порівняння цілих чисел

Порівняти два цілі числа- отже, дізнатися, яке їх більше, яке менше, чи визначити, що числа рівні.

Порівнювати цілі числа можна за допомогою ряду цілих чисел, тому що числа в ньому розташовані від меншого до більшого, якщо рухатися рядом зліва направо. Тому в ряді цілих чисел можна замінити коми на знак менше:

5 < -4 < -3 < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < 3 < 4 < 5 < ...

Отже, з двох цілих чисел більше те число, яке в ряду стоїть правіше, і менше те, що стоїть ліворуч, значить:

1) Будь-яке позитивне число більше нуля і більше будь-якого негативного числа:

1 > 0; 15 > -16

2) Будь-яке від'ємне число менше нуля:

7 < 0; -357 < 0

3) З двох негативних чисел більше те, що в ряді цілих чисел стоїть правіше.

Натуральні числа - це числа, з яких колись все почалося. І сьогодні це перші числа, з якими зустрічається у своєму житті людина, коли в дитинстві вчиться рахувати на пальцях чи лічильних паличках.

Визначення: Натуральними називають числа, які використовують для рахунку предметів (1, 2, 3, 4, 5, ...) [Число 0 не є натуральним. Воно й у історії математики має окрему історію і з'явилося набагато пізніше натуральних чисел.]

Багато всіх натуральних чисел (1, 2, 3, 4, 5, ...) позначають буквою N.

Цілі числа

Навчившись вважати, що ми робимо - це вчимося робити над числами арифметичні дії. Зазвичай спочатку (на рахункових паличках) навчаються виконувати додавання та віднімання.

З додаванням все зрозуміло: склавши будь-які два натуральні числа, в результаті завжди отримаємо теж натуральне число. А ось у відніманні виявляємо, що з меншого відібрати більше так, щоб в результаті вийшло натуральне число, ми не можемо. (3 − 5 = чому?) Тут ідея негативних чисел. (Негативні числа вже не є натуральними)

На етапі виникнення негативних чисел (а вони з'явилися пізніше дробових)існували та його противники, які вважали їх безглуздям. (Три предмети можна показати на пальцях, десять можна показати, тисячу предметів можна уявити за аналогією. А що таке "мінус три мішки"? — Тоді числа хоч уже й використовувалися самі по собі, у відриві від конкретних предметів, кількість яких вони Але, як і заперечення, так і основний аргумент на користь негативних чисел, прийшов з практики: негативні числа дозволяли зручно вести рахунок боргам. 3 − 5 = −2 — у мене було 3 монети, я витратила 5. Значить, у мене не просто закінчилися монети, а й 2 монети я комусь винна. Якщо поверну одну, борг зміниться −2+1=−1, але може бути представлений негативним числом.

У результаті негативні числа з'явилися в математиці, і тепер у нас є нескінченна кількість натуральних чисел (1, 2, 3, 4, ...) і є така сама кількість їм протилежних (−1, −2, −3, −4) , ...). Додамо до них ще 0. І безліч усіх цих чисел називатимемо цілими.

Визначення: Натуральні числа, їм протилежні та нуль становлять безліч цілих чисел. Воно позначається буквою Z.

Будь-які два цілих числа можна відняти один з одного або скласти і отримати в результаті ціле число.

Ідея складання цілих чисел передбачає можливість множення, як і швидшого способу виконання складання. Якщо у нас є 7 мішків по 6 кілограм, ми можемо складати 6+6+6+6+6+6+6 (сім разів додавати до поточної суми по 6), а можемо просто пам'ятати, що така операція завжди даватиме в результаті 42. Як і додавання шести сімок 7+7+7+7+7+7 теж завжди даватиме 42.

Результати операції складання певногочисла самого із собою певнекількість разів для всіх пар чисел від 2 до 9 виписуються та становлять таблицю множення. Для множення цілих чисел більше 9 вигадується правило множення стовпчик. (Яке поширюється і на десяткові дроби, і яке розглядатиметься в одній із наступних статей.) При множенні будь-яких двох цілих чисел один на одного завжди отримаємо в результаті ціле число.

Раціональні числа

Тепер розподіл. За аналогією з тим, як віднімання є зворотною операцією для додавання, приходимо до ідеї поділу як зворотної операції для множення.

Коли ми мали 7 мішків по 6 кілограм, за допомогою множення ми легко порахували, що загальна вага вмісту мішків становить 42 кілограми. Уявімо, що ми висипали весь вміст усіх мішків в одну загальну купу масою 42 кілограми. А потім передумали і захотіли розподілити вміст назад по 7 мішках. Скільки кілограм при цьому потрапить в один мішок, якщо розподілятимемо порівну? – Очевидно, що 6.

А якщо захочемо розподілити 42 кілограми по 6 мішках? Тут ми подумаємо про те, що ті ж загальні 42 кілограми могли б вийти, якби ми висипали в купу 6 мішків по 7 кілограмів. І значить при розподілі 42 кілограми на 6 мішків порівну отримаємо в одному мішку по 7 кілограмів.

А якщо розділити 42 кілограми порівну по 3 мішках? І тут теж ми починаємо підбирати таке число, яке при множенні на 3 дало б 42. Для «табличних» значень, як у випадку 6 · 7 = 42 => 42: 6 = 7, ми виконуємо операцію поділу, просто згадуючи таблицю множення. Для більш складних випадків використовується розподіл у стовпчик, який буде розглянуто в одній із наступних статей. У разі 3 і 42 можна «підбиранням» згадати, що 3 · 14 = 42. Значить, 42: 3 = 14. У кожному мішку буде по 14 кілограмів.

Тепер спробуємо розділити 42 кілограми порівну на 5 мішків. 42:5 =?
Помічаємо, що 5 · 8 = 40 (мало), а 5 · 9 = 45 (багато). Тобто, ні по 8 кілограмів у мішку, ні по 9 кілограмів, з 5 мішків ми 42 кілограми ніяк не отримаємо. При цьому зрозуміло, що насправді розділити будь-яку кількість (крупи, наприклад,) на 5 рівних частин нам нічого не заважає.

Операція поділу цілих чисел один на одного не обов'язково дає в результаті ціле число. Так ми дійшли поняття дробу. 42:5 = 42/5 = 8 цілих 2/5 (якщо рахувати у звичайних дробах) або 42:5=8,4 (якщо рахувати в десяткових дробах).

Звичайні та десяткові дроби

Можна сміливо сказати, що будь-яка звичайна дріб m/n (m – будь-яке ціле, n – будь-яке натуральне) є просто спеціальну форму запису результату розподілу числа m на число n. (m називають чисельником дробу, n – знаменником) Результат поділу, наприклад, числа 25 на число 5 теж можна записати у вигляді звичайного дробу 25/5. Але в цьому немає необхідності, тому що результат розподілу 25 на 5 може бути записаний цілим числом 5. (І 25/5 = 5). А ось результат розподілу числа 25 на число 3 вже не може бути представлений цілим числом, тому тут виникає необхідність використання дробу, 25:3=25/3. (Можна виділити цілу частину 25/3= 8 цілих 1/3. Докладніше прості дроби та операції зі звичайними дробами будуть розглянуті в наступних статтях.)

Звичайні дроби хороші тим, що, щоб уявити таким дробом результат поділу будь-яких двох цілих чисел, потрібно просто записати ділене в чисельник дробу, а дільник у знаменник. (123:11=123/11, 67:89=67/89, 127:53=127/53, …) Потім по можливості скоротити дріб і/або виділити цілу частину (ці дії зі звичайними дробами будуть докладно розглянуті в наступних статтях ). Проблема в тому, що робити арифметичні події (складення, віднімання) зі звичайними дробами вже не так зручно, як з цілими числами.

Для зручності запису (в один рядок) і для зручності обчислень (з можливістю обчислень у стовпчик, як для звичайних цілих чисел), крім звичайних дробів, придумані ще й десяткові дроби. Десятковий дріб – це спеціальним чином записаний звичайний дріб зі знаменником 10, 100, 1000 і т.п. Наприклад, звичайний дріб 7/10 – те саме, як і десятковий дріб 0,7. (8/100 = 0,08; 2 цілих 3/10=2,3; 7 цілих 1/1000 = 7, 001). Перекладу звичайних дробів у десяткові та навпаки буде присвячена окрема стаття. Операціям із десятковими дробами – інші статті.

Будь-яке ціле число може бути представлене у вигляді звичайного дробу зі знаменником 1. (5=5/1; −765=−765/1).

Визначення: Усі числа, які можуть бути представлені у вигляді звичайного дробу, називають раціональними числами. Безліч раціональних чисел позначають буквою Q.

При розподілі будь-яких двох цілих чисел один на одного (крім випадку розподілу на 0) завжди отримаємо в результаті раціональне число. Для звичайних дробів є правила додавання, віднімання, множення і поділу, що дозволяють зробити відповідну операцію з будь-якими двома дробами і отримати в результаті також раціональне число (дроб або ціле).

Безліч раціональних чисел - це перше з розглянутих нами множин, в якому можна і складати, і віднімати, і множити, і ділити (крім поділу на 0), ніколи не виходячи за межі цієї множини (тобто завжди отримуючи в результаті раціонально число) .

Здавалося б, інших чисел немає, всі числа раціональні. Але це не так.

Справжні числа

Існують такі числа, які не можна уявити у вигляді дробу m/n (де m-ціле, n-натуральне).

Які ж це числа? Ми ще не розглянули операцію зведення у ступінь. Наприклад, 4 2 = 4 · 4 = 16. 5 3 = 5 · 5 · 5 = 125. Як множення є більш зручну форму запису і обчислення додавання, і зведення у ступінь – це форма запису множення однієї й тієї числа самого себе певну кількість разів.

Але тепер розглянемо операцію, зворотну зведенню до ступеня – вилучення кореня. Квадратний корінь із 16 – це число, яке у квадраті дасть 16, тобто число 4. Квадратний корінь із 9 – це 3. А ось квадратний корінь із 5 або з 2, наприклад, не може бути представлений раціональним числом. (Доказ цього твердження, інші приклади ірраціональних чисел та їхню історію можна подивитися, наприклад, у Вікіпедії)

У ДПА в 9 класі є завдання визначення того, чи є число, що містить у своєму записі корінь, раціональним або ірраціональним. Завдання полягає в тому, щоб спробувати перетворити це число на вид, що не містить корінь (використовуючи властивості коренів). Якщо кореня не вдається позбутися, то число ірраціональне.

Іншим прикладом ірраціонального числа є число π, знайоме всім з геометрії та тригонометрії.

Визначення: Раціональні та ірраціональні числа разом називають дійсними (або речовими) числами. Багато всіх дійсних чисел позначають буквою R.

У дійсних числах, на відміну від раціональних, ми можемо висловити відстань між будь-якими двома точками на прямій чи площині.
Якщо намалювати пряму і вибрати на ній дві довільні точки або вибрати дві довільні точки на площині, то може вийти так, що точну відстань між цими точками неможливо виразити раціональним числом. (Приклад - гіпотенуза прямокутного трикутника з катетами 1 і 1 за теоремою Піфагора дорівнюватиме кореню з двох - тобто ірраціональному числу. Сюди ж відноситься точна довжина діагоналі зошитної клітини (довжина діагоналі будь-якого ідеального квадрата з цілими сторонами).)
А в множині дійсних чисел будь-які відстані на прямій, у площині або у просторі можуть бути виражені відповідним дійсним числом.