Skaláris argumentum vektorfüggvénye. Függvény megadása igazságvektorral Megadás teljes bináris fa használatával

Legyen a skaláris argumentum vektorfüggvényének értékkészlete egy közös origóra redukálva a 0 pontban. Párosítsuk ezzel a ponttal a derékszögű koordinátarendszer origóját. Ezután bármely vektorhoz egységvektorokká bővíthető

Így egy skaláris argumentum vektorfüggvényének megadása három skalárfüggvény megadását jelenti Amikor az argumentum értéke megváltozik, a vektor vége egy térbeli görbét ír le, amelyet vektorhodográfnak nevezünk.

Legyen közeli érték a Ekkor egy vektorfüggvény skaláris argumentumhoz való deriváltját hívjuk meg

17. sz. Egy pont sebessége és gyorsulása görbe vonalú mozgásban

Sebesség

A sebességet egy anyagi pont mozgásának jellemzőjeként vezetik be. A sebesség egy vektormennyiség, amelyet egy adott időpontban a mozgás sebessége (sebességvektor nagysága) és iránya (sebességvektor iránya) egyaránt jellemez. Mozogjon egy anyagi pont valamilyen görbe vonal mentén, és a t időpontban az r0 sugárvektornak felel meg (1. ábra). Rövid Δt időn belül a pont Δs utat fog megtenni, és egyidejűleg elemi (végtelenül kicsi) Δr elmozdulást kap.

Átlagsebesség vektor egy pont sugárvektora Δr növekedésének a Δt időintervallumhoz viszonyított arányának nevezzük:

Az átlagsebesség vektor iránya egybeesik Δr irányával. A Δt végtelen csökkenésével az átlagsebesség a v pillanatnyi sebességnek nevezett értékre hajlik:

Ez azt jelenti, hogy a v pillanatnyi sebesség egy vektormennyiség, amely egyenlő a mozgó pont sugárvektorának időbeli első deriváltjával. Mert határban a szekáns egybeesik az érintővel, majd a v sebességvektor a pályát érintően irányul a mozgás irányában (2. ábra).

2. ábra

A Δt csökkenésével a Δs egyre inkább megközelíti az |Δr|-t, így a pillanatnyi sebesség modul

Ez azt jelenti, hogy a pillanatnyi sebesség abszolút értéke egyenlő az út első deriváltjával az idő függvényében:

Egyenetlen mozgás esetén a pillanatnyi sebesség modul különböző időpontokban eltérő. Ebben az esetben használja a skaláris mennyiséget - egyenetlen mozgás átlagos sebessége:

Ha integráljuk a ds=vdt kifejezést időben a t és t+Δt tartományba (lásd a (2) képletet), akkor megkapjuk a pont által megtett út hosszát a Δt idő alatt:

Egyenletes mozgás esetén a pillanatnyi sebesség számértéke állandó; Ekkor a (3) kifejezés a következő alakot veszi fel

Egy pont által a t1 és t2 közötti időszakban megtett út hosszát az integrál adja meg.

GYORSULÁS

Egyenetlen vezetésnél gyakran tudni kell, milyen gyorsan változik a sebesség az idő múlásával. Gyorsulásnak nevezzük azt a fizikai mennyiséget, amely a sebesség nagyság- és irányváltozásának mértékét jellemzi. Tekintsük síkmozgást - olyan mozgást, amelyben a vizsgált rendszer egyes pontjainak pályái ugyanabban a síkban fekszenek. Legyen v vektor az A pont sebessége t időpontban. A Δt idő alatt a pont B pozícióba került, és v-től eltérő sebességet kapott mind nagyságában, mind irányában, és egyenlő v1 + Δv-vel. Vigyük át a v1 vektort az A pontba, és keressük meg a Δv-t (1. ábra).

Az egyenetlen mozgás átlagos gyorsulása a t és t+Δt intervallumban egy vektormennyiség, amely megegyezik a Δv sebességváltozás és a Δt időintervallum arányával:

Egy anyagi pont pillanatnyi gyorsulása a (gyorsulása) t időpontban vektormennyiség lesz:

egyenlő a sebesség első deriváltjával az idő függvényében.

Bontsuk fel a Δv vektort két komponensre. Ehhez az A pontból (1. ábra) a v sebesség irányában ábrázoljuk az AD vektort, amelynek modulusa v1. Nyilvánvalóan a Δvτ-val egyenlő CD-vektor határozza meg a sebesség időbeli változását Δt modulo: Δvτ=v1-v. A Δv vektor második Δvn komponense a sebesség Δt időbeni változását jellemzi az irányban.

A gyorsulás érintőleges összetevője:

azaz egyenlő a sebességi modulus idejére vonatkozó első deriválttal, ezáltal meghatározva a sebesség modulusban való változásának sebességét.

A gyorsulás második összetevőjét keressük. Feltételezzük, hogy a B pont nagyon közel van az A ponthoz, így Δs egy bizonyos r sugarú kör ívének tekinthető, amely kissé eltér az AB húrtól. Az AOB háromszög hasonló az EAD háromszöghez, amelyből Δvn/AB=v1/r következik, de mivel AB=vΔt, akkor

A Δt→0 határértékben v1→v-t kapunk.

Mert v1→v, az EAD szög nullára hajlik, és mivel Az EAD háromszög egyenlő szárú, akkor a v és Δvn közötti ADE szög derékszögű. Következésképpen Δt→0-nál a Δvn és v vektorok egymásra merőlegesek lesznek. Mert a sebességvektort érintőlegesen a pályára, majd a sebességvektorra merőlegesen a Δvn vektort a pont pályájának görbületi középpontjába irányítjuk. A gyorsulás második összetevője, egyenlő

a gyorsulás normál komponensének nevezzük, és a pálya érintőjére merőleges egyenes mentén irányul (ezt normálisnak nevezzük) annak görbületének középpontjába (ezért centripetális gyorsulásnak is nevezik).

A test teljes gyorsulása a tangenciális és a normálkomponens geometriai összege (2. ábra):

Ez azt jelenti, hogy a gyorsulás tangenciális komponense a sebesség nagyságrendi változási sebességének jellemzője (a pályára tangenciálisan irányítva), a gyorsulás normál komponense pedig a sebesség irányváltoztatási sebességének jellemzője (a gyorsulás irányában). a pálya görbületi középpontja). A gyorsulás érintőleges és normál összetevőitől függően a mozgás a következőképpen osztályozható:

1)aτ=0, an=0 - egyenes vonalú egyenletes mozgás;

2)aτ=an=const, аn=0 - egyenes vonalú egyenletes mozgás. Ezzel a mozgástípussal

Ha a kezdeti idő t1 = 0, és a kezdeti sebesség v1 = v0, akkor t2=t és v2 = v jelölésével a=(v-v0)/t kapjuk, amelyből

Ezt a képletet a nullától egy tetszőleges t időpillanatig terjedő tartományba integrálva azt kapjuk, hogy egyenletesen változó mozgás esetén a pont által megtett út hossza.

3)aτ=f(t), an=0 - egyenes vonalú mozgás változó gyorsulással;

4)aτ=0, an=konst. Ha aτ=0, a sebesség nem abszolút értékben, hanem irányváltozik. Az an=v2/r képletből következik, hogy a görbületi sugárnak állandónak kell lennie. Ezért a körkörös mozgás egyenletes, az egyenletes görbe vonalú mozgás;

5)aτ=0, an≠0 egyenletes görbe vonalú mozgás;

6)aτ=const, an≠0 - görbe vonalú egyenletes mozgás;

7)aτ=f(t), an≠0 - görbe vonalú mozgás változó gyorsulással.

18. sz. Az érintősík és a felület normális egyenlete

Meghatározás. Legyen két z =f(x,y) változó függvénye adott egy D tartományon, M0(x0;y0) a D tartomány belső pontja, M(x0+Δx;y+Δy) egy pontja D „szomszédos” M0.

Tekintsük a függvény teljes növekményét:

Ha Δz a következőképpen van ábrázolva:

ahol A, B állandók (függetlenül Δx, Δy-tól), - M és M0 közötti távolság, α(Δ x,Δy) - Δx 0-nál végtelenül kicsi, Δy 0; akkor a z =f(x,y) függvényt az M0 pontban differenciálhatónak nevezzük, és a kifejezést

A z =f(x;y) függvény teljes differenciáljának nevezzük az M0 pontban.

1.1. tétel. Ha z =f(x;y) differenciálható az M0 pontban, akkor

Bizonyíték

Mivel (1.16)-ban Δx, Δy tetszőleges infinitezimálisok, felvehetjük Δy =0, Δx≠0, Δx 0, akkor

ami után az (1.16)-ból következik

Hasonlóképpen bebizonyosodott, hogy

és 1.1. Tétel. igazolt.

Megjegyzés: z =f(x,y) differenciálhatósága az M0 pontban azt jelenti, hogy parciális deriváltak léteznek. A fordított állítás nem igaz (a parciális deriváltak megléte az M0 pontban nem jelenti a differenciálhatóságot az M0 pontban).

Ennek eredményeként, figyelembe véve az 1.1 tételt, az (1.18) képlet a következőképpen alakul:

Következmény. Az M0 pontban differenciálható függvény ebben a pontban folytonos (mivel (1.17)-ből az következik, hogy Δx 0, Δy 0 esetén: Δz 0, z(M) z(M0)).

Megjegyzés: Hasonlóképpen három vagy több változó esetén is. Az (1.17) kifejezés a következő formában jelenik meg:

A parciális deriváltak geometriai jelentését (1.3. ábra) felhasználva a πcass felület érintősíkjának következő (1.24) egyenletét kaphatjuk: z =f(x,y) a C0(x0,y0,z0) pontban, z0=z(M):

Az (1.24) és (1.21) összehasonlításából megkapjuk két változó függvénye teljes differenciájának geometriai jelentését:

Az applikációs z növekedése, amikor a C pont egy érintősík mentén mozog C0 pontból pontba

hol van (1.24).

A felület normál Lн egyenlete: z = f(x,y) a C0 pontban az érintősíkra merőleges C0-n átmenő egyenes egyenleteként kapjuk meg:

19. sz. Irányszármazék. Gradiens

Legyen adott függvény valamilyen tartományban és időszak . Rajzoljunk vektort abból a pontból, amelynek iránya koszinuszos . A vektoron, annak kezdetétől távol, tekintsünk egy pontot, azaz. .

Feltételezzük, hogy a függvény elsőrendű parciális deriváltjai pedig folytonosak a tartományban.

Az at arány határát a függvény deriváltjának nevezzük azon a ponton a vektor irányába és jelöljük, azaz. .

Egy függvény deriváltjának megtalálása egy adott ponton a vektor irányába használd a képletet:

Ahol – a vektor irány koszinuszai , amelyeket a következő képletekkel számítanak ki:
.

Adjunk meg egy függvényt egy adott tartomány minden pontjában .

A függvény gradiensének nevezzük azt a vektort, amelynek a koordinátatengelyekre vetületei a függvény parciális deriváltjainak értékei a megfelelő pontban. és jelölése vagy (olvasható: „nabla u”): .

Ebben az esetben azt mondják, hogy a gradiensek vektormezője van meghatározva a régióban.

Egy függvény gradiensének megtalálása egy adott ponton használja a következő képletet: .

22. sz. határozatlan integrál alaptulajdonságai

Határozatlan integrál

ahol F az f függvény antideriváltja (az intervallumon); C egy tetszőleges állandó.

Alaptulajdonságok

1.

2.

3. Ha Hogy

24)

25)

28)

Ezt a módszert olyan esetekben alkalmazzuk, amikor az integrandus heterogén függvények szorzata vagy hányadosa. Ebben az esetben a V’(x) a könnyen integrálható alkatrész.

29)

32) Racionális tört felbontása egyszerű törtekre.

Bármely megfelelő racionális tört
az első – negyedik típus véges számú egyszerű racionális történek összegeként ábrázolható. A lebontáshoz
szükséges a nevezőt egyszerű törtekre bővíteni Qm(x) lineáris és négyzetes tényezőkre, amelyekhez meg kell oldani az egyenletet:

- (5)

Tétel.Megfelelő racionális tört
, Ahol
, egyedileg bontható egyszerű törtek összegére:

- (6)

(A 1 , A 2 , …, A k , B 1 , B 2 , …, B 1 , M 1 , N 1 , M 2 , M 2 , …, M s , N s – néhány valós szám).

33) Egy megfelelő tört felbontása a nevező összetett gyökjű egyszerű törtekre

A probléma megfogalmazása. Keresse meg a határozatlan integrált

1 . Vezessük be a következő jelölést:

Hasonlítsuk össze a számláló és a nevező fokozatait.

Ha az integrandus nem megfelelő racionális tört, azaz. számláló fokozatn nagyobb vagy egyenlő, mint a nevező hatványam , akkor először kiválasztjuk a racionális függvény teljes részét úgy, hogy a számlálót elosztjuk a nevezővel:

Itt a polinom az osztás és a fokozat maradékaPk(x) kevesebb fokozatQm

2 . Bővítsük ki a megfelelő racionális törtet

elemi törtekre.

Ha a nevezőjének egyszerű összetett gyökei vannak, azaz.

akkor a bővítésnek megvan a formája

3 . A bizonytalan együtthatók kiszámításáhozA1,A2,A3...B1,B1,B3... az azonosság jobb oldalán lévő törtet közös nevezőre hozzuk, majd az együtthatókat azonos hatványokon egyenlővé tesszükx a bal és jobb oldali számlálókban. Vegyük a rendszert 2 S egyenletek 2 S ismeretlen, amelynek egyedi megoldása van.

4 A forma elemi törtjeit integráljuk

47) Ha az integrálösszegnek van egy véges I határértéke, mint λ → 0, és ez nem függ a ξ i pontok kiválasztásának módszerétől, a szakasz felosztásának módjától, akkor ezt a határértéket az f függvény határozott integráljának nevezzük ( x) a szegmens felett, és a következőképpen jelöljük:

Ebben az esetben az f (x) függvényt integrálhatónak mondjuk. Az a és b számokat az integráció alsó és felső határának nevezzük, f (x) az integrandus, x az integráció változója. Megjegyzendő, hogy nem mindegy, hogy melyik betű jelöli egy határozott integrál integrációs változóját

mivel az ilyen jellegű jelölések megváltoztatása semmilyen módon nem befolyásolja az integrálösszeg viselkedését. A jelölés és a terminológia hasonlósága ellenére a határozott és határozatlan integrálok különböznek egymástól

48) Tétel a határozott integrál létezéséről

Osszuk a szakaszt részekre x1,x2,x3 pontokkal... szóval

Jelöljük deltaX-szel az i-edik darab hosszát és e hosszúságok maximumát.

Válasszunk tetszőlegesen minden szakaszon egy bizonyos pontot úgy, hogy (ezt nevezzük „középpontnak”), és komponáljuk

integrálösszegnek nevezett mennyiség

Találjuk meg most a határt

Meghatározás. Ha létezik, és nem attól függ

a) a szakasz részekre és részekre osztásának módja

b) a felezőpont kiválasztásának módja,

az f(x) függvény határozott integrálja a szakaszon.

Az f(x) függvény ebben az esetben integrálható az intervallumon. Az a és b mennyiséget az integráció alsó, illetve felső határának nevezzük.

50) Határozott integrál alapvető tulajdonságai

1) Ha az integrációs intervallumot véges számú részintervallumra osztjuk, akkor az intervallumot átvett határozott integrál egyenlő az összes részintervallumát átvett határozott integrálok összegével.

2) az átlagérték tétel.

Legyen az y = f(x) függvény integrálható az ,m=min f(x) és M=max f(x) intervallumra, akkor létezik ilyen szám

Következmény.

Ha az y = f(x) függvény folytonos az intervallumon, akkor van olyan szám, amelyre.

3) Az integrálási határok átrendezésekor a határozott integrál az ellenkezőjére változtatja az előjelét.

4) Egy határozott integrál azonos integrációs határokkal egyenlő nullával.

5) A funkciómodul integrációja

Ha az f(x) függvény integrálható, akkor a modulja is integrálható az intervallumon.

6) Az egyenlőtlenség integrációja

Ha f(x) és q(x) integrálható egy intervallumon és x tartozik

Hogy

7) Linearitás

A konstans tényező a határozott integrál előjelén túlra vihető

ha f(x) létezik és integrálható az intervallumon, A=const

Ha az y=f(x) függvény folytonos egy intervallumon, és F(x) bármely antideriváltja az (F'(x)=f(x)-en), akkor a képlet érvényes

Legyen az x=α(t) behelyettesítés egy folytonos függvény integráljának kiszámításához.

1) Az x=α(t) függvény és származéka x’=α’(t) folytonos t-hez tartozó

2) A szegmenshez tartozik az x=α(t) függvény t-ben lévő értékkészlete

3) A α(c)=a és α(v)=b

Legyen az f(x) függvény folytonos az intervallumon, és legyen végtelen szakadása x=b-nél. Ha létezik határérték, akkor azt egy második típusú nem megfelelő integrálnak nevezzük, és jelöli.

Tehát definíció szerint

Ha a jobb oldali határ létezik, akkor a nem megfelelő integrál konvergál. Ha a megadott határérték nem létezik, vagy végtelen, akkor azt mondják, hogy az integrál eltér.

Definíció 1. A g vektort a t skaláris argumentum vektorfüggvényének nevezzük, ha a skalár minden értéke a megengedett értékek tartományából megfelel az r vektor egy bizonyos értékének. Ezt így írjuk: Ha az r vektor a t skaláris argumentum függvénye, akkor a g vektor x, y, z koordinátái is a t argumentum függvényei lesznek: A skalár argumentum vektorfüggvénye. Hodográf. Egy skaláris argumentum vektorfüggvényének határértéke és folytonossága Fordítva, ha a g vektor koordinátái t% függvényei, akkor maga a g vektor is t függvénye lesz: Így az r(f) vektorfüggvény megadása ekvivalens három skaláris függvény megadásával: y(t), z(t). 2. definíció. A skaláris argumentum r(t) vektorfüggvényének hodográfja az a pontok lokusza, amely leírja az r(*) vektor végét, amikor a t skalár változik, amikor az r(f) vektor eleje a tér egy fix pontjában elhelyezve (I. ábra). Hodográf a whisker vektor kedvéért r = g(*) mozgás Fig. 1 égési pont ennek a pontnak az L pályája lesz. Ennek a pontnak a sebességhodográfja v = v(J) egy másik L\ egyenes lesz (2. ábra). Tehát ha egy anyagi pont |v| állandó sebességgel mozog a körben = const, akkor a sebességhodográfja is egy kör, amelynek középpontja a 0\ pontban van, sugara pedig |v|. 1. példa Készítsünk hodográfot az r = ti + t\ + t\ vektorból. Megoldás. 1. Ez a konstrukció pontról pontra elvégezhető, táblázatot készítve: 3. ábra 2i Ugyanezt megteheti. A V vektor koordinátáit x, y, z-vel jelölve Hts lesz, és ezekből az egyenletekből a kulcs az 1Y paraméter, megkapjuk az y - z = x1 felületek egyenleteit, amelyek L metszésvonala határozza meg a hodográfot. a z() vektor (3. ábra). D> Feladatok az önálló megoldáshoz. Szerkesszünk vektorhodográfokat: Legyen az r = skaláris t vektorfüggvény a t argumentum to értékének valamely szomszédságában, kivéve talán ugyanazt az értéket, az 1 kiterjesztést. Az А konstans vektort a t argumentum határértékének nevezzük. r(t) at vektor, ha bármely e > 0 esetén létezik b > 0 úgy, hogy a 11. feltételt kielégítő összes t φ esetén fennáll az egyenlőtlenség. A hagyományos elemzéshez hasonlóan írjuk fel a limr(0=A. 4. ábra Geometriailag, ez azt jelenti, hogy a vektor) mint t -* to a vektorhoz és mind hosszában, mind irányban hajlik (4. ábra). 2. definíció. Az a(£) vektort végtelenül kicsinek mondjuk t -» to pontban, ha a(£)-nak van határa t -* to pontban, és ez a határ egyenlő nullával: Skaláris argumentum vektorfüggvénye. Hodográf. Egy skaláris argumentum vektorfüggvényének határértéke és folytonossága, vagy, ami megegyezik, bármely e esetén létezik 6 > 0 úgy, hogy minden t Ф esetén a feltétel teljesüléséhez az |a(£)| példa 1. Mutassuk meg, hogy a vektor t -* 0 végtelenül skarlátvörös vektora. Megoldás. Egyértelmű, hogy ha bármely e 0-ra 6 = ~, akkor -0|-nál megjelöljük |. A definíció szerint ez azt jelenti, hogy a(t) egy végtelen vektor t 0 helyen. 1> feladatok r önálló megoldására Mutassuk meg, hogy egy vektor modulusának határértéke egyenlő a határértékének modulusával, ha az utóbbi határérték létezik. . Bizonyítsuk be, hogy ahhoz, hogy az r(*) vektorfüggvénynek legyen A határértéke, szükséges és elégséges, hogy r(a skaláris argumentum vektorfüggvényének alakjában ábrázolható. Hodográf. Egy vektorfüggvény határértéke és folytonossága skaláris argumentum de a(t) - a vektort végtelenül mozgatni t -* t0 esetén 14. Az a+ b(*) vektorfüggvény folytonos t = t0 esetén Következik-e ebből, hogy az a(t) és b( J) szintén folytonosak t - -ra ? 15-re. Bizonyítsuk be, hogy ha a( folytonos vektorfüggvények, akkor skalárszorzatuk (a(*),b(f)) és az |a(f),b(t) vektorszorzat )] is folyamatosak.

2. példa Vegyünk például három változó függvényét f(x,nál nél,z), a következő igazságtáblázattal:

A változóértékek vektorainak lexikográfiai sorrendjével  x n kihagyhatók, és a függvény teljesen sajátja lesz igazságértékek vektora f= (10110110).

Mátrix módszer

A lényeg, hogy sok változó  x n két részre szakad  nál nél mÉs  z n–múgy, hogy a vektor összes lehetséges igazságértéke  nál nél m a mátrix sorai mentén vannak ábrázolva, és a vektor összes lehetséges igazságértéke  z n - m- oszlopok szerint. A függvény igazságértékei f minden készleten   n = ( 1 , ...,  m ,  m+ 1 ,...,  n) az egyenes metszéspontja által képzett cellákba helyezzük ( 1 , ...,  m) és oszlop ( m+ 1 ,...,  n).

A fent tárgyalt 2. példában particionáló változók esetén ( x, y, z) részhalmazokba ( x) És ( y, z) a mátrix a következő alakot ölti:

	y,z

A mátrix módszer lényeges jellemzője, hogy teljes változóhalmazt  x n, amelyek a szomszédos (függőlegesen és vízszintesen is) celláknak felelnek meg, egy koordinátában különböznek.

Megadás teljes bináris fa használatával

Leíráshoz n- helyi funkció f( x n) egy bináris fa magasság tulajdonságát használjuk n, ami abból áll, hogy minden benne lévő függő csúcs egy az egyhez megfelel egy bizonyos vektorértékkészletnek  x n. Ennek megfelelően ehhez a függő csúcshoz hozzárendelhető ugyanaz az igazságérték, mint a függvénynek ezen a halmazon f. Példaként (1.3. ábra) mutatunk be egy feladatot a fent tárgyalt hármas függvény bináris fájának felhasználásával. f =(10110110).

A fa függő csúcsaihoz rendelt első számsor a halmaz lexikográfiai számát jelöli, a második - magát a halmazt, a harmadik pedig - a rajta lévő függvény értékét.

Feladat használatan - méretegység kockaBAN BEN n

A felsők óta BAN BEN n egy az egyhez leképezhető az összes halmaz halmazához is  x n, Azt n- helyi funkció f(x n) úgy adható meg, hogy a kocka megfelelő csúcsaihoz rendeli az igazságértékeit BAN BEN n . Az 1.4. ábra a funkció beállítását mutatja f= (10110110) Kubában BAN BEN 3. Az igazságértékek a kocka csúcsaihoz vannak rendelve.

Meghatározás . Logikai algebra nevezze el a logikai konstansok és változók halmazát a rajtuk bevezetett logikai konnektívumokkal együtt.

Képlet feladat

A logikai algebrai függvények megadhatók analitikus kifejezésként.

Meghatározás. Hadd x― a logikai algebrában használt változók és állandók ábécéje, F― jelölések halmaza az összes elemi függvényhez és általánosításaihoz, 2-t meghaladó számú változóval.

Képlet X,F felett(logikai algebrai képlet) nevezzük az űrlap összes rekordját:

A) X, Ahol x x;

b)  F 1 , F 1 &F 2 ,F 1 F 2 , F 1 F 2 , F 1  F 2 , F 1 F 2 ,F 1 F 2 ,F 1 F 2 , Ahol F 1 , F 2 - képletek vége X, F;

V) h(F 1 , … ,F n ), Ahol n > 2, F 1 ,… ,F n- képletek vége x,F, h ― az általánosított küszöbfüggvény jelölése től F .

A definícióból következően a kéthelyes elemi függvényeknél az infix jelölési formát használjuk, amelyben a funkcionális szimbólum az argumentumok közé kerül, a tagadó és az általánosított függvényeknél a jelölés előtag alakja, amelyben a funkcionális szimbólum az argumentumok listája elé kerül.

3. példa

1. Kifejezések x(nál nélz); ( x, y, z  u) a logikai algebra képletei, mivel megfelelnek a fenti definíciónak.

2. Kifejezés  x (nál nél z) nem logikai algebrai képlet, mert a  műveletet helytelenül alkalmazták .

Meghatározás. Az F képlettel megvalósított függvény, a változók értékeinek behelyettesítésével kapott függvény F. Jelöljük f(F).

4. példa Fontolja meg a képletet F=xy (xz). A megvalósított függvény igazságtáblázatának elkészítéséhez szekvenciális logikai szorzást kell végrehajtani, figyelembe véve a logikai kapcsolatok erősségét. xy, akkor a következmény ( xz), majd add hozzá a kapott igazságértékeket modulo 2. A műveletek eredménye a táblázatban látható:

				x z

A függvények képletes ábrázolása lehetővé teszi a függvények számos tulajdonságának előzetes kiértékelését. A képletfeladatról az igazságtáblázatra való áttérés mindig megvalósítható az igazságértékek egymást követő helyettesítésével a képletben szereplő elemi függvényekbe. A fordított átmenet nem egyértelmű, mivel ugyanaz a függvény különböző képletekkel ábrázolható. Külön mérlegelést igényel.

és annak differenciálása.

A térbeli görbe megadásának egyik legegyszerűbb módja egy vektoregyenlet megadása:

Ahol a görbe pont sugárvektora, és - a pont helyzetét meghatározó paraméter.

Hogy. változó vektor van egy skaláris függvény . A matematikai elemzésben az ilyen függvényeket skaláris argumentum vektorfüggvényeinek nevezzük.

Bomló egységvektorok segítségével az (1) egyenlet a következő formában adható:

Ez a bővítés lehetővé teszi, hogy továbblépjünk a görbe parametrikus egyenletére:

Más szóval, egy vektorfüggvény megadása egyenértékű három skaláris függvény megadásával.

A görbét meghatározó vektorfüggvényhez (1) kapcsolatban magát a görbét nevezzük e függvény hodográfjának. A koordináták origóját ebben az esetben a hodográf pólusának nevezzük.

Hagyja most
És
- az (1) egyenlettel meghatározott görbe pontjai. Ráadásul
, A
Ezen pontok sugárvektorai a következők lesznek

És
.

Vektor
vektorfüggvény növekményének nevezzük
, ami a növekménynek felel meg
érvelését, és jelöli
,

Vektor funkció
folyamatos függvény lesz , Ha

.

Megtalálni a származékát
haladjunk a következőképpen -

.

Most határozzuk meg az irányt
. Ez nyilvánvaló egybevágó
és at
ugyanabba az irányba irányítva, mint
és mikor
- ellenkező irányba. De az első esetben
a másodikban pedig
Hogy. vektor mindig a szekáns hodográf mentén irányítva
emelkedő .

Ha a bővítést használjuk És akkor orts

Innentől (*) osztva ezzel
és a határig megy
Mert
kapunk

A (4) alapján kimutatható, hogy a következő képletek érvényesek:

(5)

(6)

- skaláris függvény.

Bizonyítás (7).

Most nézzünk meg néhány tulajdonságot
. Először is keressük meg a modulját:

.

Mert akkor a hodográf ívet egyenirányíthatónak tekintjük
- az akkord hossza, és
- ívhossz. Ezért

Hogy. egy skaláris argumentum vektorfüggvényének deriváltjának modulusa megegyezik a hodográf ívének deriváltjával ugyanarra az argumentumra vonatkozóan.

Következmény 1. Ha - a hodográfhoz érintőlegesen a növekedés irányába irányított egységvektor , Azt

Következmény 2. Ha a hodográf ív hosszát vesszük a vektorfüggvény argumentumának , Azt

(mert
)

Hogy. a vektorfüggvény deriváltja a hodográf ívének hossza mentén egyenlő a hodográf érintőjének egységvektorával, amely az ív hosszának növelésére irányul.

Következmény 3. Ha egy vektorfüggvény hodográfját egy pont pályájának tekintjük, és - mint a mozgás ideje, bizonyostól számítva , Azt
nagysága és iránya egybeesik a mozgási sebességvektorral
.

Valójában a sebesség skaláris értéke megegyezik az útvonal időbeli deriváltjával:

Ezen kívül a vektor tangenciálisan irányul a mozgás irányú pályára, amely a növekedés irányának felel meg , azaz irányának felel meg .

Hogy.
.

Most mérlegeljük
, melynek hossza állandó,
, azaz

(*)
Ahol

Megkülönböztetve (*) a következőket találjuk:

Azok.

Különösen bármely változó vektorának deriváltja az egység irányában Mindig
.

Hagyja most
a pontokhoz húzott egységgömb sugarai közötti szög
És
hodográf
. Aztán az akkord hossza
háromszögből
egyenlő lesz

Egy egységváltozós vektor deriváltjának nagysága egyenlő ennek a vektornak a forgási szögsebességével.

Ami a skaláris függvényeket illeti, a vektorfüggvény differenciálját a következőképpen írjuk fel

De akkor is

Egy térbeli görbe görbülete.

Kísérő triéder.

A 2. következtetés szerint azért felírhatjuk a képletet:

Irányváltás , amely a térbeli görbe érintőjének változásához kapcsolódik, a görbe görbületét jellemzi. A térbeli görbék görbületének mértéke, mint a síkgörbe esetében, a szomszédsági szög és az ív hosszának arányának határát veszik fel, amikor

görbület,
szomszédsági szög,
ívhossz.

A másik oldalon,
egységvektor és származékvektora merőleges rá, és a modulusa
Megkülönböztető Által és belépve
egységvektor irányával , találunk:

Vektor
térgörbe görbületi vektora. Iránya az érintő irányára merőlegesen a térgörbe normál iránya. De egy térbeli görbének tetszőleges pontjában végtelen számú normálisa van, amelyek mindegyike a görbe adott pontján átmenő és az adott pont érintőjére merőleges síkban fekszik. Ezt a síkot a térbeli görbe normálsíkjának nevezzük.

Meghatározás. Annak a görbének a normálisa, amely mentén a görbe görbületi vektora egy adott pontba irányul, a térbeli görbe főnormálja. Hogy.
egység fő normálvektor.

Most készítsük el a harmadik egységvektort egyenlő a keresztszorzattal És

Vektor , szintén merőleges is azok. normál síkban fekszik. Irányát a térbeli görbe binormális irányának nevezzük egy adott pontban. Vektor
És egymásra merőleges egységvektorok hármasát alkotják, amelyek iránya a pontnak a térbeli görbén elfoglalt helyzetétől függ, és pontról pontra változik. Ezek a vektorok alkotják az ún. egy térbeli görbe kísérő triédere (Frenet triéder). Vektor
És jobb oldali hármast alkotnak, akárcsak az egységvektorok
a megfelelő koordinátarendszerben.

Párban szedve
Határozzon meg három síkot, amelyek a görbe ugyanazon a pontján haladnak át és alkotják a kísérő háromszög lapjait. Ahol És határozzuk meg az oszkulációs síkot (egy adott pont környezetében lévő görbe íve az oszkulációs síkban lévő síkgörbe íve magasabb rendű pontossággal);

És - egyengető sík;

És - normál repülő.

Érintő, normál és binormális egyenletek.

A kísérő triéder síkjainak egyenletei.

Tudva
És , vagy bármely nem egységvektor, amely velük kollineáris T, NÉs B Vezessük le az ebben a részben megnevezett egyenleteket.

Ehhez az egyenes kanonikus egyenletében

és az adott ponton áthaladó sík egyenletében

tedd meg érte
a görbén kiválasztott pont koordinátái, for
vagy rendre azért
vegyük a vektorok koordinátáit
vagy
, amely meghatározza a kívánt egyenes vagy a kívánt síkhoz viszonyított normális irányát:

vagy - érintő vagy normál sík esetén,

vagy - a fő normál és egyengető síkra,

vagy - binormális és oszkulációs síkra.

Ha a görbét a vektoregyenlet adja meg
vagy
majd a vektornak
érintőlegesen irányítva vehető

Megtalálni
És először keressük meg a dekompozíciót
vektorok szerint
Korábban (1. következmény) azt találtuk
Megkülönböztetés a szerint , kapunk:

Hanem azért, mert

Szorozzuk meg most vektorosan És

(*)

Vektoronkénti (*) alapján , amelynek binormális iránya van, vehetjük a vektort

De akkor azért
ez utóbbiak vektorszorzatát vehetjük fel:

Hogy. tetszőleges görbe tetszőleges pontján meghatározhatjuk a kísérő triéder összes elemét.

Példa. A jobb oldali hélix érintőjének, normál és binormális egyenlete bármely pontban.

Tangens

Otthon normális

Binormális

Töltse le a Depositfiles oldalról

DIFFERENCIÁLIS GEOMETRIA

én. A SKALÁRARGUMENTUM VEKTORFUNKCIÓJA

Vektorfüggvény (1.1 definíció), megadásának módszerei.

Sugárvektor és hodográf, paraméteres hodográf specifikáció.

Egy vektorfüggvény deriváltja (1.6. definíció).

Egy vektorfüggvény deriváltjának geometriai jelentése.

A vektorfüggvények differenciálására vonatkozó szabályok.

1.1. A VEKTORFUNKCIÓ MEGHATÁROZÁSA

Meghatározás 1.1Ha a skaláris argumentum minden értékeillesztett vektor
háromdimenziós tér R 3 , akkor azt mondják, hogy egy skaláris argumentum vektorfüggvénye (vagy vektorfüggvénye) adott az X halmazont .

Ha az űrben R 3 derékszögű koordinátarendszer van megadvaRÓL RŐL xyz , akkor a feladat egy vektor - függvény
,
három skaláris függvény megadásával egyenértékűX( t ), y ( t ), z ( t ) - vektor koordináták:

= { x ( t ), y ( t ), z ( t )} (1.1)

vagy , (1.2)

Ahol
— koordináta egységvektorok.

1.2. A TÉRI VONAL MINT SUGÁRVEKTOR HODOGRÁFJA

Meghatározás 1.2 Ha az összes vektor eleje ,origóba helyezve sugárvektoroknak nevezzük.

Meghatározás 1.3 Az egyenest, amely a , sugárvektorok végeinek geometriai helye, a vektorfüggvény hodográfjának nevezzük, és közös kezdetük a hodográf pólus.

Ha a paraméter t az idő, és a mozgó pont sugárvektora, akkor a függvény hodográfja a mozgó pont pályája.

A hodográf egyenlet felírható vektor formában (1.2) vagy parametrikus formában:

(1.3)

Különösen, ha a vektorfüggvényaz argumentum változásával csak a modulja változik, de az irány nem változik (), akkor egy ilyen vektorfüggvény hodográfja az origóból kiinduló egyenes sugár lesz; ha csak a vektor iránya változik, de a nagysága változatlan marad (
), akkor a vektorfüggvény hodográfja egy olyan gömbön elhelyezkedő görbe lesz, amelynek középpontja a póluson van, sugara pedig megegyezik a vektor állandó modulusával.

1. kép

1.3. A VEKTOR-FUNKCIÓ HATÁRA, FOLYAMATOSSÁGA ÉS DERIVATÍVÁJA

1. definíció. 4 Vektor a vektorfüggvény határértékének nevezzüknál nél
, Ha

. (1.4)

Meghatározás 1.5 A vektorfüggvényt ún folyamatos egy pontont 0, ha ezen a ponton van egy határértéke, amely megegyezik a vektorfüggvény értékével ebben a pontban:

. (1.5)

Meghatározás 1.6Egy vektorfüggvény deriváltja azon a ponton t egy vektorfüggvény növekményének és az argumentum növekményének arányának határának nevezzük
nál nél
:

(1.6)

1.4. A VEKTOR FUNKCIÓ ELSŐ DERIVATÍVÁNAK GEOMETRIAI ÉS MECHANIKAI JELENTÉSE

A skaláris argumentum vektorfüggvénye első deriváltjának geometriai jelentése az, hogy ez a derivált egy új vektor, amely érintőlegesen irányul a hodográfra:
. Mutassuk meg.

2. ábra

Feltételezzük, hogy a vizsgált vektorfüggvény hodográfja egy folytonos egyenes, amelynek bármely pontjában van érintője.

Mondjuk az érvet t növekményt, majd geometriailag az arányt
valami vektor
, a szekáns MM-en fekve. Amikor ez a vektor elfordul és vektorrá változik
, az érintőn fekve és a növekvő felé irányult . Tehát a vektor

(1.7)

egységnyi érintővektor lesz, amely a paraméter növekedésének irányába orientálódikt .

Ezért a vektor
pontban a görbét érintő irányvektornak tekinthető, (vagy
), és írja fel az érintőegyenletet a következő formában:

(1.8)

Ha t – idő, és — egy pont sugárvektora
, háromdimenziós térben mozogva, majd kbaz összefüggést a szakasz egy pontjának átlagos sebességének nevezzük [t; t+t].

Mechanikai jelentésa vektorfüggvény első deriváltja az, hogy ez a derivált jelenti az M pont pillanatnyi sebességétt :

A vektorfüggvények differenciálására vonatkozó szabályok

Bizonyítsuk be az 1. szabályt a vektorok kivonásának és a vektor számmal való osztásának szabályaival:

A fennmaradó szabályok bizonyítása az 1. szabályon és a vektorokkal való művelet szabályain alapul.

Példa 1.1: Adott egy vektorfüggvény.Szerkessze meg a hodográfját, és hozzon létre egyenletet egy tetszőleges pontban lévő érintőjére.

Megoldás. Bármilyen pontra ( x , y , z ) hodográf vektor – funkcióink vannak:x = acost ; y = asint ; z = bt és ezért bármely
érvényesül az egyenlőségx 2 + y 2 = a 2 , a generatrix pedig párhuzamos a tengellyel Oz. Ha a paraméter t időként értelmezve, majd egyenletes kör körüli mozgással a sugárvektor végének vetülete a síkraOxy a vetülete a tengelyreOz egyenletesen és egyenesen fog mozogni sebességgelb . Más szóval, egy vektorfüggvény hodográf pontjának alkalmazása a síkra vetített vetületének elfordulási szögével arányosan nő.Oxy . Ezért a kívánt hodográfnak a 3. ábrán látható formája lesz, és ezt csavarvonalnak nevezik. A hodográf (spirális vonal) érintőinek megtalálásához megkeressük a vektorfüggvény deriváltját.

Megoldás. Mert a, akkor