A 7 és 3 számok az x2 egyenlet gyökerei. Az egyenlet

Algebra 7. osztály

14. lecke

02.10.18

Téma: "Egyenlet és gyökerei"

Az óra célja: konszolidálja és rendszerezze a tanult anyagot.

Az óra céljai: ismételje meg, rendszerezze és megszilárdítsa az „Egyenlet” témában szerzett alapvető ismereteket és készségeket; vizsgáljuk meg a lineáris egyenlet gyökeinek számát.

Fejleszti az elemző, összefoglaló képességet, fejlessze az értelmi, alkotói és kutatói képességeket.

Fejleszti a kommunikációs készségeket, a közönség előtti beszédkészséget, a kezdeményezőkészséget és a nézőpont védelmét, valamint a megfelelő önbecsülés kialakítását.

Tanterv:

énIdő szervezése.
IIAz ismeretek frissítése.

A) Házi feladat ellenőrzése.

B) A tanultak megismétlése (kihallgatás párban).

C) Matematikai diktálás (egyenlet formájában megírva).
IIIFő rész. A vizsgált anyag magyarázata, konszolidációja.
A) Gyakorlati munka az egyenlet gyökereinek azonosítására.
B) Munkakör elemzése. Következtetés.
B) Önálló munkavégzés.
D) Az eredmények megbeszélése. A munka értékelése.
IVHázi feladat.
VKikapcsolódás. Visszaverődés.

AZ ÓRÁK ALATT

Tanár megnyitó beszéde.

Ma a leckében folytatjuk az ismerkedést az „Egyenlet és gyökerei” témával. Tekintsük a lehetséges helyzeteket a lineáris egyenletek megoldása során, és ismételjük meg a matematikai modellezési példákat. Az óra során különféle típusú munkákat fog végezni, amelyek után értékelnie kell saját és osztálytársai munkáját. Sok sikert!

én Idő szervezése.

Jelölje meg a hiányzókat, szervezze meg az órát a további munkára.

II Az ismeretek frissítése.

Szóbeli munka:

A) Házi feladat ellenőrzése (a táblán)

B) Kölcsönös felmérés párban - a „Te mondod – én mondom neked” játék:

Hogy hívják az egyenletet?

Mit jelent „megoldani egy egyenletet”?

Mi az egyenlet gyöke?

Melyik egyenletet nevezzük lineárisnak?

Mik az összeadás összetevői?

Melyek a különbség összetevői?

Hogyan találhatunk ismeretlen kifejezést?

Hogyan lehet megtalálni egy ismeretlen kisfiút?

Hogyan találhatunk egy ismeretlen részrészt?

Hogyan találhatunk ismeretlen szorzót?

Hogyan találhatunk ismeretlen osztót?

Hogyan találhatunk ismeretlen osztalékot?

A válaszok kollektív megbeszélése, a válaszok osztálytársak általi értékelése (bejegyzés az ellenőrző listára).

B) Matematikai diktálás.

A tanulók füzetekben dolgoznak. Két diák ül a táblánál.

Gyakorlat. Írd fel egyenletként:

A 35-ös szám x-szer kisebb, mint 7.

Az x és a 7 számok különbségének hármasszorzata 12.

Az x és a 3 számok 8-cal való szorzata nagyobb, mint 19.

Az x és 6 számok fele összege egyenlő a szorzatukkal.

A 46-os szám 21-gyel nagyobb, mint x.

Az x szám harmada 16-tal kisebb, mint a 8.

A munka elvégzésének ellenőrzése a táblán és a füzetekben:

(35 x = 7; x = =)

3(x – 7) = 12; x – 7 = 12:3; x – 7 = 4; x = 11)

3x – 8 = 19; (3x = 19 + 8; 3x = 27; x = 9)

(x + 6): 2 = 6x; (0,5x + 3 = 6x; 5,5x = 3; x = 3: 5,5; x =)

46 – x = 21; (x = 46–21; x = 25)

x + 16 = 8; (x = 8–16; x = -8; x = -24)

Eredmények megbeszélése és önértékelés (bejegyzés az ellenőrző listán).

III Fő rész. Új anyag magyarázata.

Amikor megoldasz egy egyenletet, barátom,
Meg kell találnod a gerincét.
A betű jelentése könnyen ellenőrizhető.
Helyettesítse be óvatosan az egyenletbe.
Ha eléri az igazi egyenlőséget,
Ezt a gyökérértéket órának nevezzük.

A) Kérdés: Szerinted hány gyöke lehet egy lineáris egyenletnek?

Gyakorlat. Állapítsa meg, hogy a számok -3; 0; 7; Az egyenletek 1 gyöke:

5x + 28 = 3; 2) 3x - 5 = 3x + 9; 3) 2x + 6 +2x = 6 + 4x?

Az osztállyal egyidejűleg három tanuló végzi el a feladatot a táblánál (2. és 3. egyenlet) - a tábla láthatatlan oldaláról).

Mivel magyarázhatók az eredmények?

B) Ellenőrizzük feltevéseinket az egyenletek megoldásával!

7x + 28 = 7; 7x = 7 – 28; 7x = -21; x = -3

3x-5 = 3x +9; 3x – 3x = 9 + 5; 0x = 14; nincsenek gyökerei

2x + 6 +2x = 6 +4x; 2x + 2x - 4x = 6 - 6; 0x = 0; bármely szám az egyenlet gyöke.

Következtetés. Egy lineáris egyenlet gyökeinek számaax =begyütthatóinak értékétől függaÉsb:

Ha a ≠0, akkor gyöke egy x = ;

Haa = 0, b≠0, - nincs gyökér;

Haa = 0, b= 0, - végtelenül sok gyök van.

C) Önálló munkavégzés (két diák dolgozik a testületnél):

Válasszon ilyen értéket az a változóhoz. amelyben az ax = 13 egyenletnek pozitív gyöke van, negatív gyöke.

Válasszon olyan értéket az a változónak, hogy az ax = 0 egyenlet

a) egyetlen gyökere van;

b) végtelen sok gyöke van;

c) nincs gyökere.

D) Feladatok elemzése a táblán, majd kölcsönös tesztelés párban (felkészítés házi feladatra). Tankönyv 27-28.o., 113. sz. (a, b), 114. sz., 118. sz. (1 cikk)

IV Házi feladat: Tankönyv 6. bekezdés (definíciók megismerése), 113. sz. (c, d), 118. sz. megoldása (2 tétel)

V Visszaverődés

Folytasd a mondatot:

Ma az osztályban...
Most már tudom …
A leckémben...

Kikapcsolódás

A lecke az volt...
Különösen tetszettek az osztálytársaim válaszai...
Az osztályban végzett munkám révén...

Miután megvizsgáltuk az egyenlőségek fogalmát, nevezetesen egyik típusát - a numerikus egyenlőségeket, akkor áttérhetünk egy másik fontos típusra - az egyenletekre. Ennek az anyagnak a keretein belül elmagyarázzuk, mi az egyenlet és annak gyökere, alapvető definíciókat fogalmazunk meg, és különféle példákat adunk az egyenletekre és azok gyökereinek megtalálására.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Az egyenlet fogalma

Az egyenlet fogalmát általában az iskolai algebratanfolyam legelején tanítják. Akkor ez így van definiálva:

1. definíció

Egyenlet ismeretlen számú egyenlőségnek nevezzük, amelyet meg kell találni.

Az ismeretleneket kis latin betűkkel szokás jelölni, például t, r, m stb., de leggyakrabban x, y, z betűket használnak. Más szóval, az egyenletet a rögzítésének formája határozza meg, vagyis az egyenlőség csak akkor lesz egyenlet, ha egy bizonyos formára redukálják - tartalmaznia kell egy betűt, azt az értéket, amelyet meg kell találni.

Adjunk néhány példát a legegyszerűbb egyenletekre. Ezek lehetnek x = 5, y = 6 stb. alakú egyenlőségek, valamint olyanok, amelyek számtani műveleteket tartalmaznak, például x + 7 = 38, z − 4 = 2, 8 t = 4, 6: x = 3.

A zárójelek fogalmának megismerése után megjelenik a zárójeles egyenletek fogalma. Ezek közé tartozik a 7 · (x − 1) = 19, x + 6 · (x + 6 · (x − 8)) = 3 stb. A megkeresendő betű többször, de többször is előfordulhat, pl. , például az x + 2 + 4 · x − 2 − x = 10 egyenletben. Az ismeretlenek nemcsak a bal oldalon, hanem a jobb oldalon is elhelyezkedhetnek, vagy mindkét részben egyszerre, például x (8 + 1) − 7 = 8, 3 − 3 = z + 3 vagy 8 x − 9 = 2 (x + 17) .

Továbbá, miután a tanulók megismerkednek az egész számok, a valós számok, a racionális számok, a természetes számok, valamint a logaritmusok, gyökök és hatványok fogalmaival, új egyenletek jelennek meg, amelyek mindezeket az objektumokat tartalmazzák. Külön cikket szenteltünk az ilyen kifejezések példáinak.

A 7. osztályos tananyagban jelenik meg először a változók fogalma. Ezek olyan betűk, amelyek különböző jelentéseket vehetnek fel (további részletekért lásd a numerikus, betű- és változó kifejezésekről szóló cikket). E koncepció alapján újradefiniálhatjuk az egyenletet:

2. definíció

Az egyenlet egy egyenlőség, amely egy változót tartalmaz, amelynek értékét ki kell számítani.

Azaz például az x + 3 = 6 x + 7 kifejezés egyenlet az x változóval, és 3 y − 1 + y = 0 egyenlet az y változóval.

Egy egyenletnek több változója is lehet, de kettő vagy több is. Ezeket két, három változós stb. egyenleteknek nevezzük. Írjuk le a definíciót:

3. definíció

A két (három, négy vagy több) változót tartalmazó egyenletek olyan egyenletek, amelyek megfelelő számú ismeretlent tartalmaznak.

Például egy 3, 7 · x + 0, 6 = 1 formájú egyenlőség egy x változóval, x − z = 5 pedig két x és z változóval rendelkező egyenlet. Példa egy három változós egyenletre: x 2 + (y − 6) 2 + (z + 0, 6) 2 = 26.

Az egyenlet gyökere

Amikor egy egyenletről beszélünk, azonnal felmerül az igény a gyöke fogalmának meghatározására. Próbáljuk meg elmagyarázni, mit jelent.

1. példa

Adunk egy bizonyos egyenletet, amely egy változót tartalmaz. Ha az ismeretlen betűt számmal helyettesítjük, az egyenlet numerikus egyenlőséggé válik – igaz vagy hamis. Tehát, ha az a + 1 = 5 egyenletben a betűt 2-re cseréljük, akkor az egyenlőség hamis lesz, ha pedig 4, akkor a helyes egyenlőség 4 + 1 = 5 lesz.

Pontosan azok az értékek érdekelnek minket, amelyekkel a változó valódi egyenlőséggé válik. Ezeket gyökereknek vagy megoldásoknak nevezzük. Írjuk le a definíciót.

4. definíció

Az egyenlet gyökere Egy olyan változó értékét hívják, amely egy adott egyenletet valódi egyenlőséggé változtat.

A gyökér nevezhető megoldásnak is, vagy fordítva – mindkét fogalom ugyanazt jelenti.

2. példa

Vegyünk egy példát ennek a definíciónak a tisztázására. Fent megadtuk az a + 1 = 5 egyenletet. A definíció szerint a gyök ebben az esetben 4 lesz, mert betű helyett behelyettesítve a helyes számegyenlőséget adja, a kettő pedig nem lesz megoldás, mivel a 2 + 1 = 5 hibás egyenlőségnek felel meg.

Hány gyöke lehet egy egyenletnek? Minden egyenletnek van gyöke? Válaszoljunk ezekre a kérdésekre.

Léteznek olyan egyenletek is, amelyeknek nincs egyetlen gyökük. Példa erre: 0 x = 5. Végtelen sok különböző számot behelyettesíthetünk bele, de egyikből sem lesz valódi egyenlőség, hiszen 0-val szorozva mindig 0-t kapunk.

Vannak olyan egyenletek is, amelyeknek több gyökere van. Véges vagy végtelen számú gyökük lehet.

3. példa

Tehát az x − 2 = 4 egyenletben csak egy gyök van - hat, x 2 = 9-ben két gyök - három és mínusz három, x -ben (x - 1) · (x - 2) = 0 három gyök - nulla, egy és kettő, végtelen sok gyök van az x=x egyenletben.

Most magyarázzuk el, hogyan kell helyesen írni az egyenlet gyökereit. Ha nincsenek, akkor ezt írjuk: „az egyenletnek nincsenek gyökerei”. Ebben az esetben az üres halmaz ∅ előjelét is jelezhetjük. Ha vannak gyökök, akkor azokat vesszővel elválasztva írjuk, vagy egy halmaz elemeként jelöljük, kapcsos zárójelek közé zárva. Tehát, ha bármely egyenletnek három gyöke van - 2, 1 és 5, akkor - 2, 1, 5 vagy (- 2, 1, 5) -t írunk.

A gyököket egyszerű egyenlőségek formájában lehet írni. Tehát, ha az egyenletben az ismeretlent y betűvel jelöljük, és a gyökök 2 és 7, akkor y = 2 és y = 7 értéket írunk. Néha alsó indexeket adnak a betűkhöz, például x 1 = 3, x 2 = 5. Ily módon a gyökök számaira mutatunk. Ha az egyenletnek végtelen számú megoldása van, akkor a választ numerikus intervallumként írjuk le, vagy használjunk általánosan elfogadott jelölést: a természetes számok halmazát N, egész számokat - Z, valós számokat - R jelölünk. Tegyük fel, hogy ha azt kell felírnunk, hogy az egyenlet megoldása tetszőleges egész szám lesz, akkor azt írjuk, hogy x ∈ Z, és ha bármely valós szám egytől kilencig, akkor y ∈ 1, 9.

Ha egy egyenletnek két, három vagy több gyöke van, akkor általában nem gyökökről beszélünk, hanem az egyenlet megoldásairól. Fogalmazzuk meg egy többváltozós egyenlet megoldásának definícióját.

5. definíció

A két, három vagy több változós egyenlet megoldása a változók két, három vagy több értéke, amely az adott egyenletet helyes numerikus egyenlőséggé alakítja.

Magyarázzuk meg a definíciót példákkal.

4. példa

Tegyük fel, hogy megvan az x + y = 7 kifejezés, ami egy két változós egyenlet. Helyettesítsünk egyet az első helyett, és kettőt a második helyett. Helytelen egyenlőséget fogunk kapni, ami azt jelenti, hogy ez az értékpár nem lesz megoldás erre az egyenletre. Ha vesszük a 3 és 4 párost, akkor az egyenlőség igaz lesz, ami azt jelenti, hogy megtaláltuk a megoldást.

Az ilyen egyenleteknek nincs gyöke, vagy végtelen sok. Ha két, három, négy vagy több értéket kell felírnunk, akkor ezeket vesszővel elválasztva, zárójelben írjuk. Vagyis a fenti példában a válasz így fog kinézni (3, 4).

A gyakorlatban leggyakrabban egy változót tartalmazó egyenletekkel kell foglalkozni. Az egyenletek megoldásának szentelt cikkben részletesen megvizsgáljuk a megoldásuk algoritmusát.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

\(2x+1=x+4\) megtaláljuk a választ: \(x=3\). Ha X helyett hármast cserél, ugyanazokat az értékeket kapja a bal és a jobb oldalon:

\(2x+1=x+4\)
\(2\cdot3+1=3+4\)
\(7=7\)

És a három kivételével egyetlen más szám sem ad nekünk ekkora egyenlőséget. Ez azt jelenti, hogy a \(3\) szám az egyenlet egyetlen gyöke.

Még egyszer: a gyökér NEM X!X egy változó , A a gyök egy szám , ami az egyenletet valódi egyenlőséggé alakítja (a fenti példában hármassá). Az egyenletek megoldásánál pedig ezt az ismeretlen számot (vagy számokat) keressük.

Példa : \(5\) a \(x^(2)-2x-15=0\) egyenlet gyöke?
Megoldás : Helyettesítsük X-et \(5\)-vel:

\(5^(2)-2\cdot5-15=0\)
\(25-10-15=0\)
\(0=0\)

Az egyenlőség mindkét oldalán ugyanazok az értékek (nulla) vannak, ami azt jelenti, hogy az 5 valóban gyök.

Mathak: A teszteken így ellenőrizheti, hogy helyesen találta-e meg a gyökereket.

Példa : A \(0, \pm1, \pm2\) számok közül melyik a \(2x^(2)+15x+22=0\) gyöke?
Megoldás : Ellenőrizzük az egyes számokat helyettesítéssel:

ellenőrizze \(0\):	\(2\cdot0^(2)+15\cdot0+22=0\)
	\(0+0+22=0\)
	\(22=0\) – nem egyezik, ami azt jelenti, hogy a \(0\) nem illik
ellenőrizze \(1\):	\(2\cdot1^(2)+15\cdot1+22=0\)
	\(2+15+22=0\)
	\(39=0\) - ismét nem konvergált, vagyis a \(1\) nem gyökér
ellenőrizze \(-1\):	\(2\cdot(-1)^(2)+15\cdot(-1)+22=0\)
	\(2-15+22=0\)
	\(9=0\) - ismét hamis az egyenlőség, \(-1\)által is
ellenőrizze \(2\):	\(2\cdot2^(2)+15\cdot2+22=0\)
	\(2\cdot4+30+22=0\)
	\(60=0\) - és megint nem ugyanaz, a \(2\) szintén nem megfelelő
ellenőrizze \(-2\):	\(2\cdot(-2)^(2)+15\cdot(-2)+22=0\)
	\(2\cdot4-30+22=0\)
	\(0=0\) - konvergált, ami azt jelenti, hogy \(-2\) az egyenlet gyöke

Nyilvánvalóan őrültség az egyenletek megoldása az összes lehetséges érték kipróbálásával, mert végtelen sok szám létezik. Ezért speciális módszereket dolgoztak ki a gyökerek megtalálására. Tehát például azért egyedül is elég, Mert – képletek már használatosak stb. Minden egyenlettípusnak megvan a maga módszere.

Válaszok a gyakran ismételt kérdésekre

Kérdés: Lehet-e egy egyenlet gyöke nulla?
Válasz: Igen, persze. Például a \(3x=0\) egyenletnek egyetlen gyöke van - nulla. Cseréléssel ellenőrizhető.

Kérdés: Mikor nincs gyökere egy egyenletnek?
Válasz: Előfordulhat, hogy egy egyenletnek nincs gyöke, ha nincs olyan x-érték, amely az egyenletet valódi egyenlőséggé tenné. Meglepő példa erre a \(0\cdot x=5\) egyenlet. Ennek az egyenletnek nincs gyökere, mivel az X értéke itt nem játszik szerepet (a nullával való szorzás miatt) - egyébként is a bal oldal mindig egyenlő lesz nullával. A nulla pedig nem egyenlő öttel. Ez azt jelenti, hogy nincsenek gyökerek.

Kérdés: Hogyan készítsünk egy egyenletet úgy, hogy ennek az egyenletnek a gyöke egy adott számmal (például hárommal) legyen egyenlő?
Válasz: később jelenik meg.

Kérdés: Mit jelent a „keressük meg az egyenlet kisebbik gyökerét”?
Válasz: Ez azt jelenti, hogy meg kell oldania az egyenletet, és válaszként meg kell adnia a kisebbik gyökét. Például az \(x^2-5x-6=0\) egyenletnek két gyöke van: \(x_1=-1\) és \(x_2=6\). Legkisebb gyök: \(-1\). Ezt kell leírnod ​​válaszul. Ha a nagyobb gyökérről kérdeznének, akkor \(6\)-t kell írniuk.

Ami nem a benne szereplő betűk bármely jelentésére igaz, hanem csak egyesekre. Azt is mondhatjuk, hogy az egyenlet ismeretlen számokat tartalmazó egyenlőség, amelyet betűkkel jeleznek.

Például a 10-es egyenlőség x= 2 egyenlet, mivel csak akkor érvényes, ha x= 8. Egyenlőség x A 2 = 49 két értékre érvényes egyenlet x, nevezetesen mikor x= +7 és x= -7, mivel (+7) 2 = 49 és (-7) 2 = 49.

Ha ahelyett x helyettesíti az értékét, akkor az egyenlet azonossággá változik. Változók, mint x, amelyek csak bizonyos értékek esetén alakítják az egyenletet azonossággá, hívják ismeretlen egyenletek Általában a latin ábécé utolsó betűivel jelölik őket x, yÉs z.

Minden egyenletnek van bal és jobb oldala. A = jeltől balra lévő kifejezést hívjuk az egyenlet bal oldala, a jobb oldali pedig az az egyenlet jobb oldala. Az egyenletet alkotó számokat és algebrai kifejezéseket nevezzük az egyenlet feltételeit:

Az egyenlet gyökerei

Az egyenlet gyökere- ez az a szám, amelyet egy egyenletbe behelyettesítve valódi egyenlőséget eredményez. Egy egyenletnek csak egy gyöke lehet, lehet több gyöke, vagy lehet, hogy egyáltalán nincs gyökere.

Például az egyenlet gyöke

10 - x = 2

a 8-as szám és az egyenlet

x 2 = 49

két gyökér - +7 és -7.

Egy egyenlet megoldása azt jelenti, hogy megtaláljuk az összes gyökerét, vagy bebizonyítjuk, hogy nem léteznek.

Az egyenletek típusai

Kivéve számszerű A fentiekhez hasonló egyenletek, ahol az összes ismert mennyiséget számok jelzik, szintén léteznek ábécé egyenletek, amelyekben az ismeretleneket jelölő betűk mellett vannak ismert (vagy ismertnek vélt) mennyiségeket jelölő betűk is.

x - a = b + c
3x+ c = 2 a + 5

Az ismeretlenek száma szerint az egyenleteket olyan egyenletekre osztják, amelyekben 1 ismeretlen, 2 ismeretlen és 3 vagy több ismeretlen.

7x + 2 = 35 - 2x- egyenlet egy ismeretlennel
3x + y = 8x - 2y- egyenlet két ismeretlennel

Miután megkapta az egyenlőségek általános elképzelését, és megismerte egyik típusát - a numerikus egyenlőségeket, akkor elkezdhet beszélni egy másik típusú egyenlőségről, amely gyakorlati szempontból nagyon fontos - az egyenletekről. Ebben a cikkben megvizsgáljuk mi az egyenlet, és amit az egyenlet gyökének nevezünk. Itt megadjuk a megfelelő definíciókat, valamint különféle példákat adunk az egyenletekre és azok gyökereire.

Oldalnavigáció.

Mi az egyenlet?

Az egyenletek célzott megismertetése általában a 2. osztályban kezdődik a matematika órákon. Ekkor a következőket adjuk egyenlet definíció:

Meghatározás.

Az egyenlet egy egyenlőség, amely egy ismeretlen számot tartalmaz, amelyet meg kell találni.

Az egyenletekben az ismeretlen számokat általában kis latin betűkkel jelölik, például p, t, u stb., de leggyakrabban x, y és z betűket használnak.

Így az egyenletet az írásforma szempontjából határozzuk meg. Más szóval, az egyenlőség egy egyenlet, ha engedelmeskedik a megadott írási szabályoknak - tartalmaz egy betűt, amelynek értékét meg kell találni.

Adjunk példákat a legelső és legegyszerűbb egyenletekre. Kezdjük az x=8, y=3 stb. alakú egyenletekkel. Azok az egyenletek, amelyek számtani előjeleket, valamint számokat és betűket tartalmaznak, kicsit bonyolultabbnak tűnnek, például x+2=3, z−2=5, 3 t=9, 8:x=2.

Az egyenletek sokfélesége növekszik, miután megismertük a következőt: - kezdenek megjelenni a zárójeles egyenletek, például 2·(x−1)=18 és x+3·(x+2·(x−2))=3. Egy egyenletben egy ismeretlen betű többször is előfordulhat, például x+3+3·x−2−x=9, de lehetnek betűk az egyenlet bal oldalán, jobb oldalán vagy mindkét oldalán. az egyenlet például x· (3+1)−4=8, 7−3=z+1 vagy 3·x−4=2·(x+12) .

Továbbá a természetes számok tanulmányozása után egész, racionális, valós számokkal ismerkedünk, új matematikai objektumokat tanulmányozunk: hatványokat, gyököket, logaritmusokat stb., miközben egyre több új, ezeket tartalmazó egyenlettípus jelenik meg. Példák ezekre a cikkben találhatók az egyenletek alapvető típusai iskolában tanulni.

A 7. osztályban a betűk mellett, amelyek bizonyos számokat jelentenek, elkezdik figyelembe venni azokat a betűket, amelyek különböző értéket vehetnek fel, ezeket változóknak nevezik (lásd a cikket). Ugyanakkor a „változó” szó bekerül az egyenlet definíciójába, és így alakul:

Meghatározás.

Egyenlet Egyenlőségnek nevezzük, amely olyan változót tartalmaz, amelynek értékét meg kell találni.

Például az x+3=6·x+7 egyenlet egyenlet az x változóval, és a 3·z−1+z=0 egyenlet a z változóval.

Ugyanebben a 7. osztályban az algebra órákon nem egy, hanem két különböző ismeretlen változót tartalmazó egyenletekkel találkozunk. Ezeket két változós egyenleteknek nevezzük. A jövőben három vagy több változó jelenléte megengedett az egyenletekben.

Meghatározás.

Egyenletek egy, kettő, három stb. változók– ezek egy, kettő, három, ... ismeretlen változót tartalmazó egyenletek.

Például a 3.2 x+0.5=1 egyenlet egy x változót tartalmazó egyenlet, az x−y=3 formájú egyenlet pedig két x és y változót tartalmazó egyenlet. És még egy példa: x 2 +(y−1) 2 +(z+0,5) 2 =27. Nyilvánvaló, hogy egy ilyen egyenlet három ismeretlen változóból álló x, y és z egyenlet.

Mi az egyenlet gyöke?

Egy egyenlet definíciója közvetlenül kapcsolódik az egyenlet gyökének meghatározásához. Végezzünk el néhány érvelést, amely segít megérteni, mi az egyenlet gyökere.

Tegyük fel, hogy van egy egyenletünk egy betűből (változóból). Ha az egyenletben szereplő betű helyett egy bizonyos számot helyettesítünk, akkor az egyenlet numerikus egyenlőséggé alakul. Sőt, az eredményül kapott egyenlőség lehet igaz vagy hamis. Például, ha az a+1=5 egyenletben az a betű helyett a 2-es számot cseréljük ki, akkor a 2+1=5 hibás numerikus egyenlőséget kapjuk. Ha ebben az egyenletben a helyett a 4-es számot helyettesítjük, akkor a helyes 4+1=5 egyenlőséget kapjuk.

A gyakorlatban az esetek túlnyomó többségében a változó azon értékei érdeklik, amelyeknek az egyenletbe való behelyettesítése a helyes egyenlőséget adja; ezeket az értékeket az egyenlet gyökeinek vagy megoldásainak nevezzük.

Meghatározás.

Az egyenlet gyökere- ez annak a betűnek (változónak) az értéke, amelynek behelyettesítésekor az egyenlet helyes numerikus egyenlőséggé változik.

Vegyük észre, hogy az egyenlet gyökerét egy változóban az egyenlet megoldásának is nevezik. Más szóval, egy egyenlet megoldása és az egyenlet gyökere ugyanaz.

Magyarázzuk meg ezt a definíciót egy példával. Ehhez térjünk vissza az a+1=5 fölé írt egyenlethez. Az egyenlet gyökének megfogalmazott definíciója szerint a 4-es szám ennek az egyenletnek a gyöke, mivel az a betű helyett ezt a számot behelyettesítve a helyes 4+1=5 egyenlőséget kapjuk, és a 2-es szám nem az egyenlet gyöke. gyök, mivel ez egy 2+1= 5 alakú helytelen egyenlőségnek felel meg.

Ezen a ponton számos természetes kérdés merül fel: „Van-e bármilyen egyenletnek gyöke, és hány gyöke van egy adott egyenletnek?” Válaszolni fogunk nekik.

Vannak olyan egyenletek, amelyeknek vannak gyökerei, és vannak olyan egyenletek is, amelyeknek nincs gyökerük. Például az x+1=5 egyenletnek 4 gyöke van, de a 0 x=5 egyenletnek nincs gyöke, mivel akármilyen számot is helyettesítünk ebben az egyenletben az x változó helyett, a 0=5 hibás egyenlőséget kapjuk. .

Ami egy egyenlet gyökeinek számát illeti, vannak olyan egyenletek, amelyeknek van egy bizonyos véges számú gyökük (egy, kettő, három stb.), és vannak olyan egyenletek, amelyeknek végtelen sok gyökük van. Például az x−2=4 egyenletnek egyetlen gyöke 6, az x 2 =9 egyenlet gyöke két szám –3 és 3, az egyenlet x·(x−1)·(x−2)=0 három gyöke van 0, 1 és 2, és az x=x egyenlet megoldása tetszőleges szám, azaz végtelen sok gyöke van.

Néhány szót kell ejteni az egyenlet gyökereinek elfogadott jelöléséről. Ha egy egyenletnek nincsenek gyökerei, akkor általában azt írják, hogy „az egyenletnek nincsenek gyökerei”, vagy a ∅ üres halmazjelet használják. Ha az egyenletnek vannak gyökei, akkor azokat vesszővel elválasztva, vagy így írjuk a készlet elemei göndör zárójelben. Például, ha az egyenlet gyökerei a −1, 2 és 4 számok, akkor írjuk be a −1, 2, 4 vagy (−1, 2, 4) számokat. Az is megengedett, hogy az egyenlet gyökereit egyszerű egyenlőségek formájában írjuk le. Például, ha az egyenlet tartalmazza az x betűt, és ennek az egyenletnek a gyökerei a 3 és 5 számok, akkor x=3, x=5 írható, és gyakran hozzáadódnak az x 1 =3, x 2 =5 alsó indexek. a változóhoz, mintha az egyenlet számgyökeit jelölné. Az egyenlet gyökeinek végtelen halmazát általában alakban írják fel, ha lehetséges, az N természetes számok, Z egész számok és R valós számok halmazának jelölését is használják. Például, ha egy x változójú egyenlet gyöke tetszőleges egész szám, akkor írja be, és ha egy y változójú egyenlet gyökere tetszőleges valós szám 1 és 9 között, akkor írja be a következőt: .

A két, három vagy több változót tartalmazó egyenleteknél általában nem használjuk az „egyenlet gyökere” kifejezést, ezekben az esetekben „az egyenlet megoldása” kifejezést használják. Mit nevezünk többváltozós egyenletek megoldásának? Adjuk meg a megfelelő definíciót.

Meghatározás.

Egyenlet megoldása kettővel, hárommal stb. változók párnak, hármasnak stb. a változók értékeit, ezt az egyenletet helyes numerikus egyenlőséggé alakítva.

Mutassunk magyarázó példákat. Tekintsünk egy egyenletet, amelynek két változója x+y=7. Helyettesítsük x helyett 1-et, y helyett 2-t, és az 1+2=7 egyenlőséget kapjuk. Nyilvánvalóan hibás, ezért az x=1, y=2 értékpár nem megoldása a felírt egyenletre. Ha felveszünk egy x=4, y=3 értékpárt, akkor az egyenletbe való behelyettesítés után a helyes 4+3=7 egyenlőséghez jutunk, tehát ez a változó értékpár értelemszerűen megoldás az x+y=7 egyenlethez.

A többváltozós egyenleteknek, akárcsak az egyváltozós egyenleteknek, lehet, hogy nincs gyöke, vagy véges sok gyökük van, vagy végtelen sok gyökük lehet.

Párok, hármasikrek, négyesek stb. A változók értékeit gyakran röviden írják, zárójelben vesszővel elválasztva. Ebben az esetben a zárójelbe írt számok ábécé sorrendben megfelelnek a változóknak. Tisztázzuk ezt a pontot úgy, hogy visszatérünk az előző x+y=7 egyenlethez. Ennek az x=4, y=3 egyenletnek a megoldása röviden (4, 3) írható fel.

A matematika, algebra és az elemzés kezdetei iskolai kurzusban a legnagyobb figyelmet az egyváltozós egyenletek gyökereinek megtalálása kapja. Ennek a folyamatnak a szabályait részletesen tárgyaljuk a cikkben. egyenletek megoldása.

Bibliográfia.

• Matematika. 2 osztály Tankönyv általános műveltségre intézmények adj. elektrononként hordozó. 14 órakor 1. rész / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova stb.] - 3. kiadás. - M.: Oktatás, 2012. - 96 p.: ill. - (Oroszországi Iskola). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Algebra: tankönyv 7. osztály számára Általános oktatás intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 17. kiadás - M.: Oktatás, 2008. - 240 p. : ill. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: 9. évfolyam: oktatási. általános műveltségre intézmények / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; szerkesztette S. A. Teljakovszkij. - 16. kiadás - M.: Oktatás, 2009. - 271 p. : ill. - ISBN 978-5-09-021134-5.