Központosított és normalizált valószínűségi változók. Normalizált valószínűségi változók

Fentebb megismerkedtünk a valószínűségi változók eloszlásának törvényeivel. Mindegyik eloszlási törvény átfogóan leírja egy valószínűségi változó valószínűségeinek tulajdonságait, és lehetővé teszi a valószínűségi változóhoz kapcsolódó bármely esemény valószínűségének kiszámítását. Sok gyakorlati kérdésben azonban nincs szükség ilyen teljes körű leírásra, és gyakran elegendő csak az egyes számszerű paramétereket feltüntetni, amelyek az eloszlás lényeges jellemzőit jellemzik. Például az az átlag, amely körül egy valószínűségi változó értékei szétszóródnak, néhány szám, amely jellemzi ennek a szórásnak a nagyságát. Ezek a számok az eloszlás legjelentősebb jellemzőit hivatottak tömör formában kifejezni, és ún egy valószínűségi változó numerikus jellemzői.

A valószínűségi változók numerikus jellemzői közül elsősorban azokat a jellemzőket vesszük figyelembe, amelyek a valószínűségi változó helyzetét a numerikus tengelyen rögzítik, pl. egy valószínűségi változó valamilyen átlagos értéke, amely köré csoportosulnak a lehetséges értékei. A pozíció jellemzői közül a valószínűségszámításban a legnagyobb szerepet az várható érték, amelyet néha egyszerűen a valószínűségi változó átlagának neveznek.

Tegyük fel, hogy a diszkrét SV? veszi az értékeket x ( , x 2 ,..., x n valószínűségekkel R j, p 2,... a Ptv azok. eloszlási sorozatokkal adva

Lehetséges, hogy ezekben a kísérletekben az érték x x megfigyelt N ( alkalommal, érték x 2 - N 2 alkalommal,..., érték x n - N n egyszer. Ugyanakkor + N 2 +... + N n =N.

A megfigyelési eredmények számtani átlaga

Ha N remek, i.e. N-" ó, akkor

az elosztási központ leírása. Az így kapott valószínűségi változó átlagos értékét matematikai elvárásnak nevezzük. Adjuk meg a definíció szóbeli megfogalmazását.

Meghatározás 3.8. Matematikai elvárás (MO) diszkrét SV% egy szám, amely egyenlő az összes lehetséges értéke szorzatának összegével és ezen értékek valószínűségével (M jelöléssel):

Tekintsük most azt az esetet, amikor a diszkrét SV? lehetséges értékeinek száma megszámlálható, pl. van RR-ünk

A matematikai elvárás képlete változatlan marad, csak az összeg felső határában P helyébe oo, azaz.

Ebben az esetben már olyan sorozatot kapunk, amely eltérhet, pl. a megfelelő CB^-nek esetleg nincs matematikai elvárása.

Példa 3.8. SV?, amelyet a terjesztési sorozat adja meg

Keressük ennek az SV-nek a MO-ját.

Megoldás. A-priory. azok. Mt. nem létezik.

Így az SV megszámlálható számú értéke esetén a következő definíciót kapjuk.

Meghatározás 3.9. Matematikai elvárás, vagy átlagos érték, diszkrét SV, a megszámlálható számú érték egy olyan szám, amely egyenlő az összes lehetséges érték szorzatsorozatának összegével a megfelelő valószínűségekkel, feltéve, hogy ez a sorozat abszolút konvergál, azaz.

Ha ez a sorozat feltételesen divergál vagy konvergál, akkor azt mondják, hogy a CB ^-nek nincs matematikai elvárása.

Térjünk át egy diszkrét SV-ről a sűrűségű folytonosra p(x).

Meghatározás 3.10. Matematikai elvárás, vagy átlagos érték, folyamatos CB egyenlő számnak nevezzük

feltéve, hogy ez az integrál abszolút konvergál.

Ha ez az integrál feltételesen divergál vagy konvergál, akkor azt mondják, hogy a folytonos SV-nek nincs matematikai elvárása.

Megjegyzés 3.8. Ha a J valószínűségi változó összes lehetséges értéke;

csak az intervallumhoz tartoznak ( A; b), Hogy

A matematikai várakozás nem az egyetlen helyzetjellemző, amelyet a valószínűségszámítás használ. Néha például módként és mediánként használják őket.

Meghatározás 3.11. Divat CB^ (megnevezés Mot,) legvalószínűbb értékét nevezzük, i.e. hogy amelyre a valószínűség p i vagy valószínűségi sűrűség p(x) eléri legnagyobb értékét.

Meghatározás 3.12. Középső SV?, (megnevezés Találkozott)értékét amiért hívják P(t> Met) = P(? > Találkozott) = 1/2.

Geometriailag folytonos ÉK esetén a medián a tengely adott pontjának abszcissza Ó, amelyeknél a tőle balra és jobbra eső területek azonosak és egyenlőek 1/2.

Példa 3.9. NEt,terjesztési sorozata van

Keressük meg az SV matematikai elvárását, módját és mediánját

Megoldás. MЪ,= 0-0,1 + 1 0,3 + 2 0,5 + 3 0,1 = 1,6. L/o? = 2. Én(?) nem létezik.

3.10. példa. A folyamatos CB%-nak sűrűsége van

Keressük meg a matematikai elvárást, mediánt és módust.

Megoldás.

p(x) eléri a maximumot, akkor Nyilvánvalóan a medián is egyenlő, mivel a ponton átmenő egyenes jobb és bal oldalán egyenlők a területek.

A helyzetjellemzők mellett számos numerikus jellemzőt használnak különböző célokra a valószínűségszámításban. Közülük különösen fontosak a kezdeti és a központi pillanatok.

Meghatározás 3.13. A k-adik sorrend kezdeti pillanata SV?, az úgynevezett matematikai várakozás k-th ennek a mennyiségnek a fokai: =M(t > k).

A diszkrét és folytonos valószínűségi változókra vonatkozó matematikai elvárás definícióiból az következik

Megjegyzés 3.9. Nyilvánvaló, hogy az 1. sorrend kezdeti mozzanata a matematikai elvárás.

A központi momentum meghatározása előtt bevezetjük a központosított valószínűségi változó új fogalmát.

Meghatározás 3.14. Középre állított Az SV egy valószínűségi változó eltérése a matematikai elvárásától, azaz.

Ezt könnyű ellenőrizni

Egy valószínűségi változó központosítása nyilvánvalóan egyenértékű az origó M pontba mozgatásával;. A központosított valószínűségi változó pillanatait ún központi pontok.

3.15. A k-edik rend központi momentuma Az SV%-ot matematikai elvárásnak nevezzük k-th a központosított valószínűségi változó mértéke:

A matematikai elvárás definíciójából az következik

Nyilvánvaló, hogy bármely ^ valószínűségi változónál az 1. rendű központi momentum egyenlő nullával: c x= M(? 0) = 0.

A második központi pont különösen fontos a gyakorlat szempontjából. 2-vel. Ezt diszperziónak hívják.

Meghatározás 3.16. Variancia SV?, a megfelelő középpontos mennyiség négyzetének matematikai elvárása (jelölés D?)

Az eltérés kiszámításához a következő képleteket kaphatja meg közvetlenül a definícióból:

A (3.4) képletet átalakítva a következő képletet kaphatjuk a számításhoz DL;.

Az SV diszperzió jellemző diszperzió, egy valószínűségi változó értékeinek szórása a matematikai elvárása körül.

A variancia egy valószínűségi változó négyzetének dimenziója van, ami nem mindig kényelmes. Ezért az áttekinthetőség kedvéért célszerű olyan számot használni, amelynek mérete egybeesik a valószínűségi változó dimenziójával a diszperzió jellemzőjeként. Ehhez vegye a variancia négyzetgyökét. A kapott értéket ún szórás valószínűségi változó. Jelöljük a: a = l/s.

A nem negatív SV? esetében néha jellemzőként használják a variációs együttható, egyenlő a szórás és a matematikai elvárás arányával:

Egy valószínűségi változó matematikai elvárásának és szórásának ismeretében hozzávetőleges képet kaphat a lehetséges értékeinek tartományáról. Sok esetben feltételezhetjük, hogy a % valószínűségi változó értékei csak alkalmanként esnek az M intervallumon kívülre; ± Mert. Ezt a normális eloszlási szabályt, amelyet később indokolni fogunk, nevezzük három szigma szabály.

Az elvárás és a variancia a valószínűségi változók leggyakrabban használt numerikus jellemzői. A matematikai elvárás és diszperzió definíciójából ezeknek a numerikus jellemzőknek néhány egyszerű és meglehetősen nyilvánvaló tulajdonsága következik.

Protozoaa matematikai elvárás és diszperzió tulajdonságai.

1. Nem véletlenszerű érték matematikai elvárása Val vel egyenlő magával a c értékkel: M(s) = s.

Valóban, mivel az érték Val vel csak egy értéket vesz fel 1 valószínűséggel, akkor M(c) = Val vel 1 = s.

2. A c nem véletlenszerű mennyiség szórása egyenlő nullával, azaz. D(c) = 0.

Igazán, Dc = M(s - Mc) 2 = M(s- c) 2 = M( 0) = 0.

3. A matematikai elvárás jeleként kivehető egy nem véletlenszerű szorzó: M(c^) = c M(?,).

Mutassuk meg ennek a tulajdonságnak az érvényességét egy diszkrét SV példáján.

Adjuk meg az SV-t egy eloszlási sorozattal

Akkor

Ennélfogva,

A tulajdonságot hasonlóképpen igazoljuk folytonos valószínűségi változó esetén is.

4. A nem véletlenszerű szorzó kivehető a négyzetes diszperzió előjeléből:

Minél több pillanatot ismerünk egy valószínűségi változónak, annál részletesebben ismerjük az eloszlási törvényt.

A valószínűségszámításban és alkalmazásaiban egy valószínűségi változó további két numerikus karakterisztikáját alkalmazzák, a 3. és 4. rendű központi momentumok alapján - aszimmetria együtthatót, vagy m x-et.

Diszkrét valószínűségi változókhoz várható érték :

A megfelelő érték értékeinek összege a valószínűségi változók valószínűségével.

Divat Egy X valószínűségi változó (Mod) a legvalószínűbb értéke.

Egy diszkrét valószínűségi változóhoz. Folyamatos valószínűségi változóhoz.

Unimodális eloszlás

Multimodális elosztás

Általában a Mod és várható érték Nem

egyeznek meg.

Középső Egy X valószínűségi változó (Med) olyan értéke, amelyre annak valószínűsége, hogy P(X Med). Bármely Med-kiosztásnak csak egy lehet.

A Med a görbe alatti területet 2 egyenlő részre osztja. Egymodális és szimmetrikus eloszlás esetén

Pillanatok.

A gyakorlatban leggyakrabban kétféle momentumot használnak: kezdeti és központi.

Kezdő pillanat. Egy X diszkrét valószínűségi változó harmadrendjét a következő alak összegének nevezzük:

Egy X folytonos valószínűségi változó esetén a sorrend kezdeti pillanatát integrálnak nevezzük , nyilvánvaló, hogy egy valószínűségi változó matematikai elvárása az első kezdeti pillanat.

Az M jel (operátor) segítségével a th-edik sorrend kezdeti momentuma mattként ábrázolható. valamely valószínűségi változó th hatványának elvárása.

Középre állított A megfelelő X valószínűségi változó valószínűségi változója az X valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérése:

Egy központosított valószínűségi változó matematikai elvárása 0.

A diszkrét valószínűségi változókhoz a következőket kínáljuk:

A központosított valószínűségi változó pillanatait ún Központi pillanatok

A rend központi pillanata Az X valószínűségi változót a megfelelő központú valószínűségi változó th hatványának matematikai elvárásának nevezzük.

Diszkrét valószínűségi változók esetén:

Folyamatos valószínűségi változók esetén:

Különböző rendű központi és kezdeti momentumok kapcsolata

A pillanatok közül az első momentumot (matematikai várakozás) és a második központi momentumot leggyakrabban egy valószínűségi változó jellemzőjeként használják.

A második központi momentumot ún diszperzió valószínűségi változó. Megnevezése van:

Definíció szerint

Egy diszkrét valószínűségi változóhoz:

Folyamatos valószínűségi változó esetén:

Egy valószínűségi változó szórása az X valószínűségi változók matematikai elvárása körüli szóródásának (szórásának) jellemzője.

Diszperzió diszperziót jelent. A variancia a valószínűségi változó négyzetének dimenziója.

A diszperzió vizuális jellemzésére célszerűbb a valószínűségi változó dimenziójával megegyező m y mennyiséget használni. Erre a célra a variancia gyökét veszik, és egy értéket - szórás (RMS) X valószínűségi változó, és bevezetjük a jelölést:

A szórást néha az X valószínűségi változó „standardjának” is nevezik.

A pozíciójellemzők - egy valószínűségi változó átlagos, tipikus értékei - mellett számos jellemzőt használnak, amelyek mindegyike leírja az eloszlás egyik vagy másik tulajdonságát. Ilyen jellemzőként leggyakrabban az úgynevezett momentumokat használják.

A nyomaték fogalmát széles körben használják a mechanikában a tömegek eloszlásának leírására (statikus nyomatékok, tehetetlenségi nyomatékok stb.). Pontosan ugyanezeket a technikákat alkalmazzák a valószínűségszámításban egy valószínűségi változó eloszlásának alapvető tulajdonságainak leírására. Leggyakrabban kétféle momentumot használnak a gyakorlatban: kezdeti és központi.

Egy nem folytonos valószínűségi változó s. sorrendjének kezdeti momentuma a következő alak összege:

. (5.7.1)

Nyilvánvaló, hogy ez a definíció egybeesik az s rend kezdeti momentumának mechanikai definíciójával, ha a tömegek az abszcissza tengelyére koncentrálódnak pontokban.

Egy folytonos X valószínűségi változó esetén az s-edik sorrend kezdeti pillanatát integrálnak nevezzük

. (5.7.2)

Könnyen belátható, hogy az előző számban bevezetett pozíció fő jellemzője - a matematikai elvárás - nem más, mint a valószínűségi változó első kezdeti momentuma.

A matematikai elvárásjel segítségével két (5.7.1) és (5.7.2) képletet egyesíthet egybe. Valójában az (5.7.1) és (5.7.2) képletek szerkezetükben teljesen hasonlóak az (5.6.1) és (5.6.2) képletekhez, azzal a különbséggel, hogy a és helyett ott vannak, illetve . Ezért írhatunk egy általános, nem folytonos és folytonos mennyiségekre egyaránt érvényes definíciót a harmadrend kezdeti momentumára:

, (5.7.3)

azok. Egy valószínűségi változó harmadrendjének kezdeti momentuma ennek a valószínűségi változó harmadik fokának matematikai elvárása.

A központi pillanat meghatározása előtt bevezetjük a „központú valószínűségi változó” új fogalmát.

Legyen egy valószínűségi változó matematikai elvárással. Az értéknek megfelelő központú valószínűségi változó a valószínűségi változó matematikai elvárásától való eltérése:

A jövőben megállapodunk abban, hogy az adott valószínűségi változóhoz tartozó középpontos valószínűségi változót mindenhol ugyanazzal a betűvel jelöljük, a tetején lévő szimbólummal.

Könnyen ellenőrizhető, hogy egy központú valószínűségi változó matematikai elvárása nullával egyenlő. Valóban, nem folyamatos mennyiségre

hasonlóképpen folyamatos mennyiségnél.

Egy valószínűségi változó középpontba állítása nyilvánvalóan egyenértékű a koordináták origójának a középső, „középső” pontba való mozgatásával, amelynek abszcisszája megegyezik a matematikai elvárással.

A központosított valószínűségi változó pillanatait központi momentumoknak nevezzük. Hasonlóak a mechanika súlypontjával kapcsolatos pillanatokhoz.

Így egy valószínűségi változó s sorrendjének központi momentuma a megfelelő központú valószínűségi változó th hatványának matematikai elvárása:

, (5.7.6)

folytonosra pedig – az integrál által

. (5.7.8)

A következőkben azokban az esetekben, amikor nem kétséges, hogy egy adott pillanat melyik valószínűségi változóhoz tartozik, a rövidség kedvéért egyszerűen és a és helyett írunk.

Nyilvánvaló, hogy bármely valószínűségi változónál az első rendű központi momentum egyenlő nullával:

, (5.7.9)

mivel egy központosított valószínűségi változó matematikai elvárása mindig egyenlő nullával.

Vezessünk összefüggéseket a különböző rendek központi és kezdeti momentumai között. A következtetést csak nem folytonos mennyiségekre hajtjuk végre; Könnyen ellenőrizhető, hogy pontosan ugyanazok az összefüggések érvényesek-e folytonos mennyiségekre, ha véges összegeket integrálokkal, a valószínűségeket pedig valószínűségi elemekkel helyettesítjük.

Nézzük a második központi pontot:

Hasonlóan a harmadik központi momentumhoz kapjuk:

Kifejezések stb. hasonló módon szerezhető be.

Így bármely valószínűségi változó központi momentumaira a következő képletek érvényesek:

(5.7.10)

Általánosságban elmondható, hogy a mozzanatokat nemcsak az origóhoz (kezdeti pillanatok) vagy a matematikai elváráshoz (központi momentumok) viszonyítva tekinthetjük, hanem egy tetszőleges ponthoz képest is:

. (5.7.11)

A központi mozzanatoknak azonban van előnye az összes többihez képest: az első központi momentum, mint láttuk, mindig egyenlő nullával, és a következő, a második központi momentum ezzel a vonatkoztatási rendszerrel rendelkezik minimális értékkel. Bizonyítsuk be. Egy helyen nem folytonos valószínűségi változó esetén az (5.7.11) képlet a következő:

. (5.7.12)

Alakítsuk át ezt a kifejezést:

Nyilvánvalóan ez az érték akkor éri el a minimumát, ha , azaz. amikor a pillanatot a ponthoz képest vesszük.

A pillanatok közül az első kezdeti momentumot (matematikai várakozás) és a második központi momentumot leggyakrabban egy valószínűségi változó jellemzőiként használják.

A második központi momentumot a valószínűségi változó varianciájának nevezzük. Tekintettel ennek a tulajdonságnak a rendkívüli fontosságára, többek között külön elnevezést vezetünk be:

A központi momentum meghatározása szerint

, (5.7.13)

azok. az X valószínűségi változó varianciája a megfelelő középpontos változó négyzetének matematikai elvárása.

Az (5.7.13) kifejezésben szereplő mennyiséget a kifejezésére cserélve a következőt is kapjuk:

. (5.7.14)

A variancia közvetlen kiszámításához használja a következő képleteket:

, (5.7.15)

(5.7.16)

Ennek megfelelően nem folyamatos és folyamatos mennyiségekre.

A valószínűségi változó szórása a diszperzió jellemzője, egy valószínűségi változó értékeinek szórása a matematikai elvárása körül. A „diszperzió” szó maga „diszperziót” jelent.

Ha rátérünk az eloszlás mechanikus értelmezésére, akkor a diszperzió nem más, mint egy adott tömegeloszlás tehetetlenségi nyomatéka a súlyponthoz viszonyítva (matematikai elvárás).

Egy valószínűségi változó varianciája a valószínűségi változó négyzetének dimenziójával rendelkezik; A diszperzió vizuális jellemzésére kényelmesebb olyan mennyiséget használni, amelynek mérete egybeesik a valószínűségi változó dimenziójával. Ehhez vegye a variancia négyzetgyökét. Az így kapott értéket a valószínűségi változó szórásának (egyébként „standardnak”) nevezzük. Jelöljük a szórást:

, (5.7.17)

A jelölések egyszerűsítése érdekében gyakran használjuk a szórásra és a szórásra vonatkozó rövidítéseket: és . Abban az esetben, ha nem kétséges, hogy ezek a jellemzők melyik valószínűségi változóra vonatkoznak, néha elhagyjuk az x y és és szimbólumot, egyszerűen és -t írunk. A „szórás” szavakat időnként lerövidítjük, és az r.s.o betűkkel helyettesítjük.

A gyakorlatban gyakran használnak olyan képletet, amely egy valószínűségi változó szóródását fejezi ki a második kezdeti momentumán (a (5.7.10.) képlet másodikán) keresztül. Az új jelölésben így fog kinézni:

Az elvárás és a szórás (vagy szórás) a valószínűségi változók leggyakrabban használt jellemzői. Ezek jellemzik az eloszlás legfontosabb jellemzőit: helyzetét és szóródási fokát. Az elosztás részletesebb leírásához a magasabb megbízások pillanatait használjuk.

A harmadik központi pont az eloszlás aszimmetriájának (vagy „ferdeségének”) jellemzésére szolgál. Ha az eloszlás szimmetrikus a matematikai elváráshoz képest (vagy mechanikai értelmezésben a tömeg szimmetrikusan oszlik el a tömegközépponthoz képest), akkor minden páratlan sorrendű momentum (ha van) nullával egyenlő. Sőt, összesen

ha az eloszlási törvény a törvényhez képest szimmetrikus és páratlan, akkor minden pozitív tag egy abszolút értékű negatív tagnak felel meg, így a teljes összeg nullával egyenlő. Ugyanez nyilvánvalóan igaz az integrálra is

,

amely egyenlő nullával egy páratlan függvény szimmetriahatáraiban lévő integrálként.

Ezért természetes, hogy az eloszlási aszimmetria jellemzőjeként a páratlan momentumok valamelyikét választjuk. Ezek közül a legegyszerűbb a harmadik központi momentum. Egy valószínűségi változó kockájának dimenziója van: dimenzió nélküli karakterisztikához a harmadik momentumot elosztjuk a szórás kockájával. A kapott értéket „aszimmetria-együtthatónak” vagy egyszerűen „aszimmetriának” nevezik; jelöljük:

ábrán. 5.7.1 két aszimmetrikus eloszlást mutat; az egyik (I. görbe) pozitív aszimmetriával rendelkezik (); a másik (II. görbe) negatív ().

A negyedik központi pont az úgynevezett „hűvösség” jellemzésére szolgál, azaz. csúcsos vagy lapos tetejű eloszlás. Ezeket az eloszlási tulajdonságokat az úgynevezett kurtosis segítségével írjuk le. Egy valószínűségi változó kurtózisa a mennyiség

A 3-as számot levonjuk az arányból, mert a nagyon fontos és a természetben elterjedt normális eloszlási törvényhez (melyet később részletesen megismerünk) . Így normál eloszlás esetén a körtózis nulla; a normál görbéhez képest csúcsosabb görbék pozitív görbülettel rendelkeznek; A laposabb tetejű görbék negatív görbülettel rendelkeznek.

ábrán. 5.7.2 mutatja: normál eloszlás (I. görbe), eloszlás pozitív görbével (II. görbe) és eloszlás negatív görbével (III. görbe).

A fent tárgyalt kezdeti és központi momentumok mellett a gyakorlatban néha az úgynevezett abszolút momentumokat (kezdeti és központi) alkalmazzák, amelyeket a képletek határoznak meg.

Nyilvánvaló, hogy az egyenletes sorrend abszolút pillanatai egybeesnek a hétköznapi pillanatokkal.

Az abszolút momentumok közül a leggyakrabban használt az első abszolút központi momentum.

, (5.7.21)

számtani átlageltérésnek nevezzük. A szórással és a szórással együtt az aritmetikai átlageltérést is gyakran használják a diszperzió jellemzőjeként.

Várakozás, mód, medián, kezdeti és centrális momentumok, és különösen a szóródás, a szórás, a ferdeség és a görbület a valószínűségi változók leggyakrabban használt numerikus jellemzői. Sok gyakorlati feladatban egy valószínűségi változó teljes jellemzője - az eloszlási törvény - vagy nem szükséges, vagy nem kapható meg. Ezekben az esetekben a valószínűségi változó súgó segítségével történő hozzávetőleges leírására korlátozódik. Numerikus jellemzők, amelyek mindegyike az eloszlás valamilyen jellemző tulajdonságát fejezi ki.

Nagyon gyakran numerikus jellemzőket használnak arra, hogy megközelítőleg helyettesítsék az egyik eloszlást egy másikkal, és általában úgy próbálják ezt a cserét végrehajtani, hogy több fontos pont változatlan maradjon.

Példa 1. Elvégzünk egy kísérletet, aminek eredményeként megjelenhet vagy nem egy esemény, amelynek valószínűsége egyenlő. Valószínűségi változót veszünk figyelembe - egy esemény előfordulásának számát (egy esemény jellemző valószínűségi változóját). Határozza meg jellemzőit: matematikai elvárás, diszperzió, szórás.

Megoldás. Az értékeloszlási sorozat alakja a következő:

ahol annak a valószínűsége, hogy az esemény nem következik be.

Az (5.6.1) képlet segítségével megtaláljuk az érték matematikai elvárását:

Az érték szórását az (5.7.15) képlet határozza meg:

(Azt javasoljuk, hogy az olvasó ugyanazt az eredményt kapja, ha a diszperziót a második kezdeti momentumban fejezi ki).

2. példa Három független lövést adnak le egy célpontra; Az egyes lövések eltalálásának valószínűsége 0,4. véletlen változó – találatok száma. Határozza meg egy mennyiség jellemzőit - matematikai elvárás, diszperzió, r.s.d., aszimmetria.

Megoldás. Az értékeloszlási sorozat alakja a következő:

Kiszámoljuk a mennyiség numerikus jellemzőit:

Vegyük észre, hogy ugyanazok a jellemzők sokkal egyszerűbben számíthatók ki a függvények numerikus jellemzőire vonatkozó tételek felhasználásával (lásd a 10. fejezetet).