A matematika egységes államvizsga c2 feladatai a pont és a sík távolságának megállapítására. A pont és az I. sík távolsága

, „Prezentáció a leckéhez” verseny

Osztály: 11

Előadás a leckéhez

Vissza előre

Figyelem! A dia-előnézetek csak tájékoztató jellegűek, és nem feltétlenül képviselik a prezentáció összes jellemzőjét. Ha érdekli ez a munka, töltse le a teljes verziót.

Célok:

• a tanulók tudásának és készségeinek általánosítása és rendszerezése;
• elemzési, összehasonlítási, következtetési képességek fejlesztése.

Felszerelés:

• multimédiás projektor;
• számítógép;
• lapok problémaszövegekkel

AZ OSZTÁLY HALADÁSA

I. Szervezési mozzanat

II. Tudásfrissítési szakasz(2. dia)

Ismételjük meg, hogyan határozzuk meg a pont és a sík távolságát

III. Előadás(3-15. dia)

Ebben a leckében különféle módokat vizsgálunk meg egy pont és egy sík távolságának meghatározására.

Első módszer: lépésről lépésre számítási

Távolság M ponttól az α síkhoz:
– egyenlő az α síkkal mért távolsággal egy tetszőleges P ponttól, amely az M ponton áthaladó, az α síkkal párhuzamos a egyenesen fekszik;
– egyenlő az α síkkal mért távolsággal a β síkon fekvő tetszőleges P ponttól, amely átmegy az M ponton és párhuzamos az α síkkal.

A következő problémákat oldjuk meg:

№1. Az A...D 1 kockában keresse meg a C 1 pont és az AB 1 C sík távolságát.

Ki kell számítani az O 1 N szakasz hosszának értékét.

№2. Határozzuk meg az A pont és a DEA 1 sík távolságát egy A...F 1 szabályos hatszögletű prizmában, amelynek minden éle egyenlő 1-gyel.

Következő módszer: kötet módszer.

Ha az ABCM piramis térfogata egyenlő V-vel, akkor az M pont és az ∆ABC-t tartalmazó α sík távolságát a következő képlettel számítjuk ki: ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
A feladatok megoldásánál egy alak kétféleképpen kifejezett térfogategyenlőségét használjuk.

Oldjuk meg a következő problémát:

№3. A DABC piramis AD éle merőleges az ABC alapsíkra. Határozza meg az AB, AC és AD élek felezőpontjain átmenő sík távolságát A-tól, ha.

A problémák megoldása során koordináta módszer az M pont és az α sík távolsága a ρ(M; α) = képlettel számítható , ahol M(x 0; y 0; z 0), és a síkot az ax + egyenlet adja meg + cz + d = 0

Oldjuk meg a következő problémát:

№4. Az A...D 1 egységkockában keresse meg az A 1 pont és a BDC 1 sík távolságát.

Vezessünk be egy koordinátarendszert, amelynek origója az A pontban van, az y tengely az AB élen, az x tengely az AD élen, a z tengely pedig az AA 1 élen fog futni. Ekkor a B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) pontok koordinátái
Készítsünk egyenletet a B, D, C 1 pontokon áthaladó síkra.

Ekkor – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Ezért ρ =

A következő módszer használható az ilyen típusú problémák megoldására támogatási problémák módszere.

A módszer alkalmazása ismert referenciaproblémák alkalmazásából áll, amelyeket tételként fogalmazunk meg.

Oldjuk meg a következő problémát:

№5. Egy A...D 1 egységkockában keresse meg a D 1 pont és az AB 1 C sík távolságát.

Tekintsük az alkalmazást vektoros módszer.

№6. Az A...D 1 egységkockában keresse meg az A 1 pont és a BDC 1 sík távolságát.

Tehát megvizsgáltunk különféle módszereket, amelyek segítségével megoldható az ilyen típusú probléma. Az egyik vagy másik módszer kiválasztása az adott feladattól és az Ön preferenciáitól függ.

IV. Csoportmunka

Próbálja meg különböző módon megoldani a problémát.

№1. Az A...D 1 kocka éle egyenlő. Határozzuk meg a C csúcs és a BDC 1 sík távolságát.

№2. Egy éles ABCD szabályos tetraéderben keresse meg az A pont és a BDC sík távolságát

№3. Egy ABCA 1 B 1 C 1 szabályos háromszög prizmában, amelynek minden éle 1, keresse meg az A távolságot a BCA 1 síktól.

№4. Határozzuk meg az SABCD szabályos négyszög piramisban, amelynek minden éle 1, az A távolságot az SCD síktól.

V. Óraösszefoglaló, házi feladat, reflexió

AZ EGY PONT-SÍK TÁVOLSÁGMEGÁLLÍTÁSÁNAK EGYSÉGES MATEMATIKAI ÁLLAMVIZSGA C2 FELADATAI

Kulikova Anastasia Jurjevna

5. éves hallgató, matematika szak. elemzés, algebra és geometria EI KFU, Orosz Föderáció, Tatár Köztársaság, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

tudományos témavezető, Ph.D. ped. Tudományok, EI KFU egyetemi docens, Orosz Föderáció, Tatár Köztársaság, Elabuga

Az elmúlt években a matematika egységes államvizsga-feladatai között megjelentek a pont és a sík távolságának kiszámítására vonatkozó feladatok. Ebben a cikkben, egy probléma példáján, különféle módszereket vizsgálunk egy pont és egy sík távolságának meghatározására. A legmegfelelőbb módszer használható különféle problémák megoldására. Miután megoldott egy problémát egy módszerrel, egy másik módszerrel ellenőrizheti az eredmény helyességét.

Meghatározás. Egy ponttól az ezt a pontot nem tartalmazó síkhoz mért távolság az ebből a pontból az adott síkra húzott merőleges szakasz hossza.

Feladat. Adott egy téglalap alakú paralelepipedon ABVAL VELD.A. 1 B 1 C 1 D 1 oldalakkal AB=2, IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.=4, A.A. 1 = 6. Keresse meg a távolságot a ponttól D repülni ACD 1 .

1 út. Használata meghatározás. Keresse meg az r( D, ACD 1) pontból D repülni ACD 1 (1. ábra).

1. ábra Első módszer

Hajtsuk végre D.H.⊥AC, ezért három merőleges tétele alapján D 1 H⊥ACÉs (DD 1 H)⊥AC. Hajtsuk végre közvetlen D.T. merőleges D 1 H. Egyenes D.T. síkban fekszik DD 1 H, ennélfogva D.T.⊥A.C.. Ennélfogva, D.T.⊥ACD 1.

ADC keressük meg a hypotenusát ACés magasság D.H.

Derékszögű háromszögből D 1 D.H. keressük meg a hypotenusát D 1 Hés magasság D.T.

Válasz: .

2. módszer.Térfogat módszer (segédpiramis használata). Egy ilyen típusú probléma a gúla magasságának kiszámítására redukálható, ahol a gúla magassága egy ponttól egy síkhoz szükséges távolság. Bizonyítsuk be, hogy ez a magasság a szükséges távolság; keresse meg ennek a piramisnak a térfogatát kétféleképpen, és fejezze ki ezt a magasságot.

Vegyük észre, hogy ezzel a módszerrel nem kell egy adott pontból egy adott síkra merőlegest építeni.

A téglatest olyan paralelepipedon, amelynek minden lapja téglalap.

AB=CD=2, IDŐSZÁMÍTÁSUNK ELŐTT.=HIRDETÉS=4, A.A. 1 =6.

A szükséges távolság a magasság lesz h piramisok ACD 1 D, felülről leeresztve D az alapon ACD 1 (2. ábra).

Számítsuk ki a piramis térfogatát ACD 1 D két út.

Számításkor az első módon ∆-t vesszük alapul ACD 1 akkor

A második módon történő számításnál ∆-t vesszük alapul ACD, Akkor

Tegyük egyenlővé az utolsó két egyenlőség jobb oldalát, és kapjuk meg

2. ábra Második módszer

Derékszögű háromszögekből ACD, HOZZÁAD 1 , CDD 1 keresse meg a hipotenuszt a Pitagorasz-tétel segítségével

ACD

Számítsa ki a háromszög területét ACD 1 Heron képletével

Válasz: .

3 út. Koordináta módszer.

Adjunk pontot M(x 0 ,y 0 ,z 0) és sík α , az egyenlet adja meg fejsze+által+cz+d=0 derékszögű derékszögű koordinátarendszerben. Távolság a ponttól M az α síkra a következő képlettel számítható:

Vezessünk be egy koordinátarendszert (3. ábra). A koordináták eredete egy pontban BAN BEN;

Egyenes AB- tengely x, egyenes Nap- tengely y, egyenes BB 1 - tengely z.

3. ábra Harmadik módszer

B(0,0,0), A(2,0,0), VAL VEL(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Hadd ax+által+ cz+ d=0 – sík egyenlet ACD 1 . Behelyettesítve a pontok koordinátáit A, C, D 1 kapjuk:

Sík egyenlet ACD 1 fogja felvenni a formát

Válasz: .

4 irányú. Vektoros módszer.

Mutassuk be a bázist (4. ábra) , .

4. ábra Negyedik módszer

Tekintsünk egy bizonyos π síkot és egy tetszőleges M 0 pontot a térben. Válasszunk a repülőhöz egységnyi normálvektor n -val a kezdet egy pontban M 1 ∈ π, és legyen p(M 0 ,π) az M 0 pont és a π sík távolsága. Ezután (5.5. ábra)

р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

mivel |n| = 1.

Ha a π síkot megadjuk derékszögű koordinátarendszer általános egyenletével Ax + By + Cz + D = 0, akkor normálvektora az (A; B; C) koordinátákkal rendelkező vektor, és választhatunk

Legyen (x 0 ; y 0 ; z 0) és (x 1 ; y 1 ; z 1) az M 0 és M 1 pontok koordinátái. Ekkor fennáll az Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0 egyenlőség, mivel az M 1 pont a síkhoz tartozik, és az M 1 M 0 vektor koordinátái megtalálhatók: M 1 M 0 = (x 0 - x 1, y 0-y 1, z 0-z 1). Felvétel skaláris szorzat nM 1 M 0 koordináta alakban és transzformálva (5.8), kapjuk

mivel Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Tehát egy pont és egy sík közötti távolság kiszámításához be kell cserélni a pont koordinátáit a sík általános egyenletébe, majd el kell osztani a pont abszolút értékét az eredményt a megfelelő normálvektor hosszával megegyező normalizáló tényezővel.

Fontos számunkra az Ön személyes adatainak védelme. Emiatt kidolgoztunk egy adatvédelmi szabályzatot, amely leírja, hogyan használjuk és tároljuk az Ön adatait. Kérjük, tekintse át adatvédelmi gyakorlatunkat, és tudassa velünk, ha kérdése van.

Személyes adatok gyűjtése és felhasználása

A személyes adatok olyan adatokra vonatkoznak, amelyek felhasználhatók egy adott személy azonosítására vagy kapcsolatfelvételre.

Amikor kapcsolatba lép velünk, bármikor megkérhetjük személyes adatainak megadására.

Az alábbiakban bemutatunk néhány példát arra, hogy milyen típusú személyes adatokat gyűjthetünk, és hogyan használhatjuk fel ezeket az információkat.

Milyen személyes adatokat gyűjtünk:

• Amikor jelentkezést nyújt be az oldalon, különféle információkat gyűjthetünk, beleértve az Ön nevét, telefonszámát, e-mail címét stb.

Hogyan használjuk fel személyes adatait:

• Az általunk gyűjtött személyes adatok lehetővé teszik számunkra, hogy egyedi ajánlatokkal, promóciókkal és egyéb eseményekkel és közelgő eseményekkel kapcsolatba léphessünk Önnel.
• Időről időre felhasználhatjuk személyes adatait fontos értesítések és közlemények küldésére.
• A személyes adatokat belső célokra is felhasználhatjuk, például auditok lefolytatására, adatelemzésre és különféle kutatásokra annak érdekében, hogy javítsuk szolgáltatásainkat, és javaslatokat adjunk Önnek szolgáltatásainkkal kapcsolatban.
• Ha nyereményjátékban, versenyben vagy hasonló promócióban vesz részt, az Ön által megadott információkat felhasználhatjuk az ilyen programok lebonyolítására.

Információk közlése harmadik fél számára

Az Öntől kapott információkat nem adjuk ki harmadik félnek.

Kivételek:

• Szükség esetén - a törvénynek, a bírósági eljárásnak, a bírósági eljárásnak megfelelően és/vagy az Orosz Föderáció területén található állami kérelmek vagy kormányzati hatóságok kérelmei alapján - személyes adatainak felfedésére. Felfedhetünk Önnel kapcsolatos információkat is, ha úgy ítéljük meg, hogy az ilyen nyilvánosságra hozatal biztonsági, bűnüldözési vagy egyéb közérdekű célból szükséges vagy megfelelő.
• Átszervezés, egyesülés vagy eladás esetén az általunk gyűjtött személyes adatokat átadhatjuk a megfelelő jogutód harmadik félnek.

Személyes adatok védelme

Óvintézkedéseket teszünk – beleértve az adminisztratív, technikai és fizikai intézkedéseket is –, hogy megvédjük személyes adatait az elvesztéstől, lopástól és visszaéléstől, valamint a jogosulatlan hozzáféréstől, nyilvánosságra hozataltól, megváltoztatástól és megsemmisítéstől.

A magánélet tiszteletben tartása vállalati szinten

Személyes adatai biztonságának biztosítása érdekében az adatvédelmi és biztonsági előírásokat közöljük alkalmazottainkkal, és szigorúan betartjuk az adatvédelmi gyakorlatokat.