Ενδιαφέροντες τρόποι απόδειξης της παρουσίασης του Πυθαγόρειου θεωρήματος. Παρουσίαση με θέμα "Μέθοδοι απόδειξης του Πυθαγόρειου Θεωρήματος"

Σχέδιο μαθήματος Οργανωτική στιγμή Οργανωτικό σημείο Επανάληψη Επανάληψη Μήνυμα για τη ζωή του Πυθαγόρα της Σάμου Μήνυμα για τη ζωή του Πυθαγόρα της Σάμου Ιστορικές πληροφορίες για το Πυθαγόρειο θεώρημα Ιστορικές πληροφορίες για το Πυθαγόρειο θεώρημα Εργασία στο θεώρημα Εργασία στο θεώρημα Επίλυση προβλημάτων με χρήση του θεωρήματος Επίλυση προβλήματα με τη χρήση του θεωρήματος Σύνοψη του μαθήματος Σύνοψη του μαθήματος Εργασία για το σπίτι

Ο Πυθαγόρας της Σάμου Ο Πυθαγόρας γεννήθηκε το 580 π.Χ. στην Αρχαία Ελλάδα στο νησί της Σάμου, που βρίσκεται στο Αιγαίο Πέλαγος στα παράλια της Μικράς Ασίας, γι' αυτό και ονομάζεται Πυθαγόρας της Σάμου. Στην οικογένεια ενός λιθοξόου που βρήκε τη φήμη παρά τον πλούτο. Ακόμη και ως παιδί, έδειξε εξαιρετικές ικανότητες, και όταν μεγάλωσε, η ανήσυχη φαντασία του νεαρού έγινε στριμωγμένη στο μικρό νησί.

Πυθαγόρας Ο Πυθαγόρας μετακόμισε στην πόλη της Μιλήτου και έγινε μαθητής του Θαλή, που εκείνη την εποχή ήταν γύρω στα ογδόντα του. Ο σοφός επιστήμονας συμβούλεψε τον νεαρό να πάει στην Αίγυπτο, όπου ο ίδιος κάποτε σπούδασε επιστήμη. Μια άγνωστη χώρα άνοιξε μπροστά στον Πυθαγόρα. Ήταν εντυπωσιασμένος από το γεγονός ότι στην πατρίδα του την Ελλάδα οι θεοί είχαν τη μορφή ανθρώπων και οι Αιγύπτιοι θεοί είχαν τη μορφή μισών ανθρώπων - μισών ζώων. Η γνώση συγκεντρωνόταν σε ναούς, στους οποίους η πρόσβαση ήταν περιορισμένη.

Ο Πυθαγόρας χρειάστηκε χρόνια για να μελετήσει σε βάθος τον αιγυπτιακό πολιτισμό προτού του επιτραπεί να εξοικειωθεί με τα αιωνόβια επιτεύγματα της αιγυπτιακής επιστήμης. Όταν ο Πυθαγόρας κατανόησε την επιστήμη των Αιγυπτίων ιερέων, πήγε σπίτι του για να δημιουργήσει τη δική του σχολή εκεί. Οι ιερείς, που δεν ήθελαν να διαδώσουν τις γνώσεις τους πέρα ​​από τους ναούς, δεν ήθελαν να τον αφήσουν να φύγει. Με μεγάλη δυσκολία κατάφερε να ξεπεράσει αυτό το εμπόδιο.

Ωστόσο, στο δρόμο για το σπίτι, ο Πυθαγόρας αιχμαλωτίστηκε και κατέληξε στη Βαβυλώνα. Οι Βαβυλώνιοι εκτιμούσαν τους έξυπνους ανθρώπους, έτσι βρήκε τη θέση του ανάμεσα στους Βαβυλώνιους σοφούς. Η βαβυλωνιακή επιστήμη ήταν πιο ανεπτυγμένη από την αιγυπτιακή. Οι πιο εντυπωσιακές επιτυχίες ήταν στην άλγεβρα Πυθαγόρας Οι Βαβυλώνιοι εφηύραν και χρησιμοποίησαν το σύστημα αριθμών θέσης κατά την μέτρηση και μπόρεσαν να λύσουν γραμμικές, τετραγωνικές και ορισμένους τύπους κυβικών εξισώσεων. Ο Πυθαγόρας έζησε στη Βαβυλώνα περίπου δέκα χρόνια και επέστρεψε στην πατρίδα του σε ηλικία σαράντα ετών. Δεν έμεινε όμως για πολύ στο νησί της Σάμου. Σε ένδειξη διαμαρτυρίας κατά του τυράννου Πολυκράτη, που τότε κυβερνούσε το νησί, εγκαταστάθηκε σε μια από τις ελληνικές αποικίες της Νότιας Ιταλίας στην πόλη του Κρότωνα.

Εκεί ο Πυθαγόρας οργάνωσε μια μυστική ένωση νεολαίας από εκπροσώπους της αριστοκρατίας. Έγιναν δεκτοί σε αυτή την ένωση με μεγάλες τελετές μετά από πολύωρες δοκιμασίες. Κάθε συμμετέχων απαρνήθηκε την περιουσία του και ορκίστηκε να κρατήσει μυστικές τις διδασκαλίες του ιδρυτή. Οι Πυθαγόρειοι, όπως ονομάστηκαν αργότερα, σπούδαζαν μαθηματικά, φιλοσοφία και φυσικές επιστήμες. Υπήρχε ένα διάταγμα στο σχολείο σύμφωνα με το οποίο η πατρότητα όλων των μαθηματικών εργασιών αποδιδόταν στον δάσκαλο. Η Πυθαγόρεια συμμαχία ήταν μυστική. Το έμβλημα ή το σήμα αναγνώρισης της ένωσης ήταν ένα πεντάγραμμο - ένα πεντάκτινο αστέρι. Στο πεντάγραμμο ανατέθηκε η ικανότητα να προστατεύει ένα άτομο από τα κακά πνεύματα.

Οι Πυθαγόρειοι έκαναν πολλές σημαντικές ανακαλύψεις στην αριθμητική και τη γεωμετρία. Είναι επίσης γνωστό ότι εκτός από την πνευματική και ηθική ανάπτυξη των μαθητών του Πυθαγόρα, τον απασχολούσε και η σωματική τους ανάπτυξη. Όχι μόνο συμμετείχε ο ίδιος στους Ολυμπιακούς Αγώνες και κέρδισε δύο φορές πυγμαχίες, αλλά εκπαίδευσε επίσης έναν γαλαξία μεγάλων Ολυμπιονικών Πυθαγόρας Ο επιστήμονας αφιέρωσε περίπου σαράντα χρόνια στο σχολείο που δημιούργησε και, σύμφωνα με μια εκδοχή, σε ηλικία ογδόντα ετών Ο Πυθαγόρας σκοτώθηκε σε αγώνα δρόμου σε καιρό λαϊκής εξέγερσης. Μετά τον θάνατό του, οι μαθητές περικύκλωσαν το όνομα του δασκάλου τους με πολλούς θρύλους.

Στα βαβυλωνιακά κείμενα βρίσκεται 1200 χρόνια πριν από τον Πυθαγόρα. Προφανώς, ήταν ο πρώτος που βρήκε την απόδειξη. Ως προς αυτό, έγινε η ακόλουθη καταχώριση: «... όταν ανακάλυψε ότι σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο η υποτείνουσα αντιστοιχεί στα πόδια, θυσίασε έναν ταύρο από ζύμη σιταριού». Η ιστορία του Πυθαγόρειου θεωρήματος Η ιστορία του Πυθαγόρειου θεωρήματος είναι ενδιαφέρουσα. Αν και αυτό το θεώρημα συνδέεται με το όνομα του Πυθαγόρα, ήταν γνωστό πολύ πριν από αυτόν.

Θεώρημα Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών. Δίνεται: Δ ABC, C = 90° Απόδειξη: Απόδειξη: D Λαμβάνοντας υπόψη το cos B, προκύπτει: Προσθέτοντας (1) και (2), παίρνουμε: Θεωρώντας το cos B, προκύπτει: Ας χαμηλώσουμε το ύψος SD από την κορυφή του τη σωστή γωνία

Διαφάνεια 2

a2+b2=c2 c a b P

Διαφάνεια 3

Ο Πυθαγόρας δεν ανακάλυψε αυτή την ιδιότητα του ορθογώνιου τριγώνου· πιθανότατα ήταν ο πρώτος που τη γενίκευσε και την απέδειξε, μεταφέροντάς τη έτσι από το πεδίο της πρακτικής στο πεδίο της επιστήμης. Δεν ξέρουμε πώς το έκανε. Υποτίθεται ότι η απόδειξη του Πυθαγόρα δεν ήταν θεμελιώδης, αλλά μόνο μια επιβεβαίωση, μια δοκιμή αυτής της ιδιότητας σε έναν αριθμό συγκεκριμένων τύπων τριγώνων, ξεκινώντας από ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο, για το οποίο προφανώς προκύπτει από το Σχ. 1.

Διαφάνεια 4

Διαφάνεια 5

Αποδείξεις που βασίζονται στη χρήση της έννοιας του ίσου μεγέθους των ψηφίων.

Διαφάνεια 6

Είναι σαφές ότι αν αφαιρέσουμε το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου με σκέλη a, b από το εμβαδόν του τετραγώνου, τότε θα παραμείνουν ίσα εμβαδά, δηλαδή c2 = a2 + b2. Ωστόσο, οι αρχαίοι Ινδουιστές, στους οποίους ανήκει αυτό το σκεπτικό, συνήθως δεν το έγραφαν, αλλά συνόδευαν το σχέδιο με μία μόνο λέξη: «κοίτα!» Είναι πολύ πιθανό ο Πυθαγόρας να προσέφερε την ίδια απόδειξη.

Διαφάνεια 7

Πρόσθετες αποδείξεις. Αυτές οι αποδείξεις βασίζονται στην αποσύνθεση των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα πόδια σε σχήματα από τα οποία μπορεί κανείς να προσθέσει ένα τετράγωνο χτισμένο στην υποτείνουσα. Η απόδειξη του Αϊνστάιν (Εικ. 3) βασίζεται στην αποσύνθεση ενός τετραγώνου χτισμένου στην υποτείνουσα σε 8 τρίγωνα.

Διαφάνεια 8

Στο Σχ. Το 4 δείχνει την απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος χρησιμοποιώντας τη διαίρεση του al-Nayriziyah, του μεσαιωνικού σχολιαστή της Βαγδάτης στα Στοιχεία του Ευκλείδη. Σε αυτό το διαμέρισμα, το τετράγωνο που χτίζεται στην υποτείνουσα χωρίζεται σε 3 τρίγωνα και 2 τετράπλευρα. Εδώ: Το ABC είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία C. DE = BF. Να αποδείξετε το θεώρημα χρησιμοποιώντας αυτό το διαμέρισμα. Δ Ε

Διαφάνεια 9

Απόδειξη με τη μέθοδο ολοκλήρωσης. Η ουσία αυτής της μεθόδου είναι ότι προστίθενται ίσοι αριθμοί στα τετράγωνα που είναι χτισμένα στα πόδια και στο τετράγωνο που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα με τέτοιο τρόπο ώστε να προκύπτουν ίσοι αριθμοί.

Διαφάνεια 10

Η εγκυρότητα του Πυθαγόρειου θεωρήματος προκύπτει από το ίσο μέγεθος των εξαγώνων AEDFPB και ACBNMQ. φά

Διαφάνεια 11

Στο Σχ. 13 ABC – ορθογώνιο, C – ορθή γωνία, CM AB, b1 – προβολή του σκέλους b στην υποτείνουσα, a1 – προβολή του σκέλους a στην υποτείνουσα, h – υψόμετρο του τριγώνου που σύρεται προς την υποτείνουσα. Εφόσον το ABC είναι παρόμοιο με το ACM, προκύπτει ότι b2 = c*b1; (1) από το γεγονός ότι το ABC είναι παρόμοιο με το BCM, προκύπτει ότι a2 = c*a1. (2) Προσθέτοντας τις ισότητες (1) και (2) όρο προς όρο, λαμβάνουμε a2 + b2 = c*b1 + c*a1 = c*(b1 + a1) = c2. σι

Διαφάνεια 12

Στο Σχήμα 15, τρία ορθογώνια τρίγωνα σχηματίζουν ένα τραπέζιο. Επομένως, το εμβαδόν αυτού του σχήματος μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο για το εμβαδόν ενός ορθογώνιου τραπεζοειδούς ή ως το άθροισμα των εμβαδών τριών τριγώνων. Η απόδειξη του Γκάρφιλντ.

Διαφάνεια 13

Βιογραφία του Πυθαγόρα. Ο μεγάλος επιστήμονας Πυθαγόρας γεννήθηκε γύρω στο 570 π.Χ. στο νησί της Σάμου. Ο πατέρας του Πυθαγόρα ήταν ο Μνέσαρχος, κόφτης πολύτιμων λίθων. Το όνομα της μητέρας του Πυθαγόρα δεν είναι γνωστό. Σύμφωνα με πολλές αρχαίες μαρτυρίες, το αγόρι που γεννήθηκε ήταν υπέροχα όμορφο και σύντομα έδειξε τις εξαιρετικές του ικανότητες. Μεταξύ των δασκάλων του νεαρού Πυθαγόρα ήταν ο πρεσβύτερος Ερμοδάμαντος και ο Φερεκύδης ο Σύρος. Ο νεαρός Πυθαγόρας περνούσε ολόκληρες μέρες στα πόδια του γέροντα Ερμού, ακούγοντας τη μελωδία της κιθάρας και τα εξάμετρα του Ομήρου. Ο Πυθαγόρας διατήρησε το πάθος του για τη μουσική και την ποίηση του μεγάλου Ομήρου σε όλη του τη ζωή. Και, όντας αναγνωρισμένος σοφός, περιτριγυρισμένος από ένα πλήθος μαθητών, ο Πυθαγόρας ξεκίνησε τη μέρα τραγουδώντας ένα από τα τραγούδια του Ομήρου. Ο Φερεκύδης ήταν φιλόσοφος και θεωρήθηκε ο ιδρυτής της ιταλικής φιλοσοφικής σχολής. Αλλά όπως και να έχει, η ανήσυχη φαντασία του νεαρού Πυθαγόρα πολύ σύντομα στριμώχθηκε στη μικρή Σάμο και πήγε στη Μίλητο, όπου συνάντησε έναν άλλο επιστήμονα - τον Θαλή. Ο Θαλής τον συμβουλεύει να πάει στην Αίγυπτο για γνώση, κάτι που έκανε ο Πυθαγόρας. Το 548 π.Χ. Ο Πυθαγόρας έφτασε στη Ναυκράτιδα, μια Σαμιακή αποικία, όπου υπήρχε κάποιος να βρει καταφύγιο και τροφή.

Διαφάνεια 14

Έχοντας μελετήσει τη γλώσσα και τη θρησκεία των Αιγυπτίων, φεύγει για το Μέμφις. Παρά τη συστατική επιστολή του φαραώ, οι πονηροί ιερείς δεν βιάζονταν να αποκαλύψουν τα μυστικά τους στον Πυθαγόρα, προσφέροντάς του δύσκολες δοκιμασίες. Όμως, ορμώμενος από τη δίψα για γνώση, ο Πυθαγόρας τους ξεπέρασε όλους, αν και σύμφωνα με τις ανασκαφές, οι Αιγύπτιοι ιερείς δεν μπορούσαν να τον διδάξουν πολλά, γιατί εκείνη την εποχή, η αιγυπτιακή γεωμετρία ήταν μια καθαρά εφαρμοσμένη επιστήμη (ικανοποιώντας την ανάγκη εκείνης της εποχής για μέτρηση και μέτρηση της γης). Έχοντας λοιπόν μάθει όλα όσα του έδιναν οι ιερείς, έφυγε από κοντά τους και μετακόμισε στην πατρίδα του στην Ελλάδα. Ωστόσο, έχοντας ολοκληρώσει μέρος του ταξιδιού, ο Πυθαγόρας αποφάσισε ένα χερσαίο ταξίδι, κατά το οποίο συνελήφθη από τον Καμβύση, τον βασιλιά της Βαβυλώνας, ο οποίος κατευθυνόταν προς το σπίτι του. Δεν χρειάζεται να δραματοποιήσουμε τη ζωή του Πυθαγόρα στη Βαβυλώνα, γιατί... ο μεγάλος ηγεμόνας Κύρος ήταν ανεκτικός με όλους τους αιχμαλώτους. Τα βαβυλωνιακά μαθηματικά ήταν αναμφίβολα πιο ανεπτυγμένα (ένα παράδειγμα αυτού είναι το σύστημα θέσεων του λογισμού) από τα αιγυπτιακά, και ο Πυθαγόρας είχε πολλά να μάθει. Όμως το 530 π.Χ. Ο Κύρος ξεκίνησε μια εκστρατεία κατά των φυλών στην Κεντρική Ασία. Και, εκμεταλλευόμενος την ταραχή στην πόλη, ο Πυθαγόρας κατέφυγε στην πατρίδα του.

Διαφάνεια 15

Και στη Σάμο τότε βασίλευε ο τύραννος Πολυκράτης. Φυσικά, ο Πυθαγόρας δεν ήταν ικανοποιημένος με τη ζωή του αυλικού δούλου και αποσύρθηκε σε σπηλιές κοντά στη Σάμο. Μετά από αρκετούς μήνες αξιώσεων από τον Πολυκράτη, ο Πυθαγόρας μετακόμισε στον Κρότωνα. Στον Κρότωνα, ο Πυθαγόρας ίδρυσε κάτι σαν μια θρησκευτική-ηθική αδελφότητα ή ένα μυστικό μοναστικό τάγμα («Πυθαγόρειοι»), τα μέλη του οποίου δεσμεύτηκαν να ηγηθούν του λεγόμενου Πυθαγόρειου τρόπου ζωής. Ήταν ταυτόχρονα μια θρησκευτική ένωση, μια πολιτική λέσχη και μια επιστημονική εταιρεία. Πρέπει να ειπωθεί ότι μερικές από τις αρχές που κήρυξε ο Πυθαγόρας είναι άξιες μίμησης ακόμη και τώρα. ...20 χρόνια πέρασαν. Η φήμη της αδελφότητας εξαπλώθηκε σε όλο τον κόσμο. Μια μέρα, ο Κύλων, ένας πλούσιος αλλά κακός άνθρωπος, έρχεται στον Πυθαγόρα, θέλοντας να ενταχθεί στην αδελφότητα μεθυσμένος. Έχοντας λάβει άρνηση, ο Κύλων αρχίζει να πολεμά τον Πυθαγόρα, εκμεταλλευόμενος τον εμπρησμό του σπιτιού του. Κατά τη διάρκεια της πυρκαγιάς, οι Πυθαγόρειοι έσωσαν τη ζωή του δασκάλου τους με το δικό τους κόστος, μετά την οποία ο Πυθαγόρας λυπήθηκε και σύντομα αυτοκτόνησε.

Προβολή όλων των διαφανειών

Ιστορία του θεωρήματος. Αρχαία Κίνα Ας ξεκινήσουμε την ιστορική μας αναδρομή με την αρχαία Κίνα. Εδώ το μαθηματικό βιβλίο Τσου-πέι προσελκύει ιδιαίτερη προσοχή. Αυτό το δοκίμιο μιλάει για το Πυθαγόρειο τρίγωνο με τις πλευρές 3, 4 και 5: Ας ξεκινήσουμε με την αρχαία Κίνα. Εδώ το μαθηματικό βιβλίο Τσου-πέι προσελκύει ιδιαίτερη προσοχή. Αυτό το έργο λέει αυτό για ένα Πυθαγόρειο τρίγωνο με πλευρές 3, 4 και 5: «Αν μια ορθή γωνία αποσυντεθεί στα συστατικά μέρη της, τότε η γραμμή που συνδέει τα άκρα των πλευρών της θα είναι 5, όταν η βάση είναι 3 και το ύψος είναι 4.” Στο ίδιο βιβλίο προτείνεται ένα σχέδιο που συμπίπτει με ένα από τα σχέδια της ινδουιστικής γεωμετρίας της Μπασάρα. Στο ίδιο βιβλίο προτείνεται ένα σχέδιο που συμπίπτει με ένα από τα σχέδια της ινδουιστικής γεωμετρίας της Μπασάρα.

Λίγο περισσότερα είναι γνωστά για το Πυθαγόρειο θεώρημα μεταξύ των Βαβυλωνίων. Σε ένα κείμενο που χρονολογείται στην εποχή του Χαμουραμπί, δηλαδή στο 2000 π.Χ. ε., δίνεται ένας κατά προσέγγιση υπολογισμός της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι στη Μεσοποταμία μπορούσαν να κάνουν υπολογισμούς με ορθογώνια τρίγωνα, τουλάχιστον σε ορισμένες περιπτώσεις. Η γεωμετρία μεταξύ των Ινδουιστών, όπως και μεταξύ των Αιγυπτίων και των Βαβυλωνίων, ήταν στενά συνδεδεμένη με τη λατρεία. Είναι πολύ πιθανό το θεώρημα για το τετράγωνο της υποτείνουσας να ήταν ήδη γνωστό στην Ινδία γύρω στον 18ο αιώνα π.Χ. μι. Αρχαία Ινδία

Ο Κάντορ (ο μεγαλύτερος Γερμανός ιστορικός των μαθηματικών) πιστεύει ότι η ισότητα: 3² + 4² = 5² ήταν ήδη γνωστή στους Αιγύπτιους γύρω στο 2300 π.Χ. ε., κατά την εποχή του βασιλιά Amenemhat I (σύμφωνα με τον πάπυρο 6619 του Μουσείου του Βερολίνου) Σύμφωνα με τον Cantor, οι αρπηδονάπτες ή οι «σχοιναγωγοί», κατασκεύαζαν ορθές γωνίες χρησιμοποιώντας ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές 3, 4 και 5. Η μέθοδος τους η κατασκευή μπορεί να αναπαραχθεί πολύ εύκολα. Ας πάρουμε ένα σκοινί μήκους 12 μέτρων και ας του δέσουμε μια χρωματιστή ρίγα σε απόσταση 3 μέτρων από τη μια άκρη και 4 μέτρων από την άλλη. Η ορθή γωνία θα περικλείεται μεταξύ των πλευρών μήκους 3 και 4 μέτρων.

Βασιζόμενος, αφενός, στο σημερινό επίπεδο γνώσεων για τα αιγυπτιακά και βαβυλωνιακά μαθηματικά και, αφετέρου, σε μια κριτική μελέτη των ελληνικών πηγών, ο Van der Waerden (Ολλανδός μαθηματικός) κατέληξε στο εξής συμπέρασμα: «Η αξία του Οι πρώτοι Έλληνες μαθηματικοί όπως ο Θαλής, ο Πυθαγόρας και οι Πυθαγόρειοι, δεν είναι η ανακάλυψη των μαθηματικών, αλλά η συστηματοποίηση και η αιτιολόγησή τους. Στα χέρια τους, υπολογιστικές συνταγές βασισμένες σε αόριστες ιδέες μετατράπηκαν σε ακριβή επιστήμη».

Ο μεγάλος επιστήμονας Πυθαγόρας γεννήθηκε γύρω στο 570 π.Χ. στο νησί της Σάμου. Ο πατέρας του Πυθαγόρα ήταν ο Μνέσαρχος, κόφτης πολύτιμων λίθων. Το όνομα της μητέρας του Πυθαγόρα είναι άγνωστο. Σύμφωνα με πολλές αρχαίες μαρτυρίες, το αγόρι που γεννήθηκε ήταν υπέροχα όμορφο και σύντομα έδειξε τις εξαιρετικές του ικανότητες. Ο Πυθαγόρας διατήρησε το πάθος του για τη μουσική και την ποίηση του μεγάλου Ομήρου σε όλη του τη ζωή. Σύντομα, η ανήσυχη φαντασία του νεαρού Πυθαγόρα στριμώχθηκε στη μικρή Σάμο και πήγε στη Μίλητο, όπου συνάντησε έναν άλλο επιστήμονα, τον Θαλή. Στη συνέχεια πηγαίνει ένα ταξίδι και αιχμαλωτίζεται από τον βασιλιά της Βαβυλώνας Κύρο. Το 530 π.Χ. Ο Κύρος ξεκίνησε μια εκστρατεία κατά των φυλών στην Κεντρική Ασία. Και, εκμεταλλευόμενος την ταραχή στην πόλη, ο Πυθαγόρας κατέφυγε στην πατρίδα του.

Και στη Σάμο τότε βασίλευε ο τύραννος Πολυκράτης. Μετά από αρκετούς μήνες αξιώσεων από τον Πολυκράτη, ο Πυθαγόρας μετακόμισε στον Κρότωνα. Στον Κρότωνα, ο Πυθαγόρας ίδρυσε κάτι σαν μια θρησκευτική-ηθική αδελφότητα ή ένα μυστικό μοναστικό τάγμα («Πυθαγόρειοι»), τα μέλη του οποίου δεσμεύτηκαν να ηγηθούν του λεγόμενου Πυθαγόρειου τρόπου ζωής... Πέρασαν 20 χρόνια. Η φήμη της αδελφότητας εξαπλώθηκε σε όλο τον κόσμο. Μια μέρα, ο Κύλων, ένας πλούσιος αλλά κακός άνθρωπος, έρχεται στον Πυθαγόρα, θέλοντας να ενταχθεί στην αδελφότητα μεθυσμένος. Έχοντας λάβει άρνηση, ο Κύλων αρχίζει να πολεμά τον Πυθαγόρα, εκμεταλλευόμενος τον εμπρησμό του σπιτιού του. Κατά τη διάρκεια της πυρκαγιάς, οι Πυθαγόρειοι έσωσαν τη ζωή του δασκάλου τους με το δικό τους κόστος, μετά την οποία ο Πυθαγόρας λυπήθηκε και σύντομα αυτοκτόνησε.

Πυθαγόρειο θεώρημα. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών. Άλλες διατυπώσεις του θεωρήματος. Το θεώρημα του Ευκλείδη αναφέρει (κυριολεκτική μετάφραση): «Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της πλευράς που εκτείνεται στη σωστή γωνία είναι ίσο με τα τετράγωνα των πλευρών που περικλείουν τη σωστή γωνία». Στο Geometria Culmonensis (περίπου 1400), η μετάφραση του θεωρήματος έχει ως εξής: «Το εμβαδόν ενός τετραγώνου, λοιπόν, μετρημένο κατά τη μεγάλη πλευρά του, είναι τόσο μεγάλο όσο αυτό των δύο τετραγώνων που μετρώνται κατά μήκος των δύο πλευρών του δίπλα σε μια δεξιά γωνία."

Η πιο απλή απόδειξη. Η απλούστερη απόδειξη του θεωρήματος προκύπτει στην απλούστερη περίπτωση ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου. Στην πραγματικότητα, αρκεί μόνο να δούμε το μωσαϊκό των ισοσκελές ορθογώνων τριγώνων για να πειστούμε για την εγκυρότητα του θεωρήματος. Για παράδειγμα, για το τρίγωνο ABC: το τετράγωνο που είναι κατασκευασμένο στην υποτείνουσα AC περιέχει 4 αρχικά τρίγωνα και τα τετράγωνα που είναι κατασκευασμένα στις πλευρές περιέχουν δύο.

Απόδειξη με μέθοδο αφαίρεσης. Ας δούμε μια άλλη απόδειξη χρησιμοποιώντας τη μέθοδο της αφαίρεσης. Ας περικλείσουμε το γνωστό σχέδιο του Πυθαγόρειου θεωρήματος σε ένα ορθογώνιο πλαίσιο, οι κατευθύνσεις των πλευρών του οποίου συμπίπτουν με τις κατευθύνσεις των σκελών του τριγώνου. Ας συνεχίσουμε μερικά από τα τμήματα του σχήματος όπως φαίνεται στο σχήμα, ενώ το ορθογώνιο χωρίζεται σε πολλά τρίγωνα, ορθογώνια και τετράγωνα. Ας αφαιρέσουμε πρώτα πολλά μέρη από το ορθογώνιο, ώστε να μείνει μόνο το τετράγωνο που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα. Αυτά τα μέρη είναι τα εξής: 1. τρίγωνα 1, 2, 3, 4; 2. ορθογώνιο 5; 3. ορθογώνιο 6 και τετράγωνο 8. 4. ορθογώνιο 7 και τετράγωνο 9;

Στη συνέχεια πετάμε τα μέρη από το παραλληλόγραμμο ώστε να μείνουν μόνο τα τετράγωνα που είναι χτισμένα στα πλαϊνά. Αυτά τα μέρη θα είναι: 1. ορθογώνια 6 και 7; 2. ορθογώνιο 5; 3. ορθογώνιο 1 (σκιασμένο); 4. ορθογώνιο 2 (σκιασμένο); Το μόνο που έχουμε να κάνουμε είναι να δείξουμε ότι τα αφαιρούμενα μέρη είναι ίσα σε μέγεθος. Αυτό είναι εύκολο να το δει κανείς λόγω της διάταξης των σχημάτων. Από το σχήμα είναι σαφές ότι: 1. Το ορθογώνιο 5 είναι ίσο σε μέγεθος με το ίδιο. 2. τέσσερα τρίγωνα 1,2,3,4 είναι ίσα σε μέγεθος με δύο ορθογώνια 6 και 7. 3. το ορθογώνιο 6 και το τετράγωνο 8, λαμβανόμενα μαζί, έχουν μέγεθος ίσο με το ορθογώνιο 1 (σκιασμένο); 4. Το ορθογώνιο 7 μαζί με το τετράγωνο 9 έχουν μέγεθος ίσο με το ορθογώνιο 2 (σκιασμένο). Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο

Η απόδειξη του Αϊνστάιν Τα σημεία E, C και F βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Αυτό προκύπτει από απλούς υπολογισμούς του βαθμού μέτρησης της γωνίας ECF (ξεδιπλώνεται). Το CD σχεδιάζεται κάθετα στο EF. Η αριστερή και η δεξιά πλευρά του τετραγώνου που είναι χτισμένη στην υποτείνουσα εκτείνονται προς τα πάνω μέχρι να τέμνονται με το EF. Η πλευρά EA επεκτείνεται μέχρι να τέμνεται με το CD. Αντίστοιχα, ίσα τρίγωνα είναι ίσα αριθμημένα.

Στην πραγματικότητα, τα τρίγωνα ABD και BFC είναι ίσα σε δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία: FB = AB, BC = BD, και οι γωνίες μεταξύ τους είναι ίσες ως αμβλείες γωνίες με αμοιβαία κάθετες πλευρές. S ABD = 0,5 S BJLD, αφού το τρίγωνο ABD και το ορθογώνιο BJLD έχουν κοινή βάση BD και κοινό ύψος LD. Ομοίως S FBC=0,5 S ABFH (BF-κοινή βάση, AB-κοινό ύψος). Επομένως, λαμβάνοντας υπόψη ότι S ABD= S FBC, έχουμε S BJLD= S ABFH. Ομοίως, εάν σχεδιάσετε το τμήμα AE χρησιμοποιώντας την ισότητα των τριγώνων ВСК και ACE, θα αποδείξετε ότι S JCEL = S ACKG. Άρα, S ABFH+ S ACKG= S BJLD+ S JCEL= S BCED, που ήταν αυτό που έπρεπε να αποδειχθεί. Αυτή η απόδειξη δόθηκε από τον Ευκλείδη στα Στοιχεία του. Σύμφωνα με τον Πρόκλο (Βυζάντιο), επινοήθηκε από τον ίδιο τον Ευκλείδη. Η απόδειξη του Ευκλείδη δίνεται στην πρόταση 47 του πρώτου βιβλίου των Στοιχείων. Στην υποτείνουσα και τα σκέλη του ορθογωνίου τριγώνου ABC κατασκευάζονται τα αντίστοιχα τετράγωνα και αποδεικνύεται ότι το ορθογώνιο BJLD είναι ίσο με το τετράγωνο ABFH και το παραλληλόγραμμο JCEL ίσο με το τετράγωνο AGKC. Τότε το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων στα πόδια θα είναι ίσο με το εμβαδόν του τετραγώνου στην υποτείνουσα.

Το δεύτερο μυστήριο είναι ο ακριβώς άγνωστος αριθμός αποδείξεων του περίφημου θεωρήματος του Πυθαγόρα της Σάμου. Γι' αυτόν τον λόγο αποφάσισα να πραγματοποιήσω μια κοινωνιολογική έρευνα, η οποία έδειξε ότι οι περισσότεροι άνθρωποι της παλαιότερης γενιάς συμφωνούν με την ύπαρξη 250 αποδείξεων, αν και γνωρίζω από πρόσθετες πηγές ότι υπάρχουν περισσότερες από 350 αποδείξεις αυτού του θεωρήματος, το οποίο είναι γιατί μπήκε ακόμη και στο βιβλίο των ρεκόρ Γκίνες! Αλλά, φυσικά, σχετικά λίγες βασικά διαφορετικές ιδέες χρησιμοποιούνται σε αυτές τις αποδείξεις.

Το τρίτο μυστικό είναι ότι το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι σύμβολο των μαθηματικών σήμερα. Το τέταρτο μυστικό - το Πυθαγόρειο θεώρημα - μας παρέχει ένα πλήθος υλικού για γενίκευση - το πιο σημαντικό είδος νοητικής δραστηριότητας, τη βάση της θεωρητικής σκέψης, την οποία πολλοί επιστήμονες γνωρίζουν άπταιστα. Εδώ μπορούμε να προσθέσουμε ότι από το Πυθαγόρειο θεώρημα μπορεί κανείς να προχωρήσει σε άλλα θεωρήματα.

Το πέμπτο μυστικό είναι ότι ορισμένοι ερευνητές αποδίδουν στον Πυθαγόρα την απόδειξη που έδωσε ο Ευκλείδης στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων του. Από την άλλη, ο Πρόκλος (μαθηματικός του 5ου αιώνα) υποστήριξε ότι η απόδειξη στα Στοιχεία ανήκε στον ίδιο τον Ευκλείδη. Αλλά και πάλι, σήμερα η μέθοδος απόδειξης του Πυθαγόρα παραμένει άγνωστη.

Το έκτο μυστικό είναι ο θρύλος για τον ίδιο τον Πυθαγόρα, τον άνθρωπο που απέδειξε πρώτος αυτό το θεώρημα. Υπάρχει ένας θρύλος ότι όταν ο Πυθαγόρας από τη Σάμο απέδειξε το θεώρημά του, ευχαρίστησε τους θεούς θυσιάζοντας 100 ταύρους. Υπήρχαν επίσης θρύλοι για τις υπνωτικές ικανότητες του επιστήμονα: σαν να μπορούσε να αλλάξει την κατεύθυνση πτήσης των πτηνών μόνο με το βλέμμα του. Είπαν επίσης ότι αυτός ο καταπληκτικός άνδρας εθεάθη ταυτόχρονα σε διαφορετικές πόλεις, μεταξύ των οποίων υπήρχαν αρκετές ημέρες ταξιδιού. Και ότι δήθεν είχε έναν «τροχό της τύχης», περιστρέφοντας τον οποίο όχι μόνο προέβλεψε το μέλλον, αλλά και παρενέβη, αν χρειαζόταν, στην εξέλιξη των γεγονότων.

Περιγραφή της παρουσίασης ανά μεμονωμένες διαφάνειες:

1 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

Καθηγήτρια Λυκείου στο KazGASA Auelbekova G.U. «Το Πυθαγόρειο θεώρημα και διάφοροι τρόποι απόδειξής του». 2016

2 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

ΣΚΟΠΟΣ: Ο κύριος στόχος είναι να δούμε τους διαφορετικούς τρόπους απόδειξης του Πυθαγόρειου Θεωρήματος. Δείξτε τι σημασία έχει το Πυθαγόρειο θεώρημα στην ανάπτυξη της επιστήμης και της τεχνολογίας, στα μαθηματικά γενικότερα.

3 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

Από τη βιογραφία του Πυθαγόρα Τα περισσότερα που γνωρίζει ο πληθυσμός για αυτόν τον σεβαστό αρχαίο Έλληνα χωρούν σε μια φράση: «Τα παντελόνια του Πυθαγόρα είναι ίσα από όλες τις πλευρές». Οι συντάκτες αυτού του πειράγματος χωρίζονται ξεκάθαρα κατά αιώνες από τον Πυθαγόρα, διαφορετικά δεν θα τολμούσαν να πειράξουν. Γιατί ο Πυθαγόρας δεν είναι καθόλου το τετράγωνο της υποτείνουσας, ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των ποδιών. Αυτός είναι ένας διάσημος φιλόσοφος. Ο Πυθαγόρας έζησε τον έκτο αιώνα π.Χ., είχε όμορφη εμφάνιση, φορούσε μακριά γενειάδα και ένα χρυσό διάδημα στο κεφάλι του. Ο Πυθαγόρας δεν είναι όνομα, αλλά προσωνύμιο που έλαβε ο φιλόσοφος γιατί μιλούσε πάντα σωστά και πειστικά, σαν ελληνικός χρησμός. (Πυθαγόρας - «πειθώς εκ λόγου.») Με τις ομιλίες του απέκτησε 2.000 μαθητές, οι οποίοι μαζί με τις οικογένειές τους σχημάτισαν ένα σχολείο-κράτος, όπου ίσχυαν οι νόμοι και οι κανόνες του Πυθαγόρα. Ήταν ο πρώτος που έδωσε όνομα στη δουλειά του. Η λέξη «φιλόσοφος», όπως και η λέξη «κόσμος», μας ήρθε από τον Πυθαγόρα. Υπάρχει πολύ κοσμικό στη φιλοσοφία του. Υποστήριξε ότι για να κατανοήσει κανείς τον Θεό, τον άνθρωπο και τη φύση, πρέπει να μελετήσει την άλγεβρα με γεωμετρία, μουσική και αστρονομία. Παρεμπιπτόντως, είναι το Πυθαγόρειο σύστημα γνώσης που λέγεται «μαθηματικά» στα ελληνικά. Όσο για το περιβόητο τρίγωνο με την υποτείνουσα και τα πόδια, αυτό, σύμφωνα με τον μεγάλο Έλληνα, είναι κάτι παραπάνω από γεωμετρικό σχήμα. Αυτό είναι το «κλειδί» για όλα τα κρυπτογραφημένα φαινόμενα της ζωής μας. Όλα στη φύση, είπε ο Πυθαγόρας, χωρίζονται σε τρία μέρη. Επομένως, πριν λύσετε οποιοδήποτε πρόβλημα, πρέπει να αναπαρασταθεί με τη μορφή τριγωνικού διαγράμματος. «Δείτε το τρίγωνο - και το πρόβλημα έχει λυθεί κατά τα δύο τρίτα».

4 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

Τώρα υπάρχουν τρεις διατυπώσεις του Πυθαγόρειου θεωρήματος: 1. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των σκελών. 2. Το εμβαδόν ενός τετραγώνου που χτίζεται στην υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα σκέλη. 3. Ένα τετράγωνο που χτίζεται στην υποτείνουσα ενός ορθογώνιου τριγώνου ισοδυναμεί με τετράγωνα χτισμένα στα σκέλη. Αντίστροφο Πυθαγόρειο θεώρημα: Για κάθε τριπλό θετικών αριθμών a, b και c έτσι ώστε a2 + b2 = c2, υπάρχει ένα ορθογώνιο τρίγωνο με σκέλη a και b και υποτείνουσα c. εσείς

5 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

Από την ιστορία του θεωρήματος Από την ιστορία του θεωρήματος Αυστηρά μιλώντας, αν και το θεώρημα ονομάζεται «Πυθαγόρειο θεώρημα», ο ίδιος ο Πυθαγόρας δεν το ανακάλυψε. Το ορθογώνιο τρίγωνο και οι ιδιότητές του μελετήθηκαν πολύ πριν από αυτό. Υπάρχουν δύο πολικές απόψεις για αυτό το θέμα. Σύμφωνα με μια εκδοχή, ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που βρήκε πλήρη απόδειξη του θεωρήματος. Σύμφωνα με άλλη, η απόδειξη δεν ανήκει στην πατρότητα του Πυθαγόρα. Σήμερα δεν μπορείτε πλέον να ελέγξετε ποιος έχει δίκιο και ποιος άδικο. Αυτό που είναι γνωστό είναι ότι η απόδειξη του Πυθαγόρα, αν υπήρξε ποτέ, δεν έχει διασωθεί. Ωστόσο, υπάρχουν προτάσεις ότι η περίφημη απόδειξη από τα Στοιχεία του Ευκλείδη μπορεί να ανήκει στον Πυθαγόρα και ο Ευκλείδης την κατέγραψε μόνο. Είναι επίσης γνωστό σήμερα ότι προβλήματα σχετικά με ένα ορθογώνιο τρίγωνο βρίσκονται σε αιγυπτιακές πηγές από την εποχή του Φαραώ Amenemhat I, σε πήλινες πινακίδες από τη Βαβυλωνία από τη βασιλεία του βασιλιά Hammurabi, στην αρχαία ινδική πραγματεία "Sulva Sutra" και στο αρχαίο κινεζικό έργο " Zhou-bi suan jin”. Όπως μπορούμε να δούμε, το Πυθαγόρειο θεώρημα απασχολούσε το μυαλό των μαθηματικών από την αρχαιότητα. Αυτό επιβεβαιώνεται από περίπου 500 διαφορετικά στοιχεία που υπάρχουν σήμερα. Σε αυτό, κανένα άλλο θεώρημα δεν μπορεί να το ανταγωνιστεί. Μεταξύ των διάσημων συγγραφέων των αποδείξεων μπορούμε να θυμηθούμε τον Λεονάρντο ντα Βίντσι και τον εικοστό Πρόεδρο των ΗΠΑ Τζέιμς Γκάρφιλντ. Όλα αυτά μιλούν για την εξαιρετική σημασία αυτού του θεωρήματος για τα μαθηματικά: τα περισσότερα από τα θεωρήματα της γεωμετρίας προέρχονται από αυτό ή συνδέονται με κάποιο τρόπο με αυτό. .

6 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

Διατυπώσεις Δηλώσεις του θεωρήματος μεταφρασμένες από ελληνικά, λατινικά και γερμανικά Στον Ευκλείδη, αυτό το θεώρημα δηλώνει (κυριολεκτική μετάφραση): «Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο της πλευράς που εκτείνεται στη σωστή γωνία είναι ίσο με τα τετράγωνα στις πλευρές που περικλείουν τη σωστή γωνία .» Η λατινική μετάφραση του αραβικού κειμένου Annairitsi (περίπου 900 π.Χ.), που έγινε από τον Gerhard of Clemons (αρχές 12ου αιώνα), μεταφρασμένη στα ρωσικά λέει: «Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο που σχηματίζεται στην πλευρά που εκτείνεται στη σωστή γωνία είναι ίσο με το άθροισμα δύο τετραγώνων που σχηματίζονται σε δύο πλευρές που περικλείουν μια ορθή γωνία». Στο Geometria Culmonensis (περίπου 1400), η μετάφραση του θεωρήματος έχει ως εξής: «Το εμβαδόν ενός τετραγώνου, λοιπόν, μετρημένο κατά τη μεγάλη πλευρά του, είναι τόσο μεγάλο όσο αυτό των δύο τετραγώνων που μετρώνται κατά μήκος των δύο πλευρών του δίπλα σε μια δεξιά γωνία." Στην πρώτη ρωσική μετάφραση των Euclidean Elements, που έγινε από τον F. I. Petrushevsky, το θεώρημα του Πυθαγόρα δηλώνεται ως εξής: «Στα ορθογώνια τρίγωνα, το τετράγωνο της πλευράς απέναντι από τη ορθή γωνία είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των πλευρών που περιέχουν το δικαίωμα γωνία."

7 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

Η κατασκευή που χρησιμοποιείται για την απόδειξη είναι η εξής: για ένα ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία, τετράγωνα πάνω από τα σκέλη και και ένα τετράγωνο πάνω από την υποτείνουσα, κατασκευάζονται ένα υψόμετρο και μια ακτίνα που το εκτείνεται, χωρίζοντας το τετράγωνο πάνω από την υποτείνουσα σε δύο ορθογώνια και. Η απόδειξη στοχεύει στον καθορισμό της ισότητας των εμβαδών του ορθογωνίου με το τετράγωνο πάνω από το σκέλος, την ισότητα των εμβαδών του δεύτερου παραλληλογράμμου που αποτελεί το τετράγωνο με την υποτείνουσα και το ορθογώνιο πάνω από το άλλο σκέλος με παρόμοιο τρόπο. Η ισότητα των εμβαδών του ορθογωνίου καθορίζεται μέσω της ευθυγράμμισης των τριγώνων και, το εμβαδόν καθενός από τα οποία είναι ίσο με το μισό του εμβαδού των τετραγώνων και, κατά συνέπεια, σε σχέση με την ακόλουθη ιδιότητα: το εμβαδόν του τριγώνου είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του παραλληλογράμμου αν τα σχήματα έχουν κοινή πλευρά και το ύψος του τριγώνου προς την κοινή πλευρά είναι η άλλη πλευρά του ορθογωνίου. Η ευθυγράμμιση των τριγώνων προκύπτει από την ισότητα των δύο πλευρών (πλευρές τετραγώνων) και τη μεταξύ τους γωνία (που αποτελείται από ορθή γωνία και γωνία κατά. Έτσι, η απόδειξη καθορίζει ότι το εμβαδόν ενός τετραγώνου πάνω από την υποτείνουσα, που αποτελείται από των ορθογωνίων και, ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων πάνω από τα σκέλη ΑΠΛΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

8 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

AJ είναι το ύψος που χαμηλώνει στην υποτείνουσα. Ας αποδείξουμε ότι η συνέχειά του χωρίζει το τετράγωνο που είναι χτισμένο στην υποτείνουσα σε δύο ορθογώνια, τα εμβαδά των οποίων είναι ίσα με τα εμβαδά των αντίστοιχων Τετράγωνων που είναι χτισμένα στις πλευρές. Ας αποδείξουμε ότι το ορθογώνιο BJLD είναι ίσο σε μέγεθος με το τετράγωνο ABFH. Τρίγωνο ABD=BFC (σε δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία BF=AB; BC=BD; γωνία FBC=γωνία ABD).

Διαφάνεια 9

Περιγραφή διαφάνειας:

S τρίγωνο ABD=1/2 S ορθογώνιο BJLD, επειδή Το τρίγωνο ABD και το ορθογώνιο BJLD έχουν κοινή βάση BD και κοινό ύψος LD. ΟΜΟΙΩΣ, S τρίγωνο FBC=1/2 S ορθογώνιο ABFH(BF-κοινή βάση, AB-κοινό ύψος). Επομένως, λαμβάνοντας υπόψη ότι S τριγώνου ABD =S τριγώνου FBC, έχουμε: S BJLD=S ABFH. Ομοίως, χρησιμοποιώντας την ισότητα των τριγώνων BCK και ACE, αποδεικνύεται ότι S JCEL=S ACKG. S ABFH+S ACKJ=S BJLD+ S JCEL=S BCED. Τρίγωνο S=1/2AB x BD=1/2LD x BD=1/2 S BJLD Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο. Α Λ Β Δ

10 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

Η απόδειξη του Ινδού μαθηματικού Bhaskari a in c in a - in in c Bhaskari είναι η εξής: εκφράστε το εμβαδόν του τετραγώνου που χτίζεται στην υποτείνουσα (c ²) ως το άθροισμα των εμβαδών των τριγώνων (4S = 4· 0,5 α β) και το εμβαδόν του τετραγώνου (a – c) ². Δηλαδή, αποδεικνύεται ότι c ² = 4 · 0,5 a b + (a – c) ² c ² = 2 a b + a ² - 2 a b + b ² c ² = a ² + b ² Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

11 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

Η απόδειξη του Waldheim a b c a b c Ο Waldheim χρησιμοποιεί το γεγονός ότι το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσο με το μισό γινόμενο των ποδιών του και το εμβαδόν ενός τραπεζοειδούς είναι ίσο με το γινόμενο του μισού του αθροίσματος των παράλληλων βάσεων και του ύψους του . Τώρα, για να αποδείξουμε το θεώρημα, αρκεί μόνο να εκφράσουμε το εμβαδόν του τραπεζοειδούς με δύο τρόπους S τραπεζοειδές = 0,5(a + b) (a + b) = 0,5 (a + b) ² S τραπεζοειδές = 0,5 a b + 0, 5 a b + 0,5 c ² Εξισώνοντας τις δεξιές πλευρές, παίρνουμε 0,5 (a + b) ² = 0,5 a b + 0,5 a b + 0,5 c ² (a + b) ² = a b + а в + с ² а ² + 2 α σε + σε ² = 2 α σε + σ ² σ ² = α ² + σε ² Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο

12 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

Η απόδειξη του Hawkins A B C A1 B1 a c D c a c 1. Ας περιστρέψουμε το ορθογώνιο ΔABC (με ορθή γωνία C) γύρω από το κέντρο στο σημείο C κατά 90º έτσι ώστε να πάρει τη θέση A1 B1 C, όπως φαίνεται στο σχήμα. 2. Ας συνεχίσουμε την υποτείνουσα B1 A1 πέρα ​​από το σημείο A1 έως ότου τέμνεται με την ευθεία AB στο σημείο D. Το τμήμα B1 D θα έχει ύψος ∆B1AB (αφού ∟B1DA = 90º). 3. Θεωρήστε το τετράπλευρο A1AB1B. Αφενός, SА1АВ1В = SАА1 + SСВВ1 =0,5в · в + 0,5а · α=0,5(a² + v²) Από την άλλη πλευρά, SA1АВ1В = SA1ВВ1 + SАА1В1 = 0,5 s · ВД + 0,5 s · 5 AD = = 0. · s ·(AD + VD) = 0,5 · s² Εξισώνοντας τις παραστάσεις που προκύπτουν, λαμβάνουμε 0,5 (a² + b²) = 0,5 c² a² + b² = c² Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο.

Διαφάνεια 13

Περιγραφή διαφάνειας:

Γεωμετρική απόδειξη. (Μέθοδος Hoffmann) Κατασκευάστε τρίγωνο ABC με ορθή γωνία C. Κατασκευάστε BF=CB, BFCB Κατασκευάστε BE=AB, BEAB Κατασκευάστε AD=AC, ADAC Τα σημεία F, C, D ανήκουν στην ίδια ευθεία.

Διαφάνεια 14

Περιγραφή διαφάνειας:

Όπως βλέπουμε, τα τετράπλευρα ADFB και ACBE είναι ίσα σε μέγεθος, γιατί ABF=ΕΚΤ. Τα τρίγωνα ADF και ACE είναι ίσα σε μέγεθος. Ας αφαιρέσουμε το τρίγωνο ΑΒΓ που μοιράζονται και από τα δύο ίσα τετράπλευρα και παίρνουμε: 1/2a2+1/2b 2=1/2c 2 Συνεπώς: a2+ b 2 =c 2 Το θεώρημα αποδεικνύεται.

15 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

Αλγεβρική απόδειξη (μέθοδος Möhlmann) Το εμβαδόν ενός δεδομένου ορθογωνίου στη μία πλευρά είναι 0,5ab, στην άλλη 0,5pr, όπου p είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου, r είναι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου (r=0,5 (α+β-γ)). ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ

16 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

Έχουμε: 0,5ab=0,5pr=0,5(a+b+c)*0,5(a+b-c) Από αυτό προκύπτει ότι c2= a2+b2 Το θεώρημα είναι αποδεδειγμένο. ΜΕΤΑ ΧΡΙΣΤΟΝ

Διαφάνεια 17

Περιγραφή διαφάνειας:

Η έννοια του Πυθαγόρειου Θεωρήματος Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι δικαίως ένα από τα κύρια θεωρήματα των μαθηματικών. Η σημασία αυτού του θεωρήματος είναι ότι με τη βοήθειά του μπορεί κανείς να εξαγάγει τα περισσότερα από τα θεωρήματα στη γεωμετρία. Μεγάλη είναι και η αξία του στον σύγχρονο κόσμο, αφού το Πυθαγόρειο θεώρημα χρησιμοποιείται σε πολλούς κλάδους της ανθρώπινης δραστηριότητας. Για παράδειγμα, χρησιμοποιείται στην τοποθέτηση αλεξικέραυνων σε στέγες κτιρίων, στην παραγωγή παραθύρων ορισμένων αρχιτεκτονικών στυλ, ακόμη και στον υπολογισμό του ύψους των κεραιών των φορέων εκμετάλλευσης κινητής τηλεφωνίας. Και αυτή δεν είναι ολόκληρη η λίστα των πρακτικών εφαρμογών αυτού του θεωρήματος. Γι' αυτό είναι πολύ σημαντικό να γνωρίζουμε το Πυθαγόρειο θεώρημα και να κατανοούμε το νόημά του.

18 διαφάνεια

Περιγραφή διαφάνειας:

Πυθαγόρειο θεώρημα στη λογοτεχνία. Ο Πυθαγόρας δεν είναι μόνο ένας μεγάλος μαθηματικός, αλλά και ένας μεγάλος στοχαστής της εποχής του.Ας γνωρίσουμε μερικές από τις φιλοσοφικές του δηλώσεις...

Διαφάνεια 19

Περιγραφή διαφάνειας:

1. Η σκέψη είναι πάνω από όλα μεταξύ των ανθρώπων στη γη. 2. Μην κάθεστε σε μεζούρα σιτηρών (δηλαδή, μην μένετε άπραγοι). 3. Όταν φεύγετε, μην κοιτάτε πίσω (δηλαδή, πριν από το θάνατο, μην κολλάτε στη ζωή). 4. Μην βαδίζετε στο τρελό μονοπάτι (δηλαδή, μην ακολουθείτε τις απόψεις του πλήθους, αλλά τις απόψεις των λίγων που καταλαβαίνουν). 5. Μην κρατάτε χελιδόνια στο σπίτι σας (δηλαδή, μην δέχεστε επισκέπτες που είναι ομιλητικοί ή ασυγκράτητοι στη γλώσσα τους). 6. Να είστε με εκείνους που επωμίζονται το βάρος, μην είστε με εκείνους που απορρίπτουν το βάρος (δηλαδή, να ενθαρρύνετε τους ανθρώπους όχι στην αδράνεια, αλλά στην αρετή, στην εργασία). 7. Μην φοράτε εικόνες στο ρινγκ (δηλαδή, μην καμαρώνετε μπροστά στους ανθρώπους πώς κρίνετε και σκέφτεστε για τους θεούς).

Τσερνόφ Μαξίμ

Ένα έργο για τη γεωμετρία, σχεδιασμένο σε μορφή παρουσίασης με θέμα "Πυθαγόρειο Θεώρημα και διάφορες μέθοδοι απόδειξής του"

Κατεβάστε:

Προεπισκόπηση:

Για να χρησιμοποιήσετε προεπισκοπήσεις παρουσίασης, δημιουργήστε έναν λογαριασμό Google και συνδεθείτε σε αυτόν: https://accounts.google.com

Λεζάντες διαφάνειας:

Το Πυθαγόρειο θεώρημα και διάφορες μέθοδοι απόδειξής του Ολοκληρώθηκε από: Chernov Maxim 8A

Στόχος του έργου: Να παρουσιαστεί το Πυθαγόρειο θεώρημα και να παρουσιαστούν διαφορετικοί τρόποι απόδειξής του.

Ιστορία Το αρχαίο κινεζικό βιβλίο Zhou Bi Xuan Jing μιλά για ένα Πυθαγόρειο τρίγωνο με πλευρές 3, 4 και 5. Το ίδιο βιβλίο προσφέρει ένα σχέδιο που συμπίπτει με ένα από τα σχέδια της ινδουιστικής γεωμετρίας του Bashara. Ο Moritz Cantor (ο κορυφαίος Γερμανός ιστορικός των μαθηματικών) πιστεύει ότι η ισότητα 3² + 4² = 5² ήταν ήδη γνωστή στους Αιγύπτιους γύρω στο 2300 π.Χ., την εποχή του βασιλιά Amenemhat I (σύμφωνα με τον πάπυρο 6619 του Μουσείου του Βερολίνου). Σύμφωνα με τον Κάντορ, οι αρπηδονάπτες, ή οι «σχοιναγωγοί», κατασκεύαζαν ορθές γωνίες χρησιμοποιώντας ορθογώνια τρίγωνα με πλευρές 3, 4 και 5. Η μέθοδος κατασκευής τους μπορεί να αναπαραχθεί πολύ εύκολα. Ας πάρουμε ένα σχοινί μήκους 12 μ. και δέσουμε σε αυτό μια χρωματιστή λωρίδα σε απόσταση 3 μέτρων από τη μία άκρη και 4 μέτρων από την άλλη. Η σωστή γωνία θα είναι μεταξύ των πλευρών μήκους 3 και 4 μέτρων. Θα μπορούσε να αντιταχθεί στους Αρπηδονάπτες ότι ο τρόπος κατασκευής τους καθίσταται περιττός αν χρησιμοποιήσει, για παράδειγμα, ένα ξύλινο τετράγωνο, το οποίο χρησιμοποιούν όλοι οι ξυλουργοί. Πράγματι, είναι γνωστά αιγυπτιακά σχέδια στα οποία βρίσκεται ένα τέτοιο εργαλείο, για παράδειγμα, σχέδια που απεικονίζουν ένα ξυλουργείο. Λίγο περισσότερα είναι γνωστά για το Πυθαγόρειο θεώρημα μεταξύ των Βαβυλωνίων. Ένα κείμενο που χρονολογείται από την εποχή του Χαμουραμπί, δηλαδή το 2000 π.Χ., δίνει έναν κατά προσέγγιση υπολογισμό της υποτείνουσας ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου. Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι στη Μεσοποταμία μπορούσαν να κάνουν υπολογισμούς με ορθογώνια τρίγωνα, τουλάχιστον σε ορισμένες περιπτώσεις. Βασισμένος, αφενός, στο τρέχον επίπεδο γνώσης για τα αιγυπτιακά και βαβυλωνιακά μαθηματικά και, αφετέρου, σε μια κριτική μελέτη ελληνικών πηγών, ο Van der Varden (Ολλανδός μαθηματικός) κατέληξε στο συμπέρασμα ότι υπήρχε μεγάλη πιθανότητα το θεώρημα στο τετράγωνο της υποτείνουσας ήταν γνωστό στη Βαβυλώνα ήδη γύρω στον 18ο αιώνα π.Χ. μι. Σύμφωνα με το σχόλιο του Πρόκλου για τον Ευκλείδη, ο Πυθαγόρας (του οποίου τα χρόνια θεωρούνται γενικά το 570-490 π.Χ.) χρησιμοποίησε αλγεβρικές μεθόδους για να βρει πυθαγόρεια τρίδυμα. Ωστόσο, ο Πρόκλος έγραψε μεταξύ 410 και 485. n. μι. Ο Thomas Little Heath πίστευε ότι δεν υπάρχει ρητή αναφορά, που χρονολογείται στους 5 αιώνες μετά τον θάνατο του Πυθαγόρα, ότι ο Πυθαγόρας ήταν ο συγγραφέας του θεωρήματος. Ωστόσο, όταν συγγραφείς όπως ο Πλούταρχος και ο Κικέρων γράφουν για το Πυθαγόρειο θεώρημα, γράφουν σαν να ήταν ευρέως γνωστή και αναμφισβήτητη η πατρότητα του Πυθαγόρα. την περίοδο των Πυθαγορείων μαθηματικών». Σύμφωνα με το μύθο, ο Πυθαγόρας γιόρτασε την ανακάλυψη του θεωρήματός του με μια γιγαντιαία γιορτή, σφάζοντας εκατό ταύρους για να γιορτάσει. Γύρω στο 400 π.Χ. π.Χ., σύμφωνα με τον Πρόκλο, ο Πλάτων έδωσε μια μέθοδο για την εύρεση Πυθαγόρειων τριδύμων, συνδυάζοντας άλγεβρα και γεωμετρία. Γύρω στο 300 π.Χ. μι. η αρχαιότερη αξιωματική απόδειξη του Πυθαγόρειου θεωρήματος εμφανίστηκε στα Στοιχεία του Ευκλείδη.

Διατυπώσεις: Γεωμετρική διατύπωση: Αρχικά, το θεώρημα διατυπώθηκε ως εξής: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το εμβαδόν του τετραγώνου που χτίζεται στην υποτείνουσα είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα σκέλη. Αλγεβρική διατύπωση: Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του μήκους της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των μηκών των σκελών. Δηλαδή, δηλώνοντας το μήκος της υποτείνουσας του τριγώνου με, και τα μήκη των σκελών με a και b: a2+b2=c2 Και οι δύο διατυπώσεις του θεωρήματος είναι ισοδύναμες, αλλά η δεύτερη διατύπωση είναι πιο στοιχειώδης, δεν απαιτεί την έννοια της περιοχής. Δηλαδή, η δεύτερη πρόταση μπορεί να επαληθευτεί χωρίς να γνωρίζουμε τίποτα για το εμβαδόν και μετρώντας μόνο τα μήκη των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου.

Αποδείξεις Επί του παρόντος, 367 αποδείξεις αυτού του θεωρήματος έχουν καταγραφεί στην επιστημονική βιβλιογραφία. Πιθανώς, το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι το μόνο θεώρημα με τόσο εντυπωσιακό αριθμό αποδείξεων. Μια τέτοια ποικιλομορφία μπορεί να εξηγηθεί μόνο από τη θεμελιώδη σημασία του θεωρήματος για τη γεωμετρία. Φυσικά, εννοιολογικά όλα μπορούν να χωριστούν σε μικρό αριθμό τάξεων. Οι πιο διάσημες από αυτές: αποδείξεις με τη μέθοδο της περιοχής, αξιωματικές και εξωτικές αποδείξεις (για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας διαφορικές εξισώσεις).

Μέσα από παρόμοια τρίγωνα Η παρακάτω απόδειξη της αλγεβρικής διατύπωσης είναι η απλούστερη από τις αποδείξεις που κατασκευάζονται απευθείας από τα αξιώματα. Συγκεκριμένα, δεν χρησιμοποιεί την έννοια του εμβαδού μιας φιγούρας. Έστω ABC ορθογώνιο τρίγωνο με ορθή γωνία C. Ας τραβήξουμε το ύψος από το C και ας συμβολίσουμε τη βάση του με το H. Το τρίγωνο ACH είναι παρόμοιο με το τρίγωνο ABC σε δύο γωνίες. Ομοίως, το τρίγωνο CBH είναι παρόμοιο με το ABC. Εισάγοντας τον συμβολισμό παίρνουμε Τι είναι ισοδύναμο Πρόσθεση, παίρνουμε ή, που χρειαζόμασταν για να αποδείξουμε

Αποδείξεις με τη μέθοδο της περιοχής Οι παρακάτω αποδείξεις, παρά τη φαινομενική απλότητά τους, δεν είναι καθόλου τόσο απλές. Όλα χρησιμοποιούν τις ιδιότητες του εμβαδού, η απόδειξη του οποίου είναι πιο σύνθετη από την απόδειξη του ίδιου του Πυθαγόρειου Θεωρήματος Απόδειξη μέσω ισοσυμπληρωματικότητας Ας τακτοποιήσουμε τέσσερα ίσα ορθογώνια τρίγωνα όπως φαίνεται στο σχήμα 1. Ένα τετράπλευρο με πλευρές c είναι τετράγωνο, αφού το άθροισμα δύο οξειών γωνιών είναι 90° και μιας ευθείας γωνίας είναι 180°. Το εμβαδόν ολόκληρου του σχήματος είναι ίσο, αφενός, με το εμβαδόν ενός τετραγώνου με πλευρά (a + b) και, αφετέρου, με το άθροισμα των εμβαδών των τεσσάρων τριγώνων και του περιοχή της εσωτερικής πλατείας. Q.E.D. .

Η απόδειξη του Ευκλείδη Η ιδέα της απόδειξης του Ευκλείδη είναι η εξής: ας προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι το μισό εμβαδόν του τετραγώνου που χτίζεται στην υποτείνουσα είναι ίσο με το άθροισμα των μισών εμβαδών των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα πόδια, και στη συνέχεια το Τα εμβαδά του μεγάλου και δύο μικρών τετραγώνων είναι ίσα. Ας δούμε το σχέδιο στα αριστερά. Πάνω του κατασκευάσαμε τετράγωνα στις πλευρές ενός ορθογωνίου τριγώνου και σχεδιάσαμε μια ακτίνα s από την κορυφή της ορθής γωνίας C κάθετη στην υποτείνουσα AB, κόβει το τετράγωνο ABIK, χτισμένο στην υποτείνουσα, σε δύο ορθογώνια - BHJI και HAKJ, αντίστοιχα. Αποδεικνύεται ότι τα εμβαδά αυτών των ορθογωνίων είναι ακριβώς ίσα με τα εμβαδά των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα αντίστοιχα σκέλη. Ας προσπαθήσουμε να αποδείξουμε ότι το εμβαδόν του τετραγώνου DECA είναι ίσο με το εμβαδόν του ορθογωνίου AHJK. Για να το κάνουμε αυτό, θα χρησιμοποιήσουμε μια βοηθητική παρατήρηση: Το εμβαδόν ενός τριγώνου με το ίδιο ύψος και βάση με το δεδομένο ορθογώνιο είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του δεδομένου ορθογωνίου. Αυτό είναι συνέπεια του ορισμού του εμβαδού ενός τριγώνου ως το μισό του γινόμενου της βάσης και του ύψους. Από αυτή την παρατήρηση προκύπτει ότι το εμβαδόν του τριγώνου ACK είναι ίσο με το εμβαδόν του τριγώνου AHK (δεν φαίνεται στο σχήμα), το οποίο με τη σειρά του είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του ορθογωνίου AHJK. Ας αποδείξουμε τώρα ότι το εμβαδόν του τριγώνου ACK είναι επίσης ίσο με το μισό του εμβαδού του τετραγώνου DECA. Το μόνο πράγμα που πρέπει να γίνει για αυτό είναι να αποδειχθεί η ισότητα των τριγώνων ACK και BDA (καθώς το εμβαδόν του τριγώνου BDA είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του τετραγώνου σύμφωνα με την παραπάνω ιδιότητα). Αυτή η ισότητα είναι προφανής: τα τρίγωνα είναι ίσα και στις δύο πλευρές και η μεταξύ τους γωνία. Δηλαδή - AB=AK, AD=AC - η ισότητα των γωνιών CAK και BAD είναι εύκολο να αποδειχθεί με τη μέθοδο της κίνησης: περιστρέφουμε το τρίγωνο CAK 90° αριστερόστροφα, τότε είναι προφανές ότι οι αντίστοιχες πλευρές των δύο τριγώνων σε η ερώτηση θα συμπέσει (λόγω του γεγονότος ότι η γωνία στην κορυφή του τετραγώνου είναι 90°). Το σκεπτικό για την ισότητα των εμβαδών του τετραγώνου BCFG και του ορθογωνίου BHJI είναι εντελώς παρόμοιο. Έτσι, αποδείξαμε ότι το εμβαδόν ενός τετραγώνου που χτίζεται στην υποτείνουσα αποτελείται από τα εμβαδά των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα πόδια. Η ιδέα πίσω από αυτήν την απόδειξη διευκρινίζεται περαιτέρω από το παραπάνω animation. Αυτή η απόδειξη ονομάζεται επίσης «Πυθαγόρειο παντελόνι».

Η απόδειξη του Λεονάρντο ντα Βίντσι Τα κύρια στοιχεία της απόδειξης είναι η συμμετρία και η κίνηση. Ας εξετάσουμε το σχέδιο, όπως φαίνεται από τη συμμετρία, το τμήμα κόβει το τετράγωνο σε δύο πανομοιότυπα μέρη (καθώς τα τρίγωνα είναι ίσα στην κατασκευή). Χρησιμοποιώντας μια αριστερόστροφη περιστροφή 90 μοιρών γύρω από το σημείο, βλέπουμε την ισότητα των σκιασμένων σχημάτων και. Τώρα είναι σαφές ότι το εμβαδόν του σχήματος που έχουμε σκιάσει είναι ίσο με το άθροισμα των μισών εμβαδών των μικρών τετραγώνων (χτισμένα στα πόδια) και του εμβαδού του αρχικού τριγώνου. Από την άλλη πλευρά, είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του μεγάλου τετραγώνου (χτισμένο στην υποτείνουσα) συν το εμβαδόν του αρχικού τριγώνου. Έτσι, το μισό άθροισμα των εμβαδών των μικρών τετραγώνων είναι ίσο με το μισό του εμβαδού του μεγάλου τετραγώνου και επομένως το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων που είναι χτισμένα στα πόδια είναι ίσο με το εμβαδόν του τετραγώνου που είναι χτισμένο στο υποτείνουσα.

Η έννοια του Πυθαγόρειου Θεωρήματος Το Πυθαγόρειο θεώρημα είναι ένα από τα κύρια και, θα έλεγε κανείς, το πιο σημαντικό θεώρημα της γεωμετρίας. Η σημασία του έγκειται στο γεγονός ότι τα περισσότερα από τα θεωρήματα της γεωμετρίας μπορούν να συναχθούν από αυτό ή με τη βοήθειά του.

Σας ευχαριστώ για την προσοχή σας!