Agar vektorlar chiziqli bog'liq bo'lsa. Vektorlarning chiziqli bog'liqligi

Vektorlarning chiziqli bog'liqligi va chiziqli mustaqilligi.
Vektorlar asoslari. Affin koordinata tizimi

Auditoriyada shokoladli arava bor va bugun har bir tashrif buyuruvchi shirin juftlik – chiziqli algebra bilan analitik geometriyani oladi. Ushbu maqola bir vaqtning o'zida oliy matematikaning ikkita bo'limiga to'xtalib o'tadi va biz ular bir o'ramda qanday birga mavjudligini ko'rib chiqamiz. Tanaffus qiling, Twix yeying! ...Jin ursin, qanaqa safsata. Garchi, yaxshi, men gol urmayman, oxir-oqibat, siz o'qishga ijobiy munosabatda bo'lishingiz kerak.

Vektorlarning chiziqli bog'liqligi, chiziqli vektor mustaqilligi, vektorlar asosi va boshqa atamalar nafaqat geometrik talqinga, balki, birinchi navbatda, algebraik ma'noga ega. Chiziqli algebra nuqtai nazaridan "vektor" tushunchasi har doim ham biz tekislikda yoki kosmosda tasvirlashimiz mumkin bo'lgan "oddiy" vektor emas. Dalil izlashning hojati yo'q, besh o'lchovli fazoning vektorini chizishga harakat qiling . Yoki men Gismeteo-ga borgan ob-havo vektori: mos ravishda harorat va atmosfera bosimi. Misol, albatta, vektor fazosining xususiyatlari nuqtai nazaridan noto'g'ri, ammo shunga qaramay, hech kim bu parametrlarni vektor sifatida rasmiylashtirishni taqiqlamaydi. Kuz nafasi...

Yo'q, men sizni nazariya, chiziqli vektor bo'shliqlari bilan zeriktirmoqchi emasman, vazifa shu tushunish ta'riflar va teoremalar. Yangi atamalar (chiziqli bog'liqlik, mustaqillik, chiziqli birikma, bazis va boshqalar) algebraik nuqtai nazardan barcha vektorlarga tegishli, ammo geometrik misollar keltiriladi. Shunday qilib, hamma narsa sodda, tushunarli va tushunarli. Analitik geometriya masalalari bilan bir qatorda biz ba'zi tipik algebra masalalarini ham ko'rib chiqamiz. Materialni o'zlashtirish uchun darslar bilan tanishish tavsiya etiladi Dummies uchun vektorlar Va Determinantni qanday hisoblash mumkin?

Tekis vektorlarning chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi.
Tekislik asosi va afin koordinatalar tizimi

Keling, kompyuter stolining tekisligini ko'rib chiqaylik (shunchaki stol, choyshab, pol, ship, sizga yoqadigan narsa). Vazifa quyidagi harakatlardan iborat bo'ladi:

1) Samolyot asosini tanlang. Taxminan aytganda, stol usti uzunligi va kengligiga ega, shuning uchun asosni qurish uchun ikkita vektor kerak bo'lishi intuitivdir. Bitta vektor etarli emas, uchta vektor juda ko'p.

2) Tanlangan asosga asoslanadi koordinatalar tizimini o'rnatish(koordinatalar panjarasi) jadvaldagi barcha ob'ektlarga koordinatalarni belgilash uchun.

Hayron bo'lmang, dastlab tushuntirishlar barmoqlarda bo'ladi. Bundan tashqari, sizniki. Iltimos, joylashtiring chap ko'rsatkich barmog'i stol usti chetida, shunda u monitorga qaraydi. Bu vektor bo'ladi. Endi joy o'ng kichik barmoq stolning chetida xuddi shu tarzda - monitor ekraniga yo'naltirilgan bo'lishi uchun. Bu vektor bo'ladi. Tabassum qiling, siz ajoyib ko'rinasiz! Vektorlar haqida nima deyishimiz mumkin? Ma'lumotlar vektorlari kollinear, bu degani chiziqli bir-biri orqali ifodalanadi:
, yaxshi yoki aksincha: , bu yerda qandaydir son noldan farq qiladi.

Ushbu harakatning rasmini sinfda ko'rishingiz mumkin. Dummies uchun vektorlar, bu erda vektorni songa ko'paytirish qoidasini tushuntirdim.

Barmoqlaringiz kompyuter stolining tekisligiga asos soladimi? Shubhasiz. Kollinear vektorlar bo'ylab oldinga va orqaga harakatlanadi yolg'iz yo'nalish va tekislikning uzunligi va kengligi bor.

Bunday vektorlar deyiladi chiziqli bog'liq.

Malumot: "Chiziqli", "chiziqli" so'zlari matematik tenglamalar va ifodalarda kvadratlar, kublar, boshqa darajalar, logarifmlar, sinuslar va boshqalar mavjud emasligini anglatadi. Faqat chiziqli (1-darajali) ifodalar va bog'liqliklar mavjud.

Ikki tekis vektor chiziqli bog'liq agar ular kollinear bo'lsa.

Barmoqlaringizni stol ustida kesib o'ting, shunda ular o'rtasida 0 yoki 180 darajadan boshqa burchak bo'lsin. Ikki tekis vektorchiziqli Yo'q agar ular o'zaro bog'liq bo'lmasa, bog'liq. Shunday qilib, asos olinadi. Asos turli uzunlikdagi perpendikulyar bo'lmagan vektorlar bilan "qiyshiq" bo'lib chiqqanidan xijolat bo'lishning hojati yo'q. Tez orada biz uni qurish uchun nafaqat 90 graduslik burchak, balki teng uzunlikdagi birlik vektorlari ham mos kelishini ko'ramiz.

Har qanday tekislik vektori yagona yo'l asosida kengaytiriladi:
, haqiqiy sonlar qayerda. Raqamlar chaqiriladi vektor koordinatalari shu asosda.

Bu ham aytiladi vektorsifatida taqdim etilgan chiziqli birikma bazis vektorlari. Ya'ni, ifoda deyiladi vektor parchalanishiasosida yoki chiziqli birikma bazis vektorlari.

Masalan, vektor tekislikning ortonormal asosi bo'ylab parchalanadi yoki vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanadi, deyishimiz mumkin.

Keling, shakllantiraylik asosning ta'rifi rasmiy ravishda: Samolyotning asosi chiziqli mustaqil (kollinear bo'lmagan) vektorlar juftligi deyiladi, , unda har qanday tekislik vektori bazis vektorlarining chiziqli birikmasidir.

Ta'rifning muhim nuqtasi - vektorlarning olinishi ma'lum bir tartibda. Bazalar - bu ikkita butunlay boshqa asoslar! Ular aytganidek, o'ng qo'lning kichik barmog'i o'rniga chap qo'lning kichik barmog'ini almashtira olmaysiz.

Biz asosni aniqladik, lekin koordinatalar panjarasini o'rnatish va kompyuter stolidagi har bir elementga koordinatalarni belgilash etarli emas. Nega bu etarli emas? Vektorlar erkin va butun tekislikda aylanib yuradi. Xo'sh, qanday qilib yovvoyi dam olish kunlaridan qolgan stoldagi kichik iflos joylarga koordinatalarni belgilash mumkin? Boshlanish nuqtasi kerak. Va bunday diqqatga sazovor joy hamma uchun tanish nuqta - koordinatalarning kelib chiqishi. Keling, koordinatalar tizimini tushunamiz:

Men “maktab” tizimidan boshlayman. Kirish darsida allaqachon Dummies uchun vektorlar Men to'rtburchaklar koordinatalar tizimi va ortonormal asos o'rtasidagi ba'zi farqlarni ta'kidladim. Mana standart rasm:

Ular haqida gapirganda to'rtburchaklar koordinatalar tizimi, keyin ko'pincha ular kelib chiqishi, koordinata o'qlari va o'qlar bo'ylab masshtabni anglatadi. Qidiruv tizimiga “to‘rtburchaklar koordinatalar tizimi” so‘zini yozib ko‘ring va ko‘p manbalar sizga 5-6-sinfdan tanish bo‘lgan koordinata o‘qlari va nuqtalarni tekislikda qanday chizish haqida ma’lumot berishini ko‘rasiz.

Boshqa tomondan, to'rtburchaklar koordinatalar tizimini ortonormal asos nuqtai nazaridan to'liq aniqlash mumkin ko'rinadi. Va bu deyarli to'g'ri. Matn quyidagicha:

kelib chiqishi, Va ortonormal asos belgilanadi Dekart to'rtburchaklar tekislik koordinatalari tizimi . Ya'ni to'rtburchaklar koordinatalar tizimi albatta bitta nuqta va ikkita birlik ortogonal vektor bilan aniqlanadi. Shuning uchun siz yuqorida men bergan chizmani ko'rasiz - geometrik masalalarda vektor va koordinata o'qlari ko'pincha (lekin har doim ham emas) chiziladi.

Menimcha, hamma nuqta (kelib chiqishi) va ortonormal asosdan foydalanishni tushunadi Samolyotdagi HAR QANDAY NOKTA va samolyotdagi HAR QANDAY VEKTOR koordinatalarini belgilash mumkin. Majoziy ma'noda aytganda, "samolyotdagi hamma narsani raqamlash mumkin".

Koordinata vektorlari birlik bo'lishi kerakmi? Yo'q, ular o'zboshimchalik bilan nolga teng bo'lmagan uzunlikka ega bo'lishi mumkin. Nolga teng bo'lmagan ixtiyoriy uzunlikdagi nuqta va ikkita ortogonal vektorni ko'rib chiqing:

Bunday asos deyiladi ortogonal. Vektorlar bilan koordinatalarning kelib chiqishi koordinatalar panjarasi bilan belgilanadi va tekislikning istalgan nuqtasi, har qanday vektor berilgan asosda o'z koordinatalariga ega. Masalan, yoki. Aniq noqulaylik shundaki, koordinata vektorlari umuman birlikdan tashqari turli uzunliklarga ega. Agar uzunliklar birlikka teng bo'lsa, u holda odatiy ortonormal asos olinadi.

! Eslatma : ortogonal asosda, shuningdek pastda tekislik va fazoning affin asoslarida o'qlar bo'ylab birliklar ko'rib chiqiladi. SHARTLI. Masalan, x o'qi bo'ylab bir birlik 4 sm, ordinata o'qi bo'ylab bitta birlik 2 sm ni o'z ichiga oladi.Bu ma'lumot, agar kerak bo'lsa, "nostandart" koordinatalarni "odatdagi santimetrlarimiz" ga aylantirish uchun etarli.

Va aslida allaqachon javob berilgan ikkinchi savol, asosiy vektorlar orasidagi burchak 90 darajaga teng bo'lishi kerakmi? Yo'q! Ta'rifda aytilganidek, asosiy vektorlar bo'lishi kerak faqat kollinear emas. Shunga ko'ra, burchak 0 va 180 darajadan tashqari har qanday narsa bo'lishi mumkin.

Samolyotdagi nuqta chaqirildi kelib chiqishi, Va kollinear bo'lmagan vektorlar, , oʻrnating afin tekislik koordinata tizimi :

Ba'zan bunday koordinatalar tizimi deyiladi qiyshiq tizimi. Misol sifatida, chizma nuqtalar va vektorlarni ko'rsatadi:

Siz tushunganingizdek, affin koordinata tizimi bundan ham qulayroq emas, biz darsning ikkinchi qismida muhokama qilgan vektorlar va segmentlarning uzunliklari formulalari unda ishlamaydi. Dummies uchun vektorlar, bilan bog'liq ko'plab mazali formulalar vektorlarning skalyar mahsuloti. Ammo vektorlarni qo'shish va vektorni raqamga ko'paytirish qoidalari, ushbu munosabatda segmentni bo'lish formulalari, shuningdek, biz yaqinda ko'rib chiqadigan boshqa muammolar turlari haqiqiydir.

Xulosa shuki, affin koordinatalar sistemasining eng qulay maxsus holati Dekart to'rtburchaklar sistemasidir. Shuning uchun siz uni tez-tez ko'rishingiz kerak, azizim. ...Ammo, bu hayotda hamma narsa nisbiy - qiyshiq burchak (yoki boshqasi, masalan, qutbli) koordinatalar tizimi. Va gumanoidlar bunday tizimlarni yoqtirishi mumkin =)

Keling, amaliy qismga o'tamiz. Ushbu darsdagi barcha masalalar to'rtburchaklar koordinatalar tizimi uchun ham, umumiy affin holati uchun ham amal qiladi. Bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q, barcha materiallar hatto maktab o'quvchisi uchun ham mavjud.

Tekis vektorlarning kollinearligini qanday aniqlash mumkin?

Oddiy narsa. Ikki tekis vektor uchun kollinear edi, ularning mos keladigan koordinatalari proportsional bo'lishi zarur va etarli Asosan, bu aniq munosabatlarning koordinatali koordinatali tafsilotidir.

1-misol

a) vektorlarning kollinear ekanligini tekshiring .
b) Vektorlar asosni tashkil qiladimi? ?

Yechim:
a) vektorlar mavjudligini aniqlaylik mutanosiblik koeffitsienti, shundayki tengliklar qondiriladi:

Men sizga, albatta, amalda juda yaxshi ishlaydigan ushbu qoidani qo'llashning "axloqsiz" versiyasi haqida gapirib beraman. G'oya darhol proportsiyani tuzish va uning to'g'riligini tekshirishdir:

Vektorlarning mos keladigan koordinatalarining nisbatlaridan proporsiya tuzamiz:

Keling, qisqartiramiz:
, shuning uchun mos keladigan koordinatalar proportsionaldir, shuning uchun

O'zaro munosabatlar boshqa yo'l bilan amalga oshirilishi mumkin; bu ekvivalent variant:

O'z-o'zini sinab ko'rish uchun siz kollinear vektorlarning bir-biri orqali chiziqli ifodalanganligidan foydalanishingiz mumkin. Bunday holda, tenglik sodir bo'ladi . Ularning haqiqiyligini vektorlar bilan elementar operatsiyalar orqali osongina tekshirish mumkin:

b) Ikki tekis vektor, agar ular kollinear (chiziqli mustaqil) bo'lmasa, bazis hosil qiladi. Biz vektorlarni kollinearlik uchun tekshiramiz . Keling, tizim yarataylik:

Birinchi tenglamadan kelib chiqadiki , ikkinchi tenglamadan shunday degani kelib chiqadi tizim mos kelmaydi(echimlar yo'q). Shunday qilib, vektorlarning mos keladigan koordinatalari proportsional emas.

Xulosa: vektorlar chiziqli mustaqil va asosni tashkil qiladi.

Yechimning soddalashtirilgan versiyasi quyidagicha ko'rinadi:

Vektorlarning mos keladigan koordinatalaridan proporsiya yasaymiz :
, ya'ni bu vektorlar chiziqli mustaqil va asosni tashkil qiladi.

Odatda, bu variant sharhlovchilar tomonidan rad etilmaydi, lekin ba'zi koordinatalar nolga teng bo'lgan hollarda muammo paydo bo'ladi. Mana bunday: . Yoki shunday: . Yoki shunday: . Bu erda qanday qilib mutanosiblik bilan ishlash mumkin? (haqiqatan ham, siz nolga bo'linmaysiz). Shuning uchun men soddalashtirilgan yechimni "foppish" deb atadim.

Javob: a) , b) shakl.

O'zingizning yechimingiz uchun kichik ijodiy misol:

2-misol

Parametrning qaysi qiymatida vektorlar ular o'zaro bog'liq bo'ladimi?

Namuna eritmasida parametr nisbat orqali topiladi.

Vektorlarni kollinearlikni tekshirishning nafis algebraik usuli mavjud.Keling, bilimlarimizni tizimlashtirib, uni beshinchi nuqta sifatida qo‘shamiz:

Ikki tekis vektor uchun quyidagi bayonotlar ekvivalentdir:

2) vektorlar asosni tashkil qiladi;
3) vektorlar kollinear emas;

+ 5) bu vektorlarning koordinatalaridan tuzilgan determinant nolga teng.

Mos ravishda, quyidagi qarama-qarshi gaplar ekvivalentdir:
1) vektorlar chiziqli bog'liq;
2) vektorlar asos hosil qilmaydi;
3) vektorlar kollinear;
4) vektorlar bir-biri orqali chiziqli ifodalanishi mumkin;
+ 5) bu vektorlarning koordinatalaridan tuzilgan determinant nolga teng.

Haqiqatan ham, umid qilamanki, siz allaqachon duch kelgan barcha shartlar va bayonotlarni tushunasiz.

Keling, yangi, beshinchi nuqtani batafsil ko'rib chiqaylik: ikkita tekis vektor Agar berilgan vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng bo'lsa, ular kollinear bo'ladi.:. Bu xususiyatni qo'llash uchun, albatta, qobiliyatga ega bo'lishingiz kerak determinantlarni toping.

Keling, qaror qilaylik Ikkinchi usulda 1-misol:

a) vektorlar koordinatalaridan tuzilgan determinantni hisoblaymiz :
, bu vektorlar kollinear ekanligini bildiradi.

b) Ikki tekis vektor, agar ular kollinear (chiziqli mustaqil) bo'lmasa, bazis hosil qiladi. Vektor koordinatalaridan tuzilgan determinantni hisoblaymiz :
, ya'ni vektorlar chiziqli mustaqil va asosni tashkil qiladi.

Javob: a) , b) shakl.

Bu proportsional yechimga qaraganda ancha ixcham va chiroyli ko'rinadi.

Ko'rib chiqilgan material yordamida faqat vektorlarning kollinearligini o'rnatish, balki segmentlar va to'g'ri chiziqlar parallelligini isbotlash mumkin. Keling, aniq geometrik shakllar bilan bir nechta muammolarni ko'rib chiqaylik.

3-misol

To'rtburchakning uchlari berilgan. To'rtburchak parallelogramm ekanligini isbotlang.

Isbot: Muammoda chizma yaratishning hojati yo'q, chunki yechim faqat analitik bo'ladi. Keling, parallelogramma ta'rifini eslaylik:
Paralelogramma Qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib parallel bo'lgan to'rtburchak deyiladi.

Shunday qilib, isbotlash kerak:
1) qarama-qarshi tomonlarning parallelligi va;
2) qarama-qarshi tomonlarning parallelligi va .

Biz isbotlaymiz:

1) vektorlarni toping:

2) vektorlarni toping:

Natijada bir xil vektor ("maktab bo'yicha" - teng vektorlar). Kollinearlik juda aniq, ammo qarorni tartibga solish bilan aniq rasmiylashtirish yaxshiroqdir. Vektor koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz:
, bu vektorlar kollinear ekanligini bildiradi va .

Xulosa: To'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari juft bo'lib parallel, ya'ni ta'rifi bo'yicha parallelogramma. Q.E.D.

Yana yaxshi va turli raqamlar:

4-misol

To'rtburchakning uchlari berilgan. To'rtburchak trapesiya ekanligini isbotlang.

Dalilni yanada qat'iy shakllantirish uchun, albatta, trapezoidning ta'rifini olish yaxshiroqdir, lekin uning qanday ko'rinishini eslab qolish kifoya.

Bu siz o'zingiz hal qilishingiz kerak bo'lgan vazifadir. Dars oxirida to'liq yechim.

Va endi asta-sekin samolyotdan kosmosga o'tish vaqti keldi:

Kosmik vektorlarning kollinearligini qanday aniqlash mumkin?

Qoida juda o'xshash. Ikki fazo vektori kollinear boʻlishi uchun ularning mos koordinatalari proportsional boʻlishi zarur va yetarlidir..

5-misol

Quyidagi fazo vektorlari kollinear ekanligini aniqlang:

A) ;
b)
V)

Yechim:
a) vektorlarning tegishli koordinatalari uchun proporsionallik koeffitsienti mavjudligini tekshiramiz:

Tizimda yechim yo'q, ya'ni vektorlar kollinear emas.

"Soddalashtirilgan" nisbatni tekshirish orqali rasmiylashtiriladi. Ushbu holatda:
- mos keladigan koordinatalar proportsional emas, ya'ni vektorlar kollinear emas.

Javob: vektorlar kollinear emas.

b-c) Bular mustaqil qaror qabul qilish nuqtalari. Buni ikki usulda sinab ko'ring.

Uchinchi tartibli determinant orqali fazoviy vektorlarni kollinearlikni tekshirish usuli mavjud; bu usul maqolada yoritilgan. Vektorlarning vektor mahsuloti.

Samolyot holatiga o'xshab, ko'rib chiqilgan asboblar fazoviy segmentlar va to'g'ri chiziqlarning parallelligini o'rganish uchun ishlatilishi mumkin.

Ikkinchi bo'limga xush kelibsiz:

Uch o'lchovli fazoda vektorlarning chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi.
Fazoviy asos va affin koordinatalar tizimi

Samolyotda biz ko'rib chiqqan ko'plab naqshlar kosmos uchun amal qiladi. Men nazariy eslatmalarni minimallashtirishga harakat qildim, chunki ma'lumotlarning asosiy ulushi allaqachon chaynalgan. Biroq, kirish qismini diqqat bilan o'qib chiqishingizni tavsiya qilaman, chunki yangi atamalar va tushunchalar paydo bo'ladi.

Endi kompyuter stolining tekisligi o'rniga biz uch o'lchamli fazoni o'rganamiz. Birinchidan, uning asosini yarataylik. Kimdir hozir uyda, kimdir tashqarida, lekin har qanday holatda biz uchta o'lchovdan qochib qutula olmaymiz: kenglik, uzunlik va balandlik. Shuning uchun, asosni qurish uchun uchta fazoviy vektor kerak bo'ladi. Bir yoki ikkita vektor etarli emas, to'rtinchisi ortiqcha.

Va yana barmoqlarimizga isinamiz. Iltimos, qo'lingizni yuqoriga ko'taring va uni turli yo'nalishlarda yoying bosh barmog'i, ko'rsatkich va o'rta barmoq. Bu vektorlar bo'ladi, ular turli yo'nalishlarga qaraydilar, turli uzunliklarga ega va o'zaro turli burchaklarga ega. Tabriklaymiz, uch o'lchamli makonning asosi tayyor! Aytgancha, buni o'qituvchilarga ko'rsatishning hojati yo'q, barmoqlaringizni qanchalik burishingizdan qat'i nazar, lekin ta'riflardan qutulib bo'lmaydi =)

Keyin o'zimizga muhim savol beraylik: har qanday uchta vektor uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladimi?? Iltimos, uchta barmog'ingizni kompyuter stolining yuqori qismiga mahkam bosing. Nima sodir bo `LDI? Uch vektor bir xil tekislikda joylashgan va, taxminan, biz o'lchamlardan birini - balandlikni yo'qotdik. Bunday vektorlar o'xshash va, ko'rinib turibdiki, uch o'lchovli makonning asosi yaratilmagan.

Shuni ta'kidlash kerakki, koplanar vektorlar bir tekislikda yotishi shart emas, ular parallel tekisliklarda bo'lishi mumkin (faqat barmoqlaringiz bilan buni qilmang, buni faqat Salvador Dali qilgan =)).

Ta'rif: vektorlar deyiladi o'xshash, agar ular parallel bo'lgan tekislik mavjud bo'lsa. Bu erda shuni qo'shish mantiqan to'g'riki, agar bunday tekislik mavjud bo'lmasa, vektorlar koplanar bo'lmaydi.

Uchta koplanar vektor har doim chiziqli bog'liqdir, ya'ni ular bir-biri orqali chiziqli tarzda ifodalanadi. Oddiylik uchun, keling, ular bir tekislikda yotishlarini yana bir bor tasavvur qilaylik. Birinchidan, vektorlar faqat koplanar emas, ular kollinear ham bo'lishi mumkin, keyin har qanday vektor har qanday vektor orqali ifodalanishi mumkin. Ikkinchi holda, masalan, vektorlar kollinear bo'lmasa, uchinchi vektor ular orqali o'ziga xos tarzda ifodalanadi: (va nima uchun oldingi bo'limdagi materiallardan taxmin qilish oson).

Qarama-qarshilik ham to'g'ri: uchta koplanar bo'lmagan vektor har doim chiziqli mustaqildir, ya'ni ular hech qanday tarzda bir-biri orqali ifodalanmaydi. Va, shubhasiz, faqat bunday vektorlar uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qilishi mumkin.

Ta'rif: Uch o'lchovli fazoning asosi chiziqli mustaqil (komplanar bo'lmagan) vektorlarning uch karrali deb ataladi, ma'lum bir tartibda olinadi, va fazoning istalgan vektori yagona yo'l berilgan asosda parchalanadi, bu asosda vektorning koordinatalari bu erda

Eslatib o'taman, vektor ko'rinishda ifodalangan deb ham aytishimiz mumkin chiziqli birikma bazis vektorlari.

Koordinatalar tizimi tushunchasi xuddi tekis holatdagi kabi kiritilgan; bitta nuqta va har qanday uchta chiziqli mustaqil vektor etarli:

kelib chiqishi, Va tekis bo'lmagan vektorlar, ma'lum bir tartibda olinadi, oʻrnating uch o'lchovli fazoning affin koordinata tizimi :

Albatta, koordinatalar tarmog'i "qiyshiq" va noqulay, ammo baribir qurilgan koordinatalar tizimi bizga imkon beradi albatta har qanday vektorning koordinatalarini va fazodagi istalgan nuqtaning koordinatalarini aniqlang. Bir tekislikka o'xshab, men aytib o'tgan ba'zi formulalar fazoning affin koordinata tizimida ishlamaydi.

Affin koordinatalar tizimining eng tanish va qulay maxsus holati, hamma taxmin qilganidek to'rtburchaklar fazo koordinatalari tizimi:

Kosmosdagi nuqta deyiladi kelib chiqishi, Va ortonormal asos belgilanadi Dekart to'rtburchaklar fazo koordinatalari tizimi . Tanish rasm:

Amaliy vazifalarga o'tishdan oldin, keling, yana ma'lumotlarni tizimlashtiramiz:

Uch fazo vektori uchun quyidagi bayonotlar ekvivalentdir:
1) vektorlar chiziqli mustaqil;
2) vektorlar asosni tashkil qiladi;
3) vektorlar koplanar emas;
4) vektorlarni bir-biri orqali chiziqli ifodalash mumkin emas;
5) bu vektorlarning koordinatalaridan tuzilgan determinant noldan farq qiladi.

Menimcha, qarama-qarshi bayonotlar tushunarli.

Fazoviy vektorlarning chiziqli bog'liqligi/mustaqilligi an'anaviy tarzda determinant yordamida tekshiriladi (5-band). Qolgan amaliy topshiriqlar aniq algebraik xususiyatga ega bo'ladi. Geometriya tayoqchasini osib, chiziqli algebraning beysbol tayoqchasini ishlatish vaqti keldi:

Kosmosning uchta vektori Agar berilgan vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng bo'lsa, ular koplanar hisoblanadi: .

Men sizning e'tiboringizni kichik texnik nuancega qaratmoqchiman: vektorlarning koordinatalarini nafaqat ustunlar, balki satrlarda ham yozish mumkin (shuning uchun determinantning qiymati o'zgarmaydi - determinantlarning xususiyatlariga qarang). Ammo ustunlarda bu ancha yaxshi, chunki u ba'zi amaliy muammolarni hal qilish uchun foydaliroqdir.

Determinantlarni hisoblash usullarini biroz unutgan yoki ular haqida umuman tushunmaydigan o'quvchilar uchun men eng qadimgi darslarimdan birini tavsiya qilaman: Determinantni qanday hisoblash mumkin?

6-misol

Quyidagi vektorlar uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladimi yoki yo'qligini tekshiring:

Yechim: Aslida, butun yechim determinantni hisoblashdan iborat.

a) Vektor koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz (birinchi satrda determinant ochiladi):

, ya'ni vektorlar chiziqli mustaqil (komplanar emas) va uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladi.

Javob: bu vektorlar asosni tashkil qiladi

b) Bu mustaqil qaror qabul qilish nuqtasi. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Bundan tashqari, ijodiy vazifalar mavjud:

7-misol

Parametrning qaysi qiymatida vektorlar koplanar bo'ladi?

Yechim: Vektorlar koordinatali bo'ladi, agar ushbu vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng bo'lsa:

Asosan, determinant bilan tenglamani echishingiz kerak. Biz jerboasdagi uçurtmalar kabi nolga tushamiz - ikkinchi qatordagi determinantni ochib, darhol kamchiliklardan xalos bo'lish yaxshidir:

Biz qo'shimcha soddalashtirishlarni amalga oshiramiz va masalani eng oddiy chiziqli tenglamaga keltiramiz:

Javob: da

Bu yerda tekshirish oson; buning uchun siz olingan qiymatni asl determinantga almashtirishingiz va , yana oching.

Xulosa qilib aytganda, tabiatan ko'proq algebraik bo'lgan va an'anaviy ravishda chiziqli algebra kursiga kiritilgan yana bir tipik masalani ko'rib chiqamiz. Bu shunchalik keng tarqalganki, u o'z mavzusiga loyiqdir:

3 vektor uch o'lchovli fazoning asosini tashkil etishini isbotlang
va shu asosda 4-vektorning koordinatalarini toping

8-misol

Vektorlar berilgan. Vektorlar uch o‘lchamli fazoda asos tashkil etishini ko‘rsating va shu asosda vektorning koordinatalarini toping.

Yechim: Birinchidan, shart bilan shug'ullanamiz. Shartga ko'ra, to'rtta vektor berilgan va siz ko'rib turganingizdek, ular allaqachon biron bir asosda koordinatalarga ega. Bu asos nima ekanligi bizni qiziqtirmaydi. Va quyidagi narsa qiziq: uchta vektor yangi asos bo'lishi mumkin. Va birinchi bosqich 6-misolning yechimiga to'liq mos keladi; vektorlarning haqiqatan ham chiziqli mustaqilligini tekshirish kerak:

Vektor koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaymiz:

, ya'ni vektorlar chiziqli mustaqil bo'lib, uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladi.

! Muhim : vektor koordinatalari Majburiy yozib qo'ying ustunlarga determinant, satrlarda emas. Aks holda, keyingi yechim algoritmida chalkashlik bo'ladi.

-o'lchovli arifmetik fazoda vektorlar yig'indisi bo'lsin .

Ta'rif 2.1.Vektorlar to'plami chaqirdi chiziqli mustaqil vektorlar tizimi, agar tenglik shaklda bo'lsa

faqat raqamli parametrlarning nol qiymatlari bilan bajariladi .

Agar koeffitsientlarning kamida bittasi noldan farq qilsa, tenglikni (2.1) qondirish mumkin bo'lsa, bunday vektorlar tizimi deyiladi. chiziqli bog'liq .

2.1-misol. Vektorlarning chiziqli mustaqilligini tekshirish

Yechim. Keling, (2.1) shaklning tengligini yaratamiz.

Bu ifodaning chap tomoni shart bajarilgan taqdirdagina nolga aylanishi mumkin , bu tizim chiziqli mustaqil ekanligini bildiradi.

2.1-misol. Vektorlar bo'ladimi? chiziqli mustaqil?

Yechim. Tenglikni tekshirish oson qadriyatlar uchun to'g'ri , . Bu vektorlar tizimi chiziqli bog'liqligini bildiradi.

2.1 teorema. Agar vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda bu tizimdan har qanday vektor tizimning qolgan vektorlarining chiziqli birikmasi (yoki superpozitsiyasi) sifatida ifodalanishi mumkin.

Isbot. Faraz qilaylik, vektorlar sistemasi chiziqli bog'liq. Keyin, ta'rifga ko'ra, raqamlar to'plami mavjud , ular orasida kamida bitta raqam noldan farq qiladi va tenglik (2.1) haqiqiydir:

Umumiylikni yo'qotmasdan, biz nolga teng bo'lmagan koeffitsientni , ya'ni deb hisoblaymiz . Keyin oxirgi tenglikni bo'linib, keyin vektor sifatida ifodalash mumkin:

.

Shunday qilib, vektor vektorlarning superpozitsiyasi sifatida ifodalanadi . 1-teorema isbotlangan.

Natija. Agar chiziqli mustaqil vektorlar to'plami bo'lsa, bu to'plamdan bironta ham vektorni boshqalar bilan ifodalab bo'lmaydi..

2.2 teorema. Agar vektorlar sistemasi nol vektorni o'z ichiga oladi, unda bunday tizim, albatta, chiziqli bog'liq bo'ladi.

Isbot. Vektor nol vektor bo'lsin, ya'ni .

Keyin biz konstantalarni tanlaymiz ( ) quyida bayon qilinganidek:

, .

Bunda tenglik (2.1) bajariladi. Chapdagi birinchi had nol vektor bo'lgani uchun nolga teng. Qolgan shartlar nol konstantalarga ko'paytirilganda nolga aylanadi ( ). Shunday qilib,

da , bu vektorlarni bildiradi chiziqli bog'liq. 2.2 teorema isbotlangan.

Biz javob berishimiz kerak bo'lgan keyingi savol - bu nima vektorlarning eng katta soni chiziqli mustaqil tizimni tashkil qilishi mumkin V n-o'lchovli arifmetik fazo. 2.1-bandda tabiiy asos (1.4) ko'rib chiqildi:

-o'lchovli fazoning ixtiyoriy vektori tabiiy bazis vektorlarining chiziqli birikmasi, ya'ni ixtiyoriy vektor ekanligi aniqlandi. kabi natural asosda ifodalanadi

, (2.2)

Qayerda – vektorning ba'zi raqamlarni ifodalovchi koordinatalari. Keyin tenglik

faqat , va shuning uchun vektorlar uchun mumkin tabiiy asos chiziqli mustaqil tizimni tashkil qiladi. Agar bu sistemaga ixtiyoriy vektor qo'shsak , u holda, 1-teoremaning natijasiga asoslanib, sistema bog'liq bo'ladi, chunki vektor vektorlar bilan ifodalanadi. formula (2.2) bo'yicha.

Bu misol shuni ko'rsatadiki n-o'lchovli arifmetik fazoda chiziqli mustaqil vektorlardan tashkil topgan tizimlar mavjud. Va agar biz ushbu tizimga kamida bitta vektor qo'shsak, biz chiziqli bog'liq vektorlar tizimini olamiz. Agar vektorlar soni fazoning o'lchamidan oshsa, ular chiziqli bog'liq ekanligini isbotlaylik.

2.3 teorema.O'lchovli arifmetik fazoda dan ortiq bo'lgan tizim mavjud emas chiziqli mustaqil vektorlar.

Isbot. Ixtiyoriy o'lchovli vektorlarni ko'rib chiqing:

………………………

Mayli . (2.3) vektorlarning chiziqli birikmasini tuzamiz va uni nolga tenglashtiramiz:

Vektor tengligi (2.4) koordinatalar uchun skalyar tengliklarga teng vektorlar :

(2.5)

Bu tengliklar noma’lumlar bilan bir hil tenglamalar sistemasini hosil qiladi . Noma'lumlar soni tenglamalar sonidan ko'p bo'lgani uchun ( ), keyin 1-bo'limning 9.3-teoremasining xulosasi tufayli bir hil sistema (2.5) nolga teng bo'lmagan yechimga ega. Binobarin, (2.4) tenglik ba'zi qiymatlar uchun amal qiladi , ularning orasida hammasi ham nolga teng emas, ya'ni vektorlar sistemasi (2.3) chiziqli bog'liqdir. 2.3 teorema isbotlangan.

Natija. O'lchovli fazoda chiziqli mustaqil vektorlardan tashkil topgan tizimlar mavjud va vektorlardan ortiq bo'lgan har qanday tizim chiziqli bog'liq bo'ladi.

Ta'rif 2.2.Chiziqli mustaqil vektorlar sistemasi deyiladi kosmosning asosi, agar fazodagi har qanday vektorni ushbu chiziqli mustaqil vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalash mumkin bo'lsa.

2.3. Chiziqli vektor transformatsiyasi

Ikki vektor va o'lchovli arifmetik fazoni ko'rib chiqing.

Ta'rif 3.1.Agar har bir vektor Agar bir xil fazodan vektor bog'langan bo'lsa, u holda - o'lchovli arifmetik fazoning qandaydir o'zgarishi berilganligini aytamiz.

Bu transformatsiyani bilan belgilaymiz. Biz vektorni tasvir deb ataymiz. Biz tenglikni yozishimiz mumkin

. (3.1)

Ta'rif 3.2.Transformatsiya (3.1) quyidagi xususiyatlarni qondirsa, chiziqli deb ataladi:

, (3.2)

, (3.3)

bu yerda ixtiyoriy skaler (son).

Transformatsiyani (3.1) koordinata shaklida aniqlaymiz. Vektorlarning koordinatalari bo'lsin Va giyohvandlik bilan bog'langan

(3.4)

Formulalar (3.4) koordinata shaklida transformatsiyani (3.1) belgilaydi. Imkoniyatlar ( ) tenglik sistemalari (3.4) matritsa sifatida ifodalanishi mumkin

transformatsiya matritsasi (3.1) deb ataladi.

Ustun vektorlarini kiritamiz

,

ularning elementlari vektorlarning koordinatalari Va shunga ko'ra, shunday Va . Biz bundan buyon ustun vektorlarini vektor deb ataymiz.

Keyin (3.4) transformatsiyani matritsa shaklida yozish mumkin

. (3.5)

Transformatsiya (3.5) matritsalar ustidagi arifmetik amallarning xossalari tufayli chiziqli hisoblanadi.

Keling, tasviri nol vektor bo'lgan ba'zi transformatsiyalarni ko'rib chiqaylik. Matritsa shaklida bu o'zgarish o'xshash bo'ladi

, (3.6)

va koordinatali shaklda - chiziqli bir hil tenglamalar tizimini ifodalaydi

(3.7)

Ta'rif 3.3.Agar chiziqli transformatsiya matritsasi determinanti nolga teng bo'lmasa, chiziqli transformatsiya degenerativ emas deb ataladi. . Agar determinant yo'qolsa, transformatsiya degenerativ bo'ladi .

Ma'lumki, tizim (3.7) arzimas (aniq) yechimga ega - nolga teng. Agar matritsaning determinanti nolga teng bo'lmasa, bu yechim noyobdir.

(3.7) tizimning nolga teng bo'lmagan yechimlari, agar chiziqli transformatsiya degenerativ bo'lsa, ya'ni matritsaning determinanti nolga teng bo'lsa paydo bo'lishi mumkin.

Ta'rif 3.4. Transformatsiya darajasi (3.5) - transformatsiya matritsasining darajasi.

Aytishimiz mumkinki, bir xil son matritsaning chiziqli mustaqil qatorlari soniga teng.

Keling, chiziqli transformatsiyaning geometrik talqiniga murojaat qilaylik (3.5).

3.1-misol. Chiziqli o'zgartirish matritsasi berilgan bo'lsin , Qayerda Keling, ixtiyoriy vektorni olaylik , Qayerda va uning tasvirini toping:
Keyin vektor
.

Agar , keyin vektor uzunligi va yo'nalishini o'zgartiradi. 1-rasmda .

Agar , keyin biz tasvirni olamiz

,

ya'ni vektor
yoki , ya'ni u faqat uzunlikni o'zgartiradi, lekin yo'nalishni o'zgartirmaydi (2-rasm).

3.2-misol. Mayli , . Keling, rasmni topamiz:

,

ya'ni
, yoki .

Vektor transformatsiya natijasida vektorning uzunligi saqlanib qolgan holda, u o'z yo'nalishini teskari tomonga o'zgartirdi (3-rasm).

3.3-misol. Matritsani ko'rib chiqing chiziqli transformatsiya. Bu holda vektorning tasviri vektorning o'zi bilan to'liq mos kelishini ko'rsatish oson (4-rasm). Haqiqatan ham,

.

Aytishimiz mumkinki, vektorlarning chiziqli o'zgarishi asl vektorni o'zgartiradi ham uzunligi, ham yo'nalishi bo'yicha. Biroq, ba'zi hollarda vektorni faqat yo'nalish bo'yicha (3.2-misol) yoki faqat uzunligi bo'yicha (3.1-misol, holat) aylantiradigan matritsalar mavjud. ).

Shuni ta'kidlash kerakki, bir chiziqda yotgan barcha vektorlar chiziqli bog'liq vektorlar tizimini tashkil qiladi.

Chiziqli transformatsiyaga qaytaylik (3.5)

va vektorlar to'plamini ko'rib chiqing , buning uchun tasvir null vektor, shuning uchun .

Ta'rif 3.5. Tenglamaning yechimi bo'lgan vektorlar to'plami , -o'lchovli arifmetik fazoning pastki fazosini hosil qiladi va deyiladi chiziqli transformatsiya yadrosi.

Ta'rif 3.6. Chiziqli transformatsiya nuqsoni bu transformatsiya yadrosining o'lchami deyiladi, ya'ni tenglamani qanoatlantiruvchi chiziqli mustaqil vektorlarning eng katta soni .

Chiziqli transformatsiya darajasi bilan matritsaning darajasini nazarda tutganimiz sababli, matritsaning nuqsoni haqida quyidagi fikrni shakllantirishimiz mumkin: nuqson farqga teng. , bu erda matritsaning o'lchami va uning darajasi.

Agar chiziqli transformatsion matritsaning darajasi (3.5) Gauss usulida qidirilsa, u holda daraja allaqachon o'zgartirilgan matritsaning asosiy diagonalidagi nolga teng bo'lmagan elementlar soniga to'g'ri keladi va nuqson nol soni bilan aniqlanadi. qatorlar.

Agar chiziqli transformatsiya degenerativ bo'lmasa, ya'ni , keyin uning nuqsoni nolga aylanadi, chunki yadro yagona nol vektordir.

Agar chiziqli transformatsiya degenerativ bo'lsa va , keyin tizim (3.6) noldan tashqari boshqa echimlarga ega va bu holatda nuqson allaqachon noldan farq qiladi.

Uzunlikni o'zgartirganda vektor yo'nalishini o'zgartirmaydigan transformatsiyalar alohida qiziqish uyg'otadi. Aniqrog'i, ular vektorni asl vektorni o'z ichiga olgan chiziqda qoldiradilar, agar chiziq koordinatali nuqtadan o'tadi. Bunday o'zgarishlar keyingi 2.4-bandda muhokama qilinadi.

Biz tomonidan taqdim etilgan vektorlar ustida chiziqli amallar uchun turli iboralar yaratish imkonini beradi vektor kattaliklari va ushbu operatsiyalar uchun o'rnatilgan xususiyatlar yordamida ularni o'zgartiring.

Berilgan a 1, ..., a n vektorlar to‘plamiga asoslanib, shakl ifodasini yaratish mumkin

bu yerda a 1, ... va n ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Bu ifoda deyiladi vektorlarning chiziqli birikmasi a 1, ..., a n. a i, i = 1, n raqamlari ifodalanadi chiziqli birikma koeffitsientlari. Vektorlar to'plami ham deyiladi vektorlar tizimi.

Kiritilgan vektorlarning chiziqli birikmasi tushunchasi bilan bog'liq holda berilgan a 1, ..., a n vektorlar tizimining chiziqli birikmasi sifatida yozilishi mumkin bo'lgan vektorlar to'plamini tavsiflash muammosi paydo bo'ladi. Bundan tashqari, vektorning chiziqli birikma shaklida tasviri mavjud bo'lgan shartlar va bunday tasvirning o'ziga xosligi haqida tabiiy savollar mavjud.

Ta'rif 2.1. a 1, ... va n vektorlari deyiladi chiziqli bog'liq, a 1 , ... , a n koeffitsientlar to'plami bo'lsa, shunday bo'ladi

a 1 a 1 + ... + a n a n = 0 (2.2)

va bu koeffitsientlarning kamida bittasi nolga teng emas. Belgilangan koeffitsientlar to'plami mavjud bo'lmasa, vektorlar chaqiriladi chiziqli mustaqil.

Agar a 1 = ... = a n = 0 bo'lsa, u holda, aniqki, a 1 a 1 + ... + a n a n = 0. Buni hisobga olib, biz quyidagilarni aytishimiz mumkin: a 1, ..., va vektorlar. Agar (2.2) tenglikdan barcha a 1, ..., a n koeffitsientlari nolga teng ekanligi kelib chiqsa, n chiziqli mustaqildir.

Quyidagi teorema yangi tushunchaning nima uchun "bog'liqlik" (yoki "mustaqillik") atamasi deb atalishini tushuntiradi va chiziqli bog'liqlikning oddiy mezonini beradi.

2.1 teorema. a 1, ..., va n, n > 1 vektorlari chiziqli bog'liq bo'lishi uchun ulardan biri boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lishi zarur va etarli.

◄ Zarurlik. Faraz qilaylik, a 1, ... va n vektorlari chiziqli bog'liq. Chiziqli bog'liqlikning 2.1 ta'rifiga ko'ra, (2.2) tenglikda chapda kamida bitta nolga teng bo'lmagan koeffitsient mavjud, masalan, a 1. Birinchi atamani tenglikning chap tomonida qoldirib, qolganlarini odatdagidek belgilarini o'zgartirib, o'ng tomonga o'tkazamiz. Olingan tenglikni a 1 ga bo'lib, biz hosil bo'lamiz

a 1 =-a 2 /a 1 ⋅ a 2 - ... - a n /a 1 ⋅ a n

bular. a 1 vektorining qolgan a 2, ..., a n vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi.

Adekvatlik. Masalan, birinchi vektor a 1 qolgan vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin: a 1 = b 2 a 2 + ... + b n a n. Barcha shartlarni o'ng tomondan chapga o'tkazsak, biz 1 - b 2 a 2 - ... - b n a n = 0 ni olamiz, ya'ni. a 1, ..., a n koeffitsientlari a 1 = 1, a 2 = - b 2, ..., a n = - b n vektorlarning chiziqli birikmasi, ga teng nol vektor. Ushbu chiziqli kombinatsiyada barcha koeffitsientlar nolga teng emas. 2.1 ta'rifga ko'ra a 1, ... va n vektorlari chiziqli bog'liqdir.

Chiziqli bog'liqlikning ta'rifi va mezoni ikki yoki undan ortiq vektor mavjudligini anglatish uchun tuzilgan. Biroq, bitta vektorning chiziqli bog'liqligi haqida ham gapirish mumkin. Ushbu imkoniyatni amalga oshirish uchun "vektorlar chiziqli bog'liq" o'rniga "vektorlar tizimi chiziqli bog'liq" deb aytishingiz kerak. "Bir vektorli tizim chiziqli bog'liq" iborasi bu bitta vektor nolga teng ekanligini anglatishini tushunish oson (chiziqli kombinatsiyada faqat bitta koeffitsient mavjud va u nolga teng bo'lmasligi kerak).

Chiziqli bog'liqlik tushunchasi oddiy geometrik talqinga ega. Quyidagi uchta bayonot bu talqinni aniqlaydi.

2.2 teorema. Ikki vektor chiziqli bog'liq bo'ladi, agar ular faqat va agar ular kollinear.

◄ Agar a va b vektorlar chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda ulardan biri, masalan, a, ikkinchisi orqali ifodalanadi, ya'ni. ba'zi haqiqiy sonlar uchun a = lb. 1.7 ta'rifiga ko'ra ishlaydi songa vektorlar, a va b vektorlar kollineardir.

Endi a va b vektorlar kollinear bo'lsin. Agar ularning ikkalasi ham nolga teng bo'lsa, ularning chiziqli bog'liqligi aniq, chunki ularning har qanday chiziqli birikmasi nol vektorga teng. Bu vektorlardan biri 0 ga teng bo'lmasin, masalan b vektori. Vektor uzunliklarining nisbatini l bilan belgilaymiz: l = |a|/|b|. Kollinear vektorlar bo'lishi mumkin bir tomonlama yoki qarama-qarshi yo'naltirilgan. Ikkinchi holda, biz l belgisini o'zgartiramiz. Keyin, 1.7 ta'rifini tekshirib, a = lb ekanligiga amin bo'lamiz. 2.1 teoremaga ko'ra a va b vektorlar chiziqli bog'liqdir.

Izoh 2.1. Ikki vektorda, chiziqli bog'liqlik mezonini hisobga olgan holda, isbotlangan teoremani quyidagicha qayta shakllantirish mumkin: ikkita vektor, agar ulardan biri ikkinchisining ko'paytmasi sifatida raqam bilan ifodalangan bo'lsa, ikkita vektor kollinear hisoblanadi. Bu ikki vektorning kollinearligi uchun qulay mezondir.

2.3 teorema. Uch vektor chiziqli bog'liq bo'ladi, agar ular bo'lsa o'xshash.

◄ Agar uchta a, b, c vektor chiziqli bogʻliq boʻlsa, 2.1-teoremaga koʻra, ulardan biri, masalan, a, boshqalarning chiziqli birikmasidir: a = bb + gs. b va c vektorlarning kelib chiqishini A nuqtada birlashtiramiz. U holda b, gs vektorlari A nuqtada va bo‘ylab umumiy koordinataga ega bo‘ladi. parallelogramm qoidasiga ko'ra, ularning yig'indisi bular. a vektor kelib chiqishi A bo'lgan vektor bo'ladi va yakun, ya'ni komponent vektorlari asosida qurilgan parallelogrammaning tepasi. Shunday qilib, barcha vektorlar bir tekislikda yotadi, ya'ni koplanar.

a, b, c vektorlar koplanar bo'lsin. Agar ushbu vektorlardan biri nolga teng bo'lsa, u boshqalarining chiziqli birikmasi bo'lishi aniq. Nolga teng chiziqli birikmaning barcha koeffitsientlarini olish kifoya. Shuning uchun biz uchta vektorning barchasi nolga teng emas deb taxmin qilishimiz mumkin. Mos boshlandi bu vektorlarning umumiy O nuqtasida. Ularning uchlari mos ravishda A, B, C nuqtalar bo'lsin (2.1-rasm). C nuqta orqali O, A va O, B juft nuqtalaridan o'tuvchi chiziqlarga parallel chiziqlar o'tkazamiz. Kesishish nuqtalarini A" va B" deb belgilab, biz OA"CB" parallelogrammini olamiz, shuning uchun OC" = OA" + OB". Vektor OA" va nolga teng bo'lmagan a = OA vektori kollineardir va shuning uchun ulardan birinchisini ikkinchisini a:OA" = aOA haqiqiy songa ko'paytirish orqali olish mumkin. Xuddi shunday, OB" = bOB, b ∈ R. Natijada, OC" = a OA + bOB ekanligini olamiz, ya'ni c vektor a va b vektorlarning chiziqli birikmasidir. 2.1-teoremaga ko'ra, a, b, c vektorlari chiziqli bog'liqdir.

2.4 teorema. Har qanday to'rt vektor chiziqli bog'liqdir.

◄ Biz isbotlashni 2.3-teoremadagi kabi sxema bo'yicha bajaramiz. A, b, c va d ixtiyoriy to'rt vektorni ko'rib chiqaylik. Agar to'rt vektordan biri nolga teng bo'lsa yoki ular orasida ikkita kollinear vektor bo'lsa yoki to'rt vektordan uchtasi koplanar bo'lsa, bu to'rt vektor chiziqli bog'liqdir. Misol uchun, a va b vektorlar kollinear bo'lsa, biz ularning chiziqli birikmasini nolga teng bo'lmagan koeffitsientlar bilan aa + bb = 0 qilishimiz mumkin va keyin bu kombinatsiyaga qolgan ikkita vektorni qo'shib, nollarni koeffitsient sifatida olamiz. Biz 0 ga teng bo'lgan to'rtta vektorning chiziqli kombinatsiyasini olamiz, unda nolga teng bo'lmagan koeffitsientlar mavjud.

Shunday qilib, tanlangan to'rtta vektor orasida hech qanday vektor nolga teng emas, ikkitasi kollinear emas va uchtasi koplanar emas deb taxmin qilishimiz mumkin. Ularning umumiy boshlanishi sifatida O nuqtani tanlaylik.Unda a,b,c,d vektorlarning uchlari ba'zi A,B,C,D nuqtalar bo'ladi (2.2-rasm). D nuqta orqali OBC, OCA, OAB tekisliklarga parallel uchta tekislik o'tkazamiz va bu tekisliklarning mos ravishda OA, OB, OS to'g'ri chiziqlar bilan kesishgan nuqtalari A", B", C" bo'lsin. parallelepiped OA" C "B" C" B"DA" va a, b, c vektorlari uning O cho'qqisidan chiquvchi qirralarida yotadi. OC"DC" to'rtburchak parallelogramm bo'lgani uchun OD = OC" + OC". O'z navbatida, OC" segmenti diagonal parallelogramma OA"C"B", shuning uchun OC" = OA" + OB" va OD = OA" + OB" + OC" .

Shuni ta'kidlash kerakki, OA ≠ 0 va OA" , OB ≠ 0 va OB" , OC ≠ 0 va OC" juft vektorlari kollineardir va shuning uchun a, b, g koeffitsientlarini shunday tanlash mumkinki, OA" = aOA , OB" = bOB va OC" = gOC. Biz nihoyat OD = aOA + bOB + gOC ni olamiz. Binobarin, OD vektori qolgan uchta vektor orqali ifodalanadi va 2.1 teoremaga ko'ra barcha to'rt vektor chiziqli bog'liqdir.

Ta'rif. Vektorlarning chiziqli birikmasi a 1 , ..., a n koeffitsientlari x 1 , ..., x n vektor deyiladi.

x 1 a 1 + ... + x n a n.

ahamiyatsiz, agar barcha koeffitsientlar x 1 , ..., x n nolga teng bo'lsa.

Ta'rif. x 1 a 1 + ... + x n a n chiziqli birikma deyiladi ahamiyatsiz, agar x 1, ..., x n koeffitsientlarining kamida bittasi nolga teng bo'lmasa.

chiziqli mustaqil, agar bu vektorlarning nol vektoriga teng bo'lmagan notrivial birikmasi bo'lmasa.

Ya'ni, a 1, ..., a n vektorlari x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 bo'lsa, faqat x 1 = 0, ..., x n = 0 bo'lganda chiziqli mustaqildir.

Ta'rif. a 1, ..., a n vektorlari deyiladi chiziqli bog'liq, agar bu vektorlarning nol vektoriga teng bo'lmagan trivial birikmasi mavjud bo'lsa.

Chiziqli bog'liq vektorlarning xossalari:

2 va 3 o'lchovli vektorlar uchun.

Ikki chiziqli qaram vektor kollineardir. (Kollinear vektorlar chiziqli bog'liqdir.)

3 o'lchovli vektorlar uchun.

Uchta chiziqli bog'liq vektorlar koplanardir. (Uchta koplanar vektor chiziqli bog'liqdir.)

• n o'lchovli vektorlar uchun.

  n + 1 vektorlar har doim chiziqli bog'liqdir.

Vektorlarning chiziqli bog'liqligi va chiziqli mustaqilligi masalalariga misollar:

1-misol. a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring. .

Yechim:

Vektorlar chiziqli bog'liq bo'ladi, chunki vektorlarning o'lchami vektorlar sonidan kamroq.

2-misol. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring.

Yechim:

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + x 3 = 0

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	1	0

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	1 - 0	0 - 0				0	-1	1	0

birinchi qatordan ikkinchisini olib tashlang; uchinchi qatorga ikkinchi qator qo'shing:

~		1 - 0	1 - 1	0 - (-1)	0 - 0		~		1	0	1	0
		0	1	-1	0				0	1	-1	0
		0 + 0	-1 + 1	1 + (-1)	0 + 0				0	0	0	0

Ushbu yechim tizimning ko'plab echimlarga ega ekanligini ko'rsatadi, ya'ni x 1, x 2, x 3 raqamlari qiymatlarining nolga teng bo'lmagan kombinatsiyasi mavjud bo'lib, a, b, c vektorlarining chiziqli birikmasi teng bo'ladi. nol vektor, masalan:

A + b + c = 0

ya'ni a, b, c vektorlari chiziqli bog'liqdir.

Javob: a, b, c vektorlari chiziqli bog'liqdir.

3-misol. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring.

Yechim: Ushbu vektorlarning chiziqli birikmasi nol vektorga teng bo'lgan koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz.

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Bu vektor tenglamani chiziqli tenglamalar sistemasi sifatida yozish mumkin

	x 1 + x 2 = 0
	x 1 + 2x 2 - x 3 = 0
	x 1 + 2x 3 = 0

Bu sistemani Gauss usuli yordamida yechamiz

	1	1	0	0		~
	1	2	-1	0
	1	0	2	0

ikkinchi qatordan birinchisini ayirish; uchinchi qatordan birinchisini ayirish:

~		1	1	0	0		~		1	1	0	0		~
		1 - 1	2 - 1	-1 - 0	0 - 0				0	1	-1	0
		1 - 1	0 - 1	2 - 0	0 - 0				0	-1	2	0

birinchi qatordan ikkinchisini olib tashlang; uchinchi qatorga bir soniya qo'shing.

Mayli L – maydon ustidagi chiziqli fazo R . Mayli A1, a2, …, an (*) dan chekli vektorlar sistemasi L . Vektor IN = a1× A1 +a2× A2 + … + an× An (16) deyiladi Vektorlarning chiziqli birikmasi ( *), yoki ular vektor deb aytishadi IN vektorlar tizimi (*) orqali chiziqli ifodalangan.

Ta'rif 14. Vektorlar sistemasi (*) deyiladi Lineer bog'liq , agar a1, a2, … koeffitsientlarining nolga teng bo'lmagan to'plami mavjud bo'lsa, a1× A1 +a2× A2 + … + an× An = 0. Agar a1× A1 +a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, keyin tizim (*) chaqiriladi Lineer mustaqil.

Chiziqli bog`liqlik va mustaqillik xossalari.

10. Agar vektorlar sistemasi nol vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.

Haqiqatan ham, agar tizimda (*) vektor bo'lsa A1 = 0, Bu 1× 0 + 0× A2 + … + 0 × An = 0 .

20. Agar vektorlar sistemasi ikkita proporsional vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.

Mayli A1 = L×a2. Keyin 1 × A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× A N= 0.

30. n ³ 2 uchun cheklangan vektorlar tizimi (*) chiziqli bog'liq bo'ladi, agar uning vektorlaridan kamida bittasi ushbu tizimning qolgan vektorlarining chiziqli birikmasi bo'lsa.

Þ (*) chiziqli bog'liq bo'lsin. Keyin a1, a2, …, an koeffitsientlarining nolga teng bo'lmagan to'plami mavjud bo'lib, ular uchun a1 × A1 +a2× A2 + … + an× An = 0 . Umumiylikni yo'qotmasdan, biz a1 ¹ 0 deb taxmin qilishimiz mumkin. Keyin mavjud A1 = ×a2× A2 + … + ×an× A N. Shunday qilib, vektor A1 qolgan vektorlarning chiziqli birikmasidir.

Ü Vektorlardan biri (*) boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lsin. Buni birinchi vektor deb taxmin qilishimiz mumkin, ya'ni. A1 = B2 A2+ … + milliard A N, demak (–1)× A1 + b2 A2+ … + milliard A N= 0 , ya'ni (*) chiziqli bog'liqdir.

Izoh. Oxirgi xususiyatdan foydalanib, cheksiz vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligini aniqlashimiz mumkin.

Ta'rif 15. Vektor tizimi A1, a2, …, an , … (**) deyiladi Lineer bog'liq, Agar uning vektorlaridan kamida bittasi boshqa vektorlarning cheklangan sonining chiziqli birikmasi bo'lsa. Aks holda, tizim (**) chaqiriladi Lineer mustaqil.

40. Cheklangan vektorlar sistemasi, agar uning vektorlaridan birortasini qolgan vektorlari bilan chiziqli ifodalab bo‘lmasa, chiziqli mustaqil hisoblanadi.

50. Agar vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil bo'lsa, uning har qanday quyi tizimlari ham chiziqli mustaqildir.

60. Agar berilgan vektorlar sistemasining ba'zi bir quyi tizimi chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda butun tizim ham chiziqli bog'liqdir.

Ikki vektor sistemasi berilsin A1, a2, …, an , … (16) va V1, V2, …, Vs, … (17). Agar (16) sistemaning har bir vektorini (17) sistemaning chekli sonli vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida tasvirlash mumkin bo'lsa, (17) sistema (16) orqali chiziqli ifodalangan deyiladi.

Ta'rif 16. Ikki vektorli tizim deyiladi Ekvivalent , agar ularning har biri ikkinchisi orqali chiziqli ifodalangan bo'lsa.

Teorema 9 (asosiy chiziqli bog'liqlik teoremasi).

Tinch qo'y, hamma narsa o'z holidagiday qo'sin; shunday bo'lsin – vektorlarning ikkita chekli tizimi L . Agar birinchi tizim chiziqli mustaqil bo'lsa va ikkinchisi orqali chiziqli ifodalangan bo'lsa, u holda N£ s.

Isbot. Keling, shunday da'vo qilaylik N> S. Teorema shartlariga ko'ra

(21)

Tizim chiziqli mustaqil bo'lgani uchun tenglik (18) Û X1=x2=…=xN= 0. Bu yerda vektorlarning ifodalarini almashtiramiz: …+=0 (19). Shuning uchun (20). (18), (19) va (20) shartlar aniq ekvivalentdir. Lekin (18) faqat qachon qanoatlantiriladi X1=x2=…=xN= 0.(20) tenglik qachon to'g'ri bo'lishini topamiz. Agar uning barcha koeffitsientlari nolga teng bo'lsa, u shubhasiz haqiqatdir. Ularni nolga tenglashtirib, (21) sistemani olamiz. Ushbu tizim nolga ega bo'lgani uchun, u holda

qo'shma Tenglamalar soni noma'lumlar sonidan ko'p bo'lganligi sababli, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. Shuning uchun u nolga teng bo'lmagan qiymatga ega X10, x20, …, xN0. Bu qiymatlar uchun tenglik (18) to'g'ri bo'ladi, bu vektorlar tizimining chiziqli mustaqil ekanligiga zid keladi. Shunday qilib, bizning taxminimiz noto'g'ri. Demak, N£ s.

Natija. Agar ikkita ekvivalent vektorlar tizimi chekli va chiziqli mustaqil bo'lsa, ular bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi.

Ta'rif 17. Vektor sistemasi deyiladi Vektorlarning maksimal chiziqli mustaqil tizimi Chiziqli fazo L , agar u chiziqli mustaqil bo'lsa, lekin unga har qanday vektorni qo'shganda L , bu tizimga kiritilmagan, chiziqli bog'liq bo'ladi.

Teorema 10. dan vektorlarning har qanday ikkita chekli maksimal chiziqli mustaqil tizimi L Bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi.

Isbot vektorlarning har qanday ikkita maksimal chiziqli mustaqil tizimi ekvivalent ekanligidan kelib chiqadi .

Fazoviy vektorlarning har qanday chiziqli mustaqil sistemasini isbotlash oson L bu fazodagi vektorlarning maksimal chiziqli mustaqil tizimiga kengaytirilishi mumkin.

Misollar:

1. Barcha kollinear geometrik vektorlar to'plamida bitta nolga teng bo'lmagan vektordan iborat har qanday tizim maksimal chiziqli mustaqildir.

2. Barcha koplanar geometrik vektorlar to'plamida har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektor maksimal chiziqli mustaqil tizimni tashkil qiladi.

3. Uch o'lchovli Evklid fazosining barcha mumkin bo'lgan geometrik vektorlari to'plamida uchta koplanar bo'lmagan vektorlardan iborat har qanday sistema maksimal chiziqli mustaqildir.

4. Barcha ko'phadlar to'plamida darajalar dan yuqori emas N Haqiqiy (murakkab) koeffitsientlar bilan, polinomlar tizimi 1, x, x2, … , xn Maksimal chiziqli mustaqil.

5. Haqiqiy (murakkab) koeffitsientli barcha ko‘phadlar to‘plamida maksimal chiziqli mustaqil sistemaga misollar keltiriladi.

A) 1, x, x2, ... , xn, ... ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N, ...

6. O‘lchov matritsalari to‘plami M´ N chiziqli fazodir (buni tekshiring). Bu fazodagi maksimal chiziqli mustaqil tizimga misol matritsa sistemasidir E11= , E12 =, …, EMn = .

Vektorlar sistemasi berilgan bo'lsin C1, c2, …, qarang (*). (*) dan vektorlar quyi tizimi deyiladi Maksimal chiziqli mustaqil Quyi tizim Tizimlar ( *) , agar u chiziqli mustaqil bo'lsa, lekin unga ushbu tizimning boshqa vektorini qo'shganda, u chiziqli bog'liq bo'ladi. Agar tizim (*) chekli bo'lsa, uning maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimlarining har qandayida bir xil miqdordagi vektorlar mavjud. (O'zingiz isbotlang). Tizimning maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimidagi vektorlar soni (*) deyiladi Daraja Bu tizim. Shubhasiz, ekvivalent vektor tizimlari bir xil darajalarga ega.