Raqamlar seriyasining asosiy ta'riflari. Konvergent sonlar qatorining asosiy xossalari

Cheklangan sonli hadlar yig’indisining xossalari qator xossalaridan, ya’ni cheksiz sonli hadlar yig’indisidan farq qiladi. Shunday qilib, cheklangan sonli atamalar bo'lsa, ularni istalgan tartibda guruhlash mumkin, bu yig'indini o'zgartirmaydi. Konvergent qatorlar mavjud (shartli konvergent, ular 5-bo'limda muhokama qilinadi), ular uchun nemis matematigi Riemann Riemann Georg Fridrix Bernxard (1826 - 1866) ko'rsatganidek, ularning atamalari tartibini mos ravishda o'zgartirib, siz shunday qilishingiz mumkin. ketma-ketlik yig'indisi istalgan istalgan raqamga, hatto divergent qatorga teng.

2.1-misol.(1.7) shakldagi divergent qatorni ko'rib chiqing.

Uning a'zolarini juftlab guruhlash orqali yig'indisi nolga teng bo'lgan konvergent sonlar qatorini olamiz:

Boshqa tomondan, ikkinchi haddan boshlab, uning shartlarini juft-juft qilib guruhlash orqali biz yig'indisi birga teng bo'lgan konvergent qatorni ham olamiz:

Konvergent qatorlar ma'lum xossalarga ega bo'lib, ularni go'yo chekli yig'indilar kabi ko'rib chiqishga imkon beradi. Shunday qilib, ularni raqamlar bilan ko'paytirish, qo'shish va ayirish mumkin. Ular har qanday qo'shni atamalarni guruhlarga birlashtirishi mumkin.

2.1 teorema. (Bir qator yaqinlashishning zaruriy belgisi).

Agar (1.1) qator yaqinlashsa, uning umumiy hadi n ning cheksiz ortishi bilan nolga intiladi, ya'ni.

Teoremaning isboti shundan kelib chiqadiki, va agar

S - (1.1) qatorlar yig'indisi, keyin

Shart (2.1) qatorning yaqinlashuvi uchun zaruriy, ammo yetarli shart emas. Ya'ni, agar qatorning umumiy hadi nolga moyil bo'lsa, bu qator yaqinlashadi degani emas. Misol uchun, garmonik qator uchun (1.2), ammo, quyida ko'rsatilganidek, u ajralib chiqadi.

Xulosa (ketma-ket divergensiyaning etarli belgisi).

Agar seriyaning umumiy atamasi da nolga moyil emas, keyin bu qator ajralib chiqadi.

2.2-misol. Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Bu qator uchun

Shuning uchun, bu seriya farqlanadi.

Yuqorida ko'rib chiqilgan divergent qatorlar (1.6), (1.7) zarur yaqinlashuv mezoni ular uchun qoniqtirilmaganligi sababli ham shundaydir. (1.6) seriyalar uchun (1.7) seriyalar uchun chegara mavjud emas.

Mulk 2.1 . Agar qatordan chegaralangan sonli hadlar o‘zboshimchalik bilan olib tashlansa, unga qo‘shilsa yoki unda qayta joylansa, uning yaqinlashuvi yoki divergentsiyasi o‘zgarmaydi (bu holda, yaqinlashuvchi qator uchun uning yig‘indisi o‘zgarishi mumkin).

Mulkning isboti shundan kelib chiqadiki, (1.1) qator va uning qoldiqlari bir vaqtning o'zida yaqinlashadi yoki ajralib chiqadi.

Mulk 2.2 . Konvergent qatorni songa ko'paytirish mumkin, ya'ni (1.1) qator yaqinlashsa, S yig'indisi va c ma'lum son bo'lsa, u holda

Buning isboti shundan kelib chiqadiki, quyidagi tengliklar cheklangan summalar uchun amal qiladi:

Mulk 2.3. Konvergent qatorlarni muddat bo'yicha qo'shish va ayirish mumkin, ya'ni qator bo'lsa,

birlashish,

keyin va bir qator

yaqinlashadi va uning yig'indisi teng bo'ladi ya'ni

Isbot chekli summalar chegarasining xususiyatlaridan kelib chiqadi, ya'ni.

2.3-misol. Bir qator yig'indisini hisoblang

Seriyaning umumiy atamasini shaklda ifodalaylik

U holda asl qatorni geometrik progressiyaning ikki yaqinlashuvchi qatorining haddan-sonli ayirmasi sifatida ifodalash mumkin.

(1.8) formuladan foydalanib, biz geometrik progressiyaning mos keladigan qatorlari yig'indilarini hisoblaymiz.

Shuning uchun birinchi qator uchun

Shuning uchun ikkinchi qator uchun

Nihoyat bizda bor

Ushbu maqola mashqlar va vazifalarni tahlil qilishda foydali bo'lishi mumkin bo'lgan tuzilgan va batafsil ma'lumotlarni taqdim etadi. Biz raqamlar qatori mavzusini ko'rib chiqamiz.

Ushbu maqola asosiy ta'riflar va tushunchalar bilan boshlanadi. Keyinchalik, biz standart variantlardan foydalanamiz va asosiy formulalarni o'rganamiz. Materialni mustahkamlash uchun maqolada asosiy misollar va vazifalar berilgan.

Asosiy tezislar

Birinchidan, tizimni tasavvur qilaylik: a 1 , a 2 . . . , a n ,. . . , bu yerda a k ∈ R, k = 1, 2. . . .

Masalan, 6, 3, - 3 2, 3 4, 3 8, - 3 16, kabi raqamlarni olaylik. . . .

Ta'rif 1

Raqamlar qatori ∑ a k k = 1 ∞ = a 1 + a 2 + hadlar yig'indisidir. . . + a n + . . . .

Ta'rifni yaxshiroq tushunish uchun q = - 0 bo'lgan ushbu holatni ko'rib chiqing. 5: 8 - 4 + 2 - 1 + 1 2 - 1 4 +. . . = ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k .

Ta'rif 2

a k umumiy yoki k –chi seriyasining a'zosi.

Bu shunday ko'rinadi - 16 · - 1 2 k.

Ta'rif 3

Seriyalarning qisman yig'indisi shunga o'xshash narsa ko'rinadi S n = a 1 + a 2 + . . . + a n , unda n- har qanday raqam. S n nth qator yig'indisi.

Masalan, ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k S 4 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5 ga teng.

S 1 , S 2 ,. . . , S n, . . . cheksiz sonlar ketma-ketligini hosil qiladi.

Bir qator uchun nth yig'indi S n = a 1 · (1 - q n) 1 - q = 8 · 1 - - 1 2 n 1 - - 1 2 = 16 3 · 1 - - 1 2 n formula bo'yicha topiladi. Biz qisman yig'indilarning quyidagi ketma-ketligini ishlatamiz: 8, 4, 6, 5, . . . , 16 3 · 1 - - 1 2 n,. . . .

Ta'rif 4

∑ k = 1 ∞ a k qator konvergent ketma-ketlik chekli chegaraga ega bo'lganda S = lim S n n → + ∞ . Agar chegara bo'lmasa yoki ketma-ketlik cheksiz bo'lsa, u holda ∑ k = 1 ∞ a k qator deyiladi. turlicha.

Ta'rif 5

Konvergent qator yig'indisi∑ k = 1 ∞ a k - ketma-ketlikning chegarasi ∑ k = 1 ∞ a k = lim S n n → + ∞ = S.

Bu misolda lim S n n → + ∞ = lim 16 3 t → + ∞ · 1 - 1 2 n = 16 3 · lim n → + ∞ 1 - - 1 2 n = 16 3 , qator ∑ k = 1 ∞ ( - 16) · - 1 2 k yaqinlashadi. Yig'indi 16 3 ga teng: ∑ k = 1 ∞ (- 16) · - 1 2 k = 16 3 .

1-misol

Divergent qatorlarga maxraji birdan katta bo'lgan geometrik progressiyaning yig'indisi misol bo'la oladi: 1 + 2 + 4 + 8 +. . . + 2 n - 1 +. . . = ∑ k = 1 ∞ 2 k - 1.

n-chi qisman yig'indi S n = a 1 (1 - q n) 1 - q = 1 (1 - 2 n) 1 - 2 = 2 n - 1 bilan berilgan va qisman yig'indilarning chegarasi cheksizdir: lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ (2 n - 1) = + ∞ .

Divergent sonlar qatoriga yana bir misol ∑ k = 1 ∞ 5 = 5 + 5 + ko'rinishdagi yig'indidir. . . . Bunday holda, n-chi qisman yig'indini Sn = 5n sifatida hisoblash mumkin. Qisman yig'indilarning chegarasi cheksiz lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ 5 n = + ∞.

Ta'rif 6

∑ k = 1 ∞ = 1 + 1 2 + 1 3 + bilan bir xil shakldagi yig'indi. . . + 1 n +. . . - Bu garmonik raqamlar seriyasi.

Ta'rif 7

Yig'indi ∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 n s + . . . , Qayerda s– haqiqiy son, umumlashgan garmonik sonlar qatori.

Yuqorida muhokama qilingan ta'riflar sizga ko'pgina misollar va muammolarni hal qilishga yordam beradi.

Ta'riflarni to'ldirish uchun ma'lum tenglamalarni isbotlash kerak.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k – divergent.

Biz teskari usuldan foydalanamiz. Agar u yaqinlashsa, chegara cheklangan. Tenglamani lim n → + ∞ S n = S va lim n → + ∞ S 2 n = S shaklida yozishimiz mumkin. Muayyan harakatlardan keyin l i m n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 tengligini olamiz.

qarshi,

S 2 n - S n = 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n + 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n - - 1 + 1 2 + 1 3 +. . . + 1 n = 1 n + 1 + 1 n + 2 +. . . + 1 2 n

Quyidagi tengsizliklar o‘rinli: 1 n + 1 > 1 2 n, 1 n + 1 > 1 2 n, . . . , 1 2 n - 1 > 1 2 n. Biz S 2 n - S n = 1 n + 1 + 1 n + 2 + ni olamiz. . . + 1 2 n > 1 2 n + 1 2 n +. . . + 1 2 n = n 2 n = 1 2. S 2 n - S n > 1 2 ifodasi lim n → + ∞ (S 2 n - S n) = 0 ga erishilmasligini bildiradi. Seriya turlicha.

1. b 1 + b 1 q + b 1 q 2 +. . . + b 1 q n +. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 q k - 1

Raqamlar ketma-ketligi yig'indisi q da yaqinlashishini tasdiqlash kerak< 1 , и расходится при q ≥ 1 .

Yuqoridagi ta'riflarga ko'ra, miqdor n atamalar S n = b 1 · (q n - 1) q - 1 formulasi bo'yicha aniqlanadi.

Agar q< 1 верно

lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · q n - 1 q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · 0 - 1 q - 1 = b 1 q - 1

Biz sonlar qatorining yaqinlashishini isbotladik.

q = 1 b 1 + b 1 + b 1 + uchun. . . ∑ k = 1 ∞ b 1. Yig'indilarni S n = b 1 · n formulasi yordamida topish mumkin, chegara cheksiz lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · n = ∞. Taqdim etilgan versiyada seriyalar ajralib turadi.

Agar q = - 1, keyin qator b 1 - b 1 + b 1 - kabi ko'rinadi. . . = ∑ k = 1 ∞ b 1 (- 1) k + 1 . Qisman summalar toq uchun S n = b 1 ga o'xshaydi n, va juftlik uchun S n = 0 n. Ushbu ishni ko'rib chiqqach, biz hech qanday chegara yo'qligiga va ketma-ketlik divergentligiga ishonch hosil qilamiz.

q > 1 uchun lim n → + ∞ S n = lim n → + ∞ b 1 · (q n - 1) q - 1 = b 1 · lim n → + ∞ q n q - 1 - lim n → + ∞ 1 q - 1 = = b 1 · ∞ - 1 q - 1 = ∞

Biz raqamlar qatori bir-biridan farq qilishini isbotladik.

1. ∑ k = 1 ∞ 1 k s qator yaqinlashadi, agar s > 1 va agar s ≤ 1 bo'lsa, ajralib chiqadi.

Uchun s = 1 biz ∑ k = 1 ∞ 1 k ni olamiz, qator uzoqlashadi.

Qachon s< 1 получаем 1 k s ≥ 1 k для k, natural son. Seriya divergent ∑ k = 1 ∞ 1 k bo'lgani uchun chegara yo'q. Shundan keyin ∑ k = 1 ∞ 1 k s ketma-ketlik chegaralanmagan. Biz tanlangan qator qachon farqlanadi, degan xulosaga keldik s< 1 .

∑ k = 1 ∞ 1 k s qatorning yaqinlashishiga dalil keltirish kerak. s > 1.

S 2 n - 1 - S n - 1 ni tasavvur qilaylik:

S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 + 1 2 s + 1 3 s +. . . + 1 (n - 1) s + 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s - - 1 + 1 2 s + 1 3 s + . . . + 1 (n - 1) s = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s

Faraz qilaylik, 1 (n + 1) s< 1 n s , 1 (n + 2) s < 1 n s , . . . , 1 (2 n - 1) s < 1 n s , тогда S 2 n - 1 - S n - 1 = 1 n s + 1 (n + 1) s + . . . + 1 (2 n - 1) s < < 1 n s + 1 n s + . . . + 1 n s = n n s = 1 n s - 1

Tabiiy va hatto n = 2 bo'lgan sonlar uchun tenglamani tasavvur qilaylik: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 3 - S 1 = 1 2 s + 1 3 s.< 1 2 s - 1 n = 4: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 7 - S 3 = 1 4 s + 1 5 s + 1 6 s + 1 7 s < 1 4 s - 1 = 1 2 s - 1 2 n = 8: S 2 n - 1 - S n - 1 = S 15 - S 7 = 1 8 s + 1 9 s + . . . + 1 15 s < 1 8 s - 1 = 1 2 s - 1 3 . . .

Biz olamiz:

∑ k = 1 ∞ 1 k s = 1 + 1 2 s + 1 3 s + 1 4 s +. . . + 1 7 s + 1 8 s + . . . + 1 15 s +. . . = = 1 + S 3 - S 1 + S 7 - S 3 + S 15 + S 7 +. . .< < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . .

Ifodasi 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 +. . . q = 1 2 s - 1 geometrik progressiyaning yig'indisidir. Dastlabki ma'lumotlarga ko'ra s > 1, keyin 0< q < 1 . Получаем, ∑ k = 1 ∞ < 1 + 1 2 s - 1 + 1 2 s - 1 2 + 1 2 s - 1 3 + . . . = 1 1 - q = 1 1 - 1 2 s - 1 . Последовательность ряда при s > 1 ortadi va 1 1 - 1 2 s - 1 dan yuqoridan cheklanadi. Tasavvur qilaylik, chegara bor va qator yaqinlashuvchi ∑ k = 1 ∞ 1 k s .

Ta'rif 8

Seriya ∑ k = 1 ∞ a k u holda ijobiydir, agar uning a'zolari > 0 a k > 0 bo'lsa, k = 1, 2,. . . .

Seriya ∑ k = 1 ∞ b k signal beruvchi, agar raqamlarning belgilari boshqacha bo'lsa. Bu misol ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · a k yoki ∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 · a k , bu erda a k > 0, k = 1, 2,. . . .

Seriya ∑ k = 1 ∞ b k muqobil, chunki u ko'p sonlarni o'z ichiga oladi, salbiy va ijobiy.

Ikkinchi variant seriyasi uchinchi variantning alohida holatidir.

Quyida har bir holat uchun misollar keltirilgan:

6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + . . . 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . . 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 + . . .

Uchinchi variant uchun siz mutlaq va shartli yaqinlashuvni ham aniqlashingiz mumkin.

Ta'rif 9

∑ k = 1 ∞ b k qatori ∑ k = 1 ∞ b k ham yaqinlashuvchi deb hisoblangan holatda mutlaqo yaqinlashuvchidir.

Keling, bir nechta odatiy variantlarni batafsil ko'rib chiqaylik.

2-misol

Agar qatorlar 6 - 3 + 3 2 - 3 4 + 3 8 - 3 16 + bo'lsa. . . va 6 + 3 - 3 2 + 3 4 + 3 8 - 3 16 +. . . konvergent sifatida aniqlanadi, u holda 6 + 3 + 3 2 + 3 4 + 3 8 + 3 16 + deb taxmin qilish to'g'ri bo'ladi. . .

Ta'rif 10

O‘zgaruvchan ∑ k = 1 ∞ b k qator shartli yaqinlashuvchi hisoblanadi, agar ∑ k = 1 ∞ b k divergent bo‘lsa, ∑ k = 1 ∞ b k qator esa yaqinlashuvchi hisoblanadi.

3-misol

∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + variantini batafsil ko'rib chiqamiz. . . . Mutlaq qiymatlardan tashkil topgan ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = ∑ k = 1 ∞ 1 k qator divergent sifatida aniqlanadi. Bu variant konvergent hisoblanadi, chunki uni aniqlash oson. Bu misoldan biz ∑ k = 1 ∞ (- 1) k + 1 k = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + qatorini bilib olamiz. . . shartli konvergent hisoblanadi.

Konvergent qatorlarning xususiyatlari

Keling, ayrim holatlar uchun xususiyatlarni tahlil qilaylik

1. Agar ∑ k = 1 ∞ a k yaqinlashsa, u holda ∑ k = m + 1 ∞ a k qator ham yaqinlashuvchi hisoblanadi. Bu holda qator ekanligini ta'kidlash mumkin m atamalar ham konvergent hisoblanadi. Agar ∑ k = m + 1 ∞ a k ga bir nechta son qo'shsak, natijada olingan natija ham yaqinlashuvchi bo'ladi.
2. Agar ∑ k = 1 ∞ a k yaqinlashadi va yig'indisi = S, u holda ∑ k = 1 ∞ A · a k, ∑ k = 1 ∞ A · a k = A · S qatorlari ham yaqinlashadi, bunda A-doimiy.
3. Agar ∑ k = 1 ∞ a k va ∑ k = 1 ∞ b k yaqinlashuvchi bo‘lsa, yig‘indilar A Va B ham, u holda ∑ k = 1 ∞ a k + b k va ∑ k = 1 ∞ a k - b k qatorlari ham yaqinlashadi. Miqdorlar teng bo'ladi A+B Va A - B mos ravishda.

4-misol

Qator ∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 ga yaqinlashishini aniqlang.

∑ k = 1 ∞ 2 3 k · k 3 = ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 ifodani o‘zgartiramiz. ∑ k = 1 ∞ 1 k 4 3 qator yaqinlashuvchi hisoblanadi, chunki ∑ k = 1 ∞ 1 k s qator qachon yaqinlashadi s > 1. Ikkinchi xususiyatga ko'ra, ∑ k = 1 ∞ 2 3 · 1 k 4 3 .

5-misol

∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 qator yaqinlashishini aniqlang.

Keling, asl nusxani ∑ n = 1 ∞ 3 + n n 5 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + n n 2 = ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 + ∑ n = 1 ∞1 ni o‘zgartiramiz.

Biz ∑ n = 1 ∞ 3 n 5 2 va ∑ n = 1 ∞ 1 n 2 yig‘indisini olamiz. Har bir qator xossaga ko'ra konvergent hisoblanadi. Shunday qilib, ketma-ketlik yaqinlashganda, asl nusxa ham o'zgaradi.

6-misol

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + qatorlari yaqinlashish yoki yaqinlashmasligini hisoblang. . . va miqdorini hisoblang.

Keling, asl versiyani kengaytiramiz:

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 +. . . = = 1 + 1 2 + 1 4 + 1 8 +. . . - 2 · 3 + 1 + 1 3 + 1 9 +. . . = = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 · ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2

Har bir qator yaqinlashadi, chunki u sonlar qatorining a'zolaridan biridir. Uchinchi xususiyatga ko'ra, biz dastlabki versiyaning ham konvergent ekanligini hisoblashimiz mumkin. Yig'indini hisoblaymiz: qatorning birinchi hadi ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1, maxraj esa = 0. 5, undan keyin, ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 = 1 1 - 0. 5 = 2. Birinchi had ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3, kamayib borayotgan sonlar qatorining maxraji esa = 1 3 ga teng. Biz quyidagilarni olamiz: ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 3 1 - 1 3 = 9 2 .

1 - 6 + 1 2 - 2 + 1 4 - 2 3 + 1 8 - 2 9 + yig'indisini aniqlash uchun yuqorida olingan ifodalardan foydalanamiz. . . = ∑ k = 1 ∞ 1 2 k - 1 - 2 ∑ k = 1 ∞ 1 3 k - 2 = 2 - 2 9 2 = - 7

Seriyaning yaqinlashishini aniqlash uchun zaruriy shart

Ta'rif 11

Agar ∑ k = 1 ∞ a k qator yaqinlashuvchi bo'lsa, uning chegarasi kth term = 0: lim k → + ∞ a k = 0 .

Har qanday variantni tekshiradigan bo'lsak, ajralmas holat haqida unutmasligimiz kerak. Agar u bajarilmasa, seriyalar ajralib chiqadi. Agar lim k → + ∞ a k ≠ 0 bo‘lsa, qator divergent hisoblanadi.

Vaziyat muhim, ammo etarli emasligini aniqlashtirish kerak. Agar lim k → + ∞ a k = 0 tengligi bajarilsa, bu ∑ k = 1 ∞ a k ning yaqinlashuvchi ekanligini kafolatlamaydi.

Keling, misol keltiraylik. ∑ k = 1 ∞ 1 k garmonik qator uchun shart bajariladi lim k → + ∞ 1 k = 0, lekin qator baribir ajralib turadi.

7-misol

∑ n = 1 ∞ n 2 1 + n yaqinlashuvni aniqlang.

lim n → + ∞ n 2 1 + n = lim n → + ∞ n 2 n 2 1 n 2 + 1 n = lim n → + ∞ 1 1 n 2 + 1 n shartning bajarilishi uchun dastlabki ifodani tekshirib ko‘ramiz. = 1 + 0 + 0 = + ∞ ≠ 0

Cheklash nth a'zo 0 ga teng emas. Biz bu seriyaning bir-biridan farq qilishini isbotladik.

Ijobiy qatorning yaqinlashuvini qanday aniqlash mumkin.

Agar siz doimo ushbu xususiyatlardan foydalansangiz, siz doimiy ravishda chegaralarni hisoblashingiz kerak bo'ladi. Ushbu bo'lim sizga misollar va muammolarni hal qilishda qiyinchiliklardan qochishga yordam beradi. Musbat qatorning yaqinlashuvini aniqlash uchun ma'lum bir shart mavjud.

∑ k = 1 ∞ a k, a k > 0 ∀ k = 1, 2, 3, musbat belgining yaqinlashuvi uchun. . . summalarning cheklangan ketma-ketligini aniqlash kerak.

Seriyalarni qanday taqqoslash mumkin

Seriyalarni taqqoslashning bir qancha belgilari mavjud. Yaqinlashuvi aniqlanishi taklif qilingan qatorni yaqinlashuvi ma’lum bo‘lgan qatorlar bilan solishtiramiz.

Birinchi belgi

∑ k = 1 ∞ a k va ∑ k = 1 ∞ b k musbat ishorali qatorlardir. a k ≤ b k tengsizlik uchun amal qiladi k = 1, 2, 3, ... Bundan kelib chiqadiki, ∑ k = 1 ∞ b k qatordan ∑ k = 1 ∞ a k ni olishimiz mumkin. ∑ k = 1 ∞ a k divergent bo'lgani uchun ∑ k = 1 ∞ b k qatorni divergent sifatida aniqlash mumkin.

Ushbu qoida doimo tenglamalarni echish uchun ishlatiladi va yaqinlashuvni aniqlashga yordam beradigan jiddiy argumentdir. Qiyinchilik shundaki, har bir holatda taqqoslash uchun mos misolni topish mumkin emas. Ko'pincha, ketma-ketlik indikator printsipiga ko'ra tanlanadi kth had son va maxrajning darajalarini ayirish natijasiga teng bo'ladi kth seriyasining a'zosi. Faraz qilaylik, a k = k 2 + 3 4 k 2 + 5 bo‘lsa, farq teng bo‘ladi. 2 – 3 = - 1 . Bunday holda, biz seriyani taqqoslash uchun aniqlashimiz mumkin k-chi muddatli b k = k - 1 = 1 k, bu harmonikdir.

Olingan materialni birlashtirish uchun biz bir nechta odatiy variantlarni batafsil ko'rib chiqamiz.

8-misol

∑ k = 1 ∞ 1 k - 1 2 qator nima ekanligini aniqlang.

Chegara = 0 lim k → + ∞ 1 k - 1 2 = 0 bo'lgani uchun biz kerakli shartni bajardik. Tengsizlik adolatli bo'ladi 1 k< 1 k - 1 2 для k, bu tabiiydir. Oldingi paragraflardan biz ∑ k = 1 ∞ 1 k garmonik qator divergent ekanligini bilib oldik. Birinchi mezonga ko'ra, asl nusxaning farqli ekanligini isbotlash mumkin.

9-misol

Ketmalarning yaqinlashuvchi yoki divergentligini aniqlang ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 .

Bu misolda zarur shart bajarilgan, chunki lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 = 0. Biz uni 1 k 3 + 3 k - 1 tengsizlik sifatida ifodalaymiz< 1 k 3 для любого значения k. ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 qator yaqinlashadi, chunki garmonik qator ∑ k = 1 ∞ 1 k s uchun yaqinlashadi. s > 1. Birinchi mezonga ko'ra, raqamlar qatori yaqinlashuvchi degan xulosaga kelishimiz mumkin.

10-misol

∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) qator nima ekanligini aniqlang. lim k → + ∞ 1 k ln (ln k) = 1 + ∞ + ∞ = 0.

Ushbu parametrda siz kerakli shartning bajarilishini belgilashingiz mumkin. Taqqoslash uchun qatorni belgilaymiz. Masalan, ∑ k = 1 ∞ 1 k s. Darajaning nima ekanligini aniqlash uchun ketma-ketlikni ko'rib chiqing (ln (ln k)), k = 3, 4, 5. . . . Ketma-ket a'zolar ln (ln 3) , ln (ln 4) , ln (ln 5) , . . . cheksizgacha ortadi. Tenglamani tahlil qilib, shuni ta'kidlashimiz mumkinki, qiymat sifatida N = 1619, keyin ketma-ketlik shartlari > 2 ga teng. Bu ketma-ketlik uchun 1 k ln (ln k) tengsizlik to'g'ri bo'ladi< 1 k 2 . Ряд ∑ k = N ∞ 1 k 2 сходится согласно первому признаку, так как ряд ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд ∑ k = N ∞ 1 k ln (ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд ∑ k = 3 ∞ 1 k ln (ln k) также сходящийся.

Ikkinchi belgi

∑ k = 1 ∞ a k va ∑ k = 1 ∞ b k musbat sonlar qatori deb faraz qilaylik.

Agar lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ bo‘lsa, u holda ∑ k = 1 ∞ b k qator yaqinlashadi va ∑ k = 1 ∞ a k ham yaqinlashadi.

Agar lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 bo‘lsa, u holda ∑ k = 1 ∞ b k qator ajratilganligi sababli, ∑ k = 1 ∞ a k ham ayirboshlanadi.

Agar lim k → + ∞ a k b k ≠ ∞ va lim k → + ∞ a k b k ≠ 0 bo‘lsa, qatorning yaqinlashuvi yoki divergentsiyasi boshqasining yaqinlashishi yoki divergensiyasini bildiradi.

∑ k = 1 ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 ni ikkinchi belgi yordamida ko'rib chiqing. Taqqoslash uchun ∑ k = 1 ∞ b k ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 yaqinlashuvchi qatorni olamiz. Limitni aniqlaymiz: lim k → + ∞ a k b k = lim k → + ∞ 1 k 3 + 3 k - 1 1 k 3 = lim k → + ∞ k 3 k 3 + 3 k - 1 = 1

Ikkinchi mezonga ko'ra, ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 yaqinlashuvchi qator asl nusxaning ham yaqinlashishini bildirishini aniqlash mumkin.

11-misol

∑ n = 1 ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 qator nima ekanligini aniqlang.

Ushbu versiyada qanoatlantiriladigan lim k → ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 = 0 zarur shartni tahlil qilaylik. Ikkinchi mezonga ko'ra, ∑ k = 1 ∞ 1 k qatorni oling. Biz chegarani qidiramiz: lim k → + ∞ k 2 + 3 4 k 3 + 5 1 k = lim k → + ∞ k 3 + 3 k 4 k 3 + 5 = 1 4

Yuqoridagi tezislarga ko'ra, divergent qator asl qatorning divergentsiyasini keltirib chiqaradi.

Uchinchi belgi

Taqqoslashning uchinchi belgisini ko'rib chiqaylik.

∑ k = 1 ∞ a k va _ ∑ k = 1 ∞ b k musbat son qator deb faraz qilaylik. Agar ma'lum a k + 1 a k ≤ b k + 1 b k uchun shart bajarilsa, bu qatorning yaqinlashuvi ∑ k = 1 ∞ b k ∑ k = 1 ∞ a k qator ham yaqinlashuvchi ekanligini bildiradi. Divergent qator ∑ k = 1 ∞ a k divergentsiyani ∑ k = 1 ∞ b k.

D'Alembert belgisi

Tasavvur qilaylik, ∑ k = 1 ∞ a k musbat sonlar qatori. Agar lim k → + ∞ a k + 1 a k bo‘lsa< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k + 1 a k >1, keyin divergent.

Eslatma 1

Agar chegara cheksiz bo'lsa, D'Alember testi haqiqiydir.

Agar lim k → + ∞ a k + 1 a k = - ∞ bo‘lsa, qator yaqinlashuvchi, agar lim k → ∞ a k + 1 a k = + ∞ bo‘lsa, u divergent hisoblanadi.

Agar lim k → + ∞ a k + 1 a k = 1 bo‘lsa, u holda d’Alember belgisi yordam bermaydi va yana bir qancha tadqiqotlar talab etiladi.

12-misol

D’Alember testi yordamida qator yaqinlashuvchi yoki divergent ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 2 k ekanligini aniqlang.

Kerakli yaqinlashuv sharti bajarilganligini tekshirish kerak. Limitni L'Hopital qoidasi yordamida hisoblaymiz: lim k → + ∞ 2 k + 1 2 k = ∞ ∞ = lim k → + ∞ 2 k + 1 " 2 k " = lim k → + ∞ 2 2 k ln 2 = 2 + ∞ ln 2 = 0

Shart bajarilganligini ko'rishimiz mumkin. D'Alember testidan foydalanamiz: lim k → + ∞ = lim k → + ∞ 2 (k + 1) + 1 2 k + 1 2 k + 1 2 k = 1 2 lim k → + ∞ 2 k + 3 2 k + 1 = 12< 1

Seriya konvergent hisoblanadi.

13-misol

Qatlamning divergent ∑ k = 1 ∞ k k k ekanligini aniqlang! .

Qatorning divergensiyasini aniqlash uchun d'Alember testidan foydalanamiz: lim k → + ∞ a k + 1 a k = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 (k + 1) ! k k k! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 · k ! k k · (k + 1) ! = lim k → + ∞ (k + 1) k + 1 k k · (k + 1) = = lim k → + ∞ (k + 1) k k k = lim k → + ∞ k + 1 k k = lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e > 1

Shuning uchun seriyalar bir-biridan farq qiladi.

Radikal Koshi belgisi

∑ k = 1 ∞ a k musbat ishorali qator deb faraz qilaylik. Agar lim k → + ∞ a k k bo‘lsa< 1 , то ряд является сходящимся, если lim k → + ∞ a k k >1, keyin divergent.

Eslatma 2

Agar lim k → + ∞ a k k = 1 bo'lsa, bu belgi hech qanday ma'lumot bermaydi - qo'shimcha tahlil talab qilinadi.

Bu xususiyatni aniqlash oson bo'lgan misollarda foydalanish mumkin. Raqamlar qatorining a'zosi ko'rsatkichli daraja ifodasi bo'lsa, holat odatiy bo'ladi.

Qabul qilingan ma'lumotlarni birlashtirish uchun bir nechta tipik misollarni ko'rib chiqaylik.

14-misol

∑ k = 1 ∞ 1 (2 k + 1) k musbat ishorali qator yaqinlashuvchi yoki yo‘qligini aniqlang.

Kerakli shart bajarilgan deb hisoblanadi, chunki lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k = 1 + ∞ + ∞ = 0.

Yuqorida muhokama qilingan mezonga ko'ra, biz lim k → + ∞ a k k = lim k → + ∞ 1 (2 k + 1) k k = lim k → + ∞ 1 2 k + 1 = 0 ni olamiz.< 1 . Данный ряд является сходимым.

15-misol

∑ k = 1 ∞ 1 3 k · 1 + 1 k k 2 sonlar qatori yaqinlashadimi?

Biz oldingi bandda tasvirlangan xususiyatdan foydalanamiz lim k → + ∞ 1 3 k 1 + 1 k k 2 k = 1 3 lim k → + ∞ 1 + 1 k k = e 3< 1 , следовательно, числовой ряд сходится.

Integral Koshi testi

∑ k = 1 ∞ a k musbat ishorali qator deb faraz qilaylik. Uzluksiz argument funktsiyasini belgilash kerak y = f(x), bu n = f (n) bilan mos keladi. Agar y = f(x) noldan katta, uzilmaydi va [ a ga kamayadi; + ∞) , bu erda a ≥ 1

U holda, agar ∫ a + ∞ f (x) d x noto'g'ri integrali yaqinlashuvchi bo'lsa, ko'rib chiqilayotgan qator ham yaqinlashadi. Agar u farqlansa, ko'rib chiqilayotgan misolda qator ham ajralib chiqadi.

Funksiyaning kamayib borayotganini tekshirishda oldingi darslarda o‘tilgan materialdan foydalanishingiz mumkin.

16-misol

Konvergentsiya uchun ∑ k = 2 ∞ 1 k · ln k misolini ko'rib chiqing.

lim k → + ∞ 1 k · ln k = 1 + ∞ = 0 bo'lgani uchun qatorning yaqinlashuv sharti bajarilgan deb hisoblanadi. y = 1 x ln x deb hisoblaymiz. U noldan katta, uzilmaydi va [ 2 ga kamayadi; + ∞) . Birinchi ikki nuqta aniq ma'lum, ammo uchinchisini batafsilroq muhokama qilish kerak. Hosilani toping: y " = 1 x · ln x " = x · ln x " x · ln x 2 = ln x + x · 1 x x · ln x 2 = - ln x + 1 x · ln x 2. Bu noldan kichik [ 2 ; + ∞).Bu funksiya kamayib borayotgan tezisni isbotlaydi.

Aslida, y = 1 x ln x funktsiyasi biz yuqorida ko'rib chiqilgan printsipning xususiyatlariga mos keladi. Undan foydalanamiz: ∫ 2 + ∞ d x x · ln x = lim A → + ∞ ∫ 2 A d (ln x) ln x = lim A → + ∞ ln (ln x) 2 A = = lim A → + ∞ (ln) ( ln A) - ln (ln 2)) = ln (ln (+ ∞)) - ln (ln 2) = + ∞

Olingan natijalarga ko'ra, asl misol farqlanadi, chunki noto'g'ri integral divergent hisoblanadi.

17-misol

∑ k = 1 ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 qatorning yaqinlashuvini isbotlang.

lim k → + ∞ 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3 = 1 + ∞ = 0 bo'lgani uchun shart bajarilgan deb hisoblanadi.

k = 4 dan boshlab, to'g'ri ifoda 1 (10 k - 9) (ln (5 k + 8)) 3< 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

Agar ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 qator yaqinlashuvchi deb hisoblansa, u holda taqqoslash tamoyillaridan biriga ko'ra, ∑ k = 4 ∞ 1 (10) qatorga teng bo'ladi. k - 9) ( ln (5 k + 8)) 3 ham yaqinlashuvchi hisoblanadi. Shu tarzda biz asl ifodaning ham konvergent ekanligini aniqlashimiz mumkin.

Isbotga o'tamiz: ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k + 8)) 3 .

y = 1 5 x + 8 (ln (5 x + 8)) 3 funksiya noldan katta bo lgani uchun u uzilmaydi va [ 4 ga kamayadi; + ∞) . Biz oldingi paragrafda tasvirlangan xususiyatdan foydalanamiz:

∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (l n (5 x + 8)) 3 = lim A → + ∞ ∫ 4 A d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = = 1 5 lim A → + ∞ ∫ 4 A d (ln (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3 = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 x + 8)) 2 | 4 A = = - 1 10 lim A → + ∞ 1 (ln (5 A + 8)) 2 - 1 (ln (5 4 + 8)) 2 = = - 1 10 1 + ∞ - 1 (ln 28) 2 = 1 10 · ln 28 2

Olingan konvergent qatorda ∫ 4 + ∞ d x (5 x + 8) (ln (5 x + 8)) 3, ∑ k = 4 ∞ 1 (5 k + 8) (ln (5 k +) ekanligini aniqlashimiz mumkin. 8 )) 3 ham yaqinlashadi.

Raabe belgisi

∑ k = 1 ∞ a k musbat sonlar qatori deb faraz qilaylik.

Agar lim k → + ∞ k · a k a k + 1 bo‘lsa< 1 , то ряд расходится, если lim k → + ∞ k · a k a k + 1 - 1 >1, keyin u birlashadi.

Agar yuqorida tavsiflangan usullar ko'rinadigan natijalarni bermasa, ushbu aniqlash usulidan foydalanish mumkin.

Mutlaq konvergentsiyani o'rganish

Tadqiqot uchun ∑ k = 1 ∞ b k ni olamiz. Biz ∑ k = 1 ∞ b k musbat belgidan foydalanamiz. Biz yuqorida tavsiflangan har qanday mos xususiyatlardan foydalanishimiz mumkin. Agar ∑ k = 1 ∞ b k qator yaqinlashsa, asl qator absolyut yaqinlashadi.

18-misol

∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 qatorni yaqinlashuv uchun ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 = ∑ k = 1 ∞ 1 3 k qatorini o‘rganing. 3 + 2 k - 1.

Shart bajariladi lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 = 1 + ∞ = 0 . Biz ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 2 dan foydalanamiz va ikkinchi belgidan foydalanamiz: lim k → + ∞ 1 3 k 3 + 2 k - 1 1 k 3 2 = 1 3 .

∑ k = 1 ∞ (- 1) k 3 k 3 + 2 k - 1 qator yaqinlashadi. Asl seriya ham mutlaqo konvergentdir.

O'zgaruvchan qatorlarning divergentsiyasi

Agar ∑ k = 1 ∞ b k qator divergent bo'lsa, u holda mos keladigan o'zgaruvchan ∑ k = 1 ∞ b k qator yo divergent yoki shartli yaqinlashuvchi bo'ladi.

∑ k = 1 ∞ b k modullaridan ∑ k = 1 ∞ b k dan ajralish haqida xulosa chiqarishga faqat d'Alember testi va radikal Koshi testi yordam beradi. ∑ k = 1 ∞ b k qator ham zarur yaqinlashuv sharti bajarilmasa, ya'ni lim k → ∞ + b k ≠ 0 bo'lsa, ajralib chiqadi.

19-misol

Divergensiyani tekshirish 1 7, 2 7 2, - 6 7 3, 24 7 4, 120 7 5 - 720 7 6,. . . .

Modul kth atama b k = k shaklida ifodalanadi! 7 k.

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k qatorni tekshiramiz! d'Alember mezoni yordamida yaqinlashish uchun 7 k: lim k → + ∞ b k + 1 b k = lim k → + ∞ (k + 1) ! 7 k + 1 k! 7 k = 1 7 · lim k → + ∞ (k + 1) = + ∞ .

∑ k = 1 ∞ b k = ∑ k = 1 ∞ k! 7 k asl nusxadagi kabi farqlanadi.

20-misol

∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) konvergent hisoblanadi.

Kerakli shartni ko'rib chiqamiz lim k → + ∞ b k = lim k → + ∞ k 2 + 1 ln (k + 1) = ∞ ∞ = lim k → + ∞ = k 2 + 1 " (ln (k + 1)) " = = lim k → + ∞ 2 k 1 k + 1 = lim k → + ∞ 2 k (k + 1) = + ∞ . Shart bajarilmagan, shuning uchun ∑ k = 1 ∞ (- 1) k · k 2 + 1 ln (k + 1) qator farqlanadi. Limit L'Hopital qoidasi yordamida hisoblab chiqilgan.

Shartli yaqinlashish mezonlari

Leybnits testi

Ta'rif 12

Agar o'zgaruvchan qator shartlarining qiymatlari kamaysa b 1 > b 2 > b 3 > . . . > . . . va modul chegarasi = 0 sifatida k → + ∞, keyin ∑ k = 1 ∞ b k qator yaqinlashadi.

17-misol

Konvergentsiya uchun ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) ni hisobga oling.

Seriya ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) shaklida ifodalanadi. Kerakli shart bajariladi: lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 . lim k → + ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) 1 k = lim k → + ∞ 2 k + 1 5 (k + 1) = 2 5 ikkinchi taqqoslash mezoni bo‘yicha ∑ k = 1 ∞ 1 k ni ko‘rib chiqaylik.

∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) = ∑ k = 1 ∞ 2 k + 1 5 k (k + 1) farqlanishini topamiz. ∑ k = 1 ∞ (- 1) k 2 k + 1 5 k (k + 1) qatori Leybnits mezoniga muvofiq yaqinlashadi: ketma-ketlik 2 1 + 1 5 1 1 1 + 1 = 3 10, 2 2 + 1 5 · 2 · (2 ​​+ 1) = 5 30 , 2 · 3 + 1 5 · 3 · 3 + 1 , . . . kamayadi va lim k → + ∞ = 2 k + 1 5 k (k + 1) = 0 bo'ladi.

Seriya shartli ravishda yaqinlashadi.

Abel-Dirichlet testi

Ta'rif 13

∑ k = 1 + ∞ u k · v k yaqinlashadi, agar ( u k ) oshmasa va ∑ k = 1 + ∞ v k ketma-ketlik chegaralangan bo'lsa.

17-misol

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 + ni o'rganing. . . konvergentsiya uchun.

Tasavvur qilaylik

1 - 3 2 + 2 3 + 1 4 - 3 5 + 1 3 + 1 7 - 3 8 + 2 9 +. . . = 1 1 + 1 2 (- 3) + 1 3 2 + 1 4 1 + 1 5 (- 3) + 1 6 = ∑ k = 1 ∞ u k v k

Bu erda (u k) = 1, 1 2, 1 3, . . . ortib bormaydi va ketma-ketlik (v k) = 1, - 3, 2, 1, - 3, 2,. . . cheklangan (S k) = 1, - 2, 0, 1, - 2, 0,. . . . Seriya birlashadi.

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing

Asosiy ta'riflar.

Ta'rif. Cheksiz sonlar qatorining hadlari yig'indisi deyiladi raqamlar seriyasi.

Shu bilan birga, raqamlar
biz ularni seriya a'zolari deb ataymiz va u n- seriyaning umumiy a'zosi.

Ta'rif. Miqdor
,n = 1, 2, … chaqiriladi shaxsiy (qisman) summalar qator.

Shunday qilib, qatorlarning qisman yig'indilarining ketma-ketligini ko'rib chiqish mumkin S 1 , S 2 , …, S n , …

Ta'rif. Qator
chaqirdi konvergent, agar uning qisman yig'indilari ketma-ketligi yaqinlashsa. Konvergent qatorlar yig'indisi uning qisman summalari ketma-ketligi chegarasi hisoblanadi.

Ta'rif. Agar qatorning qisman yig'indilari ketma-ketligi ajralib chiqsa, ya'ni. chegarasi yo'q yoki cheksiz chegarasi bo'lsa, qator chaqiriladi turlicha va unga hech qanday miqdor belgilanmaydi.

Qatorlarning xossalari.

1) Agar qatorning cheklangan sonli shartlarini o'zgartirsangiz, bekor qilsangiz yoki qo'shsangiz, qatorning yaqinlashishi yoki divergensiyasi buzilmaydi.

2) Ikki qatorni ko'rib chiqing
Va
, bu erda C doimiy sondir.

Teorema. Agar qator
yaqinlashadi va uning yig'indisi teng bo'ladiS, keyin seriya
ham yaqinlashadi va uning yig'indisi C ga tengS. (C  0)

3) Ikki qatorni ko'rib chiqing
Va
.Miqdori yoki farq bu seriyalar seriya deb ataladi
, bu erda elementlar bir xil raqamlarga ega bo'lgan asl elementlarni qo'shish (ayirish) yo'li bilan olinadi.

Teorema. Agar qatorlar
Va
yaqinlashadi va ularning yig'indilari mos ravishda tengdirSVa , keyin seriya
ham yaqinlashadi va uning yig'indisi teng bo'ladiS +  .

Ikki yaqinlashuvchi qatorning ayirmasi ham konvergent qator bo'ladi.

Konvergent va divergent qatorlarning yig'indisi divergent qatordir.

Ikki divergent qator yig'indisi haqida umumiy fikr bildirish mumkin emas.

Seriyalarni o'rganishda ular asosan ikkita masalani hal qiladilar: konvergentsiyani o'rganish va qatorlar yig'indisini topish.

Koshi mezoni.

(ketmalarning yaqinlashishi uchun zarur va etarli shartlar)

Ketma-ketlik uchun
konvergent edi, bu har qanday uchun zarur va etarli
shunday raqam bor ediN, bu dan > Nva har qandayp> 0, bu erda p butun son bo'lsa, quyidagi tengsizlik amal qiladi:

.

Isbot. (zarur)

Mayli
, keyin istalgan raqam uchun
tengsizlik bo'ladigan N soni mavjud

n>N bo'lganda bajariladi. n>N va har qanday p>0 butun soni uchun tengsizlik ham amal qiladi
. Ikkala tengsizlikni hisobga olgan holda biz quyidagilarni olamiz:

Ehtiyoj isbotlangan. Biz etarlilik isbotini ko'rib chiqmaymiz.

Keling, seriya uchun Koshi mezonini tuzamiz.

Serial uchun
konvergent edi, bu har qanday uchun zarur va etarli
raqam bor ediNshunday dan> Nva har qandayp>0 tengsizlik o'rinli bo'ladi

.

Biroq, amalda, Koshi mezonidan to'g'ridan-to'g'ri foydalanish juda qulay emas. Shuning uchun, qoida tariqasida, oddiyroq konvergentsiya testlari qo'llaniladi:

1) Agar qator bo'lsa
yaqinlashsa, umumiy atama zarur u n nolga moyil bo'ldi. Biroq, bu shart etarli emas. Faqat shuni aytishimiz mumkinki, agar umumiy atama nolga moyil bo'lmasa, unda seriya aniq ajralib chiqadi. Masalan, garmonik qator deb ataladigan uning umumiy atamasi nolga moyil bo'lsa-da, farqlanadi.

Misol. Seriyalarning yaqinlashuvini o‘rganing

Biz topamiz
- konvergentsiyaning zaruriy mezoni bajarilmasa, bu qator ajralishini bildiradi.

2) Agar qator yaqinlashsa, uning qisman yig’indilari ketma-ketligi chegaralangan bo’ladi.

Biroq, bu belgi ham etarli emas.

Masalan, 1-1+1-1+1-1+ … +(-1) n +1 +… qator farqlanadi, chunki uning qisman yig'indilari ketma-ketligi tufayli farqlanadi

Biroq, qisman summalar ketma-ketligi cheklangan, chunki
har qanday vaqtda n.

Salbiy bo'lmagan shartlarga ega seriyalar.

O'zgarmas ishorali qatorlarni o'rganayotganda, biz faqat manfiy bo'lmagan shartli qatorlarni ko'rib chiqish bilan cheklanamiz, chunki Bu qatorlardan oddiygina -1 ga ko'paytirilsa, manfiy shartli qatorlar paydo bo'lishi mumkin.

Teorema. Seriyaning konvergentsiyasi uchun
manfiy bo'lmagan shartlar bilan qatorning qisman yig'indilari chegaralanishi uchun zarur va etarli.

Ketmalarni manfiy bo'lmagan shartlar bilan taqqoslash uchun belgi.

Ikki qator berilsin
Va
da u n , v n  0 .

Teorema. Agar u n  v n har qanday vaqtda n, keyin qatorlarning yaqinlashuvidan
qator yaqinlashadi
, va qatorning ajralishidan
qator farqlanadi
.

Isbot. bilan belgilaymiz S n Va  n qatorlarning qisman yig'indisi
Va
. Chunki teorema, qator shartlariga ko'ra
yaqinlashadi, keyin uning qisman summalari chegaralanadi, ya'ni. hammaning oldida n n  M, bu yerda M ma’lum son. Lekin chunki u n  v n, Bu S n   n keyin qatorning qisman summalari
ham cheklangan va bu konvergentsiya uchun etarli.

Misol. Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Chunki
, va garmonik qator ajraladi, keyin qator ajraladi
.

Misol.

Chunki
, va seriyalar
yaqinlashadi (kamayuvchi geometrik progressiya kabi), keyin qator
ham birlashadi.

Quyidagi konvergentsiya belgisi ham ishlatiladi:

Teorema. Agar
va chegarasi bor
, Qayerdah– noldan boshqa raqam, keyin qator
Va
konvergentsiya nuqtai nazaridan xuddi shunday yo'l tutadi.

D'Alembert belgisi.

(Jan Leron d'Alember (1717 - 1783) - fransuz matematigi)

Agar serial uchun
ijobiy shartlar bilan shunday raqam mavjudq<1, что для всех достаточно больших ntengsizlik mavjud

keyin bir qator
birlashadi, agar hamma uchun etarlicha katta bo'lsanshart bajariladi

keyin bir qator
farqlanadi.

D'Alembertning cheklovchi belgisi.

D'Alembertning cheklash mezoni yuqoridagi D'Alember mezonining natijasidir.

Agar chegara bo'lsa
, keyin qachon < 1 ряд сходится, а при  > 1 – farqlanadi. Agar = 1, u holda konvergentsiya savoliga javob berib bo'lmaydi.

Misol. Qatorning yaqinlashuvini aniqlang .

Xulosa: qatorlar yaqinlashadi.

Misol. Qatorning yaqinlashuvini aniqlang

Xulosa: qatorlar yaqinlashadi.

Koshi belgisi. (radikal belgi)

Agar serial uchun
salbiy bo'lmagan shartlar bilan bunday raqam mavjudq<1, что для всех достаточно больших ntengsizlik mavjud

,

keyin bir qator
birlashadi, agar hamma uchun etarlicha katta bo'lsantengsizlik mavjud

keyin bir qator
farqlanadi.

Natija. Agar chegara bo'lsa
, keyin qachon<1 ряд сходится, а при >1-qator farqlanadi.

Misol. Qatorning yaqinlashuvini aniqlang
.

Xulosa: qatorlar yaqinlashadi.

Misol. Qatorning yaqinlashuvini aniqlang
.

Bular. Koshi testi seriyalarning yaqinlashuvi haqidagi savolga javob bermaydi. Kerakli konvergentsiya shartlari bajarilganligini tekshiramiz. Yuqorida aytib o'tilganidek, agar qator yaqinlashsa, u holda qatorning umumiy hadi nolga intiladi.

,

Shunday qilib, konvergentsiyaning zaruriy sharti qondirilmaydi, ya'ni qatorlar ajralib chiqadi.

Integral Koshi testi.

Agar (x) uzluksiz musbat funksiya oraliqda kamayib boradi Va
keyin integrallar
Va
konvergentsiya nuqtai nazaridan xuddi shunday yo'l tutadi.

O'zgaruvchan seriyalar.

O'zgaruvchan qatorlar.

Muqobil qatorni quyidagicha yozish mumkin:

Qayerda

Leybnits belgisi.

Agar o'zgaruvchan qatorning belgisi bo'lsa mutlaq qiymatlaru i kamayib bormoqda
va umumiy atama nolga intiladi
, keyin qator yaqinlashadi.

Ketmalarning mutlaq va shartli yaqinlashuvi.

Keling, ba'zi o'zgaruvchan qatorlarni ko'rib chiqaylik (ixtiyoriy belgilar shartlari bilan).

(1)

va qator a'zolarining mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan qator (1):

(2)

Teorema. (2) qatorning yaqinlashuvidan (1) qatorning yaqinlashuvi kelib chiqadi.

Isbot. Seriya (2) - manfiy bo'lmagan shartlarga ega seriya. Agar (2) qator yaqinlashsa, u holda Koshi mezoni bo'yicha har qanday >0 uchun N son mavjud bo'lib, n>N va har qanday p>0 butun soni uchun quyidagi tengsizlik to'g'ri bo'ladi:

Mutlaq qiymatlar xususiyatiga ko'ra:

Ya'ni, Koshi mezoniga ko'ra, (2) qatorlarning yaqinlashuvidan (1) qatorlarning yaqinlashuvi kelib chiqadi.

Ta'rif. Qator
chaqirdi mutlaqo konvergent, agar qator yaqinlashsa
.

Ko'rinib turibdiki, doimiy belgilar qatori uchun konvergentsiya va absolyut yaqinlik tushunchalari mos keladi.

Ta'rif. Qator
chaqirdi shartli konvergent, agar u yaqinlashsa va qator
farqlanadi.

Muqobil seriyalar uchun D'Alembert va Koshi testlari.

Mayli
- o'zgaruvchan seriyalar.

D'Alembert belgisi. Agar chegara bo'lsa
, keyin qachon<1 ряд
absolyut yaqinlashuvchi bo'ladi va qachon>

Koshi belgisi. Agar chegara bo'lsa
, keyin qachon<1 ряд
absolyut yaqinlashuvchi bo’ladi, >1 bo’lsa qator divergent bo’ladi. =1 bo'lganda, belgi qatorning yaqinlashuvi haqida javob bermaydi.

Absolyut yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari.

1) Teorema. Seriyaning mutlaq yaqinlashuvi uchun
ikki konvergent qatorning manfiy bo'lmagan hadlari bilan ayirmasi sifatida ifodalanishi zarur va yetarlidir.

Natija. Shartli konvergent qator - manfiy bo'lmagan hadlari nolga moyil bo'lgan ikkita divergent qatorning ayirmasi.

2) Konvergent qatorda ketma-ketlik hadlarini o‘z tartibini o‘zgartirmaydigan har qanday guruhlash qatorning yaqinlashuvi va kattaligini saqlaydi.

3) Agar qator absolyut yaqinlashsa, undan hadlarni har qanday almashtirish orqali olingan qator ham absolyut yaqinlashadi va bir xil yig’indiga ega bo’ladi.

Shartli yaqinlashuvchi qatorning shartlarini qayta tartibga solish orqali har qanday oldindan belgilangan yig'indiga ega bo'lgan shartli yaqinlashuvchi qatorni va hatto divergent qatorni olish mumkin.

4) Teorema. Absolyut yaqinlashuvchi qator a'zolarining har qanday guruhlanishi uchun (bu holda guruhlar soni chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin, guruhdagi a'zolar soni esa chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin), yig'indisi yig'indisi olinadi. bulardan asl qatorlar yig'indisiga teng.

5) Agar qatorlar bo'lsa Va mutlaq yaqinlashadi va ularning yig'indilari mos ravishda tengdir S va , keyin shaklning barcha mahsulotidan tashkil topgan qator
ixtiyoriy tartibda olingan, ham mutlaq yaqinlashadi va uning yig'indisi ga teng S - ko'paytirilgan qatorlar yig'indilarining ko'paytmasi.

Agar shartli konvergent qatorlarni ko'paytirsangiz, natijada divergent qatorni olishingiz mumkin.

Funktsional ketma-ketliklar.

Ta'rif. Agar qator a'zolari sonlar emas, balki ning funktsiyalari bo'lsa X, keyin qator chaqiriladi funktsional.

Funktsional qatorlarning yaqinlashuvini o‘rganish sonli qatorlarni o‘rganishga qaraganda ancha murakkab. Xuddi shu funktsional seriyalar bir xil o'zgaruvchan qiymatlarga ega bo'lishi mumkin X yaqinlashadi va boshqalar bilan - ajraladi. Shuning uchun funktsional qatorlarning yaqinlashuvi masalasi o'zgaruvchining ushbu qiymatlarini aniqlashga to'g'ri keladi X, bunda qator yaqinlashadi.

Bunday qiymatlar to'plami deyiladi konvergentsiya maydoni.

Seriyaning yaqinlashuv mintaqasiga kiritilgan har bir funktsiyaning chegarasi ma'lum son bo'lganligi sababli, funktsional ketma-ketlikning chegarasi ma'lum bir funktsiya bo'ladi:

Ta'rif. Keyingi ketma-ketlik ( f n (x) } birlashadi faoliyat ko'rsatish f(x) segmentida, agar har qanday raqam uchun >0 va istalgan nuqta uchun X ko'rib chiqilayotgan segmentdan N = N(, x) son mavjud bo'lib, tengsizlik

n>N bo'lganda bajariladi.

Tanlangan qiymat >0 bo'lsa, segmentning har bir nuqtasi o'z raqamiga ega va shuning uchun segmentning barcha nuqtalariga mos keladigan cheksiz sonlar bo'ladi. Agar siz ushbu raqamlarning eng kattasini tanlasangiz, unda bu raqam segmentning barcha nuqtalari uchun mos bo'ladi, ya'ni. barcha nuqtalar uchun umumiy bo'ladi.

Ta'rif. Keyingi ketma-ketlik ( f n (x) } bir xilda birlashadi faoliyat ko'rsatish f(x) segmentida, agar har qanday >0 son uchun N = N() son bo'lsa, tengsizlik

segmentning barcha nuqtalari uchun n>N uchun bajariladi.

Misol. Ketma-ketlikni ko'rib chiqing

Bu ketma-ketlik butun son chizig'ida funktsiyaga yaqinlashadi f(x)=0 , chunki

Keling, ushbu ketma-ketlikning grafiklarini tuzamiz:

sinx

Ko'rinib turibdiki, soni ortib bormoqda n ketma-ketlik grafigi o'qga yaqinlashadi X.

Funktsional seriyalar.

Ta'rif. Shaxsiy (qisman) summalar funktsional diapazon
funksiyalar deyiladi

Ta'rif. Funktsional diapazon
chaqirdi konvergent nuqtada ( x=x 0 ), agar uning qisman yig'indilari ketma-ketligi shu nuqtada yaqinlashsa. Ketma-ketlik chegarasi
chaqirdi miqdori qator
nuqtada X 0 .

Ta'rif. Barcha qiymatlar to'plami X, buning uchun qator yaqinlashadi
chaqirdi konvergentsiya maydoni qator.

Ta'rif. Qator
chaqirdi bir xil konvergent intervalda, agar ushbu qatorning qisman yig'indilari ketma-ketligi ushbu intervalda bir xilda yaqinlashsa.

Teorema. (Keriyalarning bir xil yaqinlashuvi uchun Koshi mezoni)

Seriyaning bir xil konvergentsiyasi uchun
har qanday raqam uchun bu zarur va etarli >0 bunday raqam mavjud ediN( ), qaysi soatdan> Nva har qanday butunp>0 tengsizlik

intervaldagi barcha x uchun amal qiladi [a, b].

Teorema. (Yagona konvergentsiya uchun Weierstrass testi)

(Karl Teodor Vilgelm Veyerstrass (1815 - 1897) - nemis matematigi)

Qator
oraliqda bir xil va mutlaq yaqinlashadi [a, b], agar uning bir xil segmentdagi hadlarining modullari musbat hadli konvergent sonlar qatorining tegishli hadlaridan oshmasa:

bular. tengsizlik mavjud:

.

Ular, shuningdek, bu holda funktsional qator deb aytishadi
ixtisoslashtirilgan raqamlar seriyasi
.

Misol. Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring
.

Chunki
har doim, bu aniq
.

Bundan tashqari, ma'lumki, umumiy harmonik qator qachon=3>1 yaqinlashsa, u holda Veyershtrass testiga muvofiq, o‘rganilayotgan qator bir xilda va bundan tashqari istalgan oraliqda yaqinlashadi.

Misol. Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring .

[-1,1] oraliqda tengsizlik amal qiladi
bular. Weiershtrass mezoniga ko'ra, o'rganilayotgan qatorlar ushbu segmentda yaqinlashadi, lekin (-, -1)  (1, ) oraliqlari bo'yicha farqlanadi.

Bir xil yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari.

1) Ketmalar yig‘indisining uzluksizligi haqidagi teorema.

Agar seriya a'zolari
- segmentda uzluksiz [a, b] funktsiyasi va qator bir xilda yaqinlashadi, keyin uning yig'indisiS(x) [ oraliqdagi uzluksiz funksiyadir.a, b].

2) Seriyaning hadlar bo‘yicha integrasiyasi haqidagi teorema.

Segmentda bir xilda yaqinlashish [a, b] uzluksiz atamalarga ega qator bu oraliqda haddan-sonli integrallanishi mumkin, ya'ni. segment boʻyicha uning hadlari integrallaridan tashkil topgan qator [a, b] , bu segmentdagi qatorlar yig‘indisining integraliga yaqinlashadi.

3) qatorni hadlar bo’yicha differensiallash haqidagi teorema.

Agar seriya a'zolari
segmentga yaqinlashish [a, b] uzluksiz hosilalarga ega boʻlgan uzluksiz funksiyalarni va shu hosilalardan tashkil topgan qatorni ifodalaydi
bu segmentda bir xilda yaqinlashadi, keyin bu qator bir xilda yaqinlashadi va atama bo'yicha farqlanishi mumkin.

Ketma-ket yig'indisi o'zgaruvchining qandaydir funksiyasi ekanligiga asoslanadi X, funktsiyani ketma-ket (funksiyani qatorga kengaytirish) ko'rinishida ifodalash operatsiyasini bajarishingiz mumkin, bu funksiyalar bilan integrasiyalash, differentsiallash va boshqa operatsiyalarda keng qo'llaniladi.

Amalda ko'pincha funktsiyalarni quvvat seriyali kengaytirish qo'llaniladi.

Quvvat seriyasi.

Ta'rif. Quvvat seriyasi shakl qatori deyiladi

.

Quvvat qatorlarining yaqinlashuvini o'rganish uchun D'Alember testidan foydalanish qulay.

Misol. Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Biz d'Alember belgisini qo'llaymiz:

.

Biz bu qator bir-biriga yaqinlashishini topamiz
da farqlanadi
.

Endi 1 va -1 chegara nuqtalarida yaqinlashishni aniqlaymiz.

x = 1 uchun:
Seriya Leybnits mezoniga ko'ra birlashadi (qarang Leybnits belgisi.).

x = -1 da:
qator ajraladi (garmonik qator).

Abel teoremalari.

(Nils Henrik Abel (1802 - 1829) - norvegiyalik matematik)

Teorema. Agar kuch seriyasi
da birlashadix = x 1 , keyin u birlashadi va bundan tashqari, mutlaqo hamma uchun
.

Isbot. Teorema shartlariga ko'ra, qatorning hadlari cheklangan bo'lgani uchun, demak

Qayerda k- ba'zi doimiy raqam. Quyidagi tengsizlik haqiqatdir:

Bu tengsizlikdan ko'rinib turibdiki, qachon x< x 1 bizning qatorimiz shartlarining raqamli qiymatlari yuqorida yozilgan tengsizlikning o'ng tomonidagi qatorning mos keladigan hadlaridan kamroq (hech bo'lmaganda ko'p emas) bo'ladi, ular geometrik progressiyani tashkil qiladi. Bu progressiyaning maxraji teorema shartlariga ko'ra, u birdan kichik, shuning uchun bu progressiya konvergent qatordir.

Shuning uchun, taqqoslash mezoniga asoslanib, biz ketma-ket degan xulosaga kelamiz
yaqinlashadi, bu qatorni bildiradi
mutlaqo birlashadi.

Shunday qilib, agar kuch seriyasi
bir nuqtada birlashadi X 1 , keyin u 2 uzunlik oralig'idagi istalgan nuqtada mutlaqo yaqinlashadi bir nuqtada markazlashtirilgan X = 0.

Natija. Agar da x = x 1 ketma-ket ajraladi, keyin hamma uchun farq qiladi
.

Shunday qilib, har bir quvvat seriyasi uchun R ijobiy soni mavjud, shuning uchun hamma uchun X shu kabi
seriya mutlaqo konvergent va hamma uchun
qator ajralib chiqadi. Bunday holda, R raqami chaqiriladi yaqinlashish radiusi. Interval (-R, R) deyiladi konvergentsiya oralig'i.

E'tibor bering, bu interval bir yoki ikki tomondan yopilishi yoki yopilmasligi mumkin.

Konvergentsiya radiusini quyidagi formula yordamida topish mumkin:

Misol. Seriyaning yaqinlashish maydonini toping

Konvergentsiya radiusini topish
.

Shuning uchun, bu qator har qanday qiymat uchun yaqinlashadi X. Ushbu seriyaning umumiy atamasi nolga intiladi.

Teorema. Agar kuch seriyasi
ijobiy qiymatga yaqinlashadi x=x 1 , keyin u ichidagi har qanday intervalda bir xilda yaqinlashadi
.

Quvvat seriyalari bilan harakatlar.

Raqamlarning cheksiz ketma-ketligini ko'rib chiqing, ya'ni. har bir natural son bo'lgan sonlar to'plami n ma'lum bir qoidaga ko'ra, ma'lum bir raqam mos keladi a n. Shaklning ifodasi raqamlar qatori deb ataladi, raqamlarning o'zi qator a'zolari deb ataladi, - seriyaning umumiy a'zosi. Qisqacha ketma-ketlik quyidagicha yozilgan: .

Faqat o'z ichiga olgan miqdorlar n turkumning birinchi a'zolari chaqiriladi qatorning qisman summalari.

Agar uning qisman yig’indilari ketma-ketligi chekli chegaraga ega bo’lsa, sonlar qatori yaqinlashuvchi deyiladi. Raqam S qator yig'indisi deyiladi.

Agar chegara mavjud bo'lmasa, u holda qator divergent deb ataladi.

1-misol. Cheksiz geometrik progressiya berilgan. Keling, serial yarataylik

va qatorning yaqinlashuvi ta'rifiga asoslanib, uni konvergentsiya uchun tekshiring. Buning uchun qisman yig'indi hosil qilaylik =. Maktab matematika kursidan ma'lumki. Keling, bu qanday ishlashini eslaylik. Buni isbotlash uchun keling, ajratamiz

Keling, bu erda uchta holat mumkinligini hisobga olgan holda chegarani hisoblaylik:

2) agar q= 1, keyin = va ,

3) agar q= -1, keyin =, va , a =, va. Bu qisman summalar ketma-ketligi bitta chegaraga ega emasligini anglatadi.

Shunday qilib, biz shunday xulosaga kelamiz: geometrik progressiya agar bo'lsa yaqinlashadi va ajraladi.

2-misol. Seriyaning farqlanishini isbotlang

Yechim. Keling, qatorning qisman yig'indisini hisoblaylik:

>, ya'ni. > ,

va qisman yig'indining chegarasi cheksizlikka teng (chegaralar haqidagi taniqli teorema bo'yicha: agar x n > y n, keyin ): = ¥. Bu shuni anglatadiki, bu seriya bir-biridan farq qiladi.

Konvergent qatorlarning xossalari

Ikki qatorni ko'rib chiqing va . Ikkinchi qator birinchisini tashlab, birinchisidan olinadi m uning a'zolari. Bu qator qatorning qolgan qismi deb ataladi va belgilanadi r n.

Teorema 1. Konvergent qatorning shartlari ma'lum songa ko'paytirilsa BILAN, u holda qatorning yaqinlashuvi buzilmaydi va yig'indi ga ko'paytiriladi. BILAN.

Teorema 2. Ikki konvergent qatorni hadlar bo'yicha qo'shish (ayirish) mumkin va natijada olingan qatorlar yig'indisi ga teng bo'ladi, bu erda birinchi qatorning yig'indisi va ikkinchisining yig'indisi.

Teorema 3. Agar qator yaqinlashsa, uning qoldiqlaridan birortasi yaqinlashadi. Qatorning qolgan qismining yaqinlashuvidan ketma-ketlikning o'zi yaqinlashuvi kelib chiqadi.

Buni boshqa yo'l bilan aytishimiz mumkin: ketma-ketlikdagi cheklangan sonli atamalarni bekor qilish (yoki belgilash) qatorning yaqinlashishiga ta'sir qilmaydi. Va bu xususiyat eng diqqatga sazovordir. Haqiqatan ham, qatorlar yig'indisi cheksizlikka teng bo'lsin (qator farqlanadi). Biz qatorning juda katta, ammo chekli sonli shartlarini qo'shamiz. Bu miqdor juda katta bo'lishi mumkin, lekin, yana, bu cheklangan son. Demak, bu qatorning qolgan qismining yig'indisi va u erda qator a'zolari allaqachon ahamiyatsiz sonlar bo'lib, hadlar sonining cheksizligi tufayli hali ham cheksizlikka teng ekanligini anglatadi.

Teorema 4. Konvergentsiyaning zaruriy belgisi.

Agar qator yaqinlashsa, uning umumiy atamasi a n nolga intiladi, ya'ni. .

Isbot. Haqiqatan ham,

Va agar qatorlar yaqinlashsa, u holda va , va shuning uchun uchun.

E'tibor bering, bu belgi etarli emas, ya'ni. qator farq qilishi mumkin va uning umumiy atamasi nolga intiladi. 2-misolda ketma-ketlik farqlanadi, garchi uning umumiy atamasi .

Lekin agar va n da nolga intilmaydi, u holda qator farqlanadi ( qatorning farqlanishining etarli belgisi).

Ijobiy hadli qatorlarning yaqinlashishi

Agar hammasi ijobiy bo'lsa, bir qator deyiladi.

Bunday qatorning qisman yig'indisi S n ortib borayotgan ketma-ketlikni hosil qiladi, chunki har bir oldingi keyingisidan kamroq, ya'ni. . Limitlar nazariyasidan ma'lumki (Bolzano-Vayershtrass teoremasi), agar ortib borayotgan ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan bo'lsa (ya'ni hamma uchun. S n shunday raqam bor M, Nima S n < M Barcha uchun n), unda uning chegarasi bor. Bu quyidagi teoremani nazarda tutadi.

Teorema. Ijobiy hadlari bo'lgan qator, agar uning qisman yig'indilari yuqorida chegaralangan bo'lsa, yaqinlashadi va aks holda ajralib chiqadi.

Hammasi shu mulkka asoslangan musbat hadli qatorlar yaqinlashuvining yetarli belgilari. Keling, asosiylarini ko'rib chiqaylik.

Taqqoslash belgisi

Keling, salbiy bo'lmagan atamalar bilan ikkita qatorni ko'rib chiqaylik: - (3) va - (4) va ba'zilaridan boshlab n. U holda (4) qatorlarning yaqinlashuvidan (3) qatorlarning yaqinlashuvi kelib chiqadi. Va (3) qatorning divergentsiyasidan (4) qatorning ajralishi kelib chiqadi.

Aks holda: hadlari kattaroq qator yaqinlashsa, kichikroq hadli qatorlar ham yaqinlashadi; agar kichikroq hadlari bo'lgan qator ajralib chiqsa, kattaroq hadlari bo'lgan qatorlar ham ajralib chiqadi.

Misol. Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring.

Yechim. Seriyaning umumiy hadi, qator esa maxrajli geometrik progressiya hadlarining cheksiz yig‘indisidir.< 1, т.е. это сходящийся ряд. По признаку сравнения (т.к. сходится ряд с б?льшими членами, то сходится и ряд с меньшими) данный ряд сходится.

Ekstremal shaklda taqqoslash belgisi

Ikki qatorni ko'rib chiqaylik va , cheklangan son bo'lsin. Keyin ikkala qator bir vaqtning o'zida yaqinlashadi yoki ajralib chiqadi.

Misol.

Yechim. Keling, taqqoslash uchun seriyani tanlaylik, seriyaning umumiy atamasi katta uchun qanday harakat qilishini bilib olaylik n:

Bular. ~ , va taqqoslash qatori sifatida biz ilgari ko'rsatilgandek, bir-biridan ajralib turadigan qatorlarni olamiz.

Keling, chegarani hisoblaylik

va bu ikkala qatorning ham xuddi shunday yo'l tutishini anglatadi, ya'ni. bu qator ham farqlanadi.

D'Alembert belgisi

Seriya berilgan va chegara mavjud bo'lsin. Keyin agar l < 1, то ряд сходится, если l> 1, agar bo'lsa, qator ajralib chiqadi l= 1, keyin bu belgi javob bermaydi (ya'ni qo'shimcha tadqiqot kerak).

Misol. Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring (esda tuting, ya'ni. n-faktorial - 1 dan gacha bo'lgan barcha butun sonlarning ko'paytmasi n).

Yechim. Ushbu seriya uchun (uning o'rniga uni topish kerak n almashtirmoq n+ 1). Keling, chegarani hisoblaylik

va chegara 1 dan kichik bo'lgani uchun, bu qator yaqinlashadi.

Radikal Koshi belgisi

Seriya berilgan va chegara mavjud bo'lsin. Agar l< 1, то ряд сходится, если l> 1, agar bo'lsa, qator ajralib chiqadi l= 1, keyin bu belgi javob bermaydi (qo'shimcha tadqiqotlar talab qilinadi).

Misol. Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Yechim. Serialning umumiy a'zosi. Keling, chegarani hisoblaylik. Bu ketma-ketliklarning birlashishini anglatadi.

Integral Koshi testi

Keling, qatorni ko'rib chiqaylik va intervalda deb faraz qilaylik X O uzluksiz, musbat va monoton kamayuvchi funksiya mavjudki, , n= 1, 2, 3… . Keyin qator va noto'g'ri integral bir vaqtning o'zida yaqinlashadi yoki ajralib chiqadi.

E'tibor bering, agar qator berilgan bo'lsa, u holda funktsiya intervalda ko'rib chiqiladi.

Eslatib o'tamiz, ko'rsatilgan noto'g'ri integral chekli chegara bo'lsa, konvergent deyiladi va keyin =. Agar at ning chekli chegarasi bo'lmasa, ular shunday deyishadi noto'g'ri integral farqlanadi

Misol. Keling, seriyani ko'rib chiqaylik - umumlashgan garmonik qator yoki darajali Dirixlet qatori s. Agar s= 1, keyin qator chaqiriladi garmonik qator.

Biz bu qatorni integral Koshi testi yordamida tekshiramiz: =, va = funktsiyasi testda ko'rsatilgan barcha xususiyatlarga ega. Noto'g'ri integralni hisoblaymiz.

Uchta holat mumkin:

1) s < 1, и тогда

integral ajralib chiqadi.

2) qachon s = 1

integral ajralib chiqadi.

3) agar s> 1, keyin

integral yaqinlashadi.

Xulosa. Umumlashtirilgan garmonik qator yaqinlashadi, agar s> 1 va agar farqlanadi s ≤ 1.

Ushbu seriya ko'pincha darajalarni o'z ichiga olgan boshqa qatorlar bilan taqqoslash uchun ishlatiladi n.

Misol. Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring.

Yechim. Ushbu seriya uchun ~ =, ya'ni biz ushbu seriyani eksponentli Dirixlet qatori kabi birlashadigan qator bilan taqqoslaymiz. s = 2 > 1.

Cheklangan shakldagi taqqoslash mezonidan foydalanib, biz ushbu qator va Dirixlet seriyasining umumiy shartlari nisbati chegarasini topamiz:

Shuning uchun bu qator ham yaqinlashadi.

Foydalanish bo'yicha tavsiyalaryaqinlashish belgilari

Avvalo, qatorning yaqinlashuvi uchun kerakli mezondan foydalanish va qatorning umumiy hadining chegarasini hisoblash kerak. Agar , u holda ketma-ketlik aniq farqlanadi va agar bo'lsa, etarli belgilardan birini ishlatish kerak.

Taqqoslash belgilari Buni qatorning umumiy termini uchun ifodani o‘zgartirib, asl qatordan yaqinlashuvi (yoki divergentsiyasi) ma’lum bo‘lgan qatorga o‘tish mumkin bo‘lgan hollarda qo‘llash foydalidir. Xususan, agar u faqat vakolatlarni o'z ichiga olsa n va boshqa funktsiyalarni o'z ichiga olmaydi, u har doim bajarilishi mumkin.

Taqqoslash belgilari asl qatorni umumlashgan garmonik qator yoki cheksiz geometrik progressiya hadlaridan tuzilgan qator bilan solishtirish mumkin bo‘lganda ishlatiladi.< применяют, если при замене n . Самой медленно растущей функцией является логарифм, а быстрее всего растёт степенно-показательная функция . Между ними другие известные функции располагаются в следующем порядке:

Shuning uchun, agar hisoblagich ushbu funktsiyalardan birini o'z ichiga olsa va maxraj uning chap tomonidagi funktsiyani o'z ichiga olgan bo'lsa, unda katta ehtimollik bilan qatorlar ajralib chiqadi va aksincha.

OLIY MATEMATIKA

Raqamlar seriyasi

Leksiya.Raqamlar seriyasi

1. Sonlar qatorining ta’rifi. Konvergentsiya

2. Sonlar qatorining asosiy xossalari

3. Ijobiy shartli turkumlar. Konvergentsiya belgilari

4. O‘zgaruvchan qatorlar. Leybnits konvergentsiya testi

5. Muqobil qatorlar

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar

Adabiyot

Leksiya. RAQAMLI SERIAL

1. Sonlar qatorining ta’rifi. Konvergentsiya.

2. Sonlar qatorining asosiy xossalari.

3. Ijobiy shartli turkumlar. Konvergentsiya belgilari.

4. O‘zgaruvchan qatorlar. Leybnits konvergentsiya testi.

5. Muqobil qatorlar.

1. Sonlar qatorining ta’rifi. Konvergentsiya

Matematik ilovalarda, shuningdek, iqtisod, statistika va boshqa sohalardagi ba'zi masalalarni yechishda cheksiz sonli atamalar ko'rib chiqiladi. Bu erda biz bunday miqdorlar nimani anglatishini ta'riflaymiz.

Cheksiz sonlar ketma-ketligi berilsin

, , …, , …

Ta'rif 1.1. Raqamlar seriyasi yoki oddiygina yaqin shaklning ifodasi (yig'indisi) deyiladi

. (1.1) deyiladi raqam a'zolari, – umumiy yoki n – m seriyasining a'zosi.

(1.1) qatorni aniqlash uchun natural argumentning funksiyasini ko'rsatish kifoya

qatorning sonini uning raqami bo'yicha hisoblash

1.1-misol. Mayli

. Qator (1.2)

chaqirdi garmonik qator .

1.2-misol. Mayli

, Qator (1.3)

chaqirdi umumlashgan garmonik qator. Maxsus holatda qachon

garmonik qator olinadi.

1.3-misol. Mayli

= . Qator (1.4)

chaqirdi Geometrik progressiyaga yaqin.

(1.1) qator shartlaridan sonni hosil qilamiz qismlar ketma-ketligimiqdor Qayerda

– deyiladi qatorning birinchi shartlari yig‘indisi n-th qisman miqdor, ya'ni , , ,

…………………………….

, (1.5)

…………………………….

Raqamlar ketma-ketligi

sonining cheksiz ko'payishi bilan u:

1) cheklangan chegaraga ega;

2) chekli chegaraga ega emas (chegara mavjud emas yoki cheksizlikka teng).

Ta'rif 1.2. Seriya (1.1) deyiladi konvergent, agar uning qisman yig'indilari ketma-ketligi (1,5) cheklangan chegaraga ega bo'lsa, ya'ni.

Bu holda raqam

chaqirdi miqdori qator (1.1) va yoziladi.

Ta'rif 1.3.Seriya (1.1) deyiladi turlicha, uning qisman yig'indilari ketma-ketligi chekli chegaraga ega bo'lmasa.

Divergent qatorga summa belgilanmaydi.

Shunday qilib, konvergent qatorning yig'indisini topish masalasi (1.1) uning qisman yig'indilari ketma-ketligi chegarasini hisoblash bilan tengdir.

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

1.4-misol. Seriya ekanligini isbotlang

yaqinlashadi va uning yig‘indisini topadi.

Biz topamiz n- ushbu seriyaning qisman yig'indisi

.

Umumiy a'zo

Keling, qatorni shaklda ifodalaylik.

Bu erdan bizda:

. Shunday qilib, bu qator yaqinlashadi va uning yig'indisi 1 ga teng:

1.5-misol. Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

(1.6)

Bu qator uchun

. Shuning uchun, bu seriya farqlanadi.

Izoh. Da

(1.6) qator cheksiz sonli nollarning yig'indisidir va aniq yaqinlashadi.

1.6-misol. Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

(1.7)

Bu qator uchun

Bunday holda, qisman yig'indilar ketma-ketligining chegarasi

mavjud emas va ketma-ketlik farqlanadi.

1.7-misol. Geometrik progressiya qatorini (1.4) konvergentsiya uchun tekshiring:

Buni ko'rsatish oson n-da geometrik progressiya qatorining qisman yig'indisi

formula bilan beriladi.

Keling, holatlarni ko'rib chiqaylik:

Keyin va.

Shuning uchun qator yaqinlashadi va uning yig'indisi teng bo'ladi