Markazlashtirilgan va normallashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchilar. Normallashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchilar
Yuqorida biz tasodifiy miqdorlarning taqsimlanish qonunlari bilan tanishdik. Har bir taqsimot qonuni tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik xususiyatlarini har tomonlama tavsiflaydi va tasodifiy o'zgaruvchi bilan bog'liq bo'lgan har qanday hodisalarning ehtimolliklarini hisoblash imkonini beradi. Biroq, ko'pgina amaliy masalalarda bunday to'liq tavsifga ehtiyoj yo'q va ko'pincha faqat taqsimotning muhim xususiyatlarini tavsiflovchi individual raqamli parametrlarni ko'rsatish kifoya qiladi. Masalan, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari tarqaladigan o'rtacha, bu tarqalishning kattaligini tavsiflovchi ba'zi raqam. Bu raqamlar taqsimotning eng muhim xususiyatlarini qisqacha ifodalash uchun mo'ljallangan va deyiladi tasodifiy miqdorning raqamli xarakteristikalari.
Tasodifiy o'zgaruvchilarning raqamli xarakteristikalari orasida biz birinchi navbatda tasodifiy o'zgaruvchining raqamli o'qdagi o'rnini belgilovchi xususiyatlarni ko'rib chiqamiz, ya'ni. tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati, uning atrofida uning mumkin bo'lgan qiymatlari guruhlanadi. Ehtimollar nazariyasida pozitsiyaning xususiyatlaridan eng katta rol o'ynaydi kutilgan qiymat, bu ba'zan oddiygina tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati deb ataladi.
Faraz qilaylik, diskret SV? qiymatlarni oladi x ( , x 2 ,..., x n ehtimolliklar bilan R j, p 2,... Ptv da bular. tarqatish seriyalari bilan berilgan
Bu tajribalarda qiymat bo'lishi mumkin x x kuzatilgan N ( marta, qiymati x 2 - N 2 marta,..., qiymat x n - N n bir marta. Shu bilan birga + N 2 +... + N n =N.
Kuzatish natijalarining o'rtacha arifmetik qiymati
Agar N ajoyib, ya'ni. N-" Oh, unda
tarqatish markazini tavsiflaydi. Shu tarzda olingan tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymati matematik kutish deb ataladi. Keling, ta'rifning og'zaki formulasini beraylik.
Ta'rif 3.8. Matematik kutish (MO) diskret SV% - bu uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari va ushbu qiymatlarning ehtimolliklari yig'indisiga teng son (M belgisi):
Endi diskret SV? ning mumkin bo'lgan qiymatlari soni hisoblanishi mumkin bo'lgan holatni ko'rib chiqing, ya'ni. bizda RR bor
Matematik kutish formulasi bir xil bo'lib qoladi, faqat miqdorning yuqori chegarasida P oo bilan almashtiriladi, ya'ni.
Bunday holda, biz allaqachon ajralishi mumkin bo'lgan ketma-ketlikni olamiz, ya'ni. mos keladigan CB ^ matematik kutishga ega bo'lmasligi mumkin.
3.8-misol. SV?, tarqatish seriyasi tomonidan berilgan
Keling, ushbu SV ning MO ni topamiz.
Yechim. A-prior. 
bular. Mt. mavjud emas.
Shunday qilib, SV qiymatlarining hisoblangan soni bo'lsa, biz quyidagi ta'rifni olamiz.
Ta'rif 3.9. Matematik kutish, yoki o'rtacha qiymat, diskret SV, Hisoblanadigan qiymatlar soniga ega bo'lish - bu seriyaning mutlaq birlashishi sharti bilan, uning barcha mumkin bo'lgan qiymatlari mahsuloti seriyasining tegishli ehtimolliklari bo'yicha yig'indisiga teng bo'lgan raqam, ya'ni.
Agar bu qator shartli ravishda ajralib chiqsa yoki yaqinlashsa, ular CB ^ ning matematik kutishlari yo'qligini aytishadi.
Diskret SV dan zichlikka ega bo'lgan uzluksizga o'tamiz p(x).
Ta'rif 3.10. Matematik kutish, yoki o'rtacha qiymat, doimiy CB ga teng son deyiladi
bu integral absolyut yaqinlashsa.
Agar bu integral shartli ravishda ajralib chiqsa yoki yaqinlashsa, u holda ular uzluksiz SV ning matematik kutilishi yo'qligini aytadilar.
Izoh 3.8. J tasodifiy o'zgaruvchining barcha mumkin bo'lgan qiymatlari bo'lsa;
faqat intervalga tegishli ( A; b), Bu 
Matematik kutish ehtimollar nazariyasida qo'llaniladigan yagona pozitsiya xarakteristikasi emas. Ba'zan ular, masalan, rejim va median sifatida ishlatiladi.
Ta'rif 3.11. Moda CB^ (belgisi Mot,) uning eng ehtimoliy qiymati deyiladi, ya'ni. ehtimoli bo'lgan narsa p i yoki ehtimollik zichligi p(x) eng katta qiymatiga etadi.
Ta'rif 3.12. Median SV?, (belgisi uchrashdi) uning qiymati qaysi uchun chaqiriladi P(t> Met) = P(? > uchrashdi) = 1/2.
Geometrik jihatdan, uzluksiz SH uchun mediana o'qdagi bu nuqtaning abscissasidir Oh, buning uchun uning chap va o'ng tomonida joylashgan maydonlar bir xil va 1/2 ga teng.
3.9-misol. NEt,tarqatish seriyasiga ega
SV ning matematik kutilishi, rejimi va medianasini topamiz
Yechim. M',= 0-0,1 + 1 0,3 + 2 0,5 + 3 0,1 = 1,6. L/o? = 2. Men(?) mavjud emas.
3.10-misol. Uzluksiz CB% zichlikka ega
Keling, matematik kutish, mediana va rejimni topamiz.
Yechim.
p(x) maksimalga etadi, keyin Shubhasiz, mediana ham teng bo'ladi, chunki nuqtadan o'tadigan chiziqning o'ng va chap tomonlari tengdir.
Pozitsiya xususiyatlaridan tashqari, ehtimollar nazariyasida turli maqsadlar uchun bir qator raqamli xarakteristikalar qo'llaniladi. Ular orasida dastlabki va markaziy momentlar alohida ahamiyatga ega.
Ta'rif 3.13. K-tartibning dastlabki momenti SV?, matematik kutish deb ataladi k-chi Ushbu miqdorning darajalari: =M(t > k).
Diskret va uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun matematik kutishning ta'riflaridan kelib chiqadiki
Izoh 3.9. Shubhasiz, 1-tartibning boshlang'ich momenti matematik kutishdir.
Markaziy momentni aniqlashdan oldin biz markazlashtirilgan tasodifiy miqdorning yangi tushunchasini kiritamiz.
Ta'rif 3.14. Markazlashtirilgan
SV - tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan og'ishi, ya'ni. 
Buni tekshirish oson
Tasodifiy o'zgaruvchini markazlashtirish, boshni M nuqtaga ko'chirishga tengdir. Markazlashtirilgan tasodifiy miqdorning momentlari deyiladi markaziy nuqtalar.
Ta'rif 3.15. K-tartibning markaziy momenti
SV% matematik kutish deb ataladi k-chi markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchining darajasi:
Matematik kutishning ta'rifidan kelib chiqadiki
Shubhasiz, har qanday tasodifiy o'zgaruvchi uchun ^ 1-tartibning markaziy momenti nolga teng: c x= M(? 0) = 0.
Ikkinchi markaziy nuqta amaliyot uchun alohida ahamiyatga ega. 2 bilan. Bu dispersiya deb ataladi.
Ta'rif 3.16. Farqlanish SV?, mos markazlashtirilgan kattalik kvadratining matematik kutilishi deb ataladi (notatsiya D?)
Dispersiyani hisoblash uchun siz to'g'ridan-to'g'ri ta'rifdan quyidagi formulalarni olishingiz mumkin:
Formulani (3.4) o'zgartirib, hisoblash uchun quyidagi formulani olishimiz mumkin DL;.
SV dispersiyasi xarakterlidir dispersiya, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining uning matematik kutilishi atrofida tarqalishi.
Dispersiya tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining o'lchamiga ega, bu har doim ham qulay emas. Shuning uchun, aniqlik uchun, dispersiyaning xarakteristikasi sifatida o'lchami tasodifiy o'zgaruvchining o'lchamiga to'g'ri keladigan raqamdan foydalanish qulay. Buning uchun dispersiyaning kvadrat ildizini oling. Olingan qiymat chaqiriladi standart og'ish tasodifiy o'zgaruvchi. Biz uni a belgilaymiz: a = l/s.
Salbiy bo'lmagan SV? uchun u ba'zan xarakteristika sifatida ishlatiladi o'zgaruvchanlik koeffitsienti, standart og'ishning matematik kutishga nisbatiga teng:
Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va standart og'ishini bilib, siz uning mumkin bo'lgan qiymatlari diapazoni haqida taxminiy tasavvurga ega bo'lishingiz mumkin. Ko'pgina hollarda, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlari% ning faqat vaqti-vaqti bilan M oralig'idan tashqariga tushishini taxmin qilishimiz mumkin; ± uchun. Biz keyinroq oqlaydigan normal taqsimot uchun bu qoida deyiladi uch sigma qoidasi.
Kutish va dispersiya tasodifiy o'zgaruvchining eng ko'p qo'llaniladigan raqamli xarakteristikalaridir. Matematik kutish va dispersiya ta'rifidan ushbu raqamli xarakteristikalarning ba'zi oddiy va juda aniq xususiyatlari kelib chiqadi.
Protozoamatematik kutish va dispersiyaning xossalari.
1. Tasodifiy bo'lmagan qiymatni matematik kutish Bilan c qiymatining o'ziga teng: M(lar) = s.
Haqiqatan ham, qiymatdan beri Bilan 1 ehtimollik bilan faqat bitta qiymatni oladi, keyin M(c) = Bilan 1 = s.
2. Tasodifiy bo'lmagan c miqdorining dispersiyasi nolga teng, ya'ni. D(c) = 0.
Haqiqatan ham, DC = M(s - Mc) 2 = M(s- c) 2 = M( 0) = 0.
3. Matematik kutilma belgisi sifatida tasodifiy bo‘lmagan ko‘paytuvchini chiqarish mumkin: M(c^) = c M(?,).
Keling, diskret SV misolida ushbu xususiyatning haqiqiyligini ko'rsatamiz.
SV taqsimot qatori bilan berilgan bo'lsin
Keyin
Demak,
Xususiyat doimiy tasodifiy o'zgaruvchi uchun ham xuddi shunday isbotlangan.
4. Tasodifiy bo'lmagan ko'paytuvchi kvadrat dispersiya belgisidan chiqarilishi mumkin: 
Tasodifiy o'zgaruvchining qancha momentlari ma'lum bo'lsa, biz taqsimlash qonunini shunchalik batafsilroq tushunamiz.
Ehtimollar nazariyasi va uni qo'llashda 3 va 4 tartiblarning markaziy momentlariga asoslangan tasodifiy o'zgaruvchining yana ikkita raqamli xarakteristikasi qo'llaniladi - assimetriya koeffitsienti yoki m x.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun kutilgan qiymat :
Tasodifiy o'zgaruvchilar ehtimoli bo'yicha mos keladigan qiymat qiymatlarining yig'indisi.
Moda X tasodifiy o'zgaruvchining (Mod) eng ehtimoliy qiymati hisoblanadi.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun.
 |
|||
 |
|||
Unimodal taqsimot
Ko'p modal taqsimot
Umuman olganda, Mod va kutilgan qiymat Yo'q
mos kelish.
Median
X tasodifiy o'zgaruvchining (Med) qiymati P(X) ehtimoli bo'lgan qiymatdir
Med egri chiziq ostidagi maydonni 2 ta teng qismga ajratadi. Bir modal va simmetrik taqsimotda
Lahzalar.
Ko'pincha amaliyotda ikki turdagi momentlar qo'llaniladi: boshlang'ich va markaziy.
Boshlanish momenti. Diskret tasodifiy X ning tartibli yig'indisi deyiladi:
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X uchun tartibning boshlang'ich momenti integral deb ataladi 
, ko'rinib turibdiki, tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi birinchi boshlang'ich momentdir.
M belgisi (operator) yordamida th tartibning boshlang'ich momentini shashka sifatida ko'rsatish mumkin. ba'zi tasodifiy o'zgaruvchilarning th darajasining kutilishi.
Markazlashtirilgan X tasodifiy o'zgaruvchining mos keladigan tasodifiy o'zgaruvchisi X tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan chetlanishidir:
Markazlashtirilgan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi 0 ga teng.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun bizda:
Markazlashtirilgan tasodifiy miqdorning momentlari deyiladi Markaziy daqiqalar
Buyurtmaning markaziy vaqti X tasodifiy o'zgaruvchiga mos keladigan markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchining th kuchining matematik kutilishi deyiladi.
Diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun:
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchilar uchun:
Turli tartiblarning markaziy va boshlang'ich momentlari o'rtasidagi munosabat
Barcha momentlardan birinchi moment (matematik kutish) va ikkinchi markaziy moment ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchining xarakteristikasi sifatida ishlatiladi.
Ikkinchi markaziy moment deyiladi dispersiya tasodifiy o'zgaruvchi. Uning belgilanishi bor:
Ta'rifga ko'ra 
Diskret tasodifiy o'zgaruvchi uchun: 
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun: 
Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi X tasodifiy miqdorlarning uning matematik kutilishi atrofida tarqalishining (tarqalishining) xarakteristikasidir.
Dispersiya dispersiyani bildiradi. Dispersiya tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining o'lchamiga ega.
Dispersiyani vizual xarakterlash uchun tasodifiy miqdorning o'lchami bilan bir xil m y kattalikdan foydalanish qulayroqdir. Buning uchun dispersiyadan ildiz olinadi va - deb nomlangan qiymat. standart og'ish (RMS) tasodifiy o'zgaruvchisi X va yozuv kiritiladi:
Standart og'ish ba'zan X tasodifiy o'zgaruvchining "standarti" deb ataladi.
Lavozim xususiyatlariga qo'shimcha ravishda - tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha, tipik qiymatlari - har biri taqsimotning u yoki bu xususiyatini tavsiflovchi bir qator xususiyatlardan foydalaniladi. Bunday xususiyatlar sifatida ko'pincha lahzalar deb ataladigan narsalar qo'llaniladi.
Moment tushunchasi mexanikada massalarning taqsimlanishini (statik momentlar, inersiya momentlari va boshqalar) tasvirlash uchun keng qo‘llaniladi. Tasodifiy miqdor taqsimotining asosiy xossalarini tasvirlash uchun ehtimollar nazariyasida aynan bir xil usullardan foydalaniladi. Ko'pincha amalda ikki turdagi moment qo'llaniladi: boshlang'ich va markaziy.
Uzluksiz tasodifiy miqdorning s-darajali boshlang'ich momenti quyidagi shaklning yig'indisidir:
. (5.7.1)
Shubhasiz, bu ta'rif mexanikada s tartibining boshlang'ich momentining ta'rifiga to'g'ri keladi, agar massalar nuqtalarda abtsissa o'qiga to'plangan bo'lsa.
Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi X uchun s-tartibning boshlang'ich momenti integral deb ataladi
. (5.7.2)
Oldingi n ° da kiritilgan pozitsiyaning asosiy xarakteristikasi - matematik kutish - tasodifiy o'zgaruvchining birinchi boshlang'ich momentidan boshqa narsa emasligini ko'rish oson.
Matematik kutish belgisidan foydalanib, ikkita formulani (5.7.1) va (5.7.2) bittaga birlashtira olasiz. Darhaqiqat, (5.7.1) va (5.7.2) formulalar tuzilishi jihatidan (5.6.1) va (5.6.2) formulalarga to'liq o'xshaydi, farqi shundaki, ularning o'rniga va mos ravishda mavjud. Shunday qilib, biz uzluksiz va uzluksiz miqdorlar uchun amal qiladigan birinchi tartibning boshlang'ich momentining umumiy ta'rifini yozishimiz mumkin:
, (5.7.3)
bular. Tasodifiy o'zgaruvchining th darajasining boshlang'ich momenti bu tasodifiy o'zgaruvchining th darajasining matematik kutilishidir.
Markaziy momentni aniqlashdan oldin biz yangi "markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchi" tushunchasini kiritamiz.
Matematik kutilgan tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin. Qiymatga mos keladigan markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchi tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilganidan og'ishidir:
Kelajakda biz hamma joyda berilgan tasodifiy o'zgaruvchiga mos keladigan markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchini tepasida belgi bilan bir xil harf bilan belgilashga rozi bo'lamiz.
Markazlashtirilgan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi nolga teng ekanligini tekshirish oson. Haqiqatan ham, uzluksiz miqdor uchun
xuddi shunday doimiy miqdor uchun.
Tasodifiy o'zgaruvchini markazlashtirish, shubhasiz, koordinatalarning kelib chiqishini o'rta, "markaziy" nuqtaga ko'chirishga teng, uning abscissasi matematik taxminga teng.
Markazlashtirilgan tasodifiy miqdorning momentlari markaziy momentlar deyiladi. Ular mexanikada tortishish markazi haqidagi momentlarga o'xshash.
Shunday qilib, tasodifiy miqdorning s tartibining markaziy momenti mos keladigan markazlashtirilgan tasodifiy o'zgaruvchining th kuchining matematik kutilishidir:
, (5.7.6)
va uzluksiz uchun - integral bilan
. (5.7.8)
Keyinchalik, berilgan moment qaysi tasodifiy o'zgaruvchiga tegishli ekanligiga shubha bo'lmagan hollarda, qisqalik uchun biz oddiy va o'rniga va yozamiz.
Shubhasiz, har qanday tasodifiy o'zgaruvchi uchun birinchi tartibning markaziy momenti nolga teng:
, (5.7.9)
chunki markazlashtirilgan tasodifiy miqdorning matematik kutilishi har doim nolga teng.
Keling, turli tartiblarning markaziy va boshlang'ich momentlarini bog'laydigan munosabatlarni chiqaraylik. Biz faqat uzluksiz miqdorlar uchun xulosa chiqaramiz; chekli yig‘indilarni integrallar bilan, ehtimollarni esa ehtimollik elementlari bilan almashtirsak, aynan bir xil munosabatlar uzluksiz miqdorlar uchun amal qilishini tekshirish oson.
Keling, ikkinchi markaziy nuqtani ko'rib chiqaylik:
Xuddi shunday uchinchi markaziy moment uchun biz quyidagilarni olamiz:
Boshqalar uchun ifodalar. shunga o'xshash tarzda olish mumkin.
Shunday qilib, har qanday tasodifiy o'zgaruvchining markaziy momentlari uchun formulalar amal qiladi:
(5.7.10)
Umuman olganda, momentlarni nafaqat kelib chiqish (dastlabki momentlar) yoki matematik kutish (markaziy momentlar), balki ixtiyoriy nuqtaga nisbatan ham ko'rib chiqish mumkin:
. (5.7.11)
Biroq, markaziy momentlar boshqalardan ustunlikka ega: birinchi markaziy moment, biz ko'rganimizdek, har doim nolga teng, va keyingi, ikkinchi markaziy moment, bu mos yozuvlar tizimi bilan minimal qiymatga ega. Keling, buni isbotlaylik. Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi uchun (5.7.11) formula quyidagi shaklga ega:
. (5.7.12)
Keling, ushbu ifodani o'zgartiramiz:
Shubhasiz, bu qiymat qachon minimal darajaga etadi, ya'ni. moment nuqtaga nisbatan olinganda.
Barcha momentlardan birinchi boshlang'ich moment (matematik kutish) va ikkinchi markaziy moment ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchining xarakteristikasi sifatida ishlatiladi.
Ikkinchi markaziy moment tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi deb ataladi. Ushbu xususiyatning o'ta muhimligini hisobga olgan holda, boshqa jihatlar qatorida, biz uning uchun maxsus belgini kiritamiz:
Markaziy momentning ta'rifiga ko'ra
, (5.7.13)
bular. tasodifiy X ning dispersiyasi - mos keladigan markazlashtirilgan o'zgaruvchining kvadratining matematik kutilishi.
(5.7.13) ifodadagi miqdorni uning ifodasi bilan almashtirsak, biz ham:
. (5.7.14)
Farqni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash uchun quyidagi formulalardan foydalaning:
, (5.7.15)
(5.7.16)
Shunga ko'ra, uzluksiz va uzluksiz miqdorlar uchun.
Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi dispersiyaning o'ziga xos xususiyati, tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining uning matematik kutilishi atrofida tarqalishi. "Dispersiya" so'zining o'zi "tarqalish" degan ma'noni anglatadi.
Agar biz taqsimotning mexanik talqiniga murojaat qilsak, dispersiya og'irlik markaziga nisbatan berilgan massa taqsimotining inersiya momentidan boshqa narsa emas (matematik kutish).
Tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasi tasodifiy o'zgaruvchining kvadratining o'lchamiga ega; Dispersiyani vizual tavsiflash uchun o'lchami tasodifiy o'zgaruvchining o'lchamiga to'g'ri keladigan kattalikdan foydalanish qulayroqdir. Buning uchun dispersiyaning kvadrat ildizini oling. Olingan qiymat tasodifiy o'zgaruvchining standart og'ishi (aks holda "standart") deb ataladi. Biz standart og'ishni belgilaymiz:
, (5.7.17)
Belgilarni soddalashtirish uchun biz tez-tez standart og'ish va dispersiya uchun qisqartmalardan foydalanamiz: va . Bu xususiyatlar qaysi tasodifiy o'zgaruvchiga tegishli ekanligiga shubha bo'lmasa, biz ba'zan x y belgisini o'tkazib yuboramiz va oddiygina va yozamiz. Ba'zan "standart og'ish" so'zlari r.s.o harflari bilan almashtirilishi uchun qisqartiriladi.
Amalda, ko'pincha tasodifiy o'zgaruvchining dispersiyasini ikkinchi boshlang'ich momenti orqali ifodalovchi formuladan foydalaniladi (formulalarning ikkinchisi (5.7.10)). Yangi belgida u quyidagicha ko'rinadi:
Kutish va dispersiya (yoki standart og'ish) tasodifiy o'zgaruvchining eng ko'p ishlatiladigan xususiyatlaridir. Ular taqsimotning eng muhim xususiyatlarini tavsiflaydi: uning joylashuvi va tarqalish darajasi. Tarqatishning batafsil tavsifi uchun yuqori buyurtmalar momentlari qo'llaniladi.
Uchinchi markaziy nuqta taqsimotning assimetriyasini (yoki "qiyshiqligi") tavsiflash uchun xizmat qiladi. Agar taqsimot matematik kutishga nisbatan nosimmetrik bo'lsa (yoki mexanik talqinda, massa og'irlik markaziga nisbatan nosimmetrik taqsimlangan bo'lsa), unda barcha toq tartibli momentlar (agar ular mavjud bo'lsa) nolga teng bo'ladi. Darhaqiqat, jami
taqsimot qonuni qonunga va toqga nisbatan simmetrik bo'lganda, har bir musbat atama mutlaq qiymatga teng bo'lgan salbiy hadga to'g'ri keladi, shuning uchun butun yig'indi nolga teng bo'ladi. Xuddi shu narsa integral uchun ham aniq
,
toq funksiyaning simmetrik chegaralarida integral sifatida nolga teng.
Shuning uchun taqsimot assimetriyasining xarakteristikasi sifatida g'alati momentlardan birini tanlash tabiiydir. Ulardan eng oddiyi uchinchi markaziy momentdir. U tasodifiy o'zgaruvchining kubining o'lchamiga ega: o'lchovsiz xarakteristikani olish uchun uchinchi moment standart og'ish kubiga bo'linadi. Olingan qiymat "assimetriya koeffitsienti" yoki oddiygina "assimetriya" deb ataladi; uni belgilaymiz:
Shaklda. 5.7.1 ikkita assimetrik taqsimotni ko'rsatadi; ulardan biri (I egri chiziq) ijobiy assimetriyaga ega (); ikkinchisi (II egri chiziq) manfiy ().
To'rtinchi markaziy nuqta "sovuqlik" deb ataladigan narsani tavsiflash uchun xizmat qiladi, ya'ni. cho'qqi yoki tekis tepalik taqsimoti. Ushbu tarqatish xususiyatlari kurtoz deb ataladigan narsa yordamida tasvirlangan. Tasodifiy o'zgaruvchining kurtozisi - bu miqdor
3 raqami nisbatdan chiqariladi, chunki tabiatda juda muhim va keng tarqalgan normal taqsimot qonuni uchun (bu haqda keyinroq batafsil bilib olamiz). Shunday qilib, normal taqsimot uchun kurtoz nolga teng; oddiy egri chiziqqa nisbatan yuqori cho'qqiga chiqqan egri chiziqlar ijobiy kurtozga ega; Ko'proq tekis bo'lgan egri chiziqlar salbiy kurtozga ega.
Shaklda. 5.7.2 ko'rsatadi: normal taqsimot (egri I), ijobiy kurtoz bilan taqsimlash (egri II) va salbiy kurtoz bilan taqsimlash (egri III).
Yuqorida ko'rib chiqilgan boshlang'ich va markaziy momentlarga qo'shimcha ravishda, amalda ba'zan formulalar bilan aniqlangan mutlaq momentlar (boshlang'ich va markaziy) deb ataladigan narsalar qo'llaniladi.
Shubhasiz, hatto buyurtmalarning mutlaq daqiqalari oddiy daqiqalarga to'g'ri keladi.
Mutlaq momentlardan eng ko'p qo'llaniladigan birinchi mutlaq markaziy moment hisoblanadi.
, (5.7.21)
o'rtacha arifmetik og'ish deb ataladi. Dispersiya va standart og'ish bilan bir qatorda, dispersiyaning xarakteristikasi sifatida o'rtacha arifmetik og'ish ham qo'llaniladi.
Kutish, rejim, median, boshlang'ich va markaziy momentlar, xususan, dispersiya, standart og'ish, egrilik va kurtoz tasodifiy o'zgaruvchilarning eng ko'p qo'llaniladigan raqamli xarakteristikalaridir. Ko'pgina amaliy masalalarda tasodifiy miqdorning to'liq xarakteristikasi - taqsimot qonuni kerak emas yoki olinmaydi. Bunday hollarda, yordam yordamida tasodifiy o'zgaruvchining taxminiy tavsifi bilan cheklanadi. Raqamli xarakteristikalar, ularning har biri taqsimotning o'ziga xos xususiyatini ifodalaydi.
Ko'pincha raqamli xususiyatlar bitta taqsimotni boshqasiga almashtirish uchun ishlatiladi va odatda ular bir nechta muhim fikrlar o'zgarishsiz qoladigan tarzda bu almashtirishni amalga oshirishga harakat qilishadi.
1-misol. Bitta tajriba o'tkaziladi, buning natijasida hodisa yuzaga kelishi yoki paydo bo'lmasligi mumkin, ehtimollik ga teng. Tasodifiy o'zgaruvchi ko'rib chiqiladi - hodisaning sodir bo'lish soni (hodisaning xarakterli tasodifiy o'zgaruvchisi). Uning xususiyatlarini aniqlang: matematik kutish, dispersiya, standart og'ish.
Yechim. Qiymatlarni taqsimlash seriyasi quyidagi shaklga ega:
hodisaning sodir bo'lmasligi ehtimoli qayerda.
(5.6.1) formuladan foydalanib, biz qiymatning matematik taxminini topamiz:
Qiymatning dispersiyasi (5.7.15) formula bilan aniqlanadi:
(Biz o'quvchiga dispersiyani ikkinchi boshlang'ich momentda ifodalash orqali bir xil natijani olishni taklif qilamiz).
2-misol. Nishonga uchta mustaqil o'q uzildi; Har bir zarbani urish ehtimoli 0,4 ga teng. tasodifiy o'zgaruvchi - urishlar soni. Miqdorning xarakteristikalarini aniqlang - matematik kutish, dispersiya, r.s.d., assimetriya.
Yechim. Qiymatlarni taqsimlash seriyasi quyidagi shaklga ega:
Biz miqdorning raqamli xususiyatlarini hisoblaymiz:
Shuni esda tutingki, bir xil xususiyatlarni funktsiyalarning sonli xarakteristikalari bo'yicha teoremalar yordamida ancha soddaroq hisoblash mumkin (10-bobga qarang).
