Kompleks sonlarning geometrik tasviri va ular ustida amallar. Kompleks sonning trigonometrik shakli

Ta'riflar . Mayli a, b- haqiqiy raqamlar; i- qandaydir belgi. Kompleks son shaklning yozuvidir a+bi.

Qo'shish Va ko'paytirish Kompleks sonlar to'plamidagi raqamlar: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d) i

(a+bi) (c+di)=(ak–bd)+(e'lon+bc) i. .

Teorema 1 . Kompleks sonlar to'plami BILAN qo'shish va ko'paytirish amallari bilan maydon hosil qiladi. Qo'shish xususiyatlari

1) Kommutativlik b: (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d) i=(c+di)+(a+bi).

2) Assotsiativlik :[(a+bi)+(c+di)]+(e+fi)=(a+c+e)+(b+d+f) i=(a+bi)+[(c+di)+(e+fi)].

3) mavjudlik neytral element :(a+bi)+(0 +0i)=(a+bi). Raqam 0 +0 i biz nolga qo'ng'iroq qilamiz va belgilaymiz 0 .

4) mavjudlik qarama-qarshi element : (a+bi)+(–a–bi)=0 +0i=0 .

5) Ko'paytirishning kommutativligi : (a+bi) (c+di)=(ak–bd)+(mil. avv+ad) i=(c+di) (a+bi).

6) Ko'paytirishning assotsiativligi :Agar z 1=a+bi, z 2=c+di, z 3=e+fi, Bu (z 1 z 2)z 3=z 1 (z 2 z 3).

7) Tarqatish qobiliyati: Agar z 1=a+bi, z 2=c+di, z 3=e+fi, Bu z 1 (z 2+z 3)=z 1 z 2+z 1 z 3.

8) Ko'paytirish uchun neytral element :(a+bi)(1+0i)=(a 1–b 0)+(a·0+b·1)i=a+bi.

9) raqam 1 +0i=1 - birlik.

9) mavjudlik teskari element : " z¹ 0 $z –1 :zz –1 =1 .

Mayli z=a+bi. Haqiqiy raqamlar a, chaqirildi yaroqli, A b - xayoliy qismlar murakkab son z. Ishlatilgan belgilar: a=Rez, b=Imz.

Agar b=0 , Bu z=a+ 0i=a- haqiqiy raqam. Shuning uchun haqiqiy sonlar to'plami R murakkab sonlar toʻplamining bir qismidir C: R Í C.

Eslatma: men 2=(0 +1i)(0+1i)=–1 +0i=–1 . Raqamning ushbu xususiyatidan foydalanish i, shuningdek, 1-teoremada isbotlangan amallarning xossalari kabi, oddiy qoidalarga muvofiq murakkab sonlar bilan operatsiyalarni bajarishingiz mumkin. men 2- 1 .

Izoh. £, ³ (“kamroq”, “kattaroq”) munosabatlari kompleks sonlar uchun aniqlanmagan.

2 Trigonometrik belgilar .

z = a+bi yozuvi deyiladi algebraik murakkab son shakli . Tanlangan Dekart koordinata tizimiga ega bo'lgan tekislikni ko'rib chiqamiz. Biz raqamni ifodalaymiz z koordinatalari bilan nuqta (a, b). Keyin haqiqiy raqamlar a=a+0i eksa nuqtalari bilan ifodalanadi OX- deyiladi yaroqli o'qi. Eksa OY chaqirdi xayoliy eksa, uning nuqtalari shakl raqamlariga mos keladi bi ba'zan deyiladi sof xayoliy . Butun samolyot chaqiriladi murakkab tekislik .Raqam chaqiriladi modul raqamlar z: ,

Polar burchak j chaqirdi dalil raqamlar z: j=argz.

Argument bir muddatgacha belgilanadi 2kp; qiymati buning uchun - p< j £ p , chaqirildi asosiy ahamiyati dalil. Raqamlar r, j nuqtaning qutb koordinatalari z. Bu aniq a=r cosj, b=r sinj, va biz quyidagilarni olamiz: z=a+b·i=r·(cosj+men sinj). trigonometrik shakl murakkab sonni yozish.

Konjugat raqamlar . Murakkab son sonning konjugati deyiladiz = a + bi . Bu aniq. Xususiyatlari : .

Izoh. Konjugat sonlarning yig'indisi va mahsuloti haqiqiy sonlardir:

Kompleks raqam z chaqirdi ifoda qaerda A Va V- haqiqiy raqamlar; i– xayoliy birlik yoki maxsus belgi.

Bunday holda, quyidagi kelishuvlar amalga oshiriladi:

1) a+bi ifodasi bilan algebrada harfiy ifodalar uchun qabul qilingan qoidalarga muvofiq arifmetik amallarni bajarish mumkin;

5) a+bi=c+di tengligi, bunda a, b, c, d haqiqiy sonlar, agar a=c va b=d bo‘lsa, sodir bo‘ladi.

0+bi=bi soni deyiladi xayoliy yoki sof xayoliy.

Har qanday haqiqiy a soni kompleks sonning xususiy holidir, chunki uni a=a+ 0i ko‘rinishda yozish mumkin. Xususan, 0=0+0i, lekin keyin a+bi=0 bo'lsa, a+bi=0+0i, demak, a=b=0.

Shunday qilib, a=0 va b=0 bo'lsa, a+bi=0 kompleks son.

Kelishuvlardan kompleks sonlarni o'zgartirish qonunlari kelib chiqadi:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;

Ko'ramizki, kompleks sonlarning yig'indisi, ayirmasi, ko'paytmasi va qismi (bu erda bo'luvchi nolga teng bo'lmagan) o'z navbatida kompleks sondir.

Raqam A chaqirdi kompleks sonning haqiqiy qismi z(belgilangan), V– z kompleks sonining xayoliy qismi ( bilan belgilanadi).

Haqiqiy qismi nolga teng bo'lgan kompleks z soni deyiladi. sof xayoliy, nol tasavvur bilan - sof haqiqiy.

Ikkita murakkab son deyiladi. teng agar ularning haqiqiy va xayoliy qismlari mos kelsa.

Ikkita murakkab son deyiladi. konjugatsiyalangan, agar ularda moddalar bo'lsa. qismlar mos keladi, lekin xayoliy qismlar belgilarda farqlanadi. , keyin uning konjugati.

Konjugat sonlarning yig'indisi moddalar soni, farq esa sof xayoliy sondir. Sonlarni ko'paytirish va qo'shish amallari murakkab sonlar to'plamida tabiiy ravishda aniqlanadi. Ya'ni, agar va ikkita kompleks son bo'lsa, yig'indisi: ; ish:.

Keling, ayirish va bo'lish amallarini aniqlaylik.

E'tibor bering, ikkita kompleks sonning mahsuloti moddalar soni.

(chunki i=-1). Bu raqam chaqiriladi. kvadrat modul raqamlar. Shunday qilib, agar raqam bo'lsa, uning moduli haqiqiy sondir.

Haqiqiy raqamlardan farqli o'laroq, murakkab sonlar uchun "ko'proq" va "kamroq" tushunchalari kiritilmagan.

Kompleks sonlarning geometrik tasviri. Haqiqiy sonlar sonlar qatoridagi nuqtalar bilan ifodalanadi:

Gap shundaki A–3 sonini, nuqtani bildiradi B- 2 raqami va O- nol. Aksincha, kompleks sonlar koordinata tekisligidagi nuqtalar bilan ifodalanadi. Buning uchun ikkala o'qda bir xil masshtabli to'rtburchaklar (kartezian) koordinatalarni tanlaymiz. Keyin kompleks raqam a+ bi nuqta bilan ifodalanadi Abtsissa a va ordinatasi b bo'lgan P(guruch.). Ushbu koordinatalar tizimi deyiladi murakkab tekislik.

Modul kompleks son vektor uzunligi OP, koordinatada kompleks sonni ifodalovchi ( keng qamrovli) tekislik. Kompleks sonning moduli a+ bi belgilangan | a+ bi| yoki xat r va teng:

Konjugat kompleks sonlar bir xil modulga ega. __

Dalil kompleks son - eksa orasidagi burchak OX va vektor OP, bu murakkab sonni ifodalaydi. Demak, tan = b / a .

Kompleks sonning trigonometrik shakli. Kompleks sonni algebraik shaklda yozish bilan bir qatorda boshqa shakl ham ishlatiladi, deyiladi trigonometrik.

z=a+bi kompleks son koordinatalari (a,b) bilan OA vektor bilan ifodalansin. OA vektorining uzunligini buk r bilan belgilaymiz: r=|OA|, Ox oʻqining musbat yoʻnalishi bilan hosil qilgan burchakni esa ph burchak bilan belgilaymiz.

sinph=b/r, cosph=a/r funksiyalarning ta’riflaridan foydalanib, z=a+bi kompleks sonini z=r(cosph+i*sinph) shaklida yozish mumkin, bu yerda , va ph burchagi dan aniqlanadi. sharoitlar

Trigonometrik shakl z kompleks sonning z=r(cosph+i*sinph) ko‘rinishida ifodalanishi, bunda r va ph haqiqiy sonlar va r≥0.

Darhaqiqat, r raqami chaqiriladi modul kompleks son va |z| bilan belgilanadi, ph burchak esa z kompleks sonining argumentidir. z kompleks sonining ph argumenti Arg z bilan belgilanadi.

Trigonometrik shaklda ifodalangan kompleks sonlar bilan amallar:

Bu mashhur Moivre formulasi.

8 .Vektor fazosi. Vektor fazolarga misollar va eng oddiy xossalari. Vektorlar sistemasining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi. Yakuniy vektorlar tizimining asosi va darajasi

Vektor maydoni - oddiy uch oʻlchamli fazoning barcha (erkin) vektorlari toʻplami tushunchasini umumlashtiruvchi matematik tushuncha.

Uch o'lchovli fazodagi vektorlar uchun vektorlarni qo'shish va ularni haqiqiy sonlarga ko'paytirish qoidalari ko'rsatilgan. Har qanday vektorlar uchun amal qiladi x, y, z va har qanday raqamlar α, β bu qoidalarni qondiradi quyidagi shartlar:

1) X+da=da+X(qo‘shishning kommutativligi);

2)(X+da)+z=x+(y+z) (qo‘shishning assotsiativligi);

3) nol vektor mavjud 0 (yoki null vektor) shartni qanoatlantiradi x+0 =x: har qanday vektor uchun x;

4) har qanday vektor uchun X qarama-qarshi vektor mavjud da shu kabi X+da =0 ,

5) 1 x=X,bu erda 1 - maydon birligi

6) α (bx)=(αβ )X(ko'paytirishning assotsiativligi), bu erda mahsulot αβ skalyarlarning hosilasidir

7) (α +β )X=ax+bx(raqamli omilga nisbatan taqsimlovchi xususiyat);

8) α (X+da)=ax+au(vektor multiplikatoriga nisbatan taqsimlovchi xususiyat).

Vektor (yoki chiziqli) fazo to'plamdir R, har qanday tabiatdagi elementlardan iborat (vektorlar deb ataladi), bunda elementlarni qo'shish va elementlarni 1-8 shartlarni qanoatlantiradigan haqiqiy sonlarga ko'paytirish amallari aniqlanadi.

Bunday bo'shliqlarga haqiqiy sonlar to'plami, tekislikdagi va fazodagi vektorlar to'plami, matritsalar va boshqalar misol bo'ladi.

“Vektor fazolarining eng oddiy xossalari” teoremasi

1. Vektor fazoda faqat bitta nol vektor mavjud.

2. Vektor fazoda har qanday vektor o'ziga xos qarama-qarshilikka ega.

4. .

Hujjat

V vektor fazoning nol vektori 0 bo'lsin. Keyin . Yana nol vektor bo'lsin. Keyin. Keling, birinchi holatda , ikkinchisida esa - ni olaylik. Keyin va , qaerdan kelib chiqadi va hokazo.

Avval nol skayar va har qanday vektorning mahsuloti nol vektorga teng ekanligini isbotlaymiz.

Mayli. Keyin vektor fazo aksiomalarini qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

Qo'shishga kelsak, vektor fazosi Abel guruhidir va bekor qilish qonuni har qanday guruhda amal qiladi. Qisqartirish qonunini qo'llagan holda, oxirgi tenglik 0*x=0 ni nazarda tutadi

Endi biz 4-bandni isbotlaymiz). Ixtiyoriy vektor bo'lsin. Keyin

Bundan darhol (-1)x vektorining x vektoriga qarama-qarshi ekanligi kelib chiqadi.

Endi x=0 bo'lsin. Keyin vektor fazo aksiomalarini qo'llash orqali biz quyidagilarni olamiz:

Buni taxmin qilaylik. Chunki , bu erda K maydon bo'lsa, u holda . Chapdagi tenglikni : ga ko'paytiramiz, bu 1*x=0 yoki x=0 ni bildiradi.

Vektorlar sistemasining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi. Vektorlar to'plami vektor sistema deyiladi.

Agar bir vaqtning o'zida hammasi nolga teng bo'lmagan raqamlar mavjud bo'lsa, vektorlar tizimi chiziqli bog'liq deb ataladi, shuning uchun (1)

K vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil deb ataladi, agar tenglik (1) faqat uchun mumkin bo'lsa, ya'ni. tenglikning chap tomonidagi chiziqli birikma (1) ahamiyatsiz bo'lganda.

Eslatmalar:

1. Bitta vektor ham sistema hosil qiladi: at chiziqli bog'liq va chiziqli mustaqil at.

2. Vektorlar sistemasining istalgan qismi quyi tizim deyiladi.

Chiziqli bog'liq va chiziqli mustaqil vektorlarning xossalari:

1. Agar vektorlar tizimi nol vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.

2. Agar vektorlar sistemasi ikkita teng vektorga ega bo'lsa, u chiziqli bog'liqdir.

3. Agar vektorlar sistemasi ikkita proporsional vektorga ega bo'lsa, u chiziqli bog'liqdir.

4. k>1 vektorlar sistemasi, agar vektorlardan kamida bittasi boshqalarining chiziqli birikmasi bo‘lsagina chiziqli bog‘liq bo‘ladi.

5. Chiziqli mustaqil tizimga kiritilgan har qanday vektorlar chiziqli mustaqil quyi tizimni tashkil qiladi.

6. Chiziqli bog'liq quyi tizimni o'z ichiga olgan vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

7. Agar vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lsa va unga vektor qo'shgandan so'ng u chiziqli bog'liq bo'lib chiqsa, vektorni vektorlarga kengaytirish mumkin , va bundan tashqari, o'ziga xos tarzda, ya'ni. kengaytirish koeffitsientlarini yagona topish mumkin.

Masalan, oxirgi xususiyatni isbotlaylik. Vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'lganligi sababli, barchasi 0 ga teng bo'lmagan raqamlar mavjud. Bu tenglikda. Aslida, agar bo'lsa, keyin. Bu vektorlarning notrivial chiziqli birikmasi nol vektorga teng ekanligini anglatadi, bu tizimning chiziqli mustaqilligiga zid keladi. Binobarin, va keyin, ya'ni. vektor bu vektorlarning chiziqli birikmasidir. Bunday vakillikning o'ziga xosligini ko'rsatish uchun qoladi. Buning aksini faraz qilaylik. Ikkita kengaytma bo'lsin va , va kengayishlarning barcha koeffitsientlari mos ravishda bir-biriga teng emas (masalan, ).

Keyin tenglikdan olamiz.

Shuning uchun vektorlarning chiziqli birikmasi nol vektorga teng. Uning barcha koeffitsientlari nolga teng bo'lmagani uchun (hech bo'lmaganda), bu kombinatsiya notrivialdir, bu vektorlarning chiziqli mustaqilligi shartiga zid keladi. Olingan qarama-qarshilik kengayishning o'ziga xosligini tasdiqlaydi.

Vektor tizimining darajasi va asosi. Vektorlar sistemasining darajasi - bu tizimning chiziqli mustaqil vektorlarining maksimal soni.

Vektor tizimining asosi berilgan vektorlar sistemasining maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimi deyiladi.

Teorema. Har qanday tizim vektori tizim asos vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin. (Har qanday tizim vektorini bazis vektorlariga kengaytirish mumkin.) Kengayish koeffitsientlari berilgan vektor va berilgan bazis uchun yagona aniqlanadi.

Hujjat:

Tizim asosga ega bo'lsin.

1 ta holat. Vektor - asosdan. Demak, u bazis vektorlaridan biriga teng, deylik. Keyin =.

2-holat. Vektor asosdan emas. Keyin r>k.

Keling, vektorlar tizimini ko'rib chiqaylik. Bu tizim chiziqli bog'liqdir, chunki u asosdir, ya'ni. maksimal chiziqli mustaqil quyi tizim. Demak, 1, 2, ..., k, bilan, hammasi nolga teng bo'lmagan raqamlar mavjud, shundayki

Ko'rinib turibdiki (agar c = 0 bo'lsa, tizimning asosi chiziqli bog'liqdir).

Vektorning bazisga nisbatan kengayishi yagona ekanligini isbotlaylik. Buning aksini faraz qilaylik: vektorning bazisga nisbatan ikkita kengayishi mavjud.

Ushbu tengliklarni ayirib, biz olamiz

Bazis vektorlarining chiziqli mustaqilligini hisobga olib, biz olamiz

Binobarin, vektorning asos nuqtai nazaridan kengayishi o'ziga xosdir.

Tizimning har qanday asosidagi vektorlar soni bir xil va vektorlar tizimining darajasiga teng.

Def. Kompleks sonlar sistemasi min maydon deb ataladi, u haqiqiy sonlar maydonining kengaytmasi bo'lib, unda i element (i 2 -1=0) mavjud.

Def. Algebra<ℂ, +, ∙, 0, 1, ℝ, ⊕, ⊙, i>Agar quyidagi shartlar (aksiomalar) bajarilsa, kompyuter raqamlari tizimi deyiladi:

1. a,b∊ℂ∃!m∊ℂ: a+b=m

2. a,b,c∊ℂ (a+b)+c=a+(b+c)

3. a,b∊ℂa+b=b+a

4. ∃ 0∊ℂ a∊ℂ a+0=a

5. a∊ℂ ∃(-a)∊ℂ a+(-a)=0

6. a,b∊ℂ ∃! n∊ℂa∙b=n

7. a,b,c∊ℂ (a∙b)∙c=a∙(b∙c)

8. a,b∊ℂa∙b=b∙a

9. ∃1∊ℂ a∊ℂ a∙1=a

10. a∊ℂ ∃a -1 ∊ℂ a∙a -1 =1

11. a,b,c∊ℂ (a+b)c=ac+bc

12. - harakat maydoni raqamlar

13. Rêℂ, a,b∊R a⊕b=a+b, a⊙b=a∙b

14. ∃i∊ℂ:i 2 +1=0

15. ℳ≠⌀ 1)ℳ⊂ℂ,R⊂ℳ 2) a,b∊ℳ⇒(a+b)∊ℳ va (a∙b)∊ℳ)⇒ℳ=ℂ

Muqaddas raqamlar:

1. a∊ℂ∃! (a,b) ∊ R:a=a+b∙i

2. Comp raqamlari maydonini chiziqli tartiblash mumkin emas, ya'ni. a∊ℂ, a≥0 |+1, a 2 +1≥1, i 2 +1=0, 0≥1-mumkin emas.

3. Algebraning asosiy teoremasi: Sonlar maydoni ℂ algebraik yopiq, ya’ni har qanday ko‘plik son musbat. ℂ sonlar maydoni ustidagi daraja kamida bitta toʻplamga ega. ildiz

Asosiy qismdan quyidagilar alg teoremalari: musbatlarning har qanday ko'pligi. kompleks sonlar maydoni bo'yicha darajalarni ijobiy koeffitsientli birinchi darajali ... mahsulotga bo'lish mumkin.

Keyingi: har qanday to'rtta daraja 2 ta ildizga ega: 1) D>0 2 xil. yaroqli ildiz 2)D=0 2-a dest. ildizning mos kelishi 3)D<0 2-а компл-х корня.

4. Aksioma. kompleks sonlar nazariyasi kategorik va izchil

Metodologiya.

Umumta’lim sinflarida kompleks son tushunchasi e’tiborga olinmaydi, ular faqat haqiqiy sonlarni o‘rganish bilan cheklanadi. Ammo o'rta maktabda maktab o'quvchilari allaqachon etarlicha etuk matematik ta'limga ega va raqam tushunchasini kengaytirish zarurligini tushunishga qodir. Umumiy rivojlanish nuqtai nazaridan murakkab sonlar haqidagi bilimlar tabiiy fanlar va texnika fanlarida qo’llaniladi, bu esa o’quvchining bo’lajak kasbini tanlash jarayonida muhim ahamiyatga ega. Ayrim darsliklar mualliflari davlat standartida nazarda tutilgan ixtisoslashtirilgan darajalar uchun algebra va matematik tahlilning boshlanishi darsliklarida ushbu mavzuni o'rganishni majburiy qilib kiritganlar.

Uslubiy nuqtai nazardan qaraganda, “Murakkab sonlar” mavzusi matematikaning asosiy kursida berilgan ko‘phad va son tushunchalarini rivojlantiradi va chuqurlashtiradi, ma’lum ma’noda umumta’lim maktablarida son tushunchasining rivojlanish yo‘lini yakunlaydi.

Biroq, hatto o'rta maktabda ham ko'plab maktab o'quvchilarida mavhum fikrlash zaif rivojlangan yoki "xayoliy, xayoliy" birlikni tasavvur qilish, koordinata va murakkab tekislik o'rtasidagi farqlarni tushunish juda qiyin. Yoki aksincha, talaba mavhum tushunchalar bilan ularning real mazmunidan ajralgan holda harakat qiladi.

“Kompleks sonlar” mavzusini o’rganib chiqqandan so’ng talabalar kompleks sonlar haqida aniq tushunchaga ega bo’lishlari, kompleks sonning algebraik, geometrik va trigonometrik shakllarini bilishlari kerak. O‘quvchilar kompleks sonlar ustida qo‘shish, ko‘paytirish, ayirish, bo‘lish, darajaga ko‘tarish va ildiz ayirish amallarini bajara olishlari; kompleks sonlarni algebraik shakldan trigonometrik shaklga o'tkazish, kompleks sonlarning geometrik modeli haqida tasavvurga ega bo'lish

N.Ya.Vilenkin, O.S.Ivashev-Musatov, S.I.Shvartsburdlarning “Algebra va matematik analizning boshlanishi” nomli matematika sinflari darsligida 11-sinfda “Kompleks sonlar” mavzusi kiritilgan. Mavzuni o‘rganish 11-sinfning ikkinchi yarmida 10-sinfda trigonometriya bo‘limi, 11-sinfda integral va differensial tenglamalar, ko‘rsatkichli, logarifmik va darajali funksiyalar, ko‘phadlar o‘rganilgandan so‘ng taklif etiladi. Darslikda “Kompleks sonlar va ular ustida amallar” mavzusi ikki bo‘limga bo‘lingan: Kompleks sonlar algebraik shaklda; Kompleks sonlarning trigonometrik shakli. “Kompleks sonlar va ular ustida amallar” mavzusini ko‘rib chiqish kvadrat tenglamalar, uchinchi va to‘rtinchi darajali tenglamalarni yechish masalasini ko‘rib chiqishdan boshlanadi va natijada “yangi i son”ni kiritish zarurati paydo bo‘ladi. Kompleks sonlar va ular ustida amallar tushunchalari darhol beriladi: kompleks sonlarning yig'indisini, ko'paytmasini va qismini topish. Keyinchalik kompleks son tushunchasining qat'iy ta'rifi, qo'shish va ko'paytirish, ayirish va bo'lish amallarining xossalari berilgan. Keyingi paragrafda konjugat murakkab sonlar va ularning ba'zi xususiyatlari haqida so'z boradi. Keyinchalik, kompleks sonlardan kvadrat ildizlarni olish va kompleks koeffitsientli kvadrat tenglamalarni yechish masalasini ko'rib chiqamiz. Keyingi paragrafda: kompleks sonlarning geometrik tasviri; qutbli koordinatalar sistemasi va kompleks sonlarning trigonometrik shakli; kompleks sonlarni trigonometrik shaklda ko‘paytirish, darajaga ko‘tarish va bo‘lish; Moivr formulasi, kompleks sonlarni trigonometrik o'ziga xosliklarni isbotlashda qo'llash; murakkab sonning ildizini chiqarish; polinom algebrasining asosiy teoremasi; kompleks sonlar va geometrik o'zgarishlar, kompleks o'zgaruvchining funktsiyalari.

Darslikda S.M. Nikolskiy, M.K. Potapova, N.N. Reshetnikova, A.V. Shevkin “Algebra va matematik analizning boshlanishi”, mavzusi “Kompleks sonlar 11-sinfda barcha mavzularni o‘rganib chiqqandan keyin ko‘rib chiqiladi, ya’ni. maktab algebra kursining oxirida. Mavzu uch bo'limga bo'lingan: Kompleks sonlarning algebraik shakli va geometrik talqini; Kompleks sonlarning trigonometrik shakli; Ko'phadning ildizlari, kompleks sonlarning ko'rsatkichli shakli. Paragraflarning mazmuni juda katta, unda ko'plab tushunchalar, ta'riflar va teoremalar mavjud. "Kompleks sonlarning algebraik shakli va geometrik talqini" bandi uchta bo'limdan iborat: kompleks sonning algebraik shakli; konjugat murakkab sonlar; kompleks sonning geometrik talqini. “Kompleks sonning trigonometrik shakli” bandida kompleks sonning trigonometrik shakli tushunchasini kiritish uchun zarur boʻlgan taʼriflar va tushunchalar, shuningdek, algebraik yozuv shaklidan trigonometrik koʻrinishga oʻtish algoritmi keltirilgan. murakkab son. Oxirgi xatboshida “Ko‘p nomlilarning ildizlari. Kompleks sonlarning ko'rsatkichli shakli" uchta bo'limni o'z ichiga oladi: kompleks sonlarning ildizlari va ularning xususiyatlari; polinomlarning ildizlari; kompleks sonning eksponensial shakli.

Darslik materiali kichik hajmda taqdim etilgan, ammo talabalar murakkab sonlarning mohiyatini tushunishlari va ular haqida minimal bilimlarni egallashlari uchun etarli. Darslik oz sonli mashqlarni o'z ichiga oladi va murakkab sonni kuchga va Moivre formulasiga ko'tarish masalasini ko'rib chiqmaydi.

Darslikda A.G. Mordkovich, P.V. Semenov “Algebra va matematik tahlilning boshlanishi”, profil darajasi, 10-sinf, “Kompleks sonlar” mavzusi 10-sinfning ikkinchi yarmida “Haqiqiy sonlar” va “Trigonometriya” mavzularini o‘rgangandan so‘ng darhol kiritiladi. Bunday joylashtirish tasodifiy emas: son doirasi ham, trigonometriya formulalari ham kompleks sonning trigonometrik shakli, Moivr formulasini o‘rganishda hamda kompleks sondan kvadrat va kub ildizlarini ajratib olishda faol qo‘llaniladi. “Kompleks sonlar” mavzusi 6-bobda berilgan va 5 bo’limga bo’lingan: kompleks sonlar va ular ustidagi arifmetik amallar; kompleks sonlar va koordinata tekisligi; kompleks sonni yozishning trigonometrik shakli; kompleks sonlar va kvadrat tenglamalar; kompleks sonni darajaga ko'tarish, kompleks sonning kub ildizini chiqarish.

Kompleks son tushunchasi son tushunchasining kengaytmasi va haqiqiy sonlarda muayyan amallarni bajarishning mumkin emasligi sifatida kiritiladi. Darslikda asosiy sonlar to‘plamlari va ularda ruxsat etilgan amallar ko‘rsatilgan jadval keltirilgan. Kompleks sonlar qanoatlantirishi kerak bo’lgan minimal shartlar sanab o’tiladi, so’ngra xayoliy birlik tushunchasi, kompleks sonning ta’rifi, kompleks sonlarning tengligi, ularning yig’indisi, ayirmasi, ko’paytmasi va bo’limi bilan tanishtiriladi.

Haqiqiy sonlar to‘plamining geometrik modelidan kompleks sonlar to‘plamining geometrik modeliga o‘tamiz. “Kompleks sonni yozishning trigonometrik shakli” mavzusini ko‘rib chiqish kompleks son modulining ta’rifi va xossalaridan boshlanadi. Keyinchalik, kompleks sonning trigonometrik shakli, kompleks son argumentining ta'rifi va kompleks sonning standart trigonometrik shaklini ko'rib chiqamiz.

Keyinchalik, kompleks sonning kvadrat ildizini olish va kvadrat tenglamalar yechimini o'rganamiz. Va oxirgi paragrafda Moivre formulasi kiritiladi va kompleks sonning kub ildizini olish algoritmi olinadi.

Shuningdek, ko'rib chiqilayotgan darslikda, har bir paragrafda, nazariy qismga parallel ravishda, nazariyani aks ettiruvchi va mavzuni yanada mazmunli idrok etishni ta'minlaydigan bir nechta misollar ko'rib chiqiladi. Qisqacha tarixiy faktlar keltiriladi.

X% y € R haqiqiy sonlarning barcha mumkin bo'lgan tartiblangan juftliklarining (i» y) R2 to'plamini ko'rib chiqing. Bunday juftliklar uchun (a, b) = (c, d) agar a = c va b - d bo'lsa. Ushbu R2 to'plamga qo'shish va ko'paytirish amallari ko'rinishida ichki tarkib qonunlarini kiritamiz. Qo'shishni £faa tengligi bilan aniqlaymiz, operatsiya assotsiativ va kommutativdir; u (4.5-ta'rifga muvofiq) neytral elementga (0, 0) ega va 4.6 ta'rifiga ko'ra, har bir juftlik (a, 6) uchun simmetrik (qarama-qarshi) elementni (-a, -6) belgilash mumkin. Haqiqatan ham, V(a, 6) £ R2 Bundan tashqari, yoki murakkab sonlar maydoni. Ko'paytirishni tenglik bilan aniqlaymiz Shu tarzda kiritilgan amal qo'shishga nisbatan assotsiativ, kommutativ va distributiv ekanligini tekshirish oson. Bu operatsiya neytral elementga ega, ya'ni juftlik (1, 0), chunki kiritilgan qo'shish va ko'paytirish amallariga kelsak, R2 to'plami o'ziga xoslikka ega Abel halqasidir (4.1-jadvalga qarang). x* (x, 0) € R2 juftliklari toʻplami va x G R haqiqiy sonlar toʻplami oʻrtasida yakkama-yakka muvofiqlikni (x, 0) x) oʻrnatish qiyin emas, shundan kelib chiqadiki, maydon murakkab sonlar. bular. bunday juftlarni qo'shish va ko'paytirish haqiqiy sonlar bilan bir xil tarzda amalga oshiriladi. (x, 0) shakldagi juftlarni haqiqiy sonlar bilan almashtiramiz, ya'ni. (zh, 0) o'rniga oddiygina w yozamiz, xususan, (1, 0) o'rniga - oddiygina 1. R2 to'plamida alohida o'rinni (0, 1) juftlik egallaydi. (4.3) ga ko'ra, u xususiyatlarga ega va maxsus i belgisini oldi va keyin (4.2) va (4.3) ni hisobga olgan holda, har qanday juftlik (x, y) € R2 kompleks sonlar maydoni sifatida ifodalanishi mumkin. Uni z bilan belgilaymiz. z elementi z elementining kompleks konjugati deyiladi. (4.3) ni hisobga olgan holda z-z = x2 -by2. Agar z neytral element (0, 0) bilan mos kelmasa, ya'ni. agar x va y bir vaqtning o'zida 0 ga teng bo'lmasa (2^0 bilan belgilanadi), u holda x2 + + y2 ph 0. Keyin z elementiga teskari (nosimmetrik, ko'paytirish amaliga nisbatan qarama-qarshi - 4.1 ga qarang) = x + iy quyidagi element bo'ladi z "1, bu zz~l = 1 yoki zzz~l =z, ya'ni (x2 + y2)z~l = x - y Demak, -1_ X 2 Y \ Binobarin, har bir element gf O ko'paytirish amaliga nisbatan svbe ga teskari bo'lib, (4.1) va (4.3) ga muvofiq qo'shish va ko'paytirish amallari bo'lgan R2 to'plami shunday maydon bo'ladi (4.1-jadvalga qarang). kompleks sonlar maydoni (yoki to'plami) va S bilan belgilanadi. B Yuqoridagi birma-bir moslik (r, 0) tufayli € R2 ++ x € R, kompleks sonlarning ulushi maydonning kengaytmasi hisoblanadi. haqiqiy raqamlardan. C dagi har qanday r element kompleks son deyiladi va uning z = x + iy> ko'rinishida ifodalanishi bu erda x, y £ R va i2 = -l, - kompleks sonni algebraik shaklda ifodalaydi. Bunda £ kompleks sonning haqiqiy qismi deyiladi va Re z bilan, y esa xayoliy qism deb ataladi va Imz bilan belgilanadi (t xayoliy birlik deyiladi). Kompleks sonning xayoliy qismi haqiqiy son ekanligini unutmang. Y ning nomi to'liq muvaffaqiyatli emas, lekin tarixiy an'anaga hurmat sifatida u bugungi kungacha saqlanib qolgan. “Kompleks son” atamasi 1803 yilda frantsuz matematigi J.I. Carnot (1753-1823), ammo bu atama 1828 yilda K. Gauss tomonidan unchalik muvaffaqiyatli bo'lmagan "xayoliy son"44 o'rniga tizimli ravishda qo'llanila boshlandi. 19-asr rus matematik adabiyotida. “kompozit son” atamasini ishlatgan44. R. Dekart allaqachon murakkab sonning haqiqiy va xayoliy qismlarini qarama-qarshi qo'ygan. Keyinchalik frantsuzcha reele (real) va imagimaire (xayoliy) so'zlarining birinchi harflari bu qismlarning belgilariga aylandi, garchi ko'plab matematiklar xayoliy miqdorlarning mohiyatini noaniq va hatto sirli va sirli deb bilishgan. Shunday qilib, I. Nyuton ularni son tushunchasiga kiritmagan va G. Leybnits iboraga egalik qiladi: “Hayoliy sonlar ilohiy ruhning go'zal va ajoyib panohidir, deyarli yo'qlik bilan bo'lish amfibiyasidir44. Haqiqiy sonlarning barcha mumkin bo'lgan juftlarining R2 to'plamini tekislikdagi nuqtalar bilan aniqlash mumkin bo'lganligi sababli, har bir kompleks son z =? x + iy y) nuqtaga to'g'ri keladi (4.1-rasm), bu bizga kompleks sonni tasvirlashning geometrik shakli haqida gapirish imkonini beradi. Kompleks sonlar tekislikning nuqtalari bilan aniqlansa, u kompleks tekislik yoki kompleks sonlar tekisligi deb ataladi. Haqiqiy raqamlar Ox o'qiga joylashtiriladi, ya'ni. z raqamlari, ular uchun lmz = y = 0, va Oy o'qida - z = = iy raqamlari, sof xayoliy deb ataladi, ular uchun Re z = x = 0. Bu rasm. 4.1, murakkab tekislikdagi koordinata o'qlari mos ravishda haqiqiy va xayoliy deyiladi. z va z kompleks konjugat elementlariga (murakkab konjugat sonlar) mos keladigan tekislikning nuqtalari haqiqiy o'qqa nisbatan simmetrik, z va z ni ifodalovchi nuqtalar esa koordinata bo'yicha simmetrikdir. Masofa kompleks sonlar maydoni. Tekislikdagi z = x + iy kompleks sonni ifodalovchi M(x, y) nuqta koordinata boshidan kompleks sonning moduli deyiladi va \z\ yoki r bilan belgilanadi. Ox o'qining musbat yo'nalishi bilan M hosil qiladigan nuqta kompleks sonning argumenti deb ataladi va Argz yoki bilan belgilanadi (p (4.1-rasmga qarang). Burchak trigonometriyada bo'lgani kabi o'lchanadi: burchak o'zgarishining ijobiy yo'nalishi soat miliga teskari yo'nalish deb hisoblanadi. Ko'rinib turibdiki, Arg z yagona aniqlanmagan, balki 2p ning karrali bo'lgan atamagacha\ Shartni qanoatlantiradigan argumentning yagona qiymati (ba'zan 0 asosiy qiymat deb ataladi va argz bilan belgilanadi. Shunday qilib, Arg * = arg2: + 2pm, m € Z. z - 0 uchun Args qiymati aniqlanmaydi.Bu songa mos keladigan nuqta (kelib chiqishi) faqat \z\ = z = 0 sharti bilan tavsiflanadi.Demak, uchun Kompleks tekislikdagi har bir kompleks son z ga M(x, y) nuqtaning radius vektori mos keladi, uni qutb koordinatalari bilan aniqlash mumkin: qutb radiusi r ^ 0, kompleks son moduliga teng va bu kompleks son argumentining asosiy qiymatiga to‘g‘ri keladigan qutb burchagi.Maktab trigonometriyasi kursidan ma’lum bo‘lgan trigonometrik funksiyalar va ularning teskari ta’riflariga ko‘ra (3.5 ga qarang), kompleks tekislikdagi istalgan joylashuv nuqtasi z uchun bizda x=rcosy bor. >= X Kompleks son argumentining bosh qiymatiga qoʻyilgan cheklovlarni hisobga olib, agar x > 0 boʻlsa, x 0 boʻlsa, x = 0 boʻlsa va y boʻlsa hosil boʻladi.(4.6) dan kelib chiqadiki, yuridik belgilar + tsiny>), (4.8) Kompleks sonni ifodalashning trigonometrik shakli deyiladi. Tasvirning algebraik shaklidan trigonometrik shaklga o'tish uchun (4.5) va (4.7)" va teskari o'tish uchun - (4.6) dan foydalaning. E'tibor bering, ikkita nolga teng bo'lmagan kompleks sonlar teng bo'ladi, agar ularning modullari teng bo'lsa va ularning argumentlari 2p ga karrali hadlar bilan farq qilsa. (4.1) ga ko'ra, z\ va r2 kompleks sonlarining yig'indisi kompleks son va ularning farqi bo'ladi - Bu formulalardan kompleks sonlarni qo'shish (yoki ayirish) vektorlarni qo'shish (yoki ayirish)ga o'xshashligi kelib chiqadi. murakkab tekislikda parallelogramma qoidasiga muvofiq (4.2-rasm) (bu holda vektorlarning mos keladigan koordinatalari qo'shiladi yoki ayiriladi). Shuning uchun kompleks sonlar modullari uchun tengsizliklar uchburchak a ko'rinishda o'rinli bo'ladi (uchburchakning istalgan tomonining uzunligi uning boshqa ikki tomoni uzunliklarining yig'indisidan katta emas). Biroq, bu murakkab sonlar va vektorlar o'rtasidagi o'xshashlikni tugatadi. Kompleks sonlarning yig‘indisi yoki ayirmasi haqiqiy son bo‘lishi mumkin (masalan, z-f z = = 2x, x = Rez e R kompleks konjugat sonlar yig‘indisi). (4.3) ga ko'ra z\ va z2 kompleks sonlarning ko'paytmasi kompleks son bo'ladi ph 0 sonining bo'linishi ko'paytirishning teskari harakati sifatida kiritiladi, ya'ni. V*2 ph 0 uchun Z1/22 koeffitsienti bilan z^z = z\ tenglikni qanoatlantiruvchi -r kompleks sonni tushunamiz. Ushbu tenglikning ikkala tomonini 22 ga ko'paytirgandan so'ng, biz olamiz z kompleks sonini n darajaga ko'tarish N € N z ni o'ziga n marta ko'paytiradi, k 6 N uchun kompleks sonlar maydoni ekanligini hisobga olgan holda. Belgilanishning trigonometrik shakli (4.8) kompleks sonlarni ko'paytirish, bo'lish va darajaga chiqarishni soddalashtirish imkonini beradi. Shunday qilib, z\ = r\(cos(p\ + isiny?i) va Z2 = G2(o + -f isin no (4.3)) uchun kompleks tekislikda (4.3-rasm) ko'paytirish aylanishga mos kelishini aniqlashimiz mumkin. OM segmentining burchak bo'yicha (soat miliga teskari yo'nalishda 0 da) va uzunligining G2 = \z2\ marta o'zgarishi, * bo'linish - bu segmentni soat yo'nalishi bo'yicha bir xil burchakka aylantirish va uzunligini 1/gg = 1/|g2| marta- n £ N darajaga ko'tarishni z ni o'z-o'zidan n marta, yarmiga ko'paytirishni hisobga olgan holda Ingliz matematigi A. de Moivr (1667-1754) sharafiga bu munosabat kompleks sonni musbat butun songa ko'tarish Moivr formulasi deb ataladi. Kompleks sonni ratsional darajaga ko'tarish q = m /n, q€ Q, m € Z, n6N, bu sonni 1/n darajaga ko'tarish yoki, odatda, aytilganidek, Kompleks sonning n-chi ildizi.Ildizni olish darajaga ko'tarishning teskari amalidir, ya'ni = w, agar wn = z bo'lsa.) U holda (4.13) dan biz bor va kompleks sonlarning tengligini hisobga olib, hosil bo'ladi. Murakkab sondan musbat butun sonning ildizini olish uchun Moivre formulasi deb ataladigan (4.14) ifodadan y/z ning mumkin bo'lgan qiymatlari orasida k = = 0 ga to'g'ri keladigan n qiymatlar kelib chiqadi. n - 1 har xil bo'ladi $fz uchun barcha n xil qiymatlar bir xil modulga ega va ularning argumentlari 2jr/n ga karrali burchaklar bilan farqlanadi. Qiymatlar markaz boshida joylashgan 1/f radiusli aylana ichiga chizilgan muntazam n-burchakning uchlaridagi kompleks tekislikning nuqtalariga mos keladi. Bunda cho'qqilardan birining radius vektori Ox o'qi bilan burchak (p/n) hosil qiladi.(4.13) va (4.14) dan z /0 kompleks sonini g€ ratsional kuchga ko'tarish formulasidan kelib chiqadi. Q. Beli g = m/n, bu yerda m € Z va n € N, qaytarilmas kasr, keyin 4.10-misol Unda (4.5) ga ko‘ra ri = 1 va rj = 2 bo‘lsin. ning haqiqiy va xayoliy qismlarini tahlil qilish. z\ va Z2 kompleks sonlarini (4.7) hisobga olgan holda (4.4-rasm) olamiz (Shuning uchun trigonometrik shaklda. (4.11) va (4.12) ga asosan topamiz: (4.13) dan foydalanib, z\ ni ko'taramiz. kuch n = 4, (4.14) dan foydalanib, biz z2 dan n = 3 quvvatning ildizini chiqaramiz Hisoblash natijalari 4.4-rasmda ko'rsatilgan.Zi uchinchi ildizining uchta qiymati muntazam uchburchakning uchlariga to'g'ri keladi. Radiusli aylana ichiga chizilgan ABC va bu uchlarning qutb burchaklari = i*/18, 4>v = 13t/18 va = 25t/18 (yoki = - 11^/18).

Algebra va geometriya bo'yicha ma'ruzalar. Semestr 1.

Ma’ruza 2. Kompleks sonlar maydoni.

2-bob. Kompleks sonlar maydoni.

1-band. Kompleks sonlar maydonini qurish.

Haqiqiy sonlar maydonining kartezian kvadrati bo'lsin, ya'ni.
– tartiblangan juft haqiqiy sonlar to‘plami. Keling, ushbu to'plamda ikkita ichki ikkilik algebraik amallarni aniqlaymiz - quyidagi qoidalarga muvofiq qo'shish va ko'paytirish:
ta'rifi bilan aytaylik

(1)

(2)
.

Shubhasiz, ikki juftning yig'indisi va mahsuloti
yana bir nechtasi bor
, chunki haqiqiy sonlarning yig'indisi, mahsuloti va ayirmasi haqiqiy sonlardir. Shunday qilib,
– ikkita ichki ikkilik algebraik amallarga ega algebraik struktura.

Teorema.
- maydon.

Isbot. Biz maydonning barcha to'qqiz aksiomasining bajarilishini ketma-ket tekshiramiz.

1. Qo‘shishga oid assotsiativlik qonuni:

.

Mayli. Keyin, juftlarni qo'shish ta'rifi bilan
Va .

Boshqa tomondan,
Va .

R maydon bo'lgani uchun haqiqiy sonlarni qo'shish assotsiativlik qonuniga bo'ysunadi va shuning uchun . Bu juftlarning tengligini anglatadi va bundan, o'z navbatida, tenglik va boshqalar kelib chiqadi.

2. Null elementning mavjudligi:

.

belgilaylik
, bu erda 0 haqiqiy sonlar maydonining nol elementi, ya'ni. nol raqami. Mayli
- ixtiyoriy juftlik
. Keyin, juftlarni qo'shish ta'rifi bilan va. Demak,
va er-xotin
qo'shish operatsiyasiga nisbatan nol element mavjud bo'lib, uning mavjudligi isbotlanishi kerak edi.

3. Qarama-qarshi elementning mavjudligi:

.

Mayli
- ixtiyoriy juftlik
.

Qarama-qarshi element juftlik ekanligini ko'rsataylik

. Darhaqiqat, ta'rifga ko'ra

juftlarni qo'shish bizda:

VA . Bu tenglikni anglatadi va hokazo.

4. Qo‘shishga nisbatan kommutativlik qonuni:

.

Mayli
- ikkita ixtiyoriy juftlik. Keyin, juftlarni qo'shish ta'rifiga ko'ra, bizda:

VA . R maydon bo'lgani uchun kommutativ qo'shish qonuni va
,
, bu juftlarning tengligini bildiradi: va
, va boshqalar.

5. Ko'paytirishga oid assotsiativlik qonuni:

.

Mayli. Keyin, juftlarni ko'paytirish ta'rifi bilan

,
Va

Natijada teng juftliklar paydo bo'ldi. Demak,
, va boshqalar.

6. Bitta elementning mavjudligi:

.

Keling, ta'rif bilan aytaylik
va buni ko'rsating – ko‘paytirishga nisbatan birlik elementi. Mayli
. Keyin, juftlarni ko'paytirish ta'rifi bilan , . Shunday qilib,
, va boshqalar.

7. Teskari elementning mavjudligi:

.

Mayli
Va
, ya'ni. a va b raqamlari bir vaqtning o'zida nolga teng emas, ya'ni
. Keling, ta'rif bilan aytaylik
va bu element tenglikni qanoatlantirishini ko'rsating
. Haqiqatan ham, juftlarni ko'paytirish ta'rifi bilan

,

Shunday qilib, biz tenglikni tekshirdik
, va boshqalar.

8. Ko‘paytirishga oid kommutativlik qonuni:

.

Mayli
- ikkita ixtiyoriy juftlik. Keyin, juftlarni ko'paytirish ta'rifi bilan

R maydon bo'lgani uchun haqiqiy sonlarni ko'paytirish va qo'shish kommutativlik qonuniga bo'ysunadi va

,
, bu tenglikni anglatadi
, va boshqalar.

9. Ko‘paytirishning qo‘shishga nisbatan taqsimlanish qonuni:

Va
.

Mayli. Keyin, juftlarni qo'shish va ko'paytirishning ta'rifi bilan

,

Bu erda biz haqiqiy sonlar bo'ysunadigan qo'shishga nisbatan ko'paytirishning taqsimot qonunidan foydalandik. Xuddi shunday,

,
Va

Bu erdan biz buni ko'ramiz
.

Taqsimlanishning ikkinchi qonunini isbotlash uchun biz isbotlangan taqsimot qonuni va ko'paytirishga nisbatan kommutativlik qonunidan foydalanamiz, biz buni allaqachon isbotlaganmiz:

Teorema isbotlangan.

Ta'rif. Maydon
kompleks sonlar maydoni deb ataladi va uning elementlari - tartiblangan juft haqiqiy sonlar - kompleks sonlar deb ataladi.

2-band. Kompleks sonlarni yozishning algebraik shakli.

bilan belgilaymiz
- maydonning kichik to'plami
, ikkinchi elementi nolga teng bo'lgan haqiqiy sonlar juftlaridan iborat. Mayli
. Keyin, juftlarni qo'shish va ko'paytirish qoidalariga ko'ra
,
. Bu bizga bunday juftlarni birinchi elementi va to'plamning o'zi bilan aniqlash imkoniyatini beradi R to'plami bilan.

Keling, ta'rif bilan aytaylik
. Shuning uchun, xususan,
,
.

Er-xotin uchun
Keling, maxsus belgi bilan tanishaylik. Keling, ta'rif bilan aytaylik
. Keyin

(3)
.

Kompleks sonni yozishning bunday shakli algebraik deyiladi.

Kompleks sonlar maydonining o'zi C harfi bilan belgilanadi.

.

Yana shuni ta'kidlab o'tamiz. Bu murakkab son degan ma'noni anglatadi
kvadrat tenglamaning ildizidir
. Bu tenglamaning ikkinchi ildizi kompleks son ekanligini tushunish oson
. Haqiqatan ham, .

Shunday qilib, kompleks sonlarga quyidagi ta'rifni berishimiz mumkin.

Ta'rif. Kompleks son - haqiqiy sonlarning tartiblangan juftligi
, bu odatda shaklda yoziladi
, bu yerda i element kvadrat tenglamaning ildizi
, ya'ni.
.

Ta'rif. Mayli
– kompleks sonni yozishning algebraik shakli. i elementi xayoliy birlik deyiladi. Haqiqiy a son kompleks sonning haqiqiy qismi deyiladi va belgilanadi
. Haqiqiy b soni z kompleks sonining xayoliy qismi deyiladi va belgilanadi
.

Ta'rif. Haqiqiy qismi nolga teng bo'lgan kompleks songa sof xayoliy son deyiladi.

Kompleks sonni yozishning algebraik shaklining ta'rifidan (tenglik (3) ga qarang) ikkita kompleks sonning tengligi sharti darhol kelib chiqadi:

Ikkita murakkab son, agar ularning haqiqiy va xayoliy qismlari teng bo'lsa, tengdir, ya'ni.

.

Bu yerda & bog‘lovchi belgisi, mantiqiy bog‘lovchi “va”.

Izoh. Ta'riflardan kelib chiqadiki
, ya'ni. har qanday haqiqiy son - tasavvur qismi nolga teng bo'lgan kompleks son. Har qanday kompleks sonni ikkita kompleks sonning qo'shilishi natijasi sifatida ko'rish mumkin, ulardan biri haqiqiy son (uning tasavvur qismi nolga teng), ikkinchisi sof xayoliydir:

3-band. Algebraik yozuvda kompleks sonlar bilan amallar.

Juftlarni qo‘shish (1) va kompleks sonni yozishning algebraik shakli (3) ta’rifidan yozishning algebraik ko‘rinishida kompleks sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish qoidalari kelib chiqadi. Mayli
,
– ixtiyoriy kompleks sonlar. Keyin

E'tibor bering, xuddi shu natijani isbotlangan teorema yordamida olish mumkin. Kompleks sonlar to'plami maydon hosil qiladi. Sohada assotsiativlik, kommutativlik va distributivlik qonunlari amal qiladi. Biz har bir murakkab raqamni 2-band oxiridagi izohda ko'rib chiqamiz. – ikkita kompleks sonni qo‘shish natijasida. Keyin

Bu erda biz tenglikdan foydalandik
.

Shunday qilib, qo'shish (4) va ayniqsa, ko'paytirish (5) qoidalarini esga olishning hojati yo'q. Bundan tashqari, bu aniq
– nol element, – qarama-qarshi.

Ayirish amalini qarama-qarshi tomoni bilan qo'shish deb belgilaymiz:

Misollar. 1).,
, ,

2). Kompleks sonlar sohasidagi tenglamani yeching:

.

Yechim. Diskriminantni topish
. Kvadrat tenglamaning ildizlari formulasidan foydalanib, biz ildizlarni topamiz:

. Javob:
.

Izoh. Bu erda biz tenglikdan foydalandik
, qayerda
.

Har qanday K maydonidagi bo‘linish amalini uning teskari elementiga ko‘paytirish deb belgilaymiz:
ta'rifi bilan aytaylik
Va

.

Buni tekshirish oson
,

Haqiqatan ham,

Biroq, (6) formulani yodlashning hojati yo'q. Bitta oddiy qoidadan foydalanish yaxshiroqdir. Lekin buning uchun avvalo bitta tushunchani kiritamiz.

Ta'rif. Kompleks raqam
kompleks sonning kompleks konjugati deyiladi
.

Ta'rifdan darhol raqam kelib chiqadi
sonning murakkab konjugatidir
, ya'ni. bir-biridan faqat xayoliy qism belgisi bilan farq qiladigan bunday sonlar bir-birining murakkab konjugatlaridir.

Misol:
Va
, men va – men,
va h.k.

Kompleks sonlarni bo'lish qoidasi.

Bitta murakkab sonni boshqasiga bo'lish uchun kasrning soni va maxrajini maxrajning kompleks konjugati bilan ko'paytirish kerak.

.

Misollar. ,

,
,
.

Izoh. Agar
, keyin uning murakkab konjugat raqami belgilanadi
.

4-band. Murakkab konjugat sonlarning xossalari.

1.

.

2.

.

3.
.

4.

.

5.

6.

.

7.

.

8.

9. Har qanday ko‘phad uchun
z kompleks o'zgaruvchining real koeffitsientlari bilan

.

Isbot. 1) Mayli
- ixtiyoriy kompleks son. Keyin murakkab konjugat sonning ta'rifi bilan
va va boshqalar.

2) ruxsat bering. Keyin
. Boshqa tomondan,
Va
, shundan kelib chiqadiki
.

3) Matematik induksiya usuli yordamida n ning istalgan soni uchun tenglik to‘g‘ri ekanligini isbotlaylik.

a) induksiya asosi.

Da
,
tenglik
faqat isbotlangan.

b) Induksion gipoteza.

Aytaylik, agar atamalar soni teng bo'lsa, bayonot to'g'ri bo'ladi
:.

c) induksion o'tish.

Bu bayonot ikki muddat uchun to'g'ri bo'lgani uchun

Bu erda isbotlanayotgan tenglik paydo bo'ladi.

4) ruxsat bering. Keyin
. Boshqa tomondan, bundan kelib chiqadi
.

5) 3) banddagi kabi matematik induksiya usuli bilan isbotlangan.

6) Mayli
k esa ixtiyoriy natural sondir. Keyin, sonning tabiiy kuchining ta'rifi bilan
, va boshqalar.

7) a haqiqiy son bo'lsin. Keyin
va murakkab konjugat sonning ta'rifi bilan
, va boshqalar.

8) Mayli
. 4) va 7) bandlarida allaqachon tasdiqlangan xususiyatlarga ko'ra
, va boshqalar.

9) z kompleks o‘zgaruvchi va bo‘lsin
real koeffitsientli z kompleks o'zgaruvchidagi ko'phad:, bu yerda

- haqiqiy raqamlar. Keyin, allaqachon tasdiqlangan xususiyatlardan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Teorema isbotlangan.

Misol. Hisoblash
.

Yechim. belgilaylik
. Keyin
,
,
. Bu yerdan, .

5-band. Kompleks sonning natural darajasining ildizi haqida tushuncha.

Ta'rif. Mayli
- ixtiyoriy natural son. Kompleks z sonning n- ildizi kompleks sondir , shu kabi
.

Keyinchalik quyidagi teorema isbotlanadi, biz buni hozircha isbotsiz qabul qilamiz.

Teorema. (Kompleks sonning n- ildizlarining mavjudligi va soni haqida.)

Kompleks sonning aniq n-nchi ildizi bor.

Kompleks sonning n- ildizlarini belgilash uchun odatiy radikal belgidan foydalaniladi. Ammo bitta muhim farq bor. Agar a musbat haqiqiy son bo'lsa, u holda
ta'rifi bo'yicha n-darajali musbat ildizni bildiradi, u arifmetik ildiz deyiladi.

Agar n toq son bo'lsa, u holda har qanday haqiqiy a sonining yagona n- ildizi mavjud. Da
bu yagona ildiz
ta'rifiga ko'ra arifmetik, bilan
bu yagona ildiz
arifmetik emas, balki qarama-qarshi sonning arifmetik ildizi bilan ifodalanishi mumkin:
, Qayerda
arifmetikdir, chunki
.