Вирішення звичайних диференціальних рівнянь. Метод Пікара
Мета роботи:сформувати у студентів уявлення про застосування ДК у різних галузях; прищепити вміння вирішувати завдання Коші для ДК у" = f(x,y) на відрізку [ a, b] при заданій початковій умові у 0 = f(x 0) методами Пікара, Ейлера, Рунґе – Кутти, Адамса; розвинути навички перевірки отриманих результатів за допомогою прикладних програм.
Метод Пікара
Приклад 5.1.
: у h= 0,1 методом Пікара з кроком h.
У звіті подати: хід роботи, програму – функцію, похибку, графічну ілюстрацію рішення.
Рішення.
1. Вводимо дані (рис. 5.1)
a= 1,7 b = 2,7
h = 0,1
y 0 = 5,3 i = 0..n
Рис.5.1.Завдання вихідних даних
2. Задаємо функцію, що повертає значення першої похідної за змінною у(Рис.5.2).
f derive( y) = 
Рис.5.2.Функція, що повертає значення першої похідної функції
3. Складемо функцію, яка повертає рішення ДК методом
Пікара. Тут: f –вихідна функція; f deriv –
Похідна функції по у; a,b- Кінці відрізка; h- Крок; у 0 –
початкове значення змінної у.
4. Знайдемо рішення ДК методом Пікара (рис. 5.3).
fnPikan(fn, fn deriva, a, b, h, y0)=
Мал. 5.3.Завдання функції, що повертає рішення ДК
методом Пікара (файл fnPikar.mcd)
fnPikar(f, f derive, a, b, 0.1, y0) =
| 7,78457519486 · 10 -11 | |
| 5,3 | |
| 5,46340155616 | |
| 5,62650688007 | |
| 5,78947945853 | |
| 5,95251650231 | |
| 6,11584391144 | |
| 6,27971330675 | |
| 6,44440084325 | |
| 6,61020759752 | |
| 6,77746140952 | |
| 6,94652015221 |
Мал. 5.4.Знаходження чисельного рішення ДК методом Пікара
Метод Ейлера та його модифікації
Приклад 5.2.
у(1,7) = 5,3 та етапі інтегрування h= 0,1 методом Ейлера та вдосконаленим методом Ейлера з кроками hі h/2.
Рішення.
Хід розв'язання задачі методом Ейлера наведено на рис. 5.5 – 5.7.
а = 1,7 b = 2,7 у0 = 5,3
y 0 = y0 x i = a + ih h2 = 0,05
Рис5.5.Фрагмент робочого листа Маthcad із рішенням
рівняння методом Ейлера з кроком hі h/2 та графічної
візуалізацією методу Ейлера.
1. Складемо програму, що реалізує метод Ейлера (рис.
Рис.5.6.Лістинг програми, що реалізує метод Ейлера
2. Отримаємо рішення ДК методом Ейлера (рис. 5.7.).
ES h = eyler (f, a, b, h, y0)
ES h2 = eyler(f, a, b, , y0)
Мал. 5.7.Знаходження чисельного рішення ДК методом Ейлера
Примітка
Функцію, що повертає рішення ДК удосконаленим методом Ейлера, скласти самостійно.
Мал. 5.8.Рішення ДК удосконаленим методом
Ейлера з кроками hі h/2
5.3. Метод Рунге – Кутти
Насправді найчастіше використовують метод Рунге – Кутти четвертого порядку.
Приклад 5.3.
Розв'язати задачу Коші для ДК на відрізку при заданому НУ у(1,7) = 5,3 та етапі інтегрування h= 0,1 шляхом Рунге – Кути четвертого порядку з кроком hі 2 h.
У звіті подано: хід роботи, програму функцію, похибку, графічну ілюстрацію рішення та оцінку похибки наближення.
Рішення.
1. Вводимо ці завдання (рис. 5.9).
a = 1,7 b = 2,7
h = 0,1
y 0 = 5,3
i= 0..n
Рис.5.9.Завдання вихідних даних
2. Складемо функцію, що повертає рішення ДК першого порядку шляхом Рунге – Кутти. Тут: fn- Задана функція; a, b- Кінці відрізка; h- Крок; y 0 – початкове значення функції.
3. Знайдемо рішення ДК першого порядку, використовуючи вбудовані функції Mathcad (рис. 5.10).
RK h = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0)
RK 2h = fnRungeKutta(f, a, b, 2h, y0)
Мал. 5.10.Лістинг функції, що повертає чисельне
рішення ДУ методом Рунге-Кутти
Метод Адамса
Приклад 5.4.
Розв'язати задачу Коші для ДК на відрізку при заданому НУ у(1,7) = 5,3 та етапі інтегрування h= 0,1 методом Адамса з кроком h.
У звіті подати: ручний рахунок, програму – функцію, похибку, графічну ілюстрацію рішення та оцінку похибки наближення.
Рішення.
1. Знайдемо перші чотири числа за формулою Рунге-Кутти (рис. 5.11).
y i = fnRungeKutta(f, a, b, h, y0) i
Мал. 5.11.Обчислення перших чотирьох значень чисельного рішення за формулою Рунге-Кутти
2. Складемо функцію, яка реалізує метод Адамса (рис. 2.10.3). Тут a, b- Кінці відрізка; y 1 – початкове значення функції; h- Крок.
Мал. 5.12.Функція, що повертає чисельне рішення
ДУ методом Адамса
3. Графічна ілюстрація рішення ДК різними методами представлена на рис. 5.13.
Мал. 5.13.Візуалізація рішення ДК різними методами
Запитання по темі
1. Що означає вирішити завдання Коші для ДК першого порядку?
2. Графічна інтерпретація чисельного рішення ДК.
3. Які існують методи вирішення ДК залежно від
форми подання рішення?
4. У чому полягає суть принципу стискаючих
відображень?
5. Рекурентна формула методу Пікара.
6. У чому полягає суть методу ламаного Ейлера?
7. Застосування яких формул дозволяє отримати значення
шуканої функції за методом Ейлера?
8. Графічна інтерпретація методу Ейлера та
удосконаленого методу Ейлера. У чому їхня відмінність?
9. У чому полягає суть методу Рунге-Кутти?
10. Як визначити кількість вірних цифр у числі,
є рішенням ДК методом Ейлера,
удосконаленого методу Ейлера, Пікара, Рунге-
Завдання до лабораторної роботи №5
Завдання 5.1.
Вирішити завдання Коші для ДУ y’ = f(x, y) на відрізку [ a, b] при заданому НУ у(а) = зта етапі інтегрування h(Вихідні параметри задані в табл. 2.10.1):
1) методом Ейлера та вдосконаленим методом Ейлера з кроком hі h/2;
2) методом Рунге-Кутти з кроком hі 2 h;
3) методом Адамса;
4) шляхом Пікара.
Рішення повинне містити: хід роботи, програму методу, графічне рішення рівняння та оцінка похибки наближення. У числах залишатиме 5 цифр після коми.
Таблиця 5.1.Варіанти завдань для виконання самостійної роботи
| № | f( x, y) | [a, b] | y 0 | h |
| 3х 2 + 0,1ху | у(0) = 0,2 | 0,1 | ||
| 0,185(x 2 + cos(0,7 x)) + 1,843y | у(0,2) = 0,25 | 0,1 | ||
| у(1,6) = 4,6 | 0,1 | |||
 | у(0,2) = 1,1 | 0,1 | ||
| у(1,4) = 2,5 | 0,1 | |||
 | у(1,7) = 5,3 | 0,1 | ||
 | у(2,6) = 3,5 | 0,2 | ||
 | у(2) = 2,3 | 0,1 | ||
| 1,6 + 0,5y 2 | у(0) = 0,3 | 0,1 | ||
 | у(1,8) = 2,6 | 0,1 | ||
 | у(2,1) = 2,5 | 0,1 | ||
| e 2x + 0,25y 2 | у(0) = 2,6 | 0,05 | ||
| [- 2; -1] | у(-2) = 3 | 0,1 | ||
| 0,133 · ( x 2+ sin(2 x)) + 0,872y | у(0,2) = 0,25 | 0,1 | ||
| sin( x + y) +1,5 | у(1,5) = 4,5 | 0,1 | ||
 | у(0,4) = 0,8 | 0,1 | ||
| 2,5x+ cos( y + 0,6) | у(1) = 1,5 | 0,2 | ||
| cos(1,5 y +x) 2 + 1,4 | у(1) = 1,5 | 0,1 | ||
 | у(1,5) = 2,1 | 0,05 | ||
| cos y+ 3x | у(0) = 1,3 | 0,1 | ||
| cos(1,5 x – y 2) – 1,3 | [-1; 1] | у(-1) = 0,2 | 0,2 | |
| у(1,6) = 4,6 | 0,1 | |||
| e -(y – 1) + 2x | у(0) = 0,3 | 0,05 | ||
| 1 + 2y sin x – y 2 | у(1) = 0 | 0,1 | ||
 | у(0) = 0 | 0,1 | ||
| 0,166(x 2 + sin(1,1 x)) + 0,883y | у(0,2) = 0,25 | 0,1 | ||
| у(1,7) = 5,6 | 0,1 | |||
| у(1,4) = 2,5 | 0,1 | |||
| у(0,6) = 0,8 | 0,1 | |||
| у(1) = 5,9 | 0,1 | |||
| 1 + 0,8y sin x - 2y 2 | у(0) = 0 | 0,1 | ||
 | у(0,5) = 1,8 | 0,1 | ||
| у(1,2) = 1,8 | 0,1 | |||
| 1 + 2,2 · sin x + 1,5y 2 | у(0) = 0 | 0,1 | ||
| у(0) = 0 | 0,1 | |||
 | у(0) = 0 | 0,1 | ||
 | у(0) = 0 | 0,1 | ||
| 0,2x 2 + y 2 | у(0) = 0,8 | 0,1 | ||
| x 2+y | у(0) = 0,4 | 0,1 | ||
| xy + 0,1y 2 | у(0) = 0,5 | 0,1 |
Література
Основна література:
Алексєєв Г.В., Вороненко Б.А., Лукін Н.І. Математичні методи в
харчової інженерії: Навчальний посібник. - СПб.: "Лань", 2012. - 212 с.
Алексєєв Г.В. Математичні методи в інженерії: Навчальний метод. допомога. - СПб.: НДУ ІТМО; ІХіБТ. 2012. - 39 с.
Алексєєв Г.В., Холявін І.І. Чисельне економіко-математичне моделювання та оптимізація: навчальний посібник для вузів, ДІЕФПТ, 2011, 211 с.
Макаров Є.Г. Mathcad: Навчальний курс. - СПб.: Пітер, 2009. - 384 с.
додаткова література:
Поршнєв С.В., Бєлєнкова І.В. Чисельні методи з урахуванням Mathcad. -
СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 464 с.
Агап'єв Б.Д., Бєлов В.М., Кесаманли Ф.П., Козловський В.В., Марков С.І. Обробка експериментальних даних: Навч. посібник / СПбДТУ. СПб., 2001.
ГорєловаГ.В. Теорія ймовірностей та математична статистика у прикладах та задачах із застосуванням Excel. - М.: Фенікс, 2005. - 476 с.
Адлер Ю.П., Маркова Є.В., Грановський Ю.В. Планування експерименту під час пошуку оптимальних умов.-М.: Наука, 1976
Асатурян В.І. Теорія планування експерименту.-М.: Радіо та зв'язок, 1983
Бродський В.З. Введення в факторне планування експерименту.-М.: Наука, 1976
Демиденко О.З. Лінійна та нелінійна регресія.-М.: Фінанси та статистика, 1981
Красовський Г.І., Філаретов Г.Ф. Планування експерименту.-Мінськ: БДУ, 1982
Маркова Є.В., Лісенков О.М. Комбінаторні плани у завданнях багатофакторного експерименту.-М.: Наука,1979
Фролькіс В.А. Лінійна та нелінійна оптимізація.-СПб. 2001. 306 с.
Курицький Б.Я. Пошук оптимальних рішень засобами Excel 7.0.-СПб.: BHV, 1997, 384с
програмне забезпечення та Інтернет-ресурси:
http://www.open-mechanics.com/journals - Процеси та апарати харчових виробництв
http://www.spbgunpt.narod.ru/ur_gigm.htm - Механіка рідини та газу, гідравліка та гідравлічні машини
http://elibrary.ru/defaultx.asp – наукова електронна бібліотека «Elibrary»
Вступ
1.Лабораторна робота №1: Теорія наближених обчислень
1.1. Абсолютна та відносна похибки
1.2. Похибка округленого числа
1.3. Похибки арифметичних дій
1.4. Похибки елементарних функцій
1.5. Спосіб кордонів
1.6. Зворотне завдання теорії похибок
1.7. Запитання по темі
1.8. Завдання до лабораторної роботи №1
2.Лабораторна робота №2: Чисельні методи вирішення
скалярних рівнянь
1.1. Метод хорд
1.2. Метод дотичних
1.3. Метод простої ітерації
1.4. Запитання по темі
1.5. Завдання до лабораторної роботи №2
3.Лабораторна робота №3: Чисельні методи вирішення систем
нелінійних рівнянь
3.1. Метод Ньютона
3.2. Запитання по темі
3.3. Завдання до лабораторної роботи №3
4.Лабораторна робота №4: Чисельне інтегрування
4.1. Метод прямокутників
4.2. Метод Сімпсона
4.3. Метод трапецій
4 .4. Метод Монте – Карло
4.5. Запитання по темі
4.6. Завдання до лабораторної роботи №4
5. Лабораторна робота №5: Вирішення звичайних диференціальних рівнянь
5.1. Метод Пікара
5.2. Метод Ейлера та його модифікації
5.3. Метод Рунге – Кутти
Розглянемо звичайне диференціальне рівняння (ОДП) першого порядку
з початковою умовою
y(х 0) = у 0 , (2)
де f(x) - деяка задана, у випадку, нелінійна функція двох змінних. Будемо вважати, що для даної задачі (1)-(2), що називається початковим завданням або завданням Коші, виконуються вимоги, що забезпечують існування та єдиність на відрізку [х 0, b] її розв'язання у = у (х).
Попри зовнішню простоту рівняння (1), вирішити його аналітично, тобто. знайти загальне рішення у=у(х, С) для того, щоб потім виділити з нього інтегральну криву у=у(х), що проходить через задану точку (х 0 ;у 0), вдається лише для деяких спеціальних типів таких рівнянь. Тому, як і в спорідненій для (1)-(2) задачі обчислення інтегралів, доводиться робити ставку на наближені способи вирішення початкових завдань для ОДУ, які можна поділити на три групи:
1) наближено-аналітичні методи;
2) графічні чи машинно-графічні методи;
3) чисельні методи.
До методів першої групи відносять такі, які дозволяють знаходити наближення рішення у(х) відразу у вигляді деякої «хорошої» функції φ (х).Наприклад, широко відомий метод статечних рядів, в одну з реалізацій якого закладено уявлення шуканої функції у(х) відрізком ряду Тейлора, де тейлорівські коефіцієнти, що містять похідні вищих порядків, знаходять послідовним диференціюванням самого рівняння (1). Іншим представником цієї групи методів є метод послідовних наближень, суть якого наведена трохи нижче.
Назва графічні методи говорить про наближене уявленні шуканого рішення у(х) на проміжку у вигляді графіка, який можна будувати за тими чи іншими правилами, пов'язаними з графічним тлумаченням цього завдання. Фізична або, можливо, точніше сказати, електротехнічна інтерпретація початкових завдань для певних видів рівнянь лежить в основі машинно-графічних методів наближеного рішення. Реалізуючи на фізико-технічному рівні задані електричні процеси, на екрані осцилографа спостерігають поведінку розв'язків диференціальних рівнянь, що описують ці процеси. Зміна параметрів рівняння призводить до адекватної зміни поведінки рішень, що покладено основою спеціалізованих аналогових обчислювальних машин (АВМ).
Нарешті, найбільш значущими в даний час, що характеризується бурхливим розвитком і проникненням у всі сфери людської діяльності цифрової обчислювальної техніки, є чисельні методи розв'язання диференціальних рівнянь, що передбачають одержання числової таблиці наближених значень y i шуканого рішення у(х) на деякій сітці 
значень аргументу x. Цим методам і буде присвячено подальший виклад. Що робити з одержуваними чисельними значеннями рішення залежить від прикладної постановки задачі. Якщо йдеться про знаходження лише значення у(b), тоді точка b включається як кінцева в систему розрахункових точок х i , і всі наближені значення y i ≈y(x i), крім останнього, беруть участь як проміжні, тобто. не вимагають запам'ятовування, ні обробки. Якщо ж потрібно мати наближене рішення у(х) у будь-якій точці х, то для цього до одержуваної числової таблиці значень y i можна застосувати будь-який із способів апроксимації табличних функцій, розглянутих раніше, наприклад, інтерполяцію або сплайн-інтерполяцію. Можливі інші використання чисельних даних про рішення.
Торкнемося одного наближено-аналітичного способу вирішення початкової задачі (1)-(2), в якому шукане рішення у = у (х) в деякій правій околиці точки х 0 є межею послідовності одержуваних певним чином функцій у п (х).
Проінтегруємо ліву та праву частини рівняння (1) у межах від х 0 до х:
Звідси, з урахуванням того, що однією з первісних для у (х) служить у (х), отримуємо
або, з використанням початкової умови (2),
(3)
Таким чином, дане диференціальне рівняння (1) з початковою умовою (2) перетворилося на інтегральне рівняння (невідома функція входить тут під знак інтеграла).
Отримане інтегральне рівняння (3) має вигляд задачі про нерухому точку 
для оператора 
Формально до цього завдання можна застосувати метод простих ітерацій
досить докладно розглядався стосовно систем лінійних і нелінійних алгебраїчних і трансцендентних рівнянь. Беручи як початкову функцію y 0 (х) задану в (2) постійну y 0 за формулою (4) при п=0 знаходимо перше наближення
Його підстановка (4) при п=1 дає друге наближення
і т.д. Таким чином, цей наближено-аналітичний метод, який називається методом послідовних наближень або методом Пікара визначається формулою
(5)
де n=0,1, 2,... і у 0(х)=y 0 .
Зазначимо дві характеристики методу послідовних наближень Пікара, які можна зарахувати до негативним. По-перше, через відомі проблеми з ефективним знаходженням первісних, у чистому вигляді метод (5) рідко реалізуємо. По-друге, як видно з наведеного вище твердження, цей метод слід вважати локальним, придатним для наближення рішення в малій правій околиці початкової точки. Більше значення метод Пікара має на доказ існування і єдиності рішення завдання Коші, ніж його практичного перебування.
Заняття №17. Методи Ейлера.
Ціль -ознайомити студентів із методами Ейлера розв'язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь.
Це наближений метод рішення, що є узагальненням методу послідовних наближень (див. Розділ V, § 2). Розглянемо завдання Коші для рівняння першого порядку
Інтегруючи диференціальне рівняння, замінимо це завдання еквівалентним їй інтегральним рівнянням типу Вольтерра
Вирішуючи це інтегральне рівняння методом послідовних наближень, отримаємо ітераційний процес Пікара
(Наближене рішення, на відміну від точного, ми позначатимемо через у). На кожній ітерації цього процесу інтегрування виконується або точно або численними методами, описаними в розділі IV.
Доведемо збіжність методу, припускаючи, що в деякій обмеженій області права частина безперервна і задовольняє за змінною та умовою Липшиця
Оскільки область обмежена, то виконуються співвідношення Позначимо похибку наближеного рішення через Віднімаючи (8) з (9) і використовуючи умову Липшиця
Вирішуючи це рекурентне співвідношення та враховуючи, що знайдемо послідовно
Звідси випливає оцінка похибки
Видно, що з , т. е. наближене рішення поступово сходиться до точного у всій області .
приклад. Застосуємо метод Пікара до завдання Коші для рівняння (3), рішення якого не виражається через елементарні функції
У цьому випадку квадратури (9) обчислюються точно і ми легко отримуємо
і т. д. Видно, що При ці наближення швидко сходяться і дозволяють обчислити рішення з високою точністю,
На цьому прикладі видно, що метод Пікара вигідно застосовувати, якщо інтеграли (9) вдається обчислити через елементарні функції. Якщо ж права частина рівняння (7) складніша, отже ці інтеграли доводиться шукати чисельними методами, то метод Пікара стає дуже зручним.
Метод Пікара легко узагальнюється на системи рівнянь способом, описаним у п. 2. Однак на практиці чим вище порядок системи, тим рідше вдається точно обчислювати інтеграли (9), що обмежує застосування методу в цьому випадку.
Є багато інших наближених методів. Наприклад, С. А. Чаплыгін запропонував метод, що є узагальненням методу алгебри Ньютона на випадок диференціальних рівнянь. Інший спосіб узагальнень методу Ньютона запропонував Л. В. Канторович в 1948 р. В обох цих методах, як і в методі Пікара, ітерації виконуються за допомогою квадратур. Однак квадратури в них мають набагато складніший вигляд, ніж (9) і рідко беруться в елементарних функціях. Тому ці методи майже не застосовують.
Метод Пікара Пікар Шарль Еміль (1856-1941) - французький математик.
Цей метод дозволяє отримати наближене рішення диференціального рівняння (1) як функції, представленої аналітично.
Нехай за умов теореми існування потрібно знайти рішення рівняння (1) з початковою умовою (2). Проінтегруємо ліву та праву частини рівняння (1) у межах від до:
Рішення інтегрального рівняння (9) задовольнятиме диференційному рівнянню (1) та початковій умові (2). Дійсно, при, отримаємо:
Разом про те, інтегральне рівняння (9) дозволяє застосувати метод послідовних наближень. Розглянемо праву частину формули (9) як оператор, що відображає будь-яку функцію (з того класу функцій, для яких інтеграл, що входить до (9), існує) в іншу функцію того ж класу:
Якщо цей оператор стискає (що випливає з умови теореми Пікара), то можна будувати послідовність наближень, що сходить до точного рішення. Як початкове наближення приймається, і знаходиться перше наближення
Інтеграл у правій частині містить лише змінну x; після знаходження цього інтеграла буде отримано аналітичний вираз наближення як функції змінної x. Далі замінимо у правій частині рівняння (9) y знайденим значенням та отримаємо друге наближення
і т.д. Загалом ітераційна формула має вигляд
(n = 1, 2 ...) (10)
Циклічне застосування формули (10) дає послідовність функцій
схожу до вирішення інтегрального рівняння (9) (а, отже, і диференціального рівняння (1) з початковими умовами (2)). Це також позначає, що k-й член послідовності (11) є наближенням до точного рішення рівняння (1) з певним контрольованим ступенем точності.
Зауважимо, що при користуванні методом послідовних наближень аналітичність правої частини диференціального рівняння не є обов'язковою, тому метод цей можна застосовувати і в тих випадках, коли розкладання рішення диференціального рівняння в статечний ряд неможливе.
Похибка методу Пікара
Оцінка похибки k-го наближення дається формулою
де y(x) - точне рішення - константа Липшица з нерівності (4).
Насправді метод Пікара використовується дуже рідко. Одна з причин - та, що інтеграли, які необхідно обчислювати при побудові чергових наближень, найчастіше аналітично не знаходяться, а застосування їх для обчислення чисельних методів так ускладнює рішення, що набагато зручніше безпосередньо застосовувати інші методи, які спочатку є чисельними.
Приклади вирішення задачі в Maple
Завдання №1: Методом послідовних наближень визначити значення, де - рішення диференціального рівняння: що задовольняє початковій умові, на відрізку, прийнявши крок (розрахунок вести до другого наближення).
Дано: - диференціальне рівняння
Початкова умова
Інтервал
Знайти: значення
Рішення:
> y1:=simplify (1+int (x+1, x=0…x));
> y2:= simplify (1+int (x+simplify (1+int (x+1, x=0…x))^2, x=0…x));
Знайдемо значення при x=0,5:
Завдання №2: Методом послідовних наближень знайти наближене рішення диференціального рівняння за умови, що задовольняє початковій умові.
Дано: - диференціальне рівняння
Початкова умова
Знайти: значення
Рішення:
Будемо знаходити наближене рішення цього ДК на відрізку з кроком (вибрали довільно).
Запишемо для цього формулу виду (10)
> y1:=simplify (1+int (x*1, x=0…x));
>y2:=simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*1, x=0...x)), x=0...x));
Аналогічно знаходимо третє наближення:
>y3:=simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*simplify (1+int (x*1, x=0…x)), x=0…x))), x=0… x));
Знайдемо наближене рішення даного ДК при, для цього в третє наближення замість x, підставимо та отримаємо:
Порівняємо отриманий наближений результат із точним рішенням ДК:
За результатами таблиці видно, що похибка обчислень дуже мала.
Нагадаємо відомі теореми Пікара і Пеано про існування та єдиність розв'язання цього завдання (завдання Коші).
Теорема ПЕАНО стверджує, що розв'язання задачі Коші існує в околиці точки Х о, якщо функція f(x,Y) безперервна в околиці точки (X 0 ,Y 0).
Теорема ПІКАРА свідчить, що й не тільки функція f(x,Y), а й її приватна похідна f" у (x,Y) також безперервна в околиці точки (Х 0 ,У 0), то розв'язання задачі Коші єдино на деякому відрізку , Що містить точку Х0.
Доказ теореми Пікара випливає із загального принципу стискаючих відображень, він дуже непростий, але має істотну перевагу - він конструктивний. Причому послідовність функцій Y n (x), що будується у ньому, сходить до рішення рівномірно на відрізку зі швидкістю геометричної прогресії. У методі Пікара послідовність функцій Y n (x) будується за рекурентною формулою:
При n=0,1,2,...,
а за нульове наближення береться константа Y0: Y0(х)ºY0.
Для того, щоб стало зрозумілим походження цієї рекурентної формули, зауважимо, що інтегральне рівняння
еквівалентно вихідному завданню Коші, оскільки будь-яка функція Y(х), що є його рішенням, задовольняє початковій умові Y(Х о)=Y про і рівняння Y"(х)=f(x,Y(х)) і навпаки.
Запитання: Чому це справді так?
Приклад 4.1 Застосуємо метод Пікара для вирішення рівняння Y"=Y з початковою умовою Y(0)=1. Таке завдання еквівалентне пошуку рішення інтегрального рівняння Y=1+òY(t)dt.
Як початкове наближення беремо функцію Y про =1.
Тоді Y 1 =1+òY (t)dt= 1+òdt= 1+x.
Y 3 = 1+òY 2 (t)dt= 1+ò(1+t+t 2 /2)dt= 1+x+x 2 /2+x 3 /6.
Можна переконатися, що Y n = 1 + x + x 2 / 2 + ... + x n / n!
Вправа 4.1.Доказать останню рівність суворо, використовуючи принцип математичної індукції.
Вправа 4.2.У прикладі 4.1 знайти точне рішення Y(Х) і оцінити швидкість рівномірної збіжності Y n (x) -> Y(Х) на відрізку.
У цілому нині, наближені способи вирішення звичайних диференціальних рівнянь можна розбити на 3 типа:
· аналітичні, що дозволяють отримати наближене рішення Y(х) у вигляді формули,
· графічні, що дають можливість наближеної побудови графіка рішення Y(х), тобто. інтегральної кривої,
· чисельні, В результаті застосування яких виходить таблиця наближених значень функції Y(х),
хоча такий поділ і дещо умовний.
Крім методу Пікара, до аналітичних методів відноситься і
метод розкладання невідомої функції Y(х) у ряд,
на якому ми зараз зупинимося.
Напишемо формальне розкладання Y(Х) у ряд Тейлора в точці а:
У цю рівність входять похідні невідомої функції Y(Х) у точці а, проте саме в цій точці, користуючись умовами завдання, ми можемо послідовно знайти будь-яке число похідних та отримати необхідне наближення рішення. У загальному вигляді це виглядає так: Y про (а) = Y (а) = Y; Y"(а)=f(a,Y(a))= f(a,Y o)
Диференціюючи дане нам рівняння по Х, отримаємо
Y""(Х)=f" х (x,Y(х))+f" у (x,Y(х))*Y"(х), звідки Y""(а)= f" х (а ,Yо)+f" у (a,Y про)*f(a,Y про).
Аналогічно виходить і значення третьої та подальших похідних у точці а -диференціюємо потрібне число разів вихідне рівняння і підставляємо отримані раніше значення похідних у точці а.
Приклад 4.2.Випишем перші члени розкладання до ряду функції Y(x), що задовольняє рівняння Y"=2хY і початковій умові Y(0)=1.
Y""(х)=2 Y"(х)+2 Y"(х)+2х*Y""(х)= 4Y"(х)+2хY""(х), звідки Y"""( 0) = 0.
Y(4)(х)=4Y""(х)+2хY""(х), звідки Y(4)(0)=6.
Отримуємо наближене рішення Y(х)»1+х2+0.5х4.
Вправа 4.3.Користуючись формулою Лейбніца для знаходження n-ой похідної праці функцій, написати розкладання шуканої прикладі 4.2 функції до ряду Тейлора.
Вправа 4.4.Найти точне рішення у прикладі 4.2 і оцінити якість наближення прикладі 4.2 на відрізку [-0.5,0.5].
Описані вище методи не часто застосовуються на практиці, оскільки в методі Пікара на кожному кроці доводиться обчислювати інтеграл, що ускладнює обчислення та погіршує точність, а в методі розкладання в ряд вкрай складно формалізувати будь-якою мовою процес знаходження похідних високого порядку, а при малій кількості членів розкладання цей спосіб дає хороше наближення лише поблизу точки а.
Серед ГРАФІЧНИХ розглянемо
