Криволінійний інтеграл з кола приклади рішень. Криволінійні інтеграли

Криволінійний інтеграл 2-го роду обчислюється так само, як криволінійний інтеграл 1-го роду зведенням до певного. Для цього всі змінні під знаком інтеграла виражають через одну змінну, використовуючи рівняння лінії, вздовж якої проводиться інтегрування.

а) Якщо лінія АВзадана системою рівнянь то

(10.3)

Для плоского випадку, коли крива задана рівнянням криволінійний інтеграл обчислюється за такою формулою: . (10.4)

Якщо лінія АВзадана параметричними рівняннями

(10.5)

Для плоского випадку, якщо лінія АВзадана параметричними рівняннями , криволінійний інтеграл обчислюється за формулою:

, (10.6)

де - значення параметра t,відповідні початковій та кінцевій точках шляху інтегрування.

Якщо лінія АВшматково-гладка, слід скористатися властивістю адитивності криволінійного інтеграла, розбивши АВна гладкі дуги.

Приклад 10.1Обчислимо криволінійний інтеграл вздовж контуру, що складається з частини кривої від точки до та дуги еліпса від крапки до .

Т. до. контур складається з двох частин, скористаємося властивістю адитивності криволінійного інтеграла: . Зведемо обидва інтеграли до певних. Частина контуру задана рівнянням щодо змінної . Скористаємося формулою (10.4 ), у якій поміняємо ролями змінні. Тобто.

. Після обчислення отримаємо .

Для обчислення інтеграла за контуром НДперейдемо до параметричної форми запису рівняння еліпса та скористаємося формулою (10.6).

Зверніть увагу на межі інтегрування. Точці відповідає значення , а точці відповідає Відповідь:
.

Приклад 10.2.Обчислимо вздовж відрізка прямої АВ, де А(1,2,3), В(2,5,8).

Рішення. Заданий криволінійний інтеграл другого роду. Для обчислення необхідно перетворити його на певний. Складемо рівняння прямої. Її напрямний вектор має координати .

Канонічні рівняння прямої АВ: .

Параметричні рівняння цієї прямої: ,

При
.

Скористаємося формулою (10.5) :

Обчисливши інтеграл, отримаємо відповідь: .

5. Робота сили при переміщенні матеріальної точки одиничної маси з точки в точку вздовж кривої .

Нехай у кожній точці шматково-гладкою кривою заданий вектор, що має безперервні функції-координати: . Розіб'ємо цю криву на малих частин крапками так, щоб у точках кожної частини значення функцій
можна було вважати постійними, а сама частина могла бути прийнята за відрізок прямої (див. рис. 10.1). Тоді . Скалярний добуток постійної сили, роль якої відіграє вектор , на прямолінійний вектор переміщення чисельно дорівнює роботі, яку робить сила при переміщенні матеріальної точки вздовж . Складемо інтегральну суму . У межі при необмеженому збільшенні числа розбиття отримаємо криволінійний інтеграл другого роду

. (10.7) Таким чином, фізичний зміст криволінійного інтеграла другого роду - це робота, зроблена силою при переміщенні матеріальної точки від Адо Упо контуру L.

Приклад 10.3.Обчислимо роботу, яку виконує вектор при переміщенні точки вздовж частини кривої Вівіані, заданої як перетин напівсфери та циліндра , що пробігається проти годинникової стрілки, якщо дивитися з позитивної частини осі OX.

Рішення. Побудуємо задану криву як лінію перетину двох поверхонь (див. рис. 10.3).

.

Щоб звести підінтегральний вираз до однієї змінної, перейдемо в циліндричну систему координат: .

Т.к. точка переміщається по кривій , то зручно як параметр вибрати змінну , яка вздовж контуру змінюється так, що . Тоді отримуємо наступні параметричні рівняння цієї кривої:

.При цьому
.

Підставимо отримані вирази у формулу для обчислення циркуляції:

( - знак + вказує на те, що рух точки по контуру відбувається проти годинникової стрілки)

Обчислимо інтеграл і отримаємо відповідь: .

Заняття 11.

Формула Гріна для однозв'язкової області. Незалежність криволінійного інтеграла від інтегрування. Формула Ньютона-Лейбніца. Знаходження функції за її повним диференціалом за допомогою криволінійного інтеграла (плоский і просторовий випадки).

ОЛ-1 гл.5, ОЛ-2 гл.3, ОЛ-4 гл.3 § 10, п. 10.3, 10.4.

Практика : ОЛ-6№№ 2318(а,б,д),2319(а,в),2322(а,г),2327,2329 абоОЛ-5 №№10.79, 82, 133, 135, 139.

Домашня будівля до заняття 11: ОЛ-6 №№ 2318 (в,г), 2319(в,г), 2322(б,в), 2328, 2330 або ОЛ-5 №№ 10.80, 134, 136, 140

Формула Гріна.

Нехай на площині дана однозв'язкова область, обмежена кусково-гладким замкнутим контуром. (Область називається однозв'язковим, якщо в ній будь-який замкнутий контур може бути стягнутий у точку цієї області).

Теорема. Якщо функції та їх приватні похідні Г, то

Малюнок 11.1

- формула Гріна . (11.1)

Позначає позитивний напрямок обходу (проти годинникової стрілки).

Приклад 11.1.Використовуючи формулу Гріна, обчислимо інтеграл за контуром, що складається з відрізків OA, OBі більшої дуги кола , що з'єднує точки Aі B,якщо , , .

Рішення. Побудуємо контур (Див. рис.11.2). Обчислимо необхідні похідні.

Малюнок 11.2

, ; , . Функції та їх похідні безперервні у замкнутій області, обмеженій цим контуром. За формулою Гріна цей інтеграл.

Після підстановки обчислених похідних отримуємо

. Подвійний інтеграл обчислимо, переходячи до полярних координат:
.

Перевіримо відповідь, обчисливши інтеграл безпосередньо по контуру як криволінійний інтеграл другого роду.
.

Відповідь:
.

2. Незалежність криволінійного інтеграла від шляху інтегрування.

Нехай і - довільні точки однозв'язкової області пл. . Криволінійні інтеграли, обчислені за різними кривими, що з'єднують ці точки, у загальному випадку мають різні значення. Але при виконанні деяких умов усі ці значення можуть бути однаковими. Тоді інтеграл залежить від форми шляху, залежить тільки від початкової і кінцевої точок.

Мають місце такі теореми.

Теорема 1. Для того, щоб інтеграл
не залежав від форми шляху, що з'єднує точки і , необхідно і достатньо, щоб цей інтеграл за будь-яким замкнутим контуром дорівнював нулю.

Теорема 2.. Для того, щоб інтеграл
за будь-яким замкнутим контуром дорівнював нулю, необхідно і достатньо, щоб функції та їх приватні похідні були безперервні у замкнутій області Гі щоб виконувалася умова ( 11.2)

Таким чином, якщо виконуються умови незалежності інтеграла від форми шляху (11.2) , то достатньо вказати тільки початкову та кінцеву точки: (11.3)

Теорема 3.Якщо в однозв'язковій області виконується умова, то існує функція така, що . (11.4)

Ця формула називається формулою Ньютона – Лейбніцадля криволінійного інтегралу.

Зауваження.Нагадаємо, що рівність є необхідною і достатньою умовою того, що вираз
.

Тоді з вище сформульованих теорем випливає, що якщо функції та їх приватні похідні безперервні у замкнутій області Г, в якій дано точки і , і то

а) існує функція , така, що ,

не залежить від форми шляху, ,

в) має місце формула Ньютона – Лейбніца .

Приклад 11.2. Переконаємося, що інтеграл
не залежить від форми шляху і обчислимо його.

Рішення. .

Малюнок 11.3

Перевіримо виконання умови (11.2).
. Як бачимо, умова виконана. Значення інтеграла залежить від шляху інтегрування. Виберемо шлях інтегрування. Найбільш

простим шляхом для обчислень є ламана лінія АСВ, що з'єднує точки початку та кінця шляху. (Див. рис. 11.3)

Тоді .

3. Знаходження функції з її повному диференціалу.

За допомогою криволінійного інтеграла, який не залежить від форми шляху, можна знайти функцію знаючи її повний диференціал. Це завдання вирішується так.

Якщо функції та їх приватні похідні безперервні у замкнутій області Гі , то вираз є повним диференціалом деякої функції . Крім цього інтеграл
, По-перше, не залежить від форми шляху і, по-друге, може бути обчислений за формулою Ньютона - Лейбніца.

Обчислимо
двома способами.

Малюнок 11.4

а) Виберемо в області точку з конкретними координатами та точку з довільними координатами. Обчислимо криволінійний інтеграл по ламаною, що складається з двох відрізків прямих, що з'єднують ці точки, причому один з відрізків паралельний осі, а інший - осі. Тоді. (Див. рис. 11.4)

Рівняння.

Рівняння.

Отримуємо: Обчисливши обидва інтеграли, отримуємо у відповіді деяку функцію .

б) Тепер той самий інтеграл обчислимо за формулою Ньютона – Лейбніца.

Тепер порівняємо два результати обчислення того самого інтеграла. Функціональна частина відповіді у пункті а) є функцією, що шукається , а числова – її значенням у точці .

Приклад 11.3.Переконаємося в тому, що вираз
є повним диференціалом певної функції і знайдемо її. Перевіримо результати обчислення прикладу 11.2 за формулою Ньютона-Лейбніца.

Рішення.Умови існування функції (11.2) було перевірено у попередньому прикладі. Знайдемо цю функцію, навіщо скористаємося малюнком 11.4, причому приймемо за точку . Складемо та обчислимо інтеграл за ламаною АСВ,де :

Як було сказано вище, функціональна частина отриманого виразу і є потрібна функція
.

Перевіримо результат обчислень із прикладу 11.2 за формулою Ньютона-Лейбніца:

Результати збіглися.

Зауваження.Усі розглянуті твердження правильні й у просторового випадку, але з великою кількістю умов.

Нехай шматково-гладка крива належить області у просторі . Тоді, якщо функції та їх приватні похідні безперервні в замкнутій області , в якій дано точки і , і
(11.5 ), то

а) вираз є повним диференціалом певної функції ,

б) криволінійний інтеграл від повного диференціалу певної функції не залежить від форми шляху та ,

в) має місце формула Ньютона – Лейбніца .(11.6 )

Приклад 11.4. Переконаємося в тому, що вираз є повним диференціалом певної функції і знайдемо її.

Рішення.Для відповіді на питання про те, чи є вираз повним диференціалом деякої функції , обчислимо приватні похідні від функцій , , . (Див. (11.5) ) ; ; ; ; ; .

Ці функції безперервні разом зі своїми приватними похідними у будь-якій точці простору.

Бачимо, що виконуються необхідні та достатні умови існування : , , , Ч. т. д.

Для обчислення функції скористаємося тим, що лінійний інтеграл залежить від шляху інтегрування і може бути обчислений за формулою Ньютона-Лейбніца. Нехай крапка - Початок шляху, а деяка точка - кінець шляху . Обчислимо інтеграл

за контуром, що складається з відрізків прямих, паралельних координатним осям. (Див.рис.11.5).

.

Малюнок 11.5

Рівняння частин контуру: , ,
.

Тоді

, xтут зафіксовано, тому ,

Тут зафіксовано yтому .

Через війну отримуємо: .

Тепер той самий інтеграл обчислимо за формулою Ньютона-Лейбніца.

Прирівняємо результати: .

З отриманої рівності випливає, що ,

Заняття 12.

Поверхневий інтеграл першого роду: визначення, основні властивості. Правила обчислення поверхневого інтеграла першого роду за допомогою подвійного інтегралу. Додатки поверхового інтеграла першого роду: площа поверхні, маса матеріальної поверхні, статичні моменти щодо координатних площин, моменти інерції та координати центру тяжіння. ОЛ-1 гл.6, ОЛ 2 гл.3, ОЛ-4§ 11.

Практика: ОЛ-6 № 2347, 2352, 2353 або ОЛ-5 № 10.62, 65, 67.

Домашнє завдання до заняття 12:

ОЛ-6 № 2348, 2354 або ОЛ-5 № 10.63, 64, 68.

Визначення:Нехай у кожній точці гладкою кривою L = ABу площині Oxyзадана безперервна функція двох змінних f(x, y). Довільно розіб'ємо криву Lна nчастин точками A = М 0 , М 1 , М 2 ... М n = B.Потім на кожній з отриманих частин \(\bar((M)_(i-1)(M)_(i))\) виберемо будь-яку точку \(\bar((M)_(i))\left(\) bar((x)_(i)),\bar((y)_(i))\right)\)і складемо суму $$(S)_(n)=\sum_(i=1)^(n )f\left(\bar((x)_(i)),\bar((y)_(i))\right)\Delta (l)_(i)$$ де \(\Delta(l) _(i)=(M)_(i-1)(M)_(i)\) - дуга дуги \(\bar((M)_(i-1)(M)_(i))\) . Отримана сума називається інтегральною сумою першого роду для функції f(x, y) , Заданою на кривій L.

Позначимо через dнайбільшу з довжин дуг \(\bar((M)_(i-1)(M)_(i))\) (таким чином, d = \(max_(i)\Delta(l)_(i)\) )). Якщо при d? 0 існує межа інтегральних сум S n (не залежать від способу розбиття кривої L на частини та вибору точок \(\bar((M)_(i))\)), то ця межа називається криволінійним інтегралом першого порядкувід функції f(x, y)за кривою L і позначається $$\int_(L)f(x,y)dl$$

Можна довести, що якщо функція f(x, y)безперервна, то криволінійний інтеграл \(\int_(L)f(x,y)dl\) існує.

Властивості криволінійного інтеграла 1 роду

Криволінійний інтеграл першого роду має властивості, аналогічні відповідним властивості певного інтегралу:

• адитивність,
• лінійність,
• оцінка модуля,
• теорема про середнє.

Проте є відмінність: $$\int_(AB)f(x,y)dl=\int_(BA)f(x,y)dl$$ тобто. криволінійний інтеграл першого роду залежить від напрями інтегрування.

Обчислення криволінійних інтегралів першого роду

Обчислення криволінійного інтеграла першого роду зводиться до обчислення певного інтегралу. А саме:

1. Якщо крива L задана безперервно диференційованою функцією y=y(x), x \(\in \) , то $$(\int\limits_L (f\left((x,y) \right)dl) ) = (\int \limits_a^b (f\left((x,y\left(x \right)) \right)\sqrt (1 + ((\left((y"\left(x \right)) \right))^ 2)) dx) ;)$$ при цьому вираз \(dl=\sqrt((1 + ((\left((y"\left(x \right)) \right))^2))) dx \) називається диференціалом довжини дуги.
2. Якщо крива L задана параметрично, тобто. у вигляді x=x(t), y=y(t), де x(t), y(t) - безперервно диференційовані функції на деякому відрізку \(\left [ \alpha ,\beta \right ]\), то $$ (\int\limits_L (f\left((x,y) \right)dl) ) = (\int\limits_\alpha ^\beta (f\left ((x\left(t \right),y \left(t \right)) \right)\sqrt (((\left((x"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left((y"\left(t) \right)) \right))^2)) dt)) $$ Ця рівність поширюється на випадок просторової кривої L, заданої параметрично: x=x(t), y=y(t), z=z(t), \(t\in \left [ \alpha ,\beta \right ]\). У цьому випадку, якщо f(x,y,z) - безперервна функція вздовж кривої L, $$ (\int\limits_L (f\left((x,y,z) \right)dl) ) = (\int \limits_\alpha ^\beta (f\left [ (x\left(t \right),y\left(t \right), z\left(t \right)) \right ]\sqrt (((\left ((x"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left((y"\left(t \right)) \right))^2) + ((\left(( z"\left(t \right)) \right))^2)) dt)) $$
3. Якщо плоска крива L задана полярним рівнянням r=r(\(\varphi \)), \(\varphi \in\left [ \alpha ,\beta \right ] \), то $$ (\int\limits_L (f\ left((x,y) \right)dl) ) = (\int\limits_\alpha ^\beta (f\left((r\cos \varphi ,r\sin \varphi ) \right)\sqrt ((r ^2) + (((r)")^2)) d\varphi)) $$

Криволінійні інтеграли 1 роду - приклади

Приклад 1

Обчислити криволінійний інтеграл першого роду

$$ \int_(L)\frac(x)(y)dl $$ де L дуга параболи y 2 =2x, укладена між точками (2,2) та (8,4).

Рішення: Знайдемо диференціал дуги dl для кривої (y = sqrt (2x)). Маємо:

\((y)"=\frac(1)(\sqrt(2x)) \) $$ dl=\sqrt(1+\left ((y)" \right)^(2)) dx= \sqrt( 1+\left (\frac(1)(\sqrt(2x)) \right)^(2)) dx = \sqrt(1+ \frac(1)(2x)) dx $$ Отже цей інтеграл дорівнює: $ $\int_(L)\frac(x)(y)dl=\int_(2)^(8)\frac(x)(\sqrt(2x))\sqrt(1+\frac(1)(2x) )dx= \int_(2)^(8)\frac(x\sqrt(1+2x))(2x)dx= $$ $$ \frac(1)(2)\int_(2)^(8) \sqrt(1+2x)dx = \frac(1)(2).\frac(1)(3)\left (1+2x \right)^(\frac(3)(2))|_(2 )^(8)= \frac(1)(6)(17\sqrt(17)-5\sqrt(5)) $$

Приклад 2

Обчислити криволінійний інтеграл першого роду \(\int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl \), де L - коло x 2 +y 2 =ax (a>0).

Рішення: Введемо полярні координати: \(x = r\cos \varphi \), \(y=r\sin \varphi \). Тоді оскільки x 2 +y 2 =r 2 , рівняння кола має вигляд: \(r^(2)=arcos\varphi \), тобто \(r=acos\varphi \), а диференціал дуги $$ dl = \ sqrt(r^2+(2)"^2)d\varphi = $$ $$ =\sqrt(a^2cos^2\varphi=a^2sin^2\varphi )d\varphi=ad\varphi $$ .

При цьому \(\varphi\in \left [- \frac(\pi )(2) ,\frac(\pi )(2) \right ] \). Отже, $$ \int_(L)\sqrt(x^2+y^2)dl=a\int_(-\frac(\pi )(2))^(\frac(\pi )(2))acos \varphi d\varphi =2a^2 $$

На випадок коли областю інтегрування є відрізок деякої кривої, що лежить в площині. Загальний запис криволінійного інтеграла:

де f(x, y) - функція двох змінних, а L- крива, по відрізку ABякої відбувається інтегрування. Якщо підінтегральна функція дорівнює одиниці, то криволінійний інтеграл дорівнює довжині дуги AB .

Як завжди в інтегральному численні, криволінійний інтеграл розуміється як межа інтегральних сум якихось дуже маленьких частин чогось дуже великого. Що ж підсумовується у разі криволінійних інтегралів?

Нехай на площині розташований відрізок ABдеякою кривою L, а функція двох змінних f(x, y) визначена у точках кривої L. Нехай ми виконуємо із цим відрізком кривий наступний алгоритм.

1. Розділити криву ABна частини крапками (малюнки нижче).
2. У кожній частині вільно вибрати точку M.
3. Знайти значення функції у вибраних точках.
4. Значення функції помножити на
   • довжини частин у разі криволінійного інтеграла першого роду ;
   • проекції частин на вісь координат у разі криволінійного інтеграла другого роду .
5. Знайти суму всіх творів.
6. Знайти межу знайденої інтегральної суми за умови, що довжина найдовшої частини кривої прагне нуля.

Якщо згадана межа існує, то ця межа інтегральної суми і називається криволінійним інтегралом від функції f(x, y) по кривій AB .

першого роду

Випадок криволінійного інтегралу
другого роду

Введемо такі позначення.

Mi ( ζ i; η i)- Вибрана на кожній ділянці точка з координатами.

fi ( ζ i; η i)- Значення функції f(x, y) у вибраній точці.

Δ si- Довжина частини відрізка кривої (у разі криволінійного інтеграла першого роду).

Δ xi- проекція частини відрізка кривої на вісь Ox(У разі криволінійного інтеграла другого роду).

d= maxΔ s i- Довжина найдовшої частини відрізка кривої.

Криволінійні інтеграли першого роду

Виходячи з вищевикладеного про межі інтегральних сум, криволінійний інтеграл першого роду записується так:

.

Криволінійний інтеграл першого роду має всі властивості, які має визначений інтеграл. Однак є одна важлива відмінність. У певного інтеграла під час зміни місцями меж інтегрування знак змінюється на протилежний:

У разі криволінійного інтеграла першого роду не має значення, яку з точок кривої AB (Aабо B) вважати початком відрізка, а яку кінцем, тобто

.

Криволінійні інтеграли другого роду

Виходячи з викладеного про межі інтегральних сум, криволінійний інтеграл другого роду записується так:

.

У разі криволінійного інтеграла другого роду при зміні місцями початку та кінця відрізка кривий знак інтеграла змінюється:

.

При складанні інтегральної суми криволінійного інтеграла другого роду значення функції fi ( ζ i; η i)можна також множити на проекції частин відрізка кривої на вісь Ой. Тоді отримаємо інтеграл

.

Насправді зазвичай використовується об'єднання криволінійних інтегралів другого роду, тобто дві функції f = P(x, y) і f = Q(x, y) та інтеграли

,

а сума цих інтегралів

називається загальним криволінійним інтегралом другого роду .

Обчислення криволінійних інтегралів першого роду

Обчислення криволінійних інтегралів першого роду зводиться до обчислення певних інтегралів. Розглянемо два випадки.

Нехай на площині задана крива y = y(x) та відрізку кривої ABвідповідає зміна змінної xвід aдо b. Тоді у точках кривої підінтегральна функція f(x, y) = f(x, y(x)) ("Ігрек" повинен бути виражений через "ікс"), а диференціал дуги і криволінійний інтеграл можна обчислити за формулою

.

Якщо інтеграл простіше інтегрувати по y, то з рівняння кривої слід висловити x = x(y) ("ікс" через "ігрок"), де і інтеграл обчислюємо за формулою

.

приклад 1.

де AB- Відрізок прямий між точками A(1; −1) та B(2; 1) .

Рішення. Складемо рівняння прямої AB, використовуючи формулу (Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки A(x1 ; y 1 ) і B(x2 ; y 2 ) ):

З рівняння прямий висловимо yчерез x :

Тоді і тепер можемо обчислювати інтеграл, тому що в нас залишилися одні "ікси":

Нехай у просторі задана крива

Тоді в точках кривої функції потрібно виразити через параметр t() а диференціал дуги тому криволінійний інтеграл можна обчислити за формулою

Аналогічно, якщо на площині задана крива

,

то криволінійний інтеграл обчислюється за формулою

.

приклад 2.Обчислити криволінійний інтеграл

де L- частина лінії кола

що знаходиться у першому октанті.

Рішення. Дана крива - чверть лінії кола, розташована в площині z= 3. Вона відповідає значенням параметра. Так як

то диференціал дуги

Підінтегральну функцію виразимо через параметр t :

Тепер, коли ми все виражено через параметр t, можемо звести обчислення даного криволінійного інтеграла до певного інтегралу:

Обчислення криволінійних інтегралів другого роду

Так само, як і у разі криволінійних інтегралів першого роду, обчислення інтегралів другого роду зводиться до обчислення певних інтегралів.

Крива дана в декартових прямокутних координатах.

Нехай дана крива на площині рівнянням функції "гравець", вираженої через "ікс": y = y(x) та дузі кривої ABвідповідає зміна xвід aдо b. Тоді в підінтегральну функцію підставимо вираз "ігрека" через "ікс" і визначимо диференціал цього виразу "ігрека" по "ікс": . Тепер, коли все виражено через "ікс", криволінійний інтеграл другого роду обчислюється як певний інтеграл:

Аналогічно обчислюється криволінійний інтеграл другого роду, коли крива дана рівнянням функції "ікс", вираженої через "гравець": x = x(y) , . І тут формула для обчислення інтеграла така:

приклад 3.Обчислити криволінійний інтеграл

, якщо

а) L- Відрізок прямий OA, де Про(0; 0) , A(1; −1) ;

б) L- дуга параболи y = x² від Про(0; 0) до A(1; −1) .

а) Обчислимо криволінійний інтеграл за відрізком прямої (на малюнку - синя). Напишемо рівняння прямої і висловимо "гравець" через "ікс":

.

Отримуємо dy = dx. Вирішуємо цей криволінійний інтеграл:

б) якщо L- дуга параболи y = x² , отримаємо dy = 2xdx. Обчислюємо інтеграл:

У щойно наведеному прикладі отримали у двох випадках один і той же результат. І це збіг, а результат закономірності, оскільки цей інтеграл задовольняє умовам наступної теореми.

Теорема. Якщо функції P(x,y) , Q(x,y) та їх приватні похідні, - безперервні в області Dфункції та в точках цієї області приватні похідні рівні, то криволінійний інтеграл не залежить від шляху інтегрування по лінії L, що знаходиться в області D .

Крива дана у параметричній формі

Нехай у просторі дана крива

.

а в підінтегральні функції підставимо

вираження цих функцій через параметр t. Отримуємо формулу для обчислення криволінійного інтегралу:

приклад 4.Обчислити криволінійний інтеграл

,

якщо L- частина еліпса

що відповідає умові y ≥ 0 .

Рішення. Ця крива - частина еліпса, що знаходиться в площині z= 2. Вона відповідає значенню параметра.

можемо уявити криволінійний інтеграл у вигляді певного інтеграла та обчислити його:

Якщо дано криволінійний інтеграл і L- замкнута лінія, то такий інтеграл називається інтегралом по замкнутому контуру та його простіше обчислити за формулі Гріна .

Більше прикладів обчислення криволінійних інтегралів

Приклад 5.Обчислити криволінійний інтеграл

де L- Відрізок прямий між точками її перетину з осями координат.

Рішення. Визначимо точки перетину прямої з осями координат. Підставивши в рівняння прямий y= 0, отримаємо,. Підставивши x= 0, отримаємо,. Таким чином, точка перетину з віссю Ox - A(2; 0) , з віссю Ой - B(0; −3) .

З рівняння прямий висловимо y :

.

, .

Тепер можемо уявити криволінійний інтеграл у вигляді певного інтеграла і почати обчислювати його:

У підінтегральному вираженні виділяємо множник, виносимо його за знак інтеграла. У підінтегральному виразі, що вийшов після цього, застосовуємо підведення під знак диференціалута остаточно отримуємо.

16.3.2.1. Визначення криволінійного інтеграла першого роду.Нехай у просторі змінних x,y,z задана шматково-гладка крива, на якій визначено функцію f (x ,y ,z ). Розіб'ємо криву крапками на частин, на кожній з дуг виберемо довільну точку, знайдемо і довжину дуги, і складемо інтегральну суму. Якщо існує межа послідовності інтегральних сум при , що не залежить ні від способу розбиття кривої на дуги , ні від вибору точок , то функція f (x ,y ,z ) називається інтегрованою по кривій , а значення цієї межі називається криволінійним інтегралом першого роду, або криволінійним інтегралом по довжині дуги від функції f (x ,y ,z ) по кривій , і позначається (або ).

Теорема існування.Якщо функція f (x ,y ,z ) безперервна на кусочно-гладкой кривою , вона інтегрована по цій кривої.

Випадок замкнутої кривої.В цьому випадку як початкова і кінцева точка можна взяти довільну точку кривої. Замкнену криву надалі називатимемо контуромта позначати буквою З . Те, що крива, якою обчислюється інтеграл, замкнута, прийнято позначати кружечком на значок інтеграла: .

16.3.2.2. Властивості криволінійного інтеграла першого роду.Для цього інтеграла мають місце всі шість властивостей, справедливих для певного, подвійного, потрійного інтеграла лінійностідо теореми про середнє. Сформулювати та довести їх самостійно. Однак для цього інтеграла справедлива і сьома персональна властивість:

Незалежність криволінійного інтеграла першого роду від напрямку проходження кривої:.

Доведення.Інтегральні суми для інтегралів, що стоять у правій та лівій частинах цієї рівності, за будь-якого розбиття кривої та вибору точок збігаються (завжди довжина дуги ), тому рівні їх межі при .

16.3.2.3. Обчислення криволінійного інтеграла першого роду. приклади.Нехай крива задана параметричними рівняннями , де - безперервно диференційовані функції, і хай точкам , які задають розбиття кривої, відповідають значення параметра , тобто. . Тоді (див. розділ 13.3. Обчислення довжин кривих). За теоремою про середнє існує точка така, що . Виберемо точки , що виходять у цьому значенні параметра: . Тоді інтегральна сума для криволінійного інтеграла дорівнюватиме інтегральній сумі для певного інтеграла. Так як , то, переходячи до межі при рівності , отримаємо

Таким чином, обчислення криволінійного інтеграла першого роду зводиться до обчислення певного інтеграла за параметром. Якщо крива задана параметрично, цей перехід не викликає труднощів; якщо дано якісний словесний опис кривої, то основною складністю може бути введення параметра на кривій. Ще раз наголосимо, що інтегрування завжди ведеться у бік зростання параметра.

приклади. 1. Обчислити , де - один виток спіралі

Тут перехід до певного інтегралу проблем не викликає: знаходимо і .

2. Обчислити той же інтеграл по відрізку прямої точки, що з'єднує, і .

Тут прямого параметричного завдання кривої немає, тому на АВ потрібно ввести параметр. Параметричні рівняння прямої мають вигляд де - напрямний вектор - точка прямої. Як крапка беремо точку, як напрямний вектор- вектор: . Легко бачити, що точка відповідає значенню , точка - значенню , тому .

3. Знайти, де - частина перерізу циліндра площиною z =x +1, що лежить у першому октанті.

Рішення:Параметричні рівняння кола - напрямної циліндра мають вигляд x =2cosj, y =2sinj, і оскільки z=x +1, то z = 2cosj+1. Отже,

тому

16.3.2.3.1. Обчислення криволінійного інтеграла першого роду. Плоский випадок.Якщо крива лежить на будь-якій координатній площині, наприклад, площині Оху , і задається функцією , то, розглядаючи х як параметр, отримуємо таку формулу для обчислення інтеграла: . Аналогічно, якщо крива задається рівнянням , то .

приклад.Обчислити , де - чверть кола , що лежить у четвертому квадранті.

Рішення. 1. Розглядаючи х як параметр, отримуємо , тому

2. Якщо за параметр взяти змінну у , і .

3. Звичайно, можна взяти стандартні параметричні рівняння кола: .

Якщо крива задана в полярних координатах, то і.