प्रत्येक गोष्टीची मर्यादा असते. डमींसाठी गणितातील मर्यादा: स्पष्टीकरण, सिद्धांत, उपायांची उदाहरणे

प्रत्येकाची "दुख" वेगळी असते हे जाणून घ्या,
जाणून घ्या की प्रत्येकाची वेगळी "भयानक" असते.
तुमच्या बेल टॉवरवरून न्याय करू नका
किती मजले आहेत हे माहीत नाही.

सीमा पाहू नका
आपल्या मेंदूने मर्यादा शोधू नका.
दुःस्वप्नात तुम्ही कधीच काय स्वप्न पाहणार नाही?
काहींसाठी ही एक सामान्य गोष्ट आहे.

हे जाणून घ्या की प्रत्येकाचे "हवे" वेगळे असते,
प्रत्येकाची "अडचण" वेगळी असते हे जाणून घ्या.
तथापि, नरकाची कल्पना
सामान्यीकरण आणि तुलना करणे अशक्य आहे.

सत्य वेगळे आहे हे जाणून घ्या,
आणि ताटात दिलेला नाही.
ज्यांचे नशीब भयावह आहे त्यांना जवळून पहा,
हे सर्वात बलवान लोक आहेत.

मला तुझी आठवण येत नाही असे म्हणू नकोस...
मला सर्व काही आठवते, दिवसातून अनेक वेळा
मी फोन नंबर पुन्हा सांगितला
पण मी तुला कधीच कॉल करणार नाही.
माझे हृदय तुटणार आहे असे वाटले
आणि एकाकी दिवसांच्या मर्यादेवर

ते माझ्या आत्म्यात क्षितिजाच्या पलीकडे गेले.
प्रेम होतं, प्रेम होतं, होतं!
आणि या वाक्यांशात जोडण्यासारखे काहीही नाही.
आमचा जादूचा वाडा जळून खाक झाला
आणि त्याने आमच्या लक्षात ठेवण्यासाठी राख सोडली नाही.
मला सर्व काही आठवते, आणि मला फुललेली बाग आठवते,
आणि पर्णसंभारातून - सर्व बाजूंनी किरण,
जणू पांढऱ्या शुभ्र घंटा टॉवरवरून
तुमच्या आत्म्यात - तुम्ही ऐकता - एक शांत वाजत आहे.
प्रेम गेले आहे आणि परत येणार नाही,
आणि तिला कायमची चुकवू नये म्हणून,
तुझे डोळे दोन उदास सूर्यासारखे आहेत
ते माझ्या आत्म्यात क्षितिजाच्या पलीकडे गेले.

सुखाचा शोध पुन्हा अयशस्वी होतो...
आणि ही पावसाळी संध्याकाळ आहे, बाहेर उदास आहे...
आणि लहानपणी... मी बनवर जाम पसरवतो
आणि नक्कीच आनंदी, मूर्खपणे आनंदी ...

ग्लॅमर, शिष्टाचार, हिरे, जकूझी...
आता, आनंदाव्यतिरिक्त, "सर्व समावेशक" च्या नशिबात,
आणि लहानपणी मी सूर्यफुलाच्या बिया खाल्ल्या,
आणि आनंदाला सीमाच उरलेली नाही...

आपण अगदी विदूषकासारखे झालो आहोत...
बाहेरून हसणारा मेकअप प्रत्येकाने घातला आहे...
आणि लहानपणी... फक्त सूर्य आकाशातून उगवला
आणि आनंदी मन खूप हसले ...

आम्ही सिंड्रेला मधील बकव्हीट सारख्या लोकांना निवडतो...
तुम्हाला आवश्यक असलेल्या प्रत्येकाशी संपर्क साधा... जे फायदेशीर नाहीत त्यांनी स्टोव्हवर जा...
आणि बालपणात, स्वच्छ आकाश आमच्यावर विश्वास ठेवत होते ...
ताज्या ब्रेडच्या वासातून आनंद कुठे आहे?

आणि आता मैत्री पण विकत घेता येते...
आम्ही ते बनवले... आम्ही फर आणि चामड्याच्या जगात राहतो...
आणि बालपणात त्यांनी मुंग्याला पावसापासून वाचवले...
आणि आनंद देऊन ते प्राप्त केले.

गेल्या काही वर्षांत आपण प्रामाणिकपणा आणि संवेदनशीलता गमावली आहे...
आम्ही स्वतः सीमा आणि चौकटी घेऊन आलो...
तुमच्याकडे अंबाडा आणि चेरी जामचा जार आहे का?
म्हणून नरकासारखे आनंदी रहा!

मी तुझ्याकडे पाहतो आणि समजतो की मी अजूनही तुझ्यावर प्रेम करतो. हा प्रेम अलीकडच्या काळातला जुनाट आजार आहे. हे इतके असह्य वेदना देते की मी स्वत: ला पूर्णपणे अनोळखी लोकांकडे फेकून देतो, त्यांच्याकडून फसवण्याचा प्रयत्न करतो, त्यांच्याबरोबर अचानक या मिठीत मला वेदनाशामक सापडेल जे सुरकुत्या असलेल्या हृदयाच्या मालकांच्या मते, अजिबात अस्तित्वात नाही. मला समजले आहे की माझी फसवणूक होत आहे, परंतु मी अजूनही मिठी मारणे सुरू ठेवतो - अन्यथा मी स्वत: ला मारू शकत नाही, ते दुखते, ते त्रासदायक आहे, ते मला रात्री झोपू देत नाही, म्हणून मी खिडकीवर बसलो आहे आणि, दुसऱ्या मिनिटात, मी भ्रमांच्या छळातून मनापासून किंचाळत राहीन. मी मदतीसाठी तुमच्याशी संपर्क साधावा का? निरुपयोगी. तुला माझ्या प्रेमाबद्दल माहिती आहे, परंतु तुला त्याची गरज नाही, "तुझे तोंड व्यक्त न केलेल्या भावनांनी भरलेले आहे." आम्ही बेजबाबदारपणाच्या एकाच जाळ्यात आहोत, परंतु आम्ही एकमेकांना मदत करू शकत नाही. आपण आपले हात पातळ पांढरे धागे आणि दांड्यांना गुंडाळले आणि वास्तविकतेच्या पलीकडे कुठेतरी पहा, कोणाच्या मदतीची देवाला आशा आहे. आणि आमच्यात फक्त एकच फरक आहे: तुझ्यावरील माझ्या प्रेमाने मला जवळजवळ माझ्या पायावरून ठोठावले आहे आणि एखाद्यावरचे तुमचे प्रेम तुम्हाला भ्रामक असले तरी अपेक्षेने उत्तेजन देते आणि पुनरुज्जीवित करते. मला आता तुझ्याकडे बघायचे नाही, मी तुझ्याबद्दलची शक्यता माझ्या हृदयातून काढून टाकतो, परंतु यामुळे ते आणखी वेदनादायक होते. म्हणून तो कुजबुजत दुःखाच्या प्रक्रियेतून जातो, कोणाच्या मदतीची देवाला आशा आहे. वेळ?..

तुमचे जीवन हे संपूर्ण खोटे, पॉर्न, दैनंदिन जीवन, इंटरनेट व्यसन आणि सेल फोनची गुलामगिरी आहे. बरं, मी बरोबर नाही का? मला सांगा, तुम्ही कधी खरच काही सामान्य गोष्टी केल्या आहेत का? कधीच नाही. आणि आपण करू शकत नाही. तुम्हाला माहीत आहे का? कारण हे सर्व तुमच्या कम्फर्ट झोनच्या बाहेर आहे. आपण त्यात पॅक आहात. पॉलीप्रोपीलीन पिशवी प्रमाणे. तुम्ही मांसाचे तुकडे आहात, दैनंदिन जीवन आणि कामाच्या मर्यादेने पिळून काढलेले आहात. किंवा मी चूक आहे? कदाचित मी चूक आहे? मला बरोबर कर.
उदाहरणार्थ, तुम्ही भेटलेल्या पहिल्या व्यक्तीला तुमचा मोबाईल फोन देऊ शकता का? ए? अवघड प्रश्न. आपण आत्ता आपल्या संगणकावर स्क्रू स्वरूपित करू शकता? मुका? आपण स्वत: ला बडबड केली? तुम्ही हे का करत नाही हे तुम्हाला माहीत आहे का? कारण ते आत्महत्येसारखे आहे. त्याशिवाय तुमचे अस्तित्व नाही.

मर्यादा सर्व गणिताच्या विद्यार्थ्यांना खूप त्रास देतात. मर्यादेचे निराकरण करण्यासाठी, कधीकधी तुम्हाला अनेक युक्त्या वापराव्या लागतात आणि विशिष्ट उदाहरणासाठी योग्य असलेल्या विविध उपाय पद्धतींमधून निवड करावी लागते.

या लेखात आम्ही तुम्हाला तुमच्या क्षमतेच्या मर्यादा समजून घेण्यात किंवा नियंत्रणाच्या मर्यादा समजून घेण्यात मदत करणार नाही, परंतु आम्ही या प्रश्नाचे उत्तर देण्याचा प्रयत्न करू: उच्च गणितातील मर्यादा कशा समजून घ्यायच्या? समजून घेणे अनुभवाने येते, त्यामुळे त्याच वेळी आम्ही स्पष्टीकरणांसह मर्यादा सोडवण्याची अनेक तपशीलवार उदाहरणे देऊ.

गणितातील मर्यादेची संकल्पना

पहिला प्रश्न: ही मर्यादा काय आहे आणि मर्यादा कशाची आहे? आम्ही संख्यात्मक अनुक्रम आणि कार्यांच्या मर्यादांबद्दल बोलू शकतो. आम्हाला फंक्शनच्या मर्यादेच्या संकल्पनेमध्ये स्वारस्य आहे, कारण विद्यार्थ्यांना बहुतेक वेळा याचा सामना करावा लागतो. परंतु प्रथम, मर्यादेची सर्वात सामान्य व्याख्या:

समजा काही व्हेरिएबल व्हॅल्यू आहे. बदलाच्या प्रक्रियेत हे मूल्य अमर्यादितपणे एका विशिष्ट संख्येपर्यंत पोहोचल्यास a , ते a - या मूल्याची मर्यादा.

ठराविक अंतराने परिभाषित केलेल्या फंक्शनसाठी f(x)=y अशा संख्येला मर्यादा म्हणतात ए , ज्याच्याकडे फंक्शन कधी झुकते एक्स , एका विशिष्ट बिंदूकडे झुकत आहे ए . डॉट ए मध्यांतराशी संबंधित आहे ज्यावर फंक्शन परिभाषित केले आहे.

हे अवघड वाटते, परंतु ते अगदी सोप्या पद्धतीने लिहिले आहे:

लिम- इंग्रजीतून मर्यादा- मर्यादा.

मर्यादा निश्चित करण्यासाठी एक भौमितिक स्पष्टीकरण देखील आहे, परंतु येथे आपण सिद्धांताचा शोध घेणार नाही, कारण आपल्याला समस्येच्या सैद्धांतिक बाजूपेक्षा व्यावहारिक गोष्टींमध्ये अधिक रस आहे. जेव्हा आपण असे म्हणतो एक्स काही मूल्याकडे झुकते, याचा अर्थ व्हेरिएबल संख्येचे मूल्य घेत नाही, परंतु त्याच्या अगदी जवळ येते.

एक विशिष्ट उदाहरण देऊ. कार्य मर्यादा शोधणे आहे.

हे उदाहरण सोडवण्यासाठी, आम्ही मूल्य बदलतो x=3 फंक्शन मध्ये. आम्हाला मिळते:

तसे, आपल्याला स्वारस्य असल्यास, या विषयावर एक स्वतंत्र लेख वाचा.

उदाहरणांमध्ये एक्स कोणत्याही मूल्याकडे झुकता येते. ती कोणतीही संख्या किंवा अनंत असू शकते. येथे एक उदाहरण आहे जेव्हा एक्स अनंताकडे झुकते:

अंतर्ज्ञानाने, भाजकातील संख्या जितकी मोठी असेल तितके फंक्शन जितके लहान मूल्य घेईल. तर, अमर्यादित वाढीसह एक्स अर्थ 1/x कमी होईल आणि शून्यावर जाईल.

तुम्ही बघू शकता, मर्यादा सोडवण्यासाठी, फंक्शनमध्ये प्रयत्न करण्यासाठी तुम्हाला फक्त मूल्य बदलण्याची आवश्यकता आहे एक्स . तथापि, ही सर्वात सोपी केस आहे. अनेकदा मर्यादा शोधणे इतके स्पष्ट नसते. मर्यादेत प्रकाराची अनिश्चितता आहे 0/0 किंवा अनंत/अनंत . अशा परिस्थितीत काय करावे? युक्त्या रिसॉर्ट!

आत अनिश्चितता

अनंत/अनंत स्वरूपाची अनिश्चितता

मर्यादा असू द्या:

जर आपण फंक्शनमध्ये अनंताची जागा घेण्याचा प्रयत्न केला तर आपल्याला अंश आणि भाजक दोन्हीमध्ये अनंतता मिळेल. सर्वसाधारणपणे, असे म्हणणे योग्य आहे की अशा अनिश्चिततेचे निराकरण करण्यात कलेचा एक विशिष्ट घटक आहे: अनिश्चितता दूर होईल अशा प्रकारे आपण कार्य कसे बदलू शकता हे लक्षात घेणे आवश्यक आहे. आमच्या बाबतीत, आम्ही अंश आणि भाजक याने भागतो एक्स वरिष्ठ पदवी मध्ये. काय होईल?

वर चर्चा केलेल्या उदाहरणावरून, आपल्याला माहित आहे की भाजकातील x असलेल्या संज्ञा शून्याकडे झुकतात. मग मर्यादेचे समाधान आहे:

प्रकारातील अनिश्चितता सोडवण्यासाठी अनंत/अनंतअंश आणि भाजक याने भागा एक्ससर्वोच्च पदवी पर्यंत.

तसे! आमच्या वाचकांसाठी आता यावर 10% सूट आहे

अनिश्चिततेचा आणखी एक प्रकार: 0/0

नेहमीप्रमाणे, फंक्शनमध्ये मूल्ये बदलणे x=-1 देते 0 अंश आणि भाजक मध्ये. थोडे अधिक बारकाईने पहा आणि तुमच्या लक्षात येईल की आमच्याकडे अंशामध्ये एक द्विघात समीकरण आहे. चला मुळे शोधू आणि लिहू:

चला कमी करू आणि मिळवा:

तर, जर तुम्हाला प्रकारची अनिश्चितता असेल 0/0 - अंश आणि भाजक घटक.

तुमच्यासाठी उदाहरणे सोडवणे सोपे करण्यासाठी, आम्ही काही फंक्शन्सच्या मर्यादा असलेले टेबल सादर करतो:

L'Hopital च्या आत नियम

दोन्ही प्रकारची अनिश्चितता दूर करण्याचा आणखी एक शक्तिशाली मार्ग. पद्धतीचे सार काय आहे?

मर्यादेत अनिश्चितता असल्यास, अनिश्चितता अदृश्य होईपर्यंत अंश आणि भाजक यांचे व्युत्पन्न घ्या.

L'Hopital चे नियम असे दिसते:

महत्वाचा मुद्दा : ज्या मर्यादेत अंश आणि भाजकांच्या ऐवजी अंश आणि भाजकांची व्युत्पत्ती उभी राहते.

आणि आता - एक वास्तविक उदाहरण:

ठराविक अनिश्चितता आहे 0/0 . चला अंश आणि भाजक यांचे व्युत्पन्न घेऊ:

व्होइला, अनिश्चितता त्वरीत आणि सुरेखपणे सोडवली जाते.

आम्हाला आशा आहे की तुम्ही ही माहिती सरावात उपयोगी पडेल आणि "उच्च गणितात मर्यादा कशी सोडवायची" या प्रश्नाचे उत्तर शोधू शकाल. तुम्हाला एखाद्या बिंदूवर अनुक्रमाची मर्यादा किंवा फंक्शनची मर्यादा मोजण्याची आवश्यकता असल्यास, आणि या कामासाठी अजिबात वेळ नसेल, तर त्वरित आणि तपशीलवार समाधानासाठी व्यावसायिक विद्यार्थी सेवेशी संपर्क साधा.



त्याला अठ्ठावीस वर्षे झाली आहेत, आणि याशिवाय अठ्ठावीस हिवाळा,

त्याने एक गुप्त ठेवले आणि कुटुंबातील एक अनुकरणीय पती होता.
सर्व काही नेहमीप्रमाणे असल्याचे दिसत होते: माझी पत्नी रात्रीच्या जेवणाची तयारी करत होती...
पण अचानक काहीतरी वाईट घडले: त्याला रहस्य आठवले.
कोबीच्या सूपचा आवाज आणि आंबट वास, सकाळी माझ्या लग्नाच्या कुरकुर,
त्याला सर्व काही अगदी लहान तपशीलापर्यंत आठवले, जणू काल घडले होते ...
...ती खिडकीजवळ बसली आणि मऊ अदभुत चंद्रप्रकाश
फिकट टोनमध्ये तिचे सुंदर सिल्हूट रंगवले...
खांद्यावरून पट्ट्या वाहत, सापाप्रमाणे छातीवर सरकल्या...
आणि त्याने अविचारीपणे विचार केला: "मी तिच्याशी कधीतरी लग्न करेन!"
त्याला अगदी लहान तपशीलापर्यंत सर्व काही आठवले: रेषांचे वक्र, ओठांची कोमलता ...
आणि तिच्या साध्या भाषणांची उष्णता आणि खिडकीच्या बाहेर एक प्रचंड ओक वृक्ष.
हातांची गुंफण... शरीरांचे एकत्रीकरण... तपकिरी केसांचा झरा...
आणि त्याला तिला किती उन्माद, अश्रू हवे होते!
थरथरणाऱ्या कबुलींचा प्रवाह, त्याने माझ्या कानात ते कसे कुजबुजले!
कानाच्या वर एक मजेदार कर्ल जो श्वासाने थरथरतो...
रात्रभर ओल्या डोळ्यांनी तिने त्याच्याकडे पाहिलं.
हे शब्द वाईनसारखे मादक होते: "माझं तुझ्यावर प्रेम आहे... मला मुलगी दे..."
सकाळी त्याने शांतता गमावली: तो गोंधळत होता, नंतर कंटाळा आला होता ...
मग हाताने चेहरा झाकून तो खुर्चीवर बसून गप्प बसला.
बायको नेहमीप्रमाणे बडबडली. तिने पळून गेलेल्या सूपला फटकारले...
आणि त्याने नमूद केले की तिच्या वयानुसार वर्षे तिला अनुकूल नाहीत.
जसा पांढरा रंग आणि रंगवलेल्या केसांच्या पट्ट्या तिला शोभत नाहीत.
आणि अठ्ठावीस वर्षे सर्वकाही कसे तरी गंभीर नव्हते ...
अचानक त्याने उडी मारली, त्याचा कोट पकडला आणि त्याची टोपी आणि मोजे विसरला.
सर्व अठ्ठावीस वर्षे सारखी नसतात... सर्व अठ्ठावीस हिवाळे उदास असतात.
ते घर सापडलं. घरात ओकचे झाड आहे. तो बाणासारखा पायऱ्यांवर धावत गेला...
माझी इच्छा आहे की मी थंड ओठांमधून थरथर थांबवू शकलो असतो, आणि घृणास्पद भ्याडपणा - दूर!
ती कदाचित आता चहा पीत असेल आणि स्वतःला शालीत गुंडाळत असेल...
आणि तिच्या सुंदर डोळ्यांतून एक शांत दुःख वाहते...
किंवा कदाचित तिने विणकाम सुरू केले? किंवा कदाचित लेस विणणे?
तिला सांगण्यासारखे खूप काही आहे! आणि मुख्य म्हणजे सांगायचे आहे - मला माफ करा...
तिने दार उघडले...तिच्या डोळ्यात प्रश्न होता. ती पुन्हा वीस वर्षांची झाली...
तपकिरी केसांचा धबधबा... हृदयाला परिचित असलेला सिल्हूट...
कानाच्या वर थोडासा वलय आहे... बऱ्याच वर्षांपूर्वी सारखाच - अगदी तसाच...
"तुमची चूक तर नाही ना?" "नाही, मी करू शकलो नाही... तू अन्य आहेस का?" वेरा. तिची मुलगी..."
"आणि अन्या?" - "आई आता नाही... तू कोण आहेस?" तो मागे वळला:
"मी तिच्याकडे अठ्ठावीस वर्षे गेलो..." - ती तुझी वाट पाहत होती... पंचवीस...
किती चक्कर आली... माझे हृदय माझ्या छातीत कसे धस्स झाले!
आणि त्याला प्रार्थनेसह तिचे शब्द आठवले: "जाऊ नको!"
त्याने कुबड केली. तो पळून गेला. हात गुंफणे... शरीरांचे एकत्रीकरण...
माझं तुझ्यावर प्रेम आहे... मला मुलगी दे... पण त्याला खरंच मुलगी हवी होती.
कसे विचित्र. अन्या आता नाही... मी ओरडलो... मी ते शांततेत फेकून दिले: "मी तुझ्यावर अनेक वर्षे प्रेम करीन... तू एकटा..."

P.S. प्रेमाची काळजी घ्या - हा तुमच्या आनंदाचा पाया आहे...



एक स्त्री जी खूप वेळा क्षमा करते आणि खूप काळ टिकते ती अनेकदा अनपेक्षितपणे आणि कायमची निघून जाते!